2010 MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS
Achmad Samsudin, S.Pd., M.Pd. Jurusan Pendidikan Fisika FPMIPA Universitas Pendidikan Indonesia 1/18/2010
MODUL 2 MOMEN, KEMIRINGAN, DAN KURTOSIS Achmad Samsudin, S.Pd., M.Pd.
Pendahuluan Materi secara garis besar digolongkan ke dalam momen, kemiringan, dan kurtosis. Momen adalah kelompok ukuran lain yang merupakan hal istimewa seperti rata-rata dan varians. Dari momen ini pula beberapa ukuran lain dapat diturunkan. Bentuk-bentuk sederhana dari momen dan ukuran-ukuran yang didapat daripadanya akan diuraikan di dalam modul ini. Modul ini dikemas dalam 2 kegiatan belajar, yaitu Kegiatan Belajar 1 membahas tentang momen, dan Kegiatan Belajar 2 membahas tentang kemiringan dan kurtosis. Pembahasan tentang momen, kemiringan, dan kurtosis akan membantu Anda sebagai guru untuk penggunaan statistika dasar dalam penelitian, evaluasi (asesmen) pembelajaran, dan semua kegiatan pembelajaran fisika yang berkaitan dengan uji statistik. Selain itu bagi Anda sendiri dapat memperluas dan memperkuat pengetahuan tentang konsep-konsep statististika dasar yang telas Anda miliki. Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat menerapkan konsep-konsep momen, kemiringan, dan kurtosis ke dalam kegiatan yang berkaitan dengan pengujian secara statistik di Sekolah Menengah Pertama (SMP) maupun Sekolah Menengah Atas (SMA). Adapun secara khusus, diharapkan dapat: 1. Mendefinisikan tentang konsep momen; 2. Menjelaskan tentang momen ke-r di sekitar bilangan tetap (asli); 3. Menjelaskan tentang momen ke-r di sekitar nol; 4. Menjelaskan tentang momen ke-r di sekitar rata-rata; 5. Membedakan antara momen untuk sampel atau populasi; 6. Menjelaskan tentang momen ke-r dengan menggunakan data dalam distribusi frekuensi; 7. Menjelaskan tentang momen ke-r dengan menggunakan cara sandi; 8. Menyelesaikan soal hitungan tentang konsep momen; 2
9. Menjelaskan tentang konsep kemiringan; 10. Memformulasikan koefisien kemiringan Pearson; 11. Menggambarkan bentuk kemiringan positif; 12. Menggambarkan bentuk kemiringan nol; 13. Menggambarkan bentuk kemiringan negatif; 14. Menyelesaikan soal hitungan tentang kemiringan; 15. Menjelaskan tentang konsep kurtosis; 16. Menggambarkan bentuk kurva kurtosis leptokurtik; 17. Menggambarkan bentuk kurva kurtosis platikurtik; 18. Menggambarkan bentuk kurva kurtosis mesokurtik; 19. Menyelesaikan soal hitungan tentang kurtosis. Supaya Anda berhasil dengan baik dalam mempelajari modul ini ikuti petunjuk belajar sebagai berikut: 1. Bacalah dengan cermat bagian pendahuluan modul ini sampai Anda memahami betul apa, untuk apa, dan bagaimana mempelajari modul ini. 2. Baca sepintas bagian demi bagian dan temukan kata-kata kunci (keywords) dan kata-kata atau konsep-konsep yang Anda anggap baru (new terms/new concept). Carilah dan baca pengertian kata-kata kunci dalam textbook, internet, atau sumber belajar yang sesuai dan relevan. 3. Tangkaplah pengertian demi pengertian dan persamaan demi persamaan dari isi modul ini melalui pemahaman Anda dan tukar pikiran dengan sesama teman mahasiswa atau guru lain, dan dengan tutor Anda. 4. Praktikkanlah konsep-konsep momen, kemiringan, dan kurtosis pada kegiatan penelitian atau proses asesmen Anda di kelas, dan kembangkanlah konsep tersebut dalam bentuk hasil pengolahan data dalam penelitian dan asesmen pembelajaran fisika sederhana. 5. Mantapkan pemahaman Anda melalui diskusi saat Anda mengikuti tutorial.
