1
MODUL ANALISIS VARIABEL KOMPLEKS
Oleh: DIDIK HERMANTO, M. Pd.
STKIP PGRI BANGKALAN PRODI S1PENDIDIKAN MATEMATIKA 2014
2
BAB I BILANGAN KOMPLEKS
A. PENGERTIAN BILANGAN KOMPLEKS Bilangan kompleks merupakan perluasan dari system bilangan real. Munculnya bilangan kompleks ini dikarenakan adanya beberapa permasalahan, misalnya penyelesaian dari persamaan x2 + 4 = 0 yang bukan merupakan anggota dari bilangan real. Oleh karena itu diperlukan bilangan baru yang dinamakan bilangan kompleks Untuk menjelaskan hal tersebut di atas, akan ditunjukkan skema bilangan sbb: Bilangan Kompleks
Bilangan Khayal (Imaginer)
Bilangan Riil
Bilangan Rasional Bilangan Pecahan
Bilangan Irasional Bilangan Bulat
Bilangan Bulat (-)
Bilangan Bulat 0
Bilangan Bulat (+)
Dari gambar di atas dapat kita lihat bahwa bilangan kompleks merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan riil dan bilangan imaginer. Bilangan kompleks dilambangkan dengan z, sehingga:
z = x + yi
dimana a, b ∈ R dengan b ≠ 0 dan i merupakan satuan khayal bersifat i2 = -1 Definisi 1.1 : Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari x + yi , dimana x, y ∈ R dengan y ≠ 0 dan i adalah satuan khayal/imaginer bersifat i2 = -1 Himpunan bilangan kompleks (C) = {z / z = x + yi, dengan x,y∈ Ŕ , y ≠ 0 dan i2 = -1}
3
Selanjutnya, xdinamakan bagian riil dari zdan ydinamakan bagian khayal dari z yang berturutturut dinyatakan dengan Re(z) dan Im(z).
Catatan :
Bilangan bulat : bilangan yang terdiri dari bilangan cacah dan negatifnya.
Bilangan pecahan adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b0, a, bB, dan faktor persekutuan terbesar (FPB) dari a dan b adalah 1. Contohnya: 2/3. -(5/7) dll.
Bilangan Rasional : suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal (berakhir) atau
bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b0, a, bB. Contohnya: -3, -(21/7), dll.
Bilangan Irasional : suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal (berulang)
Bilangan Riil : suatu bilangan yang dapat dibentuk menjadi desimal seperti 3.2678
B. SIFAT-SIFAT BILANGAN KOMPLEKS 1. Jika Re(z) = 0 dan Im(z) ≠ 0, mk. bilangan kompleks z disebut bilangan imaginer murni. 2. jika R(z) = 0 dan Im(z) = 1, maka bilangan kompleks z disebut satuan khayal/imaginer. 3. jika R(z) ≠ 0 dan Im(z) = 0, maka bilangan kompleks z merupakan bilangan riil. 4. Kesamaan bilangan kompleks, Misalkan z1 = x1 + y1i dan z2 = x2 + y2 i z1 = z2 jika dan hanya jika x1 = x2 dan y1 = y2 C. OPERASI ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS. Misalkan z1 = x1 + y1.i dan Misalkan z2 = x2 + y2.i a) z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2) b) z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2) c) z1 . z2 = (x1 + iy1) . (x2 + iy2) = (x1 . x2 - y1 . y2) + i (x1 . y2 + x2 . y1)
4
=
d)
+
z2 ≠ 0
.i ,
x
Kunci :
̅̅̅ ̅̅̅
D. SIFAT-SIFAT ALJABAR BILANGAN KOMPLEKS Jika z1, z2 dan z3 adalah bilangan kompleks, maka berlaku: 1.
z1+z2∈ℂ dan z1.z2∈ℂ (sifat tertutup)
2. Ada0=0+i0∈ℂ , sehingga z+0=z (0 elemen netral penjumlahan) 3. Ada 1=1+i0∈ℂ , sehingga z . 1=z (1elemen netral perkalian) 4. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada z-1=sehinggaz .z-1=1 5. Untuk setiap z=x+iyℂ, ada –z=–x–iy sehingga z+(–z)=0 6. Hukum komutatif : z1 + z2 = z2 + z1 7. Hukum assosiatif : z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2)+ z3 , z1(z2 . z3) = (z1. z2)z3 8. Hukum distributif : z1 . (z2 + z3) = z1. z2 + z1. z3 9. Hukum kesekawanan (konjugat) : Jika z = x + yi , maka konjugat z : a.
