No title

Pendugaan Parameter 7

Debrina Puspita Andriani www.debrina.lecture.ub.ac.id E-mail : [email protected] / [email protected]

2

Outline Pendahuluan Pendugaan Titik Pendugaan Interval Pendugaan Parameter: Kasus 1 Sampel Rataan Populasi Pendugaan Parameter: Kasus 1 Sampel Proporsi Pendugaan Parameter: Kasus 2 sampel saling bebas & berpasangan selisih rataan dua populasi

Pendugaan Parameter: Kasus 2 Sampel Selisih 2 Proporsi www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

3

Pendahuluan (1) www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Pendahuluan (2)

4

•  Pendugaan adalah proses yang menggunakan sampel statistik untuk menduga atau menaksir hubungan parameter populasi yang tidak diketahui. •  Pendugaan merupakan suatu pernyataan mengenai parameter populasi yang diketahui berdasarkan informasi dari sampel random yang diambil dari populasi bersangkutan. •  Pendugaan = Penaksiran •  Penduga adalah suatu statistik (harga sampel) yang digunakan untuk menduga suatu parameter. Dengan penduga, dapat diketahui seberapa jauh suatu parameter populasi yang tidak diketahui berada di sekitar sampel (statistik sampel) •  Secara umum, parameter diberi lambang θ dan penduga diberi lambang xxx www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

5

Pendahuluan (3) Kriteria penduga yang baik

 Tidak bias   Efisien   Konsisten

Populasi : Parameter Sampel : Statistik Statistik merupakan PENDUGA bagi parameter populasi PENDUGA à TAK BIAS DAN MEMPUNYAI RAGAM MINIMUM

www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

6

Pendahuluan (4) STATISTIK merupakan PENDUGA bagi PARAMETER

Dua jenis pendugaan parameter

TARGET

PENDUGA TITIK PENDUGA SELANG

Penduga titik tidak selalu tepat menduga parameter populasi maka digunakan pendugaan dalam bentuk selang interval Dalam setiap pendugaan mengandung PELUANG kesalahan


penduga selang à konsep probability à SELANG KEPERCAYAAN (CONFIDENCE INTERVAL) 25/07/15

7

Pendugaan Titik (1) ¡  Pendugaan tunggal atau titik (point estimate) ialah pendugaan yang terdiri dari satu nilai saja. ¡  Memberikan nilai yang kemungkinan besar berbeda dari nilai parameter yang sebenarnya.

TARGET


PENDUGA TITIK

25/07/15

Pendugaan Titik (2)

8

x


25/07/15

Pendugaan Titik (3) Satu Populasi

Dua Populasi

µ

p σ2

x

pˆ

s

9

2

µ1 − µ 2

σ p1 − p2 σ

x1 − x2

pˆ1 − pˆ 2 s

2 1 2 2

2 1 2 2

s


25/07/15

10

Pendugaan Interval (1) •  Pendugaan tunggal yang terdiri dari satu angka tidak memberikan gambaran mengenai berapa jarak/selisih nilai penduga tersebut terhadap nilai sebenarnya. •  Jika kita menginginkan suatu pengukuran yang obyektif tentang derajat kepercayaan kita terhadap ketelitian pendugaan, maka kita sebaiknya menggunakan pendugaan interval (interval estimation). Pendugaan ini akan memberikan nilai-nilai statistik dalam suatu interval dan bukan nilai tunggal sebagai penduga parameter. •  Pendugaan interval (selang) : pendugaan berupa interval, dibatasi dua nilai (batas bawah dan batas atas) •  Pendugaan interval : interval kepercayaan atau interval keyakinan (confidence interval) yang dibatasi oleh batas keyakinan atas (upper confidence limit) dan batas keyakinan bawah (lower confidence limit) •  U n t u k m e m b u a t p e n d u g a a n i n t e r v a l h a r u s ditentukan terlebih dahulu koefisien keyakinan atau tingkat keyakinan yang diberi simbol 1 - α www.debrina.lecture.ub.ac.id

TARGET

PENDUGA TITIK PENDUGA SELANG 25/07/15

Pendugaan Interval (2)

11

< www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (1) Misalnya : 1 - α

12

= 0,90 α = 0,10 = 10 %.

α/2

= 0,05

jadi Zα/2 = Z 0,05 = (Z⏐P = 0,5 - α/2) = Z 0,5 – 0,05 = Z0,45 = 1,645 (lihat Tabel Normal). Misalnya : 1- α = 0,98

dan n = 25

α = 0,02 α/2 = 0,01 jadi tα/2 ; v = tα/2 ; n – 1 = t 0,01 ; 25 –1 = t 0,01 ; 24 = 2,492 ( lihat tabel Distribusi t).


