Modul I Dasar Bilangan Kompleks
Tujuan : 1. Mahasiswa dapat memahami asal bilangan kopleks dan pangkat j 2. Mahasiswa mampu menuliskan bilangan kompeks kedalam bentuk grafis 3. Mahasiswa mengenal bentuk-bentuk bilangan komples 4. Mahasiswa mampu mengoperasikan persamaan bilangan kompeks pada operator penjumlahan dan pengurangan.
A. Pendahuluan Bilangan komplek merupakan bilangan yang banyak digunakan dalam teknik elektro untuk menyelesaikan bergai persualan analitik. Banyak pemecahan masalah keteknik elektroan yang mampu diselesaikan dengan menggunakan bilangan kompels. Bilangan komplek berasal dari akar-akar persamaan kuadrat yang tidak dapat didefinisikan lebih lanjut. Biasanya akar-akar persamaan kuadrat pada kondisi tersebut dikatakan sebagai bilangan imajiner atau bilangan khayal. Bilangan khyal merupakan kesepakatan para ahli matematika untuk menyelesaikan persamaan yang memiliki akar –1 atau Dari mana munculnya mengunakan rumus abc. Rumus abc :
−1
− 1 ?, akar-akar persamaan kuadrat diperoleh dengan
x1, x 2 =
− b ± b 2 − 4a.c 2.a
Perhatikan soal berikut : x2+2x+5 =0
1
Akar-akar persamaan kuadratnya adalah :
− 2 + 4 − 20 − 2 − 4 − 20 atau x 2 = 2 2 x1 = −1 + − 1 . 4 atau x 2 = −1 − − 1 . 4 x1 =
Pada prinsipnya akar-akar persamaan kuadrat tidak dapat diselesaikan. Bilangan yang muncul dari akar-akar imajiner persamaan kuadrat tersebut bilangan kompleks. Bilangan kompleks yang terbentuk biasa ditulis dengan notasi sebagai berikut : x= a + j b
atau x = a – j b
a adalah bilangan real dan jb adalah bilangan imajiner jadi bilangan komplek adalah pengabungan antara bilangan real dan bilangan imajiner j merupakan simbole dari
− 1 . atau
−1 = j Hasil dari persolan diatas adalah :
x1 = −1 + j 2
dan
x 2 = −1 − j 2
kenapa hasilnya dua ?
2
Dikatakan bahwa x1 memiliki konjugasi bilanagan yaitu x2
Perhatikan persolan berikut : j = ? j4 = ? 2 j = ? j5 = ? 3 j6 = ? j = ?
“ bagaimana ? “ “Apa bisa dikerjakan ? “ “mudah bukan ? “
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat adalah bilangan kompleks atau tidak bilangan kompleks.
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
x 2 + 3x + 5 2x 2 − x + 5 x 2 + 2x − 4 3 x 2 + 6 x + 10 x 2 + 5x + 2 2x 2 + 2x − 5 − x2 − x − 4 x 2 + 2x + 8 x 2 − 3x + 4 4 x 2 + 5x − 1
3
B. Bilangan kompleks dalam grafis Setiap bilangan dapat ditulis dalam bentuk grafis, yaitu ditulis dalam garis bilangan. Untuk bilangan komplek memiliki garis bilangan ganda yaitu kawasan real dan kawasan imajiner.
Imajiner positif negati
positif Real negati
Perhatikanlah bilangan kompleks berikut ini,
x=4+j6
bisakah dituliskan kedalam bentuk grafis ? Tentu bisa, uraikan dulu Æ 4 adalah bilangan real positif Æ j6 adalah bilangan imajiner positif
4
Imajiner (jb) 6
Real (a)
4
Jika dibalik, berapa nilia bilangan kompleks dari grafis berikut.
