OP GETAL EN RUIMTE KUN JE REKENEN
Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jaar moet je gaan kiezen welke wiskunde je wilt gaan volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wat wiskunde A, B en D inhouden. Wiskunde is een verplicht vak bij de profielen EM (Economie en Maatschappij), NG (Natuur en Gezondheid) en NT (Natuur en Techniek). Als je CM (Cultuur en Maatschappij) kiest, hoef je op de havo niet verplicht wiskunde te doen. Je kunt er wel voor kiezen in het vrije deel.
KDYR
(U]LMQGULHVRRUWHQZLVNXQGHZDDUYDQHUWZHHLQDDQ PHUNLQJNRPHQDOVYHUSOLFKWSUR¿HOYDN,QGHRQGHUVWDDQGH WDEHOLVWH]LHQZHONHPRJHOLMNKHGHQHU]LMQ Profiel
Welke wiskunde?
CM
geen, A* of B*
EM
A of B*
NG
A of B*
NT
B
NXQQHQZHUNHQ-HPRHWRSHHQZLVNXQGLJHPDQLHUKHW YHUEDQGWXVVHQELMYRRUEHHOGYUDDJHQDDQERGZHHUNXQ QHQJHYHQ2RNELMVRPPLJHJH]RQGKHLGRSOHLGLQJHQNRPW
,QIRUPHHURIGH]HNHX]HRRNZRUGWDDQJHERGHQ
HQLJHZLVNXQGHNHQQLVJRHGYDQSDV,QZLVNXQGH$]LWJHHQ
'HVFKRROLVQLHWYHUSOLFKWRPGH]HNHX]HVDDQWHELHGHQ
PHHWNXQGH
Welk profiel en welke wiskunde kies jij?
%LMZLVNXQGH%NRPHQRQGHUZHUSHQDDQERGGLHMHODWHU
%LMZLVNXQGH$JDDWKHWRPRQGHUZHUSHQGLHMHODWHUPLV
KDUGQRGLJ]XOWKHEEHQDOVMHGHH[DFWHNDQWRSJDDWELMYRRU
VFKLHQZHHUQRGLJKHEWELMHHQYHUYROJRSOHLGLQJ%LMVWXGLHV
EHHOGLQGHVHFWRUWHFKQLHNRIQDWXXUHQPLOLHX(UZRUGW
]RDOVLQGHVHFWRUHFRQRPLHHQQDWXXUHQPLOLHXLVZLVNXQGH
YHHODDQGDFKWEHVWHHGDDQIXQFWLHVYHUDQGHULQJHQUXLPWH
RQPLVEDDU,QZLVNXQGH$]LWGDDURPHHQÀLQNVWXNVWDWLV
PHHWNXQGHHQDOJHEUD-HOHHUWKRHMHYDQDOOHUOHL¿JXUHQHQ
WLHNHQNDQVUHNHQLQJ2RNPRHWMHPHWIXQFWLHVHQJUD¿HNHQ
YRRUZHUSHQGHRSSHUYODNWHHQLQKRXGNXQWXLWUHNHQHQ+RH
Bij P共geen enkele A兲 maak je in gedachten de kansboom hiernaast. Je ziet: tt P共geen enkele A兲 ⫽ P共A At A 兲 ⫽ 24 ⫻ 23 ⫻ 35 ⫽ 0,2.
$
Voor de inhoud I in cm 3 van de doos geldt de formule I ⫽ 4x 3 ⫺ 100x 2 ⫹ 600x. b Toon aan dat deze formule juist is. c Bereken met behulp van differentiëren bij welke afmetingen van de vierkantjes de inhoud van de doos maximaal is. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.
A betekent geen A.
voorbeeld
De schijven in figuur 6.21 draaien onafhankelijk van elkaar. Bereken de kans dat a twee gelijke kleuren worden aangewezen b precies één rode sector wordt aangewezen. c geen enkele rode sector wordt aangewezen.
