Sztochasztikus modellek az egészségbiztosításban
Diplomamunka Írta: Márton Anikó alkalmazott matematikus szak Témavezet®k: Mályusz Károly, vezet® aktuárius Cardif Életbiztosító Zrt. és Arató Miklós, bels® konzulens Valószín¶ségelméleti és Statisztika Tanszék
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010
Tartalomjegyzék 1. 2. 3.
Bevezetés Jelölések Irodalmi áttekintés 3.1. Jackson hálózatok 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.1.4.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A nyílt hálózat: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A zárt hálózat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szeminyílt hálózatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A hálózat átereszt®képessége . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Egyéb tulajdonságai a Jackson hálózatoknak . . . . . . . . . . . . . . .
4. 5. 6.
7. 8.
A modell Aktuális helyzet Magyarországon Adatok elemzése
6.1. Eloszlások illesztése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. A modell vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Összegzés Függelék
3 4 6 6
6 9 10 11 11
13 15 16 21 24
32 34
1. fejezet - Bevezetés A napjainkban létez® Irányított Betegellátási Rendszer (IBR)-rel mindenki találkozhat, akinek valamilyen egészségügyi problémája van. A betegeket egyik helyr®l a másikra küldik, minden helyen várakoznia kell, általában nem is olyan keveset. Minél többet vár valaki, annál valószín¶bb, hogy a várakozásából következ®en akár maradandó egészségkárosodása is származik. Már próbálták számszer¶síteni az orvosilag megengedhet® maximális várakozási id®t egyes beavatkozások kapcsán. Azonban még ezek a felmérések sem vizsgálták azt, hogy mire valaki beutalót kap, addig menynyi id® telik el. Ennek vizsgálata nagyon bonyolult és összetett lenne, viszont ezen számszer¶sített adatok segítséget nyújthatnak nekünk is. Nyilvánvaló, hogy a nem egészséges emberek komoly veszeteséget okoznak a gazdaságnak, nem csak amiatt, hogy nem termelnek, de az ellátásuk is pénzbe kerül. Illetve, ha egy családban van egy beteg ember, akkor a család többi tagjának termel®képességét is befolyásolja. Tehát az lenne az érdekünk, hogy egy beteg ember minél hamarabb felépüljön. Persze a szükségtelenül elvégzett vizsgálatok is nagy veszteséget okoznak, így meg kellene találnunk a középutat. A diplomamunkám során azt vizsgálom, hogy ha valaki megbetegszik és orvoshoz kell mennie, akkor mire meggyógyítják összességében mennyi id®t tölt a különböz® vizsgálatokra várva. Az egészség megóvása szempontjából az lenne a legel®nyösebb, ha minél kevesebbet kellene várakozni. A rendszer modellezésére a Jackson hálózatok elméletét használtam fel.
3
2. fejezet - Jelölések A sorbanállás elméletében van néhány fontos jelölés, amelyeket Kendallféle jelölésnek neveznek. A sorbanállási modellek alapvet® tulajdonságait foglalja össze. Általánosan az alábbi képlettel írhatjuk le a modelleket: A/B/m/n
• A
a beérkezési id®közök eloszlása
• B
a kiszolgálási id®k eloszlása
• n
a kiszolgáló eszközök száma
• m
a várakozási helyek száma
Ha az m egy véges szám, akkor azt úgy képzelhetjük el, hogyha kevesebben állnak a sorban, mint m akkor az új belép® beáll a sorba, de ha már m igény várakozik, akkor tisztán elutasítják az új belép®t. Gyakran az m-et nem is írják ki, ekkor feltételezésünk szerint végtelen sok várakozási helyünk van. Az eloszlásokhoz pedig az alábbi jelöléseket használjuk: • M
exponenciális eloszlás
• Er r • D
-ed rend¶ Erlang eloszlás
konstans
általános (tetsz®leges azonos eloszlású id® telik el a két belépés között)
• G
4
Az alábbiakban ismertetett modellben végig M/M/1-es rendszereket képzelünk a csomópontokba. Ez els® megközelítésre kényelmes, hiszen az exponenciális eloszlást jól ismerjük, és örökifjú tulajdonsága miatt könny¶ vele számolni aszimptotikusan is. Amennyiben a beérkezések között exponenciális id® telik el, akkor Poisson folyamatot kapunk, amivel szintén egyszer¶bb számolnunk. Általában a belépés intenzitását λ-val, a kiszolgálás intenzitását pedig μvel szokás jelölni. Ezekkel a jelölésekkel a jelöli a forgalmi intenzitást, amelyet az el®bbiekb®l így kaphatunk meg: = μλ . Az egynél nagyobb forgalmi intenzitás azt jelenti, hogy az igények gyorsabban érkeznek, mint ahogy egy kiszolgálóegység ki tudja szolgálni. Egy csomópont esetén az átereszt®képességet a következ® minimum határozza meg: min {λ, mμ}
5
3. fejezet - Irodalmi áttekintés 3.1. Jackson hálózatok
A Jackson hálózatok a sorbanállási feladatoknak egy speciális típusával foglalkoznak, amely tipust úgy képzelhetünk el, hogy van J darab csomópontunk és a t -edik id®pontban xi (t) munkafolyamat található az i edik csomópontban. Összességében α paraméter¶ Poisson folyamat szerint érkeznek az igények. A kiszolgálási folyamat pedig μi paraméter¶ Poisson folyamat ∀i-re, ahol i = 1, ..., J .Legyen továbbá P = (pij ) ∀ i, j = 1; ...; J , ahol pij jelöli annak a valószín¶ségét, hogyha egy munkafolyamat befejez®dik i-ben, akkor j -be megy át. Az el®bb leírt modellnek két változatát ismertetem: a nyílt hálózatot és a zárt hálózatot, majd megmutatom a kétféle modell közti kapcsolatot. 3.1.1. A nyílt hálózat
A beérkez® folyamat független, α-Poisson, a p0j 0 valószín¶ségi változó annak a valószín¶ségét jelöli, hogy amikor az új igény belép a rendJ szerbe, az a j -edik csomópontba kerül és p0j = 1. Ekkor a csomóponj=1 tokba beérkez® folyamat αp0j paraméter¶ Poisson. Amikor egy igény kiszolgálása befejez®dött i-ben, két dolog történhet: pij valószín¶séggel J a j csomópontba megy át a folyamat és pi0 = 1 − pij valószín¶séggel j=1 elhagyja a rendszert. Jelölje λi az összes i csomópontba beérkez® igény intenzitását, amit felírhatunk az alábbi módon: λi = αp0i +
J j=1
6
λj pji , i = 1, ...J.
