No title

iv

Prakata Selamat, kalian telah naik ke kelas XII Program Ilmu Pengetahuan Sosial (IPS). Tentunya hal ini menjadi kebanggaan tersendiri bagi kalian. Semoga kalian terpacu untuk berpikir lebih dewasa lagi. Meskipun sudah naik ke kelas XII, kalian tidak boleh lupa. Ingat, tantangan yang akan kalian hadapi di kelas ini tidaklah ringan. Kalian harus betul-betul semangat dalam menggapai apa yang kalian cita-citakan. Untuk itu, kalian harus terus rajin belajar, gigih, dan pantang menyerah. Buku ini akan setia membantu kalian dalam menggapai cita-cita. Buku ini disusun dengan urutan penyajian sedemikian rupa sehingga kalian akan merasa senang untuk mendalaminya. Dalam pembelajarannya, buku ini menuntut kalian untuk aktif dan bertindak sebagai subjek pembelajaran. Kalian dituntut untuk mengonstruksi, mengeksplorasi, dan menemukan sendiri konsep-konsep matematika sehingga kalian akan menjadi orang yang betul-betul kompeten secara matang, khususnya di bidang matematika. Di kelas XII Program IPS ini, kalian akan mempelajari materimateri berikut: • Integral • Program Linear • Matriks • Barisan dan Deret Penulis berharap semoga buku ini dapat membantu kalian dalam mempelajari konsep-konsep matematika. Akhirnya, semoga kalian berhasil dan sukses. Solo, Februari 2008 Penulis

Diunduh dari BSE.Mahoni.com

v

Daftar Isi Prakata ........................................................................... Daftar Isi ........................................................................

iii iv

Semester 1 Bab I

Integral A. Pengertian Integral sebagai Invers Diferensial ................. B. Integral Tak Tentu ............................................................. C. Integral Tertentu ................................................................ D. Pengintegralan dengan Substitusi ..................................... E. Integral Parsial (Pengayaan) ............................................. F. Penggunaan Integral ......................................................... Rangkuman .............................................................................. Latihan Ulangan Harian I ........................................................

Bab II

Program Linear A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel .................... B. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Program Linear ........................................................ C. Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya ............................................................................... Rangkuman .............................................................................. Latihan Ulangan Harian II .......................................................

Bab III

3 4 11 17 19 21 29 30

35 40 45 57 58

Matriks A. Pengertian Dasar tentang Matriks ..................................... B. Kesamaan Dua Matriks..................................................... C. Operasi pada Matriks dan Sifat-Sifatnya .......................... D. Balikan atau Invers Matriks .............................................. E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear ........................ Rangkuman .............................................................................. Latihan Ulangan Harian III ..................................................... Latihan Ulangan Umum Semester 1 .......................................

65 72 74 90 101 109 110 114

vi Semester 2 Bab IV

Barisan dan Deret A. Notasi Sigma ..................................................................... 121 B. Barisan dan Deret ............................................................. 127 C. Deret Khusus dan Deret Geometri Tak Berhingga ........... 149 D. Penggunaan Barisan dan Deret ......................................... 157 E. Deret dalam Hitung Keuangan ......................................... 159 Rangkuman .............................................................................. 167 Latihan Ulangan Harian IV ..................................................... 168 Latihan Ujian Nasional ............................................................ 171 Daftar Pustaka ............................................................... 177 Lampiran ........................................................................ 179 Glosarium ...................................................................... 187 Indeks Subjek ................................................................ 188 Kunci Soal-Soal Terpilih ............................................... 189

Integral

Bab

I

1

Integral

Sumber: Ilmu Pengetahuan Populer 2, 1999

Motivasi

Apabila suatu laju perubahan fisik dinyatakan dalam sebuah grafik, luas bidang di bawah lengkungan grafik mempunyai arti khas. Luas itu menyatakan keseluruhan nilai yang berada di antara grafik dan sumbu mendatar tepat di bawah grafik. Luas bidang di bawah lengkungan itu tidak dapat ditentukan dengan metode aljabar, tetapi dapat ditentukan dengan integral tertentu. Teknik untuk menentukan luas bidang di bawah lengkungan itu disebut pengintegralan. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. merancang aturan integral tak tentu dari aturan turunan; 2. menghitung integral tak tentu dari fungsi aljabar; 3. menjelaskan integral tentu sebagai luas daerah di bidang datar; 4. menghitung integral tentu dengan menggunakan integral tak tentu; 5. menghitung integral dengan rumus integral substitusi; 6. menggambarkan suatu daerah yang dibatasi oleh beberapa kurva; 7. merumuskan integral tentu untuk luas suatu daerah; 8. menghitung integral yang yang menyatakan luas suatu daerah.

2

Mmt Aplikasi SMA 3 IPS

Peta Konsep Integral mempelajari

Integral Tak Tentu

Integral Tertentu

membahas

untuk menentukan

Luas Bidang Datar

Integral Fungsi Aljabar diselesaikan dengan

Rumus Dasar Integral

Integral Substitusi

Integral Parsial

Kata Kunci • • • •

batas atas batas bawah diferensial diferensiabel

• • • •

fungsi primitif integral integral parsial integral tak tentu

• integral tertentu • integran • persamaan keluarga kurva

Integral

3

Pembahasan mengenai kalkulus integral erat kaitannya dengan kalkulus diferensial. Walaupun secara historis kalkulus integral lebih dahulu ditemukan, dalam mempelajari kalkulus terasa lebih mudah jika dimulai dengan mempelajari kalkulus diferensial, kemudian kalkulus integral. Materi tentang hitung diferensial pernah kalian pelajari di kelas XI. Demikian pula dengan materi limit. Pemahaman yang baik tentang materi-materi tersebut akan sangat membantu dalam mempelajari pokok bahasan ini. Secara umum, integral dapat diartikan dalam dua macam. Kedua arti integral itu adalah sebagai berikut. a. Secara aljabar, integral merupakan invers operasi pendiferensialan. Coba ingat kembali, apa diferensial itu? b. Secara geometri, integral menunjukkan luas suatu daerah. Kedua pengertian di atas akan kita pelajari dalam pembahasan integral berikut ini. Pembahasan itu, antara lain pengertian integral, integral tak tentu, integral tertentu, dan beberapa penggunaan integral. Sebelum mempelajari bab ini, jawablah soal-soal berikut. Uji Prasyarat 1. 2. 3.

Kerjakan di buku tugas

Diketahui f(x) = 2x2 – 9x. Tentukan f'(x). Sebutkan suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi f'(x) = 3x. Ada berapa fungsi? Gambarlah kurva f(x) = 2x2 dan f(x) = 3x + 1 dalam satu koordinat Cartesius. Kemudian, arsirlah daerah yang berada di antara kedua kurva itu.

Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkan ke materi berikut.

A. Pengertian Integral sebagai Invers Diferensial Misalkan f adalah fungsi turunan dari fungsi F yang kontinu pada suatu domain. Untuk setiap x terletak pada domain tersebut, berlaku F'(x) =

dF ( x) = f(x) dx

Pengertian ini telah kita pelajari pada kalkulus diferensial. Misalnya, jika F(x) = x2 maka F'(x) = f(x) = 2x F(x) = x2 – 4 maka F'(x) = f(x) = 2x F(x) = x2 + 2 maka F'(x) = f(x) = 2x F(x) = x2 + c maka F'(x) = f(x) = 2x (c adalah suatu konstanta)

4


Dari kenyataan tersebut, timbul pertanyaan bagaimanakah menentukan fungsi F sedemikian rupa sehingga untuk setiap x anggota domain F, berlaku F'(x) = f(x)? Suatu operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F merupakan invers dari operasi derivatif. Invers dari operasi derivatif disebut integral. Integral disebut juga antiderivatif atau antiturunan. Pada contoh di atas, jika F(x) adalah integral dari f(x) = 2x, maka F(x) = x2 + c, dengan c suatu konstanta real.

B. Integral Tak Tentu 1. Pengertian Integral Tak Tentu Integral fungsi f(x) ditulis dengan notasi 0 f ( x ) dx , yaitu

Tes Mandiri

operasi yang digunakan untuk menentukan fungsi F sedemikian


dF ( x ) = f ( x ) , untuk setiap x pada dx domainnya. Perhatikan kembali subbab A. Pada pembahasan itu dijelaskan berapapun nilai suatu konstanta, maka turunannya adalah nol (0). Oleh karena itu, integral dari fungsi f(x) adalah F(x) ditambah dengan sebarang konstanta, yaitu F(x) + c. Misalnya, untuk F(x) = x2 + 2, maka turunannya F'(x) = f(x) = 2x. Adapun antiturunan dari 2x kemungkinan F(x) = x2 + 2 atau F(x) = x2 + 5 atau F(x) = x2 – log 2. Konstanta seperti 2, 5, dan – log 2 dapat dinyatakan sebagai c. Dengan demikian, diperoleh hubungan

Hasil dari

rupa sehingga dipenuhi

0 f (x ) dengan

0 f ( x) dx

dx = F ( x ) + c

= notasi dari integral tak tentu

F(x) + c = fungsi antiturunan atau fungsi primitif f(x) = fungsi integran (fungsi yang dicari antiturunannya) c = konstanta

2. Rumus Integral dari f(x) = axn, untuk n & –1 Pada kalkulus diferensial, kalian telah mempelajari bahwa n turunan dari F ( x ) = ax adalah f(x) = anxn–1, dengan F' (x) = f(x). Dengan demikian, jika diketahui

F ( x) =

1 1 n+1 maka f(x) = (n + 1)xn = xn. x n+1 n+1

0 (4x

3

+ 3x 2 + 2x + 1) dx

= .... a. x4 + x3 + x2 + c b. x4 + x3 + x2 + x + c c. 4x4 + 3x3 + 2x2 + c d. 4x4 + 3x3 + 2x2 + x + c e. 12x4 + 6x3 + 2x2 + c Soal Ebtanas SMA, 1992

Integral

F ( x) =

5

a a (n + 1) x n = ax n . x n +1 maka f ( x ) = n +1 n +1

Dengan mengingat bahwa operasi integral adalah invers dari operasi diferensial, lakukan kegiatan berikut. Kerjakan di buku tugas

Kegiatan

Tujuan: Menentukan rumus integral f(x) = xn dan f(x) = axn dengan memahami hubungan antara f(x) dan f'(x). Permasalahan: Bagaimana rumus integral untuk f(x) = xn dan f(x) = axn? Langkah-Langkah: 1. Coba kalian lengkapi tabel berikut. a.

2.

f(x)

f'(x)

x2 x3 x4 x5 .... xn

.... .... .... .... .... ....

b.

f(x)

f'(x)

3x2 3x3 3x4 3x5 .... 3xn

.... .... .... .... .... ....

Sekarang pemahaman dibalik. Amati tabel yang telah kalian lengkapi. Amati dari f'(x) baru ke f(x). Pola apa yang kalian dapatkan?

Kesimpulan: Kalian akan menemukan pola dari rumus integral fungsi. Jika melakukan kegiatan di atas, kalian dapat menyimpulkan sebagai berikut. Integral fungsi f(x) = xn dan f(x) = axn dapat ditentukan dengan rumus berikut.

0x

n

0 ax

n

dx =

1 n+1 + c, untuk n & –1 x n +1

dx =

a n +1 + c, untuk n & –1 x n +1

6


3. Menentukan Hasil Integral Misalnya f(x) = xn. Menurut rumus di atas, diperoleh

0 f ( x ) dx = 0 x

n

Tes Mandiri

dx


1 n+1 = x +c n +1 Dari

1

0 f ( x) dx = n + 1 x

n +1

Jika

+ c , kalikan a di kedua ruasnya

sehingga diperoleh a 0 f ( x ) dx =

a x n+1 + c , n & – 1 . n+1

a n+1 Dengan mengingat bahwa x + c = 0 ax n dx , akan kalian n +1 peroleh bahwa

f(x) = 0 (2ax + (a < 1) dx , f(1) = 3, dan f(2) = 0 maka nilai a adalah .... d.

b. –2

e. –

Dengan demikian, diperoleh 0 af (x ) dx = a 0 f ( x ) dx. Dari uraian di atas, kita peroleh

= a 0 f ( x ) dx

Masih ingatkah kalian dengan sifat turunan yang menyatakan untuk h(x) = f(x) + g(x) maka turunannya h'(x) = f'(x) + g'(x)? Dari sifat ini dapat kita nyatakan bahwa

0 h' ( x) dx = 0 (f' ( x) + g' ( x))dx = 0 f' ( x) dx + 0 g' ( x) dx Dari uraian di atas, tentu kalian mengerti bahwa

0 ( f ( x) + g ( x) dx = 0 f ( x) dx + 0 g ( x) dx Hal ini juga berlaku untuk tanda negatif. Oleh karena itu, diperoleh sifat integral.

0 (f ( x) ± g( x) )dx = 0 f ( x ) dx ± 0 g ( x) dx Dengan sifat-sifat tersebut, rumus-rumus integral suatu fungsi lebih mudah diterapkan untuk menentukan hasil integral suatu fungsi. Contoh: 1.

Tentukan hasil integral fungsi-fungsi berikut. a.

0 2 dx

b.

0 3x

4

dx

c.

1 3

1 3 Soal UMPTN, Kemampuan IPA, 1996

c.

a n+1 x + c = 0 a f ( x ) dx . n +1

0 af ( x ) dx

1 2

a. 2

02

x dx

Integral

Penyelesaian: a.

0 2 dx

b.

0 3x

c.

4

02

= 2 0 dx = 2 x + c

dx = 3 0 x 4 dx =

3 4+1 x +c 4 +1

=

3 5 x +c 5 1

x dx = 2 0 x 2 dx =

1 2

1 2 x2 +1

+1

+ c

4 . 12 x x +c 3 4 = x x + c 3 Tentukan hasil integral dari soal-soal di bawah ini.

=

2.

2

a.

0 (3 x

< 4 x ) dx

b.

( x 3 < 3 x )2 dx 0 x

Penyelesaian: a.

0 (3 x

2

< 4 x ) dx = 0 3 x 2dx < 0 4 x dx 2 = 30 x dx < 4 0 x dx

= x3 – 2x2 + c b.

( x 3 < 3 x )2 dx = 0 x

0x

< 12

= 0 (x

5 12

( x 6 < 6 x 4 + 9 x 2 ) dx

< 6x

3 12

11

+ 9 x 2 ) dx

=

1 1 512 +1 1 3 1 +1 1 1 +1 x – 1 .6 x 2 + 1 .9 x 2 + c 1 12 32 52

=

2 6 12 12 4 21 18 2 12 x < x + x +c 13 7 5

7

8


Info Math: Informasi Lebih Lanjut

G.W. Von Leibniz (1646–1716)

Gottfried Wilhelm Von Leibniz (1646– 1716) adalah seorang jenius serba bisa yang mampu meraih beraneka gelar kehormatan dalam berbagai bidang, seperti bidang hukum, keagamaan, kenegaraan, kesastraan, logika, metafisika, dan filsafat spekulatif. Dia menerbitkan kalkulus menurut versinya pada tahun 1684 M. Bersama dengan Isaac Newton, keduanya disebut sebagai tokoh kalkulus. Leibniz menciptakan lambang-lambang matematika baku tentang integral dan diferensial seperti yang kita pakai sekarang, yaitu lambang

Isaac Newton (1642–1727) Sumber: www.cygo.com

” 0 ” untuk integral dan

" dy "

untuk diferensial.

dx

Sumber: www.myscienceblog.com

Uji Kompetensi 1 1.

2.

3.

Tentukan hasil integral berikut ini. a.

0 3 x dx

b.

0 9x

2

dx

4

c.

0 x3 dx

d.

0 (< x 6 ) dx

10

5

e.

0 x2

f.

02 x

3

dx 1 2

dx

Tentukan hasil integral berikut ini.

2

<2

( x 2 < x )(2 x 2 < 3 x ) dx

a.

0 2 x( x < 1) dx

d.

0x

b.

( x 2 < 4 x) 2 dx 0 x

e.

0

f.

( x 2 + 6)2 dx 0 x

c.

0

(x 2 < x 3) dx c. 0 x2 Tentukan fungsi primitifnya. a.

0 (n + 1) x 2n

n

dx , untuk n & –1

x ( x < 2) dx

x 3n dx , untuk n & – 2 3

x 3< 2 n dx , untuk n & 5 2 Misalkan diketahui fungsi f(x) = 2x dan g(x) = x2. Jika (g° f) (x) ada, tentukan 0 (g o f )( x) dx. (Ingat kembali materi komposisi fungsi yang telah kalian pelajari b.

4.


0 xn

dx , untuk n & 1

d.

0

di kelas XI) 5.

Diketahui fungsi (f ° g)(x) = 3(2x – 1)2 + 1 dan g(x) = 2x – 1. Tentukan

0 f ( x) dx.

Integral

9

4. Menentukan Persamaan Kurva Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas

dy = 3x2 – dx 10x + 2 dan kurva melalui titik (1, 3) maka persamaan kurva adalah .... a. y = x3 – 5x – 2x – 5 b. y = x3 – 5x2 + 2x – 5 c. y = x3 – 5x2 – 2x – 5 d. y = x3 – 5x2 + 2x + 5 e. y = x3 – 5x2 + 2x + 5 Ditentukan

Soal Ebtanas SMA, 1993

Kalian tentu telah mengetahui bahwa interpretasi geometri dari fungsi turunan adalah gradien garis singgung pada kurva tersebut. Misalkan diketahui fungsi turunan sebuah kurva y = dy = f'(x), untuk setiap titik (x, y) dan sebuah titik dx pada kurva itu. Jika fungsi turunan itu diintegralkan, akan

f(x), yaitu

diperoleh y = f(x) = 0 f v( x ) dx = h( x ) + c. Persamaan ini merupakan persamaan keluarga kurva yang dy mempunyai turunan = f v( x ). Keluarga kurva adalah semua dx kurva dengan persamaan yang dapat diperoleh dengan cara memberikan nilai tertentu pada konstanta persamaan itu. Dengan menyubstitusikan satu titik yang diketahui ke persamaan keluarga kurva maka akan diperoleh nilai c sehingga persamaan kurva yang dimaksud dapat ditentukan.

Contoh: Suatu kurva melalui titik (2, 1). Apabila gradien kurva itu pada setiap titik memenuhi hubungan

1 dy = 2 (x < 2 ) , tentukan persamaan kurva tersebut. dx x

Penyelesaian: 1 dy = 2 (x < 2 ) dx x 1 y = 0 2( x < 2 ) dx x 2 2 2 = 0 (2 x < 2 ) dx = x + + c x x

2 + c . Karena x kurva yang dimaksud melalui titik (2, 1), kita tentukan nilai c terlebih dahulu dengan cara menyubstitusikan titik tersebut ke persamaan keluarga kurva itu. 2 Dengan demikian, persamaan keluarga kurva tersebut adalah y = x +

y = x2 +

2 +c x

1 = (2) 2 +

2 + c c = –4 (2)

Jadi, persamaan kurvanya adalah y = x2 +

2 – 4. x

10


Problem Solving Fungsi biaya marjinal (dalam ratusan ribu rupiah) untuk memproduksi satu unit barang dC 4Q + 10 = . Biaya untuk memproduksi 1 unit produk adalah per minggu adalah MC = dQ 5 tiga ratus ribu rupiah, tentukan fungsi biaya total per minggu. Penyelesaian: Biaya total dapat dicari dengan mengintegralkan biaya marjinalnya. C(Q) =

£ 4Q + 10 ¥ dQ 5 ¦

0¤

1 (4Q + 10)dQ 5 1 = 2Q 2 + 10 + k 5 2 = Q 2 + 2Q + k 5 Dari soal diketahui, C(1) = 3. 2 3 = (1)2 + 2(1) + k 5 3 k= 5 =

0

0(

)

Oleh karena itu, rumus fungsi biaya total per minggu adalah C(Q) =

Uji Kompetensi 2 1.

2.

Tentukan F(x) jika diketahui sebagai berikut. a. F'(x) = 3x2 dan F(2) = –3 b. F'(x) = x2 – 3 dan F(–3) = 10 c. F'(x) = 6x2 – 8x dan F(3) = 6 d. F'(x) = 2x + 6x2 dan F(–1) = 8 4 e. F'(x) = 5 < 2 dan F(2) = 11 x f. F'(x) = m – 3x2, F(–1) = –6, dan F(2) = 3 Tentukan persamaan kurva yang memiliki gradien berikut. dy a. = 10x + 3 dan melalui titik (–1, 3) dx b. c.

dy = 3x2 – 4x dan melalui titik (3, 6) dx 1 dy = – 2 dan melalui titik (1, 4) dx x

2 2 3 Q + 2Q + . 5 5


Integral

3.

4.

5.

11

Suatu garis menyinggung kurva kuadratis p(x) di titik (2, 0). Persamaan garis singgung itu adalah 2ax – 2. Jika kurva itu melalui titik (1, 0), tentukan persamaan kurva itu. Diketahui fungsi biaya untuk memproduksi Q unit barang adalah C = f(Q). Biaya dC marjinal didefinisikan sebagai MC = . Fungsi biaya marjinal untuk memproduksi dQ Q unit barang dirumuskan dengan MC = 6Q + 7 (dalam puluhan ribu). Diketahui untuk memproduksi 2 unit barang diperlukan biaya 380.000 rupiah. Tentukan fungsi biaya totalnya. Berapa biaya total yang diperlukan untuk memproduksi 5 barang? Misalnya biaya total yang dikeluarkan suatu perusahaan untuk memproduksi Q unit barang dirumuskan dengan C = f(Q). Fungsi biaya marjinal (dalam jutaan 4 rupiah) untuk memproduksi Q unit barang per periode adalah C'(Q) = Q + 3. 5 11 Biaya total untuk memproduksi 1 unit barang adalah juta rupiah. Tentukan 15 fungsi biaya totalnya.

C. Integral Tertentu Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas NPada tiap titik (x, y) sebuah kurva y = f(x)

dy = 8x – 3. dx Kurva melalui titik (–1, 10). Persamaan kurva itu adalah .... a. y = 4x2 + 9x + 9 b. y = 4x2 – 2x + 4 c. y = 4x2 – x + 7 d. y = 4x2 + 2x + 8 e. y = 4x2 – 3x + 3

berlaku

1. Pengertian Integral sebagai Luas Suatu Bidang Datar Misalkan terdapat suatu fungsi f(x) yang kontinu pada interval [a, b]. Daerah yang dibatasi oleh y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan x = b dapat digambarkan seperti pada Gambar 1.1. Y y = f(x)


O

a

f(x1)

f(x2)

f(x3)

f(xn)

x1

x2

x3

xn

6x

6x

6x

6x

b

X

Gambar 1.1

Misalkan interval [a, b] dibagi menjadi n interval bagian, dengan panjang masing-masing interval bagian 6x . Pada masing-masing interval bagian itu, selanjutnya ditentukan titiktitik x1, x2, ...., xn, seperti pada Gambar 1.1. Kemudian, dibuat

12


persegi-persegi panjang dengan panjang masing-masing f(x1), f(x2), ...., f(xn), dan lebarnya 6x . Oleh karena itu, diperoleh sebagai berikut. Luas persegi panjang pada interval pertama = f(x1) × 6x Luas persegi panjang pada interval kedua = f(x2) × 6x M

M

Luas persegi panjang pada interval ke-n = f(xn) × 6x –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– + Jumlah luas = f(x1) × 6x + f(x2) × 6x + ... + f(xn) × 6x

= (( f ( x1 ) + f ( x 2 ) + ... + f ( x n )) × 6x n

= - f ( x i ) × 6x i =1

Notasi "-" (dibaca ”sigma”) adalah jumlah secara berurutan. Karena persegi-persegi panjang itu terletak pada interval [a, b] maka x1 = a dan xn = b sehingga jumlah luasnya dapat ditulis n

L = - f ( x i ) × 6x . Karena f(x) kontinu pada interval [a, b], i =1

panjang interval dapat dibuat sekecil mungkin sehingga untuk n A ' maka 6x A 0 . Jadi, luas daerah itu adalah n

L = lim - f ( xi ) × 6x . Dengan notasi integral, jika limit tersebut 6x A 0 i =1

ada maka rumus luas ini didefinisikan secara sederhana menjadi b

L = 0 f ( x ) dx . a

Dengan demikian, kita memperoleh kesimpulan sebagai berikut. Jika L adalah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), dengan x D [a, b], sumbu X, garis x = a, dan garis x = b maka b

- f ( x i ) × 6x atau L = L = 6lim xA 0 i =1

b

0 f ( x) dx a

Y

Jadi, integral secara geometri diartikan sebagai luas daerah yang dinyatakan oleh limit suatu penjumlahan. Notasi "0" adalah lambang integral yang diperkenalkan pertama kali oleh Leibniz. Pada gambar di samping, luas daerah antara kurva y = f(x) dan sumbu X pada

N' N

S

M

y = f(x)

M'

R f (p+h)

f (p)

O

a

L K p h (p+h)

(a)

b

X

Integral

Y

13

b S

•

y = f(x)

interval [a, b] , L(b) =

0 f ( x ) dx ; a

p

R

•

interval [a, p], L(p) =

0 f ( x) dx ; a

O

a

p+ h

b

X

•

(b)

interval [a, p + h], L(p + h) =

0 f ( x) dx ;

a

Gambar 1.2

a

•

interval [a, a], L(a) =

0 f ( x) dx

= 0.

a

Luas KLM'N < Luas KLMN < Luas KLMN' f(p) × h < L(p + h) – L(p) < f(p + h) × h Jika setiap ruas dibagi h, diperoleh

L( p + h ) < L ( p ) < f(p + h). h Agar diperoleh pendekatan luas sesungguhnya, interval h dibuat sekecil-kecilnya atau h A 0 sehingga

f(p) <

L( p + h ) < L( p) ) lim f ( p + h ) h A0 h f(p) ) L'(p) ) f(p) Jadi, L'(p) = f(p). Karena p pada interval [a, b], untuk p = x diperoleh L'(x) = f(x). lim f ( p ) ) lim hA 0

h A0

x

Berarti, L(x) =

0 f ( x) dx . a

Jika F adalah antiturunan dari f maka L(x) = F(x) + c. • Untuk x = a maka L(a) = F(a) + c. Karena L(a) = 0 maka 0 = F(a) + c c = –F(a). • Untuk x = b maka L(b) = F(b) + c. Karena c = –F(a) maka L(b) = F(b) – F(a). Jadi, berdasarkan uraian di atas, luas daerah antara kurva y = f(x), garis x = a, x = b, dan sumbu X (lihat Gambar 1.2 (b)) dapat ditentukan dengan rumus berikut. b

L=

0 f ( x) dx

b = [ F( x )]a = F(b) – F(a)

a

Pembahasan lebih lanjut mengenai luas daerah di bidang datar yang dibatasi suatu kurva, sumbu X, dan dua garis sejajar sumbu Y akan kita perdalam pada subbab tentang penggunaan integral.

14


2. Pengertian Integral Tertentu Integral tertentu adalah integral dengan batas-batas integrasi yang telah ditentukan. Pada pembahasan sebelumnya, kita telah mempelajari bahwa integral dapat diartikan sebagai limit suatu jumlah, yaitu jika f suatu fungsi integrable (dapat diintegralkan) pada interval [a, b] = {x | a ) x ) b, x D bilangan real} dan F merupakan antiturunan dari f maka b b = [ F( x )]a = F(b) – F(a)

0 f ( x) dx a

b

Notasi

0 f ( x) dx

disebut notasi integral tertentu dari f karena

a

ditentukan pada batas-batas integrasi a dan b. Untuk batas-batas integrasi itu, a disebut batas bawah integrasi dan b disebut batas atas integrasi. Contoh: 4

1.

4 3 Tentukan nilai dari 0 ( x < x ) dx . <1

Penyelesaian: 4

4

1 5 1 4 4 3 0 ( x < x ) dx = ³ 5 x < 4 x µ <1 <1

1 1 ¥ ¥ £1 £1 = ² (4 5 ) < ( 4 4 ) ´ < ² (<1) 5 < (<1)4 ´ = 141 14 4 4 ¦ ¦ ¤5 ¤5 a

2.

Tentukan nilai a yang memenuhi 0 (2 x < 1) dx = 6 . 1

Penyelesaian: a

0 (2 x < 1) dx = [ x

2

< x ]1a

1

6 = (a2 – a) – (1 – 1) 6 = a2 – a – 0 a2 – a – 6 = 0 (a – 3)(a + 2) = 0 (a – 3) = 0 atau a + 2 = 0 a = 3 atau a = –2 Jadi, nilai a yang dimaksud adalah a = –2 atau a = 3.

Tugas Informasi Lebih Lanjut Kerjakan di buku tugas Coba kalian cari tahu tentang ”Teorema Dasar Kalkulus”. Apa isi teorema tersebut? Siapa tokoh yang berada di balik teorema tersebut?

Integral

15

3. Sifat-Sifat Integral Tertentu Sifat-sifat integral tertentu adalah sebagai berikut.

Tes Mandiri

b


a.

a

2

Nilai

b

0 c f ( x) dx = c 0 f ( x) dx , dengan c = konstanta

0 (6x + 2)(4 < x ) 1

a

b

b.

b

0 ( f ( x) + g( x)) dx =

a

adalah .... a. 44 d. –17 b. 37 e. –51 c. 27

c

c.

0

f ( x ) dx +

a


e.

0 (3x 2 + 2x + 4) dx

=

<2

.... a. –14 b. –6 c. –2

a

b

0 f ( x) dx =

0 f ( x ) dx , a < c < b, dengan a, b,

c

a

0 a

a

f ( x ) dx = < 0 f ( x ) dx b

b

1

a

dan c bilangan real d.


0

b

b

Tes Mandiri

b

f ( x ) dx + 0 g ( x ) dx

0

b

f ( x ) dx =

a

0 f (t ) dt a

Bukti: Sifat-sifat di atas mudah untuk kalian buktikan. Oleh karenanya, di sini hanya akan dibuktikan sifat c saja. Misalkan F adalah antiturunan dari f. c

0

a

b

f ( x ) dx + 0 f ( x ) dx = [ F( x )] ca + [ F( x )] bc c

d. 10 e. 18

= [ F(c) < F( a)] + [ F(b) < F(c)] = F (b ) < F ( a)

Soal UAN SMK, 2003

b

=

0 f ( x) dx

................................. terbukti

a

Coba kalian buktikan sifat-sifat lainnya. Sifat-sifat ini dapat memudahkan kalian dalam menentukan nilai-nilai integral pada suatu interval. Agar kalian dapat memahami sifat-sifat integral di atas, perhatikan contoh berikut. Contoh: 3

2 Dengan sifat-sifat integral tertentu, carilah hasil dari 0 ( x < 1

Penyelesaian: 3

0 (x 1

2

<

5 1 1 ) dx + ( x 2 < 2 ) dx = 0 2 x x 3

5

0 (x 1

2

<

1 ) dx x2

5 1 1 ) dx + 0 ( x 2 < 2 ) dx . 2 x x 3

16


Dengan demikian, diperoleh 5

5

1 3 1 1 0 ( x < x2 ) dx = ³ 3 x + x µ 1 1 2

1 3 1 1 3 1 = ³ (5) + µ < ³ (1) + µ 5 3 1 3 = 40 158

Uji Kompetensi 3 1.


Dengan sifat-sifat integral tertentu, selesaikanlah soal-soal berikut. 2

5

a.

0 8 dx

d.

1

3 0 2 x dx

e.

c.

0x

2

4

<

1 ) dx x2

f.

0 (2 x

< 1)(5 x + 2) dx

2

Hitunglah nilai dari integral berikut. 2

a.

4

0 (2 x 0

+ 5)( x < 3) dx + 0 (2 x + 5)( x < 3) dx 2

3

b.

3

0 (3 x + 2)( x < 1) dx – 0 (3 x + 2)( x < 1) dx 1

4

2

c.

0 (x

3

0

4

< 6 x 2 + 8 x ) dx – 0 ( x 3 < 6 x 2 + 8 x ) dx 2

1 2

d.

0 (8 x < 2 x 0

3.

0 (x

5

x dx

0

2.

x dx

0

<1

2

3

23

3

4

b.

0x

2

1 2

) dx – 0 (8 x < 2 x 2 ) dx 4

Tentukan nilai a dari integral berikut. a.

0

a

<1

0

2 3 2 3 0 (2 x < x ) dx + 0 (2 x < x ) dx = 1 2

b.

0 a

dx x

1 2

<

0 4

dx = 2 x

4 3

Integral

c.

d. 4.

1

a

0

1

40 3

2 3 2 3 0 x ( x + 1) dx + 0 x ( x + 1) dx = a

2

<1

a

17

<9 4

3 3 0 (t < t ) dt + 0 (t < t ) dt =

Jika x = 1 – 3y, tentukan nilai-nilai integral berikut. 3

a.

1

0 x dy

c.

0

<1

1

b.

0 y dx

1

2 0 ( x + x ) dy

d.

0

0 (y < y

2

) dx

0

D. Pengintegralan dengan Substitusi Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas a

Jika

0

13 2 3 ; x dx = 2 10

0

a>0

dengan substitusi adalah bentuk 0 ( f ( x )) n d ( f ( x )) . Coba perhatikan bentuk 0 x ndx . Bentuk ini telah kalian pelajari sebelumnya. Bagaimana jika variabelnya diganti dengan fungsi,

b

0

Beberapa bentuk integral yang rumit dapat dikerjakan secara sederhana dengan melakukan substitusi tertentu ke dalam fungsi yang diintegralkan tersebut. Di antara bentuk integral yang dapat dikerjakan

(2x < 3) dx = 4 ; b > 0

0

maka nilai (a + b)2 = .... a. 10 d. 25 b. 15 e. 30 c. 20 Soal UMPTN, 1993

misalnya f(x)? Bentuk ini akan menjadi 0 ( f ( x )) n d ( f ( x )) . Untuk menyelesaikan suatu integral yang dapat disederhanakan menjadi bentuk 0 ( f ( x ))n d ( f ( x )), dapat dilakukan substitusi u = f(x). Dengan substitusi u = f(x), diperoleh bentuk integral berikut.

0 ( f ( x))

Tugas

n

d ( f ( x )) = 0 u n du =

1 n+1 u +c n +1

Kreativitas Kerjakan di buku tugas Diberikan fungsi f(x) = x2 – 5x + 6 dan g(x) = x3 – 1. Buktikan bahwa 0f(x) g(x) dx = f(x) 0 g(x) dx – 0[f'(x) (0g(x) dx)] dx

dengan u = f(x) dan n & –1. n Perhatikan kembali bentuk 0 ( f ( x )) d ( f ( x )) . Misalkan diambil g(x) n = xn maka 0 ( f ( x )) d ( f ( x )) =

0 g( f ( x ))

d ( f ( x )) . Secara umum,

n bentuk 0 ( f ( x )) d ( f ( x )) dapat ditulis sebagai 0 g( f ( x )) d ( f ( x )) . Jika diambil substitusi u = f(x), diperoleh bentuk integral

0 g( f ( x ))

d ( f ( x )) = 0 g(u ) du .

Agar kalian dapat memahami pengintegralan bentuk ini, perhatikan dengan saksama contoh-contoh berikut.

18


Contoh: Carilah hasil integral 0 (2 x < 7)( x 2 < 7 x + 12)6 dx . Penyelesaian:

0 (2 x < 7)( x

2

< 7 x + 12)6 dx = 0 ( x 2 < 7 x + 12)6 (2 x < 7) dx

Misalkan u = x2 – 7x + 12. du du = 2x – 7 du = dx du = (2x – 7) dx dx dx

Sebenarnya lambang

du adalah suatu kesatuan dan tidak sama dengan du : dx. Namun, dx

untuk mempermudah perhitungan,

du = 2x – 7 biasanya langsung ditulis du = (2x – 7) dx

dx. Oleh karena itu,

0 (x

2

< 7 x + 12)6 (2 x < 7) dx = 0 u 6 du

=

1 7

u7+ c =

1 7

(x2 – 7x + 12)7 + c

Dengan cara langsung, diperoleh

0 (x

2

< 7 x + 12)6 (2 x < 7) dx = 0 ( x 2 < 7 x + 12)6 d ( x 2 < 7 x + 12) =

1 7

(x2 – 7x + 12)7 + c

Uji Kompetensi 4


Carilah hasil integral berikut. 1.

30 (2 < 3 x )6 dx

6.

( 4 x 3 < 6 x 2 ) dx 0 x 4 < 2x 3 + 5

2.

0

3 dx 2 + 3x

7.

0

(2 x + 2) dx x2 + 2x + 1

1

3.

<6

< 4 0 (10 < 4 x ) dx

8.

3 dx

4.

5.

0 3 (6 0

< x )2

(6 x 3 < 5 x + 2) dx 3x 4 < 5x 2 + 2 x

0 ( x < 3) dx 0

0

9.

0 (3 < x )

<2 2

10.

0

<1

2

dx 6.

4x < 8 2

x < 4x + 5

dx

Integral

19

E. Integral Parsial (Pengayaan) Jika kita menjumpai soal 0 u dv, dengan u dan v adalah fungsi-

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas 3

150 x x < 2 dx = .... 2

a. 18 b. 20 c. 22

d. 24 e. 26

fungsi dalam variabel x yang sulit dikerjakan, sedangkan 0 u dv lebih mudah dikerjakan maka kita perlu mendapatkan hubungan kedua integral tersebut untuk memperoleh penyelesaian 0 u dv. Misalnya, y = uv, dengan u = u(x) dan v = v(x) adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel (dapat didiferensialkan) maka y' = u'v + uv'. Dalam notasi Leibniz, hal ini dapat dituliskan sebagai berikut.

Soal SPMB, 2006

dy du dv = v+u dx dx dx

dv d (uv) du v+u = dx dx dx d(uv) = v du + u dv Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh

0 d (uv) = 0 v du + 0 u dv

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas 3

0x

uv = 0 v du + 0 u dv Dari persamaan terakhir, diperoleh hubungan 0 u dv dan 0 v du , yaitu

1+ x dx = ....

0 u dv

0

108 a. 15

116 d. 15

128 b. 15

106 e. 15

c.

96 15

Soal Tes STT TELKOM, 1992

Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi dan bagian lain (fungsi yang mengandung dx) adalah dv. Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial. Strategi penggunaan integral parsial adalah sebagai berikut. a. Memilih dv yang dapat segera diintegralkan. Memilih 0 v du yang lebih mudah dikerjakan daripada 0 u dv .

b. Contoh: Tentukan

0x

x < 4 dx .

Penyelesaian: Pilihan 1: Misalkan dipilih u = x < 4 dan dv = x dx. 1 2 1 dx dan v = x . 2 2 x<4 1 1 x < 4 < 0 x2 dx 4 x<4

Dengan demikian, du =

0x

x < 4 dx =

1 2 x 2

= uv – 0 v du

20


Bentuk ini sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian tidak digunakan. Pilihan 2: Misalkan dipilih u = x x < 4 dan dv = dx. x dx dan v = x. du = x < 4 < 2 x<4 x ¥ £ x < 4 dx = x 2 x < 4 < 0 x ² x < 4 < ´ dx ¤ 2 x<4¦ Bentuk ini juga sulit dikerjakan sehingga pemisalan u dan dv yang demikian juga tidak digunakan. Pilihan 3: Misalkan u = x. Dengan demikian, du = dx

0x

dv =

x < 4 dx sehingga

0 dv

=

0

x < 4 dx

0 dv = 0 x < 4 d(x – 4) 1

v = 0 ( x < 4) 2 d ( x < 4) 3 2 v = ( x < 4) 2 3 Ternyata pemisalan u dan dv seperti ini memudahkan bentuk integral tersebut sehingga dapat kita gunakan.

0x

x < 4 dx =

3 3 2 2 x ( x < 4) 2 – 0 ( x < 4) 2 dx 3 3

=

3 2 3 2 x ( x < 4) 2 – 0 ( x < 4) 2 d ( x < 4) 3 3

=

3 5 2 4 x ( x < 4) 2 < ( x < 4) 2 + c 3 15

Uji Kompetensi 5


Tentukan integral-integral berikut. 5

4.

0

3

5.

0

6.

3( x < 2)2 0 4 x 3 x dx

0 x ( x + 3)

2.

0 8 x(2 x + 4)

3.

0x

6 x dx 2x < 3

dx

1.

dx

x < 2 dx

2 x dx 3

( x + 1) 2

Integral

7. 8.

0x

2

0x

3

x < 2 dx

9.

x < 1 dx

10.

Diskusi

0x

3

21

x + 4 dx

8 x 4 dx

0 (x

3

+ 1) 2

Inkuiri

Coba kerjakan soal berikut secara berurutan dengan menggunakan integral parsial. 1.

0 x x dx

2.

0x

2

x dx

3. 4.

3

0x 4 0x

x dx x dx

Dari keempat soal di atas, pemilihan fungsi u manakah yang kalian anggap sulit? Mengapa kalian menilai demikian? Jelaskan.

F. Penggunaan Integral

Y 4

-2

O

Gambar 1.3

Y 4

-2

O

Gambar 1.4

Di antara penggunaan integral adalah untuk menentukan luas suatu daerah. Sebelum membahas lebih lanjut tentang penggunaan intef(x) = x gral untuk menentukan luas suatu daerah, ada baiknya kalian mempelajari bagaimana cara menggambarkan luasan suatu daerah terlebih dahulu. Cara-cara menggambar grafik telah kalian pelajari di kelas X, terutama grafik fungsi kuadrat. Misalkan kalian akan menggambar suatu daerah yang dibatasi oleh fungsi f(x) = x2 dan sumbu X pada interval –2 ) x ) 2. Pertama, kamu harus 2 X menggambar kurva (grafik) fungsi f(x) = x2, –2 ) x ) 2 pada bidang Cartesius seperti Gambar 1.3. Tarik garis batas pada interval (terkecil atau terbesar) sejajar sumbu Y hingga memotong kurva f(x) = x2. Kemudian, arsir daerah yang berada di antara kurva dan sumbu X pada interval f(x) = x yang diberikan sehingga diperoleh Gambar 1.4. Bagaimana jika daerah yang dimaksud dibatasi oleh dua kurva? Cara menggambarkannya pada prinsipnya sama seperti cara-cara di atas. Namun, hal yang sangat penting diperhatikan adalah titik perpotongan kedua kurva. Kalian harus menentukan titik potong kedua kurva itu. Di samping itu, kalian juga harus memahami pada interval mana fungsi yang satu memiliki nilai 2 X lebih besar daripada fungsi lainnya. Hal ini penting untuk menentukan luas daerah tersebut. 2

2

22


Contoh: Gambarlah luasan daerah yang dibatasi oleh kurva f(x) = x2 dan f(x) = x pada interval 0 ) x ) 1. Penyelesaian: Kalian tentu sudah dapat menggambar kedua kurva itu. Titik potong kedua kurva ada Y jika keduanya mempunyai titik persekutuan. Dengan menyamakan kedua fungsi itu diperoleh f(x) = x2 4 x2 = x f(x) = x x2 – x = 0 x(x – 1) = 0 x = 0 atau x = 1 1 Untuk x = 0 A f(0) = 0 (boleh diambil dari kedua fungsi itu) O 1 Untuk x = 1 A f(1) = 1 X Jadi, titik potong kedua fungsi adalah (0, 0) dan (1, 1). Gambar 1.5 Secara lengkap, luas daerah yang dimaksud dapat digambarkan sebagai daerah yang diarsir (lihat gambar di samping). Pada interval 0 ) x ) 1, tampak bahwa fungsi f(x) = x lebih besar daripada fungsi f(x) = x2. Bagaimana cara menggambarkan luasan daerah yang dibatasi dua kurva itu pada interval 1 ) x ) 2? Bagaimana pula pada interval –1 ) x ) 0? Coba kalian kerjakan.

1. Menentukan Luas Daerah di Atas Sumbu X antara Kurva y = f(x), Sumbu X, Garis x = a, dan Garis x = b Kalian telah dapat menggambarkan daerah-daerah yang dibatasi kurva-kurva. Sekarang kita akan mencari luas daerahdaerah itu. Y Di depan telah dibuktikan bahwa luas daerah di atas sumbu X yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b dapat ditentukan dengan rumus di atas, yaitu b

L=

0 a

b f ( x ) dx = [ F( x )]a = F(b) – F(a)

O

a

y = f(x)

b Gambar 1.6

dengan F(x) adalah antiturunan dari f(x). Untuk lebih jelasnya, mari kita pelajari contoh berikut.

X

Integral

23

Contoh: Suatu daerah dibatasi oleh kurva y = 4x – x2, x = 1, x = 3, dan sumbu X. a. Lukislah kurva tersebut dan arsir daerah yang dimaksud. b. Hitunglah luas daerah itu. Penyelesaian: a. Dengan menggambarkan grafik kurva dan garis-garis batas yang diberikan terlebih dahulu pada bidang koordinat, diperoleh gambar di samping. (Daerah yang diarsir adalah daerah yang dimaksud). b. Luasnya dapat ditentukan dengan mengintegralkan y = 4x – x2 dengan batas-batas integralnya mulai dari x = 1 sampai x = 3.

Y

y = 4x – x2

O

1

4

3

2

X

Gambar 1.7

3 1 3 3 2 2 = 0 (4 x < x ) dx = [2 x < x ]1 3 1

L

1 1 3 1 3 1 2 2 = ³2(3) < (3) µ < ³2(1) < (1) µ = (18 – 9) – (2 – ) = 7 satuan luas 3 3 3 3 Uji Kompetensi 6 1.


Lukislah sketsa grafiknya, kemudian arsir daerah yang disajikan oleh kurva dengan notasi integral berikut. 4

3

0 2 x dx

a. b.

c.

0

<1

1

<1

2 0 (< x + 4) dx

d.

3

+ 2) dx

0 4 dx

e.

<2

1

2 0 x dx

0 (9 < x

f.

2

) dx

<2

<4

<1

2.

0 (x

Tulislah notasi integral yang menyatakan luas daerah yang ditunjukkan oleh bagian yang diarsir di bawah ini. Y

Y

(3, 4)

(6, 3)

(0, 3)

O

1

2

3

4 5

O

X

4 5

3

2

6

X

(c)

(a)

Y

1

Y

1 X O

1

2

3

(b)

4 5

-2 -1 O

6

Gambar 1.8

1

(d)

2

3

X

24


3. 4.

Tentukan luas daerah yang diarsir pada soal nomor 2. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva di bawah ini. a. y = 6 – 3x, sumbu X, garis x = –3, dan garis x = 1 b. y = 8 – 2x, sumbu X, garis x = –4, dan garis x = –1 c. y = x2, sumbu X, dan garis x = 3 d. y = x2 + 2, sumbu X, garis x = 1, dan garis x = 4 e. y = x2 – 4x + 3, sumbu X, garis x = 4, dan garis x = 5 Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu X dengan kurva-kurva berikut. a. y = –3x – x2 d. y = 2 + x – x2 2 b. y = 6 – 3x e. y = –x2 + 6x – 8 c. y = 2 – x2 f. y = (1 – x)(x – 3)

5.

2. Luas Daerah Gabungan: Di Atas dan di Bawah Sumbu X Untuk menentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan x = b seperti pada Gambar 1.9 dilakukan dengan analisis sebagai berikut. Y Untuk c < x ) b nilai f(x) > 0 sehingga b

b

x=c

c

y = f(x)

- f ( x) × 6x > 0. Hal ini berarti 0 f ( x) dx > 0 . Pada interval a ) x < c, f(x) bernilai negatif

c O

a

b

X

c

atau f(x) < 0 sehingga - f ( x ) × 6x < 0 . x=a

Gambar 1.9 Y

c

Hal itu berarti

0 f ( x) dx < 0 . Adapun pada a

titik c, f(x) bernilai nol atau f(c) = 0. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, garis x = a, dan garis x = b, seperti pada Gambar 1.10 adalah sebagai berikut.

a

6x

O f(x)

Luas = Luas daerah di bawah sumbu X + Luas daerah di atas sumbu X

0 f ( x) dx

bernilai negatif,

a

sedangkan luas suatu daerah tidak mungkin bernilai negatif. c

Untuk itu,

0 f ( x) dx

y = f(x)

6x

b

X

Gambar 1.10

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas

c

Kita telah mengetahui bahwa

f(x) c

perlu diubah tandanya sehingga nilainya

a

menjadi positif. Hal itu dilakukan dengan cara membalik batas integralnya atau membubuhkan tanda negatif dari bentuk inte-

Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 3x 2 – 2, garis x = 2, garis x = 4, dan sumbu X adalah .... a. 60 satuan luas b. 52 satuan luas c. 44 satuan luas d. 6 satuan luas e. 2 satuan luas Soal UN SMK, 2004

25

Integral

a

gral semula sehingga diperoleh

0

c

c

f ( x ) dx atau – 0 f ( x ) dx . a

Dengan demikian, luas daerah yang dimaksud adalah c

b

L = < 0 f ( x ) dx + 0 f ( x ) dx atau L = a

c

a

0

c

b

f ( x ) dx + 0 f ( x ) dx c

Contoh: Y

Tentukan luas daerah yang diarsir pada Gambar 1.11 dengan menggunakan integral. Penyelesaian: Karena L2 terletak di bawah sumbu X (bernilai negatif), L2 diberi tanda negatif (agar menjadi positif). Oleh karena itu, luas daerah yang dicari adalah sebagai berikut. Luas = L1 + (–L2) = L1– L2 L =

1

4

0

1

=

0 (x 0

2

1

y = x2 – 5x + 4

4 3 2 1

L1

O -1

1

2

3

4 5

6

X

L2

-2

2 2 0 ( x < 5 x + 4) dx – 0 ( x < 5 x + 4) dx

1

5

-3

Gambar 1.11 2

< 5 x + 4 ) dx + 0 (x < 5 x + 4 ) dx 4

1

1

1 3 5 2 1 3 5 2 = ³ x < x + 4 xµ + ³ x < x + 4 x µ 2 2 3 0 3 4

1 3 5 1 3 5 2 1 3 5 2 = ³ (1) < (1) + 4(1)µ < [0] + ³ 3 (1) < 2 (1) + 4(1)µ < ³ 3 (4 ) < 2 (4) + 4( 4)µ 2 3 64 80 1 5 1 5 = ³ 3 < 2 + 4µ + ³ 3 < 2 + 4µ < ³ 3 < 2 + 16µ =

11 11 £ 16 ¥ 38 1 + < < = =6 6 6 ¤ 6¦ 6 3

Jadi, luas daerah yang dimaksud adalah 6 Diskusi

1 satuan luas. 3

Berpikir Kritis

Misalkan diberikan suatu fungsi f, pada interval a dan pada interval c < x

)

)

x

)

c maka f(x)

)

0

d maka f(x) > 0. Apa yang terjadi jika kalian

d

menggunakan rumus

0 f (x) dx

untuk mencari luas antara kurva dan

a

sumbu X? Mengapa demikian? Langkah apa yang kalian ambil?

26


Uji Kompetensi 7 1.


Tentukan luas daerah yang diarsir berikut. Y

Y 4 y = 1x 2

3

-3 -2

3

2

2

1

1

-1 O -1

1

2

3

4 5

X

-1 O -1

-2

-2

-3

-3

(a)

y = x2 – 3x

4

1

2

3

4 5

X

(b)

Gambar 1.12

Untuk soal nomor 2 – 8, tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut dan sumbu X pada interval yang diberikan. 2. y = x2 – 7x + 10; [0, 2] 3. y = x2 – 25; [–5, 5] 4. y = x2 – 5x; [0, 5] 5. y = x2(x – 1); [0, 1] 6. y = x(x + 1)(x – 2); [–1, 2] 7. y = x(x2 + x – 6); [–3, 2] 8. y = x3 – 9x; [–1, 1] 9. Tentukan luas daerah yang dibatasi kurva y = x2, sumbu X, garis x = 2, dan garis x = 4. 10. Gambarlah kurva y = x2 – 8x + 15, kemudian tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut, garis x = 1, garis x = 7, dan sumbu X.