3
KEGIATAN BELAJAR 1 MOMEN
Pada kegiatan belajar pertama ini dibahas tentang momen, yang meliputi konsep: momen ke-r di sekitar bilangan tetap (asli), momen ke-r di sekitar nol, momen ke-r di sekitar rata-rata, momen ke-r dalam bentuk data distribusi frekuensi, momen ke-r dengan cara sandi. Supaya Anda dapat memahami konsep momen tersebut dengan jelas, pelajarilah uraian berikut ini dengan tuntas. 2.1. Momen Misalkan diberikan variable x dengan harga-harga: x1, x2, x3, …, xn. Jika A = sebuah bilangan tetap dan r = 0, 1, 2, …, n, maka momen ke-r sekitar A, disingkat mr’ , didefinisikan oleh hubungan:
∑ ( x − A) m '=
r
i
r
n
… persamaan 2.1)
Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r.
momen ke − r =
∑x
r i
n
… persamaan 2.2)
Dari persamaan (2.2), maka untuk r = 1 didapat rata-rata x Jika A = x kita peroleh momen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat mr.
mr
∑ (x − x ) =
r
i
n
… persamaan 2.3)
Untuk r = 2, persamaan (2.3) memberikan varians s2. Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau untuk populasi, maka dipakai simbol: mr dan mr’ untuk momen sampel
µ r dan µ r ' untuk momen populasi.
4
Jadi mr dan mr’ adalah statistik sedangkan µ r dan µ r ' merupakan parameter. Jika data telah disusun dalam daftar distribusi frekuensi, maka persamaan-persamaan di atas berturutturut berbentuk:
∑ f ( x − A) m '= i
r
r
i
n
… persamaan 2.4)
∑fx Momen ke − r =
r
i i
n
mr
∑ f (x − x ) = i
… persamaan 2.5)
r
i
n
… persamaan 2.6)
dengan n = ∑ f i , xi = tanda kelas interval dan fi = frekuensi yang sesuai dengan xi. Dengan menggunakan cara sandi persamaan (2.6) menjadi:
∑ f i ci r mr ' = p n
r
… persamaan 2.7)
dengan: p = panjang jelas interval, ci = variabel sandi
Harga mr ditentukan berdasarkan hubungan:
( )
m2 = m ' 2 − m '1
2
( )
m3 = m '3 − 3m '1m ' 2 + 2 m '1
3
5
( )
( )
2
m4 = m ' 4 − 4m '1m '3 + 6 m '1 m ' 2 − 3 m '1
4
Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut:
DATA
fi
ci
fi ci
fi ci2
fi ci3
fi ci4
60 – 62
5
-2
-10
20
-40
80
63 – 65
18
-1
-18
18
-18
18
66 – 68
42
0
0
0
0
0
69 – 71
27
1
27
27
27
27
72 – 74
8
2
16
32
64
128
Jumlah
100
-
15
97
33
253
Dengan menggunakan persamaan (2.7), maka:
∑ f i ci m1 ' = p n
= 3 15 = 0,45 100
∑ f i ci 2 m2 ' = p n
= 3 2 97 = 8,73 100
2
∑ f i ci 3 = 33 33 = 8,91 m3 ' = p n 100 3
∑ f i ci 4 m4 ' = p 4 n
= 3 4 253 = 204,93 100
… persamaan 2.8)
Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas:
( )
m 2 = m ' 2 − m '1
2
= 8,73 − (0,45) 2 = 8,53
6
( )
3
m3 = m ' 3 − 3m '1 m ' 2 + 2 m '1
= 8,91 − 3(0,45)(8,73) + 2(0,45) 3 = −2,69
( )
( )
2
m 4 = m ' 4 − 4 m '1 m ' 3 + 6 m '1 m ' 2 − 3 m '1
4
= 204,93 − 4(0,45)(8,91) + 6(0,45) 2 (8,73) − 3(0,45) 4 = 199,38 Dari hasil ini didapat varians s2 =m2 = 8,53
TUGAS 1: I.