Ezt mátrixokkal kifejezhetjük a T
λ=a+P λ
alakban, ahol λ =. (λi),és a =. (αp0i) a P mátrixunk pedig szubsztochasztikus, ebb®l pedig következik az alábbi egyenlet: λ = (I − P T )−1 a
Legyen Xi(t) a t id®pontban az i csomópontban tartózkodó igények száma, μi (xi ) jelöli az i-edik csomópontban jelenlev® xi darab igény kiszolgálási intenzitását. Az egyszer¶ség kedvéért elhagyjuk az id®t. Ekkor egy Markovlánchoz jutunk az alábbi intenzitásokkal: q(x, x + ei ) = αp0i q(x, x − ei ) = μi (xi )pi0 q(x, x − ei + ej ) = μi (xi )pij
ahol ei jelöli az i-edik egységvektort. Jelölje π(x) = P [X = x] az egyensúlyi eloszlást. π(x) az alábbi egyensúlyi egyenlettel egyértelm¶en van meghatározva:
7
π(x) = +
J i=1
J
[αp0i + μi (xi )(1 − pii )] =
[π(x − ei )αp0i + π(x + ei )μi (xi + 1)pi0 ] +
i=1 J
i=1j=i
π(x + ei − ej )μi (xi + 1)pij
Ez ∀ x ∈ ZJ+-re igaz, valamint az is meg gyelhet®, hogy a fenti egyenlet a π T Q = 0 egyenlet sorról sorra történ® felírása, ahol π jelöli π(x), x ∈ ZJ+ t és Q a belép®k intenzitás mátrixa és q(x, y) megfelel az x csomópontból y csomópontba érkez® igények intenzitásával, ahol az y a fentiek alapján de niált. Az alábbi tétel összekapcsolja az x = ( x1 . . . xJ ) vektort az Y = (Y1 . . . YJ ) vektorral, amely elemei független valószín¶ségi változók. Az Yi eloszlása a következ®: λni P (Yi = n) = P (Yi = 0) · Mi (n)
(1)
ahol Mi(n) = μi(1) · . . . · μi(n) n = 1, 2, . . . és feltételezzük, hogy λ M (n) < ∞, így P (Yi = 0) jól de niált. n i
n=1
i
∞ λni P (Yi = 0) = 1 + Mi (n) n=1
−1
Yi a munkák száma egy születési-halálozási folyamat egyensúlyi állapotában
(λi születési arány, μi(n) halálozási arány)
8
Tegyük fel, hogy teljesül (1) ∀ i Jackson hálózat egyensúlyi eloszlása 3.1 Tétel:
π(x) =
J
= 1 . . . J,
ekkor a nyílt
P (Yi = xi )
i=1
∀x∈
ZJ+
, ha Yi eloszlására teljesül
∞ n=1
λni Mi (n)
< ∞.
3.1.2. A zárt hálózat
Sok alkalmazásban a munkák összszámát egy konstans szinten tartják fent, legyen ez mondjuk N . Amikor egy igény kiszolgálása befejez®dött az összes lehetséges pontban és elhagyja a rendszert, akkor azonnal belép egy újabb igény. Erre a rendszerre úgy is tekinthetünk, hogy az igény a csomópontok között bolyong és soha nem hagyja el és soha nem lép be új igény és ebben a tekintetben tekinthetjük ezt a hálózatot zártnak. A zárt hálózat átmenetvalószín¶ség mátrixa sztochasztikus, azaz a sorösszeg 1. A nyílt hálózat jelölésével a pi0 = p0j = 0 ∀ i, j = 1, . . . , J . Feltesszük, hogy (rij )Ji,j irreducibilis, mert ekkor minden pontból minden pontba el tudunk jutni véges id®n belül pozitív valószín¶séggel. Jelölje J (vi )Ji=1 a vi = vj pji , i = 1, . . . , J megoldását. Ahhoz, hogy egyértelm¶ j=1
J
legyen a megoldás kell még egy feltétel: vi = v, az egyszer¶ség kedvéért i=1 legyen v = 1. Így {vi : i = 1, . . . , J} lényegében egyensúlyi eloszlása egy diszkrétidej¶ Markov-láncnak, amely átmenetvalószín¶ség mátrixa (rij )Ji,j és az i-edik csomópontba belép® igények intenzitása N vi, amely a nyílt modellben a λi-nek felel meg. Az egyensúlyi egyenlet is nagyon hasonló, csak most α = 0 és pi0 = p0j = 0 ∀ i, j = 1, . . . , J .