Uitwerking a P共twee gelijke kleuren兲 ⫽ P共rr兲 ⫹ P共g g兲 ⫹ P共bb兲 ⫽ 1 2 1 2 1 1 ⫻ ⫹ ⫻ ⫹ ⫻ ⬇ 0,333 3 5 3 5 3 5
30 – 2x x
x
x
x
20
20 – 2x x
%
x x
x 30
x
30 – 2x
20 – 2x
figuur 6.31
figuur 6.21
b P共één rode兲 ⫽ 2 1 1 4 P共r /r 兲 ⫹ P共r/ r兲 ⫽ ⫻ ⫹ ⫻ ⫽ 0,4 3 5 3 5 c P共geen enkele rode sector兲 ⫽ 2 4 P共r//r 兲 ⫽ ⫻ ⬇ 0,533 3 5
voorbeeld
Ronald gooit met drie dobbelstenen. Bereken de kans dat hij a geen enkele keer 6 ogen gooit b precies twee keer 4 ogen gooit. Uitwerking 5 5 5 a P共geen enkele 6兲 ⫽ P共 6/ 6/ 6/ 兲 ⫽ ⫻ ⫻ ⬇ 0,579 6 6 6 b P共precies twee keer 4兲 ⫽ P共 4 4 4/ 兲 ⫹ P共 4 4/ 4 兲 ⫹ P共 4/ 4 4 兲 ⫽ 1 5 1 5 1 1 1 1 5 ⫻ ⫻ ⫹ ⫻ ⫻ ⫹ ⫻ ⫻ ⬇ 0,069 6 6 6 6 6 6 6 6 6
getal & ruimte
40 Een fabrikant van verpakkingsartikelen levert dozen zonder deksel. Hij laat deze dozen vouwen uit rechthoekige stukken karton van 30 bij 20 cm. Zie figuur 6.31. a Laat met een berekening zien dat er een doos ontstaat met een inhoud van 864 cm 3 als x ⫽ 6 cm genomen wordt.
A 41 Het bedrijf van verpakkingsartikelen maakt ook dozen van stukken karton van 50 bij 30 cm. Zie figuur 6.32. a Geef de formule van de inhoud van zo⬘n doos. Tussen welke grenzen ligt x? b Welke inhoud hoort bij x ⫽ 7,15? c Van een doos is de inhoud 3000 cm 3. Bereken in mm nauwkeurig de afmetingen van zo’n doos. d Bereken met behulp van differentiëren bij welke afmetingen van de vierkantjes de inhoud van de doos maximaal is. Geef je antwoord in mm nauwkeurig.
50 cm x
x
x
x
x
x
30 cm
x
x
figuur 6.32 De vierkantjes bij de hoekpunten zijn x bij x cm.
A 42 De firma Hoff maakt geraamten voor verhuiskisten van aluminium hoekprofielen. De verhuiskisten krijgen een rechthoekige boven- en onderkant waarvan de lengte vier keer de breedte is. Zie figuur 6.33. Voor één zo’n kist gebruikt Hoff 12 meter hoekprofiel. Het is de bedoeling dat de inhoud van zo⬘n kist maximaal is. De hoogte h kan uitgedrukt worden in de lengte van de kortste zijde x van de bodem. Je krijgt h ⫽ 3 ⫺ 5x. a Toon aan dat deze formule juist is. b Druk de inhoud I van de kist uit in x. c Bereken algebraïsch de maximale inhoud van de kist. Hoe hoog is zo’n kist? figuur 6.33 Voor een geraamte wordt in totaal 12 meter hoekprofiel gebruikt, h en x zijn in meters.
