UNIVERSITI SAINS MALAYSIA Peperiksaan Semester Pertama Sidang 1991/92 Ok tober/November 1991 MAK 110 Kalkulus dan Aliabar Linear Masa :
jam]
Arahan: Soalan I dan II mesti dijawab di dalam kertas komputer OMR yang disediakan. Soalan I I I mesti dlJawab di dalam buku jawapan. Kedua-duanya mesti diserah berasingan. Soalan I.
1.
Bagi setiap masalah berikut, pilih jawapan yang paling sesuai. Yang lain bermakna semua jawapan yang disediakan tidak sesuaL (100/100)
Diberi
x + y +·z +
Maka (a)
2.
(-~ ~) ,
A
(b)
8
B
= (;
~)
(e)
9
(d)
11
T
(a)
2x2
(e)
yang lain
Diberi
(b)
A
=
10
(e)
(a)
Diberi a
;;: j ij
(a)
(b)
61
2
A = (a
- i.
= 62
ij
)
(~
B
=
~). (e)
(~ ~) Maka .63
yang lain
masing-masing.
=
(e)
2x3
(~ ~),
2
(~ ~).
=
Diberl A, B, C ialah matriks 2x4, 4x3 dan 3x3
A + A + BA + B
4.
B - 2A
W =
Maka peringkat AS ( CBT ) (AT) 2 ialah
3.
dan
(d)
2x4
3x4
dan x + y + z + w
(d)
64
(e)
= yang lain
ialah matriks SxS yang pemasukannya
Maka pemasukan (2, 4) dari 2A - AT lalah (b)
4
(e)
6
(d)
8
(e)
yang lain
... 2/-
6~l
- 2 -
S.
Diberi a
i j
=
(a)
A = (a
i
) ialah matriks 3x3 yang pemasukannya
Maka pemasukan (2, 3) dari AA
- j.
a
i j
[MAK 110]
(b)
1
(c)
T
ialah
2
(d)
3
(e)
yang lain
2
(d)
3
(e)
yang lain
1
R (-3)
6.
Maka (a)
7.
(~ ~). _~2_ _~
Diberi
x + y + z + w 0
Diberi
8.
(a) (e)
9.
Maka
=
(b)
(e)
2
(-; ~r
1
(b)
31
(d)
4
(~ ~) .
Maka
1 31
(el
(e)
6
yang lain
x + y + z + w 1 13
= 1 13
(d)
yang lain
'(E
Diberi ad J (a)
10.
a
Diberi
(e)
~)
A
x + y + z + w (a)
1
(b)
1
Diberi
1 2
1
(-3)E 2 E1
2
(b)
(2») = (x Z
(c)
~). (d)
3
Maka
+
w
-1
(e)
yang lain
z
+ W
yang
:=
l~in
Maka
=
3
(b)
Ca)
+ y +
(e)
4
[(~ ~] (~ ~) (~ ~)r = (~ ~).
x + y + z
x
4
(e)
1
2
(d)
1
4
... 3/-
70
~
11.
Diberi
ll
[a
3 -
1
b
2
e h
1
(MAK 110]
~).
Maka
a + b + c + d + e + f + g + h + i = (a)
14.
(b)
2 p P
12.
13.
1
P al')
2
-1
(b)
[i
32 1
3~) [ X; J
(a)
1
(b)
1
(c)
[000 J
2
(~
A
3
(d)
adalah singular.
(a)
Diberi
(c)
(c)
~).
2
4
4
(e)
-2
(e) yang lain
Y+ z
=
4
(e)
Maka P
2
(d)
bermakna
3
X
+
(d)
AX
(~)
tak konsisten
(b)
AX
(~)
mempunyai penyelesaian unik
(e)
AX
(
yang lain
Maka
(a)
= ~
yang lain
'aD ) mempunyal. penye l esalan '
yang
tak
terhingga
banyaknya.
15.
Cd)
pangkat (A)
(e)
pangkat (AA
~iberl
A=
T
=
2
)
=
(~
penyelesaian unik.
3
~)
1 k
1
dan
AX
[
Maka
(a)
k
(c)
k
(e)
A adalah singular
2
~
mempunyai
J
(b)
k = -2
(d)
pangkat A <. 3
... 4/-
71
~
16.
17.
A( ~ 1 =
Diberi
(
~
[MAK 110]
~
1 (A adalah matriks
(a)
A tak singular
(e)
A
(e)
b.e.b.t dari A ialah I
2
4
+ A = I
2x2).
(b)
pangkat A = 2
(d)
IAI =
Maka
0
2
'Salah satu pernyataan berikut (mengenai M.B.P.) adalah benar (a)
(b)
tak si.ngular
(e)
(d)
(e)
lEI - I I :F 0 2
1 0 0 0 0
E (4) 5
18.
