FACULTEIT WETENSCHAPPEN Vakgroep Fysica
Over niet-conservatieve evolutie van dubbelsterren
Verhandeling voorgelegd voor het behalen van de graad van Licentiaat in de Natuurkunde door
Nicki Mennekens Academiejaar 2006-2007 Promotor: Prof. Dr. W. van Rensbergen
3
Voor pepe en meme
De ontwikkelingen in dit onderzoek sinds de voltooiing van deze verhandeling op 1 juni 2007 staan beschreven in Van Rensbergen et al. (2008).
4
5
Dankwoord In de eerste plaats gaat mijn dank naar mijn promotor Walter van Rensbergen. Zijn constante enthousiaste begeleiding was zonder meer vitaal voor het goede welslagen van dit eindwerk. Ook mijn de facto copromotor Jean-Pierre De Greve verdient een voorname plaats in dit dankwoord, voor zijn vele directe en indirecte interventies en invalshoeken. Verder wil ik ook de andere leden van de onderzoeksgroep Sterrenkunde, in het bijzonder Bert de Loore, Dany Vanbeveren en Chris Sterken, bedanken voor hun bijdragen tot een beter begrip van de astrofysica in het algemeen en dubbelsterevolutie in het bijzonder. Ook gaat mijn dank naar de vele mensen die bijgedragen hebben tot een (allesbehalve evidente) goede werking van de benodigde informaticasystemen. In het bijzonder denk ik dan aan Alex Borgoo, Francesco Cancelliere, Houria Belkus en Willy Mennekens. Last but not least binnen de VUB gaat mijn dank naar vele van mijn collega Wis- en Natuurkundestudenten, in het bijzonder Wieland Staessens, voor de ontelbare discussies die geleid hebben tot een (soms veel) beter beeld van de fysica, zowel cursusgerelateerd als daarbuiten. Erkentelijkheid gaat ook naar de mensen die logistieke hulp geboden hebben, en de voorlopige teksten nagelezen hebben. Naast mijn promotor denk ik hierbij vooral aan mijn ouders. Outside of our institute, I would first like to thank Lev Yungelson for his important scientific and IT input during his visit, and the continuing valuable comments and suggestions afterwards. Also the visits to and the interaction with the Astronomical Institute, Utrecht University and the Institut d’Astronomie et d’Astrophysique, Université Libre de Bruxelles have been appreciated. The same is true for the organizers and participants of the conferences we attended this year, allowing us to make our findings public and incorporate many interesting comments.
This research has made use of NASA's Astrophysics Data System Bibliographic Services. This research has made use of the SIMBAD database, operated at CDS, Strasbourg, France.
6
Inhoudstafel 1. Inleiding.....................................................................................................................8 1.1. Situering...............................................................................................................8 1.2. Samenvatting........................................................................................................8 2. Definities en conventies............................................................................................9 2.1. Eenheden en constanten .......................................................................................9 2.2. Sterindices en massaverhouding ..........................................................................9 2.3. Algols .................................................................................................................10 3. Massaverlies bij sterren .........................................................................................11 3.1. Evolutiesporen van enkelvoudige en dubbelsterren ..........................................11 3.2. Massaverlies bij enkelvoudige en dubbelsterren ...............................................12 4. Stand van zaken......................................................................................................13 4.1. Waargenomen distributies van orbitale periodes en massaverhoudingen .........13 4.2. Begindistributies van orbitale periodes en massaverhoudingen ........................14 4.3. Conservatieve Algolevolutie vergeleken met waarnemingen............................15 5. Conservatieve Algolevolutie ..................................................................................17 5.1. Situatie voor RLOF............................................................................................17 5.2. Situatie tijdens RLOF ........................................................................................17 6. De snel roterende gainer ........................................................................................19 6.1. Kritische snelheid...............................................................................................19 6.2. Verhoogde sterrenwind ......................................................................................19 6.3. Opspinning.........................................................................................................20 6.4. Getijdenwerking.................................................................................................21 7. Lichtkrachten .........................................................................................................23 7.1. De Eddingtonlichtkracht ....................................................................................23 7.2. De accretielichtkracht ........................................................................................23 7.3. Globale lichtkrachten versus lokale accretielichtkracht ....................................26 8. Bepaling van de orbitale periodes.........................................................................27 8.1. Baanimpulsmoment ...........................................................................................27 8.2. Voor RLOF ........................................................................................................28 8.3. Tijdens conservatieve RLOF .............................................................................28 8.4. Tijdens niet-conservatieve RLOF ......................................................................29 8.4.1. Massa verloren via verhoogde sterrenwind...........................................................................29 8.4.2. Massa verloren via coroterend punt ......................................................................................29 8.4.2.1. Voorbeelden...................................................................................................................30 8.4.3. Massa verloren via punt in Keplerbaan.................................................................................31 8.4.3.1. Voorbeeld.......................................................................................................................31
9. Studie van verschillende q-bepalingen .................................................................32 9.1. Achtergrond .......................................................................................................32 9.2. Werkwijze ..........................................................................................................33 9.3. Vergelijking .......................................................................................................36 9.4. Statistiek.............................................................................................................39 10. Bepaling van de accretiepotentiaal .....................................................................41 10.1. Rechtstreekse inslag.........................................................................................41 10.2. Accretieschijf ...................................................................................................44 11. Bindingsenergie van gainer-materiaal ...............................................................46 11.1. Stralings- en gasdruk........................................................................................46 11.2. Hydrostatisch evenwicht ..................................................................................46 11.3. Energievergelijking..........................................................................................47
7 12. Identificatie van niet-conservatieve systemen....................................................50 13. Niet-conservatieve evolutiecode ..........................................................................58 14. Typevoorbeeld van een niet-conservatief systeem.............................................60 15. Intermezzo: verjonging........................................................................................64 15.1. Hertzsprung-Russell diagram...........................................................................64 15.2. Leeftijdsvergelijking ........................................................................................65 16. Het grensgebied van niet-conservatieve evolutie...............................................67 17. Bepaling van efficiëntie en oppervlakte van de hot spot...................................73 17.1. Werkwijze ........................................................................................................73 17.2. Resultaten.........................................................................................................74 17.3. Emissielijnen....................................................................................................76 18. Belang van het massaverlies ................................................................................79 18.1. Grootte-orde.....................................................................................................79 18.2. Invloed op q- en P-distributies.........................................................................83 19. Conclusies..............................................................................................................85 20. Lijst van afkortingen en websites .......................................................................87 21. Referenties.............................................................................................................88
8
1. Inleiding 1.1. Situering De voorbije decennia is een uitgebreide en bevredigende beschrijving van conservatieve Algolevolutie tot stand gekomen. Dit zijn systemen waarbij alle materie die de donor door Roche Lobe Overflow (RLOF) verliest opgenomen wordt door de gainer. Deze wordt hierbij zwaarder in massa dan de donor, die oorspronkelijk de meest massieve component was. Zeer mooie samenvattingen van de stand van zaken in de klassieke Algoltheorie worden gegeven door Kopal (1979) en Batten (1989) (waaronder de bijdrage van De Greve (1989)). Een algemeen bekend element van deze tak van de astrofysica is de Algolparadox. Vroege waarnemers verbaasden zich erover dat de rode reus in een Algolsysteem de minst zware ster is, terwijl iedereen weet dat zware sterren sneller evolueren dan lichte. De oplossing is uiteraard dat de meest geëvolueerde ster inderdaad de zwaarste was, maar de titel van zwaarste ster wegens het massaverlies is kwijtgespeeld. De studie van niet-conservatieve Algolevolutie, waarbij geponeerd wordt dat een vast deel van het RLOF-materiaal afgegeven wordt aan het interstellair medium, is niet nieuw. Een stand van zaken hiervan wordt onder andere gegeven door de Mink et al. (2007). Het voorliggende werk gaat echter niet uit van niet-conservatisme per definitie, maar probeert hiertoe te komen via fysische waarschijnlijkheid en observationele noodzakelijkheid. 1.2. Samenvatting Recent onderzoek heeft uitgewezen dat de resultaten van conservatieve evolutie niet in staat zijn om de hoge waargenomen populatie aan grote massaverhoudingen (Algolsystemen waarbij er slechts een klein verschil in massa is tussen beide sterren) te verklaren. De verdeling van orbitale periodes is echter wel zoals theoretisch verwacht. Een mogelijke uitweg is een scenario waarbij massa aan het systeem verloren gaat, zonder dat dit teveel impulsmoment wegneemt. Een dergelijke niet-conservatieve evolutie kan een gevolg zijn van het feit dat, wanneer de donor tijdens een korte periode aan het begin van de RLOF teveel materie verliest, de gainer deze niet volledig kan opnemen en het overtollige deel uitgestoten wordt als een soort sterrenwind. In dit werk wordt verder ingegaan op deze hypothese. Er wordt een fysisch model opgesteld van hoe rotationele snelheid en accretielichtkracht samen deze nietconservatieve evolutie kunnen veroorzaken. De resultaten bekomen met de aangepaste evolutionaire code en de implicaties voor de distributies van massaverhoudingen en orbitale periodes worden besproken.
9
2. Definities en conventies 2.1. Eenheden en constanten Zoals gebruikelijk in astrofysische context wordt hoofdzakelijk in cgs eenheden gewerkt. Vaak wordt uit overwegingen van eenvoud ook overgeschakeld naar zonneeenheden. De gebruikte eenheden zijn telkens vermeld, zodat geen verwarring kan optreden. In tabellen en grafieken worden massa’s steeds in M ⊙ uitgedrukt, massaverliezen in M ⊙ y en periodes in dagen. Op plaatsen waar dit uit de context ɺ RLOF eenvoudig als M ɺ genoteerd. duidelijk is wordt M d
De doorheen het werk veel gebruikte constanten zijn de volgende: zonsmassa: M ⊙ = 1, 989.1033 g zonslichtkracht: L ⊙ = 3,826.1033 erg s zonsstraal: R ⊙ = 6, 9599.1010 cm gravitatieconstante: G = 6, 67259.10−8 dyne cm 2 s 2 lichtsnelheid: c = 2, 99792458.1010 cm s dag: d = 8, 64.104 s jaar: y = 3,15576.107 s
2.2. Sterindices en massaverhouding Een veel gebruikte formule is de derde wet van Kepler, die een verband geeft tussen de som van de massa’s van twee rond elkaar roterende objecten en de halve lange as en periode van hun baan: ω
2 orb
4π 2 G ( M1 + M 2 ) = 2 = P a3
(2.1)
In veel gebruikte numerieke vorm levert dit:
(
a R ⊙ = 4, 207 M1 M ⊙ + M 2 M ⊙
) P [d] 13
23
(2.2)
In tegenstelling tot observationele werken en catalogi, die de meest lichtkrachtige ster als primaire aanduiden (een conventie die de indices in de loop van de evolutie dus kan wijzigen), wordt hier steeds de ster die donor is bij de start van RLOF als primaire aangeduid. Om echter alle verwarring te vermijden zal deze ster de index d (donor) toegewezen krijgen, terwijl de begeleider (in onze definitie de secundaire ster) de index g (gainer) krijgt.
10 De massaverhouding q wordt gedefinieerd als de massa van de donor gedeeld door die van de gainer, een grootheid die in het geval van een Algol noodzakelijk tussen nul en één gelegen is, daar in een dergelijk systeem de gainer de zwaarste ster geworden is:
q=
Md Mg
(2.3)
2.3. Algols In de literatuur wordt soms nogal vrijelijk omgesprongen met de term Algol (de historische naam van het dubbelstersysteem β Per), om systemen aan te duiden waarbij RLOF ervoor gezorgd heeft dat de gainer zwaarder geworden is dan de origineel meest massieve donor. In onze context zijn de strikte voorwaarden opdat een systeem de benaming Algol zou krijgen echter deze van Peters (2001): •
Md < Mg
• • •
donor vult Roche volume gainer vult Roche volume niet en is MS-ster Teff,d < Teff,g
•
Ld < Lg
•
Rd > Rg
11
3. Massaverlies bij sterren 3.1. Evolutiesporen van enkelvoudige en dubbelsterren Beschouwd worden twee enkelvoudige sterren, met respectieve massa’s 9, 0 M ⊙ en 5, 4 M ⊙ . Hun evolutiespoor wordt berekend met de conservatieve Brusselcode (zie 4.3) en geplot in een HRD in Figuur 3.1. Dit geeft het volgende resultaat, met de meest massieve ster bovenaan:
Figuur 3.1: HRD voor twee enkelvoudige sterren Figuur 3.2 toont het HRD van de conservatieve evolutie van het dubbelstersysteem dat bestaat uit de twee sterren waarvan de enkelvoudige evolutie getoond werd in Figuur 3.1. De initiële baanperiode van de dubbelster bedraagt hierbij 2,25 dagen. Dit typevoorbeeld zal verder nogmaals aan bod komen. In Figuur 3.2 wordt het spoor van de gainer (linksboven) en dat van de donor (rechtsonder) verdikt weergegeven als het systeem aan de Algolvoorwaarden voldoet. In stippellijn worden de enkelvoudige evolutiesporen uit Figuur 3.1 weergegeven.
12
Figuur 3.2: HRD voor een interagerende dubbelster Het is dus duidelijk dat het zich al dan niet bevinden in een interagerende dubbelster van enorme invloed is op het evolutiespoor van een ster.
3.2. Massaverlies bij enkelvoudige en dubbelsterren Gedurende hun volwassen leven als MS-ster verliezen enkelvoudige sterren enkel massa via sterrenwind en straling. Reimers (1975) geeft een zeer eenvoudige en benaderende uitdrukking voor de sterrenwind:
ɺ ≈ 10 −13 L R M ⊙ M y M ⊙ L⊙ R ⊙ M
(3.1)
De Jager et al. (1988) geeft een nagenoeg equivalente bepaling: 1,769
ɺ ≈ 10 −8,158 L M L⊙
−1,676 Teff M⊙ y
(3.2)
Voor sterren van de orde van een zonsmassa levert dit een massaverlies van ongeveer 10 −13 M ⊙ y (voor de rustige zonnewind is dit ∼ 2.10−14 M ⊙ y ), wat totaal verwaarloosbaar is, evenals de via E = mc2 als energie uitgestraalde massa van dezelfde grootteorde. Voor massieve sterren wordt het massaverlies, tot 10−3 M ⊙ y , evolutionair belangrijk. Indien verondersteld wordt dat dubbelsterevolutie conservatief is, m.a.w. dat alle via RLOF door de donor verloren materie opgenomen wordt door de gainer, zal het enige massaverlies uit een dubbelster dat van hierboven zijn.
13
4. Stand van zaken 4.1. Waargenomen distributies van orbitale periodes en massaverhoudingen Omdat Algols bedekkingsveranderlijken zijn, zijn al de orbitale periodes welbekend, en worden onder meer weergegeven in Budding et al. (2004), Brancewicz en Dworak (1980) en Kholopov et al. (1998). De aldus bekomen verdeling wordt voorgesteld in Grafiek 4.1.
Grafiek 4.1: de waargenomen Algol P-verdeling De verdeling van waargenomen massaverhoudingen is echter sterk verschillend naar gelang de methode die gebruikt werd om q te bepalen. In Grafiek 4.2 worden de resultaten weergegeven bekomen via de Main Sequence veronderstelling (de aanname dat de gainer de temperatuur en lichtkracht van een hoofdreeksster heeft), de SemiDetached veronderstelling (die stelt dat R d = R Roche,d ) en de Light Curve methode.
14
Grafiek 4.2: de volgens verschillende methoden waargenomen Algol q-verdelingen
4.2. Begindistributies van orbitale periodes en massaverhoudingen De begindistributies van orbitale periodes en massaverhoudingen voor Algols met een B-type primaire zijn bepaald door Van Rensbergen et al. (2006). Dit rekening houdend met verschillende selectie-effecten om de SB9-cataloog van Pourbaix et al. (2004) zo dicht mogelijk te benaderen. Het resultaat wijkt af van een initiële periodedistributie zoals van Popova et al. (1982): A Π (P) = met P
Pmax
∫ Π ( P ) dP = 1
(4.1)
Pmin
Deze distributie voorspelt te veel hoge periodes vergeleken met de waarnemingen. Een aangepaste verdeling, met een onderscheid tussen lage en hoge periodes, geeft echter wel goede resultaten. Voor een laat B-type primaire ( M d ∈ [ 2,5-7 ] ) is deze: 33,37d
∫ 0,93d
A dP = 0, 793 en P
9000d
B dP = 0, 207 P 33,37d
∫
(4.2)
Terwijl voor een vroeg B-type primaire ( M d ∈ [ 7-16,7 ] ) geldt: 12,91d
∫ 1,02d
4000d
A B dP = 0, 791 en ∫ dP = 0, 209 P P 12,91d
(4.3)
15 De initiële massaverhoudingsdistributie gevonden door Van Rensbergen et al. (2006) is een genormaliseerde verdeling zoals die van Kuiper (1935):
Ψ (q ) =
C
(1 + q )
δ
(4.4)
+0,35 Hierin is δ = 0, 65+−0,35 0,55 voor late B-types en δ = 1, 65−0,50 voor vroege.
4.3. Conservatieve Algolevolutie vergeleken met waarnemingen De verzameling van conservatieve simulaties van de Vrije Universiteit Brussel (http://we.vub.ac.be/astrofys) uit De Loore en Van Rensbergen (2005) bevat zo’n 250 evolutiesporen met kleine beginperiode, die tot geval A RLOF leiden (d.w.z. tijdens de waterstof kernverbranding van de donor). Tijdens RLOF A vertonen alle dubbelsterren een periode van Algol A, waarin de massaverhouding en periode drastisch veranderen. In veel gevallen wordt RLOF A gevolgd door RLOF B (tijdens de waterstof schilverbranding van de donor). Systemen die wegens een hoge beginperiode niet aan RLOF A doen, kunnen ook een korte Algol B fase vertonen. Dergelijke systemen werden beschouwd door Van Rensbergen (2003). Een gelijkaardige berekening van conservatieve Algol A systemen werd ook uitgevoerd door Nelson en Eggleton (2001). Uit het rooster van conservatieve evoluties werd een Monte Carlo simulatie gemaakt van de orbitale periode- en massaverhoudingsdistributie van Algols. Als beginvoorwaarden werden voor de orbitale periode (4.2) en (4.3) gebruikt, voor de massaverhouding (4.4). De initiële donormassa wordt gegeven door de distributie van Salpeter (1955): ζ (M) =
C M 2,35
(4.5)
De waargenomen periodedistributie van 303 Algols die bekomen kunnen worden uit conservatieve evolutie met een initiële B-type primaire wordt weergegeven in Grafiek 4.3. Er worden meer A dan B gevallen gevonden, daar een Algol A fase een klein deel van de nucleaire tijdschaal inneemt, terwijl Algol B een deel van de veel kortere Kelvin-Helmholtz tijdschaal beslaat. RLOF A reproduceert de waargenomen distributie vrij goed. De Algol B gevallen pieken echter naar hoge periodes, en bijgevolg wordt slechts een bijdrage van enkele procenten Algol B tot de Algolpopulatie verwacht.
16
Grafiek 4.3: waargenomen en berekende periodedistributies Grafiek 4.4 geeft de waargenomen massaverhoudingsdistributie weer van dezelfde 303 Algols. De massaverhoudingen van de Algol B gevallen pieken naar kleine waarden, terwijl RLOF A een meerderheid van Algols in de q-bin [ 0, 2-0, 4] oplevert. Niet-conservatieve dubbelsterevolutie is noodzakelijk om de waargenomen hoge qbins [ 0, 4-1] te bevolken.
Grafiek 4.4: waargenomen en berekende massaverhoudingsdistributies De waargenomen distributie van de “303 Observations” in Grafiek 4.4, die hier enkel ter vergelijking gebruikt wordt, is een gewogen gemiddelde van de drie waarden in Grafiek 4.2, dat gedetailleerd zal afgeleid worden in Hoofdstuk 9.
17
5. Conservatieve Algolevolutie We definiëren de parameter β , die a-priori een variabele is tijdens het verloop van de evolutie, als volgt:
ɺ = −βM ɺ RLOF M g d
(5.1)
Deze grootheid geeft dus de fractie van de materie, via RLOF verloren door de donor, die geaccepteerd wordt door de gainer (hetzij door rechtstreekse inslag, hetzij via een accretieschijf). In het volgende wordt nagegaan welke fysische betekenis aan β gehecht kan worden in de verschillende evolutiestadia van het systeem.