tweede fase 3 havo
H[DFWHUHQWHFKQLVFKHUMHYHUYROJRSOHLGLQJGHVWHPHHUMH
Overzicht
ZLVNXQGH%QRGLJ]XOWKHEEHQ+HW]LMQPHHVWDORSOHLGLQJHQ
:LVNXQGH$LQJHWDO UXLPWHGHHOKDYR
ZDDUYRRURRNQDWXXUNXQGHEHODQJULMNRIYHUSOLFKWLV,Q
EO]WP 7ZHHGHJUDDGVYHUJHOLMNLQJHQPDJMHELM
ZLVNXQGH%]LWJHHQVWDWLVWLHNHQNDQVUHNHQLQJ'HPHHVWH
ZLVNXQGH$RSORVVHQPHWGHJUD¿VFKH
OHHUOLQJHQYLQGHQZLVNXQGH%PRHLOLMNHUGDQZLVNXQGH$
UHNHQPDFKLQH%LMZLVNXQGH%PRHWMH]H
9UDDJMHZLVNXQGHOHUDDURPDGYLHVELMMHNHX]H
KDQGPDWLJRSORVVHQ EO]
2SJDYH
(HQVFKRROPDJ]HOIEHVOLVVHQRI]HZLVNXQGH'DDQELHGHQ *DGXVHHUVWQDRIGDWRSMRXZVFKRROKHWJHYDOLV-HPDJ
:LVNXQGH%LQJHWDO UXLPWHGHHOKDYR
ZLVNXQGH'DOVSUR¿HOYDNDOOHHQELM17 RIDOVYDNLQKHW
EO]
YULMHGHHONLH]HQDOVMHRRNZLVNXQGH%KHEWJHNR]HQ-HYROJW
EO]WP 0HHWNXQGLJH¿JXUHQNRPMHDOOHHQELM
GDQGXVWZHHZLVNXQGHYDNNHQQDPHOLMN%HQ':LVNXQGH 'ELHGWHHQYHUEUHGLQJHQHHQYHUGLHSLQJYDQZLVNXQGH
'HRSJDYHQWRWHQPHW ZLVNXQGH%WHJHQ
EO]WP 7ZHHGHJUDDGVYHUJHOLMNLQJHQPRHWMHELM
%'HYHUEUHGLQJNULMJMHGRRUNDQVUHNHQLQJHQVWDWLVWLHN
ZLVNXQGH%KDQGPDWLJRSORVVHQ%LM
EHODQJULMNELMDOOHUOHLYHUYROJVWXGLHV HQUXLPWHPHHWNXQGH
ZLVNXQGH$PDJMH]HRSORVVHQPHWGH
EHODQJULMNELMYHHOWHFKQLVFKHVWXGLHV
JUD¿VFKHUHNHQPDFKLQH
'HYHUGLHSLQJNULMJMHGRRUHHQÀLQNHXLWEUHLGLQJYDQGHWRH
EO]
'HRSJDYHQHQ
JHSDVWHDQDO\VH'DWEHWHNHQWRQGHUDQGHUHGDWMHPHWPHHU
EO]
'HRSJDYHQHQ
W\SHQIXQFWLHVWHPDNHQNULMJWGDQELMZLVNXQGH%
EO]
'HRSJDYHQHQ
2QGHUZHUSHQ]RDOVNDQVUHNHQLQJHQUXLPWHPHHWNXQGH]LMQ
KRRIGVWXN
%LMZLVNXQGH%ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS
QLHWPRHLOLMNHUGDQGHRQGHUZHUSHQGLHMHELMZLVNXQGH%
GHEHJULSSHQDDQ]LFKWKHOOLQJVJHWDOHQ
NULMJW$QGHUHRQGHUZHUSHQNXQQHQZHOZDWSLWWLJHU]LMQ
WDQJHQV
$OVMHZLVNXQGH'NLHVWLVKHWEHODQJULMNGDWMHZLVNXQGHOHXN
KRRIGVWXN
YLQGWHQGDWMHHUYHHOWLMGLQZLOWVWHNHQ
%LMZLVNXQGH$ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS SURFHQWHQHQGLDJUDPPHQ
Nu in 3 havo, straks in de bovenbouw
:LVNXQGH$LQJHWDO UXLPWHGHHOKDYR
2PMHHHQLGHHWHJHYHQYDQGHYHUVFKLOOHQWXVVHQZLVNXQGH
EO]
7ZHHGHJUDDGVYHUJHOLMNLQJHQPDJMHELM
$HQZLVNXQGH%VWDDWKLHUHHQRYHU]LFKW(UVWDDQRQGHU
ZLVNXQGH$RSORVVHQPHWGHJUD¿VFKH
ZHUSHQXLWMHGHUGHNODVERHNGLHW\SLVFKELMZLVNXQGH$
UHNHQPDFKLQH%LMZLVNXQGH%PRHWMH]H
KRUHQRIMXLVWELMZLVNXQGH%
KDQGPDWLJRSORVVHQ KRRIGVWXN
%LMZLVNXQGH$ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS LQIRUPDWLHYHUZHUNLQJ
Instromen vanuit 4 vmbo 6WURRPMHLQYDQXLWKHWYPERYUDDJGDQQDDUKHWRYHUVWDS GHHOYPER7!KDYR,QGDWERHNYLQGMHDOOHNHQQLVHQ
:LVNXQGH%LQJHWDO UXLPWHGHHOKDYR
YDDUGLJKHGHQGLHMHQRGLJKHEWRPGHRYHUVWDSQDDUGHKDYR
EO]
WHPDNHQ
7ZHHGHJUDDGVYHUJHOLMNLQJHQPRHWMHELM ZLVNXQGH%KDQGPDWLJRSORVVHQ%LM ZLVNXQGH$PDJMH]HRSORVVHQPHWGH JUD¿VFKHUHNHQPDFKLQH