19.
1
2
2 3
3 1
(a)
81
(e)
yang lain
(a)
2 (h)
2
5
1
3 1
ElE (4)E 1 2 2
I -81
(e)
1~
(d)
-18
(e)
yang lain
(6)U:3 ~l (b)
6
(e)
7
(d)
8
... 5/-
72
- 5 -
20.
Diberi
2
ab b2
: 2 a _
IAI
(c)
A tak singular
(e)
yang lain
(a)
ee)
Maka
= 0
(b)
IAI
(d)
b.e.b.t darL A
= abc (a-b) (b-e) (c-a)
= 13
Markah mungkin ditolak jika salah menjawap soalan hingga soalan 25.
Diberi
X
22.
= [a
(a)
. Perhatian:
21.
A
[MAK 110]
A
(~).
(g
!
~]
maka
x
+ y +
=
5
(b)
7
dan
z
5
= (
).
Jika
o (e)
7
~
21
(d)
7
5"
yang lain
e+d
d+a
a+b
b+e
b+d
a+e
a+c
b+d
a+b e+d
b+a d+a
b+d a+c
a+c b+d
(a)
(a + b + c + d) (a + b -
c + d) (a -
c) (b + d)
(b)
(a + b + c + d)(a -
b + e - d)(a -
c}(b + d)
(e)
(a + b + c + djea + b - c + d)(a + e)(b - d)
(d)
(a + b + c + ·d) (a -
(e)
yang lain
b + e - d) (a + c) (b - d)
... 6/-
73
- 6 -
23.
24.
4
A adalah matriks 3x3, A * I, A penyelesaian unik. Maka 2
(a)
A
(e)
IA - I I
(e)
yang lain
(b)
+ A = I =
3
[~
Sistem persamaan
(a)
(b)
1.
Diberi
A=
(d)
-1
'5
2
(c)
[~ -3~ ~J3
Soalan II:
AX = AX
Maka salah
(e)
21
tak konslsten.
k +
(d)
3
dan
(b)
[~J
1
4
2
[~J
IA I
,...3
1
B mempunyai
A + I tak singular
2
tak terhingga banyaknya. ialah
(a)
2
A dan AX
(d)
Maka k
25.
[MAK 110J
4
(e)
yang lain
mempunyai penyelesaian suatu
penyelesaiannya
nJ yang lain
Bagi setiap masalah berikut pilih jawapan yang paling sesuai yang bermakna semua jawapan yang disediakan tidak sesuai. (lOa/lOa)
-1 < x < a
26.
lSi:
[(x)
x
1 - cos x
(a)
had
x <
0
:::;
IT
.s x <
2
Tl
2
Maka
Tl
[(x) tak wujud.
Tl
x -
2
=a
(b)
f(x) tak selanjar pada x
(c)
[(x) tak terbezakan pacta (-I, rr) ... 1/-
74
- 7-
27.
(d)
f(x) bukan fungsi pada (-I,
(e)
yang lain
had x 3 (a)
28.
x
2
- 9 x - 3
3
?
::::
(b)
. fg'
-3
(d)
(b)
2
(d)
['
(e)
y
cos x sin x
:=:
Maka
- sin x ----
cos
(e) 2
(a)
Maka (f/g)' = . (c)
2
+ fig
fg '
2
g.
.-
1 2
(c)
1 ~--
2
- cos x
X
1 ---2
sin x had x a
y'
cos
1
(d)
yang lain
yang lain
(b)
X
(e)
-6
fig + fg' g
g:
Diberi (a)
31.
6
(c)
fig
-
g
30.
1l)
f dan gadalah fungsi terbezakan.
Ca)
29.
[MAK 110]
-sin x
1 - cos x
x 0
Diberi
2
(b)
y
=
x
4
(c)
1
- 4x
3
.
(d)
2
3
(e)
yang lain
Maka
(a)
(0, 0) adalah titik maksimum
(b)
(0,
(c)
(0, 0) adalah :ti tik lengkok balas
(d)
0, -3) adalah titik maksimum
(e)
yang lain
0) ada.lah titik maksimum
... 8/-
75
- 8 -
32.
(a)
33.
(d)
36.
37.
(b)
1
[' (1)·
(c)
2
(d)
-1 +
v'5
(b)
2
1 + 2
IS
(e)
-1
c
(e)
3
(O~
E
1) .
V5
g-
(b)
ec)
9
yang lain
Maka
x
1 + 2
IS
(c)
2
yang
yang lain
Diberi 1 + 21 adalah suatu penyelesaian bagi z Maka a + b = (a)
35.