5.1. Situatie voor RLOF Wanneer beide sterren zich nog binnen hun Roche volume bevinden, veronderstelt ons model dat sterrenwind de enige manier is waarop ze, volledig onafhankelijk van elkaar, massa verliezen. De massa van elke component in de n-de stap van het evolutiemodel wordt dus gegeven door: M dn = M dn-1 + ∆M SW d n n-1 SW M g = M g + ∆M g
(5.2)
Hierin stelt de term ∆MSW ≤ 0 de massa voor die de betreffende component tussen beide stappen verliest via sterrenwind. Het is duidelijk dat β in deze context geen betekenis heeft.
5.2. Situatie tijdens RLOF Wanneer na verloop van tijd de donor door haar snellere evolutie (t.g.v. een grotere beginmassa) als enige haar Roche volume vult, zal RLOF optreden via L1 . De straal van dit Roche volume wordt met q volgens (2.3) benaderend gegeven door Eggleton (1983):
R Roche 0, 49q 2 3 = a 0, 6q 2 3 + ln 1 + q1 3
(
)
(5.3)
Veronderstellen we eerst dat initieel alle overgedragen massa geaccepteerd zal worden door de gainer, hetzij via rechtstreekse inslag, hetzij via de vorming van een accretieschijf (zie 10.2). Dit is het conservatieve scenario. De massa-evolutie van beide componenten wordt nu weergegeven door:
18 RLOF M dn = M dn-1 + ∆M SW d + ∆M d n n-1 SW RLOF M g = M g + ∆M g − ∆M d
(5.4)
De bijkomende term ∆M dRLOF ≤ 0 stelt de massa voor die in de betreffende tijdstap door de donor verloren wordt en door de gainer opgenomen. door ∆MSW+ : de verhoogde Voor massieve gainers vervangt Langer (1998) ∆MSW g g sterrenwind. Deze is een gevolg van het feit dat de gainer zal opspinnen t.g.v. de inslag van het van de donor afkomstige materiaal (zie ook Hoofdstuk 6). Als gevolg van het opspinnen zal de equatoriale snelheid v eq,g van de gainer toenemen. Naarmate v eq,g de kritische evenaarssnelheid vcrit,g benadert, zal de materie van de gainer minder sterk gebonden raken, wat leidt tot deze verhoogde sterrenwind. Langer (1998) geeft hiervoor volgende uitdrukking:
∆M
SW+ g
= ∆M
SW g
1 1 − Ωg
0,43
(5.5)
gegeven wordt door de Jager et al. (1988) en met waarin ∆MSW g Ωg =
v eq,g
(5.6)
v crit,g
Een meer gesofisticeerde uitdrukking voor de verhoogde sterrenwind wordt besproken in paragraaf 6.2. De kritische snelheid vcrit,g is deze waarbij de middelpuntvliedende versnelling van de kritische rotatiesnelheid op een equatoriale testmassa m de zwaartekracht evenaart: m
2 v crit,g
Rg
=G
mM g R
2 g
⇒ v crit,g =
GM g Rg
(5.7)
De zogenaamde Ω -limiet wordt dus bereikt wanneer v eq,g → v crit,g . Het is duidelijk dat in deze limiet de verhoogde sterrenwind naar oneindig gaat, wat fysisch onmogelijk is. Een model voor deze situatie wordt gegeven in 6.2. Zolang v eq,g echter vcrit,g niet te dicht benadert, zal β slechts licht van 1 afwijken: β=
−∆M dRLOF + ∆M SW+ g −∆M dRLOF
(5.8)
19
6. De snel roterende gainer 6.1. Kritische snelheid De waarde van vcrit,g wordt voor een sferische ster, waarvan de zelfgravitatie in evenwicht is met de stralingsdruk, gegeven door:
v crit,g =
GM g (1 − Γ g )
(6.1)
Rg
met Γg =
L nuc,g + L acc,g
(6.2)
L Eddington,g
Dit betekent dus dat de kritische snelheid, naast massa en straal, ook afhangt van de verhouding van de totale lichtkracht van de ster (nucleaire lichtkracht plus accretielichtkracht) tot de Eddingtonlichtkracht. Er wordt in Hoofdstuk 7 verder ingegaan op de constituenten van deze vergelijking. Ook Beer et al. (2007) behandelen de gevolgen van super-Eddington massatransfer voor massaverlies uit het systeem. Er dient opgemerkt te worden dat de kritische snelheid in principe lager ligt t.g.v. de afplatting van de snel roterende ster. Porter (1996) argumenteert dat bij het bereiken van de kritische snelheid R eq = 1, 5R pol , zodat:
v crit,g =
2GM g (1 − Γg ) 3R pol,g
=
GM g (1 − Γg ) R eq,g
(6.3)
Dit effect wordt echter tegengewerkt door het feit dat de evenaar van een snel roterende ster minder helder is dan diens polen, t.g.v. het relativistische theorema van von Zeipel (1924). Bijgevolg worden beide, elkaar tegenwerkende, effecten verwaarloosd.
6.2. Verhoogde sterrenwind Zoals reeds opgemerkt geeft (5.5) slechts een ruw beeld van de verhoogde sterrenwind. Het is duidelijk dat deze uitdrukking divergeert voor v eq,g → v crit,g en dus enkel een idee geeft van de afwijking t.o.v. β = 1 voor beperkte RLOF, bv. v eq,g < 0, 95v crit,g .
20 Een gedetailleerdere bepaling van de verhoogde sterrenwind is mogelijk door de formule van Maeder en Meynet (2000) te gebruiken. Zij geven hiervoor:
∆M
SW+ g
= ∆M
SW g
1 − Γg 2 1 − aΩ g − Γ g
1 −1 α
(6.4)
Hierin is α ( T ) een empirische parameter bepaald door Lamers et al. (1995), en
a = 4 9 . Nauwkeuriger is echter om a eveneens empirisch te bepalen uit de gegevens van Petrenz en Puls (2000), wat een waarde van iets minder dan 3 9 levert. De aldus verhoogde sterrenwind levert een aanzienlijke bijdrage tot het massaverlies van het dubbelstelsel in het geval dat het om een massief stelsel gaat, zoals het 16 + 15M ⊙ systeem van Langer (1998) en Wellstein (2001). Een grafische voorstelling van de verhoogde sterrenwind volgens zowel Langer (1998) als Maeder en Meynet (2000) als functie van Ω g wordt weergegeven in Grafiek 6.1:
Grafiek 6.1:
∆MSW+ g ∆M SW g
als functie van Ω g
6.3. Opspinning Indien er zoveel RLOF-materiaal invalt op de gainer dat volledige opname hiervan v eq,g boven vcrit,g zou brengen, zal de gainer enkel dat deel ∆M dRLOF,crit aanvaarden dat de snelheid sub-kritisch houdt. Voor de massieve sterren die beschouwd worden door Wellstein (2001) zijn er voldoende atmosferische fotonen voorhanden om de rest van
21 ∆M dRLOF weg te blazen als verhoogde sterrenwind. Bijgevolg komt β in dit geval volgens (5.8) ver onder één te liggen. Nu wordt onderzocht wat dit tot gevolg heeft voor het opspinnen van de gainer. Volgens het scenario van Packet (1981), verfijnd door Langer (1998) en Wellstein (2001) geldt:
2 ∆J g+ = GR g M 3g 3
3 RLOF 2 ∆M d d 1 − − 1 Rg M g
(6.5)
d Hierin is de impactparameter die het probleem in het geval van een direct hit R g scenario herleidt tot verstrooiing door een centrale kracht, zoals bij Alonso en Finn (1980). De situatie wordt geschetst in Figuur 6.1:
Figuur 6.1: verstrooiing door een centrale kracht De constraint op cos α is de volgende: 2
R d = 1− g ≤ 1 0 ≤ cos α = ℓg Rg
(6.6)
Hierin is ℓ g dus de afstand van L1 tot het middelpunt van de gainer.
6.4. Getijdenwerking Steunend op het werk van Darwin (1879) geeft Zahn (1977) een scenario dat het opspinnen kan tegengaan, namelijk getijdenwerking. De synchronisatie tijdschaal wordt benaderd door:
22 2
τsync
Mg a6 ≈ 6 Md R g
(6.7)
Indien het opspinnen ervoor gezorgd heeft dat de hoeksnelheid ωg van de gainer opgelopen is tot boven de evenwichtswaarde ωsync , zal de gainer neerspinnen: ∆J g− =
Jg ωg
(ω
− ∆t τsync fsync − − ω 1 e ) sync g
(6.8)
Hierin is de parameter fsync afhankelijk van het type interactie: voor zwakke getijdenwerking is fsync gelijk aan 1, voor sterke aan 0,1. Het voorkomen van deze laatste situatie wordt besproken door Witte en Savonije (1999). De totale verandering in impulsmoment wordt dus gegeven door:
∆J g = ∆J g+ + ∆J g−
(6.9)
Bijgevolg geldt voor een tijdstap dat:
J gn +1 = J gn + ∆J g
(6.10)
Na het einde van de RLOF zal de getijdenwerking ervoor zorgen dat synchronisatie bereikt wordt, en het impulsmoment bijgevolg constant blijft.
23
7. Lichtkrachten 7.1. De Eddingtonlichtkracht De Eddingtonlichtkracht zoals gebruikt in (6.2) wordt gegeven door: L Eddington =
4πGc κ
(7.1)
Hierin wordt de opaciteit van Rosseland (1936) κ gegeven door de gemiddelde som van de bound-bound, bound-free, free-free en elektronopaciteiten: κ = κ bb + κ bf + κ ff + κ e−
(7.2)
In het sterinwendige zijn alle atomen wegens de hoge temperaturen echter volledig geïoniseerd. Veronderstellen we daarom dat de opaciteit, ook in de buitenste lagen, bij benadering enkel veroorzaakt wordt door Thomson scattering ( e− verstrooiing), dan geldt:
κ ≈ κ e− = 0, 2 (1 + X )
(7.3)
Hierin is X de massafractie van waterstof voor de betreffende ster. Voor een generische waarde van X = 0, 7 levert dit als resultaat κ ≈ 0, 34 cm 2 g -1 en bijgevolg:
L Eddington ≈ 38000
M L⊙ M⊙
(7.4)
De veronderstelling m.b.t. de opaciteit kan er echter toe leiden dat deze onderschat werd, wat een overschatting van de Eddingtonlichtkracht zou betekenen. Bij een grotere Rosselandopaciteit zal een deeltje minder bijkomende energie nodig hebben om te ontsnappen, bij een kleinere is het tegendeel waar. Uit de κ -waarden van Kurucz (1979) voor sterren met een Teff tussen 5000 en 50000 K blijkt dat bij een Rosselandopaciteit van 2 3 meestal geldt dat κ < 0,34 cm 2 g -1 voor lage temperaturen in dit bereik, en κ > 0, 34 cm 2 g -1 voor hoge. Rogers en Iglesias (1992) bekomen gelijkaardige resultaten.
7.2. De accretielichtkracht De accretielichtkracht L acc wordt volgens Peters en Polidan (2004) veroorzaakt door het ontstaan van een hot spot op de achterlopende zijde aan de evenaar van de gainer, daar waar het RLOF-materiaal via L1 invalt. Peters en Polidan (2004) geven ook de waargenomen eigenschappen van de hot spots die gevormd worden bij de drie Algolstelsels V356 Sgr, TT Hya en RY Per. Volgens hydrodynamische berekeningen van
24 Bisikalo et al. (2005) geeft dit bij het bestaan van een accretieschijf aanleiding tot een uitgesmeerde hot line. Deze bevindingen zijn een gevolg van hydrodynamische berekeningen en de waarneming van sterke emissielijnen bij een fase Φ van 0,75, d.w.z. wanneer de hot spot onverduisterd is t.o.v. de waarnemer. Figuur 7.1 geeft deze situatie weer in het geval dat de hot spot op de equator van de gainer gevormd wordt door rechtstreekse inslag. De hot spot wordt even zo goed gevormd in het geval dat de gainer omgeven is door een accretieschijf.
Figuur 7.1: geometrische voorstelling van hot spots bij directe inslag De accretielichtkracht wordt veroorzaakt door de opwarming van (ideaal vanop oneindig) invallend materiaal. Bij RLOF van de donor naar de gainer via L1 wordt deze bij rechtstreekse inslag gegeven door:
Lacc =
ɺ RLOF GM g M d
Rg
(7.5)
Volgens Carroll en Ostlie (1996) moet (7.5) bij het bestaan van een accretieschijf vervangen worden door:
Ldisk acc =
ɺ RLOF GM g M d
2R g
(7.6)
De andere helft van L acc wordt dan rechtstreeks op het steroppervlak afgezet. De situatie wordt voorgesteld in Figuur 7.2:
25
Figuur 7.2: RLOF via een accretieschijf Hierin is L1 het eerste Lagrangepunt en C het massamiddelpunt. De mechanische ɺ RLOF wordt in L gegeven door: energie van M d
1
ɺ RLOF M ɺ RLOF M M M 1 ɺ RLOF 2 2 d g d d −G − M ω CL1 U0 = G d M d L1 2 M g L1
(7.7)
Als de materie in L1 ook nog de geluidssnelheid bezit dan moet de waarde in (7.7) verhoogd worden met: K0 =
1 ɺ RLOF 2 M d vsound 2
(7.8)
De orbitale hoeksnelheid ωorb kan via de derde Keplerwet (2.1) herschreven worden in termen van de massa’s en de halve lange as van het systeem. Na inslag op de gainer wordt de potentiële energie:
ɺ RLOF M 1 ɺ RLOF M M M d g d d ɺ RLOFω2 ( a − R )2 −G − M U1 = G d g g a − Rg Rg 2
(7.9)
De kinetische energie na inslag is dus: K1 = U 0 − U1 > 0
(7.10)
eventueel verhoogd met de waarde uit (7.8). Deze uitdrukking geeft de accretielichtkracht weer, en is een betere benadering dan (7.5). In numerieke vorm levert dit:
L acc
M Mg Mg Md RLOF d ɺ = Md + − − 3,14.107 a − R g R g M d L1 M g L1 2 2 a − R g ) − CL1 5 ( g +2,11.10 P2
(7.11)
26 Een uitgebreide behandeling van dit onderwerp vindt plaats in Hoofdstuk 10.
7.3. Globale lichtkrachten versus lokale accretielichtkracht Vergelijking (6.2) bepaalt wanneer in de RLOF de gainer niet meer in staat is om alle invallende materie op te nemen. Zoals in de vorige delen uitgelegd zijn de drie parameters te bepalen uit waarnemingen. Hierbij dient echter opgemerkt te worden dat L nuc en L Edd grootheden zijn die voor de hele ster gelden, terwijl L acc afhankelijk is van de plaats op het steroppervlak. Deze is namelijk enkel verschillend van nul op plaatsen binnen de accretiezone, die beperkt is in oppervlakte zoals vastgesteld door Nelemans et al. (2004). Enerzijds wordt L acc,g verzwakt door de beperkte efficiëntie van de accretielichtkracht L acc met A > 1 gebruikt kan worden. Anderzijds heeft de concentratie A van de accretielichtkracht, in een hot spot met beperkte oppervlakteverhouding S = Sspot Sstar t.o.v. het totale steroppervlak, een versterking tot gevolg. S ligt a-priori dus tussen 0 en 1, waarbij in het laatste geval de accretiezone de gehele ster zou zijn (wat niet fysisch is). Hiermee rekening houdend moet (6.2) dus herschreven worden als: zodat slechts
L nuc,g Γg =
4πR
2 g
+
L acc,g A 2 g
4πR S
L Edd,g
=
L nuc,g +
Lacc,g A
L Edd,g
S
≡
L nuc,g +
L acc,g
L Edd,g
K
(7.12)
4πR g2 Hierin is K dus een parameter die de efficiëntie weergeeft, evenals de fractie van het steroppervlak dat de accretiezone uitmaakt. Een realistische waarde voor K is gelegen tussen 0,001 en 0,01. Een bepaling van deze waarde is het onderwerp van Hoofdstuk 17.
27
8. Bepaling van de orbitale periodes 8.1. Baanimpulsmoment Het baanimpulsmoment J orb wordt voor een circulaire baan gegeven door: J orb = J d + J g = a d M d v d + a g M g v g
(8.1)
Gebruik makend van de algemeen geldende relaties a d M d = a g M g , a = a d + a g en v=
2π a volgt hieruit: P
J orb =
M d M g 2πa 2 Md + Mg P
(8.2)
wat via de derde wet van Kepler (2.1) en door eliminatie van de halve lange as a kan herschreven worden als: J orb
G2 P = Md Mg 2π M
(8.3)
3
Behoud van deze grootheid levert volgende relatie bij massawijzigingen (zie ook Dewi et al. (2002)): dJ 1 dP 1 dM dM d dM g = − + + J 3 P 3 M Md Mg
(8.4)
Bij verwaarlozing van de gravitationele straling geldt: Pn+1 M n = Pn MSW n+1
2
RLOF M d,n M g,n J orb,n+1 RLOF RLOF M d,n+1 M g,n+1 J orb,n
3
(8.5)
De eerste factor incorporeert het impulsmoment dat het systeem via sterrenwind verlaat. Vergelijking (8.4) kan nu geïnterpreteerd worden tijdens de verschillende evolutiestadia. Voor de volledigheid is het nuttig op te merken dat de orbitale periode ook kan afnemen door gravitationele straling. Dit wordt weergegeven door Landau en Lifschitz (1971): dJ gw J orb
=−
32G 3 M d M g M dt 5c5 a4
(8.6)
28
8.2. Voor RLOF De verandering in baanimpulsmoment ten gevolge van het massaverlies wordt gegeven door: dJ M g dM d M d dM g = + J M Md M Mg
(8.7)
Combinatie met (8.4) levert voor de resulterende periodeverandering: Pn +1 M n = Pn M n +1
2
(8.8)
Daar tijdens deze fase M n+1 < M n geldt t.g.v. de sterrenwind, neemt de periode toe.
