Národní informační středisko pro podporu jakosti 1
ANALÝZA ROZPTYLU a její využití při vyhodnocování experimentálních dat Eva Jarošová, VŠE Praha
2
Obsah • • • • •
Podstata metody, jednofaktorová ANOVA F-test Mnohonásobná porovnávání Dvoufaktorová ANOVA, Excel Aplikace při faktoriálním návrhu s jednou replikací • ANOVA ve Statistice a Minitabu • Předpoklady a jejich ověření • Odhad složek rozptylu 3
Použití Při analýze experimentů pro zkoumání vlivu jednoho či více faktorů na sledovanou veličinu (odezvu) – Nutnost u faktorů s více než dvěma úrovněmi – Využití v případě více faktorů s dvěma úrovněmi (jinak t-test), především v případě jedné replikace experimentu – Odhad složek rozptylu při identifikaci zdrojů variability
4
Jednofaktorová ANOVA • Roztřídění naměřených hodnot do skupin podle úrovní jediného faktoru • Výpočet průměru v každé skupině • Porovnávání průměrů pomocí statistického testu 5
odezva y
Znázornění výsledků měření bodovým diagramem
1
2
faktor
3
4 6
F-test N ( µ i ,σ 2 ) Předpoklad: yij ~
H0: µ1 = µ2 = µ3 = µ4 faktor nemá vliv, změny jeho úrovní nevedou ke změně střední hodnoty H1: non H0
faktor má vliv
7
F - test Testová statistika pro vyvážený návrh
a … počet úrovní faktoru A
SS A F = a −1 SS E a(r − 1)
r … počet replikací SSA měří variabilitu mezi skupinami výsledků při různých úrovních zkoumaného faktoru SSE měří variabilitu výsledků uvnitř skupin odpovídající experimentální chybě 8
Součet čtverců SSA a
SS A = r ∑ ( yi − y ) 2 i =1
100
95
95
90
90
_
100
85
85
80
80
75
75
70
70
1
2
větší SSA
3
4
1
2
3
4
menší SSA
Větší hodnoty SSA svědčí proti hypotéze H0 9
Součet čtverců SSE a
r
SS E = ∑∑ ( yij − yi ) 2 i =1 j =1
100
100
95
95
90
90
85
85
80
80
75
75
70
70
1
2
3
větší SSE
4
1
2
3
4
menší SSE
Větší experimentální chybě odpovídají větší hodnoty SSE 10
ANOVA Rozklad celkové variability měřené celkovým součtem čtverců na část způsobenou rozdíly mezi skupinami a na vnitroskupinovou variabilitu a
r
SST = ∑∑ ( yij − y ) 2 i =1 j =1
SST = SS A + SS E
11
Tabulka ANOVA Zdroj variability
Součet čtverců
Stupně volnosti
Průměrný čtverec
faktor A
SSA
a-1
SS A a −1
reziduální
SSE
a(r – 1)
SS E a(r − 1)
celkový
SST
ar - 1
F SS A F = a −1 SS E a (r − 1)
12
Rozhodování •
Porovnání vypočtené hodnoty F s kritickou hodnotou
F1−α (ν 1 ,ν 2 ), ν 1 = a − 1, ν 2 = a ( r − 1) Platí-li F > F1−α (ν 1 ,ν 2 ) zamítáme H0 na hladině významnosti α. •
Porovnání p-hodnoty s hladinou významnosti α Je-li p-hodnota < α, zamítáme H0 na hladině významnosti α 13
Příklad 1 Cílem experimentu je určit vhodnou rychlost proudu kapaliny z ostřikovače předního skla automobilu. Zkouší se tři různé velikosti otvoru trysky. V experimentu jsou použity vždy čtyři trysky se stejnou velikostí otvoru. Velikost (mm2)
rychlost (m/s)
A1
5,2
0,24
0,36
0,27
0,39
A2
3,9
0,45
0,42
0,36
0,54
A3
2,6
0,69
0,57
0,57
0,63
14
Tabulka ANOVA ANOVA Zdroj variability faktorA reziduální
SS 0,18135 0,042075
celkový
0,223425
st. vol.