0
Maka
2 x [(x) = (x - x)e bagi semua x terjamin oleh teorem Rolle ialah
(a)
34.
rex) = xx.
Diberi
[MAK 110]
(d)
10
11
3
+ az + b =
(e)
a
yang lain
Bentuk (r, 8) bagi -1 2 . ialah + 1
[COS -3n:-
Ca)
v'2
(e)
V2 [-cos
(e)
yang lain
Jika
z
4
~~
= cos e
(a)
2 sin
(d)
~2
e
cos e
. . 3n:]
+ 1 SIn - -
(4
. . 3rr]
+ .1 SIn -4.
+ i
sin e,
[3R
(b)
-.f2
(d)
12 [-cos ~7[
maka
Z + Z
COS ~ -
2
(e)
yang lain
(c)
2
_
3R]
sin ~
. . 43"]
1 SIn
-1
cos e
(b)
i
(C)
-2 sin 9
(e)
yang lain
f"/2 sin 2x dx
o (a)
0
(b)
(d)
3
... 9/-
76
- 9 -
[MAK 110J
2
38.
eX dx
J
x
(a)
e
(d)
e
3 2
3
+ c
X
(b)
2xe
(e)
yang lain
+
c
(e)
e
x
2
+ e
2
39.
X
log x + e
I .
SIn 2 x dx 3
(a)
sin x --3- + c
(e)
cos x -3- + c
(e)
yang lain
(b)
2 sin x cox x + e
(d)
2:
3
40.
r
x
+
sin 2x
+
4
c
2 x + 1 -~-
1
x
+
dx
0
(a)
2 log 2 -
(c)
-
(e)
yang lain
e
41.
I
1
2
1
-
2
log 2 - 2
lO~3x
(b)
2 log 2
(d)
1 2
(d)
-4
1
+ -
2
log 2 '+ 2
dx
1 (a)
1
(b)
1
-
2
(e)
1
-
3
1
(e)
yang lain
... 10/-
77
-
42.
10 -
3x + 2
Diberi
[MAK 110·]
A
+
~-~-~~----
(2x -
1)2(3 -
x)
1)2
(2x
B
?x -
+
1
C 3 -
X
Maka
(A, B, C)
43.
(a)
[ 5'7
22 11 ) 25' 25 '
(b)
(c)
[ 5'
-22 !~ 25' 2S
(d)
r
7
)
-7 [ 5' [ ~, 22
~)
22 25' 25
25'
~) 2S
X2 e- , ~x=
0
44.
2 + -
5 e
(b)
2
(d)
2 5 - e
(e)
yang lain
rr
(b)
2rr
(c)
31l
12 Zrr
(d)
(b)
(d)
(e)
Perhatian:
2 S + e
(c)
e
Luas· permukaan yang dijanakan bila ialah (a)
46.
-;-
Panjang lengkungan sikloid x = 1 + sin di antara e = a dan 9 = 4rr ialah (a)
45.
S
(a)
X
e~
y
1 - cos
4rr
= cos
yang latn
(e) 3
t,
e
=
y
(c)
yang lain
Markah mungkin ditolak jika salah menjawab soalan hin a soalan 50.
46
rr/2_2__d_X_
Jo
(a)
+ cos x
1l
(b)
3V3 (d)
-rr
3yj
-3n
(e)
V3
(c)
31l
V3
yang lain . ... 11/-
78
- 11 -
1
(a)
48.
49.
50.
Jika
=
(a)
cos
n-1
(c)
-cos
(e)
yang lain
had
x-+O
[
(a)
a
a
(c).
1 4
3
I cos
In
r
1
(b)
2
n
dx, maka
X
nl + (1 n
X
sin x
1
(b)
1
·2
(c)
x sin x
J[
2
1
(e)
5
- nJ I
n-2 n-1
(b)
sin
(d)
-sin
(d)
3
yang lain
= x cos x
n-1
cos x
X
:2 ]
2
sin x
(b)
(e)
(penggantian x
- - - - - - dx 2 1 + cos x
(a)
(d)
x sin x
n-1
[MAK 110]
2
T[
T[
(c)
2
3
2
Cd)
J[
J[
-
yang lain
y)
2
4
(e)
yang lain
Soalan III 1.
A :::::
Diberi
(
a
3 5 3
6
1 ) 0
4
a
Ca)
adj A
(b)
IAI
(c)
A- 1
(d)
A (adjA) =
(e)
b.e.b.t bagi AT :::::
(f)
I 4adj ( - 2A) I
Isikan tempat kosong berikut.
J
2
= ---_._~_
..
. .. 12/-
[MAK 1010]
- 12 -
(g)
(adj A)X =
6
~
x
-
00000000
80
-