8.3. Tijdens conservatieve RLOF Tijdens deze fase wordt verondersteld dat de donor geen impulsmoment verliest. De verandering in impulsmoment van de gainer wordt gegeven door (6.9). Deze kan zowel positief als negatief zijn, naarmate de getijdenwerking het opspinnen versterkt of tegengaat. Het netto resultaat is dat, terwijl de gainer opspint met een waarde ∆J g , het baanimpulsmoment (t.g.v. behoud van totaal impulsmoment) afneemt met ∆J g . Verwaarlozen we om de gedachten te vestigen tijdelijk de sterrenwind van zowel donor als gainer, alsook de kleine verandering van het baanimpulsmoment, dan levert behoud van baanimpulsmoment tijdens conservatieve RLOF: −
dM g dM d dP =3 +3 P Md Mg
(8.9)
Dit levert voor de periodeverandering: Pn +1 M d,n M g,n = Pn M d,n +1M g,n +1
3
(8.10)
Het is dus duidelijk dat de periode bij het begin van RLOF zal dalen, om een minimum te bereiken wanneer de massa van donor en gainer gelijk is. Tijdens de Algolfase neemt de periode weer toe. Met de sterrenwind opnieuw in rekening gebracht herleidt (8.10) zich tot: Pn +1 M n = Pn M SW n +1
2
M d,n M g,n RLOF RLOF M d,n +1 M g,n +1
3
(8.11)
29 De periode van het systeem neemt toe, tot aan de evenwichtswaarde (8.2), bepaald door de derde wet van Kepler.
8.4. Tijdens niet-conservatieve RLOF In dit geval blijft vergelijking (8.4) en bijgevolg ook (8.5) in volledige vorm van kracht. De verandering in orbitale periode is dus kritisch afhankelijk van zowel β als de verandering in impulsmoment. Dit kan op verschillende fysische manieren gebeuren. 8.4.1. Massa verloren via verhoogde sterrenwind Massaverlies via sterrenwind vindt plaats wanneer er massaoverdracht naar het interstellair medium plaatsvindt zodanig dat enkel het specifiek impulsmoment van de baan van de gainer verloren gaat. In deze situatie verliezen donor en gainer ook massa via sterrenwind, zij het een verwaarloosbare hoeveelheid in vergelijking met de RLOF. 8.4.2. Massa verloren via coroterend punt Een tweede manier waarop massa uit het systeem verloren kan gaan is via een coroterend punt rond het massacentrum. Het impulsmoment per eenheidsmassa verloren via een dergelijk punt P op een afstand CP van het massamiddelpunt C wordt gegeven door: 2 Jɺ orb = CP ω
(8.12)
RLOF aan massa het systeem verlaat via P, volgt: Aangezien een hoeveelheid (1 − β ) ∆M d,n
∆J orb =
2π 2 RLOF CP (1 − β ) ∆M d,n P
(8.13)
Via de derde wet van Kepler kan dit herschreven worden als:
dJ = CP
2
GM RLOF dM d,n (1 − β ) a3
(8.14)
Voor het impulsmoment (8.2) kan bijgevolg geschreven worden:
J = Md Mg
aG M
Invoering van dJ J in vergelijking (8.4) levert aldus:
(8.15)
30 dM g dM dM d dP dJ = 3 −3 −3 + P J Md Mg M
(8.16)
Beginnend van een orbitale periode Pn kan zo dP en bijgevolg Pn +1 berekend worden via (8.16). Vanbeveren et al. (1998) geven een equivalente uitdrukking:
Pn +1 M n +1 M d,n +1 = Pn M n M d,n
3 η (1−β ) −1
M g,n +1 M g,n
1−β −3 η +1 β
(8.17)
waarin:
CP η= a
4
(8.18)
Deze situatie geldt ook voor het scenario van 8.4.1, waarbij enkel het specifiek impulsmoment van de gainer verloren gaat. Daarbij is P gelegen in het massacentrum van de gainer en geeft vergelijking (8.11) een preciezere uitdrukking voor de orbitale periode dan (8.17). 8.4.2.1. Voorbeelden •
Indien massa verloren wordt door de gainer naar het punt op oneindig zal alle uitgestoten materie het specifiek impulsmoment van de gainer meenemen. Het centrum van de gainer coroteert met het systeem, bijgevolg geldt: 4
a g Md η= = a M d + M g
4
(8.19)
•
Indien massa verloren gaat door het massacentrum van het systeem gaat er geen impulsmoment uit het systeem. In dit fysisch onmogelijke geval is η = 0 .
•
Indien massa weggeblazen wordt via het coroterend punt L1 , wat eveneens fysisch onmogelijk is, volgt dat:
ℓg − ag CL1 = a a •
(8.20)
CL 2 bij een originele q van 10 a afneemt van 1,26 tot 1,20 vooraleer het systeem in de Algolfase terechtkomt, en van 1,20 tot 1,04 tijdens de Algolfase (voor q dalend tot 0,1).
Indien massa verloren wordt via L 2 , geldt dat
31 8.4.3. Massa verloren via punt in Keplerbaan De laatste mogelijkheid is dat materie verloren gaat via een punt dat in een Keplerbaan rond het massacentrum van het systeem roteert. Het verloren impulsmoment bij een massaverlies van dM d (1 − β ) uit een punt P dat aan de Keplersnelheid: v Kepler =
GM CP
(8.21)
rond het massacentrum C van het systeem roteert wordt gegeven door:
CP GMdM d (1 − β )
dJ =
(8.22)
dJ dM + laat toe aan te tonen dat opnieuw vergelijking (8.17) J M bekomen wordt, maar dit keer met: Evaluatie van de term 3
η=
CP
(8.23)
a 8.4.3.1. Voorbeeld
Volgens Soberman et al. (1997) is het mogelijk dat materie vastgehouden wordt in een Keplerbaan na transit door het tweede Lagrangepunt. Die Kepler-rand is dan de rand van de accretieschijf. De straal van de ring is η keer de halve lange as van de baan. Een aanvaardbare waarde is η ≈ 2,25 , gebaseerd op de uitdrukkingen van Lubow en Shu (1975). Dit laat tevens toe aan te tonen dat de migratie van de materie CP vanuit de Keplerbaan ( η = ≈ 2, 25 ) naar het co-roterend punt L 2 a 4
CL 2 (η = ≈ 2, 25 ) gebeurt zonder verder verlies van baanimpulsmoment. a
32
9. Studie van verschillende q-bepalingen 9.1. Achtergrond Bij een dubbellijnige spectroscopische dubbelster, met componenten van ongeveer dezelfde helderheid, geldt, zoals onder andere beschreven in Strohmeier (1972): M d rg K g = = M g rd K d
(9.1)
Hierin zijn K d en K g de respectieve (positieve) amplitudes van de radiale snelheden: 2πrd sin i K d = P K = 2πrg sin i g P
(9.2)
waarbij de hoek i gemeten is tussen de gezichtsrichting en de normaal op het baanvlak. rd en rg zijn de respectieve afstanden van de componenten tot het massamiddelpunt. Bijgevolg is hun som a gelijk aan de gemiddelde afstand tussen beide componenten: Mg rd = a Md + Mg rg = M d a Md + Mg
(9.3)
De derde wet van Kepler (2.1) levert dus:
(M
d
+ M g ) sin
3
( a sin i ) i=
3
(9.4)
P2
Hieruit volgt de massaverhouding. In het geval dat slechts één component zichtbaar is, en dus alleen de radiale snelheidscomponent van de helderste ster ( K g ) gemeten werd, kan de massaverhouding gevonden worden via de massafunctie: f (M) =
( M d sin i )
(M
3
d + Mg )
2
=
M d sin 3 i
(1 + q )
−1 2
(9.5)
33 Een andere methode, waarbij de straalverhouding van de componenten bepaald kan worden uit waarneembare elementen wordt onder andere gegeven door Lang (1999). Via de derde Keplerwet en de relatie: rd M d = rg M g
(9.6)
bekomt men dat:
M d sin i = 3
( a sin i )
3
r sin i P 2 1 + d rg sin i
(9.7)
Wordt de halve lange as geschreven als functie van de geprojecteerde componenten van de halve lange assen: a sin i = rd sin i + rg sin i
(9.8)
dewelke kunnen gemeten worden uit de periodieke variatie van de radiale snelheden, dan wordt uiteindelijk gevonden dat: Rd Rg
2
ℓg = 1− ℓd
(9.9)
Hierin is ℓ het verlies aan licht wanneer de ene component de andere verduistert. De lichtcurve geeft ook de inclinatie i en de verhoudingen R d rd en R g rg . a sin i wordt bekomen uit de radiale snelheden, waarna de individuele stralen bepaald kunnen worden. Een analoog resultaat wordt bekomen door Irwin (1962). Een meer uitgebreide studie naar het bepalen van de elementen van een eclipserende dubbelster uit de lichtcurve wordt gegeven door Kopal (1959) en Kopal (1979).
9.2. Werkwijze Volgens Van Rensbergen et al. (2006) is conservatieve RLOF niet in staat om de waargenomen overpopulatie aan Algols met q ∈ [ 0, 4-1] te verklaren. Dit benodigt een significant massaverlies uit het systeem, zonder dat dit merkelijk ten koste gaat van het impulsmoment. Deze nieuwe studie wordt uitgevoerd op de subset van de 303 Algols met een mogelijk B-type primaire bij geboorte gebruikt door Van Rensbergen et al. (2006) dewelke voorkomen in de SB9-cataloog van Pourbaix et al. (2004). Dit resulteert in 55 systemen, waarvan 24 SB1s en 31 SB2s. Budding et al. (2004) (een uitbreiding van de cataloog van Budding (1984)) hebben drie verschillende methoden gebruikt voor het bepalen van q:
34
•
qSD veronderstelt een SD systeem: R d = R Roche,d .
•
q MS gebruikt de veronderstelling dat de meest massieve ster aan de MSvergelijkingen voldoet qua temperatuur en lichtkracht. q LC baseert zich volledig op de lichtcurve.
•
Brancewicz en Dworak (1980) kwamen onafhankelijk tot q-waarden via de q MS methode. Voor SB2 type Algols wordt de uit Pourbaix et al. (2004) gevonden waarde: q=
Kg Kd
(9.10)
vergeleken met de via de verschillende methoden bekomen q door Budding et al. (2004) en Brancewicz en Dworak (1980). De waarde uit (9.10) is (op de kleine meetfouten op K g en K d na) een goed gekend getal. Voor SB1 type Algols wordt q m.b.v. (9.5) bepaald via een M d waarvoor verschillende auteurs dezelfde waarde geven, in combinatie met de door Pourbaix et al. (2004) gegeven waarden voor de massafunctie f ( M ) en de inclinatie i. De onzekerheden op de aldus bepaalde waarden van q zijn uiteraard veel groter dan bij SB2s. De resultaten worden weergegeven in Tabel 9.1.
35 Name AD Her AI Dra AQ Peg AS Cam AT Peg AU Mon Beta Aur Beta Per BL Tel CW Cep DM Per DO Cas EK Cep FW Mon GG Ori GT Cep HU Tau IQ Per IT Cas KU Cyg Lambda Tau MY Cyg QY Aql RS Sgr RS Vul RW CrA RW Mon RW Tau RY Per RZ Cnc RZ Sct S Cnc SX Aur SX Cas SZ Cam SZ Cen TU Mon TX UMa U Cep U CrB U Oph U Sge V1647 Sgr V505 Sgr V539 Ara V643 Ori V909 Cyg W UMi WW And X Tri XZ Pup Y Psc YY Sgr Z Ori Z Vul
Type SB1 SB1 SB1 SB2 SB1 SB1 SB2 SB2 SB1 SB2 SB2 SB1 SB2 SB1 SB2 SB1 SB1 SB2 SB2 SB2 SB2 SB2 SB1 SB2 SB2 SB1 SB1 SB1 SB1 SB2 SB1 SB2 SB2 SB2 SB2 SB2 SB2 SB1 SB2 SB2 SB2 SB2 SB2 SB1 SB2 SB2 SB2 SB1 SB1 SB1 SB1 SB1 SB2 SB1 SB2
Budding qSD qMS 0,17 0,399 0,43 0,21 0,220
qLC 0,359 0,429 0,118
0,40 0,26
0,519 0,516
0,411
0,23 0,11
0,216 0,360
0,219
0,14 0,11 0,01 0,43
0,283 0,302 0,554 0,449
0,283 0,282 0,364 0,435 0,257
0,37
0,599
0,17 0,27 0,03 0,17 0,22 0,29 0,25 0,43 0,19 0,29 0,22 0,22
0,126
0,55 0,10
0,544 0,299
0,126 0,263 0,971 0,353 0,343 0,310 0,321 0,321 0,190 0,256 0,169 0,213 0,095 0,544 0,294
0,29 0,31 0,53 0,27
0,320 0,301 0,521 0,381
0,214 0,301 0,548 0,279
0,22
0,333
0,333
0,51
0,518
0,518
0,59 0,48 0,05 0,48 0,41 0,27
0,884 0,479 0,301 0,610 0,299 0,250
0,854 0,500 0,099 0,526 0,400 0,237
0,07 0,43
0,240 0,426
0,240 0,426
0,989 0,502 0,318 0,494 0,498 0,190 0,199 0,150 0,330
Bran. qMS 0,400 0,690 0,220 0,700 0,520 0,520 0,970 0,220 0,360 0,890 0,260 0,300 0,560 0,450 0,760 0,510 0,600 0,620 0,870 1,130 0,240 1,020 0,280 0,500 0,310 0,490 0,500 0,190 0,200 0,150 0,330 0,360 0,540 0,300 0,290 0,670 0,320 0,300 0,490 0,380 0,910 0,300 0,860 0,510 0,860 0,660 0,560 0,480 0,300 0,610 0,300 0,240 0,940 0,240 0,430
Tabel 9.1: verschillende waarden voor q
SB9 q 0,296 0,469 0,240 0,757 0,440 0,271 0,998 0,380 0,396 0,938 0,315 0,268 0,554 0,276 0,998 0,419 0,258 0,493 0,998 0,173 0,266 1,014 0,276 0,335 0,313 0,317 0,389 0,277 0,138 0,170 0,203 0,075 0,542 0,296 0,871 1,017 0,212 0,226 0,659 0,285 0,903 0,333 0,901 0,539 0,852 0,577 0,886 0,470 0,303 0,532 0,399 0,243 0,894 0,201 0,409
36
9.3. Vergelijking Voor zowel SB1s als SB2s worden de op verschillende manieren bekomen waarden voor q uitgezet als functie van de q-waarde uit SB9:
Grafiek 9.1: q-bepaling voor SB1s
Grafiek 9.2: q MS en q LC -bepaling voor SB1s
37
Grafiek 9.3: q-bepaling voor SB2s
Grafiek 9.4: q MS en q LC -bepaling voor SB2s Het besluit is dat qSD in geen geval een bevredigende benadering voor de werkelijke massaverhouding levert. Bij SB2s is de correlatie voor zowel de q MS als de q LC methode bevredigend, waarbij beiden een goede waarde voor q leveren en er geen significant verschil is tussen de q MS van Budding et al. (2004) en van Brancewicz en Dworak (1980). Dit blijkt uit Grafiek 9.5. Bijgevolg zal voor SB2s het gemiddelde van q MS en q LC als q-waarde gebruikt worden.
38
Grafiek 9.5: vergelijking tussen verschillende q MS -waarden Bij SB1s is de correlatie voor beide methoden slechter, maar het blijkt dat q MS de werkelijke waarde over het hele domein ernstig overschat, terwijl q LC bij lage q een lichte overschatting en bij hoge q een lichte onderschatting oplevert. De combinatie waarvoor de beste correlatie bekomen wordt zal gebruikt worden als q-waarde. Dit blijkt het geval te zijn voor q = 0, 718q LC + 0, 282q MS , zoals blijkt uit Grafiek 9.6.
Grafiek 9.6: correlaties bij verschillende combinaties van q LC en q MS voor SB1s
39
9.4. Statistiek Wetende welke q-bepaling voor welk SB-type het beste resultaat oplevert kan nu voor 449 systemen, waarvan 62 SB2s, de statistiek gemaakt worden. De q MS -waarden van Budding et al. (2004) worden hiertoe uitgebreid met deze van Brancewicz en Dworak (1980), daar er een bijna perfecte correlatie tussen beide bestaat. Indien opnieuw de eis op een mogelijke B-type primaire bij geboorte wordt ingevoerd blijven slechts 303 systemen waarvan 47 SB2s over. Dit verandert echter nauwelijks de bekomen qdistributie.
Grafiek 9.7: q-distributie voor 449 Algols
Grafiek 9.8: P-distributie voor 449 Algols
40
Grafiek 9.9: q-distributie voor 303 Algols
Grafiek 9.10: P-distributie voor 303 Algols Het is duidelijk dat de q-verdeling tussen de q MS en q LC verdeling van Van Rensbergen et al. (2006) ligt, echter met een zware voorkeur voor q LC . Dit betekent nochtans dat nog steeds 45% van de systemen moet teruggevonden worden in hoge q (>0,4) bins, maar minder dan de 77% die door Van Rensbergen et al. (2006) bekomen werd door uitsluitend de q MS -waarden uit Budding et al. (2004) te gebruiken.
41
10. Bepaling van de accretiepotentiaal 10.1. Rechtstreekse inslag Er wordt vertrokken van de uitdrukking voor de potentiële energie. Deze is de som van de gravitationele potentiële energie U g = −GMm r en de centrifugale potentiële energie U c = − mω2 r 2 2 . De totale potentiële energie voor een testmassa m, die zich in het orbitale vlak bevindt, wordt zoals bij Carroll en Ostlie (1996) dus gegeven door: U = Ug + Uc
M m Mg m 1 2 2 = −G d + − mω r sd sg 2
(10.1)
Deze situatie wordt voorgesteld in Figuur 10.1:
Figuur 10.1: bepaling van de gravitationele potentiaal De effectieve gravitatiepotentiaal Φ wordt bekomen door de effectieve potentiële energie te delen door de testmassa m: Φ≡
M Mg 1 2 2 U = −G d + − ω r sd m s g 2 M g 1 2π 2 2 Md − = −G + r r 2 + r 2 + 2r r cos θ R g 2 P d d
(10.2)
42 In de laatste stap werd gebruik gemaakt van de cosinusregel voor het uitschrijven van de eerste term, en van het verband tussen periode en hoekfrequentie voor de tweede term. Nu zal getracht worden vergelijking (10.2) te schrijven als functie van enkel de basisparameters, met name de massa en straal van beide sterren, evenals de periode van hun omloop. Een eerste verband dat gebruikt wordt, is dat tussen de massa’s, de lange as a en de afstanden rd en rg tot het massamiddelpunt. Hiervoor geldt: rd + rg = a M d rd = M g rg
(10.3)
Hieruit volgt:
rd = ⇒
M g rg Md
M g rg Md
+ rg = a
Mg ⇒ rg + 1 = a Md
⇒ rg =
a Mg 1 + Md
⇒ rg =
aM d M
rg = ⇒ rd +
M d rd Mg M d rd =a Mg
M ⇒ rd 1 + d = a Mg a ⇒ rd = Md 1 + Mg aM g ⇒ rd = M
(10.4)
De lange as a kan op diens beurt via de derde wet van Kepler (2.1) herschreven worden als:
a=
3
G ( Md + Mg ) P2 4π 2
(10.5)
In de rechthoekige driehoek bepaald door θ , r en d gelden volgende betrekkingen: d sin θ = r cos θ = rg − b r
(10.6)
Hierin is b de lengte van het lijnstuk, door loodrechte projectie (via d) van het inslagpunt op de verbindingsas afgesneden. Combinatie laat bovendien toe θ te schrijven als:
43
tan θ =
d rg − b
(10.7)
Eenmaal θ gekend, kan hieruit dan ook r bepaald worden volgens: r=
d sin θ
(10.8)
Voor de andere rechthoekige driehoek, bepaald door d, R g en b geldt:
b sin α = R g cos α = d Rg
(10.9)
Verder laat kennis van α dus toe om d te bepalen volgens: d = R g cos α
(10.10)
In de laatste rechthoekige driehoek α , ℓ g , R g tenslotte geldt: sin α =
Rg
(10.11)
ℓg
Het feit dat het hier dezelfde hoek α betreft als voorheen wordt geïllustreerd in Figuur 6.1. Er volgt dat door combinatie met (10.9) voor het afgesneden stuk b geldt:
b=
R g2
(10.12)
ℓg
De afstand ℓ g van L1 tot het centrum van de gainer wordt dankzij Warner (1976) nauwkeurig bepaald door de betrekking: Mg ℓ g = a 0,5 + 0, 227 log Md
(10.13)
Heeft men via (10.5) uit de fundamentele parameters a bepaald, dan kan (10.13) dus gebruikt worden om ℓ g te vinden, waarna m.b.v. (10.11) α bepaald kan worden. Eenmaal dat gebeurd geeft (10.10) d en kan via (10.12) het afgesneden stuk b berekend worden. Uiteindelijk wordt uit (10.7) voor θ dus bekomen:
44
d θ = atan R g2 a − 1 + ( Mg Md ) ℓ g
(10.14)
Kennis van θ laat dan tenslotte toe via (10.8) r te berekenen. Uiteindelijk kan de effectieve gravitatiepotentiaal dus bepaald worden door in vergelijking (10.2) de parameters te schrijven als functie van de fundamentele elementen. Meer bepaald r via (10.8), rd via (10.4) en θ via (10.14).