9
Tehát az egyenlet az alábbi: π(x)
J
μi (xi )(1 − pii ) =
i=1
J
π(x + ei − ej )μi (xi + 1)pij
i=1 j=i
teljesül ∀ x ∈ ZJ+-re, amelyekre | x |= N , ahol | Hasonlóan de niálhatjuk | X |-et és | Y |-et.
. x | = x 1 + . . . + xJ
.
A zárt Jackson hálózatnak az egyensúlyi eloszlása N munkadarab szám esetén a következ®: ∀ x ∈ ZJ+ és | x |= N esetén 3.2. Tétel:
J P (Yi = xi ) π(x) = P (| Y |= N ) i=1
ahol Yi eloszlása ugyanaz mint a nyílt esetben (1), xi vi -t írunk. Megjegyzés:
≤N
és λi helyére
A π(x) nevez®je a normalizálási feltételb®l jön.
3.1.3. Szeminyílt hálózatok
Ez a modell gyakorlatilag általánosítja az eddig ismertetett modelleket. A modellt úgy kell elképzelni, mint a nyílt modellt egy kivétellel, hogy legfeljebb K igény lehet jelen egyszerre a rendszerben, ezt nevezhetjük egy K hosszú buernek. Ezt a szeminyílt hálózatot könnyedén tudjuk zárt hálózattá redukálni, csak fel kell venni egy J +1. pontot, és feltesszük, hogy a hálózatban mindig K igény van jelen. Legyen ez a pont 0-nak indexelve, ekkor a nyílt hálózatnál használt jelöléssel p0i és pj0 ebb®l a pontból indul és ebbe lép be. A 0. pont kiszolgálási intenzitása μ0(i) = α ∀ i ≥ 1-re és μ0 (0) = 0. Ez utóbbi pedig azt jelenti, hogyha a K nagyságú buer tele van, akkor nem szolgál ki újabb igényt. A szeminyílt hálózat egyensúlyi eloszlása nagyon hasonlít a zárt modellben találhatóra. A szeminyílt Jackson hálózatnak az egyensúlyi eloszlása legfeljebb K munkadarab szám esetén a következ®: ∀ x ∈ ZJ+ és | x |≤ K 3.3. Tétel:
10
esetén
J P (Yi = xi ) π(x) = P (| Y |≤ K) i=1
ahol Yi eloszlása ugyanaz mint a nyílt esetben (1), xi ≤ K és λi helyére
vi -t írunk.
3.2. A hálózat átereszt®képessége Az i-edik pont átereszt®képességéhez ki kell számolnunk az alábbi várható értéket:
T Hi (N ) = E(μi (xi )) = vi ·
P (|Y |=N −1) P (|Y |=N )
Az egész hálózat átereszt®képességét pedig így lehet de niálni:
T H(N ) =
J
T Hi (N )
i=1
3.3.1. A Jackson hálózatok egyéb tulajdonságai Q. Gong, K. K. Lai, S.Wang cikke alapján az áteresztöképesség néhány tulajdonságát vizsgáljuk:
1. Az átereszt®képesség
T H(N ) N -ben növekv®, ha minden i pontra a
kiszolgálási intenzitás μi (n) egy monoton növ® függvény, ahol N a rendszerben szerepl® összes igény száma. 2. Egy zárt hálózatban tegyük fel, hogy minden pont kiszolgálási intenz-
itása monoton növ® függvény. Ekkor növelve a kiszolgálási intenzitást 11
a pontok egy részhalmazán (mondjuk jelöljük B -vel) növelni fogja a munkák egyensúlyi számát az összes csúcsnál, amelyek nincsenek B ben. 3. Vegyük a többkiszolgálós pontokat
B -ben. Azáltal, hogy csökkentjük
a kiszolgálók számát amellett, hogy fenntartjuk a maximális kiszolgálási kapacitást, növeljük a rendszer átereszt®képességét. 4. Egy zárt Jackson hálózatban hozzunk létre egy csoportot (legyen B ),
amelyben csak azok a pontok vannak, ahol több kiszolgáló egység is található. Azáltal hogy helyettük egy darab egy kiszolgálós pontot iktatunk be, növeljük a hálózat átereszt®képességét.
12
4. fejezet - A modell Kardiológia
Röntgen Szakorvos 1.
Szakorvos 2. EKG
Ultrahang START
Műtét
6.1.