TUGAS MERANGKUM Silahkan Anda rangkum materi pada modul 2 untuk konsep momen!
II. TUGAS LAINNYA: 1. Hitunglah empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar distribusi frekuensi sebagai berikut: Kelas
Nilai Tengah
Frekuensi
Batas Bawah
Batas Atas
30
39
34,5
2
40
49
44,5
3
50
59
54.5
11
60
69
64,5
20
70
79
74,5
32
80
89
84,5
25
90
99
94,5
7
Jumlah
100
7
2. Perhatikan daftar distribusi frekuensi 100 laki-laki di bawah ini! X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
44
70
180
61
68
182
52
66
154
35
73
188
61
70
185
52
67
152
41
68
178
44
68
161
52
69
162
31
68
159
58
67
175
40
68
175
49
66
155
29
66
159
27
68
167
34
74
156
56
65
171
44
59
158
37
65
157
53
68
166
41
64
169
63
74
168
47
69
171
33
70
186
28
70
185
30
73
178
29
68
161
40
69
187
64
71
170
24
67
160
51
69
182
31
72
180
36
67
162
33
66
155
35
70
162
23
59
159
37
71
170
65
65
163
47
68
167
33
69
161
43
62
164
26
70
161
41
69
167
53
60
159
45
60
158
38
69
190
58
62
162
41
65
167
52
70
162
67
69
190
55
66
169
31
71
156
53
70
182
34
69
160
44
68
189
42
58
157
51
72
175
31
62
160
43
69
165
58
67
163
40
68
166
52
62
163
51
70
174
36
73
178
68
66
158
35
70
172
42
69
189
64
70
168
34
69
160
28
67
158
46
68
162
26
70
175
40
71
180
41
69
175
25
61
164
40
70
172
58
73
188
44
71
172
35
68
157
50
69
164
57
68
163
32
68
176
45
59
158
67
60
159
31
71
156
59
58
157
59
69
179
52
69
165
56
65
168
62
70
167 8
45
69
159
59
61
155
40
65
163
39
67
181
47
67
164
52
71
170
40
68
169
43
76
184
48
66
160
37
63
160
Dengan menggunakan momen, tentukanlah apakah distribusinya cukup baik didekati oleh distribusi normal ataukah tidak?
TES FORMATIF 1 I.
PILIHAN GANDA (PG)
1. Bentuk ukuran lain yang merupakan hal istimewa dalam momen adalah .... a. rata-rata dan varians b. sampel dan populasi c. peluang dan distribusi peluang d. modus dan median e. bilangan baku dan standard deviasi 2. Persamaan di bawah ini yang menyatakan momen ke-r di sekitar nol (momen ke-r) adalah .... a.
∑ f ( x − A) m '= i
r
r
i
n
∑ f i ci r b. mr ' = p n r
∑fx
c.
Momen ke − r =
d.
∑x momen ke − r =
e.
r
i i
n r i
n
mr
∑ (x − x ) =
r
i
n
9
3. mr dan mr’ merupakan salah satu bentuk .... a. parameter b. statistik c. statistika d. statistisi e. statatistikawan 4. Momen sampel dapat ditunjukkan dengan lambang .... a. mr dan mr’ b. nr dan nr’
µ r dan µ r '
c.
d. K dan SK e. fi dan ni 5. Parameter-parameter dalam konsep momen populasi dilambangkan dengan .... a. mr dan mr’ b. nr dan nr’ c.