10.2. Accretieschijf Een eerste vraag in dit verband is wanneer er al dan niet een accretieschijf zal bestaan. Dit hangt af van het feit of er voldoende afstand is tussen beide componenten. Volgens Vanbeveren et al. (1998) zal er een accretieschijf gevormd worden indien R disk > R g , waarbij R disk gevonden wordt uit de volgende relatie: R ln disk a
= −0,367 ln q − 2,93
(10.15)
Hierin is q = M d M g de massaverhouding en a de halve lange as van het systeem, gevonden via de derde wet van Kepler (2.1). Het is nuttig deze resultaten te vergelijken met die van Carroll en Ostlie (1996). Deze laatsten geven voor de circulaire omwentelingsstraal van invallend materiaal: rcirc
ℓ 4g M d = 3 1 + a M g
(10.16)
Het feit dat binnenin de accretieschijf materie zowel naar binnen als naar buiten kan migreren, doet de auteurs volgende benadering maken: R disk ≈ 2rcirc
(10.17)
Frank et al. (1985) daarentegen zien (10.16) als een minimumwaarde voor R disk , die niet al te sterk overschreden zal worden. Nog een andere bepaling is die van Kaitchuck (1989) en Smak (2002), die een waarde bekomen: R disk ≈ 0,85R Roche,g
(10.18)
45 Grafiek 10.1 geeft het verloop weer t.o.v. de halve lange as van de accretiestraal volgens Vanbeveren et al. (1998) en Carroll & Ostlie (1996), evenals de Rochestraal (5.3) van Eggleton (1983), als functie van de massaverhouding:
Grafiek 10.1: accretie- en Rochestraal als functie van q In dit werk wordt niet verder ingegaan op systemen waarbij de massaoverdracht gebeurt via een accretieschijf. Teneinde formule (7.6) te respecteren zou dit moeten gebeuren met een afzonderlijke evolutiecode.
46
11. Bindingsenergie van gainer-materiaal 11.1. Stralings- en gasdruk De gasdruk van een ster wordt gegeven door: Pgas = nkT =
ρkT ρkT = m µm H
(11.1)
m het gemiddeld moleculair gewicht, de gemiddelde massa van een mH gasdeeltje gedeeld door de massa van het waterstofatoom. Hierin is µ ≡
De stralingsdruk van een ster wordt gegeven door: 1 Prad = a R T 4 3
(11.2)
met de stralingsconstante a R = 7, 57.10−15 erg cm3K 4 . De totale druk wordt dus gegeven door: Ptot =
ρkT 1 + a R T4 µm H 3
(11.3)
Het is mogelijk dat de stralingsdruk de gasdruk significant overstijgt, zelfs in die mate dat deze de gravitatiekracht overtreft en een uitzetting van het systeem veroorzaakt. De evolutie van de stralingsdruk met de positie in de ster wordt gegeven door: dPrad κρ κρ L = − Frad = − dr c c 4πr 2
(11.4)
11.2. Hydrostatisch evenwicht De vergelijking voor hydrostatisch evenwicht vereist dat: dP Mρ = −G 2r dr r
(11.5)
Werken we in de veronderstelling dat de gasdruk de stralingsdruk overheerst, dan is de conditie voor het overwinnen van de zwaartekracht (en dus het uitzetten van de ster):
47 κ L > GM r c 4π
(11.6)
Dit is niets anders dan de definitie van de Eddingtonlichtkracht. Beschouw een sferische schil dr. De totale gravitationele kracht wordt gegeven door: Fgrav = −ρAG
Mr 1r dr r2
(11.7)
De naar buiten gerichte kracht is in geval van hydrostatisch evenwicht dus de volgende: Fout = ρAG
Mr 1r dr r2
(11.8)
Bijgevolg moet in geval van evenwicht gelden: 2
dPgas κρ L nuc + Lacc veq M ρG 2r = − + +ρ 2 r dr c 4πr r
(11.9)
Indien het rechterlid het linkerlid overtreft zal er een netto kracht naar buiten toe optreden, gekenmerkt door een versnelling: 2 1 dPgas κ L nuc + Lacc v eq M a=− + + − G 2r 2 ρ dr c 4πr r r
(11.10)
11.3. Energievergelijking Beschouwt men de gainer als een enkelvoudige ster, dan wordt de versnelling a per eenheidsmassa op de evenaar gegeven door vergelijking (11.10), waarbij alleen de accretielichtkracht een lokale grootheid is: 2 1 dPgas κ L nuc + Lacc,local v eq M a=− + + −G 2 2 ρ dr c 4πR R R
(11.11)
Deze uitdrukking bevat zowel de gasdruk, de rotatie en de accretielichtkracht veroorzaakt door de inslag van RLOF-materiaal. De ruimtelijke configuratie van het systeem werd besproken in Hoofdstuk 10. Er kan onderzocht worden welke energie per gram materie nodig is opdat de inkomende RLOF-materie het systeem zou verlaten. Dit zal het geval zijn als de totale energie van deze materie (gasdruk, stralingsdruk en accretiedruk, tegengewerkt door de gravitatiepotentiaal zoals weergegeven in Figuur 11.1) groter is dan nul. De basisconditie opdat materie het systeem zou verlaten wordt gegeven door vergelijking (11.11).
48
Figuur 11.1: energiebalans De naar buiten gerichte stralingsdrukkracht wordt gegeven door:
L L nuc + acc mκ K Frad = 2 c 4πR g
(11.12)
wat betekent dat de arbeid verricht over een afstand dr gegeven wordt door:
K rad
L Lnuc + acc mκ K = c 4πR g
(11.13)
Uitdrukking (11.11) houdt reeds rekening met de nucleaire lichtkracht daar deze zich uit in de waarde voor R g . De voorwaarde opdat materie het systeem zou kunnen verlaten herleidt zich dus tot:
M 1 2π 2 v2 Md κ Lacc −G + g − r 2 + eq + ≥0 r 2 + r 2 + 2r r cos θ R g 2 P 2 4πcKR g d d
(11.14)
ɺ RLOF waarvoor L groot genoeg wordt om vergelijking (11.14) in De waarde van M d acc ɺ RLOF,crit (aangeduid als M ɺ de limiet voldaan te laten zijn wordt gedefinieerd als M d
wanneer geen verwarring mogelijk is).
crit
49 ɺ RLOF > M ɺ RLOF,crit Uit de definitie (5.1) van β volgt dat indien M d d
geldt dat de
ɺ RLOF,crit ɺ RLOF met β = M d hoeveelheid weggeblazen massa gegeven wordt door (1 − β ) M . d ɺ RLOF M d
ɺ Indien M
RLOF d
ɺ < M
RLOF,crit d
verloopt RLOF conservatief.
50
12. Identificatie van niet-conservatieve systemen Aangezien uit de theoretische bepalingen blijkt dat het conservatisme van een systeem, buiten de fysische omstandigheden die zich uiten in de F- en K-waarden (respectievelijk in vergelijkingen (6.8) en (7.12)), enkel afhangt van de initiële massa van beide sterren en de beginperiode, kan men zich afvragen waar de grens ligt tussen het conservatief en het niet-conservatief gebied. Een eenvoudige manier om na te gaan of voor een bepaald systeem een nietɺ bekomen via de conservatieve fase kan verwacht worden is door de maximale M d ɺ conservatieve evolutie, te vergelijken met de M die nodig is om niet-conservatisme crit
te krijgen. Deze laatste wordt bekomen door de combinatie van vergelijking (11.14) en (7.5): 2 ɺ RLOF,crit M M g 1 2π 2 2 v eq κ GM g M d −G d + − r + + =0 2 s R 2 P 2 4πcKR d g g 2 2 2 4πcK R g M d M g 1 2π 2 v eq RLOF,crit ɺ ⇒ Md = + G + r − κ GM g s d R g 2 P 2
(12.1)
(12.2)
Hierin is:
s d = rd2 + r 2 + 2rd r cos θ
(12.3)
ɺ De werkwijze is als volgt: voor elk systeem wordt uit de conservatieve evolutie M max
teruggevonden, evenals M d , M g , R g en P op dit moment van maximale RLOF. Uit ɺ ɺ deze laatste waarden wordt via (12.2) dan M crit berekend en vergeleken met M max . Omdat de atlas met conservatieve evolutiesporen enkel uitgaat van combinaties van initiële ( M d , M d , P ) wordt hierbij de rotatie-energie van de individuele sterren verwaarloosd. M.a.w. wordt v eq = 0 , terwijl voor κ de Thomsonopaciteit genomen wordt. Voor K worden in Tabel 12.1 en Tabel 12.2 verschillende waarden getest. De initiële massa’s M d en M g worden in de volgende tabellen weergegeven in ɺ ɺ en M in M y . De kolom zonseenheden, de beginperiode P in dagen en M max
crit
⊙
“ratio” geeft de verhouding weer van beide waarden. Deze is uiteraard kleiner dan één ɺ indien M crit niet gehaald wordt, en groter wanneer deze wel overschreden wordt.
51 Md Mg 1/q P Mdot,max K Mdot,crit Result 3,0 1,2 0,4 1,5 2,89E-06 0,010 4,51E-05 conservative 3,0 1,2 0,4 2,0 3,76E-06 0,010 5,15E-05 conservative 3,0 1,2 0,4 3,0 7,85E-06 0,010 7,64E-05 conservative 3,0 1,5 0,5 2,0 3,71E-06 0,010 6,78E-05 conservative 3,0 1,8 0,6 1,0 2,05E-06 0,010 4,66E-05 conservative 3,0 1,8 0,6 1,5 2,86E-06 0,010 5,26E-05 conservative 3,0 1,8 0,6 2,0 3,24E-06 0,010 5,12E-05 conservative 3,0 1,8 0,6 2,5 4,67E-06 0,010 6,29E-05 conservative 3,0 1,8 0,6 3,0 2,41E-06 0,010 4,39E-05 conservative 3,0 2,7 0,9 1,0 3,96E-07 0,010 4,54E-05 conservative 3,0 2,7 0,9 1,5 9,15E-07 0,010 5,14E-05 conservative 3,0 2,7 0,9 2,0 1,37E-06 0,010 5,60E-05 conservative 3,0 2,7 0,9 2,5 3,12E-06 0,010 7,24E-05 conservative 3,0 2,7 0,9 3,0 2,98E-06 0,010 6,93E-05 conservative 3,0 2,7 0,9 3,5 2,99E-06 0,010 6,99E-05 conservative 4,0 1,6 0,4 2,0 1,04E-05 0,010 6,30E-05 conservative 4,0 2,4 0,6 1,0 5,29E-06 0,010 5,12E-05 conservative 4,0 2,4 0,6 1,5 8,29E-06 0,010 6,32E-05 conservative 4,0 2,4 0,6 2,5 1,09E-05 0,010 6,46E-05 conservative 4,0 2,4 0,6 3,0 1,83E-05 0,010 8,55E-05 conservative 4,0 2,4 0,6 3,5 1,83E-05 0,010 8,37E-05 conservative 4,0 2,4 0,6 4,5 2,13E-05 0,010 4,11E-05 conservative 4,0 3,6 0,9 1,0 8,80E-07 0,010 5,20E-05 conservative 4,0 3,6 0,9 1,5 2,31E-06 0,010 5,88E-05 conservative 4,0 3,6 0,9 2,0 3,74E-06 0,010 6,35E-05 conservative 4,0 3,6 0,9 2,5 5,03E-06 0,010 6,72E-05 conservative 4,0 3,6 0,9 3,0 1,43E-05 0,010 6,17E-05 conservative 5,0 2,0 0,4 1,5 1,60E-05 0,010 5,26E-05 conservative 5,0 2,0 0,4 2,0 2,85E-05 0,010 6,88E-05 conservative 5,0 2,0 0,4 2,5 3,57E-05 0,010 8,29E-05 conservative 5,0 2,0 0,4 3,0 7,29E-05 0,010 1,04E-04 conservative 5,0 2,0 0,4 4,0 9,21E-05 0,010 1,24E-04 conservative 5,0 3,0 0,6 1,0 1,19E-05 0,010 5,40E-05 conservative 5,0 3,0 0,6 1,5 1,92E-05 0,010 7,07E-05 conservative 5,0 3,0 0,6 2,0 2,21E-05 0,010 7,39E-05 conservative 5,0 3,0 0,6 3,0 4,41E-05 0,010 1,09E-04 conservative 5,0 3,0 0,6 4,0 2,45E-05 0,010 7,04E-05 conservative 5,0 4,5 0,9 1,0 1,51E-06 0,010 5,77E-05 conservative 5,0 4,5 0,9 1,5 4,41E-06 0,010 6,61E-05 conservative 5,0 4,5 0,9 2,0 7,66E-06 0,010 7,14E-05 conservative 5,0 4,5 0,9 2,5 8,08E-06 0,010 7,80E-05 conservative 5,0 4,5 0,9 3,0 1,88E-05 0,010 1,02E-04 conservative 6,0 2,4 0,4 1,5 2,80E-05 0,010 6,02E-05 conservative 6,0 2,4 0,4 2,0 4,53E-05 0,010 7,44E-05 conservative 6,0 2,4 0,4 2,5 6,80E-05 0,010 8,63E-05 conservative 6,0 2,4 0,4 3,5 1,66E-04 0,010 1,44E-04 liberal 6,0 2,4 0,4 4,0 1,57E-04 0,010 1,59E-04 conservative 6,0 3,6 0,6 2,0 4,24E-05 0,010 8,46E-05 conservative 6,0 3,6 0,6 2,5 4,76E-05 0,010 8,65E-05 conservative 6,0 3,6 0,6 3,0 1,09E-04 0,010 1,02E-04 liberal 6,0 3,6 0,6 3,5 9,05E-05 0,010 1,25E-04 conservative 6,0 3,6 0,6 4,0 9,56E-05 0,010 1,24E-04 conservative 6,0 5,4 0,9 2,5 1,90E-05 0,010 8,40E-05 conservative 6,0 5,4 0,9 3,0 2,47E-05 0,010 8,64E-05 conservative
Ratio 6,41E-02 7,30E-02 1,03E-01 5,47E-02 4,40E-02 5,44E-02 6,33E-02 7,42E-02 5,49E-02 8,72E-03 1,78E-02 2,45E-02 4,31E-02 4,30E-02 4,28E-02 1,65E-01 1,03E-01 1,31E-01 1,69E-01 2,14E-01 2,19E-01 5,18E-01 1,69E-02 3,93E-02 5,89E-02 7,49E-02 2,32E-01 3,04E-01 4,14E-01 4,31E-01 6,99E-01 7,45E-01 2,20E-01 2,72E-01 2,99E-01 4,04E-01 3,48E-01 2,62E-02 6,67E-02 1,07E-01 1,04E-01 1,85E-01 4,65E-01 6,09E-01 7,88E-01 1,16E+00 9,89E-01 5,01E-01 5,50E-01 1,07E+00 7,23E-01 7,68E-01 2,26E-01 2,86E-01
52 Md Mg 1/q P Mdot,max K Mdot,crit Result 6,0 5,4 0,9 3,5 7,10E-05 0,010 7,57E-05 conservative 6,0 5,4 0,9 4,0 7,81E-05 0,010 7,89E-05 conservative 6,0 5,4 0,9 5,0 9,18E-05 0,010 8,06E-05 liberal 6,0 5,4 0,9 6,0 1,73E-04 0,010 8,08E-05 liberal 7,0 2,8 0,4 2,0 9,44E-05 0,010 7,83E-05 liberal 7,0 2,8 0,4 3,0 1,20E-04 0,010 1,06E-04 liberal 7,0 2,8 0,4 4,0 2,63E-04 0,010 2,24E-04 liberal 7,0 4,2 0,6 1,0 2,69E-05 0,010 6,46E-05 conservative 7,0 4,2 0,6 1,5 5,56E-05 0,010 7,97E-05 conservative 7,0 4,2 0,6 2,0 6,88E-05 0,010 9,16E-05 conservative 7,0 4,2 0,6 2,5 7,86E-05 0,010 9,31E-05 conservative 7,0 4,2 0,6 3,0 8,75E-05 0,010 9,57E-05 conservative 7,0 4,2 0,6 3,5 1,91E-04 0,010 1,46E-04 liberal 7,0 4,2 0,6 4,5 1,85E-04 0,010 1,65E-04 liberal 7,0 6,3 0,9 1,0 2,81E-06 0,010 6,72E-05 conservative 7,0 6,3 0,9 1,5 1,05E-05 0,010 7,79E-05 conservative 7,0 6,3 0,9 2,0 1,96E-05 0,010 8,52E-05 conservative 7,0 6,3 0,9 2,5 2,89E-05 0,010 9,05E-05 conservative 7,0 6,3 0,9 3,0 3,83E-05 0,010 9,43E-05 conservative 7,0 6,3 0,9 4,0 1,48E-04 0,010 9,07E-05 liberal 7,0 6,3 0,9 4,5 1,65E-04 0,010 9,51E-05 liberal 7,0 6,3 0,9 5,0 1,82E-04 0,010 9,71E-05 liberal 7,0 6,3 0,9 5,5 1,95E-04 0,010 9,88E-05 liberal 7,0 6,3 0,9 6,0 2,09E-04 0,010 9,89E-05 liberal 7,0 6,3 0,9 7,0 2,53E-04 0,010 1,05E-04 liberal 8,0 2,4 0,3 2,0 9,05E-05 0,010 7,15E-05 liberal 8,0 2,4 0,3 3,0 1,64E-04 0,010 1,18E-04 liberal 8,0 3,2 0,4 2,0 1,10E-04 0,010 8,33E-05 liberal 8,0 3,2 0,4 2,5 1,41E-04 0,010 9,85E-05 liberal 8,0 3,2 0,4 3,0 1,97E-04 0,010 1,07E-04 liberal 8,0 4,0 0,5 2,0 1,13E-04 0,010 9,44E-05 liberal 8,0 4,0 0,5 2,5 1,38E-04 0,010 1,06E-04 liberal 8,0 4,0 0,5 3,0 2,04E-04 0,010 1,05E-04 liberal 8,0 4,0 0,5 3,5 1,88E-04 0,010 1,37E-04 liberal 8,0 4,0 0,5 4,0 5,44E-04 0,010 2,06E-04 liberal 8,0 4,8 0,6 1,5 8,56E-05 0,010 8,33E-05 liberal 8,0 4,8 0,6 2,0 1,12E-04 0,010 1,01E-04 liberal 8,0 4,8 0,6 2,5 1,21E-04 0,010 1,05E-04 liberal 8,0 4,8 0,6 3,0 1,34E-04 0,010 1,08E-04 liberal 8,0 4,8 0,6 3,5 1,46E-04 0,010 1,11E-04 liberal 8,0 4,8 0,6 4,0 3,79E-04 0,010 1,82E-04 liberal 8,0 7,2 0,9 1,5 1,39E-05 0,010 8,35E-05 conservative 8,0 7,2 0,9 2,0 2,68E-05 0,010 9,11E-05 conservative 8,0 7,2 0,9 3,0 5,22E-05 0,010 1,02E-04 conservative 8,0 7,2 0,9 4,0 2,56E-04 0,010 1,16E-04 liberal 9,0 2,7 0,3 2,0 1,29E-04 0,010 7,82E-05 liberal 9,0 2,7 0,3 3,0 2,00E-04 0,010 1,46E-04 liberal 9,0 3,6 0,4 2,0 1,57E-04 0,010 1,15E-04 liberal 9,0 3,6 0,4 2,5 1,85E-04 0,010 1,04E-04 liberal 9,0 3,6 0,4 3,0 2,38E-04 0,010 1,16E-04 liberal 9,0 3,6 0,4 3,5 2,51E-04 0,010 1,36E-04 liberal 9,0 5,4 0,6 2,0 1,59E-04 0,010 1,05E-04 liberal 9,0 5,4 0,6 4,0 5,66E-04 0,010 2,14E-04 liberal 9,0 8,1 0,9 2,0 3,59E-05 0,010 1,11E-04 conservative