KRRIGVWXN
%LMZLVNXQGH%ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS VLQXVFRVLQXVHQWDQJHQVHQHU]XOOHQRRN IXQFWLHVPHWHHQVLQXVRIHHQFRVLQXVRQGHU ]RFKWZRUGHQ
EO]WP
'LWNRPWYDDNWHUXJELMZLVNXQGH%
EO]
'HRSJDYHQWRWHQPHW
EO]WP 'LWNRPWYDDNWHUXJELMZLVNXQGH%
getal & ruim mt e op getal & ruimte kun je rekenen
tweede fase 3 havo
Welke wiskunde moet ik kiezen? Dit jaar moet je gaan kiezen welke wiskunde je wilt gaan volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wat wiskunde A, B, C en D inhouden. Wiskunde is een verplicht vak in de bovenbouw vwo en is altijd één van je vier profielvakken.
YZR
(U]LMQYLHUVRRUWHQZLVNXQGHZDDUYDQHUGULHDOVYHUSOLFKW SUR¿HOYDNLQDDQPHUNLQJNRPHQ,QGHRQGHUVWDDQGHWDEHO LVWH]LHQZHONHPRJHOLMNKHGHQHU]LMQ Profiel
Welke wiskunde?
CM
C of A* of B*
EM
A of B*
NG
A of B*
NT
B
%LMZLVNXQGH%NULMJMHRQGHUZHUSHQGLHEHODQJULMN]LMQ YRRURSOHLGLQJHQLQGHH[DFWHKRHNELMYRRUEHHOGDDQHHQ WHFKQLVFKHXQLYHUVLWHLW2RNYRRUXQLYHUVLWDLUHVWXGLHV]RDOV QDWXXUNXQGHHQVFKHLNXQGHLVZLVNXQGH%YHUSOLFKW'DDU
,QIRUPHHURIGH]HNHX]HRRNZRUGWDDQJHERGHQ
]LWWHQRQGHUZHUSHQLQ]RDOVIXQFWLHVGLIIHUHQWLsUHQ
'HVFKRROLVQLHWYHUSOLFKWRPGH]HNHX]HVDDQWHELHGHQ
HQLQWHJUHUHQGDWKHEMHQRGLJDOVMHRSSHUYODNWHVZLOWXLW UHNHQHQ0DDURRNPHHWNXQGHHQJRQLRPHWULVFKHIXQFWLHV
Welk profiel en welke wiskunde kies jij?
GDDUNULMJMHWHPDNHQPHWGHWHUPHQVLQXVFRVLQXVHQ
%LMZLVNXQGH$JDDWKHWRPRQGHUZHUSHQGLHMHODWHUPLV
WDQJHQV'H]HNRPHQYDQSDVDOVMHPRHWUHNHQHQDDQJROYHQ
VFKLHQZHHUQRGLJKHEWELMHHQYHUYROJRSOHLGLQJ%LMVWXGLHV
HQWULOOLQJHQ:LVNXQGH%LVDEVWUDFWHUGDQZLVNXQGH$HQ
]RDOVSV\FKRORJLHHQSHGDJRJLHNNULMJMHYHHOWHPDNHQPHW
GHPHHVWHOHHUOLQJHQYLQGHQZLVNXQGH%PRHLOLMNHUGDQ
VWDWLVWLHN,QZLVNXQGH$]LWGDDURPHHQÀLQNVWXNVWDWLV
ZLVNXQGH$
WLHNHQNDQVUHNHQLQJ2RNPRHWMHPHWIXQFWLHVHQJUD¿HNHQ
9UDDJMHZLVNXQGHOHUDDURPDGYLHVELMMHNHX]H
NXQQHQZHUNHQ%LMHFRQRPLVFKHVWXGLHVLVZLVNXQGHRRN EHODQJULMN%LMGLHVWXGLHNULMJMHRRNGLIIHUHQWLsUHQ-HPRHW GDQNXQQHQEHSDOHQKRHVWHLOHHQJUD¿HNORRSW ,QZLVNXQGH$]LWJHHQPHHWNXQGH $OVMHYHUGHUZLOWVWXGHUHQLQGHULFKWLQJYDQ³*HGUDJHQ 0DDWVFKDSSLM´RI³(FRQRPLH´LVZLVNXQGH$RQPLVEDDU /HWRSELMVRPPLJHHFRQRPLVFKHVWXGLHVRSGHXQLYHUVLWHLW PRHWMHZLVNXQGH%KHEEHQ$OVZLVNXQGHMHJRHGDIJDDW
3.2 Grafische verwerking O 16 In figuur 3.1 zie je gegevens over het bioscoopbezoek in Nederland. a Met hoeveel procent nam het bioscoopbezoek in 2001 toe vergeleken met 2000? b Nam de bruto recette per bezoeker toe of af in de periode 2000-2003? Met hoeveel procent? c Volgens Floor was begin 2000 de bruto recette ongeveer 115 miljoen euro. Geef commentaar.