µ r dan µ r '
d. K dan SK e. fi dan ni 6. Diberikan suatu data statistik r = 1, ∑( − ) = 4 , n = 8, maka momen ke-r di sekitar rata-rata (mr) adalah .... a. ¼ b. ½ c. 2 d. 4 e. 8 7. Diberikan suatu data statistik r = 2, ∑ = 6 , n = 10, maka momen ke-r di sekitar nol adalah .... a. 0,3 b. 0,6 c. 3 d. 5 e. 12 8. Diberikan data: 2, 3, 6, 4, 5, 2. Momen kedua dari data tersebut adalah .... 10
a. 10,67 b. 12,67 c. 13.67 d. 14,67 e. 15,67 9. Diberikan data: 1, 3, 5, 7, 4, 6, 4. Momen pertama di sekitar rata-rata adalah .... a. -4,29 x 10-3 b. -3,29 x 10-3 c. -2,29 x 10-3 d. 2,29 x 10-3 e. 4,29 x 10-3 10. Diberikan suatu data statistik = 0,45 = 8,73 dan , maka m2 nya adalah .... a. 3,11 b. 7,51 c. 8,53 d. 10,62 e. 13,12
II. URAIAN SINGKAT (US) 1. Dapatkanlah rumus rata-rata dan varians dari persamaan momen untuk: a. Data belum disusun dalam daftar distribusi frekuensi b. Data yang sudah disusun dalam daftar distribusi frekuensi. 2. Jika sebuah populasi berukuran N dengan data : , , , … , , maka berikanlah persamaanpersamaan untuk momen ke-r dan . 3. Diberikan data: 5, 4, 4, 6, 3, 8, 10, 8, 3, 2. Hitunglah: a. Momen pertama, kedua, ketiga, dan keempat. b. Momen ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 di sekitar rata-rata. 4. Berdasarkan soal nomor 3 di atas, selidikilah kebenaran hubungan-hubungan antara , , dan dengan , , , seperti diberikan dalam Kegiatan Belajar di atas, jika diambil momen ke-r sekitar 4. 11
5. Perhatikan Daftar distribusi frekuensi di bawah ini! Daftar Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai Ujian
Banyak Mahasiswa (f)
31 – 40
2
41 – 50
3
51 – 60
5
61 – 70
14
71 – 80
24
81 – 90
20
91 – 100
12
Jumlah
80
Tentukan empat buah pertama untuk momen sekitar rata-rata. Dari hasil ini, tentukan berapa varians nya?
KRITERIA KETUNTASAN BELAJAR PILIHAN GANDA (PG) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Koreksi dan hitung jawaban yang benar sesuai dengan rubrik jawaban yang disediakan. Kemudian, gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat Penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar x100% Jumlah soal
Arti tingkat penguasaan : 90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang
12
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai. URAIAN SINGKAT (US) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat Penguasaan = 20%(Soal No.1 + Soal No.2 + Soal No.3 + Soal No.4 + Soal No.5) Arti tingkat penguasaan : 90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.
13
KEGIATAN BELAJAR 2 KEMIRINGAN DAN KURTOSIS
Pada kegiatan belajar kedua ini dibahas tentang kemiringan dan kurtosis, yang meliputi konsep: kemiringan, koefisien kemiringan Pearson, ukuran kemiringan, dan bentuk kemiringan (positif, nol, dan negatif), serta kurtosis, ukuran kurtosis, dan bentuk kurva kurtosis (leptokurtik, mesokurtik, dan platikurtik). Supaya Anda dapat memahami konsep momen tersebut dengan jelas, pelajarilah uraian materi berikut ini dengan tuntas. 2.2. Kemiringan Kita sudah mengenal kurva halus atau model yang bentuknya bisa positif, negatif, atau simetrik. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan. Sebaliknya, jika ekornya memanjang ke sebelah kiri didapat model negatif. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetris. Untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model, digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh: Ukuran Kemiringan
Kemiringan =
Rata − rata − Modus Simpangan baku
… persamaan 2.9)
Rumus empirik untuk kemiringan, adalah:
Kemiringan =
3(Rata − rata − Median ) Simpangan baku
… persamaan 2.10)
Persamaan 2.9 dan 2.10 berturut-turut dinamakan koefisien kemiringan Pearson tipe pertama dan tipe kedua. Kita katakan model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan simetrik jika kemiringan dengan nol yang semuanya dapat dilihat pada Gambar 2.1, 2.2, dan 2.3. Contoh:
14
Data nilai ujian statistika dasar 80 mahasiswa yang tercantum dalam Daftar IV(2) halaman 78 telah menghasilkan x = 76,62 ; Me = 77,3; Mo = 77,17 dan simpangan baku s = 13,07.