3. Luas Daerah yang Dibatasi Dua Kurva Misalkan terdapat kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x), dengan f(x) > g(x) pada interval a < x < b, seperti pada Gambar 1.13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y1 = f(x) dan y2 = g(x) dari x = a sampai x = b dapat dihitung dengan cara berikut. Luas L adalah luas daerah di bawah kurva y1 = f(x) dari titik a ke b dikurangi luas daerah di bawah kurva y2 = g(x) dari titik a ke b. L = luas daerah ABCD – luas daerah ABFE

Y

C

D

L

y1 = f(x)

y2 = g(x) F

E O

A a

B b Gambar 1.13

X

Integral

b

=

0 a

27

b

f ( x ) dx – 0 g( x ) dx a

b

=

0 ( f ( x) < g( x)) dx a

Jadi, luas daerah itu adalah b

L = 0 ( f ( x ) < g( x )) dx a

Contoh: Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 – 2x dan y = 6x – x2. Penyelesaian: Perpotongan antara kedua kurva tersebut adalah x2 – 2x = 6x – x2 2x2 – 8x = 0 2x(x – 4) = 0 x = 0 atau x = 4 Untuk x = 0 maka nilai y = 0. Untuk x = 4 maka nilai y = 8. Oleh karena itu, titik perpotongan antara kedua kurva itu adalah (0, 0) dan (4, 8) sehingga batas integralnya adalah x = 0 hingga x = 4. 4

L =

0 ((6 x < x

2

) < ( x 2 < 2 x )) dx

0

9 8

4

2 = 0 (8 x < 2 x ) dx

7 6

0

5

4

2 = ³4 x2 < x3 µ 3 0

2 3 2 = ³ 4( 4 ) < ( 4 ) µ < 3

= 64 – 42 = 21

y = x2 – 2x

Y

L

4 3 2 1

[0]

O -1

2 3

2

3

4 5

6

X

y = 6x – x2

Gambar 1.14

1 3

Jadi, luas daerahnya adalah 21

1

1 satuan luas. 3

28



Soal Terbuka 1.

Perhatikan gambar di samping. Y Tentukan luas daerah yang diarsir. 9

y=9

y = –x2 + 6x

6

3

2. o

Y 4

3

X

Gambar 1.15

y = –x2 + 4x y = x2 O

2

X

Gambar 1.16

Perhatikan gambar di atas. Tentukan luas daerah yang diarsir.

Uji Kompetensi 8


Hitunglah luas daerah yang dibatasi oleh kurva-kurva berikut (nomor 1–9). 1. y = x dan y = x2 Y 2. y = 3x dan y = x2 2 2 5 3. y = x dan y = 4 – x 4. y = x2 – x dan y = 3x – x2 y = 4 – x2 5. y = 2x dan y = x2 – 4x 4 6. y = 7 – x2 dan y = x2 – 2x + 1 7. y = (x – 2)2 dan y = 10 – x2 8. y = – 1 dan y = x2 9. y = x2, y = 8x – x2, dan sumbu X 10. Gambar di samping adalah sisi samping dari sebuah jembatan. Lengkungan jembatan mempunyai persamaan y = 4 – x2. Berapakah luas sisi –2 O samping jembatan itu (daerah yang diarsir)? Gambar 1.17

2

X

Integral

Tugas

Informasi Lebih Lanjut

29


Untuk menambah wawasan kalian tentang materi integral, carilah informasi yang berhubungan dengan penggunaan integral (tokoh, materi, teknik pengintegralan) di berbagai sumber (perpustakaan, internet, maupun buku-buku penunjang). Refleksi Setelah mempelajari integral, tentu kalian tahu bahwa luasan suatu daerah bidang datar yang memiliki bentuk teratur dapat ditentukan luasnya. Menurut kalian,

apakah hanya itu kegunaan integral? Seberapa sering kalian menggunakan aplikasi materi ini?

Rangkuman

0 f ( x) dx

1.

Bentuk

2.

Beberapa rumus integral tak tentu adalah sebagai berikut.

3.

= F(x) + c dinamakan integral tak tentu dari f(x).

a.

0 dx = x + c

b.

0 a dx = ax

c.

0x

d.

0 ax

e.

0 ( f ( x) + g ( x)) dx = 0 f ( x) dx + 0 g( x) dx

f.

0 af ( x ) dx = a 0 f ( x) dx

n

dx = n

+ c, untuk a konstanta

1 n+1 + c, untuk n & –1 x n +1 a n +1 + c, untuk n & –1 x n +1

dx =

Jika F adalah antiturunan dari f, luas daerah di atas yang dibatasi oleh kurva y = f(x), sumbu X, x = a, dan x = b adalah b

L=

b

0 f ( x ) dx = [ F( x )]a

= F(b) – F(a).

a

4.

Sifat-sifat integral tertentu b

a.

a

b

b.

b

0 cf ( x) dx = c0 f ( x) dx,

untuk c = konstanta.

a

b

b

0 ( f ( x) + g ( x)) dx = 0 f ( x) dx + 0 g( x) dx a

a

a

30


b

0

c.

a

c b

b

d.

a

a

0

f ( x ) dx = < 0 f ( x ) dx

b

b

a

b

0 f ( x) dx = 0 f (t ) dt

e. 5.

c

f ( x ) dx + 0 f ( x ) dx = 0 f ( x ) dx

a

a

Luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva Jika f(x) * g(x) > 0 pada domain [a, b] maka luas daerah yang dibatasi oleh y1 = f(x), y2 = g(x), garis x = a, dan garis x = b adalah b

L = 0 ( f ( x ) < g ( x )) dx a

Latihan Ulangan Harian I


I. Pilihlah jawaban yang tepat. 1.

2.

dx

0 x10

= ....

3.

0 9x2 a.

a.

1 < x <9 + c 9

b.

b.

<

1 <11 x +c 11

c.

c.

1 <9 x +c 9

d.

d.

1 <11 x +c 11

e.

e.

< 1 11 x +c 11

4.

0 (39 x 2 + a. b. c. d. e.

2 x + 1)(78 x + 2) dx = .... (39x + 2x + 1)2 + c 2

1 2

(39x2 + 2x + 1)2 + c

78x3 + 2x2 + c 39x3 + 2x2 + x + c 1 2

(39x3 + 2x2 + x)(78x + 2) + c

5.

( x 3 + 9) dx = .... 3

2( x 3 + 9 ) 2 + c 3 2 3 ( x + 9) 2 3 3 2 3 ( x + 9) 2 5 3 3 3 ( x + 9) 2 2 1 1 3 ( x + 9) 2 2

+c + c +c +c

dF ( x) = ax + b, F(0) = 3 + dx F(–1), dan F(1) – F(0) = 5. Nilai a + b = .... a. 8 d. –2 b. 6 e. –4 c. 2 Gradien suatu kurva dinyatakan dengan

Diketahui

dy = (x – 1)3. Jika kurva tersebut dx melalui titik A(3, 0), persamaan kurva itu adalah ....

m=

Integral

a. b. c. d. e. 1

6.

4y = (x – 1)3 + 16 4y = (x – 1)4 – 16 4y = –(x – 1)3 – 16 y = – 1 (x – 1)4 + 16 4 y = (x – 1)4 + 16

1

0 ( x2

<

<3

a. b. c.

10. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x2 + 2x, sumbu X, dan garis x = 3 adalah .... a. 0 d. 8 1 b. 1 3 e. 4 c.

d. e.

a.

2,5

b.

4

1 4

c. 1

7.

Jika f(x) = ax + b,

2 23

11. Luas daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah ....

1 ) dx = .... x3

9 10 10 9

31

0 f ( x ) dx

= 1 , dan

0

d. e.

1 6 Y

5

y = x2 – 3x + 2

6 2 3

3

X

O

2

1

2

0 f ( x) dx = 5 maka nilai a + b = .... 1

8.

9.

a. 3 b. 4 c. 5 d. –3 e. –4 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x3 – 6x2 + 8x dan sumbu X adalah .... a. 4 b. 6 c. 8 d. 10 e. 12 Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 2 – x2 dan y = –x adalah .... a. b. c.

9 2 7 2

3

d. e.

5 2

12. Luas daerah yang dibatasi garis y =

x2 dapat dinyatakan 1 + x2 sebagai integral tertentu, yaitu ....

dan kurva y =

x2 < 1 dx x2 + 1

d.

20

1 < x2 20 dx 2 0 1+ x

e.

20

1

a.

0 0

1

b.

1

c.

1< x2

0 1 + x2

x2 dx 2 0 1+ x 1

1

x dx 2 0 1+ x

dx

0

13. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 dan y = x + 2 adalah .... a.

9

d.

b.

27 8

e.

c.

27 6

3 2

1 2

9 6 9 7

32


14. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva 4x = y2 dan y = 2x – 4 adalah .... 9 a. 9 d. 6 b.

27 8

c.

27 6

e.

9 7

15. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4x dan y = 3 dari x = 1 sampai x = 2 adalah ... satuan luas. a. 1 b. 2 c. 3 d. 5 e. 6 23

II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar. 1.

Hitunglah integral berikut. ( x + 1)( x < 2) dx a. 0 x b.

2.

3. 4.

0 sin x sin 3x dx

Tentukan persamaan suatu kurva yang dy memiliki persamaan gradien = x dx dan melalui titik A(9, 18). Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 9 – x2 dan y = x + 3. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = 4 x2, y = x2, dan y = 4 di kuadran I.

5.

Misalkan suatu pabrik memproduksi Q unit barang menghabiskan biaya yang bersesuaian dengan fungsi C(Q). Biaya marjinal adalah besarnya biaya tambahan yang harus dikeluarkan pabrik karena adanya penambahan unit barang yang diproduksi. Secara matematis, biaya dC marjinal dirumuskan dengan MC = . dQ

2 Q + 1 (dalam 7 ratusan ribu), tentukan rumus fungsi biaya totalnya. Jika diketahui MC =

Program Linear

Bab

II

33

Program Linear

Sumber: Ensiklopedia Pelajar, 1999

Motivasi

Setiap pedagang, pengusaha, atau orang yang berkecimpung di bidang usaha pasti menginginkan keuntungan sebanyak-banyaknya terhadap apa yang diupayakannya. Salah satu cara yang dapat ditempuh adalah menekan biaya produksi hingga sekecil-kecilnya. Dengan menyederhanakan beberapa faktor yang berpengaruh pada proses tersebut, pedagang atau pengusaha dapat membentuk suatu model matematika. Program linear merupakan salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan model matematika sederhana.

Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menentukan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel; 2. menentukan fungsi tujuan (fungsi objektif) beserta kendala yang harus dipenuhi dalam masalah program linear; 3. menggambarkan kendala sebagai daerah di bidang yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear; 4. menentukan nilai optimum dari fungsi tujuan sebagai penyelesaian dari program linear; 5. menafsirkan nilai optimum yang diperoleh sebagai penyelesaian program linear.

34


Peta Konsep Program Linear mempelajari

Sistem Pertidaksamaan Linear

Menentukan Nilai Optimum Suatu Fungsi Objektif

membahas dengan metode

Himpunan Penyelesaian Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel dengan Grafik

Program Linear dan Model Matematika

Uji Titik Sudut

Garis Selidik

Kata Kunci • • • • •

fungsi objektif fungsi kendala model matematika program linear pertidaksamaan

• • • • •

sistem pertidaksamaan linear nilai maksimum nilai minimum nilai optimal optimasi

Program Linear

35

Program linear sebagai bagian dari matematika banyak digunakan dalam berbagai bidang, antara lain dalam bidang ekonomi, pertanian, dan perdagangan. Dengan menggunakan program linear, seseorang dapat menghitung keuntungan maksimum atau biaya minimum. Hal itu sangat bergantung pada pembatas atau kendala, yaitu sumber daya yang tersedia. Dalam mempelajari program linear, kita perlu mengingat kembali cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel dengan menggunakan grafik. Oleh karena itu, kita awali pembahasan ini dengan mengulang kembali cara menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Setelah hal ini kita pahami dengan baik, kita lanjutkan pembicaraan ini dengan membahas pengertian program linear dan model matematika, menentukan nilai optimum bentuk objektif, serta menyelesaikan soal-soal program linear. Sebelum mempelajari bab ini, ada baiknya kalian jawab soalsoal berikut. Uji Prasyarat 1.


Gambarlah grafik yang menyatakan himpunan penyelesaian dari: a. 6x + 5y < 11 x – 6y = –5 b. 5x + y = 6 Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear 5x – y = 4 6x + y = 7 dengan metode substitusi dan metode eliminasi. Ade membeli buku dan sebuah bolpoin di Toko Permata Ibu. Ade harus membayar Rp7.000,00. Di toko yang sama Ria membeli sebuah buku dan dua bolpoin. Ria harus membayar Rp4.000,00. Berapa harga buku di toko Permata Ibu? Berapa pula harga bolpoin?

{

2.

{ 3.

Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari kita lanjutkan ke materi berikut.

A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem (gabungan dua atau lebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear dua variabel merupakan irisan atau interseksi dari himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear yang terdapat pada sistem

36


pertidaksamaan itu. Dalam bentuk grafik pada bidang koordinat, himpunan penyelesaian itu berupa daerah yang dibatasi oleh garisgaris dari sistem persamaan linearnya. Perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh: 1.

Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidang Cartesius. (R adalah himpunan bilangan real) a. 2x + 3y * 6, dengan x, y D R b. x + 2y < 4, dengan x, y D R Penyelesaian: Sebelum menentukan daerah penyelesaiannya, kita perlu melukis batas-batas daerahnya, yakni grafik 2x + y = 6 dan grafik x + 2y = 4. Karena batas yang dimaksud berbentuk linear, dapat dipastikan bahwa batasbatas daerahnya berupa garis-garis lurus. Jadi, untuk melukisnya cukup ditentukan 2 titik anggotanya, kemudian menghubungkannya menjadi sebuah garis lurus. Dua titik anggotanya yang mudah dihitung adalah titik potong garis itu dengan sumbu X dan sumbu Y. Skema perhitungannya dapat dilihat pada tabel berikut. Tabel 2.1 x

0

....

y

....

0

(0, ...)

(..., 0)

(x, y) a.

2x + y * 6, dengan x, y D R Batas daerah penyelesaiannya adalah grafik 2x + y = 6. • Titik potong grafik dengan sumbu X, syaratnya y = 0. Berarti, 2x + 3(0) = 6 2x = 6 x = 3. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (3, 0). • Titik potong grafik dengan sumbu Y, syaratnya x = 0. Berarti, 2(0) + 3y = 6 3y = 6 y = 2. Oleh karena itu, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0, 2). Jadi, isian tabel selengkapnya adalah sebagai berikut. Tabel 2.2 x

0

3

y

2

0

(0, 2)

(3, 0)

(x, y)

Grafik 2x + 3y = 6 dapat diperoleh dengan membuat garis yang menghubungkan titik (3, 0) dan (0, 2) seperti pada gambar berikut.

Program Linear

Y

37

Y

(0, 2)

(0, 2) 2x + 3y * 6 (3, 0)

(3, 0)

O

O

X

X

2x + 3y = 6

Gambar 2.1

Gambar 2.2

Pada Gambar 2.1, tampak bahwa garis 2x + y = 6 membagi bidang Cartesius menjadi dua daerah, yaitu daerah di sebelah kanan (atas) garis dan daerah di sebelah kiri (bawah) garis itu. Untuk menentukan daerah yang memenuhi pertidaksamaan 2x + 3y * 6, kita ambil sembarang titik untuk diselidiki, misalnya titik (0, 0). Kita substitusikan (0, 0) pada pertidaksamaan 2x + 3y * 6 2(0) + 3(0) * 6 sehingga diperoleh 0 * 6. Berdasarkan substitusi itu terlihat bahwa pertidaksamaan 0 * 6 Ketahuilah bernilai salah. Berarti, titik (0, 0) tidak berada pada daerah penyelesaian 2x + Pada buku ini, kita tetapkan bahwa 3y * 6. Karena daerah yang diminta daerah himpunan penyelesaian adalah 2x + 3y > 6, titik-titik yang pertidaksamaan adalah daerah yang bersih (yang tidak diarsir), sedangberada pada garis 2x + 3y = 6 termasuk kan daerah yang diberi arsir bukan daerah penyelesaian. Jadi, daerah merupakan daerah himpunan pepenyelesaiannya adalah daerah yang nyelesaian. tidak diarsir, seperti pada Gambar 2.2. b.

x + 2y < 4, dengan x, y D R Titik potong grafik x + 2y = 4 dengan sumbu koordinat Tabel 2.3 x

0

4

y

2

0

(x, y)

(0, 2)

(4, 0)

Jadi, titik potongnya adalah (0, 2) dan (4, 0). Grafiknya adalah sebagai berikut. Y

Y

(0, 2)

(0, 2) (4, 0)

O

(4, 0) X

O

X

x + 2y = 4

Gambar 2.3

x + 2y < 4

Gambar 2.4

38

2.


Kita selidiki titik (0, 0) dengan menyubstitusikannya pada pertidaksamaan x + 2y < 4 sehingga diperoleh 0 + 2(0) < 4 0 < 4. Terlihat bahwa pertidaksamaan 0 < 4 benar. Berarti, titik (0, 0) berada pada daerah penyelesaian x + 2y < 4, sedangkan garis x + 2y = 4 tidak memenuhi pertidaksamaan sehingga digambar putus-putus. Jadi, daerah penyelesaiannya adalah daerah yang tidak diarsir, seperti terlihat pada Gambar 2.4. Gambarlah pada bidang Cartesius, himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan berikut, untuk x, y D R. a. 2x + y ) 4 x+y)3 b. x, y * 0 x+y)7 4x + 3y ) 24

{

{

Penyelesaian: a. Sistem pertidaksamaan 2x + y ) 4 dan x + y ) 3, dengan x, y D R Titik-titik potong garis 2x + y = 4 dan x + y = 3 dengan sumbu koordinat • Untuk 2x + y = 4 • Untuk x + y = 3 Tabel 2.5 Tabel 2.4 x

0

2

x

0

3

y

4

0

y

3

0

(x, y)

(0, 4)

(2, 0)

(x, y)

(0, 3)

(3, 0)

Y

(0, 4) (0, 3)

(1, 2)

(3, 0) O

(2, 0) 2x + y = 4

Gambar 2.5

b.

X x+y=3

Keterangan: • Penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ) 4 adalah daerah di sebelah kiri garis 2x + y = 4 (yang diarsir di sebelah kanan). • Penyelesaian pertidaksamaan x + y ) 3 adalah daerah di sebelah kiri garis x + y = 3 (yang diarsir di sebelah kanan). • Titik potong garis 2x + y = 4 dan x + y = 3 2x + y = 4 x+y =3 – x =1

Berarti, x + y = 3 1 + y = 3 y = 2. Jadi, titik potongnya adalah (1, 2). Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2x + y ) 4, x + y ) 3, untuk x, y D R adalah daerah yang tidak diarsir (bersih), seperti terlihat pada Gambar 2.5. Sistem pertidaksamaan: x, y * 0, x + y ) 7, 4x + 3y ) 24 Titik-titik potong garis x + y = 7 dan 4x + 3y = 24 dengan sumbu koordinat

Program Linear

•

Untuk x + y = 7

•

Untuk 4x + 3y = 24 Tabel 2.7

Tabel 2.6 x

0

7

x

0

6

y

7

0

y

8

0

(x, y)

(0, 7)

39

(x, y)

(7, 0)

(0, 8)

(6, 0)

Y (0, 8) C(0, 7)

B(3, 4)

(7, 0) O

Keterangan: • Penyelesaian x * 0 adalah daerah di sebelah kanan sumbu Y. • Penyelesaian y * 0 adalah daerah di sebelah atas sumbu X. • Penyelesaian pertidaksamaan x + y ) 7 adalah daerah di sebelah kiri garis x + y = 7. • Penyelesaian pertidaksamaan 4x + 3y ) 24 adalah daerah di sebelah kiri garis 4x + 2y = 24.

A(6, 0) X 4x + 3y = 24 x + y = 7

Gambar 2.6

•

Titik potong antara garis x + y = 7 dan 4x + 3y = 24 x + y = 7 × 3 A 3x + 3y = 21 4x + 3y = 24 × 1 A 4x + 3y = 24 – –x = –3 x = 3 Berarti, x + y = 7 3 + y = 7 y = 4. Jadi, koordinat titik potongnya adalah (3, 4). Dengan demikian, himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan: x * 0, y * 0, x + y ) 7, 4x + 3y ) 24, dengan x, y D R adalah daerah segi empat OABC yang tidak diarsir, seperti terlihat pada Gambar 2.6.

Tugas

Kreativitas


Dengan cara-cara yang telah kalian pelajari, coba gambarlah daerah penyelesaian x+y<0 x–y>0 y= 1 Ada berapa titik yang termasuk dalam himpunan penyelesaian? Titik manakah itu?

{

40


Uji Kompetensi 1


1.

Gambarlah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear berikut pada bidang Cartesius. a. 3x + 5y < 15 d. 5x – 4y > 20 g. 6x + 5y ) 30 b. 4x – 6y > 24 e. 2x + 5y > 20 h. 8x – 6y ) 48 c. x + 4y < 12 f. x – 3y > 18 2. Gambarlah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear berikut pada bidang Cartesius. a. x – y ) –2 d. 2x + 4y * 8 f. 4 ) x + y ) 10 8x + 10 y ) 55 2x – 5y * 0 –6 ) x – y ) 0 b. 2x + 8y ) 60 –x + 5y ) 5 x * 0, y * 0 4x + 4y ) 60 x * 0, y * 0 x * 0,y * 0 e. x + 2y ) 10 c. x+y*2 2x + y ) 10 x – y * –1 y)4 5x + 3y ) 15 x, y * 0 x * 0, y ) 0

{

{

{

{ {

{

B. Merancang Model Matematika yang Berkaitan dengan Program Linear Matematika mempunyai kaitan yang erat dengan persoalanpersoalan real yang terjadi di tengah kehidupan kita. Persoalanpersoalan seperti ini di antaranya dapat diselesaikan melalui program linear. Program linear adalah suatu metode atau program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat diterjemahkan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear. Penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear ini dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Di antara beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyelesaian, terdapat satu penyelesaian terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi, tujuan program linear adalah mencari penyelesaian optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai minimum dari suatu fungsi. Fungsi tersebut dinamakan fungsi sasaran. Fungsi sasaran disebut juga fungsi tujuan atau fungsi objektif. Untuk dapat menyelesaikan program linear, terlebih dahulu kita harus menerjemahkan persoalan (kendala-kendala atau batasanbatasan yang terdapat dalam masalah program linear) ke dalam bahasa matematika yang disebut model matematika. Jadi, model matematika adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi) yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika. Model matematika yang baik memuat bagian-bagian yang diperlukan. Untuk lebih jelasnya, lakukan kegiatan berikut.

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Sebuah kapal pesiar dapat menampung 150 orang penumpang. setiap penumpang kelas utama boleh membawa 60 kg bagasi dan penumpang kelas ekonomi 40 kg. Kapal itu hanya dapat membawa 8.000 kg bagasi. Jika banyak penumpang kelas utama adalah x dan banyak penumpang kelas ekonomi adalah y maka sistem pertidaksamaan yang harus dipenuhi adalah .... a. x + y ) 150, 3x + 2y ) 800, x * 0, y * 0 b. x + y ) 150, 3x + 2y ) 400, x * 0, y * 0 c. x + y * 150, 3x + 2y ) 400, x * 0, y * 0 d. x + y ) 150, 3x + 3y ) 400, x * 0, y * 0 e. x + y ) 150, 3x + 3y ) 800, x * 0, y * 0 Soal Ebtanas SMA, 1996

Program Linear

41


Kegiatan

Disajikan permasalahan berikut. Seorang tukang mebel membuat kursi dan meja. Setidaktidaknya harus diproduksi 500 mebel, yang terdiri atas kursi dan meja. Pengerjaan kursi memerlukan waktu 2 jam, sedangkan pengerjaan meja memerlukan waktu 5 jam. Waktu yang tersedia 1.500 jam. Harga jual eceran kursi Rp75.000,00 dan meja Rp125.000,00. Bagaimana model matematikanya? Tujuan: Membentuk model matematika dari permasalahan tersebut. Permasalahan: Bagaimana model matematika dari permasalahan tersebut? Langkah-Langkah: 1. Misalkan x = banyak kursi dan y = banyak meja. 2. Tulislah pertidaksamaan linear dua variabel untuk jumlah mebel yang diproduksi. Perhatikan kendala bahwa paling sedikit harus diproduksi mebel sebanyak 500 buah. ... x + ...y * 500 3. Tulislah pertidaksamaan linear untuk waktu total produksi. Perhatikan kendala bahwa waktu total produksi adalah 1.500 jam. ... x + ...y ) 1.500 4. Tulis juga dua kendala lainnya, yaitu tiap jenis mebel tidak mungkin negatif. ... * 0 dan ...* 0 5. Tulislah pernyataan untuk fungsi tujuan jika pabrik menginginkan memperoleh pendapatan kotor paling besar. Fungsi tujuan z = ...x + ...y 6. Simpulkan model matematika yang kalian peroleh. Kendala: ... x + ... y * 500 ... x + ... y ) 1.500 ... * 0 dan ... * 0 Fungsi objektif: memaksimumkan z = ...x + ...y Kesimpulan: Dari langkah-langkah di atas akan diperoleh model matematika: Fungsi objektif: memaksimumkan z = 75.000x + 125.000y Kendala: x + y * 500 2x + 5y ) 1.500 x * 0; y * 0

{

{

Setelah melakukan kegiatan di atas, tentu kalian mampu memahami contoh-contoh berikut dengan mudah.

42


Contoh: 1.

Luas suatu lahan parkir adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-masing adalah 8 m2 dan 24 m2. Lahan parkir tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil yang sedang diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y. Penyelesaian: Dari keterangan tersebut, diperoleh hubungan sebagai berikut.. 8x + 24 y ) 400 x + y ) 20 Karena x dan y masing-masing menunjukkan banyaknya mobil dan bus, x dan y berupa bilangan cacah. Jadi, model matematika persoalan tersebut adalah 8x + 24y ) 400 x + y ) 20 x * 0, y * 0 x, y D C

{

2.

Suatu industri rumah tangga memproduksi dua jenis roti, yaitu roti jenis A dan roti jenis B. Roti jenis A memerlukan 150 g tepung dan 50 g mentega. Roti jenis B memerlukan 75 g tepung dan 75 g mentega. Banyaknya tepung yang tersedia adalah 2,25 kg, sedangkan banyaknya mentega yang tersedia adalah 1,25 kg. Pemilik industri rumah tangga itu ingin membuat kedua jenis roti tersebut sebanyakbanyaknya. Buatlah model matematika dari masalah tersebut. Penyelesaian: Misalkan banyaknya roti jenis A adalah x dan roti jenis B adalah y. Keterangan pada soal di atas dapat dirangkum dalam tabel berikut. Tabel 2.8 Roti Jenis A Roti Jenis B Maksimum Tepung (gram) Mentega (gram)

150x 50x

75y 75y

2.250 1.250

Banyaknya tepung yang digunakan untuk membuat kedua jenis roti tersebut adalah (150x + 75y) g, sedangkan banyaknya tepung yang tersedia adalah 2.250 g sehingga diperoleh hubungan 150x + 75y ) 2.250 atau 2x + y ) 30 ................................. (1) Banyaknya mentega yang digunakan untuk membuat kedua jenis roti tersebut adalah (50x + 75y) g, sedangkan banyaknya mentega yang tersedia adalah 1.250 g sehingga diperoleh hubungan 50x + 75y ) 1.250 atau 2x + 3y ) 50 ................................. (2) Karena x dan y masing-masing menyatakan banyaknya roti, x * 0 dan y * 0 .... (3) Nilai-nilai x dan y berupa bilangan cacah. Karena permasalahannya adalah bagaimana membuat kedua jenis roti sebanyakbanyaknya (memaksimumkan), fungsi objektif atau fungsi sasarannya adalah menentukan x + y maksimum.

Program Linear

43

Misalkan fungsi sasarannya z maka z = x + y. Pertidaksamaan (1) sampai dengan (3) merupakan kendala (pembatas) sehingga model matematika tersebut dapat ditulis sebagai berikut. Fungsi objektif: menentukan nilai maksimum z = x + y Kendala: 2x + y ) 30 2x + 3y ) 50 x * 0, y * 0 x, y D C

{

Problem Solving Seorang pedagang es menjual dua jenis es krim, yaitu jenis I dan jenis II. Harga beli es krim jenis I adalah Rp700,00 per bungkus dan es krim jenis II Rp600,00 per bungkus. Modal yang dimiliki pedagang tersebut Rp168.000,00, sedangkan termos es yang digunakan untuk menjual es tidak dapat memuat lebih dari 300 bungkus es krim. Keuntungan es krim jenis I adalah Rp300,00 per bungkus dan jenis II adalah Rp200,00 per bungkus. Penjual es itu ingin memperoleh keuntungan sebanyak-banyaknya. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Penyelesaian: Misalkan banyaknya es krim jenis I adalah x dan jenis II adalah y sehingga dari persoalan di atas, dapat dibuat tabel persoalan berikut. Tabel 2.9

Banyaknya Es Krim Harga Beli Per Bungkus

Es Krim Jenis I

Es Krim Jenis II

x 700x

y 600y

Maksimum 300 168.000

Karena termos es dapat memuat tidak lebih dari 300 bungkus, sedangkan banyaknya es krim jenis I dan II adalah (x + y) bungkus, diperoleh hubungan x + y ) 300 ................................................................................................................. (1) Modal yang dimiliki Rp168.000, sedangkan uang yang diperlukan untuk membeli kedua jenis es krim adalah (700x + 600y), diperoleh hubungan 700x + 600y ) 168.000 atau 7x + 6y ) 1.680..............................................................(2) Karena x dan y menyatakan banyaknya es krim maka x * 0 dan y * 0 .................... (3) Nilai-nilai x dan y adalah bilangan cacah. Karena permasalahannya adalah menentukan keuntungan maksimum yang diharapkan oleh pedagang es, fungsi objektifnya adalah menentukan nilai maksimum z = 300x + 200y. Model matematikanya adalah sebagai berikut. Fungsi objektif: menentukan nilai maksimum z = 300x + 200y Kendala: x + y ) 300 7x + 6y ) 1.680 x * 0, y * 0 x, y D C

{

44


Uji Kompetensi 2 1.

2.

3.

4.

5.

6.


Diketahui jumlah dua bilangan nonnegatif x dan y tidak lebih dari 25, sedangkan 4 kali bilangan x ditambah 2 kali bilangan y tidak lebih dari 75. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Seorang pedagang buah menjual buah mangga dan buah jeruk yang ditempatkan dalam satu keranjang. Daya tampung keranjang itu tidak lebih dari 1.000 buah. Harga satu buah mangga dan satu buah jeruk masing-masing Rp500,00 dan Rp1.000,00. Apabila seluruh buah terjual, uang yang ia peroleh tidak lebih dari Rp750.000,00. Jika banyaknya buah mangga dan buah jeruk masing-masing adalah x dan y, buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Harga karcis dalam suatu gedung pertunjukan dibedakan menjadi dua kelompok umur, yaitu anak-anak dan dewasa yang masing-masing seharga Rp2.500,00 dan Rp5.000,00. Jika karcis terjual habis, uang yang terkumpul seluruhnya tidak lebih dari Rp125.000,00, sedangkan daya tampung gedung tersebut paling banyak 1.000 orang. Apabila x dan y masing-masing menyatakan banyaknya anak-anak dan orang dewasa yang mengunjungi suatu pertunjukan di gedung tersebut, tentukan model matematika dari permasalahan tersebut. Seorang anak yang membeli 8 buku tulis dan 5 pensil harus membayar Rp18.500,00. Anak yang lain membeli 4 buku tulis dan 6 pensil harus membayar Rp11.000,00. Jika harga satu buku tulis dan satu pensil masing-masing x dan y, buatlah model matematika untuk persoalan tersebut. Suatu pabrik mainan memproduksi 2 jenis mainan, yaitu jenis I dan II. Keuntungan setiap mainan jenis I adalah Rp3.000,00, sedangkan jenis II Rp5.000,00. Mainan jenis I memerlukan waktu 6 jam untuk membuat bahan-bahannya, 4 jam untuk memasang, dan 5 jam untuk mengepak. Mainan jenis II memerlukan waktu 3 jam untuk membuat bahannya, 6 jam untuk memasang, dan 5 jam untuk mengepak. Suatu pesanan sedang dikerjakan pabrik itu dengan alokasi waktu 54 jam untuk membuat bahan-bahannya, 48 jam untuk memasang, dan 50 jam untuk mengepak. Pabrik tersebut berharap untuk mendapatkan keuntungan maksimum dari pesanan tersebut. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Seorang ahli pertanian ingin mencampur dua jenis pupuk dengan memberikan 15 g kalium karbonat, 20 g nitrat, dan 24 g fosfat seminimal mungkin pada suatu takaran. Satu takaran pupuk merek I yang harganya Rp75.000,00 per bungkus memerlukan 3 g kalium karbonat, 1 g nitrat, dan 1 g fosfat. Pupuk merek II harganya Rp60.000,00 per bungkus memerlukan 1 g kalium karbonat, 5 g nitrat, dan 2 g fosfat. Buatlah model matematika dari persoalan tersebut agar pengeluarannya sekecil mungkin.

Program Linear

Soal Terbuka 1.

2.

45


Suatu perusahaan mebel mengerjakan proses finishing 2 model meja, yaitu model klasik dan modern. Meja model klasik memerlukan waktu 2 jam untuk mengampelas dan 3 jam untuk mewarnai. Meja model modern memerlukan waktu 4 jam untuk mengampelas dan 1 jam untuk mewarnai. Perusahaan tersebut memiliki waktu untuk mengerjakan pesanan selama 60 jam untuk mengampelas dan 80 jam untuk mewarna. Perusahaan tersebut berharap untuk mendapatkan keuntungan sebesar-besarnya dari penjualan meja tersebut. Jika keuntungan penjualan masing-masing meja model klasik dan modern adalah Rp150.000,00 dan Rp180.000,00 per meja, buatlah model matematika dari persoalan tersebut. Seorang peternak menginginkan ternaknya mendapatkan paling sedikit 24 g zat besi dan 8 g vitamin setiap hari. Satu takaran jagung memberikan 2 g zat besi dan 5 g vitamin, sedangkan satu takaran padi-padian memberikan 2 g zat besi dan 1 g vitamin. Peternak itu ingin mencampur bahan makanan tersebut untuk mendapatkan biaya yang semurahmurahnya. Jika harga jagung Rp1.500,00 per bungkus dan harga padi-padian Rp2.500,00 per bungkus, buatlah model matematika dari persoalan tersebut.

C. Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ) 40 x + 2y ) 40 x * 0; y * 0 terletak pada daerah berbentuk .... a. trapesium b. persegi panjang c. segitiga d. segi empat e. segi lima

{

Soal PPI, 1982

Kalian telah mampu merancang model matematika yang berkaitan dengan masalah program linear. Model itu tidak akan banyak berarti jika kalian tidak menyelesaikan permasalahan yang timbul dari model itu. Menyelesaikan model itu sama halnya menentukan nilai optimum (maksimum/minimum) dari fungsi objektifnya, kemudian menafsirkannya pada persoalan semula.

1. Fungsi Objektif ax + by Untuk memahami pengertian bentuk objektif ax + by, perhatikan kembali model matematika pada contoh-contoh yang telah kita pelajari di atas. a. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel 2x + y ) 30 2x + 3y ) 50 x * 0, y * 0, dengan x, y D C Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y

{

46


b.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel x + y ) 300 4x + 3y ) 1.120 x * 0, y * 0, dengan x, y D C Fungsi objektif: memaksimumkan z = 25x + 10y Dengan memerhatikan kedua model matematika pada contoh di atas, kita ketahui bahwa tujuan yang hendak dicapai dalam suatu model matematika dinyatakan dalam bentuk persamaan z = ax + by. Bentuk ax + by yang hendak dioptimumkan (dimaksimumkan atau diminimumkan) tersebut dinamakan fungsi objektif. Dengan kata lain, fungsi objektif dalam program linear adalah fungsi z = ax + by yang hendak ditentukan nilai optimumnya.

{

2. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Objektif Setelah kita memahami pengertian model matematika dan fungsi objektif, kita dapat mengetahui tujuan yang hendak dicapai dari persoalan program linear, yaitu menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif. Langkah-langkah untuk menyelesaikan persoalan program linear secara umum adalah 1. menerjemahkan atau merumuskan permasalahan ke dalam model matematika; 2. menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas; 3. mencari penyelesaian optimum (maksimum atau minimum); 4. menjawab permasalahan. Berkaitan dengan hal tersebut, kita dapat menggunakan metode grafik yang terdiri atas dua macam cara, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik. a.

Metode Uji Titik Sudut Dengan metode ini, nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by ditentukan dengan menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut (titik verteks) yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dua variabel. Beberapa nilai yang diperoleh itu, kemudian dibandingkan. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by, sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by. Untuk lebih memahami cara menentukan nilai optimum fungsi objektif dengan uji titik sudut, perhatikan contohcontoh berikut.

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Nilai minimum dari z = 3x + 6y yang memenuhi syarat 4x + y * 20 x + y ) 20 x + y * 10 x*0 y*0 adalah .... a. 50 d. 20 b. 40 e. 10 c. 30

{

Soal UMPTN, 2001

Program Linear

47

Contoh: 1.

Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model matematika berikut. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel. 2x + y ) 30 2x + 3y ) 50 x * 0, y * 0, dengan x, y D C Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y Penyelesaian: Titik potong garis dengan persamaan 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 dengan sumbu koordinat dapat ditentukan dengan membuat tabel, seperti pada Tabel 2.10 dan Tabel 2.11. • Untuk 2x + y = 30 • Untuk 2x + 3y = 50 Tabel 2.10 Tabel 2.11

{

x

0

15

x

0

25

y

30

0

y

16 23

0

(x, y) (0, 30) (15, 0)

(x, y) (0, 16 23 )

(25, 0)

Pasangan koordinat tersebut kita lukis pada bidang koordinat dan dihubungkan dengan sebuah garis lurus. Setelah garis 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 terlukis, tentukan daerah penyelesaian pertidaksamaan 2x + y ) 30 dan 2x + 3y ) 50, seperti pada gambar di bawah. Y (0, 30)

C (0, 16 2 ) 3

B (10, 10) A(15, 0)

O 2x + y = 30

(25, 0) 2x + 3y = 50

X

Gambar 2.7

Daerah himpunan penyelesaiannya diperlihatkan sebagai bagian yang bersih (tidak diarsir). Titik potong kedua garis tersebut adalah 2x + y = 30 2x + 3y = 50 –––––––––– – –2y = –20 atau y = 10

48


Karena nilai y = 10 maka 2x + y = 30 2x + 10 = 30 2x = 20 x = 10. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (10, 10). Dari Gambar 2.7, tampak bahwa titik-titik sudut yang terdapat pada daerah himpunan penyelesaian adalah titik O(0, 0), A(15, 0), B(10, 10), dan C(0, 16 23 ). Selanjutnya, selidiki nilai fungsi objektif z = x + y untuk masing-masing titik sudut tersebut. Tabel 2.12 Titik

O(0, 0)

A(15, 0)

B(10, 10)

C(0, 16 23 )

x y

0 0

15 0

10 10

0 16 23

z=x+y

0

15

20

16 23

z maksimum

2.

Dari tabel tersebut, nilai maksimum fungsi objektif z = x + y adalah 20, yaitu untuk x = 10 dan y = 10. Seorang pedagang beras hendak mengangkut 60 ton beras dari gudang ke tokonya. Untuk keperluan tersebut, ia menyewa dua jenis kendaraan, yaitu truk dan pikap. Dalam sekali jalan, satu truk dapat mengangkut 3 ton beras, sedangkan pikap dapat mengangkut 2 ton beras. Untuk sekali jalan, biaya sewa truk adalah Rp50.000,00, sedangkan pikap Rp40.000,00. Dengan cara sewa seperti ini, pedagang beras tersebut diharuskan menyewa kedua kendaraan itu sekurang-kurangnya 24 kendaraan. Berapa banyak truk dan pikap yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum dan berapa biaya minimum tersebut? Penyelesaian: Misalkan banyaknya truk adalah x dan banyaknya pikap adalah y. Berdasarkan soal di atas, dapat dibuat tabel sebagai berikut. Tabel 2.13 Jenis I Banyak Kendaraan Banyak Muatan (ton)

x 3x

Jenis II y 2y

Dari diagram tersebut, diperoleh sistem pertidaksamaan berikut. x + y * 24 3x + 2y * 60 x * 0, y * 0, dengan x, y D C

{

Maksimum 24 60

Program Linear

49

Fungsi objektif: meminimumkan z = 50.000x + 40.000y Untuk membuat garis x + y = 24 dan 3x + 2y = 60, kita tentukan titik potong garisgaris tersebut terhadap sumbu-sumbu koordinat dengan membuat tabel seperti berikut. • Untuk x + y = 24 • Untuk 3x + 2y = 60 Tabel 2.14

Tabel 2.15

x

0

24

x

0

20

y

24

0

y

30

0

(x, y)

(0, 24)

(24, 0)

(x, y)

(0, 30)

(20, 0)

Y C (0, 30)

(0, 24)

3x + 2y = 60

x + y = 24 B (12, 12)

A (24, 0) O

(20, 0)

X

Gambar 2.8

Daerah penyelesaiannya terlihat pada Gambar 2.8. Menentukan titik potong kedua garis x + y = 24 × 2 A 2x + 2y = 48 3x + 2y = 60 × 1 A 3x + 2y = 60 – –x = –12 x = 12 Karena x = 12 maka x + y = 24 12 + y = 24 y = 12. Jadi, koordinat titik potong kedua garis itu adalah (12, 12). Dari gambar di samping, tampak bahwa titik-titik sudut yang terdapat pada daerah penyelesaian adalah A(24, 0), B(12, 12), dan C(0, 30). Nilai bentuk objektif z = 50.000x + 40.000y untuk masing-masing titik tersebut, dapat diselidiki dengan membuat tabel sebagai berikut. Tabel 2.16

Titik

A(24, 0)

B(12, 12)

C(0, 30)

x y

24 0

12 12

0 30

50.000x + 40.000y

1.200.000

1.080.000

1.200.000

Dari tabel tersebut, nilai minimum bentuk objektif z = 50.000x + 40.000y adalah 1.080.000, yaitu untuk x = 12 dan y = 12. Jadi, banyaknya kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00.

50


b.

Metode Garis Selidik ax + by = k Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut memerlukan perhitungan dan waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang berbentuk ax + by = k. Misalkan terdapat suatu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan mengambil beberapa nilai ki untuk z, yaitu k1, k2, ..., kn, diperoleh n garis selidik yang memiliki persamaan sebagai berikut. k1 = ax + by k2 = ax + by ... kn = ax + by Garis-garis tersebut mempunyai gradien yang sama, yaitu a m = – . Dengan demikian, garis-garis tersebut merupakan b garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagian dari garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesaian pertidaksamaan linear (daerah feasibel) dan salah satu di antaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif z = ax + by. Garis selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian menunjukkan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling bawah pada daerah penyelesaian menunjukkan nilai minimum.

Tugas

Eksplorasi

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Y 4

2

-4

X

Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2004


Contoh: Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematika berikut. Sistem pertidaksamaan linear dua variabel: 2x + y < 30 2x + 3y < 50 x, y > 0, dengan x, y D C Fungsi objektif: memaksimumkan z = x + y

{

O

Pada gambar di atas, daerah yang diwarnai gelap memenuhi sistem pertidaksamaan a. y * 0, x ) 0, 3y * 4x + 12, x – 2y ) –4 b. x ) 0, 3y ) 4x + 12, x – 2y * –4 c. x ) 0, 2y – x * 4, 3y ) 4x + 12 d. x ) 0, y * 9, 3y ) 4x + 12, 2y – x ) 4 e. y * 0, x ) 0, 2y – x * 4, 3y * 4x + 12

Buktikan bahwa n garis selidik dengan persamaan k1 = ax + by k2 = ax + by .... kn = ax + by mempunyai gradien m = – a . b

1.

-3

Program Linear

51

Y Penyelesaian: (0, 30) Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0, yaitu dengan mengambil nilai k yang berbeda- C (0, 16 23 ) B (10, 10) beda, seperti pada gambar di samping. A(15, 0) (25, 0) Dari Gambar 2.9, tampak bahwa apabila O X nilai k makin besar, letak garis-garis x + y = 2x + 3y = 50 2x + y = 30 k makin jauh dari titik O(0, 0). Karena nilai k Gambar 2.9 bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titik O(0, 0). Nilai z maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik (10, 10), yaitu 10 + 10 = 20 dan nilai z minimum diperoleh dari garis x + y = k yang melalui titik O(0, 0), yaitu 0 + 0 = 0.

2.

Y Seperti soal nomor 2 (halaman 48), tetapi C (0, 30) selesaikan dengan menggunakan metode garis selidik. Penyelesaian: 3x + 2y = 60 (0, 24) Dari soal yang dimaksud, diperoleh model matematika x + y > 24 x + y = 24 3x + 2y > 60 B (12, 12) x > 0, y > 0 Fungis objektif: A (24, 0) meminimumkan z = 50.000x + 40.000y O (20, 0) X Dari informasi soal tersebut, diperoleh Gambar 2.10 himpunan penyelesaian yang dapat dilihat pada gambar di samping. Terlebih dahulu dibuat garis 50.000x + 40.000y = k, dengan k berbeda-beda, seperti pada Gambar 2.10. Dari gambar itu, tampak bahwa makin kecil nilai k, makin dekat ke titik O(0, 0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, maka nilai z terkecil (minimum) bersesuaian dengan garis terdekat dengan titik O(0, 0). Garis terdekat yang dimaksud melalui titik A(12, 12). Jadi, nilai z minimum adalah z = 50.000(12) + 40.000(12) = 1.080.000. Jadi, banyak kendaraan yang harus disewa agar biaya yang dikeluarkan minimum adalah 12 truk dan 12 pikap. Biaya minimumnya adalah Rp1.080.000,00. Tampak bahwa dengan kedua cara, akan memberikan hasil yang sama.

{

Problem Solving Suatu pabrik farmasi memproduksi dua jenis kapsul, yaitu jenis I dan jenis II. Setiap kapsul jenis I mengandung 6 mg vitamin A, 8 mg vitamin C, dan 1 mg vitamin E. Setiap kapsul jenis II mengandung 8 mg vitamin A, 3 mg vitamin C, dan 4 mg vitamin E. Setiap hari, seorang pasien memerlukan tambahan vitamin selain berasal dari makanan

52


dan minuman sebanyak 40 mg vitamin A, 24 mg vitamin C, dan 12 mg vitamin E. Harga satu kapsul jenis I adalah Rp1.000,00 dan kapsul jenis II adalah Rp1.500,00. Berapa banyak uang minimal yang harus disediakan pasien tersebut untuk memenuhi kebutuhan vitaminnya setiap hari. Penyelesaian: Misalkan banyaknya kapsul jenis I adalah x dan kapsul jenis II adalah y. Berdasarkan banyaknya kandungan vitamin yang diketahui, dapat dibuat tabel sebagai berikut. Tabel 2.17 Vitamin Vitamin A Vitamin C Vitamin E

Kapsul Jenis I Kapsul Jenis II (mg) (mg) 6x 8x x

Kebutuhan Minimum (mg)

8y 3y 4y

40 24 12

Model matematikanya adalah sebagai berikut. Sistem pertidaksamaan linear: 6x + 8y * 40 8x + 3y * 24 x + 4y * 12 x * 0, y * 0 dengan x, y D C Fungsi objektif: memi8x + 3y =24 Y nimumkan z = 1.000x + 1.500y A (0, 8) Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 6x + 8y = 40 linear di atas digam(0, 5) B barkan sebagai daerah x + 4y = 12 yang tidak diarsir, (0, 3) seperti pada gambar di samping.

{

O

(3, 0)

1.000x + 1.500y = 12.000 C D (12, 0)

X

2 3

(6 , 0) Gambar 2.11

Titik B adalah perpotongan garis 8x + 3y = 24 dan 6x + 8y = 40. Koordinat titik B dapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut. 8x + 3y = 24 × 8 A 64x + 24y = 192 6x + 8y = 40 × 3 A 18x + 24y = 120 – 46x = 72 x = 1 13 23 8x + 3y = 24 × 3 A 24x + 9y = 72 6x + 8y = 40 × 4 A 24x + 32y = 160 – –23y = –88 y = 3 19 23

Program Linear

53

19 Berarti, koordinat titik B adalah B (1 13 23 , 3 23 ) . Titik C adalah perpotongan garis 6x + 8y = 40 dan x + 4y = 12. Koordinat titik C dapat ditentukan dengan metode eliminasi sebagai berikut. 6x + 8y = 40 × 1 A 6x + 8y = 40 × 2 A 2x + 8y = 24 x + 4y = 12 –––––––––– – 4x = 16 x = 4

6x + 8y = 40 x + 4y = 12

× 1 A 6x + 8y = 40 × 6 A 6x + 24y = 72 –––––––––––– – –16y = –32 y = 2

Berarti, koordinat titik C adalah C(4, 2). Dari Gambar 2.11, nilai minimum dari fungsi objektif z = 1.000x + 1.500y dicapai pada titik C(4, 2) sehingga nilai minimum dari z = 1.000x + 1.500y = 1.000(4) + 1.500(2) = 4.000 + 3.000 = 7.000. Jadi, banyaknya uang minimum yang harus disediakan oleh pasien tersebut adalah Rp7.000,00 setiap hari dengan mengonsumsi 4 kapsul jenis I dan 2 kapsul jenis II.

Soal Terbuka

Diskusi Mengomunikasikan Gagasan Dalam setiap pengerjaan masalah optimasi, mengapa selalu digunakan titik-titik sudut untuk menentukan nilai optimasinya (maksimum atau minimumnya)? Jelaskan menurut pendapat kalian.


1. Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 500x + 400y yang memenuhi sistem pertidaksamaan berikut. 2x + 3y ) 2.500 x + 7y ) 4.000 x * 0, y * 0 2. Sebuah pabrik roti ingin membuat dua jenis roti, yaitu roti A dan B. Pada pembuatan 1 paket roti A diperlukan 50 kg mentega dan 60 kg tepung. Pembuatan 1 paket roti B diperlukan 1 kuintal mentega dan 20 kg tepung. Mentega dan tepung yang tersedia masing-masing adalah 3,5 ton dan 2,2 ton. Jika harga roti A dan B per paketnya masing-masing adalah Rp2.750.000,00 dan Rp3.600.000,00, tentukan jumlah uang hasil penjualan kedua roti tersebut. Jika koordinat titik optimum tidak bulat, sedangkan titik optimum yang diminta berupa bilangan bulat, perlu diselidiki titik-titik bulat di sekitar titik optimum yang termasuk dalam daerah penyelesaian.