MS F Hodnota P F krit 2 0,090675 19,39572 0,000546 4,256492 9 0,004675
11
0,8 0,7
rychlost y
0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 A1
A2
A3
faktor A
15
Mnohonásobná porovnávání Následují poté, kdy F-test vyšel významně. Nejčastěji zjišťujeme, které průměry se od sebe významně liší. Přitom porovnáváme různé dvojice středních hodnot. V podstatě jde o konstrukci intervalu spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot. Rozlišujeme dva případy: předem zvolená dvojice průměrů všechny možné dvojice průměrů (mnohonásobná porovnávání)
16
Porovnání dvou předem zvolených středních hodnot Např. interval spolehlivosti pro rozdíl µ1 − µ2 y1. − y2. ± t1−α / 2
2 ⋅ MS E r
MSE je průměrný čtverec z tabulky ANOVA, r počet replikací, t značí kvantil t rozdělení s a(r-1) stupni volnosti. Testujeme hypotézu H0: µ1 − µ2 = 0 Neobsahuje-li interval 0, zamítneme H0 na hladině významnosti α. 17
Příklad 2 Pomocí experimentu zkoumáme vliv použitého katalyzátoru na výtěžek chemického procesu a chceme vybrat nejvhodnější ze čtyř typů. Odezvou je výtěžek chemického procesu, tj. množství vyráběné látky, zkoumaný faktor, katalyzátor, má čtyři úrovně. Předpokládejme, že můžeme provést dvacet čtyři zkoušek, při vyváženém návrhu to znamená vždy šest zkoušek se stejným katalyzátorem. Jedna várka vstupní suroviny ovšem stačí jen na provedení čtyř zkoušek. Při plánování experimentu je třeba počítat s tím, že kvalita várek vstupní suroviny bude kolísat a přispívat k větší experimentální chybě. Proto je vhodné volit uspořádání do bloků tak, že bloky budou určeny jednotlivými várkami vstupní suroviny. Při jedné várce vstupní suroviny vystřídáme všechny úrovně zkoumaného faktoru (katalyzátoru), jejich pořadí se pro každý blok volí náhodně.
18
Příklad 2 várka katalyzátor A1 A2 A3 A4
1 87 93 88 88
2 79 84 80 77
3 82 89 84 83
4 89 96 91 90
5 83 86 83 82
6 78 87 82 79
100 95
výtěžek y
90 85 80 75 70 65 60 A1
A2
A3
faktor A
A4
19
ANOVA – model s dvěma faktory, bez interakce Rozklad celkového součtu čtverců
SST = SS A + SSb + SS E faktor A
bloky p-hodnotu porovnáváme s α
ANOVA Zdroj variability Faktor A Bloky Reziduální Celkový
SS
St.vol 149 392 15
MS F Hodnota P F krit 3 49,66667 49,66667 5,03E-08 3,287383 5 78,4 78,4 3,28E-10 2,901295 15 1
556
23
klasický postup testu: F porovnáváme s F krit
20
ANOVA - závěr Klasický postup
F>F
krit
Faktor katalyzátor má vliv na výtěžek procesu (rozdíl mezi katalyzátory existuje). F krit odpovídá zvolené hladině významnosti α = 0,05. Postup pomocí p-hodnoty Používají se hodnoty α 0,05 0,01 0,001
p − hodnota < 0,001 Vliv faktoru prokázán na hladině významnosti 0,001. 21
Příklad 3 Produkt se v hnětači zpracovává v dávkách a k tomu, aby se dosáhlo požadované viskozity, je třeba, aby reakce trvala 7 až 9 hodin. Při kratší době reakce má vyrobená dávka nežádoucí vlastnosti. Doba reakce závisí na procentu složky X ve zpracovávané směsi (faktor A) a na teplotě (faktor B). Je třeba najít takovou kombinaci podílu složky X a teploty, která povede k reakci požadované délky. Cílem experimentu je zjistit, zda faktory A a B ovlivňují dobu reakce a zda nedochází k jejich interakci.
22
Příklad 3 B
A
+
(4) (6) (1) (8)
(pořadí zkoušky) doba reakce
+ 9,0 9,0 9,3 8,0
(2) (3) (7) (5)
5,5 6,5 1,8 1,3
2 replikace - 2 zkoušky při každé kombinaci procenta složky a teploty
B-
10 8 6
y
-
-
4
B+
2
A-
A+
23
ANOVA – model s dvěma faktory, s interakcí SST = SS A + SS B + SS AB + SS E faktor A ANOVA Zdroj variability Faktor A Faktor B Interakce Reziduální Celkový
SS 11,52 51,005 8,405 1,47 72,4
faktor B
St. vol. 1 1 1 4
interakce AB
MS F Hodnota P 11,52 31,34694 0,004996 51,005 138,7891 0,000297 8,405 22,87075 0,008761 0,3675
F krit 7,70865 7,70865 7,70865
7
24
Příklad 4 Automobilová součást se skládá z několika snýtovaných prvků. Cílem experimentu je určit, jak různé konfigurace prvků ovlivňují pevnost v tahu. Faktory: výška nýtu (A), průměr otvoru v plechu (B), tloušťka plechu (C), průměr dříku (D), délka dříku (E), průměr podložky (F), tloušťka podložky (G) 7 faktorů, dílčí faktoriální experiment 27-4, 1 replikace
A + + + +
B + + + +
C + + + +
D + + + +
E + + + +
F + + + +
G + + + +
y 513 461 488 481 523 558 532 546
25
Příklad 4 Model ANOVA A+ B +C + D+ E + F +G
V modelu uvažujeme jen hlavní efekty faktorů A až G. Protože jde o dílčí faktoriální návrh 27-4, hlavní efekty jsou smíšeny s dvou a vícefaktorovými interakcemi.