̅ = x - yi
̅ =z
b. Konjugat (z1 + z2) = konj {(x1 + y1.i) + (x2 + y2.i)} = konj {(x1+ x2) + (y1 + y2) i} = (x1+ x2) - (y1 + y2) i = (x1- x2) + (y1 - y2) i = ̅ + ̅ c. Konjugat (z1 - z2) = konj {(x1 + y1.i) - (x2 + y2.i)} = konj {(x1- x2) + (y1 - y2) i} = (x1- x2) - (y1 - y2) i = (x1 - y1.i) - (x2 - y2.i) = ̅ - ̅ ̅̅̅
d. Konjugat ( ) = ̅̅̅dimana ̅ ≠ 0 = konj (
) = konj (
x
= kjt {
} = kjt {
=
(
=(
)
(
)
)(
)
)(
)
=
=
(
)
(
)
̅̅̅
= ̅̅̅
+
(
)
}
5
e. z + ̅ = 2x
f. z - ̅ = 2yi
= z-1 =
10.
=
x
=
=
g. z . ̅ = x2 + y2
-
11. z2 = x2 - y2 + 2xy. i
E. GRAFIK BILANGAN KOMPLEKS Suatu bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang kompleks seperti menggambarkan suatu titik pada bidang cartesius XY
Y (Imaginer)
z=x+yi
y i
X (Riil)
0
x
F. NILAI MUTLAK BILANGAN KOMPLEKS Nilai mutlak atau absolut atau modulus bilangan kompleks didefinisikan sebagai jarak antara zdan sumbu koordinat dan diberikan sebagai │z│= √ Y (Imaginer)
z=x+yi
y
i 0
│z│ X (Riil) x
Contoh : Diketahui z = -1 – i , maka modulus dari z adalah | | = √( Jika z1, z2 adalah bilangan kompleks, maka berlaku :
|
| = | |.| |
| |=|
|
|
|
|≤ | |+| |
|
)
(
) =√
6
|
|≥ | |-| | Latihan : 1
1. Selesaikan operasi-operasi aljabar dari bilangan kompleks dibawah ini: a. (3 + 4i) + (3i – 2) = 12i – 8i – 12 – 6 = -18 + 4i b. 3(-1 + 4i) – 2(7 – i) = (-3 + 12i) – (14 – 2i) = -17 + 14i c. (3 + 2i) (2 – i) = 6 +2 +4i – 3i = 8 + i d.
=
x
=
=
e. i2 = -1 , i3= -i, i4= 1 , i5= i , i10 = -1 f. (2i – 1)2. {
+
} = (-4 +1 – 4i) (
) = (-3 – 4i)( + i) =
2. Tunjukkan bahwa, jika z = -1 – i maka z2 + 2z + 2 = 0 (-1 – i)2 + 2(-1 – i) + 2 = 0 1 - 1+2i – 2 – 2i + 2 = 0 → 0 = 0
3. Tentukan bilangan riil x dan y sehingga 2x – 3yi + 4xi – 2y – 5 – 10i = (x + y + 2) – (y – x + 3)i (2x – 2y – 5) + (4xi – 3yi – 10i) = (x + y + 2) – (y – x + 3)i (2x – 2y – 5) + (4x – 3y – 10) i = (x + y + 2) – (y – x + 3)i 2x – 2y – 5 = x + y + 2 → x - 3y = 7 → 5x – 15 y = 35 4x – 3y – 10 = y – x + 3 → 5x – 4y = 13 → 5x – 4y = 13 11y = 22 → y = 2 dan x = 1 4. Jika diberikan : z = 1 + 2i dan w = 3 – 4i, sederhanakan hasil operasi aljabar bilangan kompleks dibawah ini kedalam bentuk a + bi ! a. 3z + i.w 3(1 +2i) + i(3 – 4i) = (3 + 6i) (4 + 3i) = 12 – 18 +24i +9i = -6 + 33i b. 2 z2 – z ̅ 2(1 +2i)2 – (1 + 2i) (3 + 4i) = (2 + 8i – 8) – (-5 + 10i) = -1 -2i c.
=
=
=
= + i
7
=
d.
(
)
(
)
=
=
=
=
= -2 - i
Im( ̅ w2) + 25 i Re( ) = Im((1-2i)(3-4i)2) + 25i Re(
e.