Ratio 9,38E-01 9,89E-01 1,14E+00 2,14E+00 1,21E+00 1,13E+00 1,18E+00 4,16E-01 6,98E-01 7,51E-01 8,44E-01 9,15E-01 1,31E+00 1,12E+00 4,18E-02 1,35E-01 2,30E-01 3,19E-01 4,06E-01 1,63E+00 1,74E+00 1,88E+00 1,97E+00 2,11E+00 2,41E+00 1,27E+00 1,40E+00 1,32E+00 1,43E+00 1,85E+00 1,20E+00 1,30E+00 1,93E+00 1,37E+00 2,63E+00 1,03E+00 1,11E+00 1,15E+00 1,25E+00 1,32E+00 2,08E+00 1,66E-01 2,94E-01 5,12E-01 2,21E+00 1,65E+00 1,37E+00 1,36E+00 1,78E+00 2,05E+00 1,85E+00 1,51E+00 2,65E+00 3,23E-01
53 Md 9,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0
Mg 8,1 4,8 4,8 4,8 7,2 7,2 7,2 7,2 7,2 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 6,0 6,0 6,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 13,5 13,5 13,5 13,5 6,8 6,8 6,8 6,8 10,2 10,2 10,2 10,2 10,2 15,3 15,3 15,3 15,3 15,3 8,0 12,0 12,0 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0
1/q 0,9 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,4 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,4 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
P Mdot,max K Mdot,crit Result 3,0 7,06E-05 0,010 1,41E-04 conservative 2,0 3,24E-04 0,010 1,04E-04 liberal 3,0 4,47E-04 0,010 1,40E-04 liberal 4,0 7,64E-04 0,010 1,64E-04 liberal 1,5 2,54E-04 0,010 9,87E-05 liberal 2,0 3,31E-04 0,010 1,19E-04 liberal 2,5 4,23E-04 0,010 1,35E-04 liberal 3,0 4,70E-04 0,010 1,51E-04 liberal 4,0 5,23E-04 0,010 1,72E-04 liberal 2,0 6,84E-05 0,010 1,12E-04 conservative 2,5 1,03E-04 0,010 1,21E-04 conservative 3,0 1,42E-04 0,010 1,29E-04 liberal 3,5 1,81E-04 0,010 1,26E-04 liberal 4,0 2,18E-04 0,010 1,40E-04 liberal 5,0 1,18E-03 0,010 2,83E-04 liberal 2,5 5,53E-04 0,010 1,57E-04 liberal 3,0 6,47E-04 0,010 1,65E-04 liberal 4,0 7,67E-04 0,010 2,11E-04 liberal 2,0 5,37E-04 0,010 1,33E-04 liberal 2,5 6,37E-04 0,010 1,51E-04 liberal 3,0 7,43E-04 0,010 1,71E-04 liberal 3,5 7,75E-04 0,010 1,87E-04 liberal 4,0 7,48E-04 0,010 1,89E-04 liberal 2,0 9,22E-05 0,010 1,26E-04 conservative 3,0 2,09E-04 0,010 1,42E-04 liberal 4,0 3,23E-04 0,010 1,55E-04 liberal 5,0 4,38E-04 0,010 1,74E-04 liberal 1,5 4,85E-04 0,010 1,14E-04 liberal 2,0 6,53E-04 0,010 1,34E-04 liberal 2,5 7,89E-04 0,010 1,73E-04 liberal 4,0 1,03E-03 0,010 2,59E-04 liberal 1,5 4,56E-04 0,010 1,11E-04 liberal 2,0 6,87E-04 0,010 1,37E-04 liberal 3,0 8,74E-04 0,010 1,80E-04 liberal 4,0 9,92E-04 0,010 1,92E-04 liberal 5,0 1,10E-03 0,010 2,17E-04 liberal 2,0 1,02E-04 0,010 1,34E-04 conservative 3,0 2,31E-04 0,010 1,53E-04 liberal 4,0 3,55E-04 0,010 1,66E-04 liberal 5,0 4,82E-04 0,010 1,89E-04 liberal 6,0 6,19E-04 0,010 2,02E-04 liberal 4,0 1,09E-03 0,010 2,57E-04 liberal 2,0 8,62E-04 0,010 1,48E-04 liberal 3,0 1,07E-03 0,010 1,91E-04 liberal 2,0 1,24E-04 0,010 1,45E-04 conservative 3,0 2,84E-04 0,010 1,68E-04 liberal 4,0 4,41E-04 0,010 1,87E-04 liberal 5,0 5,92E-04 0,010 2,08E-04 liberal 6,0 7,37E-04 0,010 2,24E-04 liberal
Ratio 5,00E-01 3,12E+00 3,19E+00 4,67E+00 2,57E+00 2,78E+00 3,12E+00 3,12E+00 3,04E+00 6,11E-01 8,50E-01 1,10E+00 1,43E+00 1,55E+00 4,17E+00 3,52E+00 3,92E+00 3,64E+00 4,04E+00 4,23E+00 4,34E+00 4,13E+00 3,96E+00 7,32E-01 1,47E+00 2,09E+00 2,52E+00 4,26E+00 4,86E+00 4,57E+00 3,97E+00 4,10E+00 5,02E+00 4,86E+00 5,15E+00 5,07E+00 7,61E-01 1,51E+00 2,14E+00 2,56E+00 3,06E+00 4,23E+00 5,83E+00 5,59E+00 8,56E-01 1,69E+00 2,36E+00 2,85E+00 3,29E+00
Tabel 12.1: theoretische verwachtingen bij K = 1 100
54 Md Mg 1/q P Mdot,max K Mdot,crit Result 3,0 1,2 0,4 1,5 2,89E-06 0,001 4,51E-06 conservative 3,0 1,2 0,4 2,0 3,76E-06 0,001 5,15E-06 conservative 3,0 1,2 0,4 3,0 7,85E-06 0,001 7,64E-06 liberal 3,0 1,5 0,5 2,0 3,71E-06 0,001 6,78E-06 conservative 3,0 1,8 0,6 1,0 2,05E-06 0,001 4,66E-06 conservative 3,0 1,8 0,6 1,5 2,86E-06 0,001 5,26E-06 conservative 3,0 1,8 0,6 2,0 3,24E-06 0,001 5,12E-06 conservative 3,0 1,8 0,6 2,5 4,67E-06 0,001 6,29E-06 conservative 3,0 1,8 0,6 3,0 2,41E-06 0,001 4,39E-06 conservative 3,0 2,7 0,9 1,0 3,96E-07 0,001 4,54E-06 conservative 3,0 2,7 0,9 1,5 9,15E-07 0,001 5,14E-06 conservative 3,0 2,7 0,9 2,0 1,37E-06 0,001 5,60E-06 conservative 3,0 2,7 0,9 2,5 3,12E-06 0,001 7,24E-06 conservative 3,0 2,7 0,9 3,0 2,98E-06 0,001 6,93E-06 conservative 3,0 2,7 0,9 3,5 2,99E-06 0,001 6,99E-06 conservative 4,0 1,6 0,4 2,0 1,04E-05 0,001 6,30E-06 liberal 4,0 2,4 0,6 1,0 5,29E-06 0,001 5,12E-06 liberal 4,0 2,4 0,6 1,5 8,29E-06 0,001 6,32E-06 liberal 4,0 2,4 0,6 2,5 1,09E-05 0,001 6,46E-06 liberal 4,0 2,4 0,6 3,0 1,83E-05 0,001 8,55E-06 liberal 4,0 2,4 0,6 3,5 1,83E-05 0,001 8,37E-06 liberal 4,0 2,4 0,6 4,5 2,13E-05 0,001 4,11E-06 liberal 4,0 3,6 0,9 1,0 8,80E-07 0,001 5,20E-06 conservative 4,0 3,6 0,9 1,5 2,31E-06 0,001 5,88E-06 conservative 4,0 3,6 0,9 2,0 3,74E-06 0,001 6,35E-06 conservative 4,0 3,6 0,9 2,5 5,03E-06 0,001 6,72E-06 conservative 4,0 3,6 0,9 3,0 1,43E-05 0,001 6,17E-06 liberal 5,0 2,0 0,4 1,5 1,60E-05 0,001 5,26E-06 liberal 5,0 2,0 0,4 2,0 2,85E-05 0,001 6,88E-06 liberal 5,0 2,0 0,4 2,5 3,57E-05 0,001 8,29E-06 liberal 5,0 2,0 0,4 3,0 7,29E-05 0,001 1,04E-05 liberal 5,0 2,0 0,4 4,0 9,21E-05 0,001 1,24E-05 liberal 5,0 3,0 0,6 1,0 1,19E-05 0,001 5,40E-06 liberal 5,0 3,0 0,6 1,5 1,92E-05 0,001 7,07E-06 liberal 5,0 3,0 0,6 2,0 2,21E-05 0,001 7,39E-06 liberal 5,0 3,0 0,6 3,0 4,41E-05 0,001 1,09E-05 liberal 5,0 3,0 0,6 4,0 2,45E-05 0,001 7,04E-06 liberal 5,0 4,5 0,9 1,0 1,51E-06 0,001 5,77E-06 conservative 5,0 4,5 0,9 1,5 4,41E-06 0,001 6,61E-06 conservative 5,0 4,5 0,9 2,0 7,66E-06 0,001 7,14E-06 liberal 5,0 4,5 0,9 2,5 8,08E-06 0,001 7,80E-06 liberal 5,0 4,5 0,9 3,0 1,88E-05 0,001 1,02E-05 liberal 6,0 2,4 0,4 1,5 2,80E-05 0,001 6,02E-06 liberal 6,0 2,4 0,4 2,0 4,53E-05 0,001 7,44E-06 liberal 6,0 2,4 0,4 2,5 6,80E-05 0,001 8,63E-06 liberal 6,0 2,4 0,4 3,5 1,66E-04 0,001 1,44E-05 liberal 6,0 2,4 0,4 4,0 1,57E-04 0,001 1,59E-05 liberal 6,0 3,6 0,6 2,0 4,24E-05 0,001 8,46E-06 liberal 6,0 3,6 0,6 2,5 4,76E-05 0,001 8,65E-06 liberal 6,0 3,6 0,6 3,0 1,09E-04 0,001 1,02E-05 liberal 6,0 3,6 0,6 3,5 9,05E-05 0,001 1,25E-05 liberal 6,0 3,6 0,6 4,0 9,56E-05 0,001 1,24E-05 liberal 6,0 5,4 0,9 2,5 1,90E-05 0,001 8,40E-06 liberal 6,0 5,4 0,9 3,0 2,47E-05 0,001 8,64E-06 liberal
Ratio 6,41E-01 7,30E-01 1,03E+00 5,47E-01 4,40E-01 5,44E-01 6,33E-01 7,42E-01 5,49E-01 8,72E-02 1,78E-01 2,45E-01 4,31E-01 4,30E-01 4,28E-01 1,65E+00 1,03E+00 1,31E+00 1,69E+00 2,14E+00 2,19E+00 5,18E+00 1,69E-01 3,93E-01 5,89E-01 7,49E-01 2,32E+00 3,04E+00 4,14E+00 4,31E+00 6,99E+00 7,45E+00 2,20E+00 2,72E+00 2,99E+00 4,04E+00 3,48E+00 2,62E-01 6,67E-01 1,07E+00 1,04E+00 1,85E+00 4,65E+00 6,09E+00 7,88E+00 1,16E+01 9,89E+00 5,01E+00 5,50E+00 1,07E+01 7,23E+00 7,68E+00 2,26E+00 2,86E+00
55 Md Mg 1/q P Mdot,max K Mdot,crit Result 6,0 5,4 0,9 3,5 7,10E-05 0,001 7,57E-06 liberal 6,0 5,4 0,9 4,0 7,81E-05 0,001 7,89E-06 liberal 6,0 5,4 0,9 5,0 9,18E-05 0,001 8,06E-06 liberal 6,0 5,4 0,9 6,0 1,73E-04 0,001 8,08E-06 liberal 7,0 2,8 0,4 2,0 9,44E-05 0,001 7,83E-06 liberal 7,0 2,8 0,4 3,0 1,20E-04 0,001 1,06E-05 liberal 7,0 2,8 0,4 4,0 2,63E-04 0,001 2,24E-05 liberal 7,0 4,2 0,6 1,0 2,69E-05 0,001 6,46E-06 liberal 7,0 4,2 0,6 1,5 5,56E-05 0,001 7,97E-06 liberal 7,0 4,2 0,6 2,0 6,88E-05 0,001 9,16E-06 liberal 7,0 4,2 0,6 2,5 7,86E-05 0,001 9,31E-06 liberal 7,0 4,2 0,6 3,0 8,75E-05 0,001 9,57E-06 liberal 7,0 4,2 0,6 3,5 1,91E-04 0,001 1,46E-05 liberal 7,0 4,2 0,6 4,5 1,85E-04 0,001 1,65E-05 liberal 7,0 6,3 0,9 1,0 2,81E-06 0,001 6,72E-06 conservative 7,0 6,3 0,9 1,5 1,05E-05 0,001 7,79E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 2,0 1,96E-05 0,001 8,52E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 2,5 2,89E-05 0,001 9,05E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 3,0 3,83E-05 0,001 9,43E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 4,0 1,48E-04 0,001 9,07E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 4,5 1,65E-04 0,001 9,51E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 5,0 1,82E-04 0,001 9,71E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 5,5 1,95E-04 0,001 9,88E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 6,0 2,09E-04 0,001 9,89E-06 liberal 7,0 6,3 0,9 7,0 2,53E-04 0,001 1,05E-05 liberal 8,0 2,4 0,3 2,0 9,05E-05 0,001 7,15E-06 liberal 8,0 2,4 0,3 3,0 1,64E-04 0,001 1,18E-05 liberal 8,0 3,2 0,4 2,0 1,10E-04 0,001 8,33E-06 liberal 8,0 3,2 0,4 2,5 1,41E-04 0,001 9,85E-06 liberal 8,0 3,2 0,4 3,0 1,97E-04 0,001 1,07E-05 liberal 8,0 4,0 0,5 2,0 1,13E-04 0,001 9,44E-06 liberal 8,0 4,0 0,5 2,5 1,38E-04 0,001 1,06E-05 liberal 8,0 4,0 0,5 3,0 2,04E-04 0,001 1,05E-05 liberal 8,0 4,0 0,5 3,5 1,88E-04 0,001 1,37E-05 liberal 8,0 4,0 0,5 4,0 5,44E-04 0,001 2,06E-05 liberal 8,0 4,8 0,6 1,5 8,56E-05 0,001 8,33E-06 liberal 8,0 4,8 0,6 2,0 1,12E-04 0,001 1,01E-05 liberal 8,0 4,8 0,6 2,5 1,21E-04 0,001 1,05E-05 liberal 8,0 4,8 0,6 3,0 1,34E-04 0,001 1,08E-05 liberal 8,0 4,8 0,6 3,5 1,46E-04 0,001 1,11E-05 liberal 8,0 4,8 0,6 4,0 3,79E-04 0,001 1,82E-05 liberal 8,0 7,2 0,9 1,5 1,39E-05 0,001 8,35E-06 liberal 8,0 7,2 0,9 2,0 2,68E-05 0,001 9,11E-06 liberal 8,0 7,2 0,9 3,0 5,22E-05 0,001 1,02E-05 liberal 8,0 7,2 0,9 4,0 2,56E-04 0,001 1,16E-05 liberal 9,0 2,7 0,3 2,0 1,29E-04 0,001 7,82E-06 liberal 9,0 2,7 0,3 3,0 2,00E-04 0,001 1,46E-05 liberal 9,0 3,6 0,4 2,0 1,57E-04 0,001 1,15E-05 liberal 9,0 3,6 0,4 2,5 1,85E-04 0,001 1,04E-05 liberal 9,0 3,6 0,4 3,0 2,38E-04 0,001 1,16E-05 liberal 9,0 3,6 0,4 3,5 2,51E-04 0,001 1,36E-05 liberal 9,0 5,4 0,6 2,0 1,59E-04 0,001 1,05E-05 liberal 9,0 5,4 0,6 4,0 5,66E-04 0,001 2,14E-05 liberal 9,0 8,1 0,9 2,0 3,59E-05 0,001 1,11E-05 liberal
Ratio 9,38E+00 9,89E+00 1,14E+01 2,14E+01 1,21E+01 1,13E+01 1,18E+01 4,16E+00 6,98E+00 7,51E+00 8,44E+00 9,15E+00 1,31E+01 1,12E+01 4,18E-01 1,35E+00 2,30E+00 3,19E+00 4,06E+00 1,63E+01 1,74E+01 1,88E+01 1,97E+01 2,11E+01 2,41E+01 1,27E+01 1,40E+01 1,32E+01 1,43E+01 1,85E+01 1,20E+01 1,30E+01 1,93E+01 1,37E+01 2,63E+01 1,03E+01 1,11E+01 1,15E+01 1,25E+01 1,32E+01 2,08E+01 1,66E+00 2,94E+00 5,12E+00 2,21E+01 1,65E+01 1,37E+01 1,36E+01 1,78E+01 2,05E+01 1,85E+01 1,51E+01 2,65E+01 3,23E+00
56 Md 9,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 12,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 15,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 17,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0 20,0
Mg 8,1 4,8 4,8 4,8 7,2 7,2 7,2 7,2 7,2 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 10,8 6,0 6,0 6,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 13,5 13,5 13,5 13,5 6,8 6,8 6,8 6,8 10,2 10,2 10,2 10,2 10,2 15,3 15,3 15,3 15,3 15,3 8,0 12,0 12,0 18,0 18,0 18,0 18,0 18,0
1/q 0,9 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,4 0,4 0,4 0,4 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,4 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9
P Mdot,max K Mdot,crit Result 3,0 7,06E-05 0,001 1,41E-05 liberal 2,0 3,24E-04 0,001 1,04E-05 liberal 3,0 4,47E-04 0,001 1,40E-05 liberal 4,0 7,64E-04 0,001 1,64E-05 liberal 1,5 2,54E-04 0,001 9,87E-06 liberal 2,0 3,31E-04 0,001 1,19E-05 liberal 2,5 4,23E-04 0,001 1,35E-05 liberal 3,0 4,70E-04 0,001 1,51E-05 liberal 4,0 5,23E-04 0,001 1,72E-05 liberal 2,0 6,84E-05 0,001 1,12E-05 liberal 2,5 1,03E-04 0,001 1,21E-05 liberal 3,0 1,42E-04 0,001 1,29E-05 liberal 3,5 1,81E-04 0,001 1,26E-05 liberal 4,0 2,18E-04 0,001 1,40E-05 liberal 5,0 1,18E-03 0,001 2,83E-05 liberal 2,5 5,53E-04 0,001 1,57E-05 liberal 3,0 6,47E-04 0,001 1,65E-05 liberal 4,0 7,67E-04 0,001 2,11E-05 liberal 2,0 5,37E-04 0,001 1,33E-05 liberal 2,5 6,37E-04 0,001 1,51E-05 liberal 3,0 7,43E-04 0,001 1,71E-05 liberal 3,5 7,75E-04 0,001 1,87E-05 liberal 4,0 7,48E-04 0,001 1,89E-05 liberal 2,0 9,22E-05 0,001 1,26E-05 liberal 3,0 2,09E-04 0,001 1,42E-05 liberal 4,0 3,23E-04 0,001 1,55E-05 liberal 5,0 4,38E-04 0,001 1,74E-05 liberal 1,5 4,85E-04 0,001 1,14E-05 liberal 2,0 6,53E-04 0,001 1,34E-05 liberal 2,5 7,89E-04 0,001 1,73E-05 liberal 4,0 1,03E-03 0,001 2,59E-05 liberal 1,5 4,56E-04 0,001 1,11E-05 liberal 2,0 6,87E-04 0,001 1,37E-05 liberal 3,0 8,74E-04 0,001 1,80E-05 liberal 4,0 9,92E-04 0,001 1,92E-05 liberal 5,0 1,10E-03 0,001 2,17E-05 liberal 2,0 1,02E-04 0,001 1,34E-05 liberal 3,0 2,31E-04 0,001 1,53E-05 liberal 4,0 3,55E-04 0,001 1,66E-05 liberal 5,0 4,82E-04 0,001 1,89E-05 liberal 6,0 6,19E-04 0,001 2,02E-05 liberal 4,0 1,09E-03 0,001 2,57E-05 liberal 2,0 8,62E-04 0,001 1,48E-05 liberal 3,0 1,07E-03 0,001 1,91E-05 liberal 2,0 1,24E-04 0,001 1,45E-05 liberal 3,0 2,84E-04 0,001 1,68E-05 liberal 4,0 4,41E-04 0,001 1,87E-05 liberal 5,0 5,92E-04 0,001 2,08E-05 liberal 6,0 7,37E-04 0,001 2,24E-05 liberal
Ratio 5,00E+00 3,12E+01 3,19E+01 4,67E+01 2,57E+01 2,78E+01 3,12E+01 3,12E+01 3,04E+01 6,11E+00 8,50E+00 1,10E+01 1,43E+01 1,55E+01 4,17E+01 3,52E+01 3,92E+01 3,64E+01 4,04E+01 4,23E+01 4,34E+01 4,13E+01 3,96E+01 7,32E+00 1,47E+01 2,09E+01 2,52E+01 4,26E+01 4,86E+01 4,57E+01 3,97E+01 4,10E+01 5,02E+01 4,86E+01 5,15E+01 5,07E+01 7,61E+00 1,51E+01 2,14E+01 2,56E+01 3,06E+01 4,23E+01 5,83E+01 5,59E+01 8,56E+00 1,69E+01 2,36E+01 2,85E+01 3,29E+01
Tabel 12.2: theoretische verwachtingen bij K = 1 1000
57 Het blijkt dus dat verwacht wordt dat hoe zwaarder de systemen, des te meer deze niet-conservatief zullen zijn. Voor een bepaalde M d zijn deze met hoge P eerder nietconservatief, evenals deze met gemiddelde 1 q (gebruikt i.p.v. q zelf omdat het hier de beginwaarde betreft). De systemen met hoge of lage 1 q blijven langer conservatief. Verder blijkt uiteraard dat bij K = 1 1000 veel meer systemen nietconservatief zijn dan bij K = 1 100 . Timmermans (2007) geeft een uitgebreide studie van het systeem RZ Cas. Met een absolute bovengrens van 3M ⊙ op de initiële waarde van M d en een P < 4d bevindt dit systeem zich met zekerheid in het conservatief gebied.