ábra: a hálózat
A fenti ábrán látható az általam feltételezett modell. A beteg lehetséges bolyongását írja le a rendszerben, onnantól kezdve, hogy a szakorvoshoz id®pontot kap. Az els® pont a START állapot, amelyb®l indul ki nyíl illetve mutat bele. Ennek annyi a jelent®ssége, hogy egy zárt Jackson hálózatot feltételezünk, amelyb®l ténylegesen nem léphet ki igény, illetve nincs belép® igény sem és a rendszerben jelen lév® igények száma mindig állandó. Gyakorlatilag ennek a pontnak a hozzáadásával egy tetsz®leges nyitott hálózatból zárt hálózat készíthet®. A szakorvos lehet®ségei: elegend® valamilyen gyógykezelés, nincs szükség további vizsgálatra, ekkor elhagyja rendszert, azaz a START állapotba kerül. Amennyiben szükséges valamilyen vizsgálat elvégzése, akkor a lehetséges továbblépési irányok a kardiológia, röntgen, ekg, ultrahang. Ezután a Szakorvoshoz visszakerülhet a beteg, ha szükséges valamilyen vizsgálat, illetve kerülhet a Szakor13
vos2 csomópontba is. A Szakorvos2 a gyakorlatban ugyanaz a sorbanállási csomópont mint a Szakorvos, de ha már ide eljut a beteg, akkor már csak 2 döntési lehet®sége marad az orvosnak: vagy a vizsgálatok alapján nem szükséges m¶teni, esetleg nem lehet m¶teni egyéb egészségügyi probléma miatt, vagy el®jegyzi m¶tétre. A m¶tét után pedig a beteg elhagyja rendszert. Egy beteg a szakorvoshoz csak háziorvosi beutalóval tud eljutni, ezt azonban nem vizsgáltam, hogy mennyit kell sorbanállnia a háziorvosnál a betegnek, mivel általában napokban számolva jelentéktelen ez az id®.
14
5. fejezet - Aktuális helyzet Magyarországon Az Egészségbiztosítási Felügyelet honlapján megtalálható elemzés szerint a várakozási id®k az elmúlt id®szakban az alábbi ábra szerint alakultak: 500
Szürkehályog műtétei
450
Mandula-, orrmandulaműtét
400 350
Térdprotézisműtét
300 Csípőprotézis-műtét 250 200
Gerincstabilizáló műtétek, gerincdeformitás műtétei
150
PTCA; Coronaria stent beültetés
100 50
6.2.ábra:
2008
október
november
szeptember
július
augusztus
május
június
április
március
január
február
december
október
november
szeptember
július
augusztus
május
2007
június
április
december
0
2009
várakozási id®k alakulása Magyarországon
Mint ahogy az ábrán is látható a legnagyobb várakozási id®re a gerincstabilizáló, gerincdeformitás m¶tétnél kell számolni, a legkevesebbre pedig a szürkehályog, PTCA, mandula-, és orrmandulam¶tét esetén kell várakozni. Én a közepes tartományba es® eseteket kezdtem el vizsgálni, azaz a térdprotézism¶téteket, illetve csíp®protézis-m¶téteket. Példának a Szegedi Tudományegyetem Szent-Györgyi Albert Klinikai Központ honlapja által szolgáltatott adatokat kezdtem vizsgálni, de itt csak a m¶tétekre találtam adatot, a m¶téteket megel®z® vizsgálatokhoz nem. A m¶tét el®tt vizsgálatokhoz az adatot a Mohács Város Kórháza honlapjáról szedtem. A várólisták mindig frissülnek, én a március 17-én fent lév® adatokkal számoltam. 15
6. fejezet - Adatok elemzése A rendelkezésemre álló adatok alapján elvégeztem néhány vizsgálatot. Az alábbi táblázatban látható adatok azért szükségesek, hogy össze lehessen hasonlítani a kanadai adatokkal. átlag minimum maximum medián Kardiológia 134,4390244 57 357 140 Röntgen 24,08823529 0 98 8 EKG 60,42011834 23 216 67 Ultrahang 70,77314815 0 216 72 Csíp®protézis m¶tét 180,2741935 14 388 182 6.1. táblázat: várakozási id® Magyarországon
150 100 50 0
nap
200
250
300
Várakozási idő
Kardiológia
Röntgen
EKG
6.3.ábra 16
Ultrahang
Műtét
A fenti 2. ábrán azt láthatjuk, hogy az adataim hogyan helyezkednek el a mediánhoz viszonyítva. Csak a röntgen esetén fordul el®, hogy a medián a mintának az alsó felében helyezkedik el. Ez azt jelenti, hogy a mediánnál lév® betegnek elég keveset kell várakoznia. A kanadai elemzés arról szól, hogy mennyi az orvosilag megengedett maximális várakozási id® és milyen jelleg¶ gazdasági következményei vannak, ha valaki hosszabb ideig beteg. Orvosilag megengedett maximális várakozási id® Csíp®protézis m¶tét 182 Szürkehályog m¶tét 112 Coronaria stent beültetés 42 MRI 30 6.2. táblázat: kanadai adatok mediánra