)
= Im((1-2i)(-7-24i)) + 25i Re( = Im(-55-10i) + 25i Re(
+
+
(
)
)
i)
= -10 + 11i 5. Gambarkan bilangan-bilangan kompleks berikut kedalam diagram kartesius! a. z =
c.
b.
d.
6. Jika diberikan z1 = 8+6i dan z2 = 3 – 4i tentukan modulus dari: a. │z1 + z2│
b. │z1 - z2│
d. │ │
c. │z1 . z2│
Untuk dicatat dan dipelajari dengan cermat! G. BENTUK POLAR (KUTUB) BILANGAN KOMPLEKS
Y (Imaginer) P (x, y) r 𝜃 0
y x
X (Riil)
Andaikan z = x + yi merupakan suatu titik P (x, y) pada bidang kompleks, berdasarkan gambar diperoleh: x = r cos
dan
dimana r = √
y = r sin
= │x + yi│ dinamakan modulus dari z = x + yi , ditulis mod z dan dinamakan argumen dari z,ditulis arg z = arc tn yaitu menyatakan suatu sudut antara garis OP dengan sumbu Xpositif (0 ≤ arg z < 2 ). Sehinggaz = x + yi = r cos cis
+ i .r sin
= r (cos
yang dinamakan bentuk kutub bilangan kompleks, dimana r dan
+ i.sin ) = r dinamakan
koordinat kutub. Misal z1 = r1 (cos + z2,z1 - z2 , z1 . z2 dan
+ i sin
) dan z2 = r2 (cos
+ i sin
), maka berlaku :z1
∈ bilangan komplek bentuk polar
Catatan : * Cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b * Sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b
8
*Cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
* Sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b
Diskusikan dan kerjakan secara berkelompok! 1. Tentukan bentuk polar dari bilangan kompleks dibawah dan gambarkan grafiknya! √
→ r = 4, Ɵ = arc tg
a. 2 + 2√
= 60o → bentuk kutub : 4 (cos 60o + i.sin 60o)
b. -5 + 5i → r = 5√ , Ɵ = arc tg ( ) = 135o → btk kutub : 5√ (cos 135o + i.sin 135o) 2. Buktikan bahwa: a. z1 + z2 = (r1 cos
+ r2 cos
b. z1 - z2 = (r1 cos
- r2 cos
c. z1 . z2 =r1 (cos
) + (r1 sin ) + (r1 sin
+ i sin
) r2 (cos
= r1.r2 {(
d.
=
(
)
(
)
=
sin
) + i sin ( .
+
) cos
+ cos
sin
)}
)}
(
) )
.
(
)
(
) (
.
=
. {cos (
3. Diketahui z1 = 1 + i , z2 = √ + i
-
) + i sin (
)
-
)}
Tentukan:
a. Mod (z1.z2) = Mod {(1 + i)(√ + i)} = Mod {(√ )
)i
) + i. (sin
(
=
= √(√
)i
- r2 sin + i sin
- sin
= r1. r2 {cos ( +
+ r2 sin
- 1) + (√
) = √(
(√
+ 1)i} √ )
(
√ )
= 2√ Arg (z1.z2) = arc tg. (
√ √
) = arc tg. (
√ √
x
√
√
) = arc tg. (
√
)
= arc tg (2 + √ ) = arc tg (3,7321) = 75 o Arg (z1.z2) = arc tg. (
√ √
) = arc tg(
) = arc tg 3,732 = 75 o
Arg (z1.z2) = Arg z1 + Arg z2 = arc tg + arc tg b. Mod ( ) = Mod (
√
) = Mod (
√
) = Mod (
= Mod (0,683 + 0,183 i) = √
√
√
= 45o + 30o = 75 o (√
)
) = Mod {
=√
(√
)
= 0,707
+
(√
)
i}
9
Arg ( ) = arc tg (
) = arc tg 0,268 = 15 o
Arg ( ) = Arg z1 - Arg z2 = arc tg - arc tg
√
45o - 30o= 15o
Pangkat dan Akar dari Bilangan Kompleks Perkalian dan Pemangkatan Telah kita ketahui bahwa bilangan kompleks dalam bentuk kutub adalah z = r(cos + i sin ). Jika z1 = r1(cos 1 + i sin 1) & z2 = r2(cos 2 + i sin 2), maka kita peroleh hasil perkalian keduanya sebagai berikut : z1 z2 = [r1(cos 1 + i sin 1)][r2(cos 2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos 1 cos 2 - sin1sin 2) +i (sin 1 cos 2 + cos 1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] Dari hasil perkalian tersebut diperoleh:arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2. Misal dari hasil perkalian z1 z2 tersebut, r1 r2= rt dan1 + 2 = t , maka untuk z3 = r3r1(cos 1 + i sin 1) diperoleh z1 z2z3 = (z1 z2) z3 = rt r3[cos (t + 3 ) + i sin (t + 3)] = r1 r2r3[cos (1 + 2 + 3) + i sin (1 + 2+ 3)] Jika z1= z2 = z3 = z maka z1 z2z3 = z.z.z = r.r.r [cos ( + + ) + i sin ( + + )] = r2[cos 3 + i sin 3] Pertanyaan : Bagaimanakah jika kita perkalikan z1 z2 . . . zn dan z z z z … z = zn ?