26
Ukázka alias struktury - Statistica Aliasing of Ef fec ts (Computed f rom Generators) (Spreadsheet1 in Workb 2**(7-4) design (Factors are denoted by numbers ) 124 135 236 1237 2345 1346 1256 347 257 Factor A 24 35 1236 B 14 1235 36 C 1234 15 26 D 12 1345 2346 E 1245 13 2356 F 1246 1356 23 G 1247 1357 2367 12 4 235 136 13 234 5 126 23 134 125 6 14 2 345 12346 24 1 12345 346 34 123 145 246 15 245 3 12356 25 145 123 356 35 12345 1 256
237 137 127 12347 12357 12367 123 37 27 17 2347 1347 1247 2357 1357 1257
12345 346 256 1347 1257 345 12346 156 2347 57 245 146 12356 47 2357 235 136 12456 37 2457 234 13456 126 3457 27 23456 134 125 3467 2567 23457 13467 12567 34 25 1345 2346 56 12347 157 1245 46 2356 147 12357 45 1246 1356 247 357 1235 36 2456 137 12457 35 1236 1456 237 457 25 16 123456 7 23457 1234 3456 26 13457 127 34 123456 16 23457 7 24 1456 1236 457 237
27
Tabulka ANOVA Výstup Statistica, Experimental Design (DOE) ANOV A; V ar.:y; R-sqr=1, (Spreadsheet1 in W 2**(7-4) design DV : y SS df MS F p Factor (1)A (2)B (3)C (4)D (5)E (6)F (7)G Error Total SS
12,5 8,0 5832,0 72,0 1458,0 0,5 544,5 0,0 7927,5
1 1 1 1 1 1 1 0 7
12,5 8,0 5832,0 72,0 1458,0 0,5 544,5
Nezbývají žádné stupně volnosti pro test významnosti efektů – musíme 28 upravit model.
Redukce modelu C + D+ E +G ANOV A; V ar.:y; R-sqr=,99735; Adj:,99382 (NPJ_4_nyty.s 4 fac tors at tw o levels; MS Residual=7, DV : y SS df MS F p Factor (1)C (2)D (3)E (4)G Error Total SS
5832,000 72,000 1458,000 544,500 21,000 7927,500
1 1 1 1 3 7
5832,000 72,000 1458,000 544,500 7,000
833,1429 10,2857 208,2857 77,7857
0,000091 0,049063 0,000721 0,003072
29
Příklad 5 Cílem experimentu je zjistit, které faktory mají vliv na pevnost svaru. Faktory: teplota (A), tlak (B), doba svařování (C), doba držení (D), doba stisknutí (E). A B C D E y + 1194 + 871 Dílčí faktoriální návrh 25-1 + 764 + + + 1463 + 1205 + + + 1256 + + + 616 + + + 1384 + 1152 + + + 1398 + + + 533 + + + 1382 + + + 1170 + + + 920 + + + 776 + + + + + 1410
30
Řešení MINITAB A*B + C*D*E Alias Structure
A*C + B*D*E A*D + B*C*E A*E + B*C*D
I + A*B*C*D*E
B*C + A*D*E
A + B*C*D*E
B*D + A*C*E
B + A*C*D*E
B*E + A*C*D
C + A*B*D*E
C*D + A*B*E
D + A*B*C*E
C*E + A*B*D
E + A*B*C*D
D*E + A*B*C
31
Interpretace A + B*C*D*E Hlavní efekt faktoru A je smíšen se čtyřfaktorovou interakcí BCDE A*B + C*D*E Efekt dvoufaktorové interakce AB je smíšen s třífaktorovou interakcí CDE Při dalším postupu předpokládáme, že jsou uvedené interakce vyššího řádu nulové. Pokud se na základě uvedeného experimentu ukáže např. vliv interakce AB (smíšený s CDE) významný, přisuzujeme zatím efekt interakci AB. V dalším experimentu, např. úplném faktoriálním, se tato hypotéza buď potvrdí nebo ne. 32
Tabulka ANOVA Model
A + B + C + D + E + AB + AC + ... + DE V tabulce jsou sečteny součty čtverců příslušejících hlavním efektům a součty čtverců dvoufaktorových interakcí. 5 hlavních efektů A B C D E (5 stupňů volnosti) 10 interakcí AB AC … DE
(10 stupňů volnosti)
Protože nezbyly žádné stupně volnosti pro odhad velikosti reziduální variability, nemůže se určit hodnota testové statistiky F. Analysis of Variance for y (coded units) Source DF Seq SS Main Effects 5 512279 2-Way Interactions 10 874131 Residual Error 0 0 Total 15 1386410