Amint a táblázatokból kiolvasva is látható, a Magyarországon a várólista mediánján lév® beteg pont eléri az orvosilag ajánlott maximális várakozási id®t (kanadai számítások alapján). Ez azt jelenti, hogy jelenleg még éppen határon belül vagyunk, azonban az 1. ábra alapján 2008 okóberében ez a várakozási id® elérte országosan a 300 napot is. Összevetve a kanadai táblázattal, ahol a tartományok között a maximális érték 161, a magyarországi adat már nem t¶nik olyan jónak. Az adatok elemzéséhez el®ször egy hisztogram segítségével megnéztem, hogy egyáltalán milyen eloszláshoz hasonlíthat. Az ábrán azt láthatjuk, hogy hány olyan nap (y tengelyen) van, amikor x igény jelentkezik. Látható az x tengelyen nagy érték is, ennek oka, hogy csak olyan listához juthatunk hozzá, hogy hányan várakoznak jelenleg, és ®k mikor kerültek fel a listára. Vannak olyanok, akik csak kés®bbre kapnak id®pontot és van aki korábbra. Így a jelenlegi rendszerben mindig kevesen vannak, akik régen jelentkeztek (mondjuk annyira kiritkul, hogy úgy t¶nik, mintha aznap csak 1 ember jelentkezett volna), de dátum szerint soknak t¶nik. Viszont az olyan napok ritkán és kevés számban fordulnak el®, amikor sokan jelentkeznek. 17
A következ® hisztogrammokon a bejöv® igények intenzitását láthatjuk: EKG
0
0
10
5
20
10
15
gyakoriság
40 30
gyakoriság
20
50
25
60
70
30
Kardiológia
5
10
15
20
25
30
0
5
10
15
beteg érkezés/nap
beteg érkezés/nap
Röntgen
Ultrahang
20
10
15
gyakoriság
8 6
5
4
0
2 0
gyakoriság
20
10
25
12
30
14
0
1
2
3
4
5
6
7
8
beteg érkezés/nap
0
2
4
6
8
beteg érkezés/nap
18
10
12
14
0
5
gyakoriság
10
15
Műtét
1
2
3
4
5
6
7
beteg érkezés/nap
6.4.ábra:
beérkezések
A kiszolgálás intenzitásának hisztogramjai pedig a következ® ábrákon látható: EKG
10
gyakoriság
40 30
5
20
0
10 0
gyakoriság
50
15
60
70
20
Kardiológia
1
2
3
4
5
6
7
8
beteg kiszolgálás/nap
0
2
4 beteg kiszolgálás/nap
19
6
8
Ultrahang
0
0
2
5
4
10
15
gyakoriság
8 6
gyakoriság
20
10
25
12
30
14
Röntgen
0
2
4
6
8
10
12
0
2
beteg kiszolgálás/nap
4
6
8
10
12
beteg kiszolgálás/nap
20 0
10
gyakoriság
30
40
Műtét
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
3.0
beteg kiszolgálás/nap
6.5.
ábra: kiszolgálások
A kiszolgálás intenzitásra felrajzolt hisztogrammokon azt láthatjuk, hogy milyen gyakran fordult el® az, hogy egy napon x embert szolgáltak ki. Az adatok, amelyekhez hozzájutottam nem teljesen fedik le a valóságot, ugyanis el®fordulhatnak olyan esetek, amikor a várólista rövidül, például valakinek az állapota hirtelen romlik és szükséges a beavatkozás azonnali elvégzése. 20
6.1. Eloszlások illesztése
A konkrét várólistákról szerzett adatok alapján az R statisztikai programcsomag segítségével megvizsgáltam, hogy az adatok milyen eloszlásra illeszkednek. A következ® eloszlásokat vizsgáltam: •
Exponenciális eloszlás: Az eloszlások közül az egyik legkedveltebb örökifjú tulajdonsága miatt. Az X valószín¶ségi változó λ paraméter¶ exponenciális eloszlású, ha eloszlásfüggvénye: FX (x) =
⎧ ⎨
0
⎩ 1 − e−λx
x≤0 x>0
Várható értéke és szórása pedig a következ®: EX = λ és D2X = λ2 •
Pareto eloszlás: az X valószín¶ségi változó (α, β) paraméter¶ Paretoeloszlású, ha eloszlásfüggvénye: FX (x) =
⎧ ⎨
0
⎩ 1 − ( β )α β+x
x≤0 x>0
A Pareto-eloszlást gyakran alkalmazzák t¶zbiztosítások modellezéséhez, mivel a várható értéke csak α > 1-re, a szórásnégyzete pedig csak β , ha α > 1és D2X = (α−1)αβ(α−2) α > 2-re véges: EX = α−1 2
2
•
Lognormális eloszlás: az X valószín¶ségi változó (μ, σ2) paraméter¶ normális eloszlású, lognormális, ha logaritmusa (μ, σ2) paraméter¶ 2 tehát a s¶r¶ségfüggvénye fX (x) = σx√1 2π exp − 12 ( lnx−μ A várható σ ) értéke és szórásnégyzete pedig: EX = exp(μ + σ 2 /2), D2 X = exp(2μ + σ 2 ) exp(σ 2 ) − 1 21
Az el®bbiekben felírt eloszlások s¶r¶ségfüggvényeit láthatjuk az ábrán kirajzolva. 1
0,8
0,6 • Pareto • exponenciális • lognormális 0,4
0,2
0
1
2
x
3
4
6.6.