54


Contoh: Tentukan nilai maksimum dari fungsi objektif z = 15x + 10y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear berikut. x+y)5 3x + y ) 8 x * 0, y * 0 x, y D C Penyelesaian: Y Titik potong garis x + y = 5 dan 3x + y = 8 adalah

{

(1 12 , 3 12 ) . Jika x dan y bilangan real, nilai maksimum fungsi z = 15x + 10y dicapai pada titik (1 12 , 3 12 ) . Oleh karena itu, perlu diselidiki titik-titik bulat di sekitar

(1 12 , 3 12 )

dan termasuk dalam daerah penyelesaian, yaitu titik (1, 4), (1, 3), dan (2, 2). • Untuk titik (1, 4) z = 15x + 10y = 15(1) + 10(4) = 55 • Untuk titik (1, 3) z = 15x + 10y = 15(1) + 10(3) = 45 • Untuk titik (2, 2) z = 15x + 10y = 15(2) + 10(2) = 50

(1 12 , 3 12 )

O

2 23

X

Gambar 2.12

Berarti, nilai maksimum fungsi z dicapai pada titik bulat (1, 4), yaitu z = 55.

Uji Kompetensi 3 1.


Dengan metode uji titik sudut, tentukan titik optimum (x, y) dan nilai optimum fungsi objektif dari program linear berikut. a. Sistem pertidaksamaan linear: 2x + 5y ) 40 4x + y ) 20 10 + 5y ) 60 x * 0, y * 0 x, y D C Fungsi objektif: memaksimumkan z = 24x + 8y b. Sistem pertidaksamaan linear: 2x + 3y * 40 2x + 2y * 28 8x + 2y * 32 x * 0, y * 0 x, y D C Fungsi objektif: meminimumkan z = 3x + 4y

{ {

Program Linear

c.

55

Sistem pertidaksamaan linear: 4x + 2y * 20 2x + y * 14 x + 6y * 18 x * 0, y * 0 x, y D C Fungsi objektif: meminimumkan z = 4x + 2y

{

2.

Dengan metode garis selidik, tentukan nilai optimum fungsi objektif dari program linear berikut. a. Sistem pertidaksamaan linear: 2x + 6y ) 36 5x + 3y ) 30 8x + 2y ) 60 x * 0, y *0 x, y D C Fungsi objektif: memaksimumkan z = 40x + 50y b.

3.

4.

5.

{ {

Sistem pertidaksamaan linear: 3x + y * 15 x + 5y * 20 3x + 2y * 24 x * 0, y * 0 x, y D C

Seekor hewan pemakan serangga setiap hari paling sedikit memerlukan 10 unit makanan A, 12 unit makanan B, dan 12 unit makanan C. Untuk memenuhi kebutuhannya, hewan tersebut memakan 2 jenis serangga. Serangga jenis I memberikan masing-masing makanan A, B, dan C sebanyak 5, 2, dan 1 unit setiap ekor. Serangga jenis II memberikan masing-masing makanan A, B, dan C sebanyak 1, 2, dan 4 unit setiap ekor. Untuk menangkap serangga jenis I, hewan tersebut mengeluarkan 3 unit energi, sedangkan untuk menangkap serangga jenis II dikeluarkan 2 unit energi. Berapa ekor jenis serangga masing-masing harus ditangkap hewan tersebut untuk memenuhi kebutuhan makanan dengan mengeluarkan energi minimum? Suatu pabrik baja memproduksi dua tipe baja yang diberi kode baja B1 dan B2. Baja B1 memerlukan 2 jam untuk melebur, 4 jam untuk menggiling, dan 10 jam untuk memotong. Baja B2 memerlukan 5 jam untuk melebur, 1 jam untuk menggiling, dan 5 jam untuk memotong. Waktu yang tersedia untuk melebur, menggiling, dan memotong masing-masing adalah 40 jam, 20 jam, dan 60 jam. Keuntungan setiap potong baja B1 dan baja B2 masing-masing adalah Rp240.000,00 dan Rp80.000,00. Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh. Suatu perusahaan batu kerikil untuk halaman rumah memproduksi dua macam batu kerikil, yaitu kasar dan halus. Batu kerikil kasar memerlukan waktu 2 jam untuk menghancurkan, 5 jam untuk mengayak, dan 8 jam untuk mengeringkan. Batu kerikil yang halus memerlukan waktu 6 jam untuk menghancurkan, 3 jam

56

6.

7.

8.


untuk mengayak, dan 2 jam untuk mengeringkan. Keuntungan dari masing-masing batu kerikil itu adalah Rp40.000,00 untuk yang kasar dan Rp50.000,00 untuk yang halus. Suatu pesanan dikerjakan perusahaan itu dengan alokasi waktu 36 jam untuk menghancurkan, 30 jam untuk mengayak, dan 40 jam untuk mengeringkan. Tentukan keuntungan maksimum yang diperoleh. Suatu pabrik menghasilkan dua macam barang, yaitu A dan B. Masing-masing barang diproses melalui dua mesin. Setiap unit barang A diproses selama 4 menit di mesin I dan II, sedangkan setiap unit barang B diproses selama 2 menit di mesin I dan 4 menit di mesin II. Kapasitas pengoperasian mesin I dan mesin II masingmasing 600 menit dan 480 menit. Dari setiap penjualan satu unit barang A diperoleh laba Rp8.000,00, sedangkan dari penjualan satu unit barang B diperoleh laba Rp6.000,00. Nyatakan komposisi penjualan barang A dan B yang akan memaksimumkan laba dan tentukan laba maksimumnya. Seorang peternak merasa perlu memberi makanan yang mengandung paling sedikit 27, 21, dan 30 satuan unsur nutrisi A, B, dan C setiap hari kepada ternaknya. Untuk itu, ada dua jenis makanan, yaitu M dan N yang dapat diberikan kepada ternak tersebut. Satu pon (500 g) jenis makanan M mengandung A, B, dan C masingmasing sebesar 3, 1, dan 2 satuan. Satu pon jenis makanan N mengandung nutrisi A, B, dan C masing-masing 1, 1, dan 2 satuan. Harga satu pon makanan M dan N masing-masing sebesar Rp4.000,00 dan Rp2.000,00. Tentukan komposisi kedua jenis makanan tersebut yang meminimumkan pengeluaran serta besarnya pengeluaran minimum peternak tersebut. Suatu pabrik alat-alat pertanian memproduksi dua jenis pompa air. Setiap jenis pompa air harus melalui tiga tahap dalam perakitan. Waktu yang diperlukan dan waktu yang tersedia dalam setiap tahap diperlihatkan dalam tabel berikut. Tabel 2.18 Perakitan

Tahap I

Tahap II

Tahap III

Jenis I Jenis II

40 jam 30 jam

24 jam 32 jam

20 jam 24 jam

Waktu yang Tersedia

480 jam

480 jam

480 jam

Jenis Pompa Air

Keuntungan setiap unit pompa air jenis I dan II masing-masing adalah Rp30.000,00 dan Rp50.000,00. Tentukan keuntungan maksimum dan jumlah produksi kedua jenis pompa tersebut agar diperoleh keuntungan maksimum. Soal Terbuka 1.


Seorang ahli elektronik merakit alat-alat stereo-set yang akan dijual di tokonya. Ia merangkai dua macam produk, yaitu piringan hitam dan pesawat kaset. Dari hasil penjualan piringan hitam, ia memperoleh laba Rp3.000,00 setiap unit

Program Linear

2.

57

dan dari penjualan pesawat kaset Rp4.500,00 setiap unit. Kedua produk itu harus melalui dua tahap perakitan dan ruang uji. Satu piringan hitam memerlukan 12 jam untuk merakit dan 4 jam untuk menguji, sedangkan pesawat kaset memerlukan 4 jam untuk merakit dan 8 jam untuk menguji. Berdasarkan jadwal setiap bulan, waktu yang tersedia adalah 60 jam untuk merakit dan 40 jam untuk menguji. Tentukan kombinasi terbaik untuk kedua macam produk tersebut agar menghasilkan keuntungan maksimum (terbesar). Tentukan pula besar keuntungan maksimum. Suatu perusahaan alat rumah tangga memproduksi lemari buku dan meja bagi keperluan pelajar. Penjualan setiap lemari buku memberikan laba Rp5.000,00 dan Rp7.500,00 untuk meja. Setiap produk itu melalui dua tahap pengerjaan, yaitu memotong dan merakit. Satu lemari buku memerlukan waktu 4 jam pemotongan dan 4 jam untuk merakit, sedangkan satu meja memerlukan waktu 3 jam pemotongan dan 5 jam untuk merakit. Jika perusahaan menyediakan waktu 40 jam untuk pemotongan dan 30 jam untuk merakit, berapakah laba maksimum dari kedua produk tersebut? Berapa banyak meja dan lemari buku yang harus diproduksi agar diperoleh laba maksimum?

Tugas

Informasi Lebih Jauh


Agar wawasan kalian bertambah, cobalah cari informasi-informasi yang berkaitan dengan software untuk menyelesaikan kasus program linear di media-media yang ada di sekitarmu (perpustakaan, buku-buku referensi, maupun internet). Pelajarilah cara menggunakannya. Refleksi Setelah mempelajari materi program linear, tentunya kalian memahami bagaimana cara menerjemahkan persoalan (kasus) sehari-hari ke dalam matematika, untuk kemudian menyelesai-

kannya. Coba cari contoh kasus yang sesuai dengan materi ini, kemudian terjemahkan dalam bahasa matematika dan selesaikan. Keistimewaan apa yang kalian peroleh setelah mempelajari bab ini?

Rangkuman 1. 2.

Sistem pertidaksamaan linear dua variabel adalah suatu sistem (gabungan dua atau lebih) pertidaksamaan linear yang memuat dua variabel. Program linear digunakan untuk memecahkan masalah optimasi.

58


3.

Model matematika berupa persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi yang diperoleh dari hasil penafsiran atau terjemahan suatu masalah program linear ke dalam bahasa matematika. Untuk memecahkan permasalahan model matematika, hal yang utama adalah memisalkan variabel-variabel dari permasalahannya ke dalam simbol-simbol matematika. Fungsi objektif adalah suatu fungsi yang hendak ditentukan nilai optimumnya pada program linear. Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan, antara lain dengan a. metode uji titik sudut; b. metode garis selidik.

4.

5.

Latihan Ulangan Harian II



Daerah yang tidak diarsir pada gambar berikut memenuhi sistem pertidaksamaan ....

2.

{

Y

6 4

3. O

a.

b.

c.

d.

e.

3

{ { { { {

2x + y ) 8 3x + 2y ) 12 x, y * 0 x+2y*8 3x + 2y ) 12 x * 0, y * 0 x + 2y ) 8 3x + 2y * 12 x * 0, y * 0 x + 2y * 6 3x + 2y * 8 x * 0, y * 0 2x + y ) 6 x + 2y ) 8 x * 0, y * 0

8

Nilai maksimum fungsi z = 400x + 300y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 5x + 2y ) 30 2x + 4y ) 28 y) 6 x * 0, y * 0 adalah .... a. 3.000 d. 3.300 b. 3.100 e. 3.400 c. 3.200 Jika A = x + y dan B = 5x + y, nilai maksimum A dan B yang memenuhi sistem pertidaksamaan x + 2y ) 12 2x + y ) 12 x * 0, y * 0 berturut-turut adalah .... a. 8 dan 30 d. 30 dan 6 b. 6 dan 6 e. 8 dan 24 c. 6 dan 24 Untuk memproduksi barang A, diperlukan waktu 6 jam pada mesin I dan 4 jam pada mesin II, sedangkan untuk memproduksi barang B, diperlukan waktu 2 jam pada mesin I dan 8 jam pada mesin II. Kedua mesin tersebut setiap hari bekerja tidak lebih dari 18 jam. Jika setiap hari diproduksi x buah barang A dan y buah barang B, model matematika yang sesuai untuk kasus di atas adalah ....

X

{

4.

59

Program Linear

a.

5.

6.

2x + 3y ) 9 4x + y ) 9 x * 0, y * 0 b. 3x + 2y ) 9 2x + 4y ) 9 x * 0, y ) 0 c. 3x + y ) 9 2x + 4y )9 x * 0, y * 0 d. 3x + y ) 9 4x + 2y ) 9 x * 0, y * 0 e. 4x + 3y ) 9 x + 2y ) 9 x * 0, y * 0 Luas area parkir adalah 176 m2. Luas rata-rata mobil sedan dan bus masingmasing 4 m2 dan 20 m2. Area parkir tersebut hanya mampu menampung 20 kendaraan, dengan biaya parkir untuk mobil dan bus masing-masing Rp1.000,00 per jam dan Rp2.000,00 per jam. Jika dalam waktu 1 jam tidak ada kendaraan yang pergi atau datang, hasil maksimum area parkir tersebut adalah .... a. Rp20.000,00 d. Rp34.000,00 b. Rp26.000,00 e. Rp44.000,00 c. Rp30.000,00 Diketahui sistem pertidaksamaan berikut. x+y)6 x+y*3 2 ) x) 4, y * 0 Nilai maksimum fungsi sasaran z = 3x + 2y adalah .... a. 10 d. 16 b. 12 e. 18 c. 14 Diketahui sistem pertidaksamaan berikut. x + 2y ) 20 x+y * 9 x ) 2y 2x * y

{ { { { {

Y 10 9 S

{

Q P T

O

8.

9

20

X

Nilai maksimum fungsi sasaran z = 3y – x terletak di titik .... a. P d. S b. Q e. T c. R Perhatikan gambar berikut. Y R

5

Q

3 S

O

{

7.

R

9.

2

5

P 6

X

Jika daerah segi lima tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari suatu program linear, fungsi sasaran z = x + 3y mencapai maksimum di titik .... a. P d. S b. Q e. O c. R Nilai minimum z = x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + y * 4 2x + 3y * 6 4x + 3y ) 12 adalah .... a. 1 45 d. 2 45

{

b.

2 15

c.

2 35

e.

3 15

60


10. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu jenis A sekurang-kurangnya 100 pasang dan jenis sepatu B sekurang-kurangnya 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan yang diperoleh per pasang sepatu jenis A adalah Rp10.000,00 dan Rp5.000,00 untuk jenis B. Jika banyak sepatu jenis A tidak boleh melebihi 150 pasang, keuntungan terbesar yang dapat diperoleh toko tersebut adalah ... a. Rp2.750.000,00 b. Rp3.000.000,00 c. Rp3.250.000,00 d. Rp3.500.000,00 e. Rp3.750.000,00 11. Daerah yang memenuhi penyelesaian sistem pertidaksamaan x+y*6 2x – y ) 3 x – 2y + 6 ) 0 adalah ....

{

Y 6

{

b.

2 15

c.

2 35

e. 3 15

15. Perhatikan gambar berikut.

I III

merek B adalah Rp75.000,00, jumlah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh pedagang itu adalah .... a. Rp750.000,00 b. Rp1.125.000,00 c. Rp1.250.000,00 d. Rp2.250.000,00 e. Rp2.275.000,00 13. Nilai maksimum fungsi z = 4x + 5y, dengan syarat x, y * 0, x + 2y ) 10, dan x + y ) 7 adalah .... a. 34 d. 31 b. 33 e. 30 c. 32 14. Nilai minimum z = x + y yang memenuhi sistem pertidaksamaan 4x + y * 4 2x + 3y * 6 4x + 3y ) 12 adalah .... a. 1 45 d. 2 45

Y

II

3 IV

1

V –6

O

3 2

X 6

3

O

2

X

–2

–3

a. I d. IV b. II e. V c. III 12. Seorang pedagang arloji membeli arloji merek A seharga Rp60.000,00 dan merek B seharga Rp240.000,00. Tas pedagang tersebut hanya mampu memuat tidak lebih dari 30 arloji. Modal pedagang tersebut sebesar Rp3.600.000,00. Jika keuntungan arloji merek A adalah Rp25.000,00 dan keuntungan arloji

Jika daerah yang tidak diarsir adalah himpunan penyelesaian dari suatu program linear, nilai maksimum fungsi sasaran z = x – y terletak pada titik .... a. (3, 1) b. (4, 1) c. d. e.

£ 2, 5 ¥ ¤ 3¦ (3, 2) £ 4, 5 ¥ ¤ 2¦

Program Linear

16. Penyelesaian sistem pertidaksamaan linear y–3<0 x – 2y < 0 x+y>0 x * 0, y * 0 pada gambar di bawah adalah ....

{

3

II I

III IV

O

a. b. c.

3

I II III

6

V

d. e.

IV V

17. Seorang anak diharuskan mengonsumsi dua jenis tablet setiap hari. Tablet pertama mengandung 5 unit vitamin A dan 3 unit vitamin B, sedangkan tablet kedua mengandung 10 unit vitamin A dan 1 unit vitamin B. Dalam satu hari, anak itu memerlukan 20 unit vitamin A dan 5 unit vitamin B. Jika harga tablet pertama Rp400,00 per biji dan tablet kedua Rp800,00 per biji, pengeluaran minimum untuk membeli tablet per hari adalah .... a. Rp1.200,00 d. Rp1.800,00 b. Rp1.400,00 e. Rp2.000,00 c. Rp1.600,00

61

18. Jika z = x + 2y adalah fungsi sasaran untuk sistem pertidaksamaan linear 2x + 3y * 6 5x + 2y * 10 x * 0, y * 0, nilai maksimum z adalah .... a. 3 b. 7 c. 11 d. 16 e. tidak ada 19. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan x*1 y*2 x+y)6 2x + 3y ) 15, nilai minimum dari 3x + 4y adalah .... (UMPTN 1998) a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13 20. Nilai maksimum dari x + y – 6 yang memenuhi syarat x * 0, y * 0, 3x + 8y ) 340, dan 7x + 4y ) 280 adalah .... (SPMB, 2002) a. 52 b. 51 c. 50 d. 49 e. 48

{

{


Gambarlah daerah yang menunjukkan himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan berikut. 7x + 5y * 35 2x + 9y * 18 x ) 9, y ) 5

{

2.

Tentukan nilai maksimum fungsi sasaran z = 40x + 10y yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear berikut. 2x + y * 12 x + y * 10 x * 0, y * 0

{

62 3.


Perhatikan gambar berikut.

4.

Y 4 2

–2

O

6

X

Tentukan sistem pertidaksamaan linear yang himpunan penyelesaiannya ditunjukkan oleh daerah yang tidak diarsir (bersih).

5.

Untuk membuat satu paket roti A, diperlukan 50 gram mentega dan 60 gram tepung, sedangkan satu paket roti B memerlukan 100 gram mentega dan 20 gram tepung. Jika tersedia 3,5 kilogram mentega dan 2,2 kilogram tepung, tentukan a. model matematikanya; b. banyaknya masing-masing roti maksimum yang dapat dibuat. Berdasarkan soal nomor 4, jika harga satu paket roti A dan B masing-masing Rp20.000,00 dan Rp25.000,00, tentukan jumlah uang maksimum yang diperoleh dari penjualan roti tersebut.

Matriks

Bab

III

63

Matriks


Motivasi

Secara umum matriks merupakan suatu daftar yang berisi angkaangka dan ditulis di dalam tanda kurung. Daftar-daftar yang dapat ditulis dalam bentuk matriks, misalnya perolehan medali dalam suatu permainan olahraga, daftar gaji pegawai, dan daftar nilai siswa. Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menjelaskan ciri suatu matriks; 2. menuliskan informasi dalam bentuk matriks; 3. melakukan operasi aljabar atas dua matriks; 4. menentukan determinan matriks persegi ordo 2 dan kaitannya dengan matriks mempunyai invers; 5. menentukan invers matriks persegi ordo 2; 6. membuktikan rumus invers matriks ordo 2; 7. menjelaskan sifat-sifat operasi matriks; 8. menjelaskan sifat-sifat matriks yang digunakan dalam menentukan penyelesaian sistem persamaan linear; 9. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan invers matriks; 10. menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan determinan.

64


Peta Konsep Matriks mempelajari

Pengertian, Notasi, dan Ordo Suatu Matriks

Perkalian Matriks

Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

Balikan atau Invers Matriks

Matriks Khusus

Kesamaan Dua Matriks

Determinan Matriks

Sifat-Sifat Penjumlahan Matriks

Persamaan Matriks

Transpose Suatu Matriks

membahas

Perkalian Skalar dengan Matriks

Perkalian Matriks dengan Matriks


elemen matriks matriks matriks baris matriks diagonal matriks identitas

• • • •

matriks kolom matriks nol ordo transpose

Penggunaan Matriks untuk Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear

Matriks

65

Matriks merupakan bentuk penulisan yang sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari, yaitu berupa isi di setiap baris dan kolomnya. Misalnya, pada daftar gaji pegawai, data absensi siswa, dan daftar nilai siswa. Pembahasan matriks pada bab ini meliputi pengertian, notasi, dan ordo suatu matriks, kesamaan dua matriks, penjumlahan dan pengurangan matriks, perkalian bilangan real (skalar) dengan matriks, perkalian matriks, balikan atau invers matriks, dan penggunaan matriks untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua dan tiga variabel. Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, coba jawablah soal berikut. Uji Prasyarat


Diketahui sistem persamaan linear tiga variabel berikut. ax + by + cz = p dx + ey + fz = q gx + hy + iz = r Susunlah koefisien-koefisien pada sistem persamaan itu dalam tabel berikut. Tabel 3.1

Persamaan 1 Persamaan 2 Persamaan 3

Koefisien x Koefisien y

Koefisien z

.................. .................. ..................

.................. .................. ..................

.................. .................. ..................

Jelaskan arti (makna) angka-angka (elemen) pada tabel itu. Setelah kalian mampu menjawab permasalahan di atas, mari kita lanjutkan ke materi berikut.

A. Pengertian Dasar tentang Matriks Dalam kehidupan sehari-hari, banyak keterangan atau informasi yang disajikan dalam bentuk daftar berisi angka-angka yang disusun menurut baris dan kolom. Misalnya, harga karcis masuk suatu tempat wisata disajikan dalam bentuk daftar seperti berikut. Tabel 3.2 Pengunjung Dewasa Anak-Anak

Hari Biasa 5.000 2.500

Hari Minggu 8.500 3.750

66


Daftar di atas dapat disusun lebih sederhana dengan menghilangkan judul baris dan judul kolom sehingga tampak sebagai berikut. 5.000 8.500 2.500 3.750 Jika susunan bilangan-bilangan tersebut ditulis di antara dua tanda kurung (bukan kurung kurawal), diperoleh suatu susunan bilangan sebagai berikut. £ 5.000 8.500¥ ² ´ ¤ 2.500 3.750¦

Susunan bilangan yang demikian disebut matriks. Secara umum, matriks dapat didefinisikan sebagai berikut. Matriks adalah susunan berbentuk persegi panjang dari bilanganbilangan menurut baris dan kolom serta ditempatkan dalam tanda kurung (kurung biasa atau kurung siku). Pada matriks di atas 8.000 adalah elemen (unsur) matriks pada baris pertama dan kolom pertama, ditulis a11 = 5.000. Elemen-elemen yang lain, yaitu 8.500, 2.500, dan 3.750 berturut-turut menunjukkan elemen-elemen matriks pada baris pertama kolom kedua, baris kedua kolom pertama, dan baris kedua kolom kedua. Selanjutnya, ditulis a12 = 8.500, a21 = 2.500, dan a22 = 3.750. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A, B, C, dan seterusnya. Bilangan-bilangan yang terdapat di dalam matriks dinamakan elemen matriks. Adapun bentuk umum matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom adalah

£ a11 ² a21 A = ² ² ... ² ¤ am1 B kolom ke-1

a12 a22 ... am 2 B kolom ke-2

... ... ... ...

a1n ¥ @ baris ke-1 a2 n ´ @ baris ke-2 ´ ... ´ ´ amn ¦ @ baris ke-m B kolom ke-n

Keterangan: aij adalah elemen pada baris ke-i kolom ke-j matriks A. a11, a12, …, a1j adalah elemen-elemen baris ke-1. a11, a21, …, ai1 adalah elemen-elemen kolom ke-1. Bentuk umum matriks A tersebut ditulis secara singkat menjadi A = (aij) m × n

Matriks

67

Contoh: 1.

Hasil ulangan harian (UH) Matematika dari lima orang siswa adalah sebagai berikut. Tabel 3.3 No. 1. 2. 3. 4. 5.

Nama Siswa Anik Nia Hesti Ardi Danar

UH 1

UH 2

UH 3

6 5 8 7 6

7 6 7 7 8

7 5 8 8 7

a. Susunlah data di atas dalam bentuk matriks dengan notasi A. b. Berapa banyak baris pada matriks A? c. Sebutkan elemen-elemen pada baris pertama. d. Berapa banyak kolom pada matriks A? e. Sebutkan elemen-elemen pada kolom kedua. Penyelesaian:

2.

a.

£6 ² ²5 ²8 ² ²7 ² ¤6

7 7¥ ´ 6 5´ 7 8´ ´ 7 8´ ´ 8 7¦

b. c. d. e.

Banyak baris pada matriks A adalah 5. Elemen-elemen baris pertama adalah 6, 7, dan 7. Banyak kolom pada matriks A adalah 3. Elemen-elemen kolom kedua adalah 7, 6, 7, 7, dan 8.

£ 2 0 1¥ ´. Diketahui matriks A = ² ¤ 4 3 2¦ Tentukan berikut ini. a. Elemen-elemen pada baris ke-1. b. Elemen-elemen kolom ke-3. c. Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3. d. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1. Penyelesaian: a. Elemen-elemen pada baris ke-1 adalah 2, 0, dan 1. b. Elemen-elemen pada kolom ke-3 adalah 1 dan 2. c. Elemen pada baris ke-1 kolom ke-3 adalah 1. d. Elemen pada baris ke-2 kolom ke-1 adalah 4.

68


1. Ordo Matriks Jika suatu matriks A mempunyai m baris dan n kolom, dikatakan bahwa ordo matriks A adalah m × n, ditulis dengan notasi Am × n . Perhatikan matriks R dan S di bawah ini. £ 2 1¥ R = ² 4 3´ , S = (3 –2 1) ² ´ ¤ 6 5¦ Matriks R mempunyai ukuran 3 baris dan 2 kolom sehingga dapat dikatakan bahwa matriks R berordo 3 × 2 dan ditulis R3 × 2 . Adapun matriks S mempunyai 1 baris dan 3 kolom sehingga dikatakan bahwa matriks S berordo 1 × 3 dan ditulis S1× 3 . Secara umum, ordo suatu matriks dapat didefinisikan sebagai berikut. Ordo suatu matriks adalah ukuran matriks tersebut yang dinyatakan dengan banyak baris kali banyak kolom. Tugas


Observasi

Carilah data tentang jumlah penghuni rumah kalian dan susunlah dalam bentuk tabel seperti berikut. Penghuni

Laki-Laki

Perempuan

Orang tua Anak PRT Famili

............................ ............................ ............................ ............................

........................... ........................... ........................... ...........................

Dari tabel itu, nyatakan dalam sebuah matriks. Ada berapa matriks yang terbentuk? Kemudian, dengan bahasa kalian sendiri, jelaskan arti angka-angka dari setiap elemen matriks yang terbentuk.

2. Transpose Suatu Matriks Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menukar setiap elemen baris matriks A dengan elemen kolom matriks transposenya. Transpose suatu matriks A ditulis dengan lambang At atau A'. Contoh: £ <3¥ £ 1 3 5¥ ² 2´. Diketahui A = ² dan B = ´ ¤ 2 4 6¦ ² ´ ¤ <5¦ Tentukan transpose dari matriks A dan B.

Matriks

69

Penyelesaian: Berdasarkan pengertian transpose suatu matriks, baris ke-1 matriks A menjadi kolom ke-1 matriks At, sedangkan baris ke-2 matriks A menjadi kolom ke-2 matriks At. Dengan £1 2 ¥ ´ ² demikian, diperoleh A = ² 3 4 ´ . ²5 6´ ¦ ¤ t

£< 3¥ ² ´ Dengan cara yang sama, jika B = ² 2 ´ , matriks transposenya adalah Bt = (–3 2 –5). ²< 5´ ¤ ¦

Tugas

Berpikir Kritis


Coba cari tahu tentang pengertian matriks simetris. Apakah £ 5 <3 0¥ matriks A = ² <3 4 2´ merupakan matriks simetris? Mengapa? ² ´ ¤ 0 2 1¦

3. Matriks-Matriks Khusus a.

Matriks Persegi Matriks persegi adalah suatu matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya. Jika banyaknya baris pada matriks persegi A adalah n, banyaknya kolom matriks A juga n sehingga ordo matriks A adalah n × n. Secara singkat, matriks A dapat disebut matriks persegi ordo n. Elemen a11, a22, a33, …, ann disebut elemen-elemen diagonal utama (pertama). Misalnya: £ p q¥ A=² ´ merupakan matriks persegi ordo 2, dapat ditulis ¤ r s¦

A2 × 2 . £ 1 2 3¥ B = ² 4 5 6´ merupakan matriks persegi ordo 3, dapat ² ´ ¤ 7 8 9¦ ditulis B3 × 3 . Elemen-elemen diagonal utama pada matriks A adalah p dan s, sedangkan elemen-elemen diagonal utama pada matriks B adalah 1, 5, dan 9.

70


b.

Matriks Baris Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris. Misalnya: D = (–1 3) E = (0 2 –4)

c.

Matriks Kolom Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom. Misalnya:

£ 0¥ P=² ´ ¤ 1¦

d.

£ 2 0 0¥ B = ² 0 3 0´ ² ´ ¤ 0 0 2¦

Matriks Satuan Matriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengan setiap elemen diagonal utama adalah 1. Matriks identitas biasanya dilambangkan dengan I atau In, untuk n bilangan asli. Misalnya:

£ 1 0¥ I2 = ² ´ ¤ 0 1¦

f.

£ 4¥ ² 0´ R=² ´ ² <3´ ² ´ ¤ 2¦

Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah suatu matriks persegi dengan setiap elemen yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol. Misalnya:

£ 2 0¥ A=² ´ ¤ 0 1¦ e.

£ 2¥ Q = ² 3´ ² ´ ¤ 2¦

£ 1 0 0¥ I3 = ² 0 1 0´ ² ´ ¤ 0 0 1¦

£1 ²0 I4 = ² ²0 ² ¤0

0 0 0¥ 1 0 0´ ´ 0 1 0´ ´ 0 0 1¦

Matriks Nol Matriks nol adalah suatu matriks yang setiap elemennya nol. Matriks nol berordo m × n dinotasikan dengan Om × n .

Diskusi Berpikir Kritis Kalian tentu mengenal matriks persegi ordo 1. Adakah matriks identitas ordo 1? Jika ada, seperti apakah? Jika tidak ada, berikan alasan seperlunya.

Matriks

71

Misalnya:

O1× 3 = (0 0 0), O3 × 3 g.

£ 0 0 0¥ £ 0 0¥ ² ´ = 0 0 0 , O3 × 2 = ² 0 0´ ² ´ ² ´ ¤ 0 0 0¦ ¤ 0 0¦

Lawan Suatu Matriks Lawan suatu matriks adalah suatu matriks yang elemenelemennya merupakan lawan elemen dari matriks semula. Lawan dari suatu matriks A dinotasikan dengan –A. Misalnya: £ 4 <6¥ £ <4 6 ¥ Lawan matriks A = ² <7 <10´ adalah < A = ² 7 10 ´ . ² ´ ² ´ ¤ <2 <3¦ 3 ¦ ¤2 Diskusi

Mengomunikasikan gagasan

Menurutmu, apa keunggulan penyajian suatu data dengan menggunakan matriks? Apakah semua jenis data dapat disajikan dengan matriks? Berikan contoh dan alasan kalian. Uji Kompetensi 1 1.

Hasil perolehan medali sementara pada suatu Pekan Olahraga Nasional adalah sebagai berikut. Tabel 3.4 No.

Kontingen

Emas

Perak

Perunggu

1. 2. 3. 4. 5.

Jawa Timur Jawa Barat DKI Jakarta Lampung DI Yogyakarta

18 5 5 4 2

7 9 4 5 3

6 7 8 3 2

a. b. c. d. e. f. 2.


Susunlah data di atas dalam bentuk matriks dengan notasi A. Berapa banyak baris dan kolom pada matriks A? Sebutkan elemen-elemen pada baris keempat. Sebutkan elemen-elemen pada kolom pertama. Sebutkan elemen pada baris kedua kolom ketiga. Sebutkan elemen pada baris kelima kolom pertama.

4¥ £2 < 3 7 ´ ² Diketahui matriks B = ² 2 6 < 3 < 1 ´ . ²3 < 7 2 3 ´¦ ¤

72

3.


a. Tentukan ordo matriks B. b. Tentukan elemen baris kedua kolom keempat. c. Tentukan elemen baris ketiga kolom ketiga. d. Tentukan transpose matriks B. Tulislah koefisien dan konstanta sistem persamaan linear dua variabel berikut dalam bentuk matriks lengkap, dengan ordo 2 × 3. a. 3x + 2y = 4 c. 3x + 4y = 2 5x – 2y = 2 2y – 4x = 6 b. 2x – y = 6 d. 4x = 0 x + 5y = 7 3y = 9

{ {

4.

3¥ £ 5 ² ´ 1 ´. Matriks A = (aij) ditentukan oleh A = ² 2 ² < 4 < 1´ ¤ ¦

a. b. c. d. 5.

{ {

Tentukan ordo matriks A. Hitunglah nilai a22 + a32, a11 – a31, dan a22 + a12. Jika k = a21, tentukan nilai k – k2 + 6. Tentukan transpose matriks A.

£ u 3 1¥ ´. Diketahui matriks B = (bij) ditentukan oleh B = ² ¤ <2 v 4 ¦ Tentukan nilai u dan v jika a. 3b11 = 6b23 dan 2b22 = 4b21; b. 2b11 – 4b22 = 6 dan b22 = b13.

B. Kesamaan Dua Matriks Amatilah matriks-matriks A, B, dan C berikut ini.

£ 4 1¥ £ 2 1¥ £3 1 ¥ , dan C = ² A= ² ´, B = ² ´. ´ ¤ 0 3¦ ¤ 0 2¦ ¤ 0 1 + 2¦ Apa yang dapat kalian katakan tentang matriks-matriks tersebut? Apakah matriks A = B? Apakah A = C? Mengapa? Dari ketiga matriks tersebut, tampak bahwa matriks A = matriks B karena ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak nilainya sama, sedangkan matriks A tidak sama dengan matriks C karena meskipun ordonya sama, tetapi elemen-elemen yang seletak nilainya tidak sama. Dua matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B jika kedua matriks itu ordonya sama dan elemen-elemen yang seletak bernilai sama.

Matriks

73

Contoh:

£ a 2¥ Diketahui matriks A = ² ´ dan B = ¤ 0 c¦

£ 1 3b ¥ ² ´ adalah dua matriks yang sama. Tentukan ¤ 0 2 a¦

nilai a, b, dan c. Penyelesaian:

£ a 2¥ £ 1 3b ¥ ´ =² ´. Diketahui A = B, berarti ² ¤ 0 c ¦ ¤ 0 2 a¦ Berdasarkan sifat kesamaan dua matriks, diperoleh 2

a=1

2 = 3b b =

0=0

c = 2a c = 2 × 1 = 2.

3

Oleh karena itu, diperoleh a = 1, b =

2 3

, dan c = 2.

Uji Kompetensi 2 1.

Tentukan nilai x dan y jika diketahui persamaan matriks berikut.

£ 2 x¥ £ 4 ¥ ´ a. ² ´ = ² ¤ 2 y¦ ¤ <12¦

e.

£ x <6¥ £ 2 y <6¥ ² ´ =² ´ 3¦ ¤1 y ¦ ¤ 1

£ 3 x <5¥ £ <4 y¥ ´ ´ =² b. ² ¤ y <7¦ ¤ 5 x ¦

f.

£ x ² ¤x < y

£10 x < y < 9 ¥ £ 2 x < 4 y + 10¥ ´ =² ´ c. ² ¤ 7 x + 2 y + 3¦ ¤ 2 x + 6 y + 9 ¦

3 < x¥ £ 6 y ¥ £ 6 ´ =² ´ d. ² ¤ y + 1 4 x ¦ ¤ 2 4 x¦

2.


g.

h.

£2 x ²3 ² ² <6 ¤

x + y¥ £ 3 y 8¥ ´ =² ´ y ¦ ¤ 4 2¦ 2 ¥ £ <9 5 2 ¥ ´= ´ 3 ´ ² y <3´ ¤ <6 12 <3¦ ¦ 4 5

£ 2 <7¥ £ 2 <7¥ ² x 2 ´ = ²2y 2 ´ ² ´ ² ´ y¦ ¤ 4 <1¦ ¤ 4

Tentukan nilai a, b, dan c jika diketahui persamaan matriks berikut.

a + c¥ £ 5 b¥ £ a ´ ´ =² a. ² ¤ 7 c ¦ ¤ a < c <2 ¦ 4 ¥ £ b + 7 c + 1¥ £a < 2 ´ =² ´ b. ² 5 ¦ ¤ b + c a < c¦ ¤ 2

c.

£ 2 a¥ £ 3b 1 ¥ ² ´ =² ´ ¤ 0 c ¦ ¤ 0 2 a¦

74

3.


Tentukan nilai a dan b jika matriks P = Qt. a.

£ 2 <3¥ £ 2 4¥ ´ dan Q = ² ´ P= ² ¤ <3 <2¦ ¤ 2a b ¦

b.

£ 3a 2 b¥ £6 3¥ P = ²² ´´ dan Q = ²¤ b + 2 4 ´¦ ¤2 4¦

c.

2 £
1¥ <6´ dan Q = ´ 4¦

£ <3 2 b <2¥ ²2 3 5´ ² ´ ¤ 1 <6 4 ¦

Tes Mandiri

C. Operasi pada Matriks dan Sifat-Sifatnya Seperti halnya pada bilangan, matriks juga dapat dioperasikan. Misalnya, dijumlahkan, dikurangkan, dikalikan dengan skalar, dan dikalikan dengan matriks dengan aturan tertentu. Namun, matriks tidak dapat dibagi dengan matriks lain.

1. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Jumlah matriks A dan B, ditulis A + B adalah suatu matriks baru C yang elemen-elemennya diperoleh dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak dari matriks A dan B. Dengan demikian, syarat agar dua matriks atau lebih dapat dijumlahkan adalah ordo matriks-matriks itu harus sama.

Kerjakan di buku tugas Diketahui:

A=

£ 1 1¥ , ¤ <1 1¦

B=

£0 ¤b

C=

£3 ¤ <4

<1¥ , 0¦ <2¥ 3¦

Jika C adalah invers dari (3A + B) maka nilai b sama dengan .... a. 3 d. 6 b. 4 e. 7 c. 5 Soal SPMB, 2003

Contoh:

£1 < 2 4¥ £< 2 < 4 0¥ a b¥ , dan D = Diketahui A = ²² ´´ , B = ²² ´´ , C = £² ´ 2 3 0 5 < 1 3 ¤ c d¦ ¦ ¤ ¦ ¤ Tentukan a. A + B; b. B + C; c. C + D. Penyelesaian: a.

£1 < 2 4¥ £ < 2 < 4 0¥ ´´ + ²² ´´ A + B = ²² ¤ 2 3 0 ¦ ¤ 5 <1 3 ¦ £1 + ( <2) < 2 + ( <4) 4 + 0 ¥ £ < 1 < 6 4 ¥ ´ =² ´ = ²² 3 + (<1) 0 + 3 ´¦ ²¤ 7 2 3 ´¦ ¤ 2+5

£ 2a 0 ¥ . ² ´ ¤ 3 3d ¦

Matriks

b.

75

£ <2 <4 0¥ £ a b¥ B+C = ² ´ + ² ´ , tidak dapat dijumlahkan karena ordonya ¤ 5 <1 3¦ ¤ c d¦

tidak sama. c.

£ a b¥ £ 2a 0 ¥ ´ + ² ´ C+D = ² ¤ c d¦ ¤ 3 3d ¦ £ a + 2a b + 0 ¥ ´ =² ¤ c + 3 d + 3d ¦ b¥ £ 3a ´ =² ¤ c + 3 4d¦ Bagaimana dengan pengurangan terhadap matriks? Pengurangan matriks dapat dikerjakan dengan menggunakan sifat seperti pada pengurangan bilangan real, yaitu jika a dan b dua bilangan real maka a – b = a + (–b). Oleh karena itu, untuk dua matriks A dan B, berlaku A – B = A + (–B) dengan –B adalah lawan matriks B. Syarat pengurangan matriks adalah ordo kedua matriks itu harus sama. Contoh:

1.

£10 3 ¥ ´´ dan B = Diketahui A = ²² ¤ 7 5¦

£ <1 2 ¥ ²² ´´ . Tentukan A – B. ¤ 3 <3¦

Penyelesaian:

£10 3 ¥ £ 1 < 2 ¥ £²11 1 ¥´ ´´ = ² ´´ + ²² A – B = A + (–B) = ²² ´ ¤ 7 5¦ ¤ < 3 3 ¦ ¤ 4 8¦ 2.

£ 2 5¥ £ 1 3¥ Carilah matriks X jika ² ´. ´ + X = ² ¤ 4 2¦ ¤ 4 1¦ Penyelesaian:

£ 1 3 ¥ £ 2 5 ¥ £ < 1 < 2¥ ´´ < ²² ´´ = ²² ´ X = ²² 1 ´¦ ¤4 2¦ ¤4 1¦ ¤ 0

76


2. Sifat-Sifat Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Untuk mendapatkan sifat-sifat penjumlahan matriks, lakukan kegiatan berikut. Kerjakan di buku tugas

Kegiatan

Tujuan: Menyelidiki sifat-sifat yang berlaku pada penjumlahan dan pengurangan matriks. Permasalahan: Sifat apakah yang berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan matriks? Langkah-Langkah: Kerjakan persoalan-persoalan berikut. 1.

£1 2 ¥ Diketahui matriks A = ²² ´´ , B = ¤3 4 ¦

£4 5¥ ²² ´´ , dan ¤6 7¦

£ 3 1¥ ´´ . C = ²² ¤< 5 2¦ Selidiki hasil penjumlahan berikut ini, kemudian simpulkan. a. A + B b. B + A c. (A + B) + C d. A + (B + C) 2.

3.

£0 0¥ ´´ dan P = Diketahui O = ²² ¤0 0¦ Apakah O + P = P + O?

£ 3 2¥ ²² ´´ . ¤< 2 5¦

£ 5 < 7¥ Diketahui A = ²² ´´ dan –A = ¤< 4 1 ¦ Tentukan a. A + (–A); b. –A + A; c. Apakah A + (–A) = – A + A?

£< 5 7 ¥ ²² ´´ . ¤ 4 < 1¦

Kesimpulan: Dari soal 1, 2, dan 3 kalian akan memperoleh sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks. Jika melakukan kegiatan di atas dengan benar, kalian akan memperoleh sifat-sifat berikut.

Matriks

77

Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang berordo sama, pada penjumlahan matriks berlaku sifat-sifat berikut: a. komutatif sehingga A + B = B + A; b. asosiatif sehingga (A + B) + C = A + (B + C); c. unsur identitasnya O sehingga A + O = O + A = A; d. invers penjumlahan A adalah –A sehingga A + (–A) = –A + A = O. Tugas


Eksplorasi

Sifat-sifat di atas dapat kalian buktikan dengan mudah. Coba kalian buktikan sifat-sifat di atas dengan mengambil matriks A = (aij), B = (bij), C = (cij), dan O = (oij), untuk oij = 0. Ingat matriks

£ a11 ² a21 A= ² ² M ² ¤ am1

a12 a22 M am 2

L a1n ¥ L a2 n ´ ´ L M ´ ´ amn ¦

dapat ditulis A = (aij); i = 1, 2, ..., m j = 1, 2, ..., n

Apakah pada pengurangan matriks berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif? Adakah unsur identitasnya? Coba kalian selidiki dengan mengambil beberapa matriks yang dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Kemukakan hasilnya. Uji Kompetensi 3 1.

2.

3.


£< 3 2 ¥ £ 2 < 1¥ £5 < 4¥ ´´ , B = ²² Diketahui A = ²² ´´ , dan C = ²² 2 6 ´´ . ¤ ¦ ¤3 2 ¦ ¤2 2 ¦ Tentukan hasil operasi berikut. a. A + B d. (A – B) + (B – C) b. A + C – B e. C – B – A c. A – (B + C) f. – B – C – (A + B) £ 2 5¥ £ 4 < 4¥ £ 2 3¥ ´´ . ´´ , Q = ²² ´´ , dan R = ²² Diketahui P = ²² ¤ 6 3¦ ¤3 1 ¦ ¤ 4 1¦ Tentukan hasil operasi berikut. d. (R – P) – Qt a. P + Qt t b. R – P + Q e. (P + R) – (Q + Qt) t t f. (P – Pt) + (R – Rt) c. P + (Q – R) £ 4 <3 7 ¥ £ <1 <5 8 ¥ Diketahui U = ² ´ dan V = ² ´. ¤ 2 1 <5¦ ¤ <2 6 <4¦

78

4.


Tentukan hasil operasi berikut. c. (U – V)t a. (U + V)t t t b. U + V d. Ut – Vt Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.

£3 2¥ ´´ + A = a. ²² ¤1 6¦

£4 < 1¥ ²² ´´ ¤2 < 2¦

c.

£ 5 3 1 ¥ £ 2 < 4 <1 ¥ ´´ = ²² ´´ b. A + ²² ¤ 2 4 < 5¦ ¤ 0 2 < 2¦ 5.

£ 2 < 1¥ ² ´ ² 5 < 2´ ² <1 0 ´ ¤ ¦

£2 < 4 1 ¥ £ 1 2 2¥ ´ ² ´ ² 3 ´ < ²< 3 1 4´ = A d. ² 2 1 ² 1 < 2 < 2´ ² 5 3 1 ´ ¦ ¤ ¦ ¤

Tentukan nilai x, y, dan z yang memenuhi persamaan berikut. a.

6.

£6 3 ¥ ² ´ ² 4 < 1´ – A = ² 2 < 1´ ¤ ¦

£ <1 y¥ £ 3 z ¥ £ 2 <3¥ ² ´ +² ´ =² ´ ¤ x z ¦ ¤ y 4¦ ¤ 5 <2¦

b.

£ x z ¥ £ z 1¥ £ <3 <1¥ ² ´ +² ´ =² ´ z¦ ¤ y <1¦ ¤ <3 x ¦ ¤ x

Tentukan nilai a, b, dan c yang memenuhi persamaan berikut. b¥ £ 3 4 ¥ £ a 3¥ £ 6 £ 6 b 3¥ £ 6 c a¥ £ 7 <1 1¥ ² ´ ² ´ ² ´ ´ <² ´ =² ´ b. ² 2 < b´ < ² c c´ = ² <2 <5´ a. ² ¤ c a a¦ ¤ 1 7 c ¦ ¤ b <5 2¦ ¤ a c ¦ ¤ <2 7¦ ¤ <1 a ¦

Soal Terbuka 1.

Tentukan nilai x, y, z, dan u yang memenuhi persamaan £ 3 x 3 y¥ £ x 6 ¥ £ y ² ´ =² ´ +² ¤ 3z 3u¦ ¤ <1 2u¦ ¤ z + u

2.


x + y¥ ´. 3z ¦

£ 4 <2 <3 0¥ Diketahui A = ² 5 <1 <5 4´ dan ² ´ ¤ <7 3 <1 6¦ £ <3 4 2 <1 ¥ B = ² 1 <2 3 0´ . ² ´ ¤ 0 <1 <1 <2 ¦ Tentukan matriks X jika (B – A)t = X + Bt.

3. Perkalian Suatu Skalar dengan Matriks Kita telah mengetahui bahwa penjumlahan bilangan real (skalar) secara berulang dapat dinyatakan sebagai suatu perkalian. Misalnya, a + a = 2a, a + a + a = 3a, dan seterusnya. Hal tersebut

Matriks

79

berlaku juga pada operasi matriks. Misalkan diketahui matriks

£ 2 5¥ ´´ . A = ²² ¤ < 1 4¦

£ 4 10 ¥ £ 2 5¥ ´´ = 2 ²² ´´ = 2A. Oleh karena itu, A + A = ²² ¤< 2 8 ¦ ¤ < 1 4¦ Jadi, perkalian matriks A dengan suatu bilangan asli k adalah penjumlahan berulang matriks A sebanyak k kali. Dengan kata lain, pengertian ini dapat ditulis sebagai berikut. Jika k bilangan real dan A matriks berordo m × n maka kA didefinisikan dengan £ a11 ² a21 k ² ... ² ² ¤ am1

a12 a22 ... am 2

... a1n ¥ £ ka11 ² ka21 ... a2 n ´ ´ = ² ... ... ´ ² ... ´ ² ... amn ¦ ¤ kam1

Contoh:

£ 1 < 3 2¥ ´´ dan B = Diketahui A = ²² ¤< 5 2 3¦ Tentukan a. 2A + 5B; Penyelesaian: a.

£ 2 5 7¥ ²² ´´ . ¤< 3 4 1¦ b.

3A – 2B.

£ 1 < 3 2¥ £ 2 5 7¥ 2A + 5B = 2 ²² ´´ + 5²² ´´ ¤ < 5 2 3¦ ¤ < 3 4 1¦

£ 2 < 6 4 ¥ £ 10 25 35¥ = ²² ´´ + ²² ´´ ¤ < 10 4 6 ¦ ¤ < 15 20 5 ¦

b.

£ 12 19 39¥ ´´ = ²² ¤ < 25 24 11¦ 3A – 2B = 3A + (–2B) £ £ 2 5 7¥ ¥ £ 1 <3 2¥ = 3² ´ + ² <2² ´´ ¤ <5 2 3¦ ¤ ¤ <3 4 1¦ ¦

£ 3 < 9 6¥ £ <4 ´´ + ²² = ²² ¤ < 15 6 9 ¦ ¤ 6 £ < 1 < 19 < 8 ¥ ´´ = ²² ¤< 9 < 2 7 ¦

< 10 < 14 ¥ ´ < 8 < 2 ´¦

ka12 ka22 ... kam 2

... ka1n ¥ ... ka2 n ´ ´ ... ... ´ ´ ... kamn ¦

80


4. Sifat-Sifat Perkalian Skalar Jika A dan B adalah matriks-matriks berordo m × n, sedangkan k1 dan k2 adalah skalar, berlaku sifat-sifat berikut. a. k1(A + B) = k1A + k1B b. (k1 + k2)A = k1A + k2A c. k1(k2A) = (k1k2)A Jika A matriks persegi maka berlaku d. I × A = A × I = A e. (–I)A = –A Matriks identitas I merupakan matriks persegi. Bukti: Pembuktian sifat-sifat di atas sangat mudah. Untuk itu, di sini akan dibuktikan sifat a saja. Selebihnya dapat kalian kerjakan sebagai bahan latihan. Misalkan k1 skalar, £ a11 ² a21 A=² ² M ² ¤ am1

a12 a22 M am 2

£ a11 ³² a ³² 21 k1 (A + B) = k1 ³² M ³² ³¤ am1

K a1n ¥ £ b11 b12 ² b21 b22 ´ K a2 n ´ , dan B = ² K M ´ M ² M ² ´ K amn ¦ ¤ bm1 bm 2

a12 a22 M am 2

£ a11 + b11 ² a21 + b21 = k1 ² M ² ² ¤ am1 + bm1

K a1n ¥ £ b11 b12 K a2 n ´ ² b21 b22 ´ +² K M ´ ² M M ´ ² K amn ¦ ¤ bm1 bm 2 a12 + b12 a22 + b22 M am 2 + bm 2

K b1n ¥ K b2 n ´ ´ K M ´ ´ K bmn ¦

K b1n ¥ K b2 n ´ µµ ´ K M ´µ ´µ K bmn ¦ µ

L a1n + b1n ¥ L a2 n + b2 n ´ ´ M ´ ´ L amn + bmn ¦

£ k1 ( a11 + b11 ) k1 ( a12 + b12 ) L k1 ( a1n + b1n ) ¥ ² k (a + b ) k (a + b ) L k (a + b ) ´ 21 1 22 22 1 2n 2n ´ ² 1 21 =² M M M ´ ´ ²k a + b ¤ 1 ( m1 m1 ) k1 ( am 2 + bm 2 ) L k1 ( amn + bmn )¦

£ k1a11 + k1b11 ² k1a21 + k1b21 =² M ² ² ¤ k1am1 + k1bm1

k1a12 + k1b12 k1a22 + k1b22 M k1am 2 + k1bm 2

L k1a1n + k1b1n ¥ L k1a2 n + k1b2 n ´ ´ M ´ ´ L k1amn + k1bmn ¦

Matriks

£ k1a11 ² k1a21 ² =² M ² ¤ k1am1

£ a11 ² a21 = k1 ² ² M ² ¤ am1

k1a12 k1a22 M k1am 2

a12 a22 M am 2

K k1a1n ¥ £ k1b11 K k1a2 n ´ ² k1b21 ´ +² K M ´ ² M ´ ² K k1amn ¦ ¤ k1bm1

k1b12 k1b22 M k1bm 2

K a1n ¥ £ b11 b12 ² b21 b22 ´ K a2 n ´ + k1 ² K M ´ M ² M ² ´ K amn ¦ ¤ bm1 bm 2

81

K k1b1n ¥ K k1b2 n ´ ´ K M ´ ´ K k1bmn ¦

K b1n ¥ K b2 n ´ ´ K M ´ ´ K bmn ¦

= k1 A + k1 B .................................................... (terbukti) Uji Kompetensi 4 1.