Kemiringan =
Rata − rata − Modus Simpangan baku
Kemiringan =
76,62 − 77,17 = −0,04 13,07
Karena kemiringan negatif dan dekat kepada nol maka modelnya sedikit miring ke kiri. Ini dapat dilihat dari grafiknya. Menunjukkan ukuran kesimetrisan distribusi frekuensi : Bentuk 1. Kemiringan negatif (kiri) 2. Kemiringan nol (simetris) 3. Kemiringan positif (kanan)
Gambar 2.1. Kemiringan negatif (kiri)
15
Gambar 2.2. Kemiringan nol (simetris)
Gambar 2.3. Kemiringan positif (kanan)
2.3. Kurtosis Bertitik tolak dari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva disebut kurtosis, dapat ditentukan. Kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar, dinamakan mesokurtik. Kurva yang runcing dinamakan leptokurtik, sedangkan yang datar disebut platikurtik. Bentuk Kurtosis 1. Leptokurtik (leptokurtic)
2. Platikurtik (platykurtic)
16
3. Mesokurtik (mesokurtic) atau bentuk kurva normal
Salah satu ukuran kurtosis ialah koefisien kurtosis, diberi simbol a4, ditentukan oleh rumus:
m a 4 = 42 m2
… persamaan 2.11)
Dengan m2 dan m4 didapat dari persamaan 2.3. Kriteria yang didapat dari persamaan ini ialah: a) a4 > 3 distribusi leptokurtik b) a4 = 3 distribusi normal c) a4 < 3 distribusi platikurtik Untuk menyelidiki apakah distribusi normla atau tidak, sering pula dipakai koefisien kurtosis Persentil, diberi simbol Κ, (kappa) yang persamaannya:
1 ( K 3 − K1 ) SK k= =2 P90 − P10 P90 − P10
… persamaan 2.12)
Dengan : SK = rentang semi antar kuartil K1 = kuartil pertama K3 = kuartil ketiga P10 = persentil kesepuluh P90 = persentil ke-90
17
P90-P10 = rentang 10 - 90 persentil Untuk Model distribusi normal, harga Κ = 0,263
Contoh 1: Untuk contoh data dalam Bagian 2, bab ini, telah dihitung: m2 = 8,53; m3 = -2,69; dan m4 =199,38. Dengan persamaan 2.2.3, koefisien kurtosis besarnya:
m 199,38 = 2,74 a 4 = 42 = 2 m 2 (8,53) Dan ini kurang dari nilai 3, maka kurvanya cenderung akan platikurtik. Contoh 2: Terdapat data upah untuk 65 karyawan. Telah dihitung K1 = Rp 68,25 dan K3 = Rp 90,75. Jika juga dihitung, maka didapat: P10 = Rp 58,12 dan P90 = Rp 101,00. Dengan angka-angka ini koefisien kurtosis persentil besarnya:
1 1 ( (90,75 − 68,25) K 3 − K1 ) SK k= =2 = 2 = 0,262 P90 − P10 P90 − P10 101,00 − 58,12
TUGAS 2: I.
TUGAS MERANGKUM Silahkan Anda rangkum materi pada modul 2 ini yang meliputi konsep kemiringan dan kurtosis!
