6/6/2015
Nilai dan Vektor Eigen
Mengingat kembali: perkalian matriks •
Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w 2 0 A= 4 1
•
r 1 ur 0 v= w= 4 4
r 5 u= 4
Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor yang sejajar dengan vektor semula
Jawab:
r 2 0 1 2 r 1 Av = = = 2 = 2v 4 1 4 8 4 ur 2 0 0 0 ur Aw = 4 = 4 = 1. w 4 1
r 2 0 5 10 r Au = = ≠ ku 4 1 4 24 untuk semua k ∈ R
v dan Av sejajar w dan Aw sejajar u dan Au TIDAK sejajar
1
6/6/2015
Mengingat kembali: SPL homogen dan determinan 1.
A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja. Apa kesimpulanm tentang A?
Jawaban: A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0
2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?
Jawaban: A tidak mempunyai inverse. Det(A) = 0
Perkalian vektor dengan matriks A
x = λ x
Ax x x Ax x dan Ax sejajar
2
6/6/2015
Perkalian vektor dengan matriks 2 0 1 4 1 4
2 0 0 4 1 4
1
= 2 4
Au = 2u
2 0 5 4 1 4
0 4
=1
10
Aw ≠ kw
Av = v y
y
y
10 24
2 8 0 4
1 4
5 4 x
x
5
= 24 ≠ k 4
x
Definisi: Nilai dan Vektor Eigen Definisi: Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga Av = λv. λ disebut nilai eigen, v adalah vektor eigen dari A yang bersesuaian dengan λ . Syarat perlu: v ≠ 0
(1) λ ≥ 1
(2) 0 ≤ λ ≤ 1
(3) -1 ≤ λ ≤ 0
(4) λ ≤ - 1
3
6/6/2015
Masalah Vektor Eigen Diberikan matriks persegi A,
A
x
A
x
sejajar =
x λ x
Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x). atau Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu skalar λ
Masalah Nilai Eigen Diberikan matriks persegi A.
A x
=
λ x x vektor tak nol
Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu vektor tak nol x. atau Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan
Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol
4
6/6/2015
Pernyataan-pernyataan ekuivalen Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen 1. λ nilai eigen A 2. Terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx 3. SPL (A – λI)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial) 4. λ adalah penyelesaian persamaan det (A – λI) = 0
Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian persamaan det(λI-A) = 0
Persamaan Karakteristik Jika diuraikan, det (A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ, p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut persamaan karakteristik
A
-
λI
=
A-λI •persamaan karakteristik
det A-λI
= λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.
5
6/6/2015
Contoh 2 0
Mencari semua nilai eigen A= 4 1 Mencari semua penyelesaian persamaan det
2-λ
0
4
1-λ
=0
Mencari penyelesaian persamaan karakteristik (2 - λ )(1 - λ ) = 0
Nilai eigen A adalah
λ1 = 2, λ2 = 1
Prosedur: menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi A. Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut: 1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0 tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ 2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik: λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen merupakan penyelesaian persamaan tersebut.
6
6/6/2015
Contoh: Menentukan nilai eigen Diberikan matriks persegi
1 1 1 A = 0 3 3 −2 1 1
1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0 1 1 1 − λ det( A − λ I ) = det 0 3−λ 3 1 1 − λ −2 (1 − λ ) 2 (3 − λ ) − 6 + 2(3 − λ ) − 3(1 − λ ) = 0
2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:
3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen
(1 − λ )2 (3 − λ ) − (3 − λ ) = 0 λ (λ − 2)(3 − λ ) = 0
Nilai-nilai eigen A: λ1 = 0 λ2 = 2 λ3 = 3
Nilai eigen matriks diagonal Diberikan matriks diagonal
2 0 A= 0 0
0 0 0 5 0 0 0 6 0 0 0 1
0 0 0 2 − λ 0 λ 5 − 0 0 A − λI = 0 0 6−λ 0 0 0 1− λ 0
•Persamaan karakteristik: (2 − λ )(5 − λ )(6 − λ )(1 − λ ) = 0 •Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1 (merupakan entri diagonal utama) Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal utamanya.