Imajiner (jb)
6
Real (a) 2
Sudahdapatkah hasilnya ? Nilai Bilangan kompleks adalah
x=-6–j2
5
Buatkan kedalam bentuk grafis bilangan kompleks berikut, 1. x = -12 + j 6 5. x = 12 2. x=3–j8 6. x = -5 3. x = - 6 – j 10 7. x = j12 4. x = 2 + j2 8. x = -j 11
C. Bentuk-bentuk bilangan kompleks Bilangan kompleks dapat ditulis dengan notasi yang berbeda. Bentuk-bentuk tersebut disesuaikan dengan kebutuhan. Bentuk notasi yang telah diperkenalkan diatas disebut dengan bentuk umum. Sebelum dijelaskan bentuk-bentuk yang lain terlebih dahulu perhatikan bahasan berikut, Bila diketahui bilangan kompleks dengan nilai,
x=a+jb
Bentuk grafis bilangan kompleks diatas adalah ,
b r θ
a
6
r adalah sisi miring, yang nilainya adalah
r = a2 + b2
θ adalah sudut kemiringan dengan nilai ,
θ = arc tg b/a
Sudut kemiringan selalu dihitung dari sumbu real positif ke arah berlawanan jarum jam. Cara menghitung sudut dari 0 – 360 derajat. Atau cara minghitung dapat dibagi 0 – 180 derajat positif (arah berlawanan jarum jam) dan 0 – (180) derajat (searah jarum jam). Berdasarkan cara grafik diatas dapat dibedakan beberapa bentuk penulisan bilangan kompleks. Bentuk yang lain adalah,
Bentuk polar
x=r θ
dan x = r - θ atau x =r θ
Bentuk rectangular
x = r(cos θ + j sin θ) dan x = r(cos θ - j sin θ)
Bentuk exponensial
x = r. ejθ dan x = r. e -jθ
7
Perhatian persamaan bilangan kompleks berikut,
x = 3 – j8
bentuk umum bilangan kompleks diatas dapat dirobah kedalambentuk bentuk penulisan yang lain.
r = 32 + 8 2 r = 8,54
Sudut yang dibentuk adalah,
θ = arc tg (-8/3) = -69,44
untuk menentukan sudut, harus terlebih dahulu diketahui posisi dari kuadran garis bilangan. Apaitu kuadran? Perhatiakan gambar dibawah ini,
8
Kuadran II
Kuadran I
Kuadran III
Kuadran IV
Kuadran I berada pada sudut ke 0 - 90 Kuadran II berada pada sudut ke 90 - 180 Kuadran III berada pada sudut ke 180 – 270 atau (-90) – (-180) Kuadran IV berada pada sudut ke 270 – 360 atau 0 – (-90) Pad soal diatas berada pada kuadran berapa ? Tepat sekali Kuadran IV maka sudut yang terbentuk adalah -69,44 Sekaran bisa dirobah kedalam bentuk penulisan yang lain Bentuk polar
x = 8,54 -69,44
Bentuk rectangular
x =8,54 (cos 69,44 - j sin 69,44)
Bentuk exponensial
x =8,54. e –j69,44
9
Untuk memahami lebih lanjut coba selesaikan soal berikut ini, 1. x = -2 + j 6 5. x = 2 2. x = 13 – j 8 6. x = -3 3. x = - 8 – j 10 7. x = j2 4. x = 2 + j4 8. x = -j 10
D. Operasional penjumlahan dan pengurangan Operasinal matematika penjumlahan dan pengurangan merupakan konsep yang umum dan sederhana. Namun bagian ini merupakan bagian yang terpenting dan mendasar. Prinsip penjumlahan dan pengurangan adalah sama, memenuhi sifat-sifat aljabar penjumlahan dan pengurangan. Sifat penjumlahan dan pengurangan seperti berikut,
x1 = a + jb x 2 = c + jd xt = x1 ± x 2 atau xt = (a ± c) + j (b ± d )
Perhatikan kasus berikut,
10
x1 = 2 − j 3 x2 = 5 + j 4 Selesaikanlah : xT = x1 + x 2 jawab :
xt = (2 − j 3) + (5 + j 4) = (2 + 5) + j (−3 + 4) =7 + j Keterangan : Arti dari jawaban diatas adalah bilangan kompleks saat menjumlah dan mengurangkan hanya boleh dilakukan pada bilangan sejenis. Bilangan real hanya boleh dijumlahkan/dikuragkan dengan bilangan real yang lain. Demikian juga dengan bilangan imajiner hanya boleh dijumlahkan/dikurangkan dengan bilangan imajiner yang lain Sekarang cobalah untuk mengurangi x1 dengan x2 ? apa yang terjadi ? Apakah jawabannya sesuai dengan hasil berikut ini ?
xT = −3 − j 7
Jika sama berarti anda benar !!!
11
x1 = -2 + j 6 x2 = 13 – j 8 x3 = - 8 – j 10 x4 = 2 + j4
x5 = 2 x6 = -3 x7 = j2 x8 = -j 10
Selesaikanlah : 1. xt = x1 + x 2 − x5 2. xt = x8 + ( x 2 + x5) 3. xt = x3 − x 2 − x 4 4. xt = x 2 + x 2 − x5 5. xt = ( x 7 + x 6) − x8
12