II. TUGAS LAINNYA:
18
1. Data nilai ujian fisika dasar 80 mahasiswa telah menghasilkan x = 66,62 ; Me = 67,5; Mo = 67,72 dan simpangan baku s = 10,70. Berdasarkan data di atas, tentukan: a. Kemiringannya b. Kurva kurtosisnya 2. Perhatikan Daftar distribusi frekuensi di bawah ini! Daftar Ujian Statistika untuk 80 Mahasiswa Nilai Ujian
Banyak Mahasiswa (f)
31 – 40
2
41 – 50
3
51 – 60
5
61 – 70
14
71 – 80
24
81 – 90
20
91 – 100
12
Jumlah
80
Hitunglah dahulu koefisien kemiringan dan koefisien kurtosis untuk distribusi nilai ujian itu. Kemudian tentukan bagaimana bentuk kurvanya? 3. Perhatikan daftar distribusi frekuensi 100 laki-laki di bawah ini! X
Y
Z
X
Y
Z
X
Y
Z
44
70
180
61
68
182
52
66
154
35
73
188
61
70
185
52
67
152
41
68
178
44
68
161
52
69
162
31
68
159
58
67
175
40
68
175
49
66
155
29
66
159
27
68
167
34
74
156
56
65
171
44
59
158
37
65
157
53
68
166
41
64
169
63
74
168
47
69
171
33
70
186
28
70
185
30
73
178
29
68
161
19
40
69
187
64
71
170
24
67
160
51
69
182
31
72
180
36
67
162
33
66
155
35
70
162
23
59
159
37
71
170
65
65
163
47
68
167
33
69
161
43
62
164
26
70
161
41
69
167
53
60
159
45
60
158
38
69
190
58
62
162
41
65
167
52
70
162
67
69
190
55
66
169
31
71
156
53
70
182
34
69
160
44
68
189
42
58
157
51
72
175
31
62
160
43
69
165
58
67
163
40
68
166
52
62
163
51
70
174
36
73
178
68
66
158
35
70
172
42
69
189
64
70
168
34
69
160
28
67
158
46
68
162
26
70
175
40
71
180
41
69
175
25
61
164
40
70
172
58
73
188
44
71
172
35
68
157
50
69
164
57
68
163
32
68
176
45
59
158
67
60
159
31
71
156
59
58
157
59
69
179
52
69
165
56
65
168
62
70
167
45
69
159
59
61
155
40
65
163
39
67
181
47
67
164
52
71
170
40
68
169
43
76
184
48
66
160
37
63
160
Hitunglah beberapa koefisien persentilnya. Kemudian selidiki apakah ada alasan untuk mengatakan distribusinya dapat didekati oleh distribusi normal?
20
TES FORMATIF 2 I.
PILIHAN GANDA (PG)
1. Model kurva yang mempunyai ekor memanjang ke kanan adalah .... a. Model negatif b. Model positif c. Model nol d. Model simetris e. Model mesokurtik 2. Suatu ukuran statistik yang berfungsi untuk mengetahui derajat taksimetri adalah ukuran .... a. Kurtosis b. Momen c. Kurva d. Koefisien kurtosis e. Kemiringan 3. Diketahui nilai ujian Fisika Dasar 70 mahasiswa telah menghasikan = 50,4;
! = 51,2;
$ = 51,1
dan simpangan baku = 12; maka kemiringan yang dihasilkan data tersebut adalah .... a. -0,96 b. -0,69 c. -0,096 d. -0,069 e. 0,096 4. Persamaan di bawah ini, yang menunjukkan persamaan koefisien kemiringan Pearson tipe pertama adalah .... a.
Kemiringan =
3(Rata − rata − Median ) Simpangan baku
b.
Kemiringan =
Rata − rata − Modus Simpangan baku
c.
Kemiringan =
Modus − Rata − rata Simpangan baku
d.
Kemiringan =
(Rata − rata − Median ) 3Simpangan baku
21
e.
Kemiringan =
3Simpangan baku (Rata − rata − Median )
5. Diketahui data telah dihitung: = 30,1;
! = 42,5;
$ = 41,9 dan simpangan baku = 11,6; maka
koefisien kemiringan Pearson tipe kedua yang dihasilkan data tersebut adalah .... a. -7,8 b. -3,2 c. -2,2 d. -1,2 e. 3,2 6. Data yang berdistribusi normal dapat digambarkan dengan bentuk kurva .... a. Leptokurtik b. Platikurtik c. Mesokurtik d. Runcing e. Datar 7. Salah satu kriteria koefisien kurtosis untuk menyatakan distribusi leptokurtik adalah .... a. < 3 b. = 3 c. ∝ 3 d. () > 3 e. > 1 8. Jika diketahui data yang telah dihitung: = 9,5; = −3,4; = 109,2; maka koefisien kurtosisnya adalah .... a. 1,21 b. 1,32 c. 2,21 d. 3,32 e. 6,12 9. Jika
diketahui
daftar
upah
untuk
50
karyawan
perusahaan
sepatu.