5
ábra: eloszlások
El®ször megvizsgáltam, hogy normális eloszlás illeszkedik-e az adataimra. A fenti hisztogrammok alapján elutasítottam ennek lehet®ségét. Következ® megközelítésben exponenciális eloszlásra illesztettem, mivel a modell jelenleg exponenciális eloszlású beérkezési illetve kiszolgálási intenzitással tud számolni. A vizsgálathoz a legnépszer¶bb módszert, a χ2-próbát használtam. Az adatok 95%-os megbízhatósággal elfogadhatóak, ahol ezt megtehettük. Az alábbi táblázatban összefoglalom, hogy melyik adatra milyen eredmény jött ki: belépési intenzitás kiszolgálási intenzitás Kardiológia exp(0,204) nem exponenciális Röntgen exp(0,441) exp(0,441) EKG exp(0,284) nem exponenciális Ultrahang exp(0,282) nem exponenciális M¶tét exp(0,355) nem exponenciális 6.3. táblázat: exponenciális illesztés
22
A fenti táblázat alapján a belépési intenzitásokból származó adataim szépen illeszthet®ek exponenciális eloszlásra, amelyhez a paramétert az átlaggal becsültem. Azonban a kiszolgálási intenzitásnál nem kaptam ilyen szép eredményt. Azon adatokra, amelyek nem illeszkednek exponenciális eloszlásra, további vizsgálatokat végeztem. Sorrendben a következ® a Pareto-eloszlás illesztése: a paraméterek becsléhez az adatokból számítható tapasztalati szórást, illetve tapasztalati várható értéket használtam. Ezekkel kifejezve az α illetve a β paraméterek becslései a következ®képpen néznek ki: 2D2 X α ˆ = D2 X − (EX)2 EX · (D2 X + (EX)2 ) ˆ β = D2 X − (EX)2
A hisztogrammok alapján a kardiológiára és az EKG adatsorra biztosan nem fog illeszkedni egyik felsorolt eloszlás sem. Így a χ2 statisztikát elegend® megnézni a m¶tétekb®l, illetve az ultrahangokból származó adatokra. A ultrahangból származó adatokra azt mondhatjuk a χ2 statisztika alkalmazásával, hogy nagy biztonsággal Pareto eloszlású, α = 2, 62 és β = 6, 15 paraméterekkel. A m¶tétekb®l származó adatokra pedig negatív α illetve β paramétereket kaptam, így ezek sem lesznek Pareto eloszlásúak. 3 adatsorra nem sikerült eloszlást illesztenem, a m¶tét, kardiológia és EKG adatsorokra. Az továbbiakban feltesszük, hogy mind a várakozási, mind a kiszolgálási id®k exponenciális eloszlásúak, méghozzá az átlagból meghatározott paraméterrel. Az el®z® vizsgálatok szerint ez nem teljesen jogos, de modellünk alkalmazásához kénytelenek vagyunk ezt a feltételezést megtenni. 23
6.2. A modell vizsgálata
A modellt az R statisztikai program és egy pdq elnevezés¶ csomag segítségével építettük fel. A felípítés során nem tudunk elágazó hálózatot megadni, zárt hálózatokra kellett felbontani a modellünket. Nem tekintettem az összes lehetséges zárt hálózatot, ugyanis számunkra nem lényeges a m¶tétre várakozás szempontjából az, ha elegend® a betegnek gyógyszeres kezelés, illetve az is érdektelen eset számunkra, ha valamely vizsgálatot követ®en kiderül, hogy nem szükséges, avagy nem lehet megm¶teni. Valamint nem tekintettem azt az esetet sem, amikor még további vizsgálat is szükséges. Tehát tekinthetünk ezekre a zárt hálózatokra úgy is, mintha már csak egy vizsgálat elvégzése szükséges a m¶tét el®tt. Ezek alapján négy zárt hálózatot képeztem, az alapján, hogy mely paraméterek befolyásolják a hálózat átereszt®képességét. Továbbá feltettem, hogy annak a valószín¶sége, hogy egy beteg melyik zárt hálózatba kerül, az egyformán valószín¶. Ez azt jelenti, hogy mind a négy hálózatra feltételezem, hogy a zárt hálózatokra jellemz® jelen lév® igények száma N = 200. Tehát a négy irányított kör a következ®: 1. START → Szakorvos 1. → Kardiológia → Szakorvos 2. → M¶tét → START 2. START → Szakorvos 1. → Röntgen → Szakorvos 2. → M¶tét → START 3. START → Szakorvos 1. → EKG → Szakorvos 2. → M¶tét → START 4. START → Szakorvos 1. → Ultrahang → Szakorvos 2. → M¶tét → START
24
Az alábbi ábrán látható az els® zárt hálózat: Kardiológia
Szakorvos 1.
Szakorvos 2.
START
6.7.
Műtét
ábra: 1. zárt hálózat
Az eredeti modellel összevetve az ábrán látható hálózatot, egy irányított kört alkot az eredeti modellben. Eme zárt hálózatot modellezve az alábbi átereszt®képességet kapjuk:
0.14 0.12 0.10 0.06
0.08
Áteresztőképesség X(N)
0.16
1. zárt t hálózat
0
50
100
150
200
N igény
6.8. ábra: az 1. zárt hálózat átereszt®képessége
25
A gra kon x tengelyén azt láthatjuk, ha az igények számát növeljük egészen 200-ra, amely az igények feltételezett állandó száma, hogyan változik az átereszt®képesség, amely azt adja meg, hogy egységnyi id® alatt hány igényt tud kiszolgálni a hálózat. Az y tengelyen a kiszolgált emberek számát láthatjuk. Az átereszt®képesség monoton növ®, de meglehet®sen gyorsan konvergál 0.17-hez. Ha növeljük a kiszolgáló egységek számát, akkor lassabban éri el a maximumát. Az ábrán alig látható, azonban a kék szaggatott vonal mellett halad egy szürke szaggatott vonal, amely az optimális igények számát jelenti. N. J. Gunther szerint az optimális igények száma körülbelül a kiszolgáló pontok száma körül mozog. Ez magyarázat arra, hogy az el®bbi és a következ® gra konokon is miért nem látható a szaggatott vonal. Tekintsük a 2. zárt hálózatot, illetve az átereszt®képességét: Röntgen
Szakorvos 1.
Szakorvos 2.
START
6.9.
Műtét
ábra: 2. zárt hálózat
26
0.16 0.14 0.12 0.10 0.08
Áteresztoképesség X(N)
0.18
2. zárt hálózat
0
50
100
150
200
N igény
6.10.