25/07/15

Koefisien Keyakinan atau Tingkat Keyakinan (2)

13

169) = 0.99


25/07/15

14

Menaksir Rataan

Pendugaan Titik untuk Rataan Populasi

Penduganya

µ

x 2 σ 2 s = x σ2 n cenderung akan menjadi penduga µ yang amat tepat, jika n (ukuran sampel) besar www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

15


25/07/15

16


25/07/15

17


25/07/15

18


25/07/15

CONTOH

19

Lihat di tabel dengan nilai 1-0,025 =0,9750 à z = 1,96 www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

CONTOH

20

Dari soal sebelumnya, tentukan selang kepercayaan 99% untuk rataan nilai matematika semua mahasiswa tingkat sarjana

sebelumnya


25/07/15

21


25/07/15

22

Pendugaan Parameter:

Kasus Satu Sampel Rataan Populasi


25/07/15

23

µ

σ2

Rataan x contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi µ s2 merupakan penduga tak bias bagi σ2

x s2

1.96 σ

1.96 σ

x

x

µ SAMPLING ERROR www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

24

Dugaan Selang Syarat :

Tidak

kondisi σ2

diketahui

σ2 diduga dengan s2

x − tα 2( n−1) diketahui

x − zα 2

σ n

< µ < x + zα 2


σ n

s n

< µ < x + tα 2( n−1)

s n

Berlaku juga untuk sampel kecil (n < 30)

25/07/15

Contoh

25

Survei dilakukan terhadap 20 RT disuatu kota untuk menduga besarnya rata-rata biaya pendidikan (juta Rp/thn/RT). Datanya diperoleh sebagai berikut: RT

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Biaya (juta Rp)

2,30

4,50

4,00

5,00

3,80

7,20

6,25

5,75

6,70

7,80

RT

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Biaya (juta Rp)

6,80

5,30

8,00

15,10

13,20

4,50

2,00

4,70

5,75

10,10

a.  b. 

Dugalah rata-rata biaya pendidikan per RT per tahun Buatlah selang kepercayaan 95%, asumsikan biaya pendidikan mengikuti sebaran normal.


25/07/15

Penyelesaian a. 

26

Penduga rata-rata biaya pendidikan

µˆ = x = 6.44 Nilai s Dicari dari rumus

b. 

Selang kepercayaan 95%

S2= Σ(xi – xbar)2 / n-1

sx = s / n = 3,275422 / 20 = 0,732407 t(0,05 / 2;db=19) = 2,093 6,44 − 2,093x0,732 ≤ µ ≤ 6,44 + 2,093x0,732 4,905 ≤ µ ≤ 7,970 www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

27


Kasus Satu Sampel Proporsi


25/07/15

Proporsi pˆ contoh merupakan PENDUGA tak bias bagi P

p

pˆ

1.96 σ pˆ

28

1.96 σ pˆ

p SAMPLING ERROR www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Dugaan Selang / interval

29

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p Sampel Besar

pˆ − zα 2

pˆ (1 − pˆ ) < P < pˆ + zα 2 n

pˆ (1 − pˆ ) n

Sampel Kecil

pˆ − t(α 2;n−1) www.debrina.lecture.ub.ac.id

ˆ ˆ ˆ ˆ p(1− p) p(1− p) < P < pˆ + t(α 2;n−1) n n 25/07/15

30

Contoh Dari sampel dengan n = 100 mahasiswa PTS “ABC”. Ternyata 25 mahasiswa memiliki IPK ≥ 3. Buatlah dugaan untuk proporsi mahasiswa PTS “ABC” yang memiliki IPK ≥ 3 dengan interval keyakinan 95%.

Penyelesaian :

Interval duga: p(0,206 < P < 0,335) www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

31


Kasus Dua sampel saling bebas

Selisih rataan dua populasi


25/07/15

32

µ1 - µ2

x1 − x2

1.96σ x

1 − x2

1.96σ x

1 − x2

µ1-µ2 SAMPLING ERROR www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Dugaan Selang Syarat :

33

diketahui

σ1 2 & σ2 2

( x1 − x2 ) − zα

2

σ 12 σ 22 σ 12 σ 22 + < µ1 − µ2 < ( x1 − x2 ) + zα + 2 n1 n2 n1 n2

Tidak diketahui sama σ1 2 & σ2 2

Formula 1

Tidak sama Formula 2 www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

a. Formula 1: Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan sama:

34

1 ⎞ 1 ⎞ 2 ⎛ 1 2 ⎛ 1 ⎜⎜ + ⎟⎟ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + tα 2 ( v ) s gab ⎜⎜ + ⎟⎟ ( x1 − x2 ) − tα 2 ( v ) s gab ⎝ n1 n2 ⎠ ⎝ n1 n2 ⎠ s

2 gab

(n1 − 1) s12 + (n2 − 1) s22 = dan v = n1 + n2 − 2 n1 + n2 − 2

b. Formula 2: Jika σ1 dan σ2 tdk diketahui dan diasumsikan tidak sama: ( x1 − x2 ) − tα 2 ( v )

⎛ s12 s22 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ < µ1 − µ 2 < ( x1 − x2 ) + tα 2 ( v ) ⎝ n1 n2 ⎠

⎛ s12 s22 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ n1 n2 ⎠

2

v=

⎡⎛ s 2 ⎞ 2 ⎢⎜ 1 n ⎟ 1 ⎠ ⎢⎣⎝

2 ⎛ s12 ⎞ s 2 ⎜ n + n ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎤ ⎡⎛ s 2 ⎞ 2 (n1 − 1)⎥ + ⎢⎜ 2 n ⎟ 2 ⎠ ⎥⎦ ⎢⎣⎝