2.


£ 2 3 < 3¥ ´´ . Tentukan hasil perkalian skalar berikut. Diketahui P = ²² ¤ 1 < 2 < 1¦ a. 3P c. –2Pt b. –2P d. 5Pt £4 6 ¥ Jika Q = ²² ´´ , tentukan hasil perkalian skalar berikut. ¤ 8 <10 ¦ a.

4Q

c.

1 (Q + Qt) 2

1 1 d. (5(Q + Qt)) – Qt 2 2 Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut.

b. 3.

a.

4.

£ 8 < 16 ¥ ´´ 4X = ²² ¤ < 12 4 ¦

c.

<6 ¥ £ 3 1 X = ² 9 <12´ ² ´ 3 ¤ <15 <3 ¦

£5 1¥ 2²² ´´ = X ¤3 2¦ Tentukan matriks A yang memenuhi persamaan berikut.

b.

1 £ 2 <4 <2¥ ² ´ =X 6¦ 2 ¤10 8

d.

a.

£ 2 ² 2A = ² 10 ²< 6 ¤

c.

1 £ 4 <6 2¥ ² ´ = At 2 ¤ 2 10 8¦

b.

£< 6 3 6 ¥ ´´ 3At = ²² ¤ 3 12 < 9 ¦

d.

1 £ 3 <3 6 ¥ t ² ´ =A 3 ¤ 6 9 <3¦

t

4 ¥ ´ 8 ´ < 4 ´¦

82 5.


Tentukan nilai a, b, c, dan d yang memenuhi persamaan berikut. a.

£ a b¥ £ 5 <5¥ 5² ´ =² ´ ¤ 2 3¦ ¤ c d ¦

c.

1 £
b.

1 £ b a¥ £ a 1¥ ² ´ =² ´ 2 ¤ c d ¦ ¤ d 1¦

d.

£ a b¥ £ c a¥ 2² ´ =² ´ ¤ c d ¦ ¤16 b¦

a ¥ £ c 1¥ ´ =² ´ < c¦ ¤ <3 2¦

5. Perkalian Antarmatriks Suatu ketika Rini dan Nita membeli alat tulis di koperasi sekolah. Rini membeli 3 buku tulis dan sebatang pensil, sedangkan Nita membeli 2 buku tulis dan 2 pensil. Harga sebuah buku tulis adalah Rp1.000,00 dan harga satu pensil Rp500,00. Berapakah jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita? Untuk menyelesaikan permasalahan di atas, kita dapat langsung mengalikan jumlah barang yang dibeli dengan harga satuan. Jumlah uang yang harus dibayar Rini adalah (3 × 1.000) + (1 × 500) = 3.500, sedangkan jumlah uang yang harus dibayar Nita adalah (2 × 1.000) + (2 × 500) = 3.000. Di samping itu, persoalan di atas dapat disajikan dalam bentuk tabel seperti terlihat berikut ini. Tabel 3.5 Tabel 3.6 Pembelian Barang Daftar Harga Barang

Rini Nita

Buku Tulis

Pensil

3 2

1 2

Nama Barang Buku tulis Pensil

Jika keperluan Rini kita tulis dalam bentuk matriks baris dan harga satuan barang dalam bentuk matriks kolom, jumlah uang yang harus dibayar Rini dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks berikut.

£1.000 ¥ (3 × 1.000) + (1 × 500) = (3 1) ²² ´´ = 3.500 ¤ 500 ¦ Dengan cara yang sama, jumlah uang yang harus dibayar Nita dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks. £1.000 ¥ ´´ = 3.000 (2 × 1.000) + (2 × 500) = (2 2) ²² ¤ 500 ¦ Hasil perhitungan di atas diperoleh dengan cara mengalikan setiap elemen matriks berordo 1 × 2 dengan matriks berordo 2 × 1 yang hasilnya adalah matriks baru berordo 1 × 1. Untuk mudah dalam mengingatnya, perhatikan bagan berikut.

Harga Satuan 1.000 500

Matriks

83

Ordo hasil kali

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Perkalian matriks

(1 × 2)(2 × 1) = (1 × 1)

£ 2 1 ¥ £ 1¥ 1 x ² =0 ´ ¤ p 2¦ ¤ x¦

(

)

mempunyai akar positif x1 dan x2. Jika x1 = 4x2 maka konstanta p = a. –6 b. –4 c. –2 d. 4 e. 6 Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2006

sama

Jika matriks A = (a

£ p¥ b) dikalikan dengan matriks B = ² ´ , ¤ q¦

£ p¥ hasilnya adalah A × B = (a b) ² ´ = (ap + bq). ¤ q¦

Oleh karena itu, jumlah uang yang harus dibayar Rini dan Nita dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks berikut. £ 3 1¥ £1.000¥ £ (3 × 1.000) + (1 × 500)¥ £ 3.500¥ ² ´² ´ = ² ´ = ² ´ ¤ 2 2¦ ¤ 500 ¦ ¤ (2 × 1.000) + (2 × 500)¦ ¤ 3.000¦

Pada perkalian matriks di atas, matriks yang dikalikan (matriks yang terletak di sebelah kiri) berordo 2 × 2, matriks pengalinya (matriks yang terletak di sebelah kanan) berordo 2 × 1. Ordo hasil kali

(2 × 2)(2 × 1) = (2 × 1) sama

a. Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Jika £ a b¥ £ 5 <2¥ £ 2 13¥ ² <3 ´ ² ´ =² ´ 2¦ ¤ 4 3 ¦ ¤ <7 12¦ ¤

maka a + b = .... a. 5 d. 2 b. 4 e. 1 c. 3 Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2001

Perkalian Matriks Ordo m x q dengan Matriks Ordo qxn Berdasarkan uraian di atas, syarat agar dua matriks A dan B dapat dikalikan adalah banyak kolom matriks A harus sama dengan banyak baris matriks B. Adapun cara mengalikan kedua matriks itu adalah sebagai berikut. Jika A adalah matriks berordo m × q dan B adalah matriks berordo q × n, maka A × B adalah suatu matriks C = (cij) berordo m × n yang elemen-elemennya diperoleh dari penjumlahan hasil kali elemen-elemen pada baris ke-i matriks A dengan elemen-elemen pada kolom ke-j matriks B yang bersesuaian, dengan i = 1, 2, ..., m dan j = 1, 2, ..., n.

84


Contoh: £< 2 ¥ Diketahui A = (2 3), B = ²² ´´ , C = ¤ 5 ¦

matriks berikut. a. A × B

b.

£3 1¥ ² ´ £1 4¥ ²² ´´ , dan D = ² 2 0 ´ . Tentukan hasil perkalian ¤6 3¦ ²7 5´ ¤ ¦ C× D

c.

D× C

Penyelesaian: a.

£< 2 ¥ A × B = (2 3) ²² ´´ = ((2 × (–2) + 3 × 5)) = (11) ¤ 5 ¦

b.

£ 3 1¥ £ 1 4¥ ² C× D= ² ´ 2 0´ tidak dapat dikalikan karena banyak kolom matriks C ´ ¤ 6 3¦ ² ¤ 7 5¦ tidak sama dengan banyak baris matriks D. £ 3 1¥ 1 4¥ ² 2 0´ £² ´ D× C =² ´ ¤ 6 3¦ ¤ 7 5¦

c.

£ (3 × 1) + (1 × 6) (3 × 4) + (1 × 3) ¥ £ 9 15 ¥ ´ ² ´ ² = ² (2 × 1) + (0 × 6) (2 × 4) + (0 × 3)´ = ² 2 8 ´ ¤ ( 7 × 1) + (5 × 6) (7 × 4) + (5 × 3) ¦ ²37 43´ ¤ ¦ b.

Pengertian Dikalikan dari Kiri dan Dikalikan dari Kanan Pada uraian sebelumnya, kita pelajari bahwa dua matriks A dan B dapat dikalikan jika banyak kolom matriks A sama dengan banyak baris matriks B. Selanjutnya, jika terdapat perkalian dua matriks A × B, dapat dikatakan a. matriks B dikalikan dari kiri pada matriks A; b. matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B. Contoh:

£2 4 ¥ £1 0 ¥ ´´ dan B = ²² ´´ . Diketahui A = ²² ¤ 3 <1 ¦ ¤3 < 2 ¦ Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a. Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B. b. Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B.

Matriks

85

Penyelesaian: a. Matriks A dikalikan dari kiri pada matriks B, berarti

b.

£1 0 ¥ £ 2 4 ¥ £ 2 4 ¥ B × A = ²² ´´ = ²² ´´ ´´ ²² ¤3 < 2 ¦ ¤ 3 < 1 ¦ ¤ 0 14 ¦ Matriks A dikalikan dari kanan pada matriks B, berarti

£ 2 4 ¥ £ 1 0 ¥ £14 < 8 ¥ ´´ = ²² ´´ ´´ ²² A × B = ²² ¤ 3 < 1¦ ¤ 3 < 2 ¦ ¤ 0 2 ¦ Dari contoh tersebut, tampak bahwa AB & BA. Dari hasil tersebut dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks (pada umumnya) tidak bersifat komutatif. Tes Mandiri

c.


Jika A =

£ <1 ² ¤ 0

0¥

´

<1¦

£1 0¥ ´ maka dan I = ² ¤ 0 1¦ A2 – 6A + 3I = .... a. –8A d. 4A b. –10A e. 10A c. 2A

Perkalian dengan Matriks Satuan dan Sifatnya Pada pembahasan sebelumnya, dijelaskan bahwa matriks satuan adalah suatu matriks diagonal dengan setiap elemen diagonal utamanya 1. Jika suatu matriks dikalikan dari kiri atau dari kanan dengan matriks satuan, hasilnya adalah matriks itu sendiri. Oleh karena itu, perkalian suatu matriks A dengan matriks satuan memiliki sifat IA = AI = A Dengan demikian, matriks satuan disebut juga matriks identitas.

Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2006

Contoh:

£ <1 2 ¥ ´´ . Tentukan AI dan IA. Bagaimana hasil perkalian itu? Diketahui A = ²² ¤ 2 <3¦ Penyelesaian:

£ <1 2 ¥ £ 1 ´´ ²² AI = ²² ¤ 2 < 3¦ ¤ 0

0¥ £< 1 2 ¥ ´ =² ´ 1 ´¦ ²¤ 2 < 3 ´¦

£1 0¥ £< 1 2 ¥ £< 1 2 ¥ ´´ ²² ´´ = ²² ´´ IA = ²² ¤0 1¦ ¤ 2 < 3¦ ¤ 2 < 3¦ Dengan memerhatikan hasil perkalian di atas, tampak bahwa AI = IA = A. Coba kalian selidiki, bagaimana jika A bukan matriks persegi? Apakah AI = IA = A? Mengapa? d.

Perpangkatan Matriks Persegi Seperti halnya pada bilangan real, perpangkatan matriks persegi A didefinisikan sebagai berikut.

86


Dari pengertian di atas, jika A suatu matriks persegi berordo m, A2 = A × A, A3 = A × A × A = A2 × A, dan seterusnya. Contoh:

£ 1 2¥ ´´ . Tentukan Diketahui A = ²² ¤< 2 3¦ a. A2; Penyelesaian:

b.

a.

£ 1 2¥ £ 1 2 ¥ £ < 3 8¥ A2 = A × A = ²² ´´ = ²² ´´ ´´ ²² ¤ < 2 3¦ ¤ < 2 3¦ ¤ < 8 5¦

b.

£ 1 2¥ £< 3 8¥ 2A2 – 3A = 2²² ´´ ´´ < 3²² ¤ < 2 3¦ ¤ <8 5¦

2A2 – 3A.

£ < 6 16 ¥ £ < 3 < 6 ¥ £ < 9 10 ¥ = ²² ´´ ´´ + ²² ´´ = ²² ¤ < 16 10 ¦ ¤ 6 < 9 ¦ ¤ < 10 1 ¦ Sekarang, coba kalian selidiki, apakah A2 × A = A × A2 = A3? Selidiki pula, apakah A3 × A = A × A3 = A2 × A2 = A4?

Diskusi

Berpikir Kritis

Misalkan diberikan matriks A berordo m × n, dengan m & n dan m, n bilangan asli. Untuk Ak, k bilangan asli, dapatkah ditentukan nilainya? Mengapa?

6. Sifat-Sifat Perkalian Matriks Untuk memahami sifat-sifat perkalian matriks, perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh: 1.

£1 0 ¥ £ 1 <2¥ ´´ , B = ²² Diketahui A = ²² ´´ , dan C = ¤3 4 ¦ ¤< 2 3 ¦ a. Tentukan A × B, B × C, dan A × C. b. Apakah A × (B × C) = (A × B) × C? c. Apakah A × (B + C) = A × B + A × C?

£< 2 1 ¥ ²² ´´ . ¤ 1 < 1¦

Matriks

87

Penyelesaian: a.

£1 0 ¥ £ 1 < 2 ¥ £ 1 < 2 ¥ A × B = ²² ´´ ²² ´´ = ²² ´´ ¤3 4 ¦ ¤ < 2 3 ¦ ¤ < 5 6 ¦

£ 1 <2¥ £ <2 B × C = ²² ´´ ²² ¤< 2 3 ¦ ¤ 1

1 ¥ £<4 3 ¥ ´ =² ´ < 1 ´¦ ²¤ 7 < 5 ´¦

£1 0 ¥ £ < 2 1 ¥ £ < 2 1 ¥ A × C = ²² ´´ ²² ´´ = ²² ´´ ¤3 4 ¦ ¤ 1 < 1 ¦ ¤ < 2 < 1 ¦ b.

£1 0 ¥ £ < 4 ´´ ²² A × (B × C) = ²² ¤3 4 ¦ ¤ 7

3 ¥ £< 4 3 ¥ ´ = ² ´ < 5 ´¦ ²¤ 16 < 11´¦

£ 1 < 2¥ £< 2 1 ¥ £< 4 3 ¥ ´´ ²² ´´ = ²² ´´ (A × B) × C = ²² ¤ < 5 6 ¦ ¤ 1 < 1 ¦ ¤ 16 < 11¦ Ternyata A × (B × C) = (A × B) × C. Berarti, perkalian matriks bersifat asosiatif. c.

£1 0 ¥ £ 1 < 2 ¥ £ < 2 ´´ + ²² ´´ ³²² A × (B + C) = ²² ¤3 4 ¦ ¤ < 2 3 ¦ ¤ 1

1 ¥ ´µ < 1 ´¦

£1 0 ¥ £ < 1 < 1 ¥ £ < 1 < 1¥ = ²² ´´ ²² ´´ = ²² ´´ ¤3 4 ¦ ¤ < 1 2 ¦ ¤ < 7 5 ¦ £ 1 <2¥ £ <2 1 ¥ ´ + ² ´ A × B+A × C = ² ¤ <5 6 ¦ ¤ <2 <1¦ £ <1 <1¥ ´ =² ¤ <7 5 ¦ Ternyata A × (B + C) = (A × B) + (A × C) berarti perkalian matriks bersifat distributif kanan. Dengan menggunakan contoh di atas, dapat ditunjukkan bahwa perkalian matriks juga bersifat distributif kiri, yaitu (A + B) × C = (A × C) + (B × C). 2.

£4 5¥ ´´ dan O = Diketahui A = ²² ¤7 4¦ Tentukan OA dan AO.

£0 0¥ ²² ´´ . ¤0 0¦

£ 0 0 ¥ £ 4 5¥ £ 0 0 ¥ OA = ²² ´´ ²² ´´ = ²² ´´ ¤ 0 0¦ ¤7 4¦ ¤ 0 0¦ £ 4 5¥ £0 0¥ £ 0 0¥ AO = ²² ´´ ²² ´´ = ²² ´´ ¤ 7 4¦ ¤0 0¦ ¤ 0 0¦ Dengan demikian, OA = AO = O.

88

3.


£ 3 < 1¥ £4 2¥ Diketahui A = ²² ´´ dan B = ²² ´´ . ¤1 3¦ ¤2 0 ¦ Tentukan hasil perkalian matriks berikut ini. a. (3A)B b. 3(AB) c. A(3B) Penyelesaian: £ 3 < 1 ¥ £ 4 2 ¥ ´´µ ²² ´´ a. (3A)B = ³3²² 2 0 1 3 ¤ ¤ ¦ ¦

£ 9 < 3 ¥ £ 4 2 ¥ £ 33 9 ¥ ´´ ²² ´´ = ²² ´´ = ²² ¤ 6 0 ¦ ¤ 1 3 ¦ ¤ 24 12 ¦ £ 3 <1¥ £ 4 2¥ b. 3(AB) = 3³² ´ ² ´µ ¤ 2 0 ¦ ¤ 1 3¦ £11 3¥ £ 33 9 ¥ = 3² ´ = ² ´ ¤ 8 4¦ ¤ 24 12¦ £ 3 < 1 ¥ £ 4 2 ¥ c. A(3B) = ²² 2 0 ´´ ³3²² 1 3 ´´µ ¤ ¦ ¤ ¦

£ 3 < 1 ¥ £12 6 ¥ £ 33 9 ¥ ´´ ²² ´´ = ²² ´´ = ²² ¤ 2 0 ¦ ¤ 3 9 ¦ ¤ 24 12 ¦ Dari hasil perkalian tersebut, tampak bahwa (3A)B = 3(AB) = A(3B). Apakah 3(AB) = (AB)3? Apakah hal ini termasuk sifat asosiatif? Kemukakan alasan kalian. Berdasarkan contoh-contoh di atas dan pembahasan sebelumnya, untuk setiap matriks A, B, dan C yang dapat dikalikan atau dijumlahkan, dengan k adalah suatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifatsifat berikut: a. b. c. d. e. f. g.

Tidak komutatif, yaitu A × B & B × A Asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C) Distributif kanan, yaitu A × (B + C) = (A × B) + (A × C) Distributif kiri, (A + B) × C = (A × C) + (B × C) Perkalian dengan skalar k, yaitu (kA) × B = k(A × B). Jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = A Perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O.

Matriks

Tugas

89


Investigasi

Misalkan A, B, C, dan D matriks. Apakah berlaku sifat-sifat berikut? a. Jika AB = AC dan A bukan matriks nol maka B = C. b. Jika AD matriks nol maka A atau D matriks nol. Jika ”ya”, buktikan. Jika ’tidak”, carilah contoh matriks A, B, C, dan D sehingga a. AB = BC dan A bukan matriks, tetapi B & C. b. AD matriks nol, tetapi A dan D bukan matriks nol. Uji Kompetensi 5 1.

2.


£2 1 ¥ £3 1¥ £ <1 1 2 ¥ ´´ , dan C = ²² ´´ , B = ²² ´´ . Diketahui A = ²² ¤ 1 <1 ¦ ¤2 0¦ ¤ 2 0 < 1¦ Tentukan hasil perkalian berikut. a. A × B d. Ct × A b. B × C e. Ct × B c. A × C f. Ct × At £2 1 ¥ ´´ , Q = Diketahui P = ²² ¤ 1 < 3¦

£0 2¥ ²² ´´ , dan R = ¤1 3¦

Tentukan hasil perkalian berikut. a. P × (Q × R) b. (Q × R) × P c. (P + Q) × R 3.

4.

d. e. f.

£ 2 3¥ ²² ´´ . ¤1 1¦

Qt × R P × Qt P × Qt × Rt

Tentukan nilai a dan b yang memenuhi persamaan berikut. a.

£ 2 a¥ £ 4 ¥ £ 6 ¥ ² ´ ² ´ =² ´ ¤ b 1¦ ¤ <1¦ ¤ <5¦

d.

£ a <1¥ £ b <1¥ £ <2 <4¥ ² ´ ² ´ =² ´ ¤ 3 2 ¦ ¤ 0 2 ¦ ¤ <3 1 ¦

b.

£ a 1¥ £ 5¥ £19¥ ² ´ ² ´ =² ´ ¤ 0 2¦ ¤ b¦ ¤ 8 ¦

e.

£ a b¥ £1 2¥ £ 24 23¥ ² ´² ´ =² ´ ¤ 2 3¦ ¤ 4 3¦ ¤14 13 ¦

c.

£ 3 1¥ £ b¥ £ <2¥ ² ´ ² ´ =² ´ ¤ a 2¦ ¤ 4¦ ¤ 6 ¦

Tentukan matriks persegi X ordo 2 yang memenuhi persamaan berikut. a.

£ 1 2¥ £ 4 3¥ ² ´X =² ´ ¤2 1¦ ¤ 2 1¦

b.

1¥ £ <3 £ 0 <2¥ ² ´X =² ´ ¤ 4 <2¦ ¤ <2 0 ¦

90

5.

6.


£2 1¥ ´´ . Tentukan hasil operasi berikut. Diketahui A = ²² ¤ 1 3¦ c. A2 × A a. A2 2 b. A × A d. A4 £ 1 2¥ £1 3 ¥ Diketahui A = ² ´ dan B = ²¤ <1 5´¦ . Tentukan hasil operasi berikut. ¤ 4 <3¦ 2 a. (A + B) c. (B – A)2 2 2 b. A + 2AB + B d. B2 – 2BA + A2

Soal Terbuka 1.


£ 3 <4¥ £1 0¥ Jika X = ² ´ dan I = ² ´. ¤ 2 <3¦ ¤0 1¦ £ 2 <2¥ ´ . Selidiki apakah Tunjukkan bahwa X2 + 2X + I = 4 ² ¤1 <1¦ (X – I)2 = X2 – 2X + I.

2.

£ 1 2 3¥ ² ´ Diketahui matriks A = ² 1 1 3 ´ dan B = ²2 1 1´ ¤ ¦

£4 1 2¥ ² ´ ²2 2 2´. ²1 3 1´ ¤ ¦

Tentukan hasil operasi berikut. d. (A – B) × (A + B) a. A2 b. B2 e. A × (B + Bt) f. At × (At + Bt) c. A × B Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas

D. Balikan atau Invers Matriks Kalian tentu tahu bahwa balikan (invers) dari 2 adalah 2–1 atau 1 1 , invers dari 3 adalah 3–1 atau , dan seterusnya. Jika kalian cermati, 2 3 2 × 2–1 = 1, 3 × 3–1 = 1, dan seterusnya. Angka 1 merupakan identitas terhadap perkalian. Operasi invers juga berlaku pada matriks. Sebelum lebih lanjut mempelajari tentang invers suatu matriks, terlebih dahulu coba kalian pelajari determinan. Untuk lebih mudahnya, determinan yang dipelajari adalah determinan matriks ordo 2 × 2. Mengapa determinan harus dipelajari terlebih dahulu? Karena invers suatu matriks dapat ditentukan jika determinannya diketahui dan determinan itu tidak sama dengan nol.

Jika matriks A=

£1 ² ¤2

4¥

´ maka nilai

3¦

x yang memenuhi persamaan |A – xI| = 0 dengan I matriks satuan dan |A – xI| determinan dari A – xI adalah .... a. 1 dan –5 b. –1 dan –5 c. –1 dan 5 d. –5 dan 0 e. 1 dan 0 Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2001

Matriks

91

1. Pengertian Determinan Matriks Ordo 2 x 2 £ a b¥ Misalkan terdapat matriks A = ² ´ yang berordo 2 × 2. ¤ c d¦

Elemen a dan d pada matriks tersebut terletak pada diagonal utama (pertama), sedangkan b dan c terletak pada diagonal samping (kedua). Determinan matriks A (disingkat ”det A”) yang berordo 2 × 2 diperoleh dengan mengurangkan hasil kali elemenelemen pada diagonal utama dengan hasil kali Ketahuilah elemen-elemen pada diagonal kedua. Oleh karena itu, determinan matriks A adalah Determinan suatu matriks ditulis dengan menggunakan garis lurus seperti pada rumus di atas, bukan kurung atau kurung siku seperti halnya pada penulisan matriks.

det A =

a b c d

= ad – bc

Contoh: Tentukan determinan matriks-matriks berikut. a.

£2 4¥ ´´ A = ²² ¤1 3¦

b.

£6 8¥ B = ²² ´´ ¤3 4¦

Penyelesaian: a.

det A =

2 1

4 = (2 × 3) – (4 × 1) = 6 – 4 = 2 3

b.

det B =

6 8 = (6 × 4) – (8 × 3) = 24 – 24 = 0 3 4

2. Pengertian Dua Matriks Saling Invers Dua matriks dikatakan saling invers jika perkalian kedua matriks itu menghasilkan matriks identitas. Pengertian ini tertuang dalam definisi berikut. Matriks A disebut invers dari matriks B jika A × B = B × A = I, dengan I adalah matriks identitas. Invers dari matriks B ditulis B–1, sedangkan invers matriks A dituliskan dengan A–1. Perhatikan bahwa pada umumnya perkalian matriks tidak bersifat komutatif, tetapi ada yang bersifat komutatif, yaitu perkalian matriks persegi dengan inversnya dan perkalian matriks persegi dengan matriks identitasnya.

92


Contoh:

£ 2 < 1¥ £1 1 ¥ ´´ . ´´ dan B = ²² Diketahui A = ²² ¤ <1 1 ¦ ¤1 2 ¦ Selidiki apakah A dan B saling invers. Penyelesaian: Matriks A dan B saling invers jika berlaku A × B = B × A = I. £ 1 0¥ £1 1¥ £ 2 <1¥ ´ =I ´ ² ´ = ² A× B = ² ¤ 0 1¦ ¤1 2¦ ¤ <1 1 ¦ £ 2 <1¥ £1 1¥ £ 1 0¥ ´ ² ´ =I ´ =² B× A = ² ¤ <1 1 ¦ ¤1 2¦ ¤ 0 1¦

Karena A × B = B × A = I, matriks A dan B saling invers. Diskusi

Berpikir Kritis

Dengan mengingat definisi matriks persegi, invers suatu matriks, dan matriks identitas, serta sifat perkalian matriks, tunjukkan bahwa a. perkalian matriks persegi dengan inversnya bersifat komutatif; b. perkalian matriks persegi dengan matriks identitasnya bersifat komutatif.

3. Rumus Invers Matriks Persegi Berordo 2 x 2 a b¥ Misalkan matriks A = £² ´ . Jika matriks A dikalikan dari ¤ c d¦


£ d < b¥ kiri dengan matriks ² ´ , diperoleh ¤
Diberikan matriks A,

0 ¥ £ d < b¥ £ a b¥ = £ ad < bc ² ´ ² ´ ²¤ c d ´¦ ad < bc¦ ¤ 0 ¤
a, b tidak keduanya nol. Jika At dan A–1 masingmasing menyatakan transpose dan invers dari A, dan A t = A –1 maka a dan b memenuhi ... a. a2 – b2 = 0 b. –a2 + b2 = 0 c. a2 – 2b = 1 d. a2 – b2 = 1 e. a2 + b2 = 1

£ a
£ 1 0¥ ´ ¤ 0 1¦

= (ad – bc) ²

Jika hasil perkalian ini dikalikan dengan

1 , untuk ad < bc

ad – bc & 0, diperoleh

1 ad < bc

£ 1 0¥ £ 1 0¥ ³( ad < bc)²¤ 0 1´¦ µ = ²¤ 0 1´¦ . Dengan demikian, jika

Soal SPMB, Kemampuan IPA, 2004

Matriks


Jika A =

£1 ² ¤3

matriks A dikalikan dari kiri dengan matriks

93

1 £ d < b¥ ² ´, ad < bc ¤ < c a ¦

untuk ad – bc & 0, diperoleh

2¥

´ 5¦

dan

£ <2 1 ¥ A–1B = ² ´ maka ¤ 2 0¦ matriks B adalah ....

£ <2 1 ¥ ´ a. ² ¤ 0 3¦

1 £ d < b¥ £ a b ¥ £ 1 0¥ ² ´µ ² ´ =² ´ = I. ³ ad < bc ¤ < c a ¦ ¤ c d ¦ ¤ 0 1¦

Dengan cara yang sama, jika matriks A dikalikan dari kanan dengan matriks

£1 <4¥ ´ b. ² ¤ 3 0¦

1 £ d < b¥ ² ´ untuk ad – bc & 0, diperoleh ad < bc ¤ < c a ¦

£ a b ¥ 1 £ d < b¥ £ 1 0¥ ² ´ ³ ² ´µ = ² ´ ¤ c d ¦ ad < bc ¤ < c a ¦ ¤ 0 1¦ = I.

£ 2 1¥ c. ² 4 3´ ¤ ¦

Berdasarkan pengertian invers suatu matriks, jika hasil kali dua matriks adalah matriks identitas maka matriks yang satu merupakan invers matriks yang lain. Dengan demikian, invers matriks berordo 2 × 2 dapat dirumuskan sebagai berikut.

£ 2 0¥ ´ d. ² ¤ 3 <4¦ £1 2¥ e. ² 0 3´ ¤ ¦ Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2004

£ a b¥ Jika A = ² ´ dengan ad – bc & 0 maka invers matriks A, ¤ c d¦

ditulis A–1 adalah Diskusi Investigasi Misalkan A dan B matriks persegi berordo 2 × 2, apakah berlaku sifat: a. det (AB) = det A . det B? b. det (A + B) = det A + det B?

1 £ d < b¥ 1 d
Berdasarkan pengertian di atas, matriks A mempunyai invers jika dan hanya jika det A & 0. Matriks semacam ini disebut matriks nonsingular. Adapun matriks yang nilai determinannya nol disebut matriks singular.

Contoh:

£4 3¥ ´´ . Tentukan Q–1. Diketahui Q = ²² 1 2 ¤ ¦ Penyelesaian: det Q =

4 3 = (4 × 2) – (3 × 1) = 5 & 0. Berarti, Q mempunyai invers. 1 2

1 Q = det Q –1

2 £ 2 < 3 ¥ 1 £ 2 <3¥ = £ 5 ²² ´´ = ²¤ <1 4 ´¦ ² <1 5 ¤5 ¤ <1 4 ¦

<3 5¥ 4´ 5¦

94


Uji Kompetensi 6 1.

2.

3.

4.

5.


Pasangan matriks-matriks manakah yang saling invers?

£ 1 <2¥ £5 2¥ ´´ a. ²² ´´ dan ²² ¤< 2 5 ¦ ¤2 1¦

£ 5 < 3¥ £4 3¥ ´´ c. ²² ´´ dan ²² ¤< 7 4 ¦ ¤7 5¦

£ <1 2 ¥ £7 2¥ ´´ dan ²² ´´ b. ²² ¤ 4 < 7¦ ¤4 1¦

£3 5¥ £ 2 <5¥ ´´ dan ²² d. ²² ´´ 4 2 ¤ ¦ ¤< 4 3 ¦

Tentukan determinan matriks-matriks berikut.

£ 5 7¥ ´´ a. ²² ¤3 6¦

£ <1 c. ²² ¤< 2

£2 < 4¥ ´´ b. ²² ¤3 < 8¦

£ 8 <4¥ ´´ d. ²² ¤ < 2 < 7¦

£ x2 x2 ¥ e. ² ´ ¤ 2 x 3 x + 1¦

< 3¥ ´ 4 ´¦

f.

£ < x 1¥ ² ´ ¤ x 2¦

Manakah di antara matriks-matriks di bawah ini yang merupakan matriks nonsingular?

£ < 8 12 ¥ a. ²² ´´ ¤ 4 <6¦

£10 4 ¥ ´´ c. ²² ¤ 5 2¦

£ 8 4¥ ´´ b. ²² ¤18 9 ¦

£ 8 < 16 ¥ ´´ d. ²² ¤2 4 ¦

Tentukan nilai a pada persamaan berikut. a.

<6 3 =9 a <4

d.

<2 <5 = – 13 <3 a

b.

a 5 = –12 8 7

e.

a <3 =–2
c.

2 a = 23 3 4

f.

2 a = – 15 13 a 2

Tentukan invers matriks berikut.

£ 2 < 1¥ ´´ a. ²² ¤1 5 ¦

£ < 16 19 ¥ ´ c. ²² < 6 ´¦ ¤ 5

£ 12 < 13 ¥ b. ² ´ ¤ 1 13 ¦

£3 < 2 ¥ ´´ d. ²² ¤8 < 5 ¦

Matriks

6.

£ 3 <5¥ ´ dan B = Diketahui A = ² ¤ 4 <7¦

£ <9 5¥ ² ´. ¤ <7 4¦

Tentukan a. A–1B–1 b. B–1A–1

c. (AB)–1 d. (BA)–1

7.

£ <7 5¥ ´ , tentukan (A–1)–1. Jika A = ² ¤ <6 4¦

8.

£ <4 5¥ ´ , tentukan Jika A = ² ¤ <2 3¦

a. b.

95

(At)–1 (A–1)t

4. Determinan dan Invers Matriks Ordo 3 × 3 (Pengayaan) £ a11 ² Misalkan matriks A = ² a21 ¤ a31

a12 a22 a32

a13 ¥ a23 ´ . ´ a33 ¦

Determinan matriks A dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sarrus.

a11

a12

det A = a21 a31

a 22 a32

–

–

–

a13 a11 a23 a21 a33 a31 +

a12

a13

a22 a32

a23 a33

+

+

= a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33 Selain menggunakan aturan Sarrus, determinan matriks A juga dapat dicari menggunakan rumus berikut. det A = a11 dengan

a22 a32

a23 a21 < a12 a33 a31

a22

a23

a32

a33

a23 a33

+ a13

a21 a31

disebut minor elemen a11,

minor elemen a12, dan

a21 a31

a22 a32 a21 a31

a23 disebut a33

a22 disebut minor elemen a13. a32

96


Coba kalian buktikan bahwa rumus yang kedua sama dengan rumus yang pertama. Secara umum, jika elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks A dihilangkan maka diperoleh submatriks berukuran 2 × 2. Determinan submatriks ini disebut minor elemen aij ditulis Mij, sedangkan (–1)1+j Mij disebut kofaktor elemen aij ditulis Kij. Dengan menggunakan beberapa pengertian tersebut, rumus determinan matriks A sebagai berikut. 3

det A =

- aij Kij

dengan i = 1, 2, 3, atau

j =1

3

det A =

- aij Kij j =1

dengan j = 1, 2, 3.

Coba kalian tuliskan rumus-rumus determinan matriks A tanpa menggunakan notasi sigma. Bukti rumus ini akan dipelajari di jenjang pendidikan yang lebih tinggi.

5. Rumus Invers Matriks Persegi Ordo 3 × 3 Menggunakan Adjoin Invers matriks persegi berordo 3 × 3 dapat ditentukan menggunakan beberapa cara. Pada pembahasan kali ini, akan kita pergunakan dua cara, yaitu mengunakan adjoin dan transformasi baris elementer. Namun, kali ini kita hanya akan menggunakan cara adjoin saja. Cara-cara menentukan invers berordo 3 × 3 dapat diperluas untuk matriks yang ordonya 4 × 4, 5 × 5, 6 × 6, dan seterusnya.

£ a11 Diberikan matriks A = ² a21 ² ¤ a31

a12 a22 a32

a13 ¥ a23 ´ . Untuk menentukan ´ a33 ¦

invers matriks A dengan menggunakan adjoin, selain beberapa pengertian yang sudah kalian pelajari sebelumnya ada pengertian yang harus kalian pahami, yaitu tentang kofaktor dari matriks A dan adjoin matriks A. Kofaktor dari matriks A ditulis £ K11 kof(A) = ² K21 ² ¤ K31

K12 K22 K32

K13 ¥ K23 ´ , ´ K33 ¦

sedangkan adjoin dari matriks A ditulis adj(A) adalah transpose dari kof (A)

Matriks

[kof(A)]t

£ K11 = ² K12 ² ¤ K13

K21 K22 K23

£ M11 ² = ² < M12 ¤ M13

97

K31 ¥ K32 ´ ´ K33 ¦

< M21 M22 < M23

M31 ¥ < M32 ´ . ´ M33 ¦

Terlebih dahulu, kita tentukan nilai minor Mij. £ a11 Dari matriks A = ² a21 ² ¤ a31

a12 a22 a32

a13 ¥ a23 ´ , diperoleh ´ a33 ¦

a22 a22 a23 K11 = (–1)1+1 M11 = M11 = a32 a32 a33 Dengan cara serupa, diperoleh

M11 =

a23 a33

M12 =

a21 a31

a23 a21 K12 = (–1)1+2 M12 = –M12 = – a33 a31

M13 =

a21 a31

a21 a22 K13 = (–1)1+3 M13 = M13 = a a32 31

a23 a33

a22 a32

Coba, kalian tentukan K21, K22, K23, K31, K32, dan K33. Jika kalian telah menentukan kofaktor-kofaktor itu, diperoleh

£ a22 a23 ² a a33 ² 32 a21 a23 adj(A) = ² < ² a31 a33 ² ² a21 a22 ² a ¤ 31 a32

a12 a32 a11 a31 a11 < a31

<

a13 a33 a13 a33 a12 a32

a12 a13 ¥ a22 a23 ´ ´ a11 a13 ´ < a21 a23 ´ ´ a11 a12 ´ a21 a22 ´¦

Jadi, invers matriks A yang berordo 3 × 3, yaitu A–1 ditentukan dengan rumus A–1 =

1 adj ( A) det A

Bukti rumus ini akan kalian pelajari di jenjang pendidikan yang lebih tinggi.

98


Contoh: £1 3 2¥ ² ´ Diketahui matriks A = ² 2 6 2 ´ . Tentukan berikut ini. ²5 9 4´ ¤ ¦

a.

det A

b.

adj(A)

c.

A–1

Penyelesaian: a. Cara 1: (Dengan menggunakan aturan Sarrus) det A= 1 × 6 × 4 + 3 × 2 × 5 + 2 × 2 × 9 – 5 × 6 × 2 – 9 × 2 × 1 – 4 × 3 × 2 = 24 + 30 + 36 – 60 – 18 – 24 = –12 Cara 2: (Dengan cara minor-kofaktor untuk baris pertama) det A= 1

6 2 2 2 2 6 < 3 + 2 9 4 5 4 5 9

= 1(6) – 3(–2) + 2(–12) = – 12 Cobalah dengan cara baris atau kolom yang lain. Apakah hasilnya sama? b.

K11 = (–1)1+1

6 2 6 2 = = 24 < 18 = 6 9 4 9 4

K12 = (–1)1+2

2 2 2 2 =< = <(8 < 10) = 2 5 4 5 4

K13 = (–1)1+3

2 6 2 6 = = 18 < 30 = <12 5 9 5 9

Coba kalian cari K21, K22, K23, K31, K32, dan K33. Jika sudah menentukan kofaktor-kofaktor itu, kalian akan memperoleh matriks kofaktor A. 2 < 12 ¥ £ 6 ² ´ 6 ´ kof(A) = ² 6 < 6 ²< 6 2 0 ´¦ ¤ 6 < 6¥ £ 6 ² ´ Karena adj(A) = [kof(A)] maka diperoleh adj(A) = ² 2 <6 2 ´ . ² < 12 6 0 ´¦ ¤ t

Matriks

99

1 adj(A) det A 1 =– adj(A) 12

c. A–1 =

6 < 6¥ £ 6 £ < 12 ´ 1 ² < 6 2 ´ = ²< 1 =– ² 2 12 ² ² 6 ´ 12 6 0 < ¤ ¦ ¤ 1

< 12 1 2

< 12

1 2

<

¥ 1´ 6

´ 0¦

6. Penyelesaian Persamaan Matriks yang Berbentuk AX = B dan XA = B Misalkan A, B, dan X adalah matriks-matriks persegi berordo 2 × 2, dengan matriks A dan B sudah diketahui elemenelemennya. Matriks X yang memenuhi persamaan AX = B dan XA = B dapat ditentukan jika A merupakan matriks nonsingular (det A & 0). Cara menyelesaikan persamaan matriks AX = B dan XA = B adalah sebagai berikut. Langkah 1: Tentukan invers matriks A, yaitu A–1. Langkah 2: Kalikan ruas kiri dan ruas kanan persamaan tersebut dengan A–1 dari kiri ke kanan. (Ingat: A–1A = AA–1 = I dan IX = XI = X). a. Untuk menyelesaikan persamaan AX = B, kalikan kedua ruas persamaan itu dengan A–1 dari kiri sehingga diperoleh A–1(AX) = A–1B (A–1A)X = A–1B IX = A–1B X = A–1B b. Untuk menyelesaikan persamaan XA = B, kalikan kedua ruas persamaan itu dengan A–1 dari kanan sehingga diperoleh (XA)A–1 = BA–1 X(AA–1) = BA–1 XI = BA–1 X = BA–1 Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa penyelesaian persamaan AX = B dan XA = B, dapat ditentukan dengan rumus berikut. Penyelesaian persamaan matriks AX = B adalah X = A–1B. Penyelesaian persamaan matriks XA = B adalah X = BA–1.

100


Contoh:

£3 7 ¥ £3 5 ¥ ´´ . ´´ dan B = ²² Diketahui A = ²² ¤2 < 5¦ ¤1 2 ¦ Tentukan matriks X yang memenuhi persamaan berikut. a. AX = B b. XA = B Penyelesaian: £3 5 ¥ 3 5 ´´ maka det A = = 6 – 5 = 1. Karena A = ²² 1 2 ¤1 2 ¦

£ 2 < 5¥ Oleh karena itu, A–1 = ²² ´´ . ¤ <1 3 ¦ a.

£ 2 < 5 ¥ £ 3 7 ¥ £ < 4 39 ¥ ´´ ²² ´´ = ²² ´´ . Karena AX = B maka X = A–1B = ²² ¤ < 1 3 ¦ ¤ 2 < 5 ¦ ¤ 3 < 22 ¦

b.

£ 3 7 ¥ £ 2 < 5¥ £ < 1 6 ¥ ´´ ²² ´´ = ²² ´´ . Karena XA = B maka X = BA–1 = ²² ¤ 2 < 5 ¦ ¤ < 1 3 ¦ ¤ 9 < 25 ¦ Uji Kompetensi 7

1.


Tentukan determinan dan adjoin matriks-matriks berikut.

a.

£ 1 < 1 < 3¥ ² ´ 1 ´ A = ²4 3 ²6 < 3 2 ´ ¤ ¦

c.

£1 4 3 ¥ ² ´ C = ²1 2 2 ´ ²1 3 < 1´ ¤ ¦

£< 4 3 5¥ ² ´ 0 4 6´ ² B= ²< 3 1 2´ ¤ ¦

2.

3 2¥ £ 2 ² ´ b. d. D = ² < 3 < 2 1 ´ ² 1 0 0 ´¦ ¤ Manakah yang merupakan matriks nonsingular?

a.

£ 11 < 4 2 ¥ ² ´ P = ² < 12 0 0 ´ ² 16 < 2 1 ´ ¤ ¦

b.

£5 3 2 ¥ ² ´ Q = ²1 4 6 ´ ² 2 8 12 ´ ¤ ¦

c.

2 < 14 ¥ £ 7 ² ´ R = ² 3 10 < 6 ´ ²< 2 6 4 ´¦ ¤

d.

£ 2 1 < 1¥ ² ´ S = ²4 1 5 ´ ²3 1 2 ´ ¤ ¦

Matriks

3.

4.

101

Tentukan nilai a yang memenuhi persamaan berikut.

a.

1 5 4 0 3 4 = –6 a 5 2

b.

2 4 a 2 0 1 =8 2 <1 1

c.

2 3 0 <5 2 0 = 9 a 10 3

d.

<1 2 4 a 3 <4 = 12 <3 <4 4

Tentukan invers matriks-matriks berikut. a.

£ 3 5 2¥ K = ² 5 7 4´ ² ´ ¤ 0 1 6¦

c.

£ <1 2 ² M= ² 5 2 ²1 1 ¤

< 1¥ ´ 1´ < 1 ´¦

£ 2 <1 3 ¥ ² ´ L = ² < 4 3 < 2´ ² 1 <1 1 ´ ¤ ¦

5.

£4 1 3¥ ² ´ b. d. N = ² 3 2 2 ´ ²2 2 4´ ¤ ¦ Tentukan matriks X jika diketahui persamaan berikut.

£ 4 <3¥ £ <3¥ a. ² ´X = ² ´ ¤ <2 1 ¦ ¤ <1¦

c.

£ 4 4¥ £ 27 23¥ X² ´ = ² ´ ¤ 7 3¦ ¤ <2 6 ¦

2 <4¥ £ 6 <20¥ b. £² ´X = ² ´ ¤2 3 ¦ ¤ 20 1 ¦

d.

£ <6 3¥ X² ´ = (12 36) ¤ 4 5¦

E. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Di awal bab ini, kalian telah dipancing dengan soal prasyarat, bagaimana cara menyajikan koefisien-koefisien sistem persamaan linear ke dalam suatu tabel. Dari tabel itu, tentu kalian akan dapat menyusun sebuah matriks yang berhubungan dengan koefisienkoefisien sistem persamaan linear. Sekarang, mari kita lanjutkan dengan cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan cara matriks.

1. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Sistem persamaan linear dua variabel dapat juga diselesaikan menggunakan matriks. Misalkan terdapat sistem persamaan linear dengan variabel x dan y sebagai berikut. ax + by = p.......................................................................... (1) cx + dy = q

{

102


Sistem persamaan tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. £ a b¥ £ x ¥ £ p¥ ² ´ ² ´ = ² ´ ................................................................. (2) ¤ c d ¦ ¤ y¦ ¤ q ¦

Persamaan (2) merupakan bentuk persamaan matriks AX = B £ p¥ £ x¥ £ a b¥ ² ´. , X = , dan B = dengan elemen matriks A = ² ² ´ ´ ¤ q¦ ¤ y¦ ¤ c d¦ Persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengalikan matriks A–1 dari kiri, seperti yang telah kita pelajari pada pembahasan sebelumnya. A–1(AX) = A–1B (A–1A)X = A–1B IX = A–1B X = A–1B

1 £ a b¥ –1 Karena A = ² ´ maka A = ¤ c d¦ ad < bc

£ d < b¥ ² ´. ¤
£ x¥ £ p¥ Karena B = ² ´ , matriks X = ² ´ dapat ditentukan dengan ¤ y¦ ¤ q¦ rumus

£ x¥ £ d < b¥ £ p¥ 1 ² ´ = ² ´² ´ ¤ y¦ ad < bc ¤ < c a ¦ ¤ q ¦

Contoh: Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut. 2x + y = 4 3x + 2y = 9 Penyelesaian: Jika sistem persamaan tersebut ditulis dalam bentuk matriks, diperoleh

{

£ 2 1¥ £ x ¥ £ 4¥ ² ´ ² ´ =² ´. ¤ 3 2¦ ¤ y¦ ¤ 9¦ £ x¥ £2 1¥ ´´ , X = ² ´ , Persamaan matriks di atas dapat ditulis menjadi AX = B, dengan A = ²² ¤ y¦ ¤3 2¦ £4¥ dan B = ²² ´´ . ¤9¦

Matriks

103

2 1 1 £ 2 < 1¥ £ 2 < 1¥ ´ = ²² ´´ . = 1 dan A–1 = ²² 3 2 1 ¤ < 3 2 ´¦ ¤< 3 2 ¦ Oleh karena itu, X = A–1B

det A =

£ 2

< 1¥ ´ 2 ´¦

£ 4 ¥ £< 1¥ ²² ´´ = ²² ´´ ¤9¦ ¤ 6 ¦ Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {(–1, 6)}.

£ x¥

² ´ = ²² ¤ y¦ ¤< 3

2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (Pengayaan) Misalkan terdapat sistem persamaan linear tiga variabel berikut. ax + by + cz = p dx + ey + fz = q ..............................................................… (1) gx + hy + iz = r Sistem persamaan linear tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks, yaitu

{

£a b ²d e ² ¤g h

c¥ f´ ´ i¦

£ x ¥ £ p¥ ² y´ ² q ´ ² ´ = ² ´ ........................................................ (2) ¤ z¦ ¤ r ¦

Persamaan (2) merupakan bentuk persamaan matriks AX = B, dengan £ x¥ £ p¥ £ a b c¥ A = ² d e f ´ , X = ² y´ , dan B = ² q ´ .............................. (3) ² ´ ² ´ ² ´ ¤ z¦ ¤ r¦ ¤g h i¦ Analog dengan pembahasan pada penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel, persamaan matriks tersebut dapat diselesaikan dengan mengalikan A–1 dari kiri sebagai berikut. A–1(AX) = A–1B (A–1A)X = A–1B IX = A–1B X = A–1B Dalam hal ini, karena A adalah matriks berordo 3 × 3 maka 1 adj(A). A–1 = det A Oleh karena itu,

£ 1 adj( A)¥ 1 X= ¤ B= adj(A)B ¦ det A det A

104


Contoh: Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut. x+y+z=4 –x + 2y – 3z = –1 2x – y + 2z = 2

{

Penyelesaian: Sistem persamaan linear di atas dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks sebagai berikut. £ 1 1 1 ¥ £ x¥ £ 4 ¥ ² <1 2 <3´ ² y´ = ² <1´ ² ´ ² ´ ² ´ ¤ 2 <1 2 ¦ ¤ z ¦ ¤ 2 ¦ Dari bentuk persamaan matriks tersebut, diperoleh

1 1 ¥ £1 ² ´ A = ² < 1 2 < 3´ , X = ² 2 <1 2 ´ ¤ ¦

£ x¥ ² y´ , dan B = ² ´ ¤ z¦

£4¥ ² ´ ² < 1´ . ²2´ ¤ ¦

1 1 1 det A = <1 2 <3 = (4 – 6 + 1) – (4 + 3 – 2) = – 6 2 <1 2 £ 1 < 3 < 5¥ ² ´ adj(A) = ² < 4 0 2 ´ .... (Coba kalian buktikan) ²< 3 3 3 ´¦ ¤

Oleh karena itu, £ 1 < 3 < 5¥ £ 4 ¥ ´² ´ 1 ² 2 ´ ² < 1´ X= ²< 4 0 <6² 3 ´¦ ²¤ 2 ´¦ ¤<3 3 1 £ x¥ £ <3 ¥ £² 2 ¥´ ² y´ = < 1 ² <12´ ² 2 ´ ´ = ²3´ ² ´ 6² ¤ z¦ ¤ <9 ¦ ¤ 2 ¦

Jadi, penyelesaian dari sistem persamaan linear di atas adalah x =

1 3 , y = 2, dan z = . 2 2

Matriks

Soal Terbuka 1.