ábra: a 2. zárt hálózat átereszt®képessége
A 3. és 4. zárt hálózat ábráját, illetve átereszt®képességét az alábbi ábrán láthatjuk. Röntgen
Szakorvos 1.
Szakorvos 2.
START
Műtét
6.11. ábra: 3. zárt hálózat
27
0.16 0.14 0.12 0.10 0.08
Áteresztőképesség X(N)
0.18
3. zárt hálózat
0
50
100
150
200
N igény
6.12.ábra:
a 3. zárt hálózat átereszt®képessége
Ultrahang
Szakorvos 1.
Szakorvos 2.
START
Műtét
6.13. ábra: 4. zárt hálózat
28
0.16 0.14 0.12 0.10 0.06
0.08
Áteresztőképesség X(N)
0.18
4. zárt hálózat
0
50
100
150
200
N igény
6.14.
ábra: a 4. zárt hálózat átereszt®képessége
Ha egy gra konon nézzük a görbéinket jól látható, hogy csak egy jelent®sen eltér® görbe van.
0.10 0.05 0.00
Áteresztőképesség X(N)
0.15
0.20
Zárt hálózatok
0
200
400 N igény
29
600
800
6.15.
ábra: A zárt hálózatok átereszt®képessége
0.6 0.5 0.4 0.3
Áteresztőképesség X(N)
0.7
Ha a zárt hálózatok átereszt®képességét összeadjuk, az irodalmi áttekintésben található leírás alapján ezt nyugodtan megtehetjük, az alábbi átereszt®képességet kapjuk:
0
200
400
600
800
N igény 6.16. ábra: a modell átereszt®képessége
Amint az ábrán láthatjuk, valamivel 0.7 felett éri el a telítettségét a hálózat. A fenti ábra azt jelenti, hogy a négy zárt hálózat által meghatározott modellünknek összesen mennyi az átereszt®képessége. Vizsgáljuk most azt az esetet, amikor növeljük a kiszolgáló helyek számát. Amint a gra konon is látható, ha megduplázzuk, avagy megnégyszerezzük a kiszolgáló egységek számát, az átereszt®képesség maximumát csak jelent®sen lassabban éri el. 30
0.5 0.4 0.3 0.2 0.0
0.1
Áteresztőképesség X(N)
0.6
0.7
Kiszolgáló helyek növekedése
0
50
100
150
200
N igény
A fenti ábra alapján azt mondhatjuk, hogy a várakozási id® csökkentésének érdekében indokolt lenne a kiszolgáló egységek számának növelése, mivel jelent®sen javulna a rendszerünk a betgek szempontjából.
31
7. fejezet - Összegzés A diplomamunkám során a magyar egészségügy vizsgálatával foglalkoztam, a betegek szempontjából vizsgáltam a jelenlegi rendszert. A modellezéshez a Jackson hálózatok modelljét választottam, mivel ez felel meg legjobban az elvárásainknak. A 2. fejezet a Jackson hálózatok elméleti áttekintésével foglalkozik, majd miután bemutattam a különböz® változatokat, a zárt modell mellett döntöttem. Ezt követ®en a rendelkezésemre álló magyar adatokat kezdtem el vizsgálni, összevetve egy kanadai felméréssel. A modell felépítéséhez szükséges volt eloszlás illesztése az adatsorra, majd a paraméterek vizsgálata. A felépített modellben megvizsgáltam, hogy amennyiben minden csomópontban csak egy kiszolgálóegység található, hogyan változik az átereszt®képesség. Ezt követ®en azt is meg vizsgáltam, hogyan változna az átereszt®képesség, ha növelnénk a kiszolgáló helyek számát. A kés®bbiekben érdekes lehet megvizsgálni az adatokat azokra az eloszlásokra, amelykre sikerült illeszteni, illetve tovább optimalizálni a rendszert, hogy a betegeknek ne kelljen a vizsgálatokkal együtt sem többet várakozni, mint amennyi az orvosilag indokolt maximum.
32
Köszönetnyilvánítás Ezúton szeretném megköszönni témavezet®imnek, Arató Miklósnak és Mályusz Károlynak, hogy szakdolgozatom elkészüléséhez hozzájárultak szakmai tudásukkal, tanácsaikkal. Mályusz Károlynak, hogy már szeptembert®l kezdve foglalkozott velem, és ötleteivel segített a megfelel® irányba terelni.