BIOSCOOPBEZOEK bruto recette × mln euro
aantal × mln
180
$&
28 170,4 156,2
160
26 158,9 24,9
140 23,8 120,6
24
24,1
129,0
120
22 21,6
HQMHZLOWHFRQRPLHVWXGHUHQRSGHXQLYHUVLWHLWGDQKHHIW
100
ZLVNXQGH%GHYRRUNHXUERYHQZLVNXQGH$
20
20,1 100,3 18,6
80 '98
'99
18 '00
'01
'02
'03 jaar
figuur 3.1
:LVNXQGH&LVDOOHHQEHVWHPGYRRUOHHUOLQJHQPHWKHWSUR¿HO &0'LHJDDQRYHUKHWDOJHPHHQJHHQVWHUNZLVNXQGLJHVWXGLHV GRHQ:LVNXQGH&OLMNWRSZLVNXQGH$PDDUKHWRQGHUZHUS GLIIHUHQWLsUHQRQWEUHHNWGDWGRRUYHHOOHHUOLQJHQDOVODVWLJ ZRUGWHUYDUHQ(U]LWZHOVWDWLVWLHNHQNDQVUHNHQLQJLQHQRRN IXQFWLHVHQJUD¿HNHQ0HWZLVNXQGH&LQMHEDJDJHNXQMHGXV GHNDQWYDQ³*HGUDJHQ0DDWVFKDSSLM´RS9RRUGHULFKWLQJ ³(FRQRPLH´NXQMHEHWHUZLVNXQGH$RI%NLH]HQ%LMVRPPLJH VWXGLHVNRPWRSKHWHHUVWHJH]LFKWJHHQZLVNXQGHDDQGHRUGH 'HQNPDDUDDQUHFKWHQ0DDUELMHHQDDQWDORQGHUGHOHQGLHRS HFRQRPLVFKRI¿VFDDOWHUUHLQEHODVWLQJZHWWHQ WHUUHLQOLJJHQ LVLQ]LFKWLQJHWDOOHQHQJUD¿HNHQWRFKZHOHUJKDQGLJ'DDURP NULMJHQRRN&0OHHUOLQJHQRSKHWYZRYHUSOLFKWZLVNXQGH
getal & ruimte
Theorie A Diagrammen
Eén van de manieren waarop een statisticus de gegevens kan presenteren is met een tabel. Maar om de resultaten een fraaier aanzien te geven en de essentie van de gegevens beter naar voren te brengen, worden ze vaak afgebeeld in een grafiek of in een diagram. We spreken dan van grafische verwerking van de gegevens. Enkele veel gebruikte soorten van grafische verwerking zijn het staafdiagram, het lijndiagram en het cirkeldiagram. Aan de hand van de volgende tabel lichten we deze vormen toe. NIEUWBOUWWONINGEN ⫻ 1000 eengezins eigendom 共ee兲 meergezins eigendom 共me兲 eengezins huur 共eh兲 meergezins huur 共mh兲
2000
2001
2002
2003
2004
46,2 9,2 7,0 8,2
47,9 11,0 6,4 7,7
43,6 10,5 6,0 6,7
37,3 9,4 5,9 7,1
41,3 9,9 7,7 6,4
70,6
73,0
65,8
59,7
65,3
In figuur 3.2a zijn de gegevens van 2003 verwerkt in een staafdiagram. De gehele tabel is in figuur 3.2b verwerkt in een samengesteld staafdiagram, ook wel stapeldiagram genoemd. Bijzonderheden van een staafdiagram • De lengte van de staven komt overeen met de hoeveelheid. • De staven staan meestal los van elkaar. • De volgorde van de staven doet er in het algemeen niet toe. 䊲