2.

105


Seorang anak membeli 4 buku tulis dan 3 pensil. Ia harus membayar Rp19.500,00. Jika anak itu membeli 2 buku tulis dan 4 pensil maka anak itu harus membayar Rp16.000,00. Dengan menggunakan invers matriks, tentukan harga sebuah buku tulis dan harga sebuah pensil. Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 2 kg apel, 3 kg salak, dan 1 kg jeruk harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Dengan menggunakan matriks, tentukan harga masing-masing buah per kg-nya.

3. Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear dengan Metode Determinan (Pengayaan) Kalian telah mempelajari determinan matriks berordo 2 × 2 dan 3 × 3. Sekarang kita akan menggunakan determinan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua dan tiga variabel. Perhatikan sistem persamaan linear berikut. 1. ax + by = p cx + dy = q 2. a11 x + a12 y + a13 z = p a21 x + a22 y + a23 z = q a31 x + a32 y + a33 z = r

{

{

Sistem persamaan linear dua variabel di atas dapat ditulis dalam £ a b¥ £ x¥ £ p¥ ´ , X = ² ´ , dan B = ² ´ . bentuk matriks AX = B, dengan A = ² ¤ c d¦ ¤ y¦ ¤ q¦

Untuk mendapatkan penyelesaiannya, terlebih dahulu tentukan D, Dx, dan Dy, dengan D=

a b adalah determinan dari matriks koefisien variabel c d

x dan y. Dx =

p b adalah determinan D, dengan elemen-elemen pada q d

kolom pertama diganti elemen-elemen matriks B, yaitu p dan q. Dy =

a c

p adalah determinan D, dengan elemen-elemen pada q

kolom kedua diganti elemen-elemen matriks B, yaitu p dan q.

106


Setelah D, Dx, dan Dy ditentukan, nilai x dan y dapat diperoleh dengan x=

Dy Dx dan y = D D

Dengan cara yang sama, sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan cara berikut.

a11

a12

a13

a11

D = a21 a31

a22

a23

a32

a33

Dy = a21 a31

p a12

a13

a11

a12

p

q a22 r a32

a23 a33

Dz = a21 a31

a22 a32

q r

Dx =

p a13 q

a23

r

a33

Nilai x, y, dan z diperoleh dari

x=

Dy Dx Dz ,y= , dan z = . D D D

Agar kalian dapat memahaminya, perhatikan contoh berikut. Dalam hal ini, diberikan contoh sistem persamaan linear tiga variabel. Jika kalian memahami contoh ini, tentunya kalian akan lebih mudah memahami penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel dengan cara determinan.

Contoh: Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel berikut dengan cara determinan. x + y + 2z = 4 2x – y – 2z = –1 3x – 2y – z = 3 Penyelesaian: Sistem persaman linear di atas dapat diubah dalam bentuk matriks berikut.

{

2 ¥ £ x¥ £1 1 £ 4¥ ² 2 <1 <2´ ² y´ = ² <1´ ² ´ ² ´ ² ´ ¤ 3¦ ¤ 3 <2 <1¦ ¤ z ¦ Dengan demikian, kita dapat menentukan D, Dx, Dy, dan Dz.

Matriks

107

1 1 2 D = 2 <1 <2 = (1 – 6 – 8) – (–6 – 2 + 4) = –9 3 <2 <1 4 1 2 Dx = <1 <1 <2 = (4 – 6 + 4) – (–6 + 1 + 16) = –9 3 <2 <1 1 4 2 Dy = 2 <1 <2 = (1 – 24 + 12) – (– 6 – 8 – 6) = 9 3 3 <1 1 1 4 Dz = 2 <1 <1 = ( – 3 – 3 – 16) – (– 12 + 6 + 2) = –18 3 <2 3 Nilai x, y, dan z ditentukan dengan x=

Dy Dx <9 9 Dx <18 = = 1; y = = = –1; z = = =2 D <9 <9 D <9 D

Jadi, penyelesaian sistem persamaan linear tersebut adalah x = 1, y = – 1, dan z = 2. Untuk melatih kalian agar menguasai materi ini, kerjakan Uji Kompetensi 8 nomor 1 dan 2 dengan metode determinan.

Tugas 1.

Eksplorasi

Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear berikut. a. 5x + 2y = 1 7x – y = – 10 b. 2x – y = 4 x – 2y = 5 Tentukan nilai a + b + c jika {(a, b, c)} adalah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan berikut. a. x + y – 2z = 0 x + 2y – z = 2 x + y + 2z = 4 b. x + y + z = 3 5x + y + 2z = – 1 3x + 2y + 3z = 8

{ {

2.


{ {

108


Uji Kompetensi 8 1.

Dengan menggunakan matriks, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut. a. x – y = –3 f. 2x – 3y = 7 2x + 3y = 4 5x – 3y = –5 b. x – 2y = –1 g. 6x + 2y = 4 3x + 2y = 13 5x + 3y = –6 c. 4x + 3y = 4 h. –x + 3y = 7 3x + y = –2 2x – 4y = –4 d. x + 6y = –1 i. 2x + 3y = 30 2x + 3y = –11 2x – 5y = –2 e. –2x + 4y = 4 j. 3x – 2y = 7 x – 3y = –6 4x – 3y = 5 Dengan menggunakan matriks, tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear berikut. a. 3x – y + z = 4 d. 5x + y + 3z = 9 x + 2y – 3z = 7 x – y – z = –1 2x + 3y + 2z = 5 –2x + 3y + z = 2 b. x – 2y – z = –3 e. x + 6y – 4z = 15 2x + y + z = 2 –3x + 2y –5z = –8 x + y – 2z = –1 6x – 3y + 2z = 25 c. 3x – 4y + 2z = 26 f. –x + 8y + 2z = 54 –2x + 5y + z = –15 4x – y + 2z = –21 x – 3y – 4z = –5 x + 5y – 4z = 3 Tentukan penyelesaian sistem persamaan berikut. (Petunjuk: Gunakan pemisalan variabel yang sesuai) a. x + y = 2

{ {

{ {

{

{

{

{ {

{

2.

{

{ { {

3.

b. 4.

5.


{ {

{ {

x < y =1 2 x +

y = 21

3 x – 2 y = 21 Misalnya keliling suatu persegi panjang adalah 50 cm dan 5 kali panjangnya dikurangi 3 kali lebarnya sama dengan 45 cm. Buatlah sistem persamaan linearnya. Kemudian, dari sistem persamaan itu, tentukan panjang dan lebar persegi panjang itu dengan menggunakan matriks. Sepuluh tahun lalu umur seorang ayah sama dengan 4 kali umur anaknya. Misalkan jumlah 2 kali umur ayah dan 3 kali umur anaknya sekarang 140 tahun. Buatlah sistem persamaan linear kasus itu, kemudian tentukan umur ayah dan anak sekarang dengan menggunakan matriks.

Matriks

Soal Terbuka

109


Tiga orang A, B, dan C berbelanja gula, beras, dan telur secara bersamaan. A membeli 2 kg gula, 3 kg beras, dan 1 kg telur; B membeli 1 kg gula, 2 kg beras, dan 2 kg telur; sedangkan C membeli 3 kg gula, 1 kg beras, dan 1 kg telur. Uang yang dibayarkan A, B, dan C berturut-turut adalah Rp17.000,00, Rp18.500,00, dan Rp15.500,00. Buatlah sistem persamaan linearnya, kemudian dengan menggunakan matriks, tentukan harga gula, beras, dan telur per kilogramnya. Refleksi Coba ingat kembali materi matriks yang baru saja kalian pelajari. Ternyata kalian menemukan cara yang mudah dalam penyusunan angka-angka dengan

cara yang ringkas. Menurut kalian, apakah materi ini dapat diterapkan dalam praktik nyata? Berikan alasan kalian.

Rangkuman 1. 2. 3.

4. 5.

6.

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang berbentuk persegi panjang dan disusun menurut aturan baris dan aturan kolom. Jika suatu matriks mempunyai m baris dan n kolom, matriks tersebut dikatakan mempunyai ordo m × n. Transpose dari matriks A adalah suatu matriks yang diperoleh dengan cara menukarkan setiap elemen baris matriks A menjadi elemen kolom matriks transposenya. Jika A dan B dua matriks yang ordonya sama, pada penjumlahan berlaku A – B = A + (–B). Jika A, B, dan C adalah matriks-matriks yang ordonya sama, pada penjumlahan matriks berlaku a. sifat komutatif, yaitu A + B = B + A; b. sifat asosiatif, yaitu (A + B) + C = A + (B + C); c. terdapat unsur identitas, yaitu matriks nol sehingga A + O = O + A = A; d. setiap matriks A mempunyai invers penjumlahan, yaitu –A sehingga A + (–A) = –A + A = O. Pada pengurangan matriks tidak berlaku sifat komutatif, tidak asosiatif, dan tidak terdapat unsur identitas. Jika A, B, dan C adalah tiga matriks yang dapat dijumlahkan atau dikalikan dan k suatu skalar anggota himpunan bilangan real, pada perkalian matriks berlaku sifatsifat berikut: a. tidak komutatif AB & BA; b. asosiatif, yaitu (A × B) × C = A × (B × C); c. distributif kiri, yaitu A × (B + C) = (A × B) + (A × C);

110


distributif kanan, yaitu (A + B) × C = (A × C) + (B × C); perkalian dengan skalar k, yaitu (kA) × B = k (A × B); jika perkalian hanya memuat matriks-matriks persegi, terdapat unsur identitas, yaitu I sehingga AI = IA = A; g. perkalian dengan matriks O, yaitu AO = OA = O. Jika k bilangan bulat positif dan A matriks persegi, Ak = A × A × A × … × A (sebanyak k faktor). Matriks A saling invers dengan matriks B jika AB = BA = I, dengan I matriks identitas.

d. e. f.

7. 8. 9.

£ a b¥ Jika A = ² ´ maka invers matriks A adalah ¤ c d¦

A–1 =

1 £ d < b¥ 1 £ d < b¥ ² ² ´ ; ad – bc & 0. Nilai ab – bc disebut ´= ad < bc ¤ < c a ¦ det A ¤ < c a ¦

determinan matriks A, disingkat dengan det A. Jika det A = 0, matriks A tidak mempunyai invers dan disebut matriks singular, sedangkan jika det A & 0, matriks A disebut matriks nonsingular.

Latihan Ulangan Harian III



Nilai x yang memenuhi persamaan matriks

3.

9 ¥ £ x < y 2 x + 1¥ £ 45 ² ´ +² ´ 5 ¦ ¤ 4 y < 3 x + y¦ ¤ <3 £ 40 50¥ = ² ´ ¤ 94 60¦ adalah .... a. – 25 b. – 20 c. 10 2.

d. e.

20 25

£ x 1¥ ´, Diketahui matriks A = ² ¤ <1 y¦ £ 3 2¥ £1 0¥ ´ , dan C = ² ´. B= ² ¤ 1 0¦ ¤ <1 <2¦

Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB – 2B = C adalah .... a. 0 d. 8 b. 2 e. 10 c. 6

4.

£3 2¥ Jika A = ²² ´´ maka A2 – A = .... 0 3 ¤ ¦ a.

£ 6 10 ¥ ²² 0 6 ´´ ¤ ¦

d.

£ 3 12 ¥ ²² ´´ ¤0 3 ¦

b.

£ 9 12 ¥ ²² 0 9 ´´ ¤ ¦

e.

£ 6 12 ¥ ²² 0 3 ´´ ¤ ¦

c.

£ 9 10 ¥ ²² ´´ ¤0 9 ¦

£ 2 1¥ Jika A = ² ´ dan A2 = mA + nI, ¤ <4 3¦ dengan I matriks identitas ordo 2 × 2, nilai m dan n berturut-turut adalah .... a. – 5 dan 10 b. – 5 dan –10 c. 5 dan –10 d. 5 dan 10 e. 10 dan 5

Matriks

5.

Diketahui persamaan matriks A = 2Bt, 9.

£ a 4¥ dengan A = ² ´ dan ¤ 2 b 3c¦ £ 2c < 3b 2 a + 1¥ B= ² ´ . Nilai c = .... b+7¦ ¤ a

a. b. c. 6.

2 3 5

d. e.

8 10

£ 4 x < 2¥ £ <6 8 ¥ Jika ² ´ +² ´ 2 ¦ ¤ <11 <6¦ ¤3 £ 3 1¥ £ 0 3¥ = 2² ´ ² ´ ¤ <2 4¦ ¤ <1 1¦ maka nilai x = ... a. 0 b. 10 c. 13

7.

d. e.

£ 3 5¥ ²² ´´ , dan ¤ 5 7¦

£3 4¥ ´´ . C = ²² ¤5 6¦ Jika det A + det B + n det C = –6, nilai n = .... a. – 2 d. 4 b. – 4 e. – 1 c. 2 8.

£1 2 ¥ ´´ dan B = Jika A = ²² ¤1 3 ¦ A–1B = ....

£ 1 < 13 ¥ Jika A = ² ´ adalah invers dari ¤ <2 1 ¦ 1 ¥ £x +4 ´ , nilai y = .... matriks B = ² 2 x + y¦ ¤ 6

a. b. c.

–1 –2 3

d. e.

4 5

£1 0 2 ¥ ² ´ 10. Diketahui A = ² 3 4 5 ´ dan ² 5 6 7´ ¤ ¦

£1 0 6 ¥ ² ´ B = ² 3 4 15 ´ . ² 5 6 21´ ¤ ¦

14 25

£4 5¥ ´´ , B = Diketahui A = ²² ¤6 7¦

111

£3 2¥ ²² ´´ maka ¤2 2¦

Nilai n yang memenuhi persamaan det A – n det B = 30 adalah .... a. 2 d. – 4 b.

–2

e.

3 2

c. 4 11. Matriks A yang memenuhi persamaan

£2 7¥ ²² ´´ A = ¤5 3¦

£< 3 8 ¥ ²² ´´ adalah .... ¤ 7 < 9¦

a.

£ 2 <3¥ ²² ´´ ¤ <1 2 ¦

b.

£2 3 ¥ ²² ´ < 1 < 2 ´¦ ¤

a.

£ 3 1¥ ²² ´´ ¤ 2 1¦

d.

£0 2¥ ²² ´´ ¤1 3¦

c.

£ 3 < 1¥ ²² ´´ ¤< 2 2 ¦

b.

£ 5 2¥ ²² ´´ ¤ < 1 0¦

e.

£5 1¥ ²² ´´ ¤1 3 ¦

d.

£ <1 2 ¥ ²² ´´ ¤ 3 < 2¦

c.

£1 2 ¥ ²² ´´ ¤ 0 < 1¦

e.

£2 3 ¥ ²² ´´ ¤ 1 < 3¦

112


£1 3 ² 12. Invers dari matriks ²1 4 ²1 3 ¤

a.

b.

c.

d.

e.

3¥ ´ 3 ´ adalah .... 4 ´¦

£ 7 < 3 < 3¥ ² ´ ² < 1 1 < 1´ ²0 1 < 1 ´¦ ¤ £ 7 < 3 < 3¥ ² ´ 0 ´ ² <1 1 ² <1 0 1 ´¦ ¤ £ 7 < 3 < 3¥ ² ´ 1 ´ ² <1 1 ²0 1 0 ´¦ ¤ £ < 7 3 < 3¥ ² ´ ² <1 0 1 ´ ² 0 1 1´ ¤ ¦

£< 7 < 3 < 3¥ ² ´ ² <1 < 1 1 ´ ² 0 0 1 ´¦ ¤

13. Diketahui persamaan linear yang dinyatakan dalam bentuk matriks berikut. £ 2 3 ¥ £ x¥ £ 3¥ ² ´ ² ´ = ² ´ ¤ 4 <1¦ ¤ y¦ ¤ <7¦

Nilai y = .... a. 26 b.

13 7

c.

< 13 7

d.

< 26 7

e.

< 13 14

£ x¥ 14. Jika ² ´ penyelesaian dari persamaan ¤ y¦ £ x2¥ £ <1 3¥ £ x ¥ £ 5¥ maka = ² ´ ² ´ ² ´ ² 2´ = ¤ 4 2¦ ¤ y¦ ¤ <6¦ ¤y ¦

.... a.

£2¥ ²² ´´ ¤1¦

d.

£2¥ ²² ´´ ¤2¦

b.

£4¥ ²² ´´ ¤1¦

e.

£4¥ ²² ´´ ¤9¦

£4¥ ²² ´´ ¤2¦ 15. Jika X adalah penyelesaian dari persa-

c.

£ 1 <1 4 ¥ £ x ¥ £ <3¥ maan ² 3 1 <2´ ² y´ = ² 12 ´ maka ² ´ ² ´ ² ´ ¤ 2 1 <3¦ ¤ z ¦ ¤ 11¦ matriks X = ....

a.

£ 3 ¥ ² ´ ² <1 ´ ²< 2´ ¤ ¦

b.

£ 3 ¥ ² ´ ² 1 ´ ²< 2´ ¤ ¦

c.

£< 3¥ ² ´ ² 1 ´ ² 2 ´ ¤ ¦

d.

e.

£3¥ ² ´ ² < 1´ ²2´ ¤ ¦ £3¥ ² ´ ²1´ ²2´ ¤ ¦

Matriks

113


£ 2 <1 1 ¥ ² ´ Diketahui matriks A = ² 0 1 2 ´ . ²1 0 1´ ¤ ¦

Tentukan a. A2; b. det A. c.

d. 2.

3.

4.

£ 1 1 0¥ A × ² 0 1 1´ ² ´ ¤ 1 0 1¦

£ 2 3¥ £ x ¥ £ 5.200¥ ´ ² ´ = ² ´ a. ² ¤ 4 2¦ ¤ y¦ ¤ 6.800¦

2

£ 3 3 3¥ 1 2 A × ² 2 2 2´ det A ² ´ ¤ 1 1 1¦

Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan det A = det B jika

£5 + x x ¥ A= ² ´ dan B = 3x¦ ¤ 5

£1 2 ¥ £3 2¥ ´´ dan B = ²² ´´ , Jika A = ²² ¤1 3 ¦ ¤2 2¦ tentukan a. A–1B; c. AB–1; –1 b. BA ; d. B–1A. Diketahui sistem persamaan linear bentuk matriks berikut.

£ 9 < x¥ ² ´. ¤7 4 ¦

£2 1 ¥ ´ b. ² ¤ 3 <2¦

5.

£ 5¥ £ a¥ ² ´ = ² ´ ¤ b¦ ¤ 4¦

Tentukan nilai x + 2y + 3a + 4b. Diketahui sistem persamaan linear dalam bentuk matriks berikut. £ 1 1 1¥ £ x ¥ £ 7¥ ² 1 <1 1´ ² y´ = ² 5 ´ ² ´ ² ´ ² ´ ¤ 4 <2 1¦ ¤ z ¦ ¤10¦ Tentukan nilai x + y – 10z.

114


Latihan Ulangan Umum Semester 1


I. Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Jika f(x) = x(x + 1)2 maka lah …. a. b. c. d. e.

1 4 1 3 1 4 1 4 1 4

x4 + x3 + x4 +

2 3 1 2 2 3

x4 + – x5 +

x3 + x2 +

3

3

2 1 2

x3 + –

2

2

1

x3 +

x3 +

x2 + c b. x+c

1 13 x x< x +c 2 2 1 x +c d. 2 x x < 2 3 2 5 e. 3 x 2 < x 2 + c 5 5. Misalkan b > 0 memenuhi

1 2

x2 + c x2 + c

x2 + c

b

3

2. Nilai dari 0 4 x ( x < 1)2 dx adalah …. 0

a. 17 d. 75 b. 27 e. 82 c. 72 3. Luas daerah yang diarsir berikut ini adalah .... Y

y = –x2 + 4x

X

2

a. 6 23

d. 10 23

b. 11 23

e. 12 13

c. 10 13

0 (2 x < 3)dx = 12 . Nilai b = .... 1

a. 3 d. 6 b. 4 e. 7 c. 5 6. Luas daerah yang dibatasi oleh y = x2 – 3x – 4, sumbu X, garis x = 2, dan x = 6 adalah .... a. 20 65 satuan luas b. 12 23 satuan luas

4

O

2 23 x < 5x x + c 5 1 2 5 x x< x +c 4 5

c.

2

2

4. Hasil dari 0 (1 < x ) x dx adalah .... a.

1

1

0 f ( x )dx ada-

c. 5 13 satuan luas d. 20 satuan luas e. 7 13 satuan luas 7. Gradien garis singgung grafik fungsi y = f(x) di setiap titik P(x, y) sama dengan dua kali absis titik tersebut. Jika grafik melalui titik (0, 1) f(x) = .... a. –x2 + x – 1 b. –x2 c. x2 + 1 d. x2 + x – 1 e. x2


df ( x ) 3 = x . Jika f(4) = 19 dx maka f(1) = .... a. 2 d. 5 b. 3 e. 6 c. 4 9. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y = 6x – x2 dan y = x2 – 2x. Pada interval 0 ) x ) 5 sama dengan .... 50 a. 30 satuan luas d. satuan luas 3 14 b. 26 satuan luas e. satuan luas 3 64 c. satuan luas 3 10. Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh busur parabola y = 4x2 dan y2 = 2x adalah .... 1 1 a. d. 6 2 1 b. e. 1 4 1 c. 3 11. Himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan 2x + y ) 40 x + 2y ) 40 x * 0; y * 0 terletak pada daerah berbentuk .... a. trapesium d. segi empat b. persegi panjang e. segi lima c. segitiga Pada soal berikut, daerah himpunan penyelesaian adalah daerah yang tidak diarsir. 12. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 3x + y ) 6, 2x + 3y ) 12, x * 0, y * 0 berbentuk bidang .... a. segitiga d. persegi panjang b. jajargenjang e. segi lima c. segi empat

8. Diketahui

115

13. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear 5x + y * 5, 3y + x * 3, x * 0, y * 0 adalah .... a. Y 5 (0, 5)

(0, 1) 1

b.

(1, 0)

(3, 0) 3

X

(1, 0)

(3, 0) 3

X

1

O

Y 5 (0, 5)

(1, 1) 1 1

O

c.

Y

(0, 3)

3

(0, 1) 1 (5, 0)

(1, 0) 1

O

d.

5

X

Y

3 (0, 3)

(0, 1) 1 (1, 0)

e.

(5, 0) X 5

1

O

Y 5 (0, 5)

1

(0, 1) (1, 0)

O

1

(3, 0) 3

X

116


14. Daerah yang tidak diarsir pada gambar berikut menunjukkan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan .... Y 6 (0, 6) (0, 4) 4

(4, 0) 4

O

(8, 0) 8

X

a. 2x + y ) 8, 3x + 2y ) 12, x * 0, y * 0 b. x + 2y ) 8, 3x + 2y ) 12, x * 0, y * 0 c. x + 2y ) 8, 3x + 2y ) 12, x * 0, y * 0 d. x + 2y * 8, 3x + 2y * 12, x * 0, y * 0 e. 2x + y ) 8, 2x + 3y ) 12, x * 0, y * 0 15. Nilai maksimum dari z = 4x + 3y, dengan syarat x + y ) 30, 4x + y ) 60, x * 0, y * 0 adalah .... a. 60 d. 90 b. 70 e. 100 c. 80 16. Daerah yang tidak diarsir pada gambar berikut merupakan himpunan penyelesaian dari .... Y 100 (0, 100) 90

40

O

(0, 90)

(0, 40)

(40, 0) (60, 0)(80, 0) X 80 60

40

a. x – 2y * 80, 3x – 2y * 189, 5x + 2y * 200, x * 0, y * 0 b. x + 2y * 80, 3x + 2y * 180, 5x + 2y * 200, x * 0, y * 0 c. x + 2y * 0, 3x + 2y ) 180, 5x + 2y * 200, x * 0, y * 0 d. x – 2y * 80, 3x + 2y * 180, 5x + 2y * 200, x * 0, y * 0 e. x – 2y * 80, 3x – 2y * 180, 5x – 2y * 200, x * 0, y * 0

17. Seorang pemborong akan membangun jembatan dalam dua tipe. Dengan modal Rp120.000.000,00 dia sanggup membangun 35 jembatan. Biaya untuk membangun jembatan tipe I Rp4.000,000,00 dan jembatan tipe II Rp3.000.000,00. Keuntungan yang diperoleh dari jembatan tipe I Rp300.000,00 dan tipe II Rp250.000,00 untuk setiap jembatan. Pemborong ingin mendapatkan keuntungan maksimal. Model matematika dari permasalahan tersebut adalah .... a. Menentukan nilai maksimum z = 300.000x + 250.000y Kendala: x + y ) 35, 4x + 3y ) 120, x, y * 0 b. Menentukan nilai maksimum x = 300.000x + 250.000y Kendala: x + y ) 35, 3x + 4y ) 120, x, y * 0 c. Menentukan nilai maksimum z = 300.000,00x + 250.000y Kendala: x + y * 35, 4x + 3y * 120, x, y * 0 d. Menentukan nilai maksimum z = 300.000x + 250.000y Kendala: x + y * 35, 3x + 4y * 120, x, y * 0 e. Menentukan nilai maksimum z = 300.000x + 250.000y Kendala: x + y * 35, 4x + 3y ) 120, x, y * 0 18. Banyaknya jembatan tipe I dan tipe II yang dibangun oleh pemborong pada soal nomor 11 agar diperoleh keuntungan maksimum berturut-turut adalah .... a. 20 dan 15 d. 10 dan 25 b. 15 dan 20 e. 30 dan 5 c. 25 dan 10 19. Keuntungan maksimum yang diperoleh pada soal nomor 11 adalah .... a. Rp5.000.000,00 b. Rp7.000.000,00 c. Rp9.500.000,00 d. Rp10.000.000,00 e. Rp10.500.000,00


20. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00/unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,00/unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah .... a. Rp550.000.000,00 b. Rp600.000.000,00 c. Rp700.000.000,00 d. Rp800.000.000,00 e. Rp900.000.000,00 £ x 1¥ ´ , dan 21. Diketahui matriks A = ² ¤ <1 y¦ £ 3 2¥ £1 0¥ ´ , dan C = ² ´. B= ² ¤ 1 0¦ ¤ <1 <2¦

Nilai x + y yang memenuhi persamaan AB – 2B = C adalah .... (UMPTN 1998) a. 0 d. 8 b. 2 e. 10 c. 6

£ 4x +2y 22. Jika ² ¤ 2

0 ¥ £ 8 0¥ ´ ´ =² 3 x < 2¦ ¤ 2 7¦

maka x + y = .... 15 a. < 4 9 b. < 4 9 c. 4

d. e.

15 4 21 4

£ 1 0¥ £ p < 1 p + q¥ 23. A = ² ´ , B = ²¤ < s t ´¦ , 2s ¦ ¤ p £1 1 ¥ 2 C= ² ´ . Jika A + B = C ¤ 0 <1¦

117

maka q + 2t = .... a. –3 d. 0 b. –2 e. 1 c. –1

1 2 0 24. Jika A = ³ µ dan AT adalah trans3 <1 4 pose dari matriks A maka baris pertama dari ATA adalah .... (UMPTN 1997) a. b. c. d.

(10 (10 (10 (10 (10

1 12) 1 <12) <1 14) <1 12)

e. <1 <12) 25. Ditentukan matriks £ 3x £ 3 2¥ dan B = A= ² ´ ²< 2 ¤ 6 x¦ ¤ 3

<2¥ . 1 ´¦

Jika A–1 = BT dengan BT transpose dari B maka nilai x = .... a. 2 d. 5 b. 3 e. 6 c. 4

£5 + x x ¥ ´ dan 26. Diketahui A = ² 3x¦ ¤ 5 £ 9 < x¥ ´ . Jika determinan A dan B= ² ¤7 4 ¦ determinan B sama maka harga x yang memenuhi adalah .... a. 3 atau 4 b. –3 atau 4 c. 3 atau –4 d. –4 atau 5 e. 3 atau –5 27. Hasil kali matriks (BA)(B + A–1)B–1 = .... a. AB + I b. BA + I c. A + B–1 d. A–1 + B e. AB + A

118


28. Persamaan matriks:

£ 2 3¥ £ x¥ £ 5¥ ² ´ ² ´ = ² ´ merupakan persama¤ <4 5¦ ¤ y¦ ¤ 1¦ an dua garis lurus yang berpotongan di titik yang jumah absis dan ordinatnya sama dengan .... a. 0 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 29. Hasil kali matriks

30. Transpose dari matriks P adalah PT. Jika £ 3 7¥ ´ , B = ( 4 1) , dan matriks A = ² ¤ 1 2¦ £ x¥ C = ² ´ memenuhi A – B T = C maka ¤ y¦

x + y = .... (SPMB 2004) a. –2 d. 1 b. –1 e. 2 c. 0

£ 5 <3¥ £ <10 30¥ A×² ´. ´ =² ¤ 0 6 ¦ ¤ 35 27¦ Matriks A adalah .... (UM-UGM 2004)

£ <1 <1¥ ´ a. ² ¤ 4 7¦

£ 7 2¥ ´ d. ² ¤ <1 4¦

£ <2 4 ¥ ´ b. ² ¤ 7 <1¦

£7 2 ¥ ´ e. ² ¤ 4 <1¦

£ 4 <2¥ ´ c. ² ¤ 7 <1¦

II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan benar. 1. Tentukan hasil integral-integral berikut. a. b.

3

0 (2 x < 3) dx 2 3 0 (1 < (2 x + 1) ) dx

2. Diketahui persamaan parabola y = 4x – x2 dan garis y = 2x – 3. a. Gambarkan sketsa parabola dan garis tersebut. b. Tentukan koordinat titik potong parabola dan garis. c. Nyatakan luas daerah yang dibatasi parabola dan garis dengan integral tentu. d. Hitunglah luas tersebut. 3. Andaikan A adalah daerah yang dibatasi oleh kurva y = –x + 3x, dan sumbu X. a. Gambarkan sketsa dari A dan B tersebut; b. Tentukan luas A.

4. Seorang pemilik toko sepatu ingin mengisi tokonya dengan sepatu jenis A sekurang-kurangnya 100 pasang dan jenis sepatu B sekurang-kurangnya 150 pasang. Toko tersebut dapat memuat 400 pasang sepatu. Keuntungan yang diperoleh per pasang sepatu jenis A adalah Rp10.000,00 dan Rp5.000,00 untuk jenis B. Jika banyak sepatu jenis A tidak boleh melebihi 150 pasangan, tentukan keuntungan terbesar yang dapat diperoleh toko tersebut. 5. Diketahui:

£x + y B = ² ¤ <1

x ¥ < 2x ¥ £ 1 ´; C = ² ´ x < y¦ ¤ <2 y 3 ¦

dan matriks A merupakan transpose matriks B. Jika A = C, tentukan nilai x – 2xy + y.

Barisan dan Deret

Bab

IV

119

Barisan dan Deret


Motivasi

Pernahkah kalian merenungkan keteraturan yang terjadi di alam ini? Munculnya matahari setiap pagi, datangnya musim penghujan dan kemarau pada masa tertentu, pertumbuhan populasi manusia, populasi rusa, serta populasi tumbuhan adalah beberapa contoh keteraturan yang terjadi di alam ini. Para ahli menganalisis peristiwaperistiwa tersebut dengan suatu barisan atau deret tertentu. Dapatkah kalian memberikan contoh keteraturan lain di alam ini? Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari bab ini, diharapkan kalian dapat 1. menjelaskan ciri barisan aritmetika dan baris geometri; 2. merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri; 3. menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmetika dan deret geometri; 4. menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah; 5. menghitung jumlah deret geometri tak hingga; 6. menuliskan suatu deret aritmetika dan geometri dengan notasi sigma; 7. menjelaskan karakteristik masalah yang model matematikanya berbentuk deret aritmetika atau geometri; 8. merumuskan deret yang merupakan model matematika dari masalah; 9. menentukan penyelesaian dari model matematika; 10. memberikan tafsiran terhadap solusi (hasil yang diperoleh) dari masalah; 11. menjelaskan rumus-rumus dalam hitung keuangan dengan deret aritmetika atau geometri; 12. menentukan bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas.

120


Peta Konsep Barisan dan Deret mempelajari

Notasi Sigma

Barisan dan Deret

Deret dalam Hitung Keuangan

membahas

membahas

Sifat-Sifat Notasi Sigma Deret Khusus Menyatakan Suatu Penjumlahan dengan Notasi Sigma Menghitung Nilai Penjumlahan yang Dinyatakan dengan Notasi Sigma

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan dan Deret Geometri

Sisipan dalam Barisan Aritmetika

Sisipan dalam Barisan Geometri

Deret Geometri Tak Berhingga

Penggunaan Barisan dan Deret


barisan bilangan barisan berhingga barisan tak berhingga barisan aritmetika barisan geometri

• • • •

beda deret sigma suku

Barisan dan Deret

121

Pada pokok bahasan ini, kita akan mempelajari notasi sigma sebagai penyederhanaan bentuk penjumlahan yang memuat banyak suku yang memiliki pola (keteraturan) tertentu. Kemudian, kita lanjutkan dengan membahas pengertian barisan dan deret bilangan yang meliputi barisan dan deret aritmetika, barisan dan deret geometri, serta deret-deret khusus seperti deret bilangan asli dan deret kuadrat bilangan asli. Sebelum lebih jauh mempelajari bab ini, ada baiknya kalian jawab soal-soal berikut. Uji Prasyarat 1. 2.

3.


Apakah yang disebut barisan dan deret? Tunjukkan, mana yang merupakan barisan? Berilah alasan. a. 1, 2, 3, 4, 5, .... b. 1, 1, 1, 1, 1, .... c. 4, 3, 5, 2, 6, 7, 9, .... Di SMP, kalian telah mempelajari bunga, baik bunga tunggal maupun bunga majemuk. Apakah bunga itu? Apa pula bunga tunggal dan bunga majemuk itu? Berikan gambarannya.

Setelah kalian mampu menjawab soal-soal di atas, mari lanjutkan ke materi berikut.

A. Notasi Sigma Matematika sering disebut sebagai bahasa lambang atau bahasa simbol. Hal ini disebabkan di dalam matematika banyak digunakan lambang-lambang atau simbol-simbol untuk menyatakan suatu pernyataan yang lebih singkat dan lebih jelas. Di antara penggunaan lambang ini adalah pada bentuk penjumlahan suku-suku yang memiliki pola (keteraturan) tertentu. Lambang yang digunakan untuk menuliskan bentuk penjumlahan suku-suku seperti ini adalah notasi ” Y ” (dibaca: sigma). Simbol ini diambil dari abjad Yunani ”S” yang merupakan huruf pertama kata ”Sum” yang berarti jumlah. Dalam penggunaannya, notasi Y selalu diikuti dengan indeks atau variabel yang menentukan batas bawah dan batas atas penjumlahan tersebut. Indeks penjumlahan ini dapat dipilih sembarang huruf kecil. Daerah penjumlahan dapat berhingga (terbatas) dan dapat pula tak terhingga (tak terbatas).

1. Menyatakan Suatu Penjumlahan dengan Notasi Sigma Misalkan terdapat penjumlahan bilangan asli dari 1 sampai dengan 100, yaitu 1 + 2 + 3 +…+ 100. Jika semua sukunya ditulis,

122


bentuk penjumlahan tersebut menjadi sangat panjang. Dengan menggunakan notasi sigma, penulisan ini dapat dipersingkat, yaitu sebagai berikut. 100

1 + 2 + 3 + …+ 100 = - n (Dibaca: sigma n, untuk n = 1 n =1

sampai dengan 100). Pada penulisan tersebut, variabel yang digunakan adalah n, sedangkan batas bawahnya n = 1 dan batas atasnya n = 100. Contoh: Nyatakan penjumlahan berikut ini dengan notasi sigma. a. 3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 b. c.

11 1 2 3 + + + ... + 12 2 3 4 2 2 3 2 3 xy + x y + x y + x3y4 + ... + x11y12

Penyelesaian: 8

a.

3 + 6 + 9 + 12 + 15 + 18 + 21 + 24 = - 3k

b.

11 11 k 1 2 3 + + + ... + = 2 3 4 12 k =1 k +1

c.

xy2 + x2y3 + x3y4 + ... + x11y12 = - x k y k +1

k =1

11

k =1

2. Nilai Penjumlahan dalam Notasi Sigma Untuk menghitung nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma, bentuk penjumlahan tersebut dinyatakan sebagai bentuk biasa terlebih dahulu, kemudian ditentukan hasilnya. Perhatikan contoh-contoh berikut. Contoh: Tentukan nilai penjumlahan yang dinyatakan dalam notasi sigma berikut. 15

a.

- z2

z =5

5

b.

- (2 p + 3)

p =1

Barisan dan Deret

123

Penyelesaian: 15

a.

- z 2 = 52 + 62 + 72 + 82 + 92 + 102 + 112 + 122 + 132 + 142 + 152

z =5

= 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100 + 121 + 144 + 169 + 196 + 225 = 1.210 5

b.

- (2 p + 3) = (2(1) + 3) + (2(2) + 3) + (2(3) + 3) + (2(4) + 3) + (2(5) + 3)

p =1

= 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 45

Uji Kompetensi 1 1.

Nyatakan bentuk penjumlahan berikut dengan menggunakan notasi sigma. a. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100 b. 4 + 8 + 12 + 16 + … + 1.000 c. 1 × 3 + 4 × 6 + 9 × 11 + … + 100 × 102 d. 2 × 4 + 3 × 5 + 4 × 6 + ... + 101 × 103 e.

1 2 3 4 60 + + + + ... + 2 5 10 17 3.601

f.

4 5 6 7 83 + + + + ... + 7 8 9 10 86

g. h. 2.


3 x13 + x 32 + x 33 + ... + x100 xyn–1 + x2yn–2 + ... + xn

Nyatakan notasi sigma berikut dalam bentuk penjumlahan biasa. Jika tidak memungkinkan untuk menulis seluruhnya, gunakan titik-titik seperti pada soal nomor 1. 5

8

a.

- (8k + 5)

k =1

f.

- (k + 8 )

k =1 12

c.

-6

k

k=3

g.

- 3i

i =1

- ( k 2 + 2 k + 6)

k= l

k =1

p2 h. p =1 p + 1 10

i.

- ( p 2 < 1)

j.

- (2 n 2 < n + 1)

p =1

10

8

e.

k

- k 2 + 3k + 6 10

6

d.

i= 1 10

100

b.

- (2i + 6)2

n =1

124


3.

Hitunglah nilai penjumlahan yang dinyatakan dengan notasi sigma berikut.

k k =1 k + 2 8

6

a.

f.

10

p2 g. 2 p =1 p + 3 p < 2

k =1

b.

-

- (2 k + 5)

3

- ( k < 6) 2

-

k =1

10

5

- (2 p 2 + 5 p + 1)

c.

p =1

h.

- p( p + 1) 2

i.

- p2 ( p < 2)

j.

- (3n < 7)n

p =1 12

8

d.

- ( p < 1)3

p =2

p =3 10

4

- ( p 3 < 2 p 2 + 3 p + 1)

e.

2

p =1

n =1

3. Sifat-Sifat Notasi Sigma Coba pahami kembali notasi sigma di atas. Jika kalian telah menguasainya, tentu kalian akan dapat menemukan sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma. Sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma adalah sebagai berikut. Jika a, b D himpunan bilangan bulat positif, sedangkan Uk dan Vk adalah rumus suku ke-k dari suatu notasi sigma maka berlaku sifat-sifat berikut. b

1.

b

k=a

k =a

b

2.

k=a

b

- cU k = c - U k , untuk c D R

k=a

k =a

b+ p

b

3.

b

- (U k + Vk ) = - U k + - Vk

a.

b

- Uk = - U k < p b.

k=a

k = a+ p

b

4.

- c = (b – a + 1)c

k= a

p <1

5.

k=a a <1

6.

b

b

- Uk + - U k = - U k k=p

- Uk = 0

k=a

k=a

b< p

- Uk = - U k + p

k=a

k = a< p

Barisan dan Deret

7.

b

b

b

b

k=a

k=a

k=a

k=a

125

- (U k + Vk ) 2 = - U k2 + 2 - Uk Vk + - Vk2

Bukti: b

1.

- (U k + Vk )

= (Ua + Va) + (Ua + 1 + Va + 1) + ... + (Ub + Vb)

k=a

= (Ua + Ua + 1 + ... + Ub) + (Va + Va + 1 + ... + Vb) b

= -U k + k=a

b

- Vk

k =a

........................ (terbukti)

b

2.

- cU k

k=a

= cUa + cUa + 1 + cUa + 2 + ... + cUb = c(Ua + Ua + 1 + Ua + 2 + ... + Ub) b

c - U k ......................................... (terbukti)

=

k=a

b

3.

a.

= Ua + Ua+1 + Ua+2 + ... + Ub

- Uk

k=a

= U(a+p)–p + U(a+p)–p+1 + U(a+p)–p+2 + ... + U(b+p)–p b+ p

=

-U k
k = a+ p

................................ (terbukti)

b. Dengan cara serupa, tentu kalian dapat b
b

menunjukkan bahwa

-U k

=

k=a

- U k + p.

k = a< p

b

4.

- c = (b – a + 1)c

k =a

Bukti: b

c4 +2 c +4...4 +3c - c = c1+4

k=a

= (b – a + 1) c ......... (terbukti)

(b
a <1

6.

-U k = 0

k=a

Bukti: p <1

Dari sifat p <1

b k= p

k=a b

b

- U k = - Uk < - Uk .

k=a

b

-U k + -U k = -U k ,

k =p

k =a

k=a

diperoleh

126


a <1

b

b

k=a

k=a

k =a

- U k = - Uk < - Uk

Jika p = a, diperoleh

= 0 .. (terbukti)

Sifat (5) dan (7) mudah untuk dibuktikan. Coba kalian kerjakan sebagai latihan. Contoh: 3

1.

2 Tentukan nilai dari - ( k + 3 k ). k =1

Penyelesaian: Cara 1: 3

- ( k 2 + 3 k ) = ((12) + 3(1)) + (22 + 3(2)) + (32 + 3(3))

k =1

= 4 + 10 + 18 = 32 Cara 2: 3

3

3

k =1

k =1

- ( k 2 + 3 k ) = - k 2 + - 3k

k =1

= (12 + 22 + 32) + (3(1) + 3(2) + 3(3)) = ((1 + 4 + 9) + (3 + 6 + 9)) = 32 n

2.

n <1

5(5 p + 6) = - (5 p + 11). Buktikan bahwa p=2 p =1 Penyelesaian: n

n <1

- (5 p + 6) = - (5( p + 1) + 6)

p= 2

p =1

n <1

= p-=1(5 p + 5 + 6) n <1

= p-=1(5 p + 11) 3.

..................................................................... (terbukti)

Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan bahwa n

n

n

p =1

p =1

p =1

- (4 p < 1)2 = 16 - p 2 < 8 - p + n .

Penyelesaian: n

n

p =1

p =1

- (4 p < 1)2 = - (16 p 2 < 8 p + 1) n

n

n

2 = p-=116 p < p-=1 8 p + p-=11 n

n

2 = 16 p-=1 p < 8 p-=1 p + n ........................................................ (terbukti)

Barisan dan Deret

Uji Kompetensi 2 1.


Dengan menggunakan sifat-sifat notasi sigma, buktikan pernyataan-pernyataan berikut. n

a. b. c. d. e. f. 2.

n

n

k =1

k =1 n

- (4 k + 1) 2 = 16 - k 2 + 8 - k + n

k =1 n

n

k =1 n

k =1 n <3

- ( k < 12)2 = - k 2 < 24 - k + 144 n k =1

- (3k + 2) = 3 - k + 11( n < 5)

k=6 n

k =3 n <3

n <3

k=4 n

k =3 n <2

k =1 n <2

k=3 n

k =1 n+ 2

k =1

- (k 2 + 5) = - k 2 + 6 - k + 14( n < 3)

- ( k + 1) 2 = - k 2 + 6 - k + 9( n < 2) - (2 k + 4) = 2 - k

k =1

k =3

Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 0. n

n

a. b.

- 6k

d.

- (2k + 3)

e.

k=3 n

k=2 n

- (3 k < 1)2

k=3 n

- (i 2 + 3i < 6)

i =1 n

(i + 2)2 c. f. 2 i = 5 (i < 2 i + 1) i= 4 Tulislah notasi sigma berikut dengan batas bawah 2. -

- i(i + 5 )

3.

127

n

n

a. b. c.

- 7k

d.

- (5k < 6 )

e.

k=0 n

k =1 n

- (i + 6 )(i < 2 )

i =1

f.

- (2k + 7)2

k=0 n

- (i 2 < 4i + 8)

i =1 n

(i + 2)2 2 i = 0 i + 3i + 5 -

B. Barisan dan Deret Dalam kehidupan sehari-hari, kita dapat menjumpai bilanganbilangan yang diurutkan dengan aturan tertentu. Perhatikan urutan bilangan-bilangan berikut. 1) 0, 2, 4, 6, 8, … 2) 1, 3, 5, 7, 9, … 3) 0, 1, 4, 9, 16, …

1 1 1 1 1, , , , , ... 2 3 4 5 Bentuk-bentuk di atas dinamakan barisan bilangan. Jadi, barisan bilangan adalah susunan bilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu. Bentuk umum barisan bilangan adalah a1, a2, a3, …, an, … 4)

128


Setiap bilangan yang terurut pada barisan bilangan di atas disebut suku barisan. Suku ke-n dari suatu barisan ditulis dengan simbol Un (n bilangan asli). Dengan demikian, a1 disebut suku pertama atau U1, a2 disebut suku kedua atau U2, dan an disebut suku ke-n atau Un. Di antara suku-suku barisan bilangan dan himpunan bilangan asli terdapat korespondensi satu-satu seperti terlihat dalam diagram berikut. a1 a2 a3 .... an

b

b

b

b

b

1 2 3 .... n Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa suku-suku suatu barisan bilangan merupakan suatu nilai fungsi f dari himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan real dengan aturan Un = f(n). Dalam hal ini, Un = f(n) disebut rumus suku ke-n dari barisan bilangan tersebut. Contoh: 1.

2.

Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan Un = n2 – 1. Penyelesaian: Karena rumus Un = n2 – 1, dapat ditentukan bahwa U1 = 12 – 1 = 0, U2 = 22 – 1 = 3, U3 = 32 – 1 = 8, U4 = 42 – 1 = 15, dan U5 = 52 – 1 = 24. Jadi, lima suku pertamanya adalah 0, 3, 8, 15, 24. Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = n2 + n. a. Tentukan lima suku pertama dari barisan tersebut. b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 156? Penyelesaian: a. Karena Un = n2 + n, dapat ditentukan bahwa U1 = 12 + 1 = 2, U2 = 22 + 2 = 6, U3 = 32 + 3 =12, U4 = 42 + 4 = 20, dan U5 = 52 + 5 = 30. Jadi, 5 suku pertamanya adalah 2, 6, 12, 20, 30. b. Diketahui suku ke-n = 156. Berarti, Un = 156 n2 + n = 156 n2 + n – 156 = 0 (n – 12)(n + 13) = 0 n = 12 atau n = –13 (dipilih nilai n positif) Jadi, suku yang nilainya 156 adalah suku ke-12.

Misalkan suku ke-n dari suatu barisan tidak diketahui. Kita dapat menentukan rumus umum untuk mencari suku ke-n barisan bilangan tersebut dengan memerhatikan pola suku-suku barisan itu.

Barisan dan Deret

129

Contoh: Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut, kemudian tentukan nilai suku yang diminta di dalam tanda kurung. a. 5, 10, 15, 20, 25, ... (U100) b. 2, 5, 10, 17, 26, ... (U24) Penyelesaian: a. 5, 10, 15, 20, 25, ... U1 = 5 × 1 U2 = 10 = 5 × 2 U3 = 15 = 5 × 3 U4 = 20 = 5 × 4 U5 = 25 = 5 × 5 ... Un = 5n Jadi, rumus suku ke-n dari barisan tersebut adalah Un = 5n dan U100 = 5 × 100 = 500. b. 2, 5, 10, 17, 26, ... U1 = 2 = 1 + 1 = 12 + 1 U2 = 5 = 4 + 1 = 22 + 1 U3 = 10 = 9 + 1 = 32 + 1 U4 = 17 = 16 + 1 = 42 + 1 U5 = 26 = 25 + 1 = 52 + 1 ... Un = n2 + 1 Jadi, rumus suku ke-n barisan tersebut adalah Un = n2 + 1 dan U24 = 242 + 1 = 577. Selain dengan memerhatikan pola suku-sukunya, suku-suku barisan bilangan dapat ditentukan dengan menggunakan rumus. Bagaimana caranya? Perhatikan barisan bilangan berikut. 1. a a a a a ..... Un = a, untuk a konstanta, n = 1, 2, 3, ... a2 a3 a4 a5 ..... 2. a1 Un = an + b, untuk a dan b konstanta, n = 1, 2, 3, ... b b b b 3. a1 a2 a3 a4 a5 ..... Un = an2 + bn + c, untuk b2 b3 b4 ...... a, b, c konstanta, b1 n = 1, 2, 3, ... c c c Catatan: pada kasus ini tanda ”–” kita baca ”berselisih”.

130


Pada kasus 1, suku-suku barisan selalu sama sehingga disebut barisan konstan. Pada kasus 2, selisih dua barisan yang berurutan selalu sama. Barisan rumus suku-sukunya ini memiliki bentuk persamaan linear. Barisan seperti ini nantinya akan kita sebut barisan aritmetika. Kasus 3 dapat kalian pahami dari bagan sehingga diperoleh selisih konstan. Menentukan konstanta a, b, dan c pada kasus 3, yaitu Un = an2 + bn + c. • Ambil 3 suku, misalnya U1, U2, dan U3 sehingga diperoleh sistem persamaan linear tiga variabel, yaitu U1 = a(12) + b(1) + c a + b + c = U1 U2 = a(22) + b(2) + c 4a + 2b + c = U2 U3 = a(32) + b(3) + c 9a + 3b + c = U3 • Selesaikan sistem persamaan tersebut sehingga diperoleh suku ke-n, yaitu Un = an2 + bn + c. Contoh: Tentukan suku ke-n barisan 2, 5, 9, 14, 20, .... Penyelesaian: 2 5 9 14 20 .... 3

4

5

6

....

1 1 1 .... Dari urutan barisan di atas, terlihat bahwa suku ke-n barisan tersebut sesuai dengan kasus 3, yaitu Un = an2 + bn + c. Untuk menentukan a, b, dan c, ambil 3 suku, misalnya U1 = 2, U2 = 5, dan U3 = 9. Dengan demikian, diperoleh U1 = a(12) + b(1) + c a + b + c = 2 U2 = a(22) + b(2) + c 4a + b + c = 5 U3 = a(32) + b(3) + c 9a + b + c = 9 Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel tersebut, diperoleh nilai a =

1 2

,b=

3 2

, dan c = 0.

Jadi, barisan tersebut adalah Un = Tugas

Eksplorasi

1 2

n2 +

3 2

n + 0 atau Un =

1 2

n(n + 3).


Coba, kalian tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut. 1. 5, 8, 11, 14, 17, ... 3. 9, 16, 28, 48,79, ... 2. 7, 12, 20, 31, 45, ... 4. 4, 5, 9, 18, 34, 59, ...