58
13. Niet-conservatieve evolutiecode Het nieuwe scenario werd ingebracht in de bestaande evolutionaire Brusselcode. Deze, zoals gebruikt in De Loore en Van Rensbergen (2005), produceert de conservatieve evolutiesporen zoals weergegeven op de website van het Astrofysisch Instituut, http://we.vub.ac.be/astrofys. De belangrijkste wijzigingen zijn dat het programma nu rekening houdt met de opspinning van de gainer en β onder één doet dalen wanneer deze opspinning en de ɺ overschreden wordt. Hierbij wordt accretielichtkracht er samen voor zorgen dat M crit
in deze verhandeling enkel rekening gehouden met rechtstreekse inslag systemen. In een voortgezet onderzoek zullen rechtstreekse inslag en inslag via een accretieschijf ondergebracht moeten worden in twee verschillende categorieën. De belangrijke inputparameters die in het programma gebruikt worden zijn de volgende: •
M d : initiële donormassa
•
M g : initiële gainermassa
• • •
P: initiële orbitale periode KBELT: factor voor efficiëntie en grootte van hot spot ( KBELT = 1 K ) KTIDE: factor voor type getijdenwerking ( KTIDE = F = 10fsync ), dus F = 1 impliceert sterke werking en F = 10 zwakke.
Op de volgende bladzijde is een voorbeeld van output van de aangepaste Brusselcode weergegeven. De volledige set van niet-conservatieve evoluties, gemaakt en gebruikt in het kader van dit werk, zal beschikbaar gemaakt worden op http://we.vub.ac.be/astrofys/binarytracks/liberal/.
59
Tabel 13.1: outputvoorbeeld van de Brusselcode
60
14. Typevoorbeeld van een niet-conservatief systeem In dit hoofdstuk wordt een dubbelstersysteem beschouwd dat volgens voorgaand scenario en de daaruit volgende evolutiecode een niet-conservatieve fase vertoont, en tevens vele kenmerken en gevolgen hiervan illustreert. Het betreft dit met als beginmassa’s respectievelijk 9,0 en 5,4 zonsmassa’s en een initiële orbitale periode van 2,25 dagen. In de onderstaande grafieken worden de belangrijke kenmerken van de nietconservatieve evolutie, evenals hun afhankelijkheid van de overgebleven parameters, besproken. Alle resultaten werden bekomen met de niet-conservatieve evolutiecode gebaseerd op het besproken scenario. ɺ als functie van de tijd, met Een eerste interessante Grafiek 14.1 is deze van M d ɺ ɺ waarbij β volgens het daarop ook M crit aangeduid. Deze laatste is de M evolutieprogramma onder de één duikt. Deze simulatie is gebeurd voor een 9,0+5,42,25D-systeem, met K = 1 100 en een sterke getijdenkracht. De analoge berekening voor zwakke getijdenkrachten is nagenoeg identiek. Het grootste verschil in geval van ɺ . De door een vroeger begin van de nietK = 1 1000 is een veel lagere M crit ɺ conservatieve fase verschillende orbitale parameters zullen ook het verloop van M d
ietwat beïnvloeden.
ɺ als functie van de tijd Grafiek 14.1: M
De top van de curve die afgesneden wordt door de horizontale rechte is dus het deel ɺ dat niet door de gainer aanvaard wordt en in de interstellaire ruimte van M terechtkomt. Er kan opgemerkt worden dat de niet-conservatieve fase zeer kort is in vergelijking met de nucleaire tijdschaal van een ster. In dit geval slechts zo’n 30000 jaar.
61 Een tweede Grafiek 14.2 toont β als functie van de tijd voor zowel sterke als zwakke getijdenkracht, voor hetzelfde systeem met K = 1 100 . Het is duidelijk dat bij zwakke getijdenkracht de β -dip iets dieper is en langer duurt, en dat er dus wat meer materie uit het systeem gaat, maar dat het verschil vrij klein is. Verder is het duidelijk dat β typisch daalt tot ongeveer 0,5.
Grafiek 14.2: β als functie van de tijd voor verschillende getijdensterkten De volgende Grafiek 14.3 toont de K-afhankelijkheid van β . In het geval K = 1 10 herleidt de situatie zich tot een conservatieve evolutie, en gaat er dus geen materie uit het systeem verloren. Indien K = 1 1000 daalt β tot bijna nul en gaat er veel meer massa uit het systeem dan bij K = 1 100 .
Grafiek 14.3: β als functie van de tijd voor verschillende K
62 Grafiek 14.4 toont het verloop van de massaverhouding q als functie van de tijd, en dit voor verschillende K, telkens met sterke getijdenwerking. Voor zwakke werking liggen de niet-conservatieve curven nauwelijks hoger. Bij K = 1 10 , wat overeenkomt met het conservatieve geval, daalt q tijdens de intensieve RLOF-fase tot 0,4, wat dus een zeer korte levensduur in hoge q-bins oplevert. Wanneer bij dalende K het systeem niet-conservatief wordt, geldt dat hoe kleiner K, dus hoe meer massauitstoot, hoe hoger q aan het einde van snelle RLOF. Aldus blijkt dat niet-conservatisme er inderdaad voor zorgt dat dit systeem langere tijdsduren van hoge q ondervindt.
Grafiek 14.4: q als functie van de tijd voor verschillende K Grafiek 14.5 en Grafiek 14.6 tonen de verdeling van massaverhoudingen en orbitale periodes voor K = 1 100 . Bij de q-distributie is het duidelijk dat een nietconservatieve fase beduidend langere tijdsduren in hoge q-bins veroorzaakt, een fenomeen dat nog iets uitgesprokener is bij zwakke getijdenkracht.
Grafiek 14.5: q-distributie
63 Niet-conservatisme blijkt ook een lichter effect te hebben op de periodeverdeling, die in dit geval verschuift naar iets lagere log P.
Grafiek 14.6: P-distributie Tenslotte kan nog nagegaan worden hoe niet-conservatieve evolutie het evolutiespoor beïnvloedt. Het betreft hier hetzelfde systeem van de vergelijking tussen enkelvoudige en dubbelsterevolutie uit 3.1. In Figuur 14.1 is het spoor van de gainer (links) en dat van de donor (rechts) verdikt weergegeven daar waar het een Algol betreft. De stippellijnen zijn de conservatieve sporen en de puntjes de individuele sporen (beide uit 3.1).
Figuur 14.1: HRD voor niet-conservatieve dubbelsterevolutie Het blijkt dus dat vooral de evolutie van de gainer beïnvloed wordt door een nietconservatieve fase.
64
15. Intermezzo: verjonging 15.1. Hertzsprung-Russell diagram In een Algol type dubbelster zal de gainer vooral waterstofrijk materiaal ontvangen. Indien dit door convectie in het sterinwendige terechtkomt, zal het gevolg zijn dat de ster jonger lijkt dan dat deze in werkelijkheid is. Dit uit zich in een HRD-positie die dichter bij de ZAMS gelegen is dan men zou verwachten. Dezelfde sterren die in Hoofdstuk 9 gebruikt werden om na te gaan welke q-bepaling de betrouwbaarste resultaten geeft, worden nu in een HRD diagram geplaatst. Pourbaix et al. (2004) geven voor beide componenten de schijnbare visuele magnitude en de spectraalklasse. In de eerste plaats dient de gegeven schijnbare magnitude gecorrigeerd te worden voor interstellaire absorptie. Hiertoe wordt de ( B − V )0 van
Lang (1999) gebruikt, terwijl ( B − V ) van de gainer bekomen wordt uit het SIMBADbestand (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad). Bijgevolg: V0 = V − A V
(15.1)
met
A V = 3,1 ( B − V )g − ( B − V )0
(15.2)
Aangezien gainer en donor even ver van ons verwijderd zijn, geldt namelijk dat A V = A V,d = A V,g . Verder wordt na invoeren van de bolometrische correctie m bol = V0 + BC ook nog gecorrigeerd voor de afstand. Dit gebeurt m.b.v. de door SIMBAD gegeven parallax met fout: M bol = m bol + 5 + 5log π"
(15.3)
Sterren waarvoor de afstandsbepaling erg onnauwkeurig is worden weggelaten, voor de anderen wordt de fout weergegeven. De aldus bekomen absolute magnitude wordt tenslotte omgezet in absolute lichtkracht: L log = 0, 4 ( 4, 75 − M bol ) L⊙
(15.4)
Deze lichtkracht wordt dan uitgezet tegen de sterklasse, voor SB1s in Figuur 15.1, voor SB2s in Figuur 15.2. Het resultaat is dat de gainers niet enkel merkelijk dichter bij de ZAMS liggen dan de donors, maar deze werkelijk zeer dicht naderen. Dit staat bekend als verjonging (“rejuvenation”).
65
Figuur 15.1: HRD voor SB1s
Figuur 15.2: HRD voor SB2s
15.2. Leeftijdsvergelijking Een tweede methode waarop de verjonging tot uiting kan komen is door de leeftijd van de gainer in een dubbelster te vergelijken met de leeftijd die een enkelvoudige ster met dezelfde kenmerken heeft. Figuur 15.3 geeft de respectieve evolutiesporen weer van enkelvoudige sterren met een massa van 5,5, 6, 7, 8, 9, 10 en 11 zonsmassa’s (van onder naar boven). De stippen langs de zwarte lijn geven de HRD-positie van de gainer van het 9,0+5,42,25D typevoorbeeld (met K = 1 100 en zwakke getijdenwerking) uit Hoofdstuk 14, op de momenten dat deze die respectieve massa’s bereikt. Zoals blijkt uit de figuur
66 liggen enkel de posities van de gainer bij 9 en 10M ⊙ op het evolutiespoor van hun respectieve enkelvoudige sporen.
Figuur 15.3: evolutiesporen van gainer en enkelvoudige sterren Wanneer in Tabel 15.1 voor deze twee gevallen de ouderdom van de gainer en de overeenkomstige enkelvoudige ster (in y) vergeleken wordt, blijkt dat, niettegenstaande hun identieke HRD-positie, de enkelvoudige ster respectievelijk 18,4 en 21,6 miljoen jaar ouder is.
Mg log Teff 5,5 4,211 6 4,198 7 4,235 8 4,276 9 4,358 10 4,342 11 4,357
single log L/L0 3,046 3,444 3,699 3,720 3,669 4,001 4,138
t Mg 4,72E+07 5,5 7,38E+07 6 5,32E+07 7 2,97E+07 8 7,74E+06 9 1,76E+07 10 1,54E+07 11
K=0.01 log Teff log L/L0 4,256 3,069 4,346 3,655 4,373 3,798 4,388 3,769 4,359 3,659 4,348 3,999 4,400 4,158
t 2,41E+07 2,41E+07 2,42E+07 2,42E+07 2,61E+07 3,92E+07 3,94E+07
dt -2,30E+07 -4,96E+07 -2,90E+07 -5,50E+06 1,84E+07 2,16E+07 2,39E+07
Tabel 15.1: vergelijking tussen gainer en enkelvoudige sterren
67
16. Het grensgebied van niet-conservatieve evolutie Na de theoretische beschouwingen van Hoofdstuk 12 kan nu met de aangepaste evolutiecode uitgerekend worden of het verwachte (niet-)conservatisme werkelijk tot uiting komt. In de volgende tabellen wordt voor elke M d en voor de verschillende mogelijke combinaties van de andere beginparameters het grensgebied tussen de conservatieve en niet-conservatieve zone onderzocht. De initiële massaverhouding 1 q stijgt hierbij van 0,3 tot 0,9 in stappen van 0,1, terwijl de periode stijgt van 1,50 tot 5,00 in stappen van 0,25. Combinaties buiten deze bereiken leverden problemen met de evolutiecode. De combinaties gemarkeerd met “C” beduiden systemen die werkelijk uitgerekend zijn met de niet-conservatieve evolutiecode en conservatief bleken te zijn. “NC” wijst op effectief berekende niet-conservatief gebleken systemen. De achtergrondkleur duidt de aldus afgeleide zones van conservatieve en niet-conservatieve evolutie aan, waarbij de grens als dikke lijn voorgesteld wordt. De verdikte kadertjes (met volle lijn voor niet-conservatief en stippellijn voor conservatief) geven de volgens Hoofdstuk 12 bepaalde theoretische aard van het systeem weer. Aangezien het type getijdenwerking weinig effect heeft op het conservatisme van een systeem, gebeurde de berekeningen enkel voor sterke getijdenkracht. In Tabel 16.1 gebeurt dit alles voor K = 1 100 , in Tabel 16.2 voor K = 1 1000 . Er moet opgemerkt worden dat beperkingen in de evolutiecode niet toelieten om voor K = 1 1000 systemen met een combinatie van kleine M d en kleine 1 q te berekenen. Deze zijn dan ook met “X” en een zwartere achtergrond aangeduid.
68
69
70
Tabel 16.1: conservatieve / niet-conservatieve grens voor K = 1 100
71
Tabel 16.2: conservatieve / niet-conservatieve grens voor K = 1 1000
72 Het resultaat blijkt, zoals verwacht, te zijn dat het niet-conservatieve gebied versmalt naar kleinere periodes toe, waarbij voor lage P-waarden bij hoge en lage 1 q conservatisme behouden blijft. Tevens verschuift deze omgekeerde V-vorm naar lagere periodes toe naarmate M d toeneemt, zodat voor voldoende hoge donormassa de gehele bestudeerde zone niet-conservatief is. Bovendien wordt niet-conservatisme enorm bevoordeeld bij een kleinere waarde van K. De meerderheid van de situaties waarbij de theoretische voorspelling niet overeen komt met de experimenteel gevonden toestand, zijn deze waarbij de theorie een conservatief systeem voorspelt, maar evolutionair toch een niet-conservatieve fase wordt teruggevonden. De meest waarschijnlijke verklaring hiervoor is dat formule (12.2) gebruikt werd zonder rekening te houden met de rotatiesnelheid van de gainer (omdat deze niet voorkomt in het conservatieve evolutieprogramma), die uiteraard ook helpt om de materie de gravitatie te laten overwinnen. De enige uitzondering (niet-conservatief voorspelde systemen die toch geen massa blijken te verliezen) situeren zich in gebieden van (zeer) kleine 1 q . Samenvattend kan gesteld worden dat in het bestudeerde periodegebied voor K = 1 100 alle systemen met M d ≤ 4M ⊙ conservatief zijn, terwijl deze met M d > 12M ⊙ allen niet-conservatief zijn, behalve bij combinatie van extreem hoge 1 q en kleine P. Bij K = 1 1000 zijn alle systemen met M d > 5M ⊙ niet-conservatief. Het grensgebied kan ook grafisch weergegeven worden: in Grafiek 16.1 wordt de grens driedimensionaal afgebeeld, voor beide keuzes van K. De systemen onder het geplotte oppervlak zijn conservatief, deze erboven niet-conservatief.
Grafiek 16.1: conservatieve / niet-conservatieve grens
73
17. Bepaling van efficiëntie en oppervlakte van de hot spot 17.1. Werkwijze De grootheid K die voorkomt in formule (11.14) voor de energievergelijking, en dus in directe mate de energiebalans mee bepaalt, is een maat voor de efficiëntie van omzetting van de RLOF-energie in kinetische energie voor het materiaal dat aan het systeem wil ontsnappen. Hierbij dient zoals besproken in 7.3 rekening gehouden te worden met zowel de beperkte efficiëntie waarmee accretielichtkracht omgezet wordt in kinetische energie (de zogenaamde koeling) als de concentratie van deze lichtkracht in een kleine hot spot (die de lokale lichtkracht dus doet toenemen). Aangezien er nog geen geavanceerde hydrodynamische simulaties van deze situatie bestaan, wordt hier toevlucht genomen tot waarnemingen. Peters en Polidan (2004) observeren drie Algolsystemen waarin accretie via een hot spot plaatsvindt. Deze bevinden zich weliswaar in een kalme RLOF-fase, maar zijn toch nuttig bij de bepaling van K. In twee van de waargenomen systemen, V356 Sgr ( Teff,g = 18700 K ) en RY Per ( Teff,g = 15400 K ), gebeurt de accretie via rechtstreekse inslag. Voor de theoretisch verwachte accretielichtkracht geldt dus vergelijking (7.5):
Lacc =
ɺ RLOF GM g M d
(17.1)
Rg
Nauwkeuriger zou de uitdrukking zijn die rekening houdt met het feit dat het materiaal niet van oneindig komt, maar vanuit L1 : ɺ RLOF 1 − 1 Lacc = GM g M d Rg ℓg
(17.2)
Hierin wordt ℓ g bepaald via vergelijking (10.13): Mg ℓ g = a 0,5 + 0, 227 log Md
(17.3)
Maar omdat de accretielichtkracht in de niet-conservatieve Brusselcode ingevoerd werd zoals in (17.1) wordt de efficiëntie in dit hoofdstuk gedefinieerd als de fractie van Lacc uit (17.1) die aangewend kan worden om materie uit het systeem te bevrijden. ɺ RLOF (uit de conservatieve De orbitale parameters van het systeem en de bijhorende M d
evolutieberekening) kennende kan dankzij (17.1) berekend worden welke Lacc,th theoretisch verwacht wordt. Door deze dan te vergelijken met de Lacc,obs die Peters en
74 Polidan (2004) voor V356 Sgr, TT Hya en RY Per, en Banks et al. (1990) voor RT Scl waarnemen, kan de koelingfactor A = Lacc,th L acc,obs > 1 bepaald worden. Een tweede effect is de concentratie van de accretielichtkracht op een klein deel van het steroppervlak, de hot spot waar het RLOF-materiaal invalt. Volgens de wet van Stefan-Boltzmann wordt de waargenomen accretielichtkracht gegeven door: 4 Lacc,obs = σ R Tspot Sspot
(17.4)
Verwijzend naar Banks et al. (1990) en Pustylnik en Niarchos (2000) is het redelijk aan te nemen dat Tspot gelijk is aan een paar keer Teff , daar waar in het type sterren beschouwd door Peters en Polidan (2004) wellicht hogere hot spot temperaturen verwacht worden. De grootheid S wordt nu gedefinieerd als S = Sspot Sstar < 1 . Bijgevolg geldt uiteindelijk voor het gezamenlijk effect van koeling enerzijds en concentratie in een hot spot anderzijds dat: K = AS =
Lacc,th Sspot
=
L acc,th
L acc,obs
4 4πR g2 Lacc,obs Sstar L acc,obs σ R Tspot ɺ RLOF M y ɺ RLOF M g M ⊙ M GM g M d d ⊙ 22 = = 3, 48074.10 4 3 4 3 σ R Tspot 4πR g Tspot [ K ] R g R ⊙
(17.5)
17.2.Resultaten Voor twee van de door Peters en Polidan (2004) waargenomen sterren is de bovenstaande berekening (17.5) effectief uitgevoerd. In Tabel 17.1 en Tabel 17.2 worden de waargenomen parameters (“observed”) van V356 Sgr en RY Per vergeleken met de via de conservatieve evolutiecode bekomen resultaten (“CASE A” of “CASE B”), op basis van veranderende beginparameters (“ZAMS”). In de tabellen worden massa’s weergegeven in M ⊙ , temperaturen en lichtkrachten in ɺ in M y . logaritmische vorm, stralen in R ⊙ , periodes in dagen en M ⊙ Wanneer voor elk systeem de aanvaardbare evoluties (deze die een Algol opleveren met vergelijkbare kenmerken als deze door Peters en Polidan (2004) waargenomen) ɺ RLOF weerhouden worden, kan het gewogen gemiddelde genomen worden van de M d die deze op het moment van waarneming vertonen. De weging gebeurt door de afwijking van de waarnemingen via een kwadratische methode in rekening te ɺ te bepalen. brengen. Dit laat ook toe een fout op de gemiddelde M In het geval van V356 Sgr is de donor van het type A2II en heeft bijgevolg de hoofdreeks in het HRD met zekerheid verlaten. De Algol V356 Sgr bevindt zich dus momenteel in een toestand met RLOF B.