Adj SS 512279 874131 0
Adj MS 102456 87413 0
F * *
P * * 33
Redukce modelu Využijeme tabulku s vypočtenými hodnotami efektů a najdeme několik nejmenších: C D BC DE. V Minitabu musíme odstranit i všechny interakce obsahující C nebo D. Term
Effect
Constant
Coef 1093,38
Term
Effect
Constant
Coef 1093,38
A
334,25
167,12
B
-104,75
-52,37
A*E
169,25
84,63
C
-2,50
-1,25
B*C
13,50
6,75
D
-1,50
-0,75
B*D
-30,00
-15,00
E
73,25
36,62
B*E
-144,25
-72,13
A*B
403,25
201,63
C*D
-44,75
-22,38
A*C
-33,50
-16,75
C*E
-31,50
-15,75
A*D
35,50
17,75
D*E
-3,00
34
-1,50
Redukovaný model Fractional Factorial Fit: y versus A; B; E
Estimated Effects and Coefficients for y (coded units)
Term
Effect
Constant
Coef
SE Coef
T
P
1093,38
13,41
81,51
0,000
A
334,25
167,12
13,41
12,46
0,000
B
-104,75
-52,37
13,41
-3,90
0,004
E
73,25
36,62
13,41
2,73
0,023
A*B
403,25
201,63
13,41
15,03
0,000
A*E
169,25
84,63
13,41
6,31
0,000
B*E
-144,25
-72,12
13,41
-5,38
0,000 35
Graf hlavních efektů Main Effects Plot (data means) for y
1
-1
1
-1
1
-1
1270
1190
y
1110
1030
950 A
B
E
36
Graf interakcí Interaction Plot (data means) for y -1
1
-1
1
1400
A 1
1000
-1 600 1400
B 1
1000
-1 600
E
37
Ověření předpokladů Body vynesené v normálním pravděpodobnostním grafu by měly ležet přibližně v přímce. Vyznačené body se této představě poněkud vymykají. Zvlášť bod vlevo dole by bylo vhodné identifikovat a posoudit, zda příslušné pozorování nemohlo ovlivnit předchozí závěry. Normal Probability Plot of the Residuals (response is y) 2
Normal Score
1
0
-1
-2 -50
0
50
100
Residual
38
Příklad 6 Experiment pro určení opakovatelnosti a reprodukovatelnosti základní návrh n měřených jednotek g operátorů r opakovaných měření stejného kusu stejným operátorem 39
Model ANOVA efekt interakce jednotka-operátor
yijk = µ + Pi + O j + ( PO) ij + eijk efekt jednotky
efekt operátora
Stupně volnosti
Průměrný čtverec
Střední hodnota průměrného čtverce
SS1
f1 = n - 1
MS1
grσ 2P + rσ 2PO + σ e2
SS2
f2 = g - 1
MS2
nrσO2 + rσ 2PO + σ e2
SS3
f3 = (n - 1) (g - 1)
MS3
rσ 2PO + σ e2
SS4
f4 = ng(r - 1)
MS4
σ e2
Zdroj variability
Součet čtverců
jednotka operátor jednotkaoperátor reziduální
40
F-testy v Excelu ANOVA Zdroj variability Jednotka Operátor Interakce Reziduální
SS 2,058708 0,048 0,103667 0,03875
Celkem
2,249125
St. vol. 9 2 18 30
MS F Hodnota P F krit 0,228745 18,58065 5,62E-06 3,315833 0,024 177,0932 1,71E-23 2,210697 0,005759 4,458781 0,000156 1,960117 0,001292
59
Výpočet statistiky F v prvních dvou řádcích :
MS1 / MS3 ANOVA Zdroj variability Jednotka Operátor Interakce Reziduální
SS 2,058708 0,048 0,103667 0,03875
Celkem
2,249125
MS 2 / MS3 St. vol.
MS F Hodnota P F krit 9 0,228745 39,71785 4,65E-10 2,456282 2 0,024 4,167203 0,032564 3,554561 18 0,005759 4,458781 0,000156 1,960117 30 0,001292 59
41
Odhad složek rozptylu Složka rozptylu Jednotka Operátor Interakce
Odhad MS1 − MS3 gr MS2 − MS3 σˆ O2 = nr MS3 − MS4 2 σˆ PO = r
σˆ P2 =
Zdroj variability Rozptyl Směr. odch Jednotka 0,037164 0,192781 Operátor 0,000912 0,0302 Interakce 0,002234 0,047263
42
43