⎤

(n2 − 1)⎥ ⎥⎦

Note: Berlaku juga untuk sampel kecil 25/07/15

35

Contoh Interval Kepercayaan Selisih Rata-Rata Populasi (σ diketahui) Dua buah mesin A dan B dibandingkan dlm konsumsi BBMnya. Random sampling mesin A sejumlah 50 dan B sejumlah 75 dipakai. Ternyata rata-rata konsumsi BBM mesin A adalah 36 mil/galon dan mesin B 42 mil/galon. Carilah interval kepercayaan 96% bagi μB- μA bilamana diketahui standard deviasi populasi bagi A= 6 mil/galon dan B = 8 mil/galon


25/07/15

Penyelesaian

36

Diket. XsA=36, XsB = 42; nA=50 dan nB =75. σA=6 dan σB=8 Interval kepercayaan 96% bagi μB- μA :

( xB − xA ) − z0.02

σ A2 nA

+

σ B2 nB

< ( µ B − µ A ) < ( xB − xA ) + z0.02

σ A2 nA

+

σ B2 nB

64 36 64 36 (42 − 36 ) − 2.05 + < ( µ B − µ A ) < (42 − 36 ) + 2.05 + 75 50 75 50 3.43 < μB- μA < 8.57 . Jadi beda rata2 konsumsi BBM antara mesin A dan mesin B berkisar antara 3.43 sampai 8.57 mil/galon www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Latihan

37

Dua buah perusahaan yang saling bersaing dalam industri kertas karton saling mengklaim bahwa produknya yang lebih baik, dalam artian lebih kuat menahan beban. Untuk mengetahui produk mana yang sebenarnya lebih baik, dilakukan pengambilan data masing-masing sebanyak 10 lembar, dan diukur berapa beban yang mampu ditanggung tanpa merusak karton. Datanya adalah :

¡ 

Persh. A

30

35

50

45

60

25

45

45

50

40

Persh. B

50

60

55

40

65

60

65

65

50

55

Dugalah beda kekuatan karton kedua perusahaan dengan selang kepercayaan 95%


25/07/15

38


Kasus dua sampel berpasangan Selisih rataan dua populasi


25/07/15

Ditimbang kondisi awal : bobot kelinci

Diberi pakan tertentu

Ditimbang kondisi akhir : bobot kelinci

39

Setelah periode tertentu

Perubahan akibat pemberian pakan : selisih bobot akhir – bobot awal www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Dugaan Selang

40

µd Selang kepercayaan (1-α)100% bagi µd

d − tα 2 ( n−1)

sd sd < µ D < d + tα 2 ( n −1) n n


d

25/07/15

Contoh


41

25/07/15

42

Contoh d2 25 64 4 144 25 4 64 1 36 25

Jumlah:


- 16

392

25/07/15

Penyelesaian


43

25/07/15

44


Kasus Dua sampel

Selisih dua proporsi


25/07/15

45

p 1 - p2

pˆ1 − pˆ 2

1.96σ

pˆ 1 − pˆ 2

1.96σ

pˆ 1 − pˆ 2

p1-p2 SAMPLING ERROR www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

Dugaan Selang

46

Selang kepercayaan (1-α)100% bagi p1 - p2 Sampel Besar ( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα 2

pˆ1 (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) pˆ (1 − pˆ1 ) pˆ 2 (1 − pˆ 2 ) + < P1 − P2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα 2 1 + n1 n2 n1 n2

Sampel Kecil ( pˆ1 − pˆ 2 ) − tα 2;n1+n2−2

pˆ1 (1− pˆ1 ) pˆ 2 (1− pˆ 2 ) pˆ (1− pˆ1 ) pˆ 2 (1− pˆ 2 ) + < P1− P2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + tα 2;n1+n2−2 1 + n1 n2 n1 n2


25/07/15

Contoh

47

BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (D1 dan D2) untuk mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan persentase tersebut. Di daerah D1 dan D2 masing-masing dilakukan wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan apakah mereka setuju KB atau tidak. Dari D1 ada 90 orang dan dari D2 ada 78 orang yang setuju KB. Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah tersebut,dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.


25/07/15

48

Penyelesaian ^ X1 90 X 2 78 p1 = = = 0, 75, p 2 = = = 0, 65 n1 120 n2 120 ^

^

^

p1 − p 2 = 0, 75 − 0, 65 = 0,10 ( pˆ1 − pˆ 2 ) − zα 2

pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2 pˆ1qˆ1 pˆ 2 qˆ2 + < p1 − p2 < ( pˆ1 − pˆ 2 ) + zα 2 + n1 n2 n1 n2 0,25

0,25

0,1 – 1,64 (0,059) < (P1 – P2) < 0,1 + 1,64 (0,059) 0,003 < (P1 – P2) < 0,197 www.debrina.lecture.ub.ac.id

25/07/15

No title

Recommend Documents