Telah
dihitung
+ = ,- 87,34 + = ,- 121,72; !./ 0 1 = ,- 68,45 021 = ,- 134,53. Dengan data tersebut, besar koefisien kurtosis persentilnya adalah .... a. 0,26 22
b. 0,46 c. 0,62 d. 0,74 e. 0,76 10. Perhatikan kurva di bawah ini!
Kurva di atas menunjukkan kurva runcing yang dinamakan kurva .... a. Platikurtik b. Mesokurtik c. Leptokurtik d. Negatif e. Positif
II. URAIAN SINGKAT 1. Apakah yang dimaksud dengan kurva: a. Model positif b. Model negatif c. Simetrik unimodal d. Mesokurtik e. Platikurtik f.
Leptokurtik
Gambarkan kurvanya untuk tiap macam! 2. Jelaskan yang dimaksud dengan ukuran: a. Kemiringan b. kurtosis 3. Apakah yang dimaksud dengan: a. Koefisien kemiringan Pearson b. Koefisien kurtosis 23
c. Koefisien kurtosis persentil 4. Berikan contoh fenomena yang dapat memberikan kurva model: a. Positif b. Negatif 5. Jelaskan bagaimana sifat data akan berkumpul jika lengkungannya: a. Leptokurtik b. Platikurtik
KRITERIA KETUNTASAN BELAJAR SOAL PILIHAN GANDA (PG) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat Penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar x100% Jumlah soal
Arti tingkat penguasaan : 90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai. URAIAN SINGKAT (US) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
24
Tingkat Penguasaan = 20%(Soal No.1 + Soal No.2 + Soal No.3 + Soal No.4 + Soal No.5) Arti tingkat penguasaan : 90 – 100 % = baik sekali 80 – 89 % = baik 70 – 79 % = cukup < 70 % = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar pada modul berikutnya. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum Anda kuasai.
Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 PG 1 No.
Jawaban
Alasan
1
A
Bentuk ukuran lain yang merupakan hal istimewa dalam momen adalah rata-rata dan varians
2
D
momen ke − r =
∑x
r i
n
(Persamaan momen ke-r di sekitar nol)
3
B
mr dan mr’ merupakan salah satu bentuk statistik
4
A
Momen sampel dapat ditunjukkan dengan lambang mr dan mr’
5
C
Parameter-parameter dalam konsep momen dilambangkan dengan µ r dan µ r '
6
B
Gunakan persamaan momen ke-r di sekitar rata-rata (1/2)
7
B
Gunakan persamaan momen ke-r di sekitar nol (0,6)
8
E
Gunakan persamaan momen ke-r di sekitar nol untuk r = 2 (15,67)
9
A
Gunakan persamaan momen ke-r di sekitar rata-rata untuk r = 1 (15,67)
10
C
m 2 = m 2 ' − (m1 ') = 8,73 − (0,45) 2 = 8,53 2
US 1 25
No.
Jawaban
1 a.
∑x Persamaan x5 dalam momen adalah momen ke − r =
r i
n 2 b. Persamaan varians dalam momen adalah s = m 2 = m 2 ' − (m1 ') 2
2
N
a. momen ke − r = N
b. mr = 3
∑ (x i =1
i
− x)
∑x i =1
r i
n
r
n
a. Gunakan persamaan ini : momen ke − r =
∑ (x
i
− x)
b. Gunakan persamaan ini : mr = 4
n
r i
untuk r = 1, 2, 3, dan 4.
r
dengan r = 1, 2, 3, dan 4.
n ∑ f i ci r kemudian gunakan persamaan ini: Gunakan persamaan ini : m r ' = p r n
( )
( )
2
m 4 = m ' 4 − 4 m ' 1 m ' 3 + 6 m '1 m ' 2 − 3 m '1 5
∑x
Gunakan persamaan ini: mr =
∑ (x
i
− x)
n
4
untuk mengujinya.
r
, untuk r empat pertama (r = 1, 2, 3, dan 4).
Tes Formatif 2 PG 2 No.