Jika diketahui: z1 = r1(cos 1 + i sin 1) , z2 = r2(cos 2 + i sin 2) , ….. , zn = rn(cos n + i sin n), untuk n asli, maka, diperoleh z1 z2 … zn = r1 r2…rn[cos (1 + 2+…+n) + i sin (1 + 2+…+n)] . Akibatnya jika, z = r(cos + i sin ) maka zn = rn (cos n + i sin n). untukn asli CONTOH : Hitunglah :(√ Jawab :
- i )-6
→ disebut “Dalil De-Moivre”
10
Misalkan (√
- i ) =z , maka (√
r = | |= √
= 2 dan
- i )-6=
(√
= arc tg
√
=
(kuadran 4)
karena z di kuadran IV, maka = arc tg z6= (√
)
√
= 330 o
- i )6 = 26 (cos (6 x 330 o) + i sin (6 x 330 o)) = 26 (cos 180 o + i sin 180 o) = 26 (-1 + 0) = -26
(√
- i )-6 = (√
)
=
=
Contoh:
Akar Bilangan Kompleks Andaikan w = (cos +i sin)adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks z = ( ), maka: wn = z (cos +i sin)n = (
)
Dengan menggunakan teorema De’Moivre, diperoleh: (cos +i sin)n = n(cosn +i sinn) Sehingga : n(cosn +i sinn) = (
) dan n = r , n= +2k ,
n adalah bilangan asli 1, 2, 3 …… dan kadalah bilangan bulat 0, 1, 2, ……. (n-1)
Akibatnya : =
dan =
Jadi akar pangkat n dari bilangan kompleks z = ( w = (cos +i sin) =
(
)adalah : )
dimana k = 0,1,2,3,…,(n-1);berturut-turut untuk n = 1, 2, 3, ……n
11
Dari persamaan wn = z, maka ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu, dan n akan membagi sudut 360o mennjadi n bagian sama besar. Dimana, 0
< 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.
CONTOH : 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari√ Jawab : = w = (cos +i sin) dan -25 = z dapat ditulis z = 25 (cos 180o+ i sin180o)
misal√ Maka w = √
w2 = z
atau
2(cos 2 +i sin 2)= 25(cos 180o + i sin 180o) Sehingga = 5 dan = Jadi w = (cos +i sin) = 5(cos Untuk k = 0
w = 5 (cos
Untuk k = 1
w = 5 (cos
+i sin
+i sin
)
) = 5 (0 + i) = 5i
+ i sin
) = 5 (0 – i) = -5i
Hp = {5i, -5i}
2. Hitunglah √
√
!
Misal 8 + 8√ i = z dan √
√
Untuk z = 8 + 8√ i diperoleh r = √
= w = (cos +i sin), maka √ = 16 dan
= w = (cos +i sin)
= arc tg √ = 60o
Jadi: z = 16(cos 60o + i sin 60o) Dari √
= w dapat ditulis w4 = z Dengan menggunakan dalil De-Moivre diperoleh
4(cos4 +i sin4) = 16(cos 60o + i sin 60o) sehingga 4 = 16 → = 2 dan = Untuk k = 0 → w1 = 2(cos 15o + i sin 15o) = 2(0,966 + 0,259.i) = 1,932 + 0,518 i Untuk k = 1 → w2 = 2(cos 105o + i sin 105o) = 2(-0,259 + 0,966.i) =-0,518 + 1,932 i Untuk k = 2 → w3 = 2(cos 195o + i sin 195o) = 2(-0,259 - 0,966.i) = -0,518 – 1,932 i Untuk k = 3 → w4 = 2(cos 345o + i sin 345o) = 2(0,966 - 0,259.i) = 1,932 - 0,518 i Jadi akar-akar dari √
√
adalah w1 = 1,932 + 0,518 i ;w2 = -0,518 + 1,932 i ; = -0,518 – 1,932 i dan w4 = -0,518 + 1,932 i
w3
12
3. Hitunglah √
BAB 2 FUNGSI KOMPLEKS A. Lingkungan Bilangan Kompleks Sebelum membahas fungsi kompleks ,berikut ini diberikan beberapakonsep dan istilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya. Misalkan z0 adalah suatu titik pada bidang datar dan r adalah bilangan real positif, maka: Lingkaran-r bagi z0 (ditulis :N (z0 , r) ),didefinisikan sebagai seluruh titik-titik z pada bidang datar sedemikian sehingga |
|< r.