7
6/6/2015
Bagaimana menentukan apakah suatu skalar merupakan nilai eigen? •
Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A. 2 2 0 A = 0 4 0 0 1 0
Jawab: Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0, maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A. 2 0 2 − 2 det( A − 2 I ) = det 0 4−2 0 = 0 1 0 − 2 0
2 adalah nilai eigen A
2 0 2 − 0 det( A − 0 I ) = det 0 4−0 0 = 8 ≠ 0 0 1 0 − 0
0 bukan nilai eigen A
2 0 2 − 4 det( A − 4 I ) = det 0 4−4 0 = 0 0 1 0 − 4
4 nilai eigen A
Kelipatan skalar vektor eigen •
Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A 1 1 1 A = 0 3 3 , −2 1 1
−4 r x = −6 2
1 2
−2 r x = −3 1
1 1 1 −4 −8 r r Ax = 0 3 3 −6 = −12 = 2 x −2 1 1 2 4
−40 r 10 x = −60 20
−20 r 5 x = −30 10
1 1 1 −40 r A(10 x) = 0 3 3 −60 = −2 1 1 20
Ax = 2 x
−80 −120 = 2(10 rx) 40
A(10x) = 2 (10x) A
x =
A
(10)
λ
x=
x λ
(10)
x
8
6/6/2015
Kelipatan skalar vektor eigen 1 1 1 A = 0 3 3 , −2 1 1
−4 r x = −6 2
1 2
1 1 1 −4 −8 r r Ax = 0 3 3 −6 = −12 = 2 x −2 1 1 2 4
−2 r x = −3 1
1 1 1 −2 r A( 12 x) = 0 3 3 −3 = −2 1 1 1
Ax = 2 x A
x =
−4 −6 = 2( 1 rx) 2 2
A(1/2 x) = 2 (1/2 x) λ
x
A
(1/2)
x=
λ (1/2) x
Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama
Menentukan semua vektor eigen Eλ •
Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
•
Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)
Null(A - λ I)
Himpunan semua penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Himpunan semua vektor eigen bersesuaian dengan λ
0 Null(A - λ I)-{0}
9
6/6/2015
Ruang Eigen Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Null(A - λ I)x
0
Ruang Eigen
Eλ
Null(A - λ I) = Eλ Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x =
0
Menentukan ruang eigen Eλ •
Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3. 1 1 1 − 3 A − λ I = 0 3 − 3 3 −2 1 1 − 3
1 1 1 A = 0 3 3 −2 1 1
SPL (A - 3 I)x = 0 1 1 x1 1 − 3 r ( A − 3I ) x = 0 3 − 3 3 x2 = −2 1 1 − 3 x3
Penyelesaian x1 x2 x3
=
−2 x1 + x2 + x3
0 0 0
a
= 2a = 0
Himpunan penyelesaian
= 0
3 x3
= 0
−2 x1 + x2 − 2 x3
= 0
1 a 2 , a ∈ R 0
1
0
Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 : a 2 , a ≠ 0, a ∈ R
10
6/6/2015
Nilai eigen matriks pangkat •
•
Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3. 1 1 1 A = 0 3 3 −2 1 1 Tentukan nilai eigen untuk
−1 5 5 A2 = −6 12 12 , A13 , A20 −4 2 1 •
•
Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya. Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A A.Ax = A λx A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2 Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn adalah nilai eigen An
Nilai eigen matriks singular •
Misalkan λ = 0 merupakan nilai eigen dari A. Maka 0 merupakan penyelesaian persamaan karakteristik: dengan menganti λ dengan 0, diperoleh c0 = 0. Padahal det(A- λI) = 0, dengan λ= 0, maka det(A) = c0 = 0. Karena det(A) = 0 maka A tidak mempunyai inverse.
•
Sebaliknya, det(A) = det(A - λI) dengan mengambil λ = 0.Jadi det(A) = c0. Jika A tidak mempunyai inverse, maka det(A) = 0 = c0. Sehingga λ = 0 merupakan salah satu penyelesaian persamaan karakteristik; λ = 0 merupakan salah satu nilai eigen dari A.
0 adalah nilai eigen A jika dan hanya jika A tidak mempunyai inverse.