Barisan dan Deret

131

Berdasarkan banyaknya suku, barisan dapat dibedakan menjadi dua macam. a. Barisan berhingga, yaitu barisan yang banyak suku-sukunya berhingga (tertentu). Misalnya, barisan bilangan asli yang kurang dari 12, yaitu 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 dan barisan bilangan ganjil yang kurang dari 100, yaitu 1, 3, 5, 7, 9, …, 99. b. Barisan tak berhingga, yaitu barisan yang banyak sukusukunya tak berhingga. Misalnya, barisan bilangan asli, yaitu 1, 2, 3, 4, … dan barisan bilangan bulat, yaitu …, –2, –1, 0, 1, 2, 3, .... Jika suku-suku suatu barisan dijumlahkan maka terbentuklah suatu deret. Misalkan a1, a2, a3, ..., an adalah suatu barisan bilangan. Deret bilangan didefinisikan dengan a1 + a2 + a3 + ... + an. Diskusi

Berpikir Kritis

Diskusikan dengan teman-teman kalian, bagaimana rumus umum untuk menentukan suku-suku barisan berikut. a. 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, .... b. 4, 5, 5, 4, 4, 5, 5, .... c. –1, 2, – 3, 4, – 5, .... d. –1, 1, –2, 2, –3, 3, ....

Uji Kompetensi 3 1.

2.

3.


Tentukan lima suku pertama dari barisan bilangan berikut. e. Un = n2 – 3n a. Un = 3n – 5 b.

Un = n2

f.

Un =

c.

Un = n 2 + 4

g.

Un =

d.

Un = 3n2

h.

Un =

1 2

n+6

1 1 + 2n 4 1 4

n2 + 2n – 1

Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 5n + 4. a. Tentukan enam suku pertama dari barisan tersebut. b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 504? Diketahui rumus suku ke-n dari suatu barisan adalah Un = 2n2 – 8. a. Tentukan empat suku pertama dari barisan tersebut. b. Suku keberapa dari barisan tersebut yang bernilai 12.792?

132


4.

Tentukan rumus suku ke-n dari barisan-barisan berikut, kemudian tentukan nilai suku yang diminta di dalam kurung. a. 3, 6, 9, 12, ... (U16) d. 3, 10, 21, 36, ... (U8) b.

6.

7. 8.

1 1 1 1 , , , , ... (U10 ) 2 4 6 8

e.

1 2 3 4 , , , , ... (U15 ) 6 7 8 9 Tentukan suku ke-25 dan suku ke-30 dari barisan-barisan berikut. a. 3, 10, 17, 24, … d. –3, –6, –9, –12, … b. 6, 11, 16, 21, … e. –4, 0, 4, 8, … 1 3 , 1, , 2, ... c. 12, 15, 18, 21, … f. 2 2 Tentukan rumus suku ke-n barisan-barisan berikut. a. 1, 4, 9, 16, 25 d. 1, 2, 6, 13, 23 b. 4, 7, 12, 19, 28 e. 2, 3, 7, 14, 24 c. 6, 9, 14, 24, 31 Diketahui suku ke-n dari suatu barisan bilangan adalah Un = an + b. Jika U2 = 11 dan U3 = 12, tentukan U100. Jika suku ke-n suatu barisan bilangan adalah Un = an2 + b, U3 = 28, dan U5 = 76, tentukan nilai dari U10 + U13. c.

5.

1, 4, 7, 10, ... (U20) 0, 3, 8, 15, ... (U12)

Soal Terbuka

f.


Diketahui barisan bilangan dengan suku ke-n dirumuskan Un = an + b. Jika U2 + U4 = 28 dan U12 – U10 = 6, tentukan a. Un; b. U100; c. Un + Un+1.

1. Barisan dan Deret Aritmetika Barisan dan deret ini sebenarnya telah kalian pelajari di SMP. Namun, kali ini kalian diajak untuk mempelajari lebih lanjut materi ini. Untuk itu, perhatikan Tabel 4.1. a.

Barisan Aritmetika Jika kalian amati, pada Tabel 4.1, barisan mendatar memiliki selisih tetap, yaitu 1 dan barisan menurun juga memiliki selisih tetap, yaitu 8. Barisan-barisan seperti ini dinamakan barisan aritmetika.

Barisan dan Deret

Tabel 4.1 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

1

2 +1

2

+1

+8 2

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika. Jika kelilingnya 72 cm maka luas segitiga itu adalah .... a. 108 cm2 b. 135 cm2 c. 162 cm2 d. 216 cm2 e. 270 cm2 Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2003

Barisan aritmetika atau barisan hitung adalah suatu barisan bilangan, dengan setiap suku-suku yang berurutan memiliki selisih tetap (konstan). Selisih yang tetap ini disebut beda dan dilambangkan dengan b. Pada tabel di atas terdapat beberapa barisan aritmetika, di antaranya sebagai berikut.

3

10

4 +1

18 +8

11

133

5 ...

(b = 1)

+1 26

(b = 8)

29

(b = 9)

+8 20

+9 +9 +9 Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. Apabila Un adalah rumus suku ke-n dari suatu barisan aritmetika, berlaku bahwa selisih suku ke-n dan suku ke-(n – 1) selalu tetap, ditulis Un – Un–1 = b b disebut beda. Jika suku pertama dari barisan aritmetika (U1) dinotasikan dengan a dan beda dinotasikan dengan b yang nilainya selalu tetap maka suku-suku barisan aritmetika tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. U1 = a U2 = a + b U3 = (a + b) + b = a + 2b U4 = (a + 2b) + b = a + 3b ... Un = a + (n – 1)b Oleh karena itu, diperoleh barisan aritmetika berikut. a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)b, ... Bentuk barisan ini dinamakan barisan aritmetika baku dengan rumus umum suku ke-n sebagai berikut. Un = a + (n – 1)b Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama

b = beda n = banyak suku

134


Contoh: 1.

2.

Tentukan suku ke-7 dan suku ke-10 dari barisan-barisan berikut. a. 3, 7, 11, 15, ... b. x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p, ... Penyelesaian: a. 3, 7, 11, 15, ... Suku pertama barisan tersebut adalah a = 3 dan bedanya b = 7 – 3 = 4. Oleh karena itu, rumus umum suku ke-n barisan itu adalah Un = 3 + (n – 1)4. Suku ke-7: U7 = 3 + (7 – 1)4 = 27 Suku ke-10: U10 = 3 + (10 – 1)4 = 39 b. x + p, x + 6p, x + 11p, x + 16p, ... Suku pertama barisan tersebut a = x + p dan bedanya b = (x + 6p) – (x + p) = 5p. Suku ke-7: U7 = (x + p) + (7 – 1)5p = x + 31p Suku ke-10: U10 = (x + p) + (10 – 1)5p = x + 46p Dari suatu barisan aritmetika, diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 adalah 16 dan 20. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-20 barisan tersebut. Penyelesaian: Rumus barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1)b. Karena U3 = 16 maka a + 2b = 16 ..................................................................... (1) Karena U5 = 20 maka a + 4b = 26 ........................................................................ (2) Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a = 12 dan b = 2. Berarti, Un = 12 + (n – 1)2 dan U20 = 12 + (20 – 1)2 = 50.

Problem Solving Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 24 dan hasil kalinya adalah 384. Tentukan ketiga bilangan tersebut. Penyelesaian: Tiga bilangan yang membentuk barisan aritmetika dapat dimisalkan a, a + b, a + 2b, tetapi jika diambil pemisalan tersebut, penyelesaiannya agak panjang. Agar penyelesaiannya lebih mudah, ketiga bilangan itu dimisalkan p – q, p, dan p + q. (ingat: pemisahan kedua ini juga memiliki beda yang tetap, yaitu q). Karena jumlahnya 24 maka (p – q) + p + (p + q) = 24 3p = 24 p=8 Karena hasil kalinya 384 maka (p – q) × p × (p + q) = 384 p(p2 – q2) = 384

Barisan dan Deret

135

Untuk p = 8, diperoleh 8(64 – q2) = 384 64 – q2 = 48 q2 = 16 = ± 4 Untuk p = 8 dan q = 4, ketiga bilangan tersebut adalah 4, 8, dan 12. Untuk p = 8 dan q = –4, ketiga bilangan tersebut adalah 12, 8, dan 4. Jadi, ketiga bilangan itu adalah 4, 8, dan 12. Coba kalian selesaikan contoh 3 dengan menggunakan pemisalan a, a + b, dan a + 2b (di sini a bilangan terkecil dan b beda). Apakah hasilnya sama?

Tugas 1. 2.

Eksplorasi


Tunjukkan bahwa tiga bilangan terurut a, b, dan c membentuk barisan aritmetika apabila memenuhi persamaan 2b = a + c. Tunjukkan bahwa empat bilangan terurut a, b, c, dan d membentuk barisan aritmetika apabila memenuhi persamaan b + c = a + d. b.

Sisipan dalam Barisan Aritmetika (Pengayaan) Pada suatu barisan aritmetika, dapat disisipkan beberapa suku di antara dua suku yang berurutan sehingga diperoleh barisan aritmetika yang baru. Perhatikan barisan aritmetika berikut. a, a + b, a + 2b, a + 3b, ..., a + (n – 1)b Apabila di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan k suku, diperoleh barisan aritmetika baru yang suku pertamanya sama dengan suku pertama barisan semula, yaitu a, beda b', dan banyaknya suku adalah n'. Besarnya nilai b' dan n' dapat ditentukan dengan cara berikut. Tabel 4.2

Barisan Aritmetika Semula Barisan Aritmetika Baru

U1

U2

U3 ...

U1v U2v U3v ... Ukv+1 1442443

Ukv+2Ukv+3Ukv+ 4 ... U2vk +2 1442443

U2v k +3 ...

k suku

k suku

Dari tabel di atas, diperoleh rumusan sebagai berikut. a. Suku pertama barisan semula sama dengan suku ' pertama barisan yang baru, yaitu U1 = U1 = a.

136


b. Rumus suku ke-n barisan semula adalah Un = a + (n – 1)b, rumus suku ke-n' barisan yang baru adalah

Un' ' = a + (n ' < 1)b ' . c.

Suku ke-2 barisan yang baru bersesuaian dengan suku ke-(k + 2) barisan yang lama, yaitu U2 = a + b ........ (1) dan Uk+2 = a + ((k + 2) – 1)b' .................................... (2) Karena persamaan (1) dan (2) bersesuaian, diperoleh a + b = a + (k + 2 –1)b' a + b = a + (k + 1)b' b = (k + 1)b' b b' = k +1

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa apabila di antara setiap dua suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika disisipkan k suku, diperoleh barisan aritmetika baru yang suku pertamanya sama dengan suku pertama barisan aritmetika sebelumnya dan rumus umumnya adalah U 'n' = a + (n' – 1)b'

dengan n' = n + (n – 1)k dan b ' =

b . k +1

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Jumlah dari 33 suku pertama dari deret aritmetika adalah 891. Jika suku pertama deret adalah 7 maka suku ke-33 adalah .... a. 41 d. 49 b. 45 e. 51 c. 47 Soal SPMB, Kemampuan Dasar, 2004

Contoh: Diketahui barisan aritmetika 3, 9, 15, 21, .... Di antara setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut disisipkan dua suku sehingga diperoleh barisan aritmetika baru. Tentukan beda, suku ke-12, dan suku ke-37 barisan yang baru. Penyelesaian: Diketahui barisan: 3, 9, 15, 21, .... Berarti suku pertama a = 3 dan beda b = 9 – 3 = 6. Banyak suku yang disisipkan adalah k = 2 sehingga beda barisan yang baru adalah

b' =

b 6 = = 2 . Oleh karena itu, rumus umum barisan aritmetika yang baru adalah k +1 2 + 1

U'n' = a' + (n' – 1)b' = 3 + (n' – 1)2 Suku ke-12 dari barisan yang baru adalah U'12 = 3 + (12 – 1)2 = 25 dan suku ke-37 adalah U'37 = 3 + (37 – 1)2 = 75. Jadi, beda barisan yang baru 2, suku ke-12 dan ke-37 barisan yang baru berturut-turut adalah 25 dan 75.

Barisan dan Deret

Soal Terbuka 1.

2.

Uji Kompetensi 4 1.

137


Diketahui beda dan suku pertama dari suatu barisan aritmetika masing-masing adalah 6 dan –4. Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga diperoleh barisan aritmetika baru. Tentukan suku ke-12 dan suku ke-15 dari barisan yang baru. Di antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, ... disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika baru. Tentukan jumlah 7 suku pertama dari barisan aritmetika baru tersebut.


Diketahui suku ke-6 dan suku ke-9 dari suatu barisan aritmetika masing-masing adalah 30 dan 45. Tentukan suku pertama, beda, dan suku ke-25 barisan tersebut. 1 2. Pada suku keberapakah dari barisan aritmetika 84, 80 , 77, ... yang nilainya sama 2 dengan 0? 3. Dalam suatu barisan aritmetika diketahui suku ke-3 adalah 9, sedangkan jumlah suku ke-5 dan ke-7 adalah 36. Tentukan suku ke-100 barisan tersebut. 4. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 30 dan hasil kalinya 750. Tentukan ketiga bilangan tersebut. 5. Tiga bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 18 dan hasil kalinya 192. Tentukan ketiga bilangan tersebut. 6. Diketahui suatu barisan mempunyai urutan k + 1, 3k + 3, 4k + 4, .... Agar barisan tersebut merupakan barisan aritmetika, tentukan nilai k. 7. Misalkan Un adalah suku ke-n suatu barisan aritmetika. Jika diketahui bahwa U1+ U2 + U3 = –9 dan U3+ U4 + U5 = 15, tentukan nilai U1+ U2 + U3+ U4+ U5. 8. Sebuah trapesium sisi-sisinya membentuk barisan aritmetika. Jika diketahui bahwa alas trapesium merupakan sisi terpanjang. Apabila sisi terpendeknya 10 cm, tingginya 2 cm, dan luasnya 50 cm2, tentukan keliling trapesium itu. 9. Jika suku pertama suatu barisan aritmetika adalah 5, suku terakhirnya adalah 23, serta selisih antara suku ke-8 dan ke-3 adalah 10, tentukan banyak suku dari barisan aritmetika tersebut. 10. Diketahui barisan aritmetika 7, 11, 15, 19, .... Di antara setiap dua suku yang berurutan pada barisan tersebut disisipkan satu suku sehingga diperoleh barisan aritmetika baru. Tentukan beda, suku ke-24, dan suku ke-40 dari barisan yang baru.

138


c.

Deret Aritmetika Kalian telah mengetahui definisi barisan aritmetika. Jumlah seluruh suku-sukunya ditulis dalam bentuk penjumlahan dari suku pertama, suku kedua, dan seterusnya, bentuk ini dinamakan deret aritmetika. Jadi, deret aritmetika atau deret hitung adalah suatu deret yang diperoleh dengan cara menjumlahkan suku-suku barisan aritmetika. Jika a, a + b, a + 2b, ... , a + (n –1)b adalah barisan aritmetika baku maka a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n –1)b) disebut deret aritmetika baku. Jumlah n suku deret aritmetika dinotasikan dengan Sn sehingga Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n –1)b)

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Dari suatu deret aritmetika suku ke-5 adalah 5 2 < 3 dan suku ke-11 adalah 11 2 + 9 . Jumlah 10 suku pertama adalah .... a. 50 2 + 45 b. 50 2 + 35 c. 55 2 + 40 d. 55 2 + 35 e. 55 2 + 45

n

= - ( a + (k < 1)b )

Soal UMPTN, Kemampuan Dasar, 2001

k =1

Rumus jumlah n suku dapat ditentukan sebagai berikut. Sn = a + (a + b) + (a + 2b) + ... + (a + (n – 1)b) Sn = (a + (n –1)b) + (a + (n – 2)b) + (a + (n –3)b) + ... +a ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– – 2Sn = (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + (2a + (n – 1)b) + ... + (2a + (n – 1)b)

14444444444444 4244444444444444 3 sebanyak n suku

2Sn = n(2a + (n – 1)b) 1 n(2a + (n – 1)b) 2 Karena rumus suku ke-n suatu deret aritmetika adalah 1 Un = a + (n – 1)b maka Sn = n(a + Un ). 2 Jadi, rumus jumlah n suku suatu deret aritmetika adalah

Sn =

Sn =

1 1 n(2a + (n –1)b) atau Sn = n(a + Un) 2 2

Keterangan: Sn = jumlah n suku a = suku pertama Diskusi

b = beda n = banyaknya suku

Kreativitas

Diskusikan dengan teman-teman kalian apakah benar bahwa: Un = bn + (a – b) Sn = 1 bn2 + (a – 1 b) n 2 2 Jika benar, apa yang dapat kalian katakan mengenai Un dan Sn dipandang sebagai fungsi n?

Barisan dan Deret

139

Contoh: 1.

Tentukan jumlah 20 suku pertama dari deret 2 + 5 + 8 + 11 + .... Penyelesaian: Diketahui deret 2 + 5 + 8 + 11 + .... Dari deret tersebut, diperoleh a = 2, b = 3, dan n = 20. Cara 1: Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah Sn = S20 =

1 2 1 2

n(2a + (n –1)b) (20)(2(2) + (20 – 1)3) = 10(61) = 610

Cara 2: Un = a + (n – 1)b U20 = 2 + (20 – 1)3 = 59 1

=

Sn

2 1

S20 = 2.

3.

2

n(a + Un) (20)(2 + U20) = 10(2 + 59) = 10(61) = 610

Tentukan jumlah bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4. Penyelesaian: Bilangan asli antara 1 dan 100 yang habis dibagi 4 adalah 4, 8, 12, 16, ..., 96. Berarti, a = 4, b = 8 – 4 = 4, dan Un = 96. Kita tentukan nilai n sebagai berikut. Un = a + (n – 1)b 96 = 4 + (n – 1)4 96 = 4n n = 24 (Barisan ini mempunyai 24 suku). Jumlah bilangan-bilangan tersebut adalah 1 1 Sn = n(a + Un) S24 = × 24(4 + 96) =12 (100) = 1.200. 2 2 Di antara setiap 2 suku berurutan pada deret 5 + 8 + 11 + 14 + ... disisipkan 5 suku sehingga terbentuk deret aritmetika yang baru. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 20 suku pertama pada deret yang baru. Penyelesaian: Deret aritmetika semula 5 + 8 + 11 + 14 + ... berarti, a = 5 dan b = 3. Disisipkan 5 suku, berarti k = 5. Dengan demikian, pada deret aritmetika yang baru, diperoleh a = 5 dan b' =

1) '

1 2

b 3 1 ' = = . Suku ke-15 deret yang baru adalah U15 = 5 + (15 – k +1 5+1 2

= 5 + 7 = 12, sedangkan jumlah 20 suku yang pertama adalah

S 20 =

1 2

(20)(2(5) + (20 – 1)

1 2

) = 10(10 + 9,5) = 195

140


Problem Solving Suku ke-2 suatu deret aritmetika adalah 5, sedangkan jumlah suku ke-4 dan ke-6 adalah 28. Tentukan suku ke-9 dan jumlah dari 12 suku pertama deret tersebut. Penyelesaian: U2 = a + b = 5 ........................................................................................................... (1) U4 + U6 = 28 (a + 3b) + (a + 5b) = 28 2a + 8b = 28 a + 4b = 14 ................................................................................... (2) Dari persamaan (1) dan (2), diperoleh a+ b =5 a + 4b = 14 – –3b = –9 b = 3 Nilai b = 3 disubstitusikan ke persamaan (1) sehingga diperoleh a = 2. Suku ke-9 adalah U9 = a + 8b = 2 + 8(3) = 26. S12 =

1 2

(12) (2(2) + (12 – 1)3) = 6 (4 + 33) = 222.

Jadi, jumlah 12 suku yang pertama deret tersebut adalah 222.

Uji Kompetensi 5 1.

2.

3.

4.

5.

6.

Tentukan jumlah deret aritmetika berikut. a. 2 + 5 + 8 + 11 + ... sampai dengan 20 suku. b. 3 + 9 + 15 + 31 + ... sampai dengan 18 suku. c. 1 + 6 + 11 + 16 + ... sampai dengan 16 suku. d. 60 + 56 + 52 + 48 + ... sampai dengan 12 suku. e. –20 – 14 – 8 – 2 – ... sampai dengan 25 suku. Tentukan banyak suku dan jumlah deret aritmetika berikut. a. 4 + 9 + 14 + 19 + ... + 104 c. 72 + 66 + 60 + 54 + ... – 12 b. –12 – 8 – 4 – 0 – ... – 128 d. –3 – 7 – 11 – 15 ... – 107 Tentukan banyak suku dari deret berikut. a. 6 + 9 + 12 + 15 + ... = 756 b. 56 + 51 + 46 + 41 + ... = – 36 c. 10 + 14 + 18 + 22 + ... = 640 Tentukan nilai k pada deret berikut. a. 4 + 10 + 16 + 22 + ... + k = 444 b. 5 + 8 + 11 + 14 + ... + k = 440 Dalam suatu deret aritmetika diketahui suku pertama adalah 3, suku ke-n = 87, serta jumlah suku ke-6 dan suku ke-7 adalah 39. Tentukan jumlah n suku pertama dari deret tersebut. Dalam suatu deret aritmetika, diketahui suku ke-4 dan suku ke-8 masing-masing adalah 17 dan 58. Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret tersebut.

Barisan dan Deret

141

7.

Tentukan jumlah 25 suku pertama dari deret berikut. a. 3 + 5 + 7 + ... d. 18 + 15 12 + 13 + ... b. –8 + (–4) + 0 + 4 + ... e. 0 + x + 2x + 3x + ... c. 15 + 12 + 9 + ... 8. Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 300 dan 700 yang habis dibagi 4. 9. Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 1.000 dan 2.000 yang habis dibagi 13. 10. Tentukan jumlah bilangan-bilangan antara 500 dan 1.000 yang habis dibagi 9. 11. Dalam suatu deret aritmetika yang terdiri atas 10 suku, diketahui suku pertama 0 dan beda 6. Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan tiga bilangan sehingga terbentuk deret aritmetika baru.

n <1 n < 2 n < 3 + .... + + n n n

12. Tentukan jumlah deret


Soal Terbuka 1.

Pada suatu bimbingan belajar, murid baru yang mendaftar setiap bulannya bertambah dengan jumlah yang sama. Jumlah murid baru yang mendaftar pada bulan ke-2 dan ke4 adalah 20 orang, sedangkan jumlah pendaftar pada bulan ke-5 dan ke-6 adalah 40 orang. Tentukan jumlah murid yang mendaftar sampai dengan bulan ke-10.

2.

Tentukan nilai dari

1 + 3 + 5 + 7 + ... + 91 . 2 + 4 + 6 + 8 + ... + 92

2. Barisan dan Deret Geometri Seperti halnya barisan dan deret aritmetika, materi tentang barisan dan deret geometri ini juga pernah kalian pelajari di SMP. Mari kita perdalam lagi materi ini.

1

a. 1 Segi empat

1

2

2 Segi empat 1

2

3

4

4 Segi empat

Barisan Geometri Misalnya kalian memiliki selembar kertas berbentuk persegi. Dari kertas itu, kalian lipat sehingga lipatan satu dengan lipatan yang lainnya tepat saling menutupi. Jika lipatan dibuka maka akan terdapat 2 segi empat dengan sebagian sisinya berupa bekas lipatan. Setelah lipatan pertama, jika kalian melanjutkan melipatnya, kalian akan mendapatkan 4 segi empat dengan sisi-sisi sebagian segi empat berupa bekas lipatan. Jika kegiatan melipat diteruskan, diperoleh gambaran seperti di samping. Barisan 1, 2, 3, 4, 8, .... dinamakan barisan geometri. Sekarang perhatikan juga barisan 1, 3, 9, 27, 81, .... Pada barisan ini, suku kedua adalah tiga kalinya suku pertama, suku ketiga tiga kalinya suku kedua, demikian seterusnya. Barisan yang demikian juga dinamakan barisan

142


geometri. Jadi, barisan geometri atau barisan ukur adalah suatu barisan bilangan yang setiap sukunya diperoleh dengan cara mengalikan suku di depannya dengan bilangan yang tetap (konstan). Bilangan yang tetap ini disebut pembanding (rasio) yang dinotasikan dengan r. Secara umum, dapat dikatakan sebagai berikut. Suatu barisan U1, U2, U3, ..., Un disebut barisan geometri apabila berlaku

× 3

× 3 1 2

1

× 12 2

9

1 4

1 8

...

Berpikir Kritis

Ambil sembarang deret aritmetika yang banyaknya suku ganjil. Perhatikan bahwa suku tengah dari deret tersebut adalah

(r = 3)

× 3

× 12 –4

27 ...

Tugas Kerjakan di buku tugas

Un =r U n<1

Misalnya: 1 3

1 2 3 4 5 6 7 8 8 Segi empat

(r =

1 2

)

Ut =

sn atau n

Ut =

1 (U1 + Un) 2

× 12 8

=

1 (U2 + Un–1) 2

=

1 (U3 + Un–2) 2

=

1 (U + Un–3) 2 4

–16 ... (r = –2)

× (<2) × (<2) × (<2) Dari contoh-contoh di atas, tampak bahwa apabila suku-suku dari suatu barisan geometri positif semua atau negatif semua, rasio barisan itu positif. Namun, apabila suku-suku dari suatu barisan geometri bergantian tanda, rasio barisan itu negatif. Apabila suku pertama (U1) dari barisan geometri dinyatakan dengan a dan rasio r maka U1 = a U2 = ar U3 = ar × r = ar2 U4 = ar2 × r = ar3 ... Un = arn–1 Dengan demikian, diperoleh barisan geometri a, ar, ar2, ar3, ..., arn–1, ... Barisan ini disebut barisan geometri baku. Rumus umum suku ke-n barisan itu adalah

... demikian seterusnya.

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Dalam suatu barisan geometri, U1 + U3 = p, dan U2 + U4 = q maka U4 = ....

p a.

Un = arn–1 Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama

r n

2

2

2

e.

3

3

2

2

2

p +q 3

p +q p +q

c.

= rasio = banyak suku

q d.

q b.

3

p +q

2

2

2

2

3

2

2

q +p p +q p +q

Soal UMPTN, 1996

Barisan dan Deret

143

Contoh: Dari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-5, dan suku ke-9. a. 1, 2, 4, ... b. 9, 3, 1, ... Penyelesaian: a. 1, 2, 4, ... Dari barisan tersebut, diperoleh a = 1 dan r =

b.

2 1

= 2. Oleh karena itu, suku ke-5

dan suku ke-9 masing-masing adalah U5 = ar5–1 = 1(24) = 16; U9 = ar9–1 = 1(28) = 256. 9, 3, 1, ... Dari barisan tersebut, nilai a = 9 dan r =

3 1 = . Oleh karena itu, suku ke-5 dan 9 3

suku ke-9 masing-masing adalah U5 = ar5–1 = 9( U9 = ar9–1 = 9(

1 3 1 3

)4 =

1 9

)8 = 9(

; 1 1 )= . 6.561 729

Problem Solving Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 26 dan hasil kalinya 216. Tentukan ketiga bilangan tersebut. Penyelesaian: Misalkan ketiga bilangan tersebut adalah

a p

, a, dan ap.

Jumlah ketiga bilangan itu 26 sehingga a p

+ a + ap = 26 ....................................................................................................... (1)

Hasil kalinya 216 sehingga

a p

× a × ap = 216 ....................................................... (2)

Dari persamaan (2), diperoleh a3 = 216 atau a = 6. Jika nilai a = 6 disubstitusikan ke persamaan (1), diperoleh 6 p

+ 6 + 6p = 26

144


6 + 6p + 6p2 = 26p 6p2 – 20p + 6 = 0 (3p – 1)(2p – 6) = 0 p=

1 3

atau p = 3

Untuk a = 6 dan p =

1 3

, ketiga bilangan tersebut adalah 18, 6, dan 2. Untuk a = 6 dan p = 3,

ketiga bilangan tersebut adalah 2, 6, dan 18. Jadi, ketiga bilangan itu adalah 2, 6, dan 18. Dapatkah kalian menyelesaikan soal ini jika ketiga bilangan dimisalkan dengan a, ap, dan ap2? Mana yang lebih mudah? Jelaskan.

Tugas 1. 2.

b.


Eksplorasi

Tunjukkan bahwa tiga bilangan terurut a, b, dan c membentuk barisan geometri apabila memenuhi persamaan b2 = ac. Tunjukkan bahwa empat bilangan terurut a, b, c, dan d membentuk barisan geometri apabila memenuhi persamaan ad = bc. Sisipan dalam Barisan Geometri (Pengayaan) Seperti pada barisan aritmetika, pada barisan geometri juga dapat disisipkan beberapa suku di antara setiap dua suku yang berurutan sehingga diperoleh barisan geometri yang baru. Perhatikan barisan geometri baku berikut. a, ar, ar2, ar3, ..., arn–1 Jika di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan k bilangan, diperoleh barisan geometri baru dengan suku pertama sama dengan suku pertama barisan geometri semula yaitu U1= a, rasio = r', dan banyaknya suku yang baru adalah n'. Untuk mengetahui hubungan antara r' dan n' dengan r dan n, perhatikan tabel berikut. Tabel 4.3

Barisan Geometri Semula Barisan Geometri Baru

U1

U2

U3

U1' U 2' U 3' ... U 'k +1 Uk' + 2 14 4244 3

Uk' +3 U k' + 4 U 'k + 5 ... U '2k + 2 1444 424444 3

U2' k +3

k suku

k suku

Dari tabel tersebut, tampak adanya kesesuaian antara suku ke-2 barisan semula, yaitu U2 = ar dengan suku ke-(k + 2) pada barisan yang baru, yaitu U'k+2= a(r')k+1 sehingga diperoleh

Barisan dan Deret

145

ar = a(r')k+1 r = (r')k+1 r' = k +1 r Dengan demikian, rumus suku ke-n pada barisan yang baru adalah Un' = a(r')n'–1 dengan n' = n + (n – 1)k dan r' =

k +1

r

Contoh: Diketahui barisan geometri 1, 9, 81, .... Di antara masing-masing suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Tentukan rasio dan suku ke-8 dari barisan yang baru. Penyelesaian: Barisan geometri semula adalah 1, 9, 81, .... Berarti a = 1 dan r = 9. Di antara dua suku yang berurutan disisipkan 1 suku (k = 1) sehingga rasio barisan yang baru adalah r' = k +1 r = 1+1 9 = 9 = 3. Oleh karena itu, suku ke-8 barisan yang baru adalah U8 = a(r')8–1 = 1( 37) = 2.187 Uji Kompetensi 6 1.

2. 3.

4. 5.

6. 7.


Dari barisan-barisan geometri berikut, tentukan suku pertama, rasio, suku ke-12, dan suku ke-15. a. 2, 4, 8, 16, ... d. 2, 6, 18, ... b. 4, 2, 1, ... e. –3, 6, –12, ... c. 1, –2, 4, –8, ... f. 5, 15, 45, ... Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu adalah 35 dan hasil kalinya 1.000. Tentukan ketiga bilangan tersebut. Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3, untuk k > 0, membentuk tiga suku pertama dari deret geometri. Tentukan ketiga bilangan tersebut. Jika 2k – 5, k – 4, dan

1 5

(k – 4) adalah tiga bilangan yang membentuk barisan

geometri, tentukan nilai k. Tiga buah bilangan membentuk suatu barisan geometri, dengan rasio lebih besar dari satu. Jika bilangan terakhir dikurangi 3, ketiga bilangan itu membentuk barisan aritmetika, sedangkan jika ketiga bilangan itu dijumlahkan, hasilnya adalah 54. Tentukan selisih bilangan ke-3 dan bilangan ke-1. Jika suku pertama dan ke-3 dari barisan geometri masing-masing adalah 3 m dan m, untuk m > 0, tentukan suku ke-13 dan ke-15. Sebuah tali dipotong menjadi 6 bagian. Panjang bagian yang satu dengan yang lain membentuk suatu barisan geometri. Jika potongan tali terpendek adalah 3 cm dan terpanjang adalah 96 cm, tentukan panjang tali semula.

146


8.

Diketahui barisan geometri 1, 8, 64, .... Di antara masing-masing suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk barisan geometri yang baru. Tentukan rasio dan suku ke-10 dari barisan geometri yang baru. Kerjakan di buku tugas

Soal Terbuka 1.

Diketahui p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + x + a = 0. Jika p, q, dan

2.

c.

1 2

pq membentuk barisan

geometri, tentukan nilai a. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri, dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, terbentuk sebuah barisan aritmetika. Jika jumlah ketiga bilangan aritmetika itu 30, tentukan hasil kali ketiga bilangan itu. Deret Geometri Seperti halnya deret-deret lainnya yang diperoleh dengan menjumlahkan suku-sukunya, deret geometri atau deret ukur adalah suatu deret yang diperoleh dengan menjumlahkan suku-suku barisan geometri. Oleh karena itu, jika a, ar, ar2, ..., arn – 1 adalah barisan geometri baku, deret a, ar, ar2, ..., arn – 1 disebut deret geometri baku. Jumlah n suku pertama dari deret geometri dinyatakan dengan Sn sehingga n

Sn = a + ar + ar2 + ... + arn–1 = - ar k <1 . Rumus jumlah n k =1

suku pertama dari deret geometri dapat ditentukan sebagai berikut. = a + ar + ar2 + ... + arn–1 Sn rSn = ar + ar2 + ar3 + ... + arn ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– ––

(1 – r)Sn = a – ar

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Jika r rasio (pembanding) suatu deret geometrik tak hingga yang konvergen dan S jumlah deret geometrik tak hingga 1 3+r +

n

Sn =

a(1 < r ) , untuk r < 1 1
Sn =

a(r n < 1) , untuk r > 1 r
Apa yang terjadi jika r = 1?

1 (3 + r )

2

1 (3 + r )

3

+ ...

maka .... a. b.

n

a(1 < r n ) S = n 1
+

c. d. e.

1 4 3 8 1 3 3 4 1 5

<S < <S <

1 2 3 4

<S <1 <S < <S <

4 3 4 5

Soal UMPTN, Kemampuan IPA, 1998

Barisan dan Deret

Tugas

147


Inkuiri

Ambil sembarang deret geometri yang banyaknya suku ganjil. Perlihatkan bahwa suku tengah deret tersebut dalah Ut = U1 . Un = U2 . Un <1 = seterusnya.

U3 . U n < 2 =

U4 . Un < 3 demikian

Contoh: 1.

Tentukan jumlah lima suku pertama dari deret 1 + 2 + 4 + 8 + ... Penyelesaian: 1 + 2 + 4 + 8 + ..., berarti a = 1 dan r = 2 > 1.

S5 =

1(2 5 < 1) 1(2 5 < 1) = = 31 1 2 <1 10

2.

Suatu deret geometri dinyatakan dengan notasi sigma S n = - 3 × 2 n<2 . Tentukan n =3

berikut ini. a. Suku pertama b. Rasio c. Rumus suku ke-n d. Rumus jumlah n suku pertama Penyelesaian: 10

Perhatikan bentuk

- 3 × 2 n< 2.

n= 3

Untuk n = 3, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 23 – 2 = 3 × 2 = 6. Untuk n = 4, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 24 – 2 = 3 × 22 = 3 × 4 = 12. Untuk n = 5, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 25 – 2 = 3 × 23 = 3 × 8 = 24. M dan seterusnya. Untuk n = 10, maka 3 × 2n – 2 = 3 × 210 – 2 = 3 × 28 = 3 × 256 = 768. Oleh karena itu, bentuk panjangnya adalah 6 + 12 + 24 + ... + 768. a. Tampak dari bentuk panjangnya bahwa suku pertamanya adalah 6.

U 2 12 = 2. = U1 6

b.

Rasio (r) =

c.

Rumus suku ke-n adalah Un = arn – 1 = 6 × 2n – 1 = 3 × 2 × 2n – 1 = 3 × 2n.

d.

Rumus jumlah n suku pertama adalah Sn =

a (r n < 1) 6(2 n < 1) = = 6(2n – 1). r <1 2 <1

148


Problem Solving Diketahui deret geometri 10 + 40 + 160 + ... (sampai dengan 6 suku). Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru. a. Hitunglah jumlah deret geometri semula. b. Hitunglah jumlah deret geometri yang baru. c. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan. Penyelesaian: Suku pertama deret geometri yang diberikan adalah a = 10, rasionya r =

40 = 4, dan 10

banyaknya suku n = 6. a. Jumlah deret geometri semula adalah

10(46 < 1) 10(4.096 < 1) = 13.650. = 4 <1 3 Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru dengan r' = 1+1 r = 4 = 2 dan n' = n + (n – 1)k = 6 + (6 – 1)1 = 11. Berarti, jumlah deret geometri yang baru adalah S6 =

b.

10(211 < 1) = 10(2.048 – 1) = 20.470. 2 <1 Jumlah suku-suku yang disisipkan = jumlah deret geometri yang baru – jumlah deret geometri semula = 20.470 – 13.650 = 6.850

S11 = c.

Uji Kompetensi 7 1.

Tentukan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri berikut.

3. 4.

2

4

a.

1 + 4 + 16 + ...

d.

1–

b.

2 – 6 + 18 – ...

e.

20 + 10 + 5 + ...

f.

–8 + 4 – 2 + ...

c. 2.


1+

2 3

+

4 9

+ ...

3

+

9

– ...

Dalam satu deret geometri diketahui suku ke-9 dan suku ke-4 masing-masing adalah 128 dan –4. Tentukan suku ke-12 dan jumlah 10 suku pertama deret tersebut. Dalam suatu deret geometri diketahui suku pertama dan suku ke-3 masing-masing adalah 64 dan 16. Tentukan suku ke-15 dan jumlah 15 suku pertama deret tersebut. Bilangan k – 2, k – 6, dan 2k + 3 membentuk deret geometri. Tentukan jumlah n suku pertama deret tersebut jika U1 = k – 2.

Barisan dan Deret

5.

6.

149

4 16 + + .... Di antara dua suku yang berurutan 9 81 disisipkan satu suku sehingga terbentuk deret geometri baru.Tentukan suku ke-8 dan jumlah 10 suku pertama dari deret geometri yang baru. Diketahui deret geometri 2 + 16 + 128 + ... (sampai dengan 10 suku). Di antara setiap dua suku yang berurutan disisipkan dua suku sehingga terbentuk deret geometri baru. a. Hitunglah jumlah deret geometri semula. b. Hitunglah jumlah deret geometri yang baru. c. Hitunglah jumlah suku-suku yang disisipkan. Diketahui deret geometri 1 +

C. Deret Khusus dan Deret Geometri Tak Berhingga Kalian telah mempelajari rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri. Sekarang, kita akan mempelajari rumus suku ke-n dan jumlah n suku pertama dari deretderet khusus yang mungkin bukan merupakan deret aritmetika maupun deret geometri.

1. Deret Bilangan Asli Himpunan bilangan asli adalah {1, 2, 3, ...} sehingga deret bilangan asli adalah 1 + 2 + 3 + .... Dengan demikian, jumlah n n

bilangan asli pertama dapat dinyatakan dengan notasi sigma - k . k =1

Tugas Inovasi Kerjakan di buku tugas

Perhatikan rumus jumlah n suku deret geometri. Tunjukkan bahwa jumlah deret bilangan asli adalah Sn =

1 n(n 2

+ 1).

Dengan memerhatikan pola suku-sukunya, dapat kita ketahui bahwa deret bilangan asli merupakan deret aritmetika, dengan suku pertama a = 1 dan beda b = 1. Oleh karena itu, dapat disimpulkan sebagai berikut. Dalam suatu deret bilangan asli, berlaku • suku ke-n adalah Un = n; • jumlah n suku pertama adalah n 1 1 Sn = n(n + 1) atau - k = n( n + 1). 2 2 k =1

Contoh: Pada deret bilangan asli, tentukan a. Suku ke-5 dan suku ke-40. b. Jumlah 5 suku pertama dan jumlah 40 suku pertama.

150


Penyelesaian: a. Suku ke-5 adalah 5 dan suku ke-40 adalah 40. Jumlah 5 suku pertama adalah S5 =

b.

1 2

jumlah 40 suku pertama adalah S40 =

× 5(1 + 5) = 1 2

1 2

× 30 = 15, sedangkan

× 40(1 + 40) =

2. Deret Kuadrat Bilangan Asli Himpunan kuadrat bilangan asli adalah {12, 22, 32, ...} sehingga deret kuadrat bilangan asli adalah 12 + 22 + 32 + .... Dengan demikian, jumlah n kuadrat bilangan asli pertama dapat dinyatan

kan dengan notasi sigma - k 2 . Selanjutnya, perhatikan bahwa k=1 S1 = 12 = 1 S2 = 12 + 22 = 5 S3 = 12 + 22 + 32 = 14 S4 = 12 + 22 + 32 + 42 = 30 M dan seterusnya. Tampak bahwa S1 = 1 = S2 = 5 =

1 6 1 6

S3 = 14 = S4 = 30 =

(1)(1 + 1)(2 (1) + 1)) (2)(2 + 1)(2 (2) + 1))

1 6 1 6

(3)(3 + 1)(2 (3) + 1)) (4)(4 + 1)(2 (4) + 1))

M

Sn =

1 6

n(n + 1)(2n + 1)

Dengan memperhatikan pola suku-suku dari deret n kuadrat bilangan asli di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut. Dalam suatu deret kuadrat bilangan asli, berlaku • rumus suku ke-n adalah Un = n2; • jumlah n suku pertama adalah Sn =

1 6

n

n(n + 1)(2n + 1) atau

1

- k 2 = 6 n( n + 1)(2 n + 1). k =1

1 2

× 1.640 = 820.

Barisan dan Deret

151

Contoh: Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukan a. suku ke-10 dan suku ke-45; b. jumlah 10 suku pertama dan 45 suku pertama. Penyelesaian: a. Suku ke-10 adalah U10 = 102 = 100 dan suku ke-45 adalah U45 = 452 = 2.025. b.

Jumlah 10 suku pertama adalah S10 = Jumlah 45 suku pertama adalah S45 =

1

× 10(10 + 1)(2 × 10 + 1) = 385.

6 1

× 45(45 + 1)(2 × 45 + 1) = 31.395.

6

3. Deret Kubik Bilangan Asli Himpunan kubik (pangkat tiga) bilangan asli adalah {13, 23, 33, ...} sehingga deret kubik bilangan asli adalah 13 + 23 + 33 + .... Dengan demikian, jumlah n kubik bilangan asli pertama dapat n

3 dinyatakan dalam notasi sigma - k . Selanjutnya, perhatikan k=1

bahwa S1 = 13 = 1 S2 = 13 + 23 = 1 + 8 = 9 S3 = 13 + 23 + 33 = 1 + 8 + 27 = 36 S4 = 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 27 + 64 = 100 M dan seterusnya. Tampak bahwa

£ 1(1 + 1)¥ S1 = 1 = ² ´ ¤ 2 ¦

2

£ 2 (2 + 1) ¥ S2 = 9 = ² ´ ¤ 2 ¦

2

£ 3(3 + 1)¥ S3 = 36 = ² ´ ¤ 2 ¦

2

£ 4 (4 + 1)¥ S4 = 100 = ² ´ ¤ 2 ¦ £ n (n + 1) ¥ Sn = ² ´ ¤ 2 ¦

2

2

Dengan memerhatikan suku-suku deret n kubik bilangan asli di atas, dapat disimpulkan sebagai berikut.

152


Dalam suatu deret kubik bilangan asli, berlaku • rumus suku ke-n adalah Un = n3; • jumlah n suku pertama adalah 2

£ n(n + 1) ¥ Sn = ² ´ atau ¤ 2 ¦

2

n

£ n(n + 1) ¥ - k3 = ² 2 ´ . ¤ ¦ k =1

Contoh: Pada deret kubik bilangan asli, tentukan a. suku ke-6 dan suku ke-30; b. jumlah 6 suku pertama dan 30 suku pertama. Penyelesaian: a. Suku ke-6 adalah U6 = 63 = 216 dan suku ke-30 = U30 = 303 = 27.000 2

b.

6(6 + 1) ¥ Jumlah 6 suku pertama adalah S6 = £ = 212 = 441. ¤ ¦ 2 2

30(30 + 1) ¥ = 4652 = 216.225. Jumlah 30 suku pertama adalah S30 = £ ¤ ¦ 2

4. Deret Geometri Tak Berhingga Pada awal pembahasan bab ini, telah dijelaskan bahwa berdasarkan banyaknya suku, suatu barisan dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu barisan berhingga dan barisan tak berhingga. Perhatikan barisan-barisan geometri berikut. a. 1, 2, 4, 8, ... c. 5, –25, 125, –625, ... b. 27, 9, 3, 1, ... d. –216, 72, –24, 8, ... Barisan-barisan di atas merupakan contoh barisan tak hingga. Perhatikan barisan a dan c pada contoh di atas. Misalkan suku ke-n barisan itu adalah Un. Makin besar nilai n pada barisan tersebut, harga mutlak suku-suku barisan a dan c makin besar. Barisan seperti itu dinamakan barisan divergen. Adapun barisan b dan d berlaku sebaliknya, makin besar nilai n, harga mutlak suku-sukunya makin kecil. Barisan seperti itu dinamakan barisan konvergen. Dengan kata lain, pengertian kedua barisan itu dapat ditulis sebagai berikut. Misalkan r adalah rasio suatu barisan geometri tak berhingga, barisan itu disebut a. barisan divergen jika |r| > 1, artinya r < –1 atau r > 1; b. barisan konvergen jika |r| < 1, artinya –1 < r < 1.

Barisan dan Deret

Tes Mandiri Kerjakan di buku tugas Deret geometri tak hingga (x – 1), (x – 1)2, (x – 1)3, ... konvergen untuk a. –1 < x < 1 b. 0 < x < 2 c. x > 2 d. x < 2 e. semua x Soal SKALU, 1978

153

Apabila suku-suku barisan yang konvergen dijumlahkan, diperoleh deret yang konvergen. Pada deret konvergen, jumlah suku-sukunya tidak akan melebihi suatu harga tertentu, tetapi terus-menerus mendekati harga tersebut. Harga tertentu ini disebut jumlah tak berhingga suku yang dinotasikan dengan S' . Harga S' merupakan harga pendekatan (limit) jumlah semua suku (Sn), untuk n mendekati tak berhingga. Dengan memperhatikan kenyataan bahwa untuk –1 < r < 1 jika dipangkatkan bilangan yang sangat besar maka hasilnya mendekati 0. Misalnya £² 1 ¥´ ¤2¦

100

=

1 100

2

£1¥ A 0, ² ´ ¤ 10 ¦

1. 000

=

1 10

1 .000

A 0 , dan sete-

rusnya. Oleh karena itu, S n ..................... (dibaca: limit S untuk n mendekati S' = nlim A' n

tak berhingga) n

= lim

nA '

a(1 < r ) ...... 1< r

(karena deret konvergen maka |r| < 1)

a < ar n nA ' 1 < r a ..................... = 1
= lim

n (karena lim a r = 0) nA '

Dengan demikian, rumus jumlah tak berhingga suku dari deret geometri yang konvergen adalah S' =

a 1
Contoh: 1.

Tentukan jumlah tak berhingga suku dari deret berikut.

1 1 1 + + + ... 2 4 8 Penyelesaian:

a.

1+

a.

1+

1 1 1 + + + ... 2 4 8

b.

10

2 +1 +

1 1 + + ... 2 4

154


Dari deret tersebut, diketahui a = 1 dan r = S' =

b.

10

2

sehingga

a 1 1 = = = 2. 1 < r 1 < 12 12

2 +1 +

1 1 + + ... 2 4

Perhatikan deret 2 + 1 +

1 2

+

1 4

+ ....

Dari deret tersebut, diperoleh a = 2 dan r = Dengan demikian, S' = Jadi, 10 2.

1

2 +1 +

1 1 + + ... 2 4

1 . 2

2 2 = 1 = 4. 1 1< 2 2

= 104 =10.000.

Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah Un =

3 2n

. Tentukan:

a. suku pertama; b. rasio; c. jumlah tak berhingga suku. Penyelesaian: 3 3 = . 21 2

a.

Suku pertama adalah U1 =

b.

Suku ke-2 adalah U2 =

c.

Jumlah tak berhingga suku adalah S' =

3 4

sehingga r =

U2 = U1

3 4 3 2

1 = . 2

3 a = 2 1 = 3. 1< r 1< 2

Problem Solving Tentukan nilai x agar deret 1 + (x – 1) + (x – 1)2 + ... konvergen. Penyelesaian: Rasio deret tersebut adalah r = x – 1. Syarat deret konvergen adalah |r| < 1 sehingga |r| < 1

x <1 < 1 –1 < x –1 < 1 0<x<2 Jadi, agar deret tersebut konvergen, nilai x terletak pada interval 0 < x < 2.

Barisan dan Deret

Tugas

Inovasi

155


Perhatikan deret geometri tak hingga yang konvergen a + ar + ar2 + .... a. Buktikan bahwa jumlah suku-suku pada kedudukan ganjil a . (Sganjil) adalah Sganjil = 1 + r2 b. Buktikan bahwa jumlah suku-suku pada kedudukan genap ar . (Sgenap) adalah Sgenap = 1 < r2 c. Buktikan bahwa Sgenap : Sganjil = r.

Kegiatan


Tujuan: Menentukan jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjil dan pada kedudukan nomor genap dari deret geometri tak 15 15 15 + + + .... berhingga 100 10.000 1.000.000 Permasalahan: Bagaimana rumus jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjil dan pada kedudukan nomor genap dari deret geometri tak berhingga tersebut? Langkah-Langkah: 1. Pisahkan deret suku-suku pada kedudukan nomor ganjil dan pada kedudukan nomor genap. 2. Dari masing-masing deret tersebut, tentukan suku pertama dan rasionya. 3. Dengan rumus deret geometri tak berhingga tentukan jumlah dua deret tersebut. Kesimpulan:

1.500 , 9.999 sedangkan jumlah suku-suku pada kedudukan nomor genap 15 . adalah 9.999 Jumlah suku-suku pada kedudukan nomor ganjil adalah

156


Uji Kompetensi 8 1.

2.

3.

4.

5.

6. 7.


Pada deret bilangan asli, tentukan berikut ini. a. Suku ke-15 dan ke-60 b. Jumlah 15 suku pertama dan jumlah 60 suku pertama Pada deret kuadrat bilangan asli, tentukan berikut ini. a. Suku ke-20 dan suku ke-35 b. Jumlah 20 suku pertama dan 35 suku pertama. Pada deret kubik bilangan asli, tentukan berikut ini. a. Suku ke-8 dan suku ke-40 b. Jumlah 8 suku pertama dan 40 suku pertama. Tentukan jumlah tak berhingga dari deret berikut. a.

2+

b.

1+

2 + 1 + ... 2 3

+

4 9

+ ...

2

c.

1–

d.

±1+

3

+

4 9

–

8 + ... 27

1 1 1 ± + ± ... 2 3 4

Diketahui suku ke-n dari deret geometri adalah 5 . Tentukan: 2n a. suku pertama; c. jumlah tak berhingga suku. b. rasio; Tentukan jumlah deret geometri tak berhingga jika diketahui suku pertama dan ke-3 masing-masing adalah Tentukan nilai dari a. 38+4+2+1+... b. c.

2 dan

0,125 .

1 2 + 1 4 + 1 6 + 1 8 + ... 3( x ) ( x ) ( x ) ( x )

2 2 2 ... (Petunjuk :

1

1

1

1

2 = ((2 2 ) 2 ) 2 = 2 8 8. Diketahui suatu deret geometri konvergen dengan suku pertama a dan jumlah seluruh suku-sukunya 2. Tentukan batas-batas a yang mungkin. 9. Tentukan batas-batas nilai x agar barisan geometri 3, 3(1 – x), 3(1 – x)2, ... konvergen. (Petunjuk: barisan geometri konvergen jika –1 < r < 1) 10. Perhatikan gambar lingkaran di samping. Luas L1 = a cm2. L1 Jika diameter L2 =

1 2

diameter L1, diameter L3 =

meter L2, diamater L4 =

1 2

1 2

dia-

L2 L3

diameter L3, dan seterusnya,

tentukan jumlah luas seluruh lingkaran L1 + L2 + L3 + L4 + ... dalam a.