tweede fase 3 vwo
(HQVFKRROPDJ]HOIEHVOLVVHQRI]HZLVNXQGH'DDQELHGHQ
Overzicht
*DGXVHHUVWQDRIGDWRSMRXZVFKRROKHWJHYDOLV-HPDJ
:LVNXQGH$&LQJHWDO UXLPWHGHHOYZR
ZLVNXQGH'DOVSUR¿HOYDNDOOHHQELM17 RIDOVYDNLQKHW
EO]
7ZHHGHJUDDGVYHUJHOLMNLQJHQPDJMHELM
YULMHGHHONLH]HQDOVMHRRNZLVNXQGH%KHEWJHNR]HQ-HYROJW
ZLVNXQGH$&YDDNRSORVVHQPHWGH
GDQGXVWZHHZLVNXQGHYDNNHQQDPHOLMN%HQ':LVNXQGH'
JUD¿VFKHUHNHQPDFKLQH%LMZLVNXQGH%
ELHGWYRRUDOHHQYHUEUHGLQJYDQZLVNXQGH%+LHUGRRUNULMJ MHWHPDNHQPHWRQGHUZHUSHQDOVNDQVUHNHQLQJVWDWLVWLHN
PRHWMH]HKDQGPDWLJRSORVVHQ KRRIGVWXN
DQDO\WLVFKHPHHWNXQGHG\QDPLVFKHPRGHOOHQHQFRPSOH[H
%LMZLVNXQGH$&ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS SURFHQWHQHQGLDJUDPPHQ
JHWDOOHQ:LVNXQGH'LVRYHUKHWDOJHPHHQQLHWPRHLOLMNHUGDQ ZLVNXQGH%%LMYHHOYHUYROJVWXGLHVDDQXQLYHUVLWHLWHQHQKR
:LVNXQGH%LQJHWDO UXLPWHGHHOYZR
JHVFKROHQNULMJMHWHPDNHQPHWRQGHUZHUSHQXLWZLVNXQGH'
EO]WP
$OVMHNLHVWYRRUZLVNXQGH'LVKHWEHODQJULMNGDWMHZLVNXQGH OHXNYLQGWHQGDWMHHUYHHOWLMGLQZLOWVWRSSHQ'HVWXGLHODVW
0HHWNXQGLJH¿JXUHQNRPMHDOOHHQELM ZLVNXQGH%WHJHQ
EO]WP %LMZLVNXQGH%LVRQJHYHHUYDQGHVWRI
YRRUZLVNXQGH%LVXXUHQYRRUZLVNXQGH'XXU
EHZLM]HQ
-HNULMJWGXVDOVMHNLHVWYRRUZLVNXQGH'LQWRWDDOPHHUGDQ
EO]
'HRSJDYHQWRWHQPHW
XXUZLVNXQGHLQYZRHQ
EO]
7ZHHGHJUDDGVYHUJHOLMNLQJHQPRHWMHELM ZLVNXQGH%KDQGPDWLJRSORVVHQ %LMZLVNXQGH$&PDJMH]HYDDNRSORVVHQ
Nu in 3 vwo, straks in de bovenbouw
PHWGHJUD¿VFKHUHNHQPDFKLQH
2PMHHHQLGHHWHJHYHQYDQGHYHUVFKLOOHQWXVVHQZLVNXQGH $HQZLVNXQGH%VWDDWKLHUHHQRYHU]LFKW(UVWDDQRQGHU
KRRIGVWXN
%LMZLVNXQGH%ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS
ZHUSHQXLWMHGHUGHNODVERHNGLHW\SLVFKELMZLVNXQGH$&
VLQXVFRVLQXVHQWDQJHQVHQHU]XOOHQRRN
KRUHQRIMXLVWELMZLVNXQGH%
IXQFWLHVPHWHHQVLQXVRIHHQFRVLQXV RQGHU]RFKWZRUGHQ :LVNXQGH$&LQJHWDO UXLPWHGHHOYZR EO]WP +HWKHUOHLGHQYDQEUHXNHQJDDWELMZLVNXQ GH$&YHHOPLQGHUYHUGDQELMZLVNXQGH%
% 4.5 Lengte en oppervlakte
H
O 64 Gegeven is de kubus ABCD EFGH met ribbe 6.