Jawaban
Alasan
1
B
Model kurva yang mempunyai ekor memanjang ke kanan adalah model positif
2
E
Suatu ukuran statistik yang berfungsi untuk mengetahui derajat taksimetri adalah ukuran kemiringan
3
C
Gunakan persamaan koefisien kemiringan Pearson tipe pertama ini:
Kemiringan =
Rata − rata − Modus untuk mendapatkan ( -0,096) Simpangan baku
26
4
B
Kemiringan =
Rata − rata − Modus adalah persamaan koefisien kemiringan Simpangan baku
Pearson tipe pertama 5
B
Gunakan persamaan koefisien kemiringan Pearson tipe kedua
Kemiringan =
3(Rata − rata − Median ) , maka akan didapatkan (-3,2) Simpangan baku
6
C
Data yang berdistribusi normal dapat digambarkan dengan bentuk kurva mesokurtik
7
D
Salah satu kriteria koefisien kurtosis untuk menyatakan distribusi leptokurtik adalah a > 3
8
A
m Gunakan persamaan koefisien kurtosis ini a 4 = 4 m2
9
A
1 (K 3 − K 1 ) SK =2 Gunakan persamaan koefisien kurtosis ini : k = untuk P90 − P10 P90 − P10
2
untuk mendapatkan (1,21).
mendapatkan (0,26). 10
B
Kurva di atas menunjukkan kurva runcing yang dinamakan kurva mesokurtik (kurva berdistribusi normal)
US 2 No. 1
Jawaban a. Model positif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kanan
27
b. Model negatif terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang ke sebelah kiri
c. Simetrik unimodal terjadi bila kurvanya mempunyai bentuk simetris
d. Mesokurtik adalah kurva distribusi normal, yang tidak terlalu runcing atau tidak terlalu datar
e. Platikurtik adalah kurva yang berbentuk datar
f. Leptokurtik adalah kurva yang berbentuk runcing
2
a. Kemiringan atau ukuran kemiringan adalah suatu cara yang berfungsi untuk mengetahui derajat taksimetri sebuah model. b. Kurtosis adalah tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva.
3
a. Koefisien kemiringan Pearson menyatakan ukuran kemiringan dan mempunyai dua tipe
28
persamaan, yaitu: •
Koefisien kemiringan Pearson tipe pertama, yang dapat dinyatakan dengan persamaan: Kemiringan =
•
Rata − rata − Modus ; dan Simpangan baku
Koefisien kemiringan Pearson tipe kedua, yang dapat dinyatakan dengan persamaan:
Kemiringan =
3(Rata − rata − Median ) Simpangan baku
b. Koefisien kurtosis merupakan salah satu ukuran kurtosis yang menyatakan tinggi rendahnya atau runcing datarnya bentuk kurva. Koefisien kurtosis dibagi dalam tiga bentuk besar, yaitu: benuk kurva leptokurtik (kurva runcing), platikurtik (kurva datar), dan mesokurtik (distribusi normal). c. Koefisien kurtosis persentil berfungsi untuk menyelidiki apakah distribusi normal atau tidak,
1 (K 3 − K 1 ) SK dinyatakan dengan persamaan: k = =2 P90 − P10 P90 − P10 4
Salah satu contoh fenomena yang dapat memberikan kurva model: a. Positif Hasil nilai ujian mahasiswa fisika yang sebagian besar mendapatkan nilai di atas rata-rata, dengan kata lain: distribusi tersebar tidak merata dan kebanyakan mendapatkan nilai bagus. b. Negatif Hasil nilai ujian mahasiswa fisika yang sebagian besar mendapatkan nilai di bawah rata-rata, dengan kata lain: distribusi tersebar tidak merata dan kebanyakan mendapatkan nilai jelek.
5
Sifat data akan berkumpul jika lengkungannya: a. Leptokurtik Datanya banyak terkumpul di tengah (datanya berdistribusi di dekat rata-rata semua). b. Platikurtik Datanya banyak menyebar dengan distribusi di sebelah kiri dan kanan terlalu banyak.
KEPUSTAKAAN Sudjana. (1996). Metoda Statistika. Bandung: “TARSITO” Bandung
29