75 Md Td Ld 10,000 4,389 3,727 9,963 4,317 4,176 3,003 4,237 4,100 2,990 4,237 4,105 3,000 3,956 <3.279 9,000 4,365 3,580 3,300 4,151 3,488 3,009 4,132 3,655 2,995 4,132 3,660 3,000 3,956 <3.279 8,500 4,352 3,499 3,125 4,104 3,358 3,002 4,078 3,442 2,989 4,079 3,450 3,000 3,956 <3.279 8,200 4,343 3,447 3,016 4,074 3,279 3,004 4,044 3,304 2,996 4,042 3,303 3,000 3,956 <3.279 8,000 4,337 3,412 3,000 4,006 3,126 3,000 3,956 <3.279 2,953 4,056 3,227 weighted average:
Rd 4,063 9,471 12,524 12,612 13,200 3,827 9,198 12,186 12,253 13,200 3,705 9,867 12,250 12,295 13,200 3,630 10,333 12,219 12,279 13,200 3,580 11,856 13,200 10,580
P 4,995 5,021 8,914 9,001 8,896 3,508 7,272 8,848 8,941 8,896 3,128 8,158 8,896 8,981 8,896 2,971 8,818 8,898 8,948 8,896 2,891 8,912 8,896 9,237
Mg 4,000 4,000 10,960 10,973 11,000 5,0000 10,6834 10,9742 10,9886 11,000 5,5000 10,8570 10,9797 10,9928 11,000 5,8000 10,9593 10,9716 10,9793 11,000 6,0000 10,9868 11,000 11,0235
Tg 4,159 4,153 4,453 4,453 4,272 4,219 4,394 4,405 4,406 4,272 4,244 4,380 4,386 4,386 4,272 4,258 4,357 4,358 4,358 4,272 4,266 4,388 4,272 4,368
Lg 2,347 2,398 4,233 4,209 3,279 2,703 3,926 3,979 3,981 3,279 2,851 4,039 4,068 4,068 3,279 2,932 4,124 4,133 4,135 3,279 2,984 4,040 3,279 4,122
Rg 2,389 2,602 5,564 5,401 5,600 2,725 4,981 5,029 5,029 5,600 2,881 6,038 6,093 6,091 5,600 2,971 7,415 7,448 7,461 5,600 3,030 5,803 5,600 7,022
Remarks ZAMS XC1=0 CASE B CASE B observed ZAMS XC1=0 CASE B CASE B observed ZAMS XC1=0 CASE B CASE B observed ZAMS XC1=0 CASE B CASE B observed ZAMS CASE A observed XC1=0 +/-
dM/dt
weight
-2,09E-05 -2,27E-05
0,33
-7,44E-06 -7,54E-06
0,24
-9,07E-06 -8,20E-06
0,26
-6,98E-06 -8,42E-06
0,17
-2,81E-08
0,00
-1,26E-05 2,76E-06
Tabel 17.1: waargenomen en berekende kenmerken van V356 Sgr Md Td Ld 5,750 4,256 2,919 3,042 3,706 1,707 5,500 4,244 2,851 5,500 4,178 3,264 1,601 3,860 2,235 1,594 3,869 2,275 1,600 3,806 <2.919 1,012 4,021 3,367 5,250 4,232 2,779 1,604 3,808 2,004 1,598 3,813 2,029 1,600 3,806 <2.919 1,536 3,912 2,331 0,768 3,932 3,266 5,000 4,219 2,703 1,600 3,795 1,948 1,600 3,806 <2.919 1,502 3,864 2,189 0,661 3,742 2,762 4,750 4,206 2,622 1,600 3,781 1,891 1,600 3,806 <2.919 1,460 3,769 1,933 4,500 4,191 2,536 1,601 3,757 1,794 1,597 3,757 1,793 1,600 3,806 <2.919 1,494 3,739 1,788 weighted average:
Rd 2,956 9,200 2,881 6,273 8,315 8,364 8,100 14,568 2,804 8,092 8,129 8,100 7,315 19,541 2,725 8,075 8,100 7,755 26,272 2,644 8,047 8,100 8,927 2,561 8,025 8,050 8,100 8,687
P 3,898 2,194 3,178 3,179 6,851 6,924 6,863 20,699 2,698 6,824 6,882 6,863 7,521 42,615 2,372 6,867 6,863 7,916 63,917 2,150 6,863 6,863 8,459 2,003 6,854 6,894 6,863 8,010
Mg 2,100 4,808 2,3500 2,3500 6,2487 6,2563 6,2500 6,8378 2,6000 6,2459 6,2520 6,2500 6,3137 7,0817 2,8500 6,2504 6,2500 6,3476 7,1884 3,1000 6,2500 6,2500 6,3900 3,3500 6,2490 6,2532 6,2500 6,3551
Tg 3,970 4,210 4,004 3,999 4,344 4,344 4,188 4,317 4,035 4,282 4,281 4,188 4,268 4,329 4,062 4,276 4,188 4,209 4,270 4,086 4,271 4,188 4,222 4,109 4,250 4,248 4,188 4,222
Lg 1,264 3,735 1,458 1,496 3,574 3,564 2,919 3,258 1,630 3,120 3,116 2,919 3,171 3,431 1,785 3,103 2,919 3,354 3,625 1,927 3,102 2,919 3,499 2,056 3,217 3,225 2,919 3,487
Rg 1,639 9,461 1,747 1,872 4,217 4,179 4,060 3,286 1,853 3,299 3,298 4,060 3,731 3,801 1,955 3,332 4,060 6,019 6,237 2,054 3,394 4,060 6,793 2,151 4,222 4,285 4,060 6,711
Remarks ZAMS last model ZAMS XC1=0 CASE B CASE B observed last model ZAMS CASE A CASE A observed XC1=0 YC1=0,978 ZAMS CASE A observed XC1=0 XC2=0,123 ZAMS CASE A observed XC2=0 ZAMS CASE A CASE A observed XC2=0 +/-
dM/dt
weight 0,00
-1,99E-05 -1,86E-05
0,17
-2,90E-06 -2,67E-06
0,15
-9,30E-07
0,16
-4,73E-08
0,17
-3,88E-09 -4,59E-09
0,35
-3,92E-06 1,44E-06
Tabel 17.2: waargenomen en berekende kenmerken van RY Per
76 De aldus bekomen waarden ingevoerd in vergelijking (17.5) laten toe te besluiten dat voor V356 Sgr de waarde A van de orde 10 4 is. Voor RY Per is dit nog een factor 10 meer. De verhouding S is sterk afhankelijk van de temperatuur van de hot spot, die niet nauwkeurig gekend is. Een typische grootte-orde voor S is waarschijnlijk 10−7 , leidend tot een K van de orde 10−3 . Dit is zo bij Tspot ≈ 2,5Teff , zoals weergegeven in Tabel 17.3. Een vrij conservatieve keuze Tspot = 1,5Teff levert voor S bij V356 Sgr orde 10−6 , wat K ∼ 10−2 zou impliceren. RY Per levert gelijkaardige K-waarden. Deze voor RT Scl ligt vermoedelijk hoger, maar uit de kleine beginmassa’s blijkt dan ook duidelijk dat dit een conservatief systeem is. Mg= Rg= dM/dt= Lacc,obs= Tspot= Lacc,th= A= S= K=
11,00 5,60 1,26E-05 2,00E+32 2,50 2,96E+36 14817 3,87E-07 0,0057
Msun Rsun Msun/y erg/s Teff erg/s
Tabel 17.3: K-berekening bij V356 Sgr De waarden voor RY Per zijn echter erg onzeker wegens de grote spreiding op de ɺ . In Tabel 17.2 blijkt dit ook uit de grote fout op het mogelijke waarden voor M gewogen gemiddelde. Dit is een gevolg van het feit dat V356 Sgr met redelijke ɺ vrij goed bepaald is), terwijl er geen zekerheid een Algol B is (waarvoor M duidelijkheid is over het type van RY Per. Op basis van deze gegevens lijkt de keuze K = 1 1000 dus het meest aangewezen, alhoewel misschien net iets te liberaal, en is K = 1 100 vermoedelijk een voorzichtige bovengrens.
17.3. Emissielijnen In deze paragraaf wordt kort ingegaan op de aard van de emissielijnen, waaruit Peters en Polidan (2004) de temperatuur van het circumstellair plasma afleiden. De afleiding is gebaseerd op deze van Mihalas (1978). Ook Castor et al. (1975) gaan in op sterrenwinden gedreven door resonantielijnen. De kritische temperatuur TC nodig om een sterrenwind aan te drijven: 2kTC ≈
1 m H v ∞2 ⇒ TC ≈ 1, 6.107 K 2
(17.6)
is niet aanwezig in O-type sterren. Lucy en Solomon (1970) melden echter de waarneming van sterke resonantielijnen in het UV-spectrum, die via absorptie kunnen leiden tot directe impulsoverdracht naar het gas. Fotonen met een zekere radiale impuls worden in dit proces geabsorbeerd door ionen, die ze isotroop verstrooien. Op deze manier wordt de initiële impuls overgedragen op de ionen en het materiaal als geheel versneld. De naar buiten gerichte versnelling van het gas wordt gegeven door:
77 ∞
4π 0 0 gR = χ ν H ν dν cρ ∫0
(17.7)
Hierin is χ 0ν de totale absorptiecoëfficiënt per eenheidsvolume en H 0ν de inkomende flux. De inwaartse gravitationele versnelling is: g=
GM r2
(17.8)
Hydrostatisch evenwicht zal dus enkel verstoord worden indien g R > g . Definieer hiertoe: Γ=
gR g
(17.9)
De veronderstelling van frequentie onafhankelijke Thomson verstrooiing in O-sterren (uit 7.1) opnieuw gebruikend, herleidt zich dit tot: Γe =
4π n eσe cρ
∞
se L r2 H dν ∫0 ν GM = 4πcGM
(17.10)
H (Edd. flux)
Hierin is s e = n e σ e ρ de elektron verstrooiingscoëfficiënt per gram. Het resultaat voor een O-ster is typisch Γ e ≈ 0, 4 , en bijgevolg kan continuüm Thomson verstrooiing alleen geen kracht opleveren die de zwaartekracht overtreft. Resonantielijnen van hoog geïoniseerde C-, N- en O-atomen kunnen dat echter wel. Een bovengrens voor de versnelling van materiaal door een enkele lijn van atoomsoort k met excitatie i en ionisatie j wordt gegeven door: g 0R =
n ijk N jk α k X π 2e2 f B T 2 il ν ( eff ) mc N jk N k m H
(17.11)
met fil de oscillatorensterkte volgens Wiese et al. (1966), n ijk de populatie van het betreffende niveau, N jk het totaal aantal atomen in alle excitatietoestanden met ionisatie j, N k het totaal aantal k-atomen en α k de abundantie van k-atomen t.o.v. die van waterstof. Indien g slechts licht overtroffen wordt door g 0R , betekent dit niet noodzakelijk dat hydrostatisch evenwicht verbroken wordt (en dus dat er massa-uitstroom plaatsvindt) daar (17.11) een bovengrens weergeeft.
78 Terwijl log g voor een O-ster typisch tussen drie en vier ligt (voor een dubbelsysteem is dit nauwelijks meer), kan berekend worden dat voor de door Peters en Polidan (2004) waargenomen O VI -lijn bij 1034Å voor de bovengrens log g 0R = 5,89 geldt. Deze waarde wordt bekomen uit α ( O ) = 8,5.10−4 zoals gegeven door Anders en Grevesse (1989) en met een hot spot temperatuur van ∼ 2Teff = 37400 K . Bijgevolg is het duidelijk dat g 0R > g . Deze g 0R ligt zelfs hoger dan de log g 0R = 5,16 van de C IV -lijn bij 1548Å, waarvoor Lucy en Solomon (1970) berekend hebben dat deze wel degelijk tot massa-uitstroom leidt. In dat geval geldt α ( C ) = 3, 6.10−4 naar Anders en Grevesse (1989) en Teff ( O-ster ) = 25000 K . De O VI -lijn in emissie rond V356 Sgr wijst op circumstellaire materie rond het stelsel. De temperatuur van dit plasma bedraagt 3.105 K zoals naar House (1964) opgelegd wordt door de temperatuur nodig om zuurstof tot O VI optimaal te ioniseren. Deze hoge temperatuur wordt bereikt door overdracht van inslagenergie vanuit de hot spot. De emissielijn van O VI is daarenboven erg breed ten gevolge van het Dopplereffect. De breedte van de lijn wijst op snelheden tot 1200 km s in de gezichtsrichting, terwijl de ontsnappingssnelheid uit het systeem iets minder dan 1000 km s bedraagt. Ruim voldoende dus om de zwaartekracht van het stelsel te overwinnen, volgens Peters (2007) zelfs in de vorm van “bipolar jets”.
79
18. Belang van het massaverlies 18.1. Grootte-orde Voor een aantal systemen werd met het niet-conservatieve evolutieprogramma een reeks evolutiesporen berekend. Deze studie beperkt zich tot systemen met een primaire ster van negen zonsmassa’s. In de volgende tabel en grafieken wordt weergegeven hoeveel massa uit het systeem verloren gaat tijdens de nietconservatieve fase. Tabel 18.1 geeft als functie van de initiële orbitale parameters en de waarden voor K en F (1 wijst op sterke getijdenwerking, 10 op zwakke) de berekende massa afgestaan door de donor (“RLOF”) en de hoeveelheid door het systeem verloren massa (“dM”), beide in M ⊙ . Deze laatste waarde wordt vervolgens uitgedrukt in procent van de als RLOF-materie overgedragen materie (“% RF”) en van de totale systeemmassa (“% M”). Grafiek 18.1 en Grafiek 18.2 geven deze resultaten grafisch weer, voor de verschillende waarden van K. Grafiek 18.1 geeft het deel van de RLOF-materie die verloren gaat weer, terwijl Grafiek 18.2 handelt over de totale systeemmassa. Beide grafieken zijn voor sterke getijdenwerking; bij zwakke getijdenwerking is het procentuele massaverlies nauwelijks groter. De plotse inzinkingen bij 1 q = 0,5 en 1 q = 0, 6 voor K = 1 1000 zijn artefacten ten gevolge van beperkingen van het evolutieprogramma (zie 18.2).
80 Md 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0 9,0
Mg 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 8,1 8,1 8,1 8,1 8,1 8,1 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 4,5 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 5,4 8,1 8,1 8,1
1/q 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,6 0,9 0,9 0,9
P 2,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,00 1,60 1,60 1,80 1,80 2,00 2,00 2,25 2,25 2,50 2,50 3,00 3,00 3,50 3,50 4,00 4,00 2,00 2,00 2,50 2,50 3,00 3,00 3,50 3,50 4,00 4,00 1,40 1,40 1,60 1,60 1,80 1,80 2,00 2,00 2,25 2,25 2,50 2,50 3,00 3,00 3,20 3,20 3,50 3,50 4,00 4,00 3,50 4,00 4,00
K 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,001 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010 0,010
F 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 1 10 10 1 10
RLOF 5,755 5,756 5,660 5,661 5,612 5,615 5,642 5,641 5,547 5,547 5,487 5,486 5,436 5,436 5,398 5,398 4,917 4,916 4,860 4,852 4,811 4,800 5,633 5,632 5,580 5,572 5,552 5,545 5,526 5,525 5,298 5,302 5,179 5,180 5,400 5,401 5,456 5,455 5,418 5,414 5,388 5,380 5,366 5,355 5,332 5,328 5,320 5,319 5,306 5,307 5,298 5,302 4,948 4,967 4,940
dM 4,544 4,548 4,760 4,774 4,939 4,964 2,915 2,917 3,188 3,194 3,441 3,451 3,707 3,721 3,932 3,951 1,862 1,892 2,505 2,590 3,036 3,149 0,897 1,032 2,269 2,587 2,708 3,187 3,055 3,587 2,766 3,206 0,463 0,469 0,637 0,660 0,799 0,871 0,959 1,120 1,157 1,493 1,363 1,864 1,838 2,541 2,046 2,702 2,316 2,896 2,766 3,206 0,206 0,070 0,558
% RF 79,0% 79,0% 84,1% 84,3% 88,0% 88,4% 51,7% 51,7% 57,5% 57,6% 62,7% 62,9% 68,2% 68,5% 72,8% 73,2% 37,9% 38,5% 51,5% 53,4% 63,1% 65,6% 15,9% 18,3% 40,7% 46,4% 48,8% 57,5% 55,3% 64,9% 52,2% 60,5% 8,9% 9,1% 11,8% 12,2% 14,6% 16,0% 17,7% 20,7% 21,5% 27,8% 25,4% 34,8% 34,5% 47,7% 38,5% 50,8% 43,6% 54,6% 52,2% 60,5% 4,2% 1,4% 11,3%
%M 33,7% 33,7% 35,3% 35,4% 36,6% 36,8% 20,2% 20,3% 22,1% 22,2% 23,9% 24,0% 25,7% 25,8% 27,3% 27,4% 10,9% 11,1% 14,6% 15,1% 17,8% 18,4% 6,6% 7,6% 16,8% 19,2% 20,1% 23,6% 22,6% 26,6% 20,5% 23,7% 3,2% 3,3% 4,4% 4,6% 5,5% 6,0% 6,7% 7,8% 8,0% 10,4% 9,5% 12,9% 12,8% 17,6% 14,2% 18,8% 16,1% 20,1% 19,2% 22,3% 1,2% 0,4% 3,3%
Tabel 18.1: massaverlies in de niet-conservatieve fase
81
Grafiek 18.1: deel van de RLOF-massa verloren door het systeem met M d = 9M ⊙
82
Grafiek 18.2: deel van de totale massa verloren door het systeem met M d = 9M ⊙
83
18.2. Invloed op q- en P-distributies Zoals reeds getoond in Hoofdstuk 14 voor één bepaald systeem heeft nietconservatisme een belangrijke invloed op de in verschillende q-bins doorgebrachte tijd van individuele systemen. Ook een invloed op de P-bevolking moet nagegaan worden. Tabel 18.2 geeft een overzicht van de systemen met initiële massa M d = 9M ⊙ waarvoor de evoluties met de niet-conservatieve code berekend werden. Schuingedrukte kruisjes duiden op berekeningen die nooit tot de Algolfase geraken, terwijl de niet-vetgedrukte dit enkel bij K = 1 100 doen. Mg P 1,40 1,60 1,80 2,00 2,25 2,50 3,00 3,20 3,50 4,00 5,55 2,7 X X X 3,6 X X X X X X X X X X 4,5 5,4 X X X X X X X X X X X X X X X X 8,1
Tabel 18.2: overzicht van de berekende systemen Met behulp van formules (4.3) en (4.4) wordt dan het relatief voorkomen van de respectieve systemen bepaald in Tabel 18.3. q-distribution 1/q Occur. 0,5 6,67% 0,6 10,45% 0,9 9,53%
1/q=0.5 P Occur. 2,00 7,83% 2,50 6,25% 3,00 5,21% 3,50 4,46% 4,00 3,90%
P-distribution 1/q=0.6 P Occur. 1,40 4,46% 1,60 3,90% 1,80 3,47% 2,00 3,12% 2,25 3,51% 2,50 5,46% 3,00 3,17% 3,20 1,95% 3,50 3,98% 4,00 3,90%
1/q=0.9 P Occur. 2,00 7,83% 2,50 6,25% 3,00 5,21% 3,50 4,46% 4,00 7,37% 5,55 9,05%
Tabel 18.3: relatief voorkomen van initiële q- en P-waarden Grafiek 18.3 en Grafiek 18.4 tonen de berekende conservatieve en niet-conservatieve periode- en massaverhoudingsdistributies in vergelijking met de waarnemingen. De vergelijking met Grafiek 4.3 en Grafiek 4.4 dringt zich op.