11
6/6/2015
Nilai eigen matriks transpose det(B) = det(BT) (A- λ I)T = (AT-λ I) Misalkan λ = 0 merupakan nilai eigen dari A, maka det(A- λ I)= 0 Karena matriks dan transposenya mempunyai determinan yang sama, maka det(A- λ I)T= 0 Karena (A- λ I)T = (AT-λ I) , maka det(AT- λ I)= 0 Jadi, λ adalah nilai eigen dari AT A dan AT mempunyai nilai eigen yang sama
A dan A-1 mempuyai nilai eigen yang sama
Diagonalisasi Definisi: Matriks persegi A dapat didiagonalkan jika terdapat matriks yang mempunyai inverse sedemikian hingga P-1AP = D adalah matriks diagonal. 5 −6
Contoh: A = 3 − 4
2 1 P= 1 1
P-1AP=
1 −1 P −1 = −1 2
1 −1 5 −6 2 1 2 0 = −1 2 =D 3 −4 1 1 0 −1
Matriks diagonal
A dapat didiagonalkan
12
6/6/2015
Kapan matriks A dapat didiagonalkan? •
Teorema: Jika A adalah matriks nxn, maka kalimat-kalimat berikut ini ekuivalen: 1. A dapat didiagonalkan 2. A mempunyai n vektor-vektor eigen yang bebas linier
Bukti (1) (2) a11 Diberikan A A = a21 M an1
a12 L a1n a22 L a2 n M M an 2 L ann
Misalkan A dapat didiagonalkan, maka terdapat matriks P yang mempunyai inverse p11 p P = 21 M pn1
p12 L p22 L M pn 2 L
p1n p2 n M pnn
p11 p AP=PD = 21 M pn1
p12
L
p22 M
L
pn 2 L
p1n p2 n M pnn
Sedemikian hingga P-1AP = D matriks diagonal λ1 p11 λ2 p12 L λn p1n λ p 1 21 λ2 p22 L λn p2n M M M λ1 pn1 λ2 pn2 L λn pnn
λ1 0 L 0 0 λ L 0 2 D= M M M 0 0 L λ n
Kapan matriks A dapat didiagonalkan? (lanjt) P-1AP = D, kalikan dengan P-1, AP = PD p11 p 21 PD = M pn1
p12 L p22 L M pn 2 L
p1n p2 n M pnn
a11 a12 L a1n a a L a2 n AP = 21 22 M M M an1 an 2 L ann
λ1 0 L 0 0 λ L 0 2 M M M 0 0 L λn
p11 p 21 M pn1
p12 L p22 L M pn 2 L
λ1 p11 λ2 p12 L λn p1n λ p λ2 p22 L λn p2n = 1 21 M M M λ1 pn1 λ2 pn2 L λn pnn
p1n p2 n M pnn
uur = A p1
uur uur uur = λ1 p1 λ2 p2 L λn pn
uur uur A p2 L A pn
AP = PD, jadi uur uur A p1 = λ1 p1
uur uur uur uur A p2 = λ2 p2 L A pn = λn pn
Karena P mempunyai inverse, maka kolom-kolmnya bukan kolom nol. Berdasarkan deinisi nilai eigen, maka λ1, λ2, λ3, …,λn merupakan nilai-nilai eigen A, dan kolom-kolom P adalah vektor-vektor eigen A yang bebas linier (karena P mempunya inverse) Bukti untuk (2) pemahaman.
(1) kerjakanlah sebagai latihan untuk memperdalam
13
6/6/2015
Prosedur mendiagonalkan matriks •
Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
Prosedur 1. Tentukan n vektor eigen A yang bebas linier, misalkan p1, p2, p3, …, pn 2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah p1, p2, p3, …, pn 3. Mariks D = P-1AP adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2, λ3, …,λn dengan λj adalah nilai eigen bersesuaian dengan pj untuk j = 1, 2, 3, …, n
Contoh: mendiagonalkan matriks •
Diberikan matriks Anxn. Akan dicari P sedemikian hingga PAP-1 = D.
5 −6 A= 3 −4
Prosedur 1. Tentukan 2 vektor eigen A yang bebas linier. Pertama kita tentukan nilai-nilai eigennya yaitu λ1= 2 dan λ2= -1 (telah dihitung sebelumnya). Tentukan vektor eigen bersesuaian dengan nilai eigen, dengan menyelesaiakn SPL (A - λ I)x =0. Diperoleh
ur 2 p1 = 1
ur 1 p2 = 1
2. Dibentuk matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor eigen di atas.
2 1 P= 1 1
1 −1 P −1 = −1 2
3. Matriks D = P-1A P adalah matriks diagonal yang entri diagonal utamanya adalah λ1, λ2 berturut-turut
2 0 D= 0 −1
14
6/6/2015
Masalah Diagonalisasi dan masalah vektor eigen • Masalah vektor eigen Diberikan matriks Anxn, apakah terdapat basis di Rn terdiri atas vektor-vektor eigen? • Masalah diagonalisasi Diberikan matriks Anxn apakah terdapat matriks yang mempunyai inverse P sedemikian hingga nP-1AP adalah matriks diagonal? Teorema: Anxn dapat didiagonalkan jika dan hanya jika terdapat n vektor eigen yang bebas linier. Padahal, setiap n vektor yang saling bebas linier di Rn merupakan basis Rn. Kesimpulan: masalah vektor eigen sama dengan masalah diagonalisasi
15