Gambar 4.1

L4

Barisan dan Deret

157

D. Penggunaan Barisan dan Deret Dalam kehidupan sehari-hari, banyak persoalan yang dapat diselesaikan dengan menggunakan kaidah barisan maupun deret, misalnya perhitungan bunga bank, perhitungan kenaikan produksi, dan laba suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, terlebih dahulu kita tentukan apakah masalah tersebut merupakan barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika, atau deret geometri. Kemudian, kita selesaikan dengan rumus-rumus yang berlaku untuk memperoleh jawaban dari persoalan yang dimaksud. Contoh: 1.

Suatu perusahaan sepatu mulai berproduksi pada awal tahun 1987, dengan jumlah produksi 10.000 pasang sepatu. Ternyata, setiap tahun produksinya berkurang 500 pasang sepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut tidak mampu berproduksi lagi? Penyelesaian: Produksi tahun pertama adalah 10.000 pasang sepatu, produksi tahun ke-2 adalah 9.500 pasang sepatu, tahun ke-3 adalah 9.000 pasang sepatu, dan seterusnya. Dari sini terlihat bahwa dari tahun ke tahun produksi sepatu perusahaan itu membentuk barisan aritmetika 10.000, 9.500, 9.000, ..., dengan a = 10.000 dan b = –500. Perusahaan tidak memproduksi lagi, berarti Un = 0 sehingga Un = 0 a + (n – 1)b = 0 10.000 + (n – 1)(–500) = 0 10.000 – 500n + 500 = 0 500n = 10.500 n = 21 Jadi, perusahaan tersebut tidak mampu lagi berproduksi pada tahun ke-21 atau tahun 2008.

2.

Pada awal bulan Juni 2006, Yunita menyumbang Rp10.000,00 ke dalam sebuah kotak dana kemanusiaan. Sebulan kemudian, Yunita mengajak 10 orang temannya untuk menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kota tersebut. Bulan berikutnya, setiap orang dari 10 orang yang diajak Yunita mengajak 10 orang lainnya untuk menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kotak yang sama. Demikian seterusnya. Jika setiap orang hanya sekali menyumbang Rp10.000,00 ke dalam kotak dana kemanusiaan dan Yunita adalah orang pertama yang menyumbangkan dana ke dalam kotak itu, tentukan jumlah uang yang terkumpul hingga akhir bulan Maret 2007. Penyelesaian: • Uang yang terkumpul pada bulan Juni 2006 Rp10.000,00. • Uang yang terkumpul hingga bulan Juli Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00). • Uang yang terkumpul pada bulan Agustus Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00) + 10(10(10.000,00)).

158


• •

Uang yang terkumpul pada bulan September Rp10.000,00 + 10(Rp10.000,00) + 10(10(Rp10.000,00)) + 10(10(10(Rp10.000,00))). Dan seterusnya hingga Maret 2007.

Jumlah uang yang terkumpul setiap bulan dianggap sebagai jumlah bilangan berikut. 10.000 + 10(10.000) + 10(10(10.000,00)) + 10(10(10(10.000))) + ....

+4 100 ...) =10.000 (11+410 44 42+41.000 444+4 3 deret geometri

Jumlah tersebut mengikuti pola deret geometri dengan suku pertama 1 dan rasio 10. Sn

=

a (1 < r n ) 1< r

1(1010 < 1) = 1.111.111.111 10 < 1 Dengan demikian, jumlah uang yang terkumpul hingga bulan Maret 2007 adalah Rp10.000,00 × S10 = Rp10.000,00 × 1.111.111.111 = Rp11.111.111.110.000,00. S10 =

Uji Kompetensi 9


1.

Suatu perusahaan sepatu mulai berproduksi pada tahun 1990 dengan jumlah produksi 5.000 pasang sepatu. Ternyata, setiap tahun produksinya bertambah 100 pasang sepatu. Pada tahun keberapa perusahaan tersebut mampu memproduksi 100.000 pasang sepatu? 2. Selama 5 tahun berturut-turut jumlah penduduk di Kota A membentuk deret geometri. Pada tahun terakhir, jumlah penduduknya 4 juta jiwa, sedangkan jumlah penduduk tahun pertama dan ke-3 adalah 1,25 juta jiwa. Tentukan jumlah penduduk Kota A pada tahun ke-4. 3. Perhatikan gambar segitiga sama sisi di samping. C A D Panjang sisi segitiga itu adalah a. Di dalam segitiga itu dibuat I G segitiga sama sisi dengan titik sudut terletak di tengah-tengah E F sisi segitiga semula. Hal ini diulang terus-menerus. Tentukan H jumlah ruas seluruh segitiga yang terbentuk. (Pada gambar di samping, jumlah ruas seluruh segitiga yang dimaksud adalah B luas 6 ABC + luas 6 DEF + luas 6 GHI + ...) Gambar 4.2 4. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 meter. Setiap kali sesudah bola terjatuh ke lantai, bola itu terpantul kembali hingga mencapai ketinggian

3 4

dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang seluruh

lintasan bola tersebut hingga berhenti. (Ingat: panjang lintasan meliputi lintasan naik dan lintasan turun)

Barisan dan Deret

5.

159

Jarak melintang secara berurutan yang dilalui sebuah bandul adalah 36 cm, 24 cm, 16 cm, .... Tentukan total jarak yang dilalui bandul itu sebelum berhenti.

Gambar 4.3

E. Deret dalam Hitung Keuangan Dalam hitung keuangan, deret sangat sering digunakan untuk penyelesaian kasus-kasus yang berhubungan dengan permodalan, bunga, dan pertumbuhan uang. Pada pembahasan kali ini, kita akan membahas bunga tunggal, bunga majemuk, dan anuitas.

1. Bunga Tunggal Dalam melakukan usaha, seseorang tentu menginginkan pertumbuhan dari modal usahanya. Misalkan modal yang digunakan dalam usaha sebesar Rp1.000.000,00. Setelah menjalankan usahanya, ternyata modalnya tumbuh dan menjadi Rp2.000.000,00. Selisih antara hasil usaha dan modal ini dinamakan bunga. Namun, pengertian bunga tidak sesempit itu. Misalkan seseorang meminjam uang sebesar Rp1.000.000,00 dan pada waktu tertentu harus mengembalikannya sebesar Rp1.450.000,00. Selisih antara jumlah uang yang dikembalikan dan jumlah uang yang dipinjam ini juga dapat dinamakan bunga. Bunga juga dapat dinyatakan dalam persentase. Besarnya bunga bergantung pada besar modal yang dipinjam dan tingkat suku bunganya. Bunga yang dibayarkan peminjam pada akhir periode peminjaman (tertentu), dengan besar peminjaman dijadikan dasar perhitungan dan bunga pada periode berikutnya selalu tetap, dinamakan bunga tunggal. Misalkan diketahui uang sebesar Rp200.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%. • Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama adalah Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + 10%). • Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua adalah Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + 2 × 10%). • Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga adalah Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + 3 × 10%)

160


Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-t adalah Rp200.000,00 + 10% × Rp200.000,00 + ... + 10% × Rp200.000,00 = Rp200.000,00 (1 + t × 10%). Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bunga tunggal selama t periode waktu dengan tingkat suku bunga (persentase) r. Bunga (B) dan besar modal pada akhir periode (Mt) adalah B = M0 × t × r Mt = M0 (1 + t × r) Contoh: Suatu bank perkreditan memberikan pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga tunggal sebesar 3% per bulan. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp6.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 2 tahun, tentukan a. besar bunga setiap bulannya; b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan. Penyelesaian: Diketahui r = 3%, M0 Rp6.000.000,00, dan t = 24 bulan. a. Besar bunga setiap bulan adalah B = M0 × t × r = Rp6.000.000,00 × 1 × 3% = Rp180.000,00 b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 24 bulan adalah Mt = M0 (1 + t × r) M24 = Rp6.000.000,00 (1 + 24 × 3%) = Rp6.000.000,00 (1,72) = Rp10.320.000,00 Dari contoh di atas, tentu kalian dapat menyatakan bahwa perhitungan bunga tunggal berhubungan erat dengan deret aritmetika. Coba jelaskan alasan kalian, mengapa demikian? Problem Solving Herman meminjam uang di Bank Jaya Bersama sebesar Rp4.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 20% per tahun. Dalam waktu 90 hari, Herman sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Anggap 1 tahun 360 hari) Penyelesaian: Dari soal di atas diketahui M0 = Rp4.000.000,00, r = 20% per tahun, dan t = 90 hari =

1 4

tahun.

Barisan dan Deret

a.

Bunga: B = M0 × t × r = Rp4.000.000,00 ×

b.

161

1 4

× 20%

= Rp200.000,00 Jumlah uang yang harus dikembalikan adalah Mt = M0 (1 + t × r) = M0 + M0 × t × r = M0 + B = Rp4.000.000,00 + Rp200.000,00 = Rp4.200.000,00

2. Bunga Majemuk Tugas Informasi Lebih Lanjut Kerjakan di buku tugas

Coba kalian cari tahu dapat dipakai untuk masalah apa saja rumus bunga majemuk, a) jika i > 0; b) jika i < 0?

Pada pembahasan di depan, kalian telah mengetahui perhitungan bunga yang didasarkan atas bunga tunggal. Sekarang kita akan memahami bunga majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar jumlah modal yang digunakan ditambah dengan akumulasi bunga yang sebelumnya. Bunga ini disebut bunga berbunga. Perhitungan bunga berbunga semacam ini dapat kalian pahami melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bunga majemuk, dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat dihitung dengan cara berikut. M1 = M0 + M0 × i = M0 (1 + i) M2 = M1 (1 + i) = [M0 (1 + i)] (1 + i) = M0 (1 + i)2 M3 = M2(1 + i) = [(M0 (1 + i)2] (1 + i) = M0 (1 + i)3 M

Mt = Mt – 1(1 + i) = [M0 (1 + i)t – 1](1 + i) = M0(1 + i)t Jadi, dapat kita katakan sebagai berikut. Jika modal sebesar M0 dibungakan atas dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga i (dalam persen) per periode tertentu, besar modal pada periode ke-t (Mt) dapat ditentukan dengan rumus Mt = M0 (1 + i)t Contoh: Suatu bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 18% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp10.000.000,00 dan bank itu membungakan secara majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 2 tahun?

162


Penyelesaian: 18% = 1,5%, dan t = 24 bulan. 12 Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 2 tahun (24 bulan) adalah Mt = M0 (1 + i)t M24 = Rp10.000.000,00 (1 + 0,015)24 = Rp10.000.000,00 (1,4295028) = Rp14.295.028,12

Dari soal diketahui M0 = Rp10.000.000,00, i =

3. Anuitas Kasus utang piutang penyelesaiannya dapat dilakukan dengan berbagai cara. Salah satu cara pembayarannya dapat dilakukan dengan anuitas di samping dengan cara-cara pembayaran yang telah kalian pelajari sebelumnya (dengan bunga). Pembayaran yang dilakukan dengan anuitas akan makin kecil karena bunga yang dibayarkan juga makin kecil. Hal ini berakibat pokok pinjaman juga makin kecil. Jadi, anuitas merupakan cara pembayaran maupun penerimaan yang secara urut dalam jumlah tetap dengan jangka waktu juga tetap. Ada dua macam anuitas, yaitu anuitas pasti dan anuitas tidak pasti. Anuitas pasti mempunyai ciri khas tanggal mulai dan tanggal selesai tepat. Misalnya pembayaran utang. Pada anuitas tidak pasti, jangka pembayarannya disesuaikan keadaan. Misalnya, santunan asuransi kecelakaan. Pada kali ini, kita hanya akan membicarakan anuitas pasti. Misalnya modal sebesar M dipinjamkan dengan pembayaran n kali anuitas. Jika suku bunga yang diberikan i (dalam persen) dan besar anuitas A, besar anuitas dapat ditentukan dengan cara berikut.

0

1 A

3

2 A

.

.

A

A=

n

A(1 + i)-1

- (1 + i)

M
k =1

A(1 + i)-3

. . .

A(1 + i)–n

Perhatikan ilustrasi di samping.

n A

A(1 + i)-2

M

.

Barisan dan Deret

163

Dari ilustrasi di atas dapat dijelaskan sebagai berikut. M = A(1 + i)–1 + A(1 + i)–2 + A(1 + i)–3 + ... + A(1 + i)–n = A[((1 + i)–1 + (1 + i)–2 + (1 + i)–3 + ... + (1 + i)–n]

1 1 1 1 = A³ + + + ... + µ 2 3 (1 + i) (1 + i )n 1 + i (1 + i) Bentuk terakhir merupakan deret geometri dengan suku awal 1 1 dan rasio r = . 1+ i 1+ i Oleh karena itu, 1 £ 1 ²²1 < ³ n n a(1 < r ) ³ 1 + i ¤ (1 + i) M = A³ = A µ ³ 1 1
a=

sehingga A =

¥ ´´ µ n ¦ µ = A (1 + i) < 1 , ³ n µ µ i (1 + i ) µ µ

(1 + i )n Mi(1 + i )n = Mi . (1 + i )n < 1 (1 + i )n < 1

Jadi, besar anuitas dapat juga ditentukan dengan rumus A=

Mi(1 + i )n (1 + i )n < 1

Contoh: Pak Dani meminjam uang sebesar Rp10.000.000,00 pada suatu bank. Pelunasan dilakukan dengan cara anuitas sebanyak 10 kali. Anuitas pertama dilakukan sebulan setelah uang pinjaman diterima. Tentukan besar anuitasnya jika suku bunga yang ditetapkan bank 15% per tahun. 3 . 0 1 2 10 . . . Penyelesaian : A A A A Dari soal diketahui bahwa M = Rp10.000.000,00 i

= 15% per tahun =

15% 12

A(1 + 0,0125)–1

= 1,25% per bulan n = 10

A(1 + 0,0125)–2 10 juta A(1 + 0,0125)–3

. . .

A(1 + 0,0125)–10

164


Dengan menggunakan rumus anuitas, diperoleh

A=

Mi(1 + i) n (1 + i) n < 1

=

10.000.000(0,0125 )(1 + 0,0125)10 (1 + 0,0125)10 < 1

=

125.000(1 .0125)10 125.000(1,13227083) = = 1.070.030,74 10 (1,0125) < 1 0,13227083

Jadi, anuitasnya sebesar Rp1.070.030,74. Artinya, Pak Dani setiap bulan harus membayar ke bank sebesar Rp1.070.030,74 selama 10 bulan (sebanyak 10 kali). Problem Solving Suatu pinjaman sebesar Rp20.000.000,00 harus dilunasi dengan 10 anuitas akhir tahunan. Jika suku bunga yang ditetapkan 5%, tentukan besar anuitas. Penyelesaian: Pada soal diketahui M = Rp20.000.000,00 0 1 2 3 . . . . 10 i = 5% = 0,05 A A A A n = 10

A(1 + 0,05)–1 A(1 + 0,05)–2 20 juta A(1 + 0,05)–3

M A(1 + 0,05)–10

Dengan menggunakan rumus anuitas, diperoleh A =

M n

- (1 + i)
k =1

=

Rp 20.000.000,00 10

- (1 + 0,05)< k

k =1

Barisan dan Deret

Nilai

1

165

= 0,12950457 (diperoleh dari tabel)

10

- (1 + 0, 05)

k =1

Dengan demikian, besar anuitas adalah A = Rp20.000.000,00 × 0,12950457 = Rp2.590.091,40 Jadi, besarnya anuitas adalah Rp2.590.091,40. Artinya, peminjam setiap tahun harus membayar sebesar Rp2.590.091,40 selama 10 tahun (sebanyak 10 kali). Lebih lanjut lagi, kalian dapat menyajikan tabel rencana angsuran yang berkaitan dengan anuitas ini. Adapun bentuknya adalah sebagai berikut. Misalkan sisa pinjaman pada saat i adalah Hi, i = 1 sampai dengan n dan besar angsuran ai, untuk i = 1 sampai n. Tabel Rencana Angsuran Akhir Periode

Sisa Pinjaman

Anuitas

Beban Bunga di Akhir Periode

Besar Angsuran a1 = A – iH1 a2 = A – iH2 a3 = A – iH3

1 2 3

H1 = M H2 = H1 – a1 H3 = H2 – a2

A A A

iH1 iH2 iH3

M

M

M

M

n

Hn = Hn–1 – an–1

A

iHn

M

an = A – iHn

Jika dijabarkan lebih lanjut, besarnya angsuran tiap periode adalah a1 = (A – iM) a2 = (A – iM)(1 + i) a3 = (a – iM)(1 + i)2 M

an = (a –iM)(1 + i)n–1 dan Hn = 0 Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh: Misalkan sebuah pinjaman sebesar Rp1.000.000,00 dilunasi dengan anuitas. Pinjaman itu akan dilunasi dengan 5 kali anuitas. Anuitas pertama dibayarkan sesudah 1 periode dengan suku bunga 15% per periode. Dari informasi ini, tentukan:

166

a. b.


besar anuitas; tabel rencana angsuran.

Penyelesaian: a. Diketahui, M = 1.000.000 n =5 i = 15% A = Mi

(1 + i )n (1 + i )n < 1

(1 + 0,15)5 (1 + 0,15)5 < 1 = 1.000.000 x 0,29831555 = 298.315,55 Jadi, besar anuitas Rp298.315,55. = 1.000.000 × 0,15 ×

b.

Tabel rencana angsuran Akhir Periode

Sisa Pinjaman

Anuitas

1 2 3 4 5

Rp1.000.000,00 Rp851.684,45 Rp681.121,57 Rp484.974,26 Rp259.404,85

Rp298.315,55 Rp298.315,55 Rp298.315,55 Rp298.315,55 Rp298.315,55

Uji Kompetensi 10 1.

2.

3.

4.

Beban Bunga Besar Angsuran di Akhir Periode Rp150.000,00 Rp127.752,67 Rp102.168,24 Rp72.746,14 Rp38.910,73

Rp148.315,55 Rp170.562,88 Rp196.147,31 Rp225.569,41 Rp259.404,85


Pak Tohir meminjam uang sebesar Rp2.000.000,00 pada Koperasi Jaya. Koperasi menetapkan suku bunga tunggal 3% per bulan. Berapa jumlah uang yang harus dia kembalikan jika jangka pengembaliannya 1 tahun? Bu Dani meminjam uang di Bank Lancar sebesar Rp15.000.000,00. Dalam satu bulan uang tersebut harus dikembalikan dengan jumlah Rp15.750.000,00. Tentukan: a. tingkat (suku) bunga tunggal; b. berapa jumlah uang yang harus dikembalikan Bu Dani jika dia meminjam selama satu tahun? Bu Yanti menyimpan uang di suatu bank yang memberikan bunga majemuk dengan tingkat suku bunga 4% per tahun. Berapa jumlah uang Bu Yanti pada akhir tahun ke-6? Pada setiap awal bulan, seorang anak menabung sebesar Rp25.000,00 di suatu bank. Setiap bulan ia mendapatkan bunga majemuk sebesar 8%. Pada akhir bulan ke-12, semua uangnya diambil. Berapakah jumlah uang yang diambilnya?

Barisan dan Deret

167

5.

Nova menabung uangnya di bank Rp1.000.000,00 setiap tahun. Bank tersebut memberikan bunga dengan sistem bunga majemuk sebesar 12% per tahun. Berapakah jumlah uangnya setelah ditabung selama 25 tahun? 6. Suatu bank memberikan bunga 12% untuk tabungan dan menerima bunga dari pinjaman sebesar 15% per tahun dengan sistem bunga majemuk. Tentukan keuntungan bank itu dalam 15 tahun untuk setiap Rp10.000,00. 7. Pak Wayan meminjamkan uang Rp2.000.000,00 kepada seorang peminjam dengan perjanjian bunga majemuk. Jika suku bunga yang diberikan Pak Wayan 5,2% per tahun, tentukan uang yang harus dikembalikan peminjam selama jangka peminjaman 8 bulan. 8. Suatu modal sebesar Rp12.000.000,00 dipinjamkan dengan suku bunga 2,5% per bulan. Modal itu harus dilunasi dalam 10 anuitas. Anuitas pertama dilakukan sebulan setelah uang diterima peminjam. Tentukan besarnya anuitas. Buatlah tabel rencana angsuran. 9. Sebuah dealer sepeda motor mengkreditkan sebuah motor seharga Rp17.000.000,00 kepada Tuan Indra. Sepeda ini harus dilunasi dalam 24 anuitas bulanan. Jika suku bunga yang diberikan pihak dealer 3%, tentukan besar anuitasnya. 10. Sebuah pinjaman Rp1.000.000,00 akan dilunasi dengan anuitas. Besar anuitas Rp200.000,00 tiap akhir bulan. a. Sesudah berapa lama pinjaman akan lunas? b. Buatlah tabel rencana angsurannya. Refleksi Coba perhatikan kembali barisan dan deret yang telah kalian pelajari. Kemudian, bandingkan dengan deret hitung keuangan. Kesimpulan apakah yang kalian

peroleh dengan adanya hubungan antara deret dan ilmu hitung keuangan? Manfaat apa yang kalian peroleh setelah mempelajari materi ini?

Rangkuman 1.

2.

3. 4.

Rumus umum barisan aritmetika baku adalah Un = a + (n – 1)b, dengan Un = suku ke-n, a = suku pertama, b = beda, dan n = nomor suku. Jumlah n suku suatu deret aritmetika adalah 1 1 Sn = n(2a + (n – 1)b) atau Sn = n(a + Un). 2 2 Rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah Un = arn–1, dengan Un = suku ken, a = suku pertama, r = rasio, dan n = nomor suku. Rumus umum jumlah n suku pertama deret geometri adalah

a(r n < 1) a(1 < r n ) , untuk r < 1 atau , untuk r > 1. S = Sn = n r <1 1
168



Latihan Ulangan Harian IV


Di antara pernyataan-pernyataan berikut yang benar adalah .... n

a.

n

n

- Ai Bi = - Ai × - Bi

i =1 n

b.

i =1

i= 4

n

3

- ( Ai + Bi ) = - Ai + - Bi

i =1

i =1

i =4

n

c.

4.

n

n

i =1

i =1

5.

-( Ai + Bi )Ci = - Ai Ci + - Bi Ci i =1

n

-B Ai i =1 i = n i =1 Bi - Bi n

d.

-

i =1

e. 2.

n

n

i =1

i =1

- 32 = 3 - i 2

6.

Diketahui barisan bilangan 5, 6, 9, 14, 21, .... Jumlah seluruh barisan itu dapat dinyatakan dengan .... a.

- (k + 5)

d.

k =1

n

b.

- (k + 5)2

k =1 n

- (2k + 5)

e.

k =1

- (k 2 + 5)

k =1

n

c.

- (k 2 + 5)

8.

k=0

n

3.

7.

n

n

n

n

Jika - xi = 10, - y i = 25, dan - zi = i =1

i =1

i =1

20, di antara berikut ini yang benar adalah .... a.

n £ ¥ < 98 x - ²² i < zi ´´ = i =1 y 5 ¦ ¤ i n

b.

- ( xi + y i < zi ) = 15

i =1 n

c.

- xi ( yi < z i ) = 230

i =1 n

d.

- x i y i zi = 5.000

i =1 n

e.

n

2

- xi < - x i = < 90

i =1

i =1

9.

Diketahui suku ke-n suatu barisan adalah Un = n2 – 8n. Jika suku terakhir 20, banyaknya suku barisan itu adalah .... a. 7 d. 15 b. 10 e. 17 c. 12 Diketahui suku kedua suatu barisan adalah –3 dan suku kelimanya adalah 3. Jika suku ke-n barisan itu dirumuskan Un = an + b, suku ke-15 adalah .... a. 25 d. 20 b. 24 e. 15 c. 23 Diketahui suatu barisan aritmetika dengan beda 3. Jika U10 = 31 maka U21 = .... a. 34 d. 64 b. 44 e. 45 c. 54 Jika U11 dan U41 dari suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 38 dan 128 maka U51 = .... a. 148 d. 164 b. 15 e. 195 c. 160 Di antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, ... disisipkan 4 buah bilangan sehingga membentuk barisan aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama barisan aritmetika yang terbentuk adalah .... a. 78 d. 87 b. 81 e. 91 c. 84 Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku membentuk barisan aritmetika. Jika sisi terpendeknya 21 cm maka sisi terpanjangnya adalah .... a. 28 cm b. 30 cm c. 35 cm d. 36 cm e. 38 cm

Barisan dan Deret

10. Dari suatu deret aritmetika, diketahui U6 + U9 + U12 + U15 = 20. Jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah .... a. 50 b. 80 c. 100 d. 230 e. 200 11. Diketahui suku terakhir dari barisan aritmetika adalah 47, sedangkan jumlah keseluruhan suku-sukunya adalah 285. Jika suku pertama barisan itu –9, banyak suku barisan itu adalah .... a. 10 d. 20 b. 12 e. 23 c. 15 12. Jika barisan geometri dengan U1 = A dan U11 = B maka U6 = .... a.

A AB

b.

A

c.

A A

A B

d.

AB 2

e.

B

16.

17.

A B

13. Diketahui a + 1, a – 2, a + 3 membentuk barisan geometri. Agar ketiga suku ini membentuk barisan aritmetika, suku ketiga harus ditambah dengan .... a. 8 d. –6 b. 6 e. –8 c. 5 14. Diketahui a, b, dan c membentuk deret geometri dengan jumlah 26. Jika suku tengah ditambah 4, akan membentuk deret aritmetika. Jumlah 10 suku pertama dari deret aritmetika yang terbentuk adalah .... a. 260 b. 286 c. 340 d. 380 e. 364 15. Jumlah penduduk suatu wilayah setiap 8 tahun bertambah 100%. Jika pada awal tahun 2006 jumlah penduduk mencapai

18.

19.

169

4.800.000 orang, pada awal tahun 1974 sudah mencapai ... orang. a. 150.000 b. 200.000 c. 300.000 d. 400.000 e. 600.000 Diketahui modal sebesar Rp30.000.000,00 dipinjamkan dengan suku bunga 2% per tahun dengan pembayaran 8 kali anuitas tahunan. Besar anuitas adalah .... a. Rp3.641.654,41 b. Rp4.641.654,41 c. Rp5.641.654,41 d. Rp5.564.165,41 e. Rp6.661.561,41 Pada tahun pertama seorang karyawan mendapat gaji Rp300.000,00 per bulan. Jika setiap tahun gaji pokoknya dinaikkan sebesar Rp25.000,00 maka jumlah gaji pokok karyawan itu selama 10 tahun adalah .... (UAN SMK 2003) a. Rp37.125.000,00 b. Rp38.700.000,00 c. Rp39.000.000,00 d. Rp41.125.000,00 e. Rp49.500.000,00 Suku ke-3 dan ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut adalah 8 dan 32. Suku ke-7 barisan itu adalah .... a. 64 b. 120 c. 128 d. 240 e. 256 Di suatu daerah pemukiman baru tingkat pertumbuhan penduduk adalah 10% per tahun. Kenaikan jumlah penduduk dalam waktu 4 tahun adalah .... (UMPTN 1998) a. 40,0% b. 42,0% c. 43,8% d. 46,4% e. Rp61,6%

170


20. Seorang karyawan menabung dengan teratur setiap bulan. Uang yang ditabung setiap bulan selalu lebih besar dari bulan sebelumnya dengan selisih yang sama. Apabila jumlah seluruh tabungannya dalam 12 bulan pertama adalah 192 ribu rupiah dan dalam 20 bulan pertama adalah 48 ribu rupiah maka besar uang yang ditabung pada bulan kesepuluh adalah .... (UMPTN 1998) a.

47 ribu rupiah d.

b.

28 ribu rupiah e.

177 ribu rupiah 8 23 ribu rupiah 2

c. 23 ribu rupiah 21. Dari sebuah deret aritmetika diketahui bahwa jumlah 4 suku pertama, S4 = 17 dan jumlah 8 suku pertama, S8 = 58. Suku pertamanya adalah .... a. 1 d. 4 b. 2 e. 5 c. 3 22. Semua bilangan genap positif dikelompokkan seperti berikut (2), (4, 6), (8, 10, 12), (14, 16, 18, 20), ... Bilangan yang terdapat di tengah pada kelompok ke-15 adalah .... a. 170 d. 258 b. 198 e. 290 c. 226

23. Jumlah bilangan-bilangan bulat antara 250 dan 1.000 yang habis dibagi 7 adalah .... a. 45.692 d. 73.775 b. 54.396 e. 80.129 c. 66.661 24. Akar-akar dari x2 + kx + 8 = 0 adalah x1 dan x2, dengan x1 > 0, x2 > 0, dan x1 < x2. Agar x1, x2, 3x1 berturut-turut suku pertama, suku kedua, dan suku ketiga dari deret aritmetika maka nilai k = .... a. 6 d. –2 b. 4 e. –4 c. 2 25. Seorang pemilik kebun memetik jeruk dan mencatatnya setiap hari. Ternyata banyak jeruk yang dipetik pada hari ken memenuhi rumus U n = 80 + 20n. Banyak jeruk yang dipetik selama 18 hari pertama adalah .... a. 4.840 buah b. 4.850 buah c. 4.860 buah d. 4.870 buah e. 4.880 buah

II. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan tepat. 1.

2.

3.

Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika dengan jumlah 36 dan hasil kalinya 1.536. Tentukan bilangan terbesarnya. Banyaknya suku suatu deret aritmetika adalah 15, suku terakhir adalah 47 dan jumlah deret tersebut sama dengan 285. Tentukan suku pertama deret ini. Persamaan 2x2 + x + k = 0 mempunyai x1 x 2 2 membentuk suatu deret geometri, tentukan suku ke-4 deret geometri tersebut.

akar-akar x1 dan x2. Jika x1, x2,

4.

5.

Tentukan batas nilai suku pertama a dari suatu deret geometri tak berhingga agar deret tersebut konvergen dengan jumlah 2. Modal sebesar Rp3.000.000,00 dibungakan atas dasar bunga majemuk 10% per tahun dengan penggabungan modal dan bunganya setiap triwulan. Modal dibungakan selama 6 tahun. Tentukan: a. besar suku bunga setiap periode bunga (3 bulan); b. banyaknya periode bunga.

Latihan Ujian Nasional


171


Pilihlah jawaban yang tepat. 1. Akar-akar persamaan kuadrat 2x2 – 6x – k x12

2.

3.

4.

5.

x22

< = 15, = 0 adalah x1 dan x2. Jika nilai k = .... a. 10 d. 8 b. 8 e. –10 c. 6 Agar persamaan kuadrat x2 + ax + a = 0 mempunyai akar-akar yang sama, nilai a yang memenuhi adalah .... a. a = 0 atau a = 4 b. 0 ) a ) 4 c. a < 0 atau a > 4 d. 0 < a < 4 e. 0 < a < 1 Pertidaksamaan x 2 – 2x – 8 ) 0 mempunyai penyelesaian .... a. x ) –2 atau x * 4 b. x ) 2 atau x * 4 c. –2 ) x ) 4 d. x ) 4 atau x * 2 e. –4 ) x ) 2 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan |3x + 2| > 5 adalah .... 1 a. {x | x < < atau x > 0} 3 7 b. {x | x < < atau x > 1} 3 c. {x | x < –1 atau x > 1} 1 d. {x | x < < atau x > 1} 2 1 e. {x | x < < atau x > 0} 4 Jika a = 7log 2 dan b = 2log 3 maka 6log 98 adalah .... 1 2+a (1 + 2b) a. d. a a(b + 1) b. c.

1+ a (1 + b)a 2a + b

e.

1 (a + 2) b

6. Himpunan penyelesaian dari 2 log (x2 – 3x + 7) = 2log (3x + 2) adalah .... a. {5, 2} d. {1, 1} b. {5, 1} e. {0, 7} c. {1, 2} 7. Fungsi f: R A R dan g: R A R 1 dirumuskan dengan f(x) = x < 1 dan 2 g(x) = 2x + 4. Nilai (g º f)–1(10) adalah .... a. 4 d. 12 b. 8 e. 16 c. 9 8. Jika f(x) = 2x dan (f º g)(x) =

<x + 1 maka 2

g(x) = .... 1 1 d. a. x <1 ( x < 2) 2 4 1 1 b. e. < ( x + 2) x +1 2 4 1 1 c. < x + 4 2 9. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R ke R. Jika f(x) = 2x + 1 dan (f º g)(x) = 4x – 5 maka nilai g(–2) sama dengan .... a. –9 d. 1 b. –7 e. 3 c. –5 10. Misalkan fungsi f ditentukan dengan 3x + 4 1 rumus f(x) = , dengan x & . 2x < 1 2 Fungsi invers dari f(x) adalah f–1(x) .... 2x <1 2x < 3 a. d. 3x + 4 x+4 x + 4 x+4 b. e. 2x < 3 2x + 3 3x < 4 c. 2x +1

172


11. Misalkan fungsi f(x) =

x <1 , 2x + 2

dengan x & –1. Fungsi inversnya adalah f–1(x) = .... 1 < 2x a. 1 + 2x 2x +1 b. 2x <1 2x <1 c. 2x +1 d. 1 + 2 x 1 < 2x <2 x + 1 e. 2x +1 12. Fungsi-fungsi f(x) dan g(x) masingmasing mempunyai fungsi invers f–1(x) = x +1 2<x dan g –1 (x) = . Nilai dari 2 3 (f º g) –1 (3) sama dengan .... a. –2 d. 1 b. –1 e. 3 c. 0 13. Persamaan garis yang melalui titik (4, 3) dan sejajar dengan garis 2x + y + 7 = 0 adalah .... a. 3x + 2y – 14 = 0 b. y – 2x + 12 = 0 c. 2x + y – 10 = 0 d. y + 2x – 11 = 0 e. 2y – x – 2 = 0 14. Persamaan garis yang melalui titik (–2, 1) dan tegak lurus dengan garis

x y a. b. c. d. e.

= 3 adalah .... y = 3(x – 2) + 1 y = –3(x – 2) + 1 y = –3(x – 2) – 1 y = –3(x + 2) + 1 y = 3(x – 2) – 1

15. Perhatikan sistem persamaan linear berikut. 4x + y + 3z = 10 6x – 5y – 2z = 2 5x + 3y + 7z = 13 Nilai x + y + z = .... a. 7 d. 2 b. 5 e. 0 c. 3 16. Agar garis y = mx + 8 menyinggung persamaan parabola y = x2 – 8x + 12, nilai m adalah .... a. 4 atau 12 d. –4 atau –12 b. –4 atau 12 e. 6 atau –12 c. 4 atau –12 17. Sebuah kotak berisi 10 buah bola yang terdiri atas 2 bola berwarna putih, 5 bola berwarna merah, dan 3 bola berwarna biru. Pada pengambilan 3 buah bola sekaligus dari kotak tersebut, peluang terambil 2 bola berwarna merah dan 1 bola berwarna biru adalah .... 1 1 a. d. 2 8 1 2 b. e. 4 3 1 c. 6 18. Suatu pertemuan dihadiri oleh 7 orang yang duduk di suatu tempat dengan susunan melingkar. Banyaknya susunan cara duduk dari ketujuh orang tersebut adalah .... a. 5.040 d. 60 b. 720 e. 24 c. 120 19. Suatu data memiliki pola 2n, dengan n bilangan asli. Jika mean dari

10

- 2n = A ,

n =1

nilai mean dari suatu data baru dengan 10

pola

- (2n + 1) adalah ....

n =1


a. A b. 2A c. A + 1

d. 2A + 1 e. A + 10

x 2 < 8x + 7 = .... x A1 x2 <1 a. –6 d. 3 b. 0 e. –7 c. –3

20. lim

a. b. c. d. e.

f'(x) = x6 + x4 – x2 f'(x) = x6 – x4 + x2 f'(x) = 6x5 + 4x3 + 2x f'(x) = 6x5 + 4x3 – 2x f'(x) = 6x5 – 4x3 + 2x

26. Turunan dari fungsi f(x) = x & <

b. f'(x) =

<11 (2 x + 1)2

ax m < b 22. Nilai dari lim n sama dengan .... x A' cx + d a. 0 untuk m = 1 dan n = 0 b b. untuk setiap m dan n d a untuk setiap m dan n c. c b d. jika m = n d a jika m = n e. c

c. f'(x) =

3x < 4 (2 x + 1)2

d. f'(x) =

5x < 3 (2 x + 1)2

e. f'(x) =

5 (2 x + 1)2

x A'

a. –1

d.

b. 0

e.

2 1 2

c. 1 24. Jika f(x) = 3(2x – 3)3 maka f'(x) = .... a. 9(2x – 3)2 b. 18(2x – 3)2 c. 9(2x – 3) d. 3(6x – 3)2 e. 18(3x – 3)2 25. Misalkan fungsi f(x) = (x4 – 1)(x2 + 1). Turunan dari fungsi f(x) adalah ....

5x < 3 , dengan 2x +1

1 adalah .... 2 11 a. f'(x) = (2 x + 1)2

x 2 + 3 x < 20 21. Nilai dari lim sama dengan x A' x 2 < 7x .... a. 0 d. 3 b. 1 e. 6 c. 2

23. lim{ x 2 + x < x} = ....

173

27. Persamaan garis singgung kurva y = x3 – x2 + 6 di titik dengan absis –2 adalah .... a. 16x – y + 36 = 0 b. 16x + y + 36 = 0 c. 16x – y – 36 = 0 d. 16x – y + 28 = 0 e. 16x + y + 28 = 0 9 2 x +3. 2 Grafik fungsi f(x) turun pada interval .... a. x < 0 atau x > 3 b. 0 < x < 3 c. –3 < x < 0 d. x < 0 e. x > 3 29. Nilai minimum fungsi f(x) = x3 – 6x2 pada interval tertutup –1 ) x ) 5 adalah .... a. f(–1) d. f(4) b. f(0) e. f(5) c. (2)

28. Misalkan fungsi f(x) = x 3 <

174


30. Panjang suatu persegi panjang adalah x dan lebarnya y dengan hubungan x + 2y = 2a. Luas persegi panjang itu akan maksimum jika .... 1 1 d. y = a a. x = y = a 2 2 1 b. y = 2a e. x = a 2 c. x = 2a 31. Misalkan suatu parabola ditentukan oleh persamaan y = 4 – x2, dengan y * 0. Titik P(x, y) terletak pada parabola itu. Panjang OP terpendek adalah .... 1 1 11 17 d. a. 2 2 1 1 13 19 b. e. 2 2 1 15 c. 2 32. Bentuk sederhana dari a. 3 + 2 3 b. 3 < 2 3 c. 2 + 2 3

8+4 3 8<4 3

= ....

d. 2 < 3 e. 2 + 3

33. Dengan perbandingan proyeksi 3 , garis 4 ortogonal sepanjang 8 cm digambar sepanjang ... cm. a. 4 d. 7 b. 5 e. 8 c. 6 34. Pernyataan berikut yang sesuai tentang sudut surut adalah .... a. searah jarum jam b. berlawanan arah jarum jam c. tergantung pada perbandingan proyeksi d. tergantung pada panjang garis frontal e. tergantung pada panjang garis vertikal

35.

H

G

E

F

C

D A

B

2a

Pada gambar kubus di atas, jarak antara titik A dan bidang EBD adalah .... 1 1 a 3 d. a. a 3 6 3 2 1 a 3 a 3 b. e. 3 2 4 a 3 c. 3 36. Perhatikan gambar berikut. H G E

D

C F

A

B

Pada gambar prisma segi empat di atas, pasangan-pasangan rusuk berikut yang merupakan pasangan rusuk bersilangan adalah .... a. EF dengan AB dan AD dengan BF b. AB dengan BF dan BC dengan EA c. GH dengan DC dan EF dengan AB d. AB dengan DH dan BF dengan DC e. FG dengan AD dan EF dengan HG 37. Tiga buah bilangan membentuk deret aritmetika, dengan jumlah 30. Jika suku ke-2 dikurangi 2 membentuk deret geometri, suku ke-5 deret geometri yang terbentuk adalah .... a. 54 d. 66 b. 58 e. 69 c. 64


38. Jumlah seratus bilangan asli ganjil pertama adalah .... a. 200 d. 15.000 b. 1.500 e. 15.430 c. 10.000 39. Jumlah deret tak berhingga 15 45 3 135 4 5 p < p2 + p < p + ... 4 16 64 sama dengan 4. Nilai p adalah .... 1 a. 4 d. 2 1 b. 2 e. 4 c. 1 40. Jumlah deret geometri tak berhingga 2 2 6 < 2 + < + ... sama dengan .... 3 9 9 a. 18 d. 3 9 b. 9 e. 4 9 c. 2 41. Tiga bilangan membentuk barisan geometri. Jumlah ketiga bilangan itu 28 dan hasil kalinya 512. Ketiga bilangan itu adalah .... a. 5, 9, dan 16 d. 3, 8, dan 17 b. 4, 8, dan 16 e. 5, 10, dan 18 c. 2, 6, dan 20 42. Jumlah 15 suku pertama dari deret 5 + 10 + 15 + ... adalah .... a. 400 d. 800 b. 500 e. 1.000 c. 600 43. Akar-akar persamaan x2 – bx + 15 = 0 adalah x 1 dan x 2 . Jika x 1, x 2, dan 7 membentuk barisan aritmetika, nilai b = .... a. –8 d. 5 b. –4 e. 8 c. 4

175

44. Jumlah 10 suku pertama dari deret 3 + 9 + 27 + ... adalah .... a. 88.573 d. 82.857 b. 88.275 e. 57.828 c. 85.873 45. Negasi dari pernyataan ”Setiap siswa SMA berseragam putih abu-abu” adalah .... a. Setiap siswa SMA tidak berseragam putih abu-abu b. Tidak ada siswa SMA yang berseragam putih abu-abu c. Ada beberapa siswa SMA yang tidak berseragam putih abu-abu d. Ada beberapa siswa SMA yang berseragam putih abu-abu e. Setiap siswa SMA berseragam bukan putih abu-abu 46. Matriks X yang memenuhi persamaan £ 4 2¥ £ 10 4 ¥ X² ´ =² ´ adalah .... ¤ 3 1¦ ¤ 27 11¦ £ 1 3¥ ´ a. ² ¤ 5 4¦

£ 1 2¥ ´ d. ² ¤ 3 5¦

£ <1 3¥ ´ b. ² ¤ 2 5¦

£ 1 2¥ ´ e. ² ¤ 5 3¦

£ 1 3¥ ´ c. ² ¤ 2 5¦ a ¥ £a < b 47. Matriks ² ´ tidak mempunyai a + b¦ ¤ a

invers jika .... a. a dan b sembarang b. a, b & 0 dan a = b c. a = 0 dan b sembarang d. a, b, & 0 dan a = –b e. b = 0 dan a sembarang £ 1 3 2¥ 48. Diketahui matriks A = ² 2 6 2´ . Nilai ² ´ ¤ 5 9 4¦ dari (det A)2 – 3 det A = ....

176


program linear. Nilai maksimum fungsi objektif z = 2x + 5y pada gambar di samping adalah .... a. 6 d. 15 b. 7 e. 29 c. 10

a. 110 d. 180 b. –108 e. –180 c. 108 49. Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear ¨( a < b) x + ay = 1 © ªax + ( a + b) y = 1

53.

memiliki anggota yang tak berhingga banyaknya jika .... a. a dan b sembarang b. a & 0, b & 0, a = b c. a & 0, b & 0, dan a = –b d. a = 0 dan b & 0 e. b = 0 dan a & 0 50. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear ¨x < y + z = 5 « ©<2 x + y + z = 6 «3 x < 2 y + 2 z = 11 ª adalah .... a. {(2, 1, 6)} d. {(1, 2, 6)} b. {(2, 6, 1)} e. {(6, 1, 2)} c. {(1, 6, 2)} 51. Parabola y = ax2 + bx + c melalui titiktitik (1, 2), (2, 4), dan (3, 8). Persamaan parabola itu adalah .... a. y = x2 + x + 2 d. y = x2 – x – 2 b. y = x2 + x – 2 e. y = –x2 + x + 2 c. y = x2 – x + 2 52. Y E (2, 5)

Y 6 y2 = x

O

O

B (1, 1) C (3, 0)

D (5, 1) X

Daerah yang tidak diarsir adalah daerah himpunan penyelesaian permasalahan

X

Luas daerah yang diarsir pada gambar di samping adalah ... satuan luas. 2 2 d. 10 a. 4 3 3 2 b. 8 e. 12 3 c. 10 54. Jika fungsi f(x) = 2x3 + 3x2 + ax + b melalui titik P(1, 5) dan turun pada interval c < x < 1, nilai a + b + c = .... a. 0 d. 1 b. –1 e. 2 c. –2 55. Setiap awal tahun Budi menyimpan modal sebesar Rp1.000.000,00 pada suatu bank dengan bunga majemuk 15% per tahun. Jumlah modal tersebut setelah akhir tahun kelima adalah .... a. Rp1.000.000,00 . (1,15)5 b. Rp1.000.000,00 .

A (0, 2)

6

(1,155 < 1) 0,15

(1,154 < 1) c. Rp1.000.000,00 . 0,15

d. Rp1.150.000,00 .

(1,155 < 1) 0,15

e. Rp1.150.000,00 .

(1,154 < 1) 0,15


177

Daftar Pustaka

____. 1997. Geometri II. Surakarta: Universitas Sebelas Maret Press. Anton, Howard dan kolman, Bernard. 1982. Mathematics with Application for the Management, Life, and social Sciences, 2nd ed. New York: Academic Press. Bartle, Robert G. 1994. Introduction to Real Analysis. New York: John Willey and Sons. Berry, John, etc. 2003. A-Z Mathematics. New York: McGraw-Hill, Inc. Budhi, Wono Setya. 2003. Model Buku Pelajaran Matematika Sekolah Menengah Atas. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas. Earl, B. 2002. IGCSE Chemistry. London: John Murray, Ltd. Howard, R.D. 1993. Mathematics in Actions. London: Nelson Blackie, Ltd. Isabelle van Welleghem. 2007. Ensiklopedia Pengetahuan. Solo: Tiga Serangkai. Junaedi, Dedi, dkk. 1998. Intisari Matematika Dasar SMU. Bandung: Pustaka Setia. Kerami, Djati dkk. 2002. Kamus Matematika. Jakarta: Balai Pustaka. Kerami, Djati dkk. 2002. Kamus Matematika. Jakarta: Balai Pustaka. Koesmartono dkk. 1983. Matematika Pendahuluan. Bandung: Penerbit ITB. Kreyszig, E. 1988. Advanced Enginering Mathematics. New York: John Wiley & Son. Murray, Spiegel. 1972. Statistics. New York: McGraw-Hill, Inc. Murray, Spiegel. 1981. Vector Analysis. Singapore: McGraw-Hill, Inc. Murray, Spiegel. 2000. Probability and Statistics. New York: McGraw-Hill, Inc. Negoro, S.T. dkk. 2007. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia. Neswan, Oki dan Setya Budi, W. 2003. Matematika 1–3 untuk SMA. Bandung: Penerbit ITB. Peperzak O.F.M., Tjokroseputro. 1961. Aldjabar. Djakarta: PN Pradnja Paramita. Pimentall, Ric and Wall, T. 2002. IGCSE Mathematics. London: John Murray. Purcell, Edwin J. 1987. Calculus with Analitic Geometry. London: Prentice-Hall International, Inc.

178


Sembiring, Suwah. 2002. Olimpiade Matematika untuk SMU. Bandung: Yrama Widya. Siswanto. 1997. Geometri I. Surakarta: Universitas Sebelas Maret Press. Steffenson dan Johnson. 1992. Essential Mathematics for College Students. New York: Harper Collins Publishers. Sukirman. 1996. Geometri Analitik Bidang dan Ruang. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan, Direktorat Jenderal Pendidikan Dasar dan Menengah, UT. Sullivan, M. 1999. Precalculus. Upper Saddle River: Prentice-Hall. Susianto, Bambang. 2004. Olimpiade dengan Proses Berpikir. Jakarta: Grasindo.