84
Grafiek 18.3: waargenomen en berekende periodedistributies
Grafiek 18.4: waargenomen en berekende distributies van de massaverhouding Hierbij dient de zeer belangrijke opmerking gemaakt te worden dat de geobserveerde distributies in Grafiek 18.3 en Grafiek 18.4 voor alle Algols zijn, terwijl de andere distributies zich beperken tot deze met M d = 9M ⊙ en met P en q binnen de beschouwde grenzen. Toch geeft dit een leerrijk beeld waaruit blijkt dat, zoals verwacht, niet-conservatieve evolutie langere periodes van hoge q veroorzaakt zonder de P-verdeling sterk aan te tasten. Insluiting van Algols met lagere initiële M d (tot in het conservatieve gebied) zal deze verschuiving matigen. Samen met een volledig gefundeerde bepaling van K (zie Hoofdstuk 17) is een volledige statistiek één van de prioritaire voortzettingen van dit werk...
85
19. Conclusies Algols zijn dubbelstersystemen waarin er zoveel massaoverdracht (RLOF) heeft plaatsgevonden dat de oorspronkelijk meest massieve ster (donor) lichter geworden is dan de begeleider (gainer). Gedurende de Algolfase is de donor de minst massieve, de koelste, de minst heldere en de grootste ster in omvang van het systeem. Wanneer men de theoretische resultaten bekomen met conservatieve dubbelsterevolutie vergelijkt met de waarnemingen van Algols, blijkt dat er veel meer Algols met hoge massaverhouding q = M d M g (dus met sterren die bijna even zwaar zijn) waargenomen dan voorspeld worden. De verdeling van orbitale periodes is echter wel in overeenstemming met de verwachtingen. Een nieuwe studie van de verschillende methoden om de massaverhoudingen uit de observaties af te leiden laat toe te besluiten dat zo’n 45% van de Algols met een oorspronkelijk B-type primaire in hoge q-bins ( q > 0, 4 ) ligt. Dit gebeurde door de qwaarden gegeven door SB9 te vergelijken met de waarden op verschillende manieren bekomen door andere auteurs. Er werd vastgesteld dat voor SB2s zowel de methode die veronderstelt dat de gainer een main sequence ster is, als de methode die enkel de lichtcurve gebruikt, goede resultaten geven. Voor SB1s echter is het nodig een gewogen gemiddelde van beide te bepalen, waarbij de determinatiecoëfficiënt ( R 2 ) gemaximaliseerd wordt. De volgende taak bestond erin het fysische scenario voor niet-conservatieve dubbelsterevolutie te beschrijven. Wanneer RLOF-materiaal invalt op het oppervlak van de gainer heeft dit een opspinning tot gevolg. Deze wordt tegengewerkt door getijdenwerking, die zowel sterk als zwak kan zijn. De netto opspinning heeft tot gevolg dat het equatoriaal oppervlaktemateriaal van de gainer minder gravitationeel gebonden raakt, als een gevolg van de middelpuntvliedende versnelling. In een tweede fenomeen wordt het invallende RLOF-materiaal geconcentreerd in een equatoriale hot spot. Dit heeft een hoge lokale accretielichtkracht tot gevolg, die een naar buiten gerichte fotonendruk veroorzaakt. Mede in functie van de grootte van de hot spot en de efficiëntie van omzetting heeft dit een bijkomende vermindering van de gebondenheid van het oppervlaktemateriaal tot gevolg. Door een combinatie van verhoogde rotatiesnelheid en geconcentreerde accretielichtkracht is het mogelijk dat, tijdens korte intensieve fasen van RLOF, op de gainer invallend materiaal gravitationeel ongebonden raakt. Deze verlaat dus het systeem als een vorm van sterrenwind. Of en in welke mate dit zal gebeuren hangt fysisch enkel af van de initiële parameters van het systeem. In ons model is er ook nog een afhankelijkheid van de soort getijdenwerking en de karakteristieken van de hot spot. Het optreden van een niet-conservatieve fase kenmerkt zich door het ɺ , boven dewelke de gainer geen extra materie zal overschrijden van een zekere M crit aanvaarden.
86 Er werd ook een studie ondernomen van conservatisme als functie van de beginparameters. Het besluit hier is dat niet-conservatisme bevoordeeld wordt bij grote donormassa’s, hoge beginperiodes en een gematigde initiële massaverhouding ( 1 q ≈ 0,5 ). Belangrijkste invloed is echter deze van de concentratie en efficiëntie van de hot spot, die zich uit in de grootheid K. Deze waarde is recht evenredig met de oppervlakteverhouding van de hot spot tot de hele ster, en omgekeerd evenredig met de efficiëntie. Bij K = 1 1000 zijn vanaf M d = 6M ⊙ alle systemen niet-conservatief. Bij K = 1 100 is dit pas vanaf M d = 13M ⊙ het geval, en dan nog enkel voor nietextreem hoge 1 q . Het voorlaatste deel van de thesis concentreert zich op de bepaling van deze laatste overgebleven parameter K. Een correcte schatting hiervan kan best gebeuren op basis van hydrodynamische simulaties, maar bij afwezigheid hiervan worden waarnemingen gebruikt. De geobserveerde zuurstof emissielijnen van twee voorbeeldsystemen laten toe een schatting te maken van de efficiëntie en grootte van de gevormde hot spots. Dit resulteert in de conclusie dat de keuze K = 1 1000 misschien iets te liberaal is, maar dat K = 1 100 hoogstwaarschijnlijk een veilige bovengrens is. Niet-conservatieve evolutie heeft tenslotte een gunstige invloed op de massaverhoudingsdistributie. Aangezien de donor in korte tijd nog wel veel materie verliest, maar slechts een deel hiervan wordt opgenomen door de gainer, zullen de massa’s van beide sterren langer in elkaars buurt blijven. Dit uit zich in langere periodes van hoge q. De simulaties met de niet-conservatieve hypothese leveren dus meer Algolsystemen met hoge massaverhouding dan de conservatieve berekeningen. De periodedistributie wordt echter niet veel aangetast, daar het materieverlies gebeurt via een soort van sterrenwind. Bijgevolg lijken evoluties die niet-conservatisme in rekening brengen beter met de waarnemingen overeen te stemmen dan conservatieve.
87
20. Lijst van afkortingen en websites ADS: The Smithsonian/NASA Astrophysics Data System (http://adsabs.harvard.edu) Brusselcode: dubbelster-evolutieprogramma van het Astrofysisch Instituut van de Vrije Universiteit Brussel (http://we.vub.ac.be/astrofys) d: donor (ster met de grootste beginmassa) g: gainer (ster met de kleinste beginmassa) HRD: Hertzsprung-Russell diagram LC: light curve (lichtcurve) L n : n-de Lagrangepunt MS: main sequence (hoofdreeks) RLOF: Roche lobe overflow SB1: enkelvoudige spectroscopische dubbelster SB2: dubbellijnige spectroscopische dubbelster SB9: The ninth catalogue of spectroscopic binary orbits (http://sb9.astro.ulb.ac.be) SD: semi-detached (halfgescheiden) SIMBAD: Set of Identifications, Measurements, and Bibliography for Astronomical Data (http://simbad.u-strasbg.fr) SW: sterrenwind ZAMS: zero age main sequence
88
21. Referenties •
Alonso, M., Finn, E.: in “Fundamental university physics Vol.1: Mechanics and thermodynamics”, Addison-Wesley, 1980.
•
Anders, E., Grevesse, N.: "Abundances of the elements - Meteoritic and solar". Geochim. Cosmochim. Acta. 53, 197-214, 1989.
•
Banks, T., Sullivan, D., Budding, E.: "RT SCULPTORIS - an important star for low-mass close binary research". Astrophys. Space Sci. 173, 77-92, 1990.
•
Batten, A.: in “Algols: proceedings of the 107th Colloquium of the International Astronomical Union held in Sidney, B.C., Canada, August 15-19, 1988”, Kluwer Academic, 1989.
•
Beer, M., Dray, L., King, A., Wynn, G.: "An alternative to common envelope evolution". Mon. Not. R. Astron. Soc. 375, 1000-1008, 2007.
•
Bisikalo, D., Kaigorodov, P., Boyarchuk, A., Kuznetsov, O.: "The Possible Nature of Dips in the Light Curves of Semi-Detached Binaries with Stationary Disks". Astron. Rep. 49, 701-708, 2005.
•
Brancewicz, H., Dworak, T.: "A catalogue of parameters for eclipsing binaries". Acta Astron. 30, 501-524, 1980.
•
Budding, E.: "A Catalogue of Classical Evolved Algol-Type Binary Candidate Stars". Bull. d'Inf. Cent. Donnees Stellaires 27, 91-129, 1984.
•
Budding, E., Erdem, A., Çiçek, C., Bulut, I., Soydugan, F., Soydugan, E., Bakiş, V., Demircan, O.: "Catalogue of Algol type binary stars". Astron. Astrophys. 417, 263-268, 2004.
•
Carroll, B., Ostlie, D.: in “An introduction to modern astrophysics”, AddisonWesley, 1996.
•
Castor, J., Abbott, D., Klein, R.: "Radiation-driven winds in Of stars". Astrophys. J. 195, 157-174, 1975.
•
Darwin, G.: "On the precession of a viscous spheroid and on the remote history of the earth". Phil. Trans. Roy. Soc. 170, 447-530, 1879.
•
De Greve, J.: "ALGOLS - Wherefrom, whereto, and what in between?". Space Sci. Rev. 50, 127-139, 1989.
•
de Jager, C., Nieuwenhuijzen, H., van der Hucht, K.: "Mass loss rates in the Hertzsprung-Russell diagram". Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 72, 259-289, 1988.
•
De Loore, C., Van Rensbergen, W.: "Binary Evolution Compared to Observed Algols". Astrophys. Space Sci. 296, 353-356, 2005.
•
de Mink, S., Pols, O., Hilditch, R.: "Efficiency of mass transfer in massive close binaries. Tests from double-lined eclipsing binaries in the SMC". Astron. Astrophys. 467, 1181-1196, 2007.
89 •
Dewi, J., Pols, O., Savonije, G., van den Heuvel, E.: "The evolution of naked helium stars with a neutron star companion in close binary systems". Mon. Not. R. Astron. Soc. 331, 1027-1040, 2002.
•
Eggleton, P.: "Approximations to the radii of Roche lobes". Astrophys. J. 268, 368-369, 1983.
•
Frank, J., King, A., Raine, D.: in “Accretion power in astrophysics”, Cambridge University Press, 1985.
•
House, L.: "Ionization Equilibrium of the Elements from H to Fe.". Astrophys. J. Suppl. 8, 307-328, 1964.
•
Irwin, J.: "Orbital determinations of eclipsing binaries". Goethe Link Publ. 50, 584-627, 1962.
•
Kaitchuck, R.: "Time-resolved spectroscopy of accretion disks in Algols". Space Sci. Rev. 50, 51-61, 1989.
•
Kholopov, P., Samus, N., Frolov, M., Goranskij, V., Gorynya, N., Karitskaya, E., Kazarovets, E., Kireeva, N., Kukarkina, N., Kurochkin, N., Medvedeva, G., Pastukhova, E., Perova, N., Rastorguev, A., Shugarov, S.: in “Combined General Catalogue of Variable Stars”, 1998.
•
Kopal, Z.: in “Close binary systems”, Chapman and Hall, 1959.
•
Kopal, Z.: in “Language of the stars: A discourse on the theory of the light changes of eclipsing variables”, D. Reidel Publishing Co., 1979.
•
Kuiper, G.: "Problems of Double-Star Astronomy. I". Publ. Astron. Soc. Pac. 47, 15-42, 1935.
•
Kurucz, R.: "Model atmospheres for G, F, A, B and O stars". Astrophys. J. Suppl. 40, 1-340, 1979.
•
Lamers, H., Snow, T., Lindholm, D.: "Terminal Velocities and the Bistability of Stellar Winds". Astrophys. J. 455, 269-285, 1995.
•
Landau, L., Lifschitz, E.: in “The Classical Theory of Fields”, Pergamon Press, 1971.
•
Lang, K.: in “Astrophysical formulae”, Springer, 1999.
•
Langer, N.: "Coupled mass and angular momentum loss of massive main sequence stars". Astron. Astrophys. 329, 551-558, 1998.
•
Lubow, S., Shu, F.: "Gas dynamics of semidetached binaries". Astrophys. J. 198, 383-405, 1975.
•
Lucy, L., Solomon, P.: "Mass Loss by Hot Stars". Astrophys. J. 159, 879-893, 1970.
•
Maeder, A., Meynet, G.: "Stellar evolution with rotation. VI. The Eddington and Omega -limits, the rotational mass loss for OB and LBV stars". Astron. Astrophys. 361, 159-166, 2000.
•
Mihalas, D.: in “Stellar Atmospheres”, W. H. Freeman & Co., 1978.
90 •
Nelemans, G., Yungelson, L., Portegies Zwart, S.: "Short-period AM CVn systems as optical, X-ray and gravitational-wave sources". Mon. Not. R. Astron. Soc. 349, 181-192, 2004.
•
Nelson, C., Eggleton, P.: "A Complete Survey of Case A Binary Evolution with Comparison to Observed Algol-type Systems". Astrophys. J. 552, 664678, 2001.
•
Packet, W.: "On the spin-up of the mass accreting component in a close binary system". Astron. Astrophys. 102, 17-19, 1981.
•
Peters, G.: "The Algol-Type Binaries". Astrophys. Space Sci. Lib. 264, 79-92, 2001.
•
Peters, G.: "Bipolar Jets, Hot Interaction regions, and Colliding Winds in OB Interacting Binaries". IAU Symp. 240, 119-124, 2007.
•
Peters, G., Polidan, R.: "Eclipse mapping of the hot circumstellar plasma in Algol binaries". Astron. Nachr. 325, 225-228, 2004.
•
Petrenz, P., Puls, J.: "2-D non-LTE models of radiation driven winds from rotating early-type stars. I. Winds with an optically thin continuum". Astron. Astrophys. 358, 956-992, 2000.
•
Popova, E., Tutukov, A., Yungelson, L.: "Study of physical properties of spectroscopic binary stars". Astrophys. Space Sci. 88, 55-80, 1982.
•
Porter, J.: "On the rotational velocities of Be and Be-shell stars". Mon. Not. R. Astron. Soc. 280, L31-L35, 1996.
•
Pourbaix, D., Tokovinin, A., Batten, A., Fekel, F., Hartkopf, W., Levato, H., Torres, G., Udry, S.: "SB9: The ninth catalogue of spectroscopic binary orbits". Astron. Astrophys. 424, 727-732, 2004.
•
Pustylnik, I., Niarchos, P.: "Evidence for a hot spot in the contact binary VW Cephei". Astron. Astrophys. 361, 982-990, 2000.
•
Reimers, D.: "Circumstellar absorption lines and mass loss from red giants". Mem. Soc. Roy. Sci. Liège 8, 369-382, 1975.
•
Rogers, F., Iglesias, C.: "Radiative atomic Rosseland mean opacity tables". Astrophys. J. Suppl. Ser. 79, 507-568, 1992.
•
Rosseland, S.: in “Theoretical astrophysics”, The Clarendon press, 1936.
•
Salpeter, E.: "The Luminosity Function and Stellar Evolution.". Astrophys. J. 121, 161-167, 1955.
•
Smak, J.: "On the Structure of the Outer Parts of Accretion Disks in Close Binary Systems". Acta Astron. 52, 263-272, 2002.
•
Soberman, G., Phinney, E., van den Heuvel, E.: "Stability criteria for mass transfer in binary stellar evolution". Astron. Astrophys. 327, 620-635, 1997.
•
Strohmeier, W.: in “Variable stars”, Pergamon Press, 1972.
•
Timmermans, F.: in “De voorgeschiedenis van RZ Cas”, Vrije Universiteit Brussel, 2007.
91 •
Vanbeveren, D., Van Rensbergen, W., De Loore, C.: in “The Brightest Binaries”, Kluwer Academic, 1998.
•
Van Rensbergen, W.: "Case B binary evolution compared to observed Algols". Astrophys. Space Sci. Lib. 298, 117-126, 2003.
•
Van Rensbergen, W., De Loore, C., Jansen, K.: "Evolution of interacting binaries with a B type primary at birth". Astron. Astrophys. 446, 1071-1079, 2006.
•
Van Rensbergen, W., De Greve, J., De Loore, C., Mennekens, N.: "Spin-up and hot spots can drive mass out of a binary". Astron. Astrophys. 487, 11291138, 2008.
•
von Zeipel, H.: "The radiative equilibrium of a rotating system of gaseous masses". Mon. Not. R. Astron. Soc. 84, 665-719, 1924.
•
Warner, B.: "Observations of Dwarf Novae". IAU Symp. 73, 85-140, 1976.
•
Wellstein, S.: in “Präsupernovaentwicklung enger massereicher Doppelsternsysteme”, Universität Potsdam, 2001.
•
Wiese, W., Smith, M., Glennon, B.: in “Atomic transition probabilities. Vol.: Hydrogen through Neon. A critical data compilation”, US Department of Commerce, National Buereau of Standards, 1966.
•
Witte, M., Savonije, G.: "Tidal evolution of eccentric orbits in massive binary systems. A study of resonance locking". Astron. Astrophys. 350, 129-147, 1999.
•
Zahn, J.: "Tidal friction in close binary stars". Astron. Astrophys. 57, 383-394, 1977.
92
Abstract We onderzoeken het mogelijke niet-conservatisme van dubbelsterevolutie. Tijdens een korte, intense fase van Roche Lobe Overflow (RLOF) kan het voor de gainer onmogelijk zijn om alle door de donor verloren materie te aanvaarden. De verhoogde rotationele snelheid veroorzaakt door spin-up van de gainer, gecombineerd met de accretielichtkracht ten gevolge van de concentratie van het RLOF-materiaal in een equatoriale hot spot, kan materie uit het systeem en in de interstellaire ruimte drijven. Of een niet-conservatieve fase zal optreden is afhankelijk van de initiële parameters van het systeem, namelijk de primaire massa, massaverhouding en orbitale periode. Een fase van niet-conservatieve RLOF resulteert in langere duraties van hoge verhoudingen q van donor- tot gainermassa. Het mechanisme is dus in staat om de waargenomen distributie van massaverhoudingen bij Algols beter te verklaren, terwijl conservatieve simulaties te weinig hoge q-waarden opleveren. Aangezien materiaal via een soort van verhoogde sterrenwind wordt uitgestoten, beïnvloedt niet-conservatisme nauwelijks de distributie van orbitale periodes, die reeds via conservatieve evolutie bevredigend wordt teruggevonden. Aldus beschrijft het voorgestelde scenario beter de waargenomen massaverhoudings- en orbitale periodedistributie dan conservatieve dubbelsterevolutie. We investigate the possible non-conservatism of binary star evolution. During a short, intense phase of Roche Lobe Overflow (RLOF), it is possible for the gainer to be incapable of accreting all matter lost by the donor. The enhanced rotational velocity caused by spin-up of the gainer may combine with the accretion luminosity, resulting from the concentration of the RLOF-material in an equatorial hot spot, to drive matter from the system and into the interstellar medium. Whether or not a non-conservative phase will develop depends on the initial parameters of the system, i.e. the primary mass, mass ratio and orbital period. A phase of non-conservative RLOF results in longer durations of high ratios q of donor to gainer mass. The mechanism may thus help to better explain the observed Algol mass ratio distribution, whereas conservative simulations result in too little high q-values. As material is expelled through a sort of enhanced stellar wind, non-conservatism barely affects the orbital period distribution, which is already retrieved satisfactorily through conservative evolution. The presented scenario thus better explains the observed mass ratio and orbital period distribution than does conservative binary evolution.