EO]WP 'HRSJDYHQWRWHQPHW
6 D
C 6
A
6
B
figuur 4.21
Theorie A Lengte van een lijnstuk uitdrukken in a
H
In 䉭BDH is BH 2 ⫽ BD 2 ⫹ DH 2 BH 2 ⫽ 2a 2 ⫹ a 2
G
E
EO]
'HRSJDYHQWRWHQPHW
KRRIGVWXN
%LMZLVNXQGH%ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS VLQXVFRVLQXVHQWDQJHQVHQHU]XOOHQRRN IXQFWLHVPHWHHQVLQXVRIHHQFRVLQXV
F
RQGHU]RFKWZRUGHQ
a D
C
BD 2⫽BE 2⫽2a 2
a A
BH 2 ⫽ 3a 2, dus BH ⫽ 冪3a 2 ⫽ a冪3.
LQIRUPDWLHYHUZHUNLQJ :LVNXQGH%LQJHWDO UXLPWHGHHOYZR
F
a Toon aan dat BE ⫽ 6冪2.
In figuur 4.22 is de kubus ABCD EFGH met ribbe a getekend. Je gebruikt de stelling van Pythagoras om de zijvlaksdiagonaal BE en de lichaamsdiagonaal BH uit te drukken in a. In 䉭ABE is BE 2 ⫽ AB 2 ⫹ AE 2 BE 2 ⫽ a 2 ⫹ a 2 BE 2 ⫽ 2a 2, dus BE ⫽ 冪2a 2 ⫽ a冪2.
%LMZLVNXQGH$&ZRUGWGLHSHULQJHJDDQRS
G
E
b Toon aan dat BH ⫽ 6冪3.
KRRIGVWXN
a
B
figuur 4.22
In een kubus met ribbe a is de lengte van • een zijvlaksdiagonaal
a冪2 a冪3.
• een lichaamsdiagonaal
Je kunt het voorbeeld ook oefenen met de applet . Voorbeeld bladzijde 146 op de voorbeeld
In de kubus ABCD EFGH met ribbe a is M het midden van DH. Druk AM en BM uit in a. Uitwerking In 䉭ADM is AM 2 ⫽ a 2 ⫹ 共 12 a兲 2 AM 2 ⫽ a 2 ⫹ 14 a 2 AM 2 ⫽ 54 a 2
H
E M
AM 2⫽AD 2⫹DM 2
G
F
a D
C
Dus AM ⫽ 冪54 a 2 ⫽ 冪14 a 2 ⭈ 5 ⫽ 12 a冪5.
共
兲
In 䉭BDM is BM 2 ⫽ a冪2
2
a
⫹ 共 21 a兲 2
A
BM 2 ⫽ 2a 2 ⫹ 41 a 2
a
B
figuur 4.23
BM 2 ⫽ 94 a 2 Dus BM ⫽ 冪94 a 2 ⫽ 1 12 a.
De lengte van zijvlaksdiagonaal BD is a 2.
Afspraak
Herleid antwoorden met wortels zo ver mogelijk.
146 Hoofdstuk 4
getal & ruim mte op getal & ruimte kun je rekenen
tweede fase 3 vwo
01010
Dit is een uitgave van getal & ruimte en Multiple Choice. Hij is bestemd voor leerlingen in 3 havo en 3 vwo, die vanaf september 2007 wiskunde in de nieuwe Tweede Fase gaan volgen. De folder is ontwikkeld door auteurs van de EPN-methoden getal & ruimte en Multiple Choice. Auteurs: Wijnand Rietman, Frits van Leeuwen Ontwerp en vormgeving: Studio Ciro Acampora, Gorinchem