Lampiran

Lampiran n

3 % 4

179

TABEL Bunga Majemuk (1 + i)n

1%

1

1 % 4

1

1 % 2

1

3 % 4

2%

1 2 3 4 5

1,0075 0000 1,0150 5625 1,0226 6917 1,0303 3919 1,0380 6673

1,0100 0000 1,0201 0000 1,0303 1000 1,0406 0401 1,0510 1005

1,0125 0000 1,0251 5625 1,0379 7070 1,0509 4534 1,0640 8215

1,0150 0000 1,0302 2500 1,0456 7838 1,0613 6355 1,0772 8400

1,0175 0000 1,0353 0625 1,0534 2411 1,0718 5903 1,0906 1656

1,0200 0000 1,0444 0000 1,8612 3116 1,0824 3116 1,1040 0000

6 7 8 9 10

1,0458 5224 1,0536 9613 1,0615 9885 1,0695 6084 1,0775 8225

1,0615 2015 1,0721 3535 1,0828 5671 1,0936 8527 1,1046 2213

1,0773 8318 1,0908 5047 1,1044 8610 1,1182 9218 1,1322 7083

1,0934 4326 1,1098 4491 1,1264 9259 1,1433 8998 1605 4883

1,1097 0235 1,1291 2215 1,1488 8170 1,1689 8721 1,1894 4449

1,1261 6242 1,1486 8567 1,1716 3938 1,1950 9257 1,2189 9441

11 12 13 14 15

1,0856 6441 1,0938 0690 1,1020 1045 1,1102 7553 1,1186 0259

1,1156 6835 1,1268 2503 1,1380 9328 1,1494 7421 1,1609 6896

1,1464 2422 1,1607 5452 1,1752 6395 1,1899 5475 1,2048 2918

1,1779 4894 1,1956 1817 1,2135 5244 1,2317 5573 1,2502 3207

1,2102 5977 1,2314 3931 1,2529 8950 1,2749 1682 1,2972 2786

1,2633 7431 1,2682 4179 1,2936 0663 1,3194 7876 1,3455 6834

16 17 18 19 20

1,1269 9211 1,1354 4455 1,1439 6039 1,1525 4009 1,1611 8414

1,1725 7864 1,1843 0443 1,1961 4748 1,2081 0895 1,2201 9004

1,2198 8955 1,2351 3817 1,2505 7739 1,2662 0961 2820 3723

1,2689 8555 1,2880 2033 1,3073 4064 1,3269 5075 1,3468 5501

1,3199 2935 1,3430 2811 1,3665 3111 1,3904 4540 1,4147 7820

1,3727 8571 1,4002 4142 1,4282 4625 1,4568 1117 1,4859 4740

21 22 23 24 25

1,1698 9302 1,1786 6722 1,1875 0723 1,1964 1353 1,2053 8663

1,2323 9194 1,2447 1586 1,2571 6302 1,2697 3465 1,2824 3200

1,2980 6270 1,3142 8848 1,3307 1709 1,3473 5105 1,3641 9294

1,3670 5783 1,3875 6370 1,4083 7715 1,4295 0281 1,4509 4535

1,4395 3681 1,4647 2871 1,4903 6146 1,5164 4279 1,5429 8054

1,5156 6634 1,5459 7967 1,5768 9926 1,6084 3725 1,6406 0599

26 27 28 29 30

1,2144 2703 1,2235 3523 1,2327 1175 1,2419 5709 1,2512 7176

1,2952 5631 1,3082 0888 1,3212 9097 1,3345 0388 1,3478 4892

1,3812 4535 1,3985 1092 1,4159 9230 1,4336 9221 1,4516 1336

1,4727 0953 1,4948 0018 1,5172 2218 1,5399 8051 1,5630 8022

1,5699 8269 1,5974 5739 1,6254 1290 1,6538 5762 1,6828 0013

1,6734 1811 1,7068 8648 1,7410 2421 1,7758 4469 1,8113 6158

31 32 33 34 35

1,2606 5630 1,2701 1122 1,2796 3706 1,2892 3434 1,2989 0359

1,3613 2740 1,3749 4068 1,3886 9009 1,4025 7699 1,4166 0276

1,4697 5853 1,4881 3051 1,5067 3214 1,5255 6629 1,5446 3587

1,5865 2642 1,6103 2432 1,6344 7918 1,6589 9637 1,6838 8132

1,7122 4913 1,7422 1349 1,7727 0223 1,8037 2452 1,8352 8970

1,8475 8882 1,8845 4059 1,9222 3140 1,9606 7603 1,9998 8953

36 37 38 39 40

1,3086 4537 1,3184 6021 1,3283 4866 1,3383 1128 1,3483 4861

1,4307 6878 1,4450 7647 1,4595 2724 1,4741 2251 1,4888 6373

1,5639 4382 1,5834 9312 1,6032 8678 1,6233 2787 1,6436 1946

1,7091 3954 1,7347 7663 1,7607 9828 1,7872 1025 1,8140 1841

1,8674 0727 1,9000 8689 1,9333 3841 1,9671 7184 2, 0015 9734

2,0398 8734 2,0806 8309 2,1222 9879 2,1647 4477 2,2080 3966

41 42 43 44 45

1,3584 6123 1,3686 4969 1,3789 1456 1,3892 5642 1,3996 7584

1,5037 5237 1,5187 8989 1,5339 7779 1,5493 1757 1,5648 1075

1,6641 6471 1,6849 6677 1,7060 2885 1,7273 5421 1,7489 4614

1,8412 2868 1,8688 4712 1,8968 7982 1,9253 3302 1,9542 1301

2,0366 2530 2,0722 6624 2,1085 3090 2,1454 3019 2,1829 7522

2,2522 0046 2,2972 4447 2,3431 8936 2,3900 5314 2,4378 5421

46 47 48 49 50

1,4101 7341 1,4207 4971 1,4314 0533 1,4421 4087 1,4529 5693

1,5804 5885 1,5962 6344 1,6122 2608 1,6283 4834 1,6446 3182

1,7708 0797 1,7929 4306 1,8153 5485 1,8380 4679 1,8610 2237

1,9835 2621 2,0132 7910 2,0434 7829 2,0741 3046 2,1052 4242

2,2211 7728 2,2600 4789 2,2995 9872 2,3398 4170 2,3807 8893

2,4866 1129 2,5363 4351 2,5870 7039 2,6388 1179 2,6915 8803

180


TABEL Bunga Majemuk (1 + i)n

n

2

1 % 2

3%

3

1 % 2

4%

4

1 % 2

5%

1 2 3 4 5

1,025. .... 1,0506 2500 1,0768 9063 1,1038 1289 1,1314 0821

1,03.. .... 1,0609 1,0927 27 1,1255 0881 1,1592 7407

1,035. .... 1,0712 25 1,1087 1788 1,1475 2300 1,1876 8631

1,04.. .... 1,0816 1,1284 64 1,1698 5856 1,2166 5290

1,045. .... 1,0920 25 1,1411 6613 1,1925 1860 1,2461 8194

1,05.. .... 1,1025 1,1576 25 1,2155 0625 1,2762 8156

6 7 8 9 10

1,1596 9342 1,1886 8575 1,2184 0290 1,2488 6297 1,2800 8454

1,1940 5230 1,2298 7387 1,2667 7008 1,3047 7318 1,3439 1638

1,2292 5533 1,2722 7926 1,3168 0904 1,3628 9375 1,4105 9876

1,2653 1902 1,3159 3178 1,3685 6905 1,4233 1181 1,4802 4428

1,3022 6012 1,3608 6183 1,4221 0061 1,4860 9514 1,5529 6942

1,3400 9564 1,4071 0042 1,4774 5544 1,5513 2822 1,6288 9463

11 12 13 14 15

1,3120 8666 1,3448 8882 1,3785 1104 1,4129 7382 1,4482 9817

1,3842 3387 1,4257 6089 1,4685 3371 1,5125 8972 1,5579 6742

1,4599 6972 1,5110 6866 1,5639 5606 1,6186 9452 1,6753 4883

1,5394 5406 1,6010 3222 1,6650 7351 1,7316 7645 1,8009 4351

1,6228 5305 1,6958 8143 1,7721 9610 1,8519 4492 1,9352 8224

1,7103 3926 1,7958 5633 1,8856 4914 1,9799 3166 2,0789 2818

16 17 18 19 20

1,4845 0562 1,5216 1826 1,5596 5872 1,5986 5019 1,6386 1644

1,6047 0644 1,6528 4763 1,7024 3306 1,7535 0605 1,8061 1123

1,7339 9604 1,7946 7555 1,8574 8920 1,9225 0132 1,9897 8886

1,8729 8125 1,9479 0050 2,0258 1652 2,1068 4918 2,1911 2314

2,0223 7015 2,1133 7681 2,2084 7877 2,3078 6031 2,4117 1402

2,1828 7459 2,2920 1832 2,4066 1923 2,5269 5020 2,6532 9771

21 22 23 24 25

1,6795 8185 1,7215 7140 1,7646 1068 1,8087 7259 1,8539 4410

1,8602 9457 1,9161 0341 1,9735 8651 2,0327 9411 2,0937 7793

2,0594 3147 2,1315 1158 2,2061 1145 2,2833 2849 2,3632 4498

2,2787 6807 2,3699 1879 2,4647 1554 2,5633 0416 2,6658 3633

2,5202 4116 2,6336 5201 2,7521 6635 2,8760 1383 3,0054 3446

2,7859 6259 2,9252 6072 3,0715 2376 3,2250 9994 3,3863 5494

26 27 28 29 30

1,9002 9270 1,9478 0002 1,9964 9502 2,0464 7394 2,0975 6758

2,1565 9127 2,2212 8901 2,2879 2768 2,3565 6551 2,4272 6247

2,4459 5856 2,5315 6711 2,6201 1720 2,7118 7798 2,8067 9370

2,7724 6978 2,8833 6858 2,9987 0332 2,1186 5145 3,2433 9751

3,1406 7901 3,2820 0956 3,4296 9999 3,5840 3649 3,7453 1813

3,5556 7269 3,7334 5632 3,9201 2914 4,1161 3560 4,3219 4238

31 32 33 34 35

2,1500 0068 2,2037 5694 2,2588 5086 2,3153 2213 2,3732 0519

2,5000 8035 2,5750 8276 2,6523 3524 2,7319 0530 2,8138 6245

2,9050 3148 3,0067 0759 3,1119 4235 3,2208 6035 3,3355 9045

3,3731 3341 3,5080 5875 3,6483 8110 3,7943 1634 3,9460 8899

3,9138 5745 4,0899 8104 4,2740 3018 4,4663 6154 4,6673 4781

4,5380 3949 4,7649 4147 5,0031 8854 5,2533 4797 5,5160 1537

36 37 38 39 40

2,4325 3532 2,4933 4870 2,5556 8242 2,6195 7448 2,6850 6384

2,8982 7833 2,9852 2668 3,0747 8348 3,1670 2698 3,2620 3779

3,4502 6611 3,5710 2543 3,6960 1131 3,8253 7171 3,9592 5972

4,1039 3255 4,2680 8986 4,4388 1345 4,6163 6599 4,8010 2063

4,8773 7846 5,0968 6049 5,3262 1921 5,5658 9908 5,8163 6454

5,7918 1614 6,0814 0694 6,3854 7729 6,7047 5115 7,0399 8871

41 42 43 44 45

2,7521 9043 2,8209 9519 2,8915 2007 2,9638 0808 3,0379 0328

3,3598 9893 3,4606 9489 3,5645 1677 3,6714 5227 3,7815 9584

4,0978 3381 4,2412 5799 4,3897 0202 4,5433 4160 4,7023 5855

4,9930 6145 5,1927 8391 5,4004 9527 5,6165 1508 5,8411 7568

6,0781 0094 6,3516 1584 6,6374 3818 6,9361 2290 7,2482 4843

7,3919 8815 7,7615 8756 8,1496 6693 8,5571 5028 8,9850 0779

46 47 48 49 50

3,1138 5086 3,1916 9713 3,2714 8956 3,3532 7680 3,4371 0872

3,8950 4372 4,0118 9503 4,1322 5188 4,2562 1944 4,3839 0602

4,8669 4110 5,0372 8404 5,2135 8898 5,3960 6459 5,5849 2686

6,0748 2271 6,3178 1562 6,5705 2824 6,8333 4937 7,1066 8335

7,5744 1961 7,9152 6849 8,2714 5557 8,6436 7107 9,0326 3627

9,4342 5818 9,9059 7109 10,4012 6965 10,9213 3313 11,4673 9979

Lampiran

181

TABEL Bunga Majemuk (1 + i)n n

5

1 % 2

6%

6

1 % 2

7%

7

1 % 2

8%

1 2 3 4 5

1,0550 0000 1,1130 2500 1,1742 4138 1,2388 2465 1,3069 6001

1,0600 0000 1,1236 0000 1,1910 1600 1,2624 7696 1,3382 2558

1,0650 0000 1,1342 2500 1,2079 4963 1,2864 6635 1,3700 8666

1,0700 0000 1,1449 0000 1,2250 4300 1,3107 9601 1,4026 5473

1,0750 0000 1,1556 2500 1,2422 9688 1,3354 6914 1,4356 2933

1,0800 0000 1,1664 0000 1,2597 1200 1,3604 8896 1,4693 2808

6 7 8 9 10

1,3788 4281 1,4546 7916 1,5346 8651 1,6190 9427 1,7081 4446

1,4185 1911 1,5036 3026 1,5938 4807 1,6894 7896 1,7908 4770

1,4591 4230 1,5539 8655 1,6549 9567 1,7625 7039 1,8771 3747

1,5007 3035 1,6057 8148 1,7181 8618 1,8384 5921 1,9671 5136

1,5433 0153 1,6590 4914 1,7834 7783 1,9172 3866 2,0610 3156

1,5868 7432 1,7138 2427 1,8509 3021 1,9990 0463 2,1589 2500

11 12 13 14 15

1,8020 9240 1,9012 0749 2,0057 7390 2,1160 9146 2,2324 7649

1,8982 9856 2,0121 9647 2,1329 2826 2,2609 0396 2,3965 5819

1,9991 5140 2,1290 96 24 2,2674 8750 2,4148 7418 2,5718 4101

2,1048 5195 2,2521 9159 2,4098 8750 2,5785 3415 2,7590 3154

2,2156 0893 2,3817 7960 2,5604 1307 2,7524 4405 2,9588 7735

2,3316 3900 2,5181 7012 2,7196 2373 2,9371 9362 3,1721 6911

16 17 18 19 20

2,3552 6270 2,4848 0215 2,6214 6627 2,7656 4691 2,9177 5749

2,5403 5168 2,6927 7279 2,8543 3915 3,0255 9950 3,2071 3547

2,7390 1067 2,9170 4637 3,1066 5438 3,3085 8691 3,5236 4506

2,9521 6375 3,1588 1421 3,3799 3228 3,6165 2754 3,8696 8446

3,1807 9315 3,4193 5264 3,6758 0409 3,9514 8940 4,2478 5110

3,4259 4264 3,7000 1805 3,9960 1950 4,3157 0106 4,6609 5714

21 22 23 24 25

3,0782 3415 3,2475 3703 3,4261 5157 3,6145 8990 3,8133 9235

3,3995 6360 3,6035 3742 3,8197 4966 4,0489 3464 4,2918 7072

3,7526 8199 3,9966 0632 4,2563 8573 4,5330 5081 4,8276 9911

4,1405 6237 4,4304 0174 4,7405 2986 5,0723 6695 5,4274 3264

4,5664 3993 4,9089 2293 5,2770 9215 5,6728 7406 6,0983 3961

5,0338 3372 5,4365 4041 5,8714 6365 6,3411 8074 6,8484 7520

26 27 28 29 30

4,0231 2893 4,2444 0102 4,4778 4307 4,7241 2444 4,9839 5129

4,5493 8296 4,8223 4594 5,1116 8670 5,4183 8790 5,7434 9117

5,1414 9955 5,4756 9702 5,8316 1733 6,2106 7245 6,6143 6616

5,8073 5292 6,2138 6763 6,6488 3836 7,1142 5705 7,6122 5504

6,5557 1508 7,0473 9371 7,5759 4824 8,1441 4436 8,7549 5519

7,3963 5321 7,9880 6147 8,6271 0639 9,3172 7490 10,0626 5689

31 32 33 34 35

5,2580 6861 5,5472 6238 5,8523 6181 6,1742 4171 6,5138 2501

6,0881 0064 6,4533 8668 6,8405 8988 7,2510 2528 7,6860 8679

7,0442 9996 7,5021 7946 7,9898 2113 8,5091 5950 9,0622 5487

8,1451 1290 8,7152 7080 9,3253 3975 9,9781 1354 10,6765 8184

9,4115 7683 10,1174 4509 10,8762 5347 11,6919 7248 12,5688 7042

10,8676 6944 11,7370 8300 12,6760 4964 13,6901 3361 14,7853 4429

36 37 38 39 40

6,8720 8538 7,2500 5008 7,6488 0283 8,0694 8699 8,5133 0877

8,1472 5200 8,6360 8712 9,1542 5235 9,7035 0749 10,2857 1794

9,6513 0143 10,2786 3603 10,9467 4737 11,6582 8595 12,4160 7453

11,4239 4219 12,2236 1814 13,0792 7141 13,9948 2041 14,9744 5784

13,5115 3570 14,5249 0088 15, 6142 6844 16,7853 3858 18,0442 3897

15,9681 7184 17,2456 2558 18,6252 7563 20,1152 9768 21,7245 2150

41 42 43 44 45

8,9815 4076 9,4755 2550 9,9966 7940 10,5464 9677 11,1265 5409

10,9028 6101 11,5570 3267 12,2504 5463 12,9854 8191 13,7646 1083

13,2231 1938 14,0826 2214 14,9979 9258 15,9728 6209 17,0110 9813

16,0226 6989 17,1442 5678 18,3443 5475 19,6284 5959 21,0024 5176

19,3975 5689 20,8523 7366 22,4163 0168 24,0975 2431 25,9048 3863

23,4624 8322 25,3394 8187 27,3666 4042 29,5559 7166 31,9204 4939

46 47 48 49 50

11,7385 1456 12,3841 3287 13,0652 6017 13,7838 4948 14,5419 6120

14,5904 8748 15,4659 1673 16,3938 7173 17,3775 0403 18,4201 5427

18,1168 1951 19,2944 1278 20,5485 4961 21,8842 0533 23,3066 7868

22,4726 2338 24,0457 0702 25,7289 0651 27,5299 2997 29,4570 2506

27,8477 0153 29,9362 7915 32,1815 0008 34,5951 1259 37,1897 4603

34,4740 8534 37,2320 1217 40,2105 7314 43,4274 1899 46,9016 1251

182


TABEL Bunga Majemuk (1 + i)–n n

3% 4

1%

1

1 % 4

1

1 % 2

1

3 % 4

2%

1 2 3 4 5

0,9925 5583 0,9851 6708 0,9778 3333 0,9705 5417 0,9633 2920

0,9900 9901 0,9802 9605 0,9705 9015 0,9609 8035 0,9514 6569

0,9876 5432 0,9754 6106 0,9634 1833 0,9515 2428 0,9397 7706

0,9852 2167 0,9706 6175 0,9563 1699 0,9421 8423 0,9282 6033

0,9828 0098 0,9658 9777 0,9492 8528 0,9329 5851 0,9169 1254

0,9803 9216 0,9611 6878 0,9423 2234 0,9238 4543 0,9057 3081

6 7 8 9 10

0,9561 5802 0,9490 4022 0,9419 7540 0,9349 6318 0,9280 0315

0,9420 4524 0,9327 1805 0,9234 8322 0,9143 3982 0,9052 8696

0,9281 7488 0,9167 1593 0,9053 9845 0,8942 2069 0,8831 8093

0,9145 4219 0,9010 2679 0,8877 1112 0,8745 9224 0,8616 6723

0,9011 4254 0,8856 4378 0,8704 1157 0,8554 4135 0,8407 2860

0,8879 7138 0,8705 6018 0,8534 9037 0,8367 5270 0,8203 4830

11 12 13 14 15

0,9210 9494 0,9142 3816 0,9074 3241 0,9006 7733 0,8938 7254

0,8963 2372 0,8874 4923 0,8786 6260 0,8699 6297 0,8613 4948

0,8722 7746 0,8615 0860 0,8508 7269 0,8403 6809 0,8299 9318

0,8489 3323 0,8363 8742 0,8240 2720 0,8118 4928 0,7998 5151

0,8262 6889 0,8120 5788 0,7980 9128 0,7843 6490 0,7708 7459

0,8042 6304 0,7884 9318 0,7730 3253 0,7578 7503 0,7430 1473

16 17 18 19 20

0,8873 1766 0,8807 1231 0,8741 5614 0,8676 4878 0,8611 8985

0,8528 2126 0,8443 7749 0,8360 1731 0,8277 3992 0,8195 4447

0,8197 4635 0,8096 2602 0,7996 3064 0,7897 5866 0,7800 0855

0,7880 3104 0,7763 8526 0,7649 1159 0,7536 0748 0,7424 7042

0,7576 1631 0,7445 8605 0,7317 7990 0,7191 9401 0,7068 2458

0,7284 4581 0,7141 6256 0,7001 5938 0,6864 3076 0,6729 7133

21 22 23 24 25

0,8547 7901 0,8484 1589 0,8421 0014 0,8358 8314 0,8296 0933

0,8114 3017 0,8033 9621 0,7954 4179 0,7875 6613 0,7797 6844

0,7703 7881 0,7608 6796 0,7514 7453 0,7421 9707 0,7330 3414

0,7314 9795 0,7206 8764 0,7100 3708 0,6995 4392 0,6892 0583

0,6946 6789 0,6827 2028 0,6709 7817 0,6594 3800 0,6480 9632

0,6597 7582 0,6468 3904 0,6341 5592 0,6217 2149 0,6095 3087

26 27 28 29 30

0,8234 3358 0,8173 0380 0,8112 1966 0,8051 8080 0,7991 8790

0,7720, 4796 0,7644 0392 0,7568 3557 0,7493 4215 0,7419 2292

0,7239 8434 0,7150 4626 0,7062 1853 0,6974 9978 0,6888 8867

0,6790 2052 0,6689 8574 0,6590 9925 0,6493 5887 0, 6397 6243

0,6369 4970 0,6259 9479 0,6152 2829 0,6046 4697 0,5942 4764

0,5975 7929 0,5858 6204 0,5743 7455 0,5631 1231 0,5520 7089

31 32 33 34 35

0,7932 3762 0,7873 3262 0,7814 7159 0,7756 5418 0,7698 8008

0,7345 7715 0,7273 0411 0,7201 0308 0,7129 7334 0,7059 1420

0,6803 8387 0,6719 8407 0,6636 8797 0,6554 9430 0,6474 0177

0,6303 0781 0,6209 9292 0,6118 1568 0,6027 7407 0,5938 6608

0,5840 2716 0,5739 8247 0,5641 1053 0,5544 0839 0,5448 7311

0,5412 4597 0,5306 3333 0,5202 2873 0,5100 2817 0,5000 2761

36 37 38 39 40

0,7641 4896 0,7584 6051 0,7528 1440 0,7472 1032 0,7416 4796

0,6989 2495 0,6920 0490 0,6851 5337 0,6783 6967 0,6716 5314

0,6394 0916 0,6315 1522 0,6237 1873 0,6160 1850 0,6084 1334

0,5850 8974 0,5764 4309 0,5679 2423 0,5595 3126 0,5512 6232

0,5355 0183 0,5262 9172 0,5172 4002 0,5083 4400 0,4996 0098

0,4902 2315 0,4806 1093 0,4711 8719 0,4619 4822 0,4528 9042

41 42 43 44 45

0,7361 2701 0,7306 4716 0,7252 0810 0,7198 0952 0,7144 5114

0,6650 0311 0,6584 1892 0,6581 9992 0,6454 4547 0,6390 5492

0,6009 0206 0,5934 8352 0,5861 5656 0,5789 2006 0,5717 7290

0,5431 1559 0,5350 8925 0,5271 8153 0,5193 9067 0,5117 1494

0,4910 0834 0,4825 6348 0,4742 6386 0,4661 0699 0,4580 9040

0,4440 1021 0,4353 0413 0,4267 6875 0,4184 0074 0,4101 9680

46 47 48 49 50

0,7091 3265 0,7038 5374 0,6986 1414 0,6934 1353 0,6882 5165

0,6327 2764 0,6264 6301 0,6202 6041 0,6141 1921 0,6080 3883

0,5647 1397 0,5577 4220 0,5508 5649 0,5440 5579 0,5373 3905

0,5041 5265 0,4967 0212 0,4893 6170 0,4821 2975 0,4750 0468

0,4502 1170 0,4424 6850 0,4348 5848 0,4273 7934 0,4200 2883

0,4021 5373 0,3942 6836 0,3865 3761 0,3789 5844 0,3715 2788

Lampiran

183

TABEL Bunga Majemuk (1 + i)–n

n

2

1 % 2

3%

3

1 % 2

4%

4

1 % 2

5%

1 2 3 4 5

0,9756 0976 0,9518 1440 0,9285 9941 0,9059 5064 0,8838 5429

0,9708 7379 0,9425 9591 0,9151 4166 0,8884 8705 0,8626 0878

0,9661 8357 0,9335 1070 0,9019 4271 0,8714 4223 0,8419 7317

0,9615 3846 0,9245 5621 0,8889 9636 0,8548 0419 0,8219 2711

0,9569 3780 0,9157 2995 0,8762 9660 0,8385 6134 0,8024 5105

0,9523 8095 0,9070 2948 0,8638 3760 0,8227 0247 0,7835 2617

6 7 8 9 10

0,8622 9687 0,8412 6524 0,8207 4657 0,8007 2836 0,7811 9840

0,8374 8426 0,8130 9151 0,7894 0923 0,7664 1673 0,7440 9391

0,8135 0064 0,7859 9096 0,7594 1156 0,7337 3097 0,7089 1881

0,7903 1453 0,7599 1781 0,7306 9021 0,7025 8674 0,6755 6417

0,7678 9574 0,7348 2846 0,7031 8513 0,6729 0443 0,6439 2768

0,7462 1540 0,7106 8133 0,6768 0892 0,6446 0892 0,6139 1325

11 12 13 14 15

0,7621 4478 0,7435 5589 0,7254 2038 0,7077 2720 0,6904 6556

0,7224 2128 0,7013 7988 0,6809 5134 0,6611 1781 0,6418 6195

0,6849 4571 0,6617 8330 0,6394 0415 0,6177 8179 0,5968 9062

0,6495 8093 0,6245 9705 0,6005 7409 0,5774 7508 0,5552 6450

0,6161 9874 0,5896 6386 0,5642 7164 0,5399 7286 0,5167 2044

0,5846 7929 0,5563 3742 0,5303 2135 0,5050 6795 0,4810 1710

16 17 18 19 20

0,6736 2493 0,6571 9506 0,6411 6591 0,6255 2772 0,6102 7094

0,6231 6694 0,6050 1645 0,5873 9461 0,5702 8603 0,5536 7575

0,5767 0591 0,5572 0378 0,5383 6114 0,5201 5569 0,5025 6588

0,5339 0818 0,5133 7325 0,4936 2812 0,4746 4242 0,4563 8695

0,4944 6932 0,4731 7639 0,4528 0037 0,4333 0179 0,4146 4246

0,4581 1152 0,4362 9669 0,4155 2065 0,3957 3396 0,3768 8948

21 22 23 24 25

0,5653 8629 0,5808 6467 0,5666 9724 0,5528 7535 0,5393 9059

0,5375 4928 0,5218 9250 0,5066 9175 0,4919 3374 0,4776 0557

0,4855 7090 0,4691 5063 0,4532 8563 0,4379 5713 0,4231 4699

0,4388 3360 0,4219 5539 0,4057 2633 0,3901 2147 0,3751 1680

0,3967 8743 0,3797 0089 0,3633 5013 0,3477 0347 0,3327 3060

0,3589 4236 0,3418 4987 0,3255 7131 0,3100 6791 0,2953 0277

26 27 28 29 30

0,5262 3472 0,5133 9973 0,5008 7778 0,4886 6125 0,4767 4269

0,4636 9473 0,4501 8906 0,4370 7675 0,4243 4636 0,4119 8676

0,4088 3767 0,3950 1224 0,3816 5434 0,3687 4815 0,3562 7841

0,3606 8923 0,3468 1657 0,3334 7747 0,3206 5141 0,3083 1867

0,3184 0248 0,3046 9137 0,2915 7069 0,2790 1502 0,2670 0002

0,2812 4073 0,2678 4832 0,2550 9364 0,2429 4632 0,2313 7745

31 32 33 34 35

0,4651 1481 0,4537 7055 0,4427 0298 0,4319 0534 0,4213 7107

0,3999 8715 0,3883 3703 0,3770 2625 0,3660 4490 0,3553 8340

0,3442 3035 0,3325 8971 0,3213 4271 0,3104 7605 0,2999 7686

0,2964 6026 0,2850 5794 0,2740 9417 0,2635 5209 0,2534 1547

0,2555 0241 0,2444 9991 0,2339 7121 0,2238 9589 0,2142 5444

0,2203 5947 0,2098 6617 0,1998 7254 0,1903 5480 0,1812 9029

36 37 38 39 40

0,4110 9372 0,4010 6705 0,3912 8492 0,3817 4139 0,3724 3062

0,3450 3243 0,3349 8294 0,3252 2615 0,3157 5355 0,3065 5684

0,2898 3272 0,2800 3161 0,2705 6194 0,2614 1250 0,2525 7247

0,2436 6872 0,2342 9685 0,2252 8543 0,2166 2061 0,2082 8904

0,2050 2817 0,1961 9921 0,1877 5044 0,1796 6549 0,1719 2870

0,1726 5741 0,1644 3563 0,1566 0536 0,1491 4797 0,1420 4568

41 42 43 44 45

0,3633 4695 0,3544 8483 0,3458 3886 0,3374 0376 0,3291 7440

0,2976 2800 0,2889 5922 0,2805 4294 0,2723 7178 0,2644 3862

0,2440 3137 0,2357 7910 0,2278 0590 0,2201 0231 0,2126 5924

0,2002 7793 0,1925 7493 0,1851 6820 0,1780 4635 0,1711 9841

0,1645 2507 0,1574 4026 0,1506 6054 0,1441 7276 0,1379 6437

0,1352 8160 0,1288 3962 0,1227 0440 0,1168 6133 0,1112 9651

46 47 48 49 50

0,3211 4576 0,3133 1294 0,3056 7116 0,2982 1576 0,2909 4221

0,2567 3653 0,2492 5876 0,2419 9880 0,2349 5029 0,2281 0708

0,2054 6787 0,1985 1968 0,1918 0645 0,1853 2024 0,1790 5337

0,1646 1386 0,1582 8256 0,1521 9476 0,1463 4112 0,1407 1262

0,1320 2332 0,1263 3810 0,1208 9771 0,1156 9158 0,1107 0965

0,1059 9668 0,1009 4921 0,0961 4211 0,0915 6391 0,9872 0373

184


TABEL Bunga Majemuk (1 + i)–n

n

5

1 % 2

6%

6

1 % 2

7%

7

1 % 2

8%

1 2 3 4 5

0,9478 6730 0,8984 5242 0,8516 1366 0,8072 1674 0,7651 3435

0,9433 9623 0,8899 9644 0,8396 1928 0,7920 9366 0,7472 5817

0,9389 6714 0,8816 5928 0,8278 4909 0,7773 2309 0,7298 8084

0,9345 7944 0,8734 3873 0,8162 9788 0,7628 9521 0,7129 8618

0,9302 3256 0,8653 3261 0,8049 6057 0,7488 0053 0,6965 5863

0,9259 2593 0,8573 3882 0,7938 3224 0,7350 2986 0,6805 8320

6 7 8 9 10

0,7252 4583 0,6874 3681 0,6515 9887 0,6176 2926 0,5854 3058

0,7049 6054 0,6650 5711 0,6274 1237 0,5918 9846 0,5583 9478

0,6853 3412 0,6435 0621 0,6042 3119 0,5673 5323 0,5327 2604

0,6663 4222 0,6227 4974 0,5820 0910 0,5439 3374 0,5083 4929

0,6479 6152 0,6027 5490 0,5607 0223 0,5215 8347 0,4851 9393

0,6301 6963 0,5834 9040 0,5402 6888 0,5002 4897 0,4631 9349

11 12 13 14 15

0,5549 1050 0,5259 8152 0,4985 6068 0,4725 6937 0,4479 3305

0,5267 8753 0,4969 6936 0,4688 3902 0,4423 0096 0,4172 6506

0,5002 1224 0,4696 8285 0,4410 1676 0,4141 0025 0,3888 2652

0,4750 9280 0,4440 1196 0,4149 6445 0,3878 1724 0,3624 4602

0,4513 4319 0,4198 5413 0,3905 6198 0,3633 1347 0,3379 6602

0,4288 8286 0,3971 1376 0,3676 9792 0,3404 6104 0,3152 4170

16 17 18 19 20

0,4245 8190 0,4024 4653 0,3814 6590 0,3615 7906 0,3427 2896

0,3936 4628 0,3713 6442 0,3503 4379 0,3305 1301 0,3118 0473

0,3650 9533 0,3428 1251 0,3218 8969 0,3022 4384 0,2837 9703

0,3387 3460 0,3165 7439 0,2958 6392 0,2765 0833 0,2584 1900

0,3143 8699 0,2924 5302 0,2720 4932 0,2530 6913 0,2354 1315

0,2918 9047 0,2702 6895 0,2502 4903 0,2317 1206 0,2145 4821

21 22 23 24 25

0,3248 6158 0,3079 2567 0,2918 7267 0,2766 5656 0,2622 3370

0,2941 5540 0,2775 0510 0,2617 9726 0,2469 7855 0,2329 9863

0,2664 7608 0,2502 1228 0,2349 4111 0,2206 0198 0,2071 3801

0,2415 1309 0,2257 1317 0,2109 4688 0,1971 4662 0,1842 4918

0,2189 8897 0,2037 1067 0,1894 5830 0,1762 7749 0,1639 7906

0,1986 5575 0,1839 4051 0,1703 1528 0,1576 9934 0,1460 1790

26 27 28 29 30

0,2485 6275 0,2356 0405 0,2233 2181 0,2116 7944 0,2006 4402

0,2198 1003 0,2073 6795 0,1956 3014 0,1845 5674 0,1741 1013

0,1944 9679 0,1826 2515 0,1714 7902 0,1610 1316 0,1511 8607

0,1721 9549 0,1609 3037 0,1504 0221 0,1405 6282 0,1313 6712

0,1525 3866 0,1418 9643 0,1319 9668 0,1227 8761 0,1142 2103

0,1352 0176 0,1251 8682 0,1159 1372 0,1073 2752 0,0993 7733

31 32 33 34 35

0,1901 8390 0,1802 6910 0,1708 7119 0,1619 6321 0,1535 1936

0,1642 5484 0,1549 5740 0,1461 8622 0,1379 1153 0,1301 0622

0,1419 5875 0,1332 9460 0,1251 5925 0,1175 2042 0,1103 4781

0,1227 7301 0,1147 4113 0,1072 3470 0,1002 1934 0,0936 6294

0,1062 5212 0,0988 3918 0,0919 4343 0,0855 2877 0,0795 6164

0,0920 1605 0,0852 0005 0,0788 8893 0,0730 4531 0,0676 3454

36 37 38 39 40

0,1455 1624 0,1379 3008 0,1307 3941 0,1239 2362 0,1174 6314

0,1227 4077 0,1157 9318 0,1092 3885 0,1030 5552 0,0972 2219

0,1036 1297 0,0972 8917 0,0913 5134 0,0857 7590 0,0805 4075

0,0875 3546 0,0818 0884 0,0764 5686 0,0714 5501 0,0667 8038

0,0740 1083 0,0688 4729 0,0640 4399 0,0595 7580 0,0554 1935

0,0626 2458 0,0579 8572 0,0536 9048 0,0497 1314 0,0460 3093

41 42 43 44 45

0,1113 3947 0,1055 3504 0,1000 3322 0,0948 1822 0,0898 7509

0,0917 1905 0,0865 2740 0,0816 2962 0,0770 0908 0,0726 5007

0,0756 2512 0,0710 0950 0,0666 7559 0,0626 0619 0,0587 8515

0,0624 1157 0,0583 2857 0,0545 1268 0,0509 4643 0,0476 1349

0,0515 5288 0,0479 5617 0,0446 1039 0,0414 9804 0,0386 0283

0,0426 2123 0,0394 6411 0,0365 4084 0,0338 3411 0,0313 2788

46 47 48 49 50

0,0851 8965 0,0807 4849 0,0765 3885 0,0725 4867 0,0687 6652

0,0685 3781 0,0646 5831 0,0609 9840 0,0675 4566 0,0542 8836

0,0551 9733 0,0518 2848 0,0486 6524 0,0456 9506 0,0429 0616

0,0444 9859 0,0415 8747 0,0388 6679 0,0363 2410 0,0339 4776

0,0359 0961 0,0334 0428 0,0310 7375 0,0289 0582 0,0268 8913

0,0290 0730 0,0268 5861 0,0248 6908 0,0230 2693 0,0213 2123

Lampiran

Nilai Anuitas

1 n

- (1

+ i)

k =1

n

1

1 % 2

2%

2

1 % 2

3%

3

1 % 2

1 2 3 4 5

1,0150 0000 0,5112 7792 0,3433 8296 0,2594 4479 0,2090 8932

1,0200 0000 0,5150 4950 0,3467 5467 0,2626 2375 0,2121 5839

1,0250 0000 0,5188 2716 0,3501 3717 0,2658 1788 0,2152 4686

1,0300 0000 1,5226 1084 0,3535 3036 0,2690 2705 0,2183 5457

1,0350 0000 0,5264 0049 0,3569 3418 0,2722 5114 0,2214 8137

6 7 8 9 10

0,1755 2521 0,1515 5616 0,1335 8402 0,1196 0982 0,1084 3418

0,1785 2581 0,1545 1196 0,1365 0980 0,1225 1544 0,1113 2653

0,1815 4997 0,1574 9543 0,1394 6735 0,1254 5689 0,1142 5876

0,1845 9750 0,1605 0635 0,1424 5639 0,1284 3386 0,1172 3051

0,1876 6821 0,1635 4449 0,1454 7665 0,1314 4601 0,1202 4137

11 12 13 14 15

0,0992 9384 0,0916 7999 0,0852 4036 0,0797 2332 0,0749 4436

0,1021 7794 0,0945 5960 0,0881 1835 0,0826 0197 0,0778 2547

0,1051 0596 0,0974 8713 0,0910 4827 0,0855 3652 0,0807 6646

0,1080 7745 0,1004 6209 0,0940 2954 0,0885 2634 0,0837 6658

0,1110 9197 0,1034 8395 0,0970 6157 0,0915 7073 0,0868 2507

16 17 18 19 20

0,0707 6508 0,0670 7966 0,0638 0578 0,06087847 0,0582 4574

0,0736 5013 0,0699 6984 0,0667 0210 0,0637 8177 0,0611 5672

0,0765 9899 0,0729 2777 0,0696 7008 0,0667 6062 0,0641 4713

0,0796 1085 0,0759 5253 0,0727 0870 0,0698 1388 0,0672 1571

0,0826 8483 0,0790 4313 0,0758 1684 0,0729 4033 0,0703 6108

21 22 23 24 25

0,0558 6550 0,0537 0332 0,0517 3075 0,0499 2410 0,0482 6345

0,0587 8477 0,0566 3140 0,0546 6810 0,0528 7110 0,0512 2044

0,0617 8833 0,0596 4661 0,0576 9638 0,0559 1282 0,0542 7592

0,0648 7178 0,0627 4739 0,0608 1390 0,0590 4742 0,0574 1787

0,0680 3659 0,0659 3207 0,0640 1880 0,0622 7283 0,0606 7404

26 27 28 29 30

0,0467 3196 0,0453 1527 0,0440 0108 0,0427 7878 0,0416 3919

0,0496 9923 0,0482 9309 0,0469 8967 0,0457 7836 0,0446 4992

0,0527 6875 0,0513 7687 0,0500 8793 0,0488 9127 0,0477 7764

0,0559 3829 0,0545 6421 0,0532 9323 0,0521 1467 0,0510 1926

0,0592 0540 0,0578 5241 0,0566 0265 0,0554 4538 0,0543 7133

31 32 33 34 35

0,0405 7430 0,0395 7710 0,0386 4144 0,0337 6189 0,0369 3363

0,0435 9635 0,0426 1061 0,0416 8653 0,0408 1867 0,0400 0221

0,0567 3900 0,0457 6831 0,0448 5938 0,0440 0675 0,0432 0558

0,0499 9893 0,0490 4662 0,0481 5612 0,0478 2196 0,0465 3929

0,0533 7240 0,0524 4150 0,0515 7242 0,0557 5966 0,0599 9835

36 37 38 39 40

0,0361 5240 0,0354 1437 0,0347 1613 0,0340 5463 0,0334 2710

0,0392 3285 0,0385 0678 0,0378 2057 0,0371 7114 0,0365 5575

0,0424 5158 0,0417 4090 0,0410 7012 0,0404 3615 0,0398 3623

0,0458 0379 0,0451 1162 0,0444 5934 0,0438 4385 0,0432 6238

0,0492 8416 0,04861325 0,0479 8214 0,0473 8775 0,0468 2728

41 42 43 44 45

0,0328 3106 0,0322 6426 0,0317 2465 0,0312 1038 0,0307 1976

0,0359 7188 0,0354 1729 0,0348 8993 0,0343 8794 0,0339 0962

0,0392 6786 0,0387 2876 0,0382 1688 0,0377 3037 0,0372 6751

0,0427 1241 0,0421 9167 0,0416 9811 0,0412 2985 0,0407 8518

0,0462 9822 0,0457 9828 0,0453 2539 0,0448 7768 0,0444 5343

46 47 48 49 50

0,0302 5125 0,0298 0342 0,0293 7500 0,0289 6478 0,0285 7168

0,0334 5342 0,0330 1792 0,0326 0184 0,0322 0396 0,0318 2321

0,0368 2676 0,0364 0669 0,0360 0599 0,0356 2348 0,0352 5806

0,0403 6254 0,0399 6051 0,0395 7777 0,0392 1314 0,0388 6549

0,0440 5108 0,0436 6919 0,0433 0646 0,0429 6167 0,0426 3371

185

186


Nilai Anuitas

1 n

- (1

+ i)

k =1

n

4%

4

1 % 2

5%

5

1 % 2

6%

1 2 3 4 5

1,0400 0000 0,5301 9608 0,3603 4854 0,0754 9005 0,2246 2771

1,0450 0000 0,5339 9756 0,3637 7336 0,2787 4365 0,2277 9164

1,0500 0000 0,5378 0488 0,3672 0856 0,2820 11 83 0,2309 7480

1,0550 0000 0,5416 1800 0,3706 5407 0,2852 9449 0,2341 7644

1,0600 0000 0,5454 3689 0,3741 0981 0,2885 9149 0,2373 9640

6 7 8 9 10

0,1907 6190 0,1666 0961 0,1485 2783 0,1344 9299 0,1232 9094

0,1938 7839 0,1697 0147 0,1516 0965 0,1375 7447 0,1263 7882

0,1970 1747 0,1728 1982 0,1547 2181 0,1406 9008 0,1295 0457

0,2001 7895 0,1759 6442 0,1578 6401 0,1438 3946 0,1326 6777

0,2033 6263 0,1791 3502 0,1610 3594 0,1470 2224 0,1358 6796

11 12 13 14 15

0,1141 4904 0,1065 5217 0,1001 4373 0,0946 6897 0,0999 4110

0,1172 4818 0,1096 6619 0,1032 7535 0,0978 2032 0,0931 1381

0,1203 8889 0,1128 2541 0,1062 5577 0,1010 2397 0,0963 4229

0,1235 7065 0,1160 2923 0,1096 8426 0,1042 7912 0,0996 2560

0,1267 9294 0,1192 7703 0,1129 6011 0,1075 8491 0,1029 6276

16 17 18 19 20

0,0858 2000 0,0821 9852 0,0789 9333 0,0761 3862 0,0735 8175

0,0890 1537 0,0854 1758 0,0822 3690 0,0794 0734 0,0768 7614

0,0922 6991 0,0886 9914 0,0855 4622 0,0827 4501 0,0802 4259

0,0955 8254 0,0920 4197 0,0889 1992 0,0861 5006 0,0836 7933

0,0998 5214 0,0954 4480 0,0923 5654 0,0896 2086 0,0871 8456

21 22 23 24 25

0,0712 8011 0,0691 9881 0,0673 0906 0,0655 8683 0,0640 1196

0,0746 0057 0,0725 4565 0,0706 8249 0,0689 8703 0,0674 3903

0,0779 9611 0,0759 7051 0,0741 3682 0,0724 7090 0,0509 5246

0,0814 6478 0,0794 7123 0,0776 6965 0,0760 3580 0,0745 4935

0,0850 0455 0,0830 4557 0,0812 7848 0,0796 7900 0,0782 2672

26 27 28 29 30

0,0625 6738 0,0612 3854 0,0600 1298 0,0588 7993 0,0578 3010

0,0660 2137 0,0647 1946 0,0635 2081 0,0624 1461 0,0613 9154

0,0695 6432 0,0682 9186 0,0671 2253 0,0660 4551 0,0650 5144

0,0731 9307 0,0719 5228 0,0708 1440 0,0697 6857 0,0688 0539

0,0769 0435 0,0756 9717 0,0745 9255 0,0735 7961 0,0726 4891

31 32 33 34 35

0,0568 5535 0,0559 4859 0,0551 0357 0,0543 1477 0,0535 7732

0,0604 4345 0,0595 6320 0,0587 4453 0,0579 8191 0,0572 7045

0,0541 3212 0,0632 8042 0,0624 9004 0,0617 5545 0,0610 7171

0,0679 1665 0,0670 9519 0,0663 3469 0,0656 2958 0,0649 7493

0,0717 9222 0,0710 0234 0,0720 7293 0,0695 9843 0,0698 7386

36 37 38 39 40

0,0528 8688 0,0522 3957 0,0516 3192 0,0510 6083 0,0505 2349

0,0566 0578 0,0559 8402 0,0554 0169 0,0548 5567 0,0543 4315

0,0604 3446 0,0598 3979 0,0592 8423 0,0587 6462 0,0582 7816

0,0663 6635 0,0637 9993 0,0632 7217 0,0627 7991 0,0623 2034

0,0683 9483 0,0678 5743 0,0673 5812 0,0668 9377 0,0664 6154

41 42 43 44 45

0,0500 1738 0,0495 4020 0,0490 8989 0,0486 6454 0,0482 6246

0,0538 6158 0,0534 0868 0,0529 8235 0,0525 8071 0,0522 0202

0,0578 2229 0,0573 9471 0,0569 9333 0,0566 1625 0,0562 6173

0,0918 9090 0,0614 8927 0,0611 1337 0,0607 6128 0,0604 3127

0,0660 5886 0,0656 8342 0,0653 3312 0,0650 0606 0,0647 0050

46 47 48 49 50

0,0478 8205 0,0475 2189 0,0471 8065 0,0468 5712 0,0465 5020

0,0518 4471 0,0515 0734 0,0511 8858 0,0508 8722 0,0506 0215

0,0559 2820 0,0556 1421 0,0553 1843 0,0550 3965 0,0547 7674

0,0601 2175 0,0598 3129 0,0595 5854 0,0593 0230 0,0590 6145

0,0644 1485 0,0641 4768 0,0638 9765 0,0636 6356 0,0634 4429

Lampiran

187

Glosarium

Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih antarsuku-suku yang berurutan selalu tetap, 132 Barisan berhingga adalah barisan yang banyak suku-sukunya berhingga, 131 Barisan bilangan adalah susunan bilanganbilangan yang diurutkan menurut aturan tertentu, 127 Barisan geometri adalah barisan yang perbandingan antarsuku yang berurutan selalu tetap, 141 Barisan tak berhingga adalah barisan yang banyak suku-sukunya tak berhingga, 131 Beda adalah selisih antara suku-suku yang berurutan, 133 Deret adalah penjumlahan suku-suku suatu barisan, 121 Diferensiabel adalah dapat didiferensiasikan, 19 Elemen matriks adalah bilangan yang terdapat di dalam matriks, 66 Fungsi kendala adalah fungsi yang menjadi prasyaratan atau batasan pada program linear, 40 Fungsi objektif, sasaran, tujuan adalah fungsi yang akan ditentukan nilai minimum atau maksimumnya, 40 Fungsi primitif adalah fungsi antiturunan atau hasil integral, 4 Integral adalah invers dari operasi diferensial, 4 Integral parsial adalah pengintegralan bagian demi bagian, 19 Integral tak tentu adalah pengintegralan yang tidak mengandung batas bawah dan atas, 4 Integral tertentu adalah pengintegralan yang disertai dengan batas bawah dan atas, 11 Integran adalah fungsi yang dicari antiturunannya, 4

Matriks adalah susunan bilangan-bilangan berbentuk suatu persegi panjang yang disusun menurut aturan basis dan kolom serta ditempatkan pada suatu tanda kurung, 65 Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas satu baris, 70 Matriks diagonal adalah matriks persegi dengan setiap elemen yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol, 70 Matriks identitas adalah suatu matriks diagonal dengan elemen diagonal utamanya 1, 85 Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas satu kolom, 70 Matriks nol adalah matriks yang setiap elemennya nol, 70 Model matematika adalah rumusan matematika yang diperoleh dari hasil penafsiran suara program linear ke bahasa matematika, 40 Ordo adalah ukuran suatu matriks, 68 Persamaan keluarga kurva adalah kurvakurva yang diperoleh dari hasil pengintegralan, dengan nilai kons-tanta belum ditentukan, 9 Program linear adalah suatu metode/program untuk memecahkan masalah optimasi yang mengandung batasanbatasan dalam bentuk sistem pertidaksamaan linear, 35 Rasio adalah perbandingan antarsuku yang berurutan, 142 Sigma adalah jumlah, 12, 121 Sistem pertidaksamaan linear adalah suatu sistem pertidaksamaan yang terdiri atas beberapa pertidaksamaan linear, 35 Suku adalah unsur barisan, 128 Transpose adalah suatu proses menukar elemen-elemen baris menjadi elemenelemen kolom, 68

188


Indeks Subjek

Adjoin, 96 Antiturunan, 15, 22 Anuitas, 162 Asosiatif, 77, 88 Aturan Sarrus, 95 Baris, 65 Barisan bilangan, 127 Barisan aritmetika, 132 Barisan geometri, 141 Barisan divergen, 152 Barisan konvergen, 152 Batas atas integrasi, 14 Batas bawah integrasi, 14 Beda, 133 Bunga, 159 Bunga majemuk, 161 Bunga tunggal, 159 Daerah feasibel, 50 Deret, 121, 133 Deret aritmetika, 138 Deret geometri, 146 Determinan, 91, 105 Diferensiabel, 19 Diferensial, 3 Domain, 3 Fungsi, 3 Fungsi objektif, 40 Gradien garis singgung, 9 Grafik fungsi, 21 Integrable, 14 Integral, 4 Integral parsial, 19 Integral tak tentu, 4 Integral tertentu, 11 Integran, 4 Interval, 11, 21 Invers, 4 Kofaktor dari matriks, 96 Kolom, 65 Komutatif, 77, 88 Konstanta, 3 Keluarga kurva, 9 Leibniz, 8, 12

Limit, 12, 153 Luas daerah, 22 Matriks, 65 Matriks baris, 70 Matriks diagonal, 70 Matriks identitas, 85 Invers matriks, 77, 90 Matriks kolom, 70 Matriks nol, 70 Matriks nonsingular, 93 Ordo matriks, 68 Matriks persegi, 69, 85 Matriks satuan, 70 Matriks singular, 93 Metode garis selidik, 50 Minor elemen, 96 Modal, 159 Model matematika, 40 Newton, Isaac, 8 Nilai optimum, 45 Operasi derivatif, 4 Penyelesaian optimum, 40 Program linear, 35, 40 Rasio (pembanding), r, 142 Sigma, 12, 121 Sistem persamaan linear, 101 Skalar, 78 Substitusi, 17 Suku bunga, 159 Sumbu X, 12, 21 Sumbu Y, 13, 21 Titik sudut, 46 Transpose matriks, 68 Titik verteks, 46 Transpose, 96 Transformasi baris elementer, 96 Turunan, 3

Lampiran

189

Kunci Soal-Soal Terpilih

Bab I Integral

Bab II Program Linear

Uji Kompetensi 1

Uji Kompetensi 2 1. 8x + 5y = 18.500 4x + 6y = 11.000 5. Menentukan nilai maksimum z = 3.000x + 5.000y Kendala: 6x + 3y ) 54 4x + 6y ) 48 5x + 5y ) 50 x * 0, y * 0, x, y D C

3 2 x +c 2 b. 3x3 + c

1. a.

3. b.

2n 1 < n + c x 1< n 3n

+1 2 x 2 +c 3n + 2 3 5. x – x + c

c.

Uji Kompetensi 3 4. a. b.

<21 2 7 6

Bab III Matriks

Uji Kompetensi 6 3. a.

7 13

b. 7 c. 3 d. 3 5. a.

4 12

d.

1 2

4

Uji Kompetensi 3 1. a. 128; x = 4 dan y = 4 b. 54; x = 2 dan y = 2 c. 28; x = 0 dan y = 14 atau x = 6 dan y = 2 5. Rp370.000,00

Uji Kompetensi 4 5. a. a = 1, b = –1, dan c = 15 b. a = 2, b = 4, c = 4, dan d = 2 c. a = 2, b = –6, c = –4, dan d = 8 d. a = 4, b = 2, c = 8, dan d = 1 Uji Kompetensi 5 3. a. a = 2 dan b = –1 b. a = 3 dan b = 4

Uji Kompetensi 8 16 2 3. 3

4.

14 3

Uji Kompetensi 7 3. a. a = 1 b. a = –3 d. a =

8 3

190


Diunduh dari BSE.Mahoni.com

Uji Kompetensi 8 4. ¨ p + l = 25 © ª5 p < 3l = 45 p = panjang; l = lebar 5. ¨ x < 4 y = 30 © ª2 x + 3 y = 140 x = umur ayah (sekarang) = 59,09 tahun y = umur anak (sekarang) = 7,27 tahun

Bab IV Barisan dan Deret Uji Kompetensi 3 3. a. –6, 0, 10, 24 b. n = 80 5. a. U30 = 206 b. U30 = 151 c. U30 = 99

Uji Kompetensi 4 1. U25 = 125 3. U100 = 300 5. 4, 6, 8 Uji Kompetensi 6 1. a. U15 = 32.768 c. U15 = 16.384 e. U15 = – 49.152 2. 5, 10, 20 7. 189 cm 8. U10 = 512

No title

Recommend Documents