33
8. fejezet - Függelék
#Eloszlás illesztése #Kardiológia kardio1 <- matrix(adat1[[2]],ncol=1,byrow=T) kardio<-kardio1[1:99] intervallum <- c(inter1<-kardio[1:32], inter2<-kardio[33:55], inter3<-kardio[56:72], inter4<-kardio[73:84], inter5<-kardio[85:94], inter6<-kardio[95:99]) atlag<-c(mean(inter1), mean(inter2), mean(inter3), mean(inter4), mean(inter5), mean(inter6)) elmeleti1 <- 99*(1-exp(-kardio[32]/mean(intervallum))) elmeleti2 <- 99*(1-exp(-kardio[55]/mean(intervallum)))-elmeleti1 elmeleti3 <- 99*(1-exp(-kardio[72]/mean(intervallum)))-elmeleti2-elmeleti1 elmeleti4 <- 99*(1-exp(-kardio[84]/mean(intervallum)))-elmeleti3-elmeleti2-elmeleti1 elmeleti5 <- 99*(1-exp(-kardio[94]/mean(intervallum)))-elmeleti4-elmeleti3-elmeleti2elmeleti1 elmeleti6 <- 99*(1-exp(-kardio[99]/mean(intervallum)))-elmeleti4-elmeleti5-elmeleti3elmeleti2-elmeleti1 elmeleti<-elmeleti<-c(elmeleti1, elmeleti2, elmeleti3, elmeleti4, elmeleti5, elmeleti6) gyakorisag<-c(32, 22, 17, 12, 10, 5) egy<-((elmeleti[1]-gyakorisag[1])^2)/gyakorisag[1] ketto<-((elmeleti[2]-gyakorisag[2])^2)/gyakorisag[2] harom<-((elmeleti[3]-gyakorisag[3])^2)/gyakorisag[3] negy<-((elmeleti[4]-gyakorisag[4])^2)/gyakorisag[4] ot<-((elmeleti[5]-gyakorisag[5])^2)/gyakorisag[5] hat<-((elmeleti[6]-gyakorisag[6])^2)/gyakorisag[6] khi<-egy+ketto+harom+negy+ot+hat khi #Átereszt®képességet mér® függvény clients =800 stime<-5.2 think=0 node1="Szakorvos" node2="Kardiologia" node3="Rontgen" node4="EKG" node5="Ultrahang" node6="Szakorvos2" node7="Mutet" kardio="w" #de niálom a 4 zárt hálózat paramétereit xc<-0 34
yc<-0 for (i in 1:clients) { Init("") CreateClosed(kardio, TERM, as.double(i), think) CreateNode(node1, CEN, FCFS) CreateNode(node2, CEN, FCFS) CreateNode(node6, CEN, FCFS) CreateNode(node7, CEN, FCFS) SetDemand(node1, kardio, 5.2) SetDemand(node2, kardio, 5.85) SetDemand(node6, kardio, 5.2) SetDemand(node7, kardio, 1.2) Solve(APPROX) xc[i]<-as.double(i) yc[i]<-GetThruput(TERM, kardio) nopt1<-GetLoadOpt(TERM, kardio) } xd<-0 yd<-0 for (i in 1:clients) { Init("") CreateClosed(rontgen, TERM, as.double(i), think) CreateNode(node1, CEN, FCFS) CreateNode(node3, CEN, FCFS) CreateNode(node6, CEN, FCFS) CreateNode(node7, CEN, FCFS) SetDemand(node1, rontgen, 5.2) SetDemand(node3, rontgen, 2.26) SetDemand(node6, rontgen, 5.2) SetDemand(node7, rontgen, 1.2) Solve(APPROX) xd[i]<-as.double(i) yd[i]<-GetThruput(TERM, rontgen) nopt2<-GetLoadOpt(TERM, rontgen) } xe<-0 ye<-0 for (i in 1:clients) { Init("") CreateClosed(ekg, TERM, as.double(i), think) CreateNode(node1, CEN, FCFS) CreateNode(node4, CEN, FCFS) CreateNode(node6, CEN, FCFS) CreateNode(node7, CEN, FCFS) SetDemand(node1, ekg, 5.2) 35
SetDemand(node4, ekg, 4.31) SetDemand(node6, ekg, 5.2) SetDemand(node7, ekg, 1.2) Solve(APPROX) xe[i]<-as.double(i) ye[i]<-GetThruput(TERM, ekg) nopt3<-GetLoadOpt(TERM, ekg) } xf<-0 yf<-0 for (i in 1:clients) { Init("") CreateClosed(ultrahang, TERM, as.double(i), think) CreateNode(node1, CEN, FCFS) CreateNode(node5, CEN, FCFS) CreateNode(node6, CEN, FCFS) CreateNode(node7, CEN, FCFS) SetDemand(node1, ultrahang, 5.2) SetDemand(node5, ultrahang, 3.78) SetDemand(node6, ultrahang, 5.2) SetDemand(node7, ultrahang, 1.2) Solve(APPROX) xf[i]<-as.double(i) yf[i]<-GetThruput(TERM, ultrahang) nopt4<-GetLoadOpt(TERM, ultrahang) } x<-xc+xd+xe+xf y<-yc+yd+ye+yf plot(x, y, type="l", xlim=c(0,800), lwd=2, xlab="N igény", ylab="Átereszt®képességX(N)") title("Zárt hálózatok") abline(0, 1/(nopt1*stime), lty="dashed", col="blue") abline(v=nopt1, lty="dashed", col="gray50") abline(1/stime, 0, lty="dashed", col="red")
36
Hivatkozások Fundamentals of Queueing Networks: Performance, Asymptotics, and Optimization, Springer (2001)
[1] Hong Chen, David D. Yao:
[2] The Centre for Spatial Economics:
Canada
The economic cost of wait times in
(2008)
[3] Qiguo Gong,
K. K. Lai,
Shouyang Wang:
Supply chain networks:
Closed Jackson network models and properties (2007)
[4] http://ebf.hu/letoltes/varolista/vlista_stat_2009_nov_v1.0.pdf
[5] http://www.szote.u-szeged.hu/medcentrum/centrum/index.php?option=com _wrapper&Itemid=139
[6] http://www.mohacskorhaz.hu/OUTPUT/varolista.html
[7] N.
J.
Gunther:
Analyzing
Computer
Perl::PDQ (2005)
37
System
Performance
with