N (z0 , r) merupakan cakram yang
berpusat z0 berjari-jari r tetapi tidak termasuk kelilingnya. Contoh : N(i , 1) adalah cakram yang berpusat pada i dengan jari-jari 1 tetapi tidak termasuk kelilingnya (gambar 1). Lingkaran-r terhapus bagi z0 (ditulis : N* (z0 , r) ), didefinisikan sebagai seluruh titik-titik z pada bidang datar sedemikian sehingga 0 <|
|< r.
N* (z0 , r) merupakan cakram
yang berpusat z0 berjari-jari r tetapi tidak termasuk titik pusat dan kelilingnya. Contoh : N* (i , 1) adalah cakram yang berpusat pada i dengan jari-jari 1 tetapi tidak termasuk titik pusat dan kelilingnya (gambar 2). Lingkaran satuan (ditulis : | |
)adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik
asal (gambar 3) Y
Y
Y i
i
1
i
1
0
X 0 Gambar : 1 N(i , 1)
1
1
X
X 0 Gambar : 2 N*(i , 1)
1 Gambar : 3 |𝑧| = 1
B. Fungsi Kompleks dengan Domain Bilangan Kompleks Misalkan S ⊂C, fungsi f pada S adalah suatu relasi yang memetakan setiap z ∈ S dengan tepat satu unsur w ∈ C (dapat ditulis dengan w = f(z)).
13
Dalam hal ini: S = domain dari f (Df). z = variabel kompleks. w = nilai fungsi f pada z. himpunan yang anggotanya seluruh nilai fungsi f pada z disebut sebagai range dari f (Rf). Misalkan w = u + vi, dari w = f(z) dapat diperoleh u + vi = f(x + yi) maka masingmasing bilangan riil u dan v bergantung pada variabel riil x dan y, sehingga w = f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil x dan y, yaitu: f(z) = w = u(x,y) + v(x,y) i. Selanjutnya rumusan di atas dapat diilustrasikan pada gambar 4: f
w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y)
z = x + yi Domain (S) Gambar : 4 f:S→C
Range = f(S)⊂ C
Dari z = x + yi dan w = f(z) = u(x, y) + i v(x, y), berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan nilai fungsi dengan dua variabel real x dany. Apabila z = r(cos + i sin ), sehingga w = f(z) = f(r cos + i r sin ), maka u dan v bergantung pada variabel riil r dan , sehingga w = f(z) dapat dinyatakan sebagai pasangan terurut dari variabel riil rdan , yaitu: f(z) = w = u(r, ) + v(r, ) i Contoh : 1. Tentukan nilai u dan v darif(z) = 2z2 – i! Penyelesaian : Misal z = x + yi, maka w = f(z) = f(x + yi) = 2(x + yi)2 – i = 2(x2 + 2xyi – y2) – i = 2x2 – 2y2 + 4xyi – i = 2(x2 – y2) + (4xy – 1)i Jadi u = 2(x2 – y2) dan v = 4xy – 1 2. Jika z = r(cos + i sin ), tentukan nilai u dan v dari f(z) = z2 + i! Penyelesaian : f(z) = z2 + i f(r(cos + i sin )) = [ ( )] + i 2 2 2 = r (cos – sin + i 2 sin cos ) + i = r2 (cos2 – sin2 ) + r2i sin 2 + i = r2 (cos2 – sin2 ) + (r2sin 2 + 1) i
14
Jadi u = r2 (cos2 – sin2 ) = r2 cos 2 dan v = (r2sin 2 + 1) Catatan : sin 2a = 2sin a cos a cos 2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a
3. Misalkan w = f(z) = z2 +3z. a. Tentukan u dan v dalam x dan y! b. Hitung nilai dari f pada z = 1 + 3i! c. Nyatakan u dan v secara umum dalam bentuk polar ! Penyelesaian : a) Misal z = x + yi → w = (x + yi)2 + 3(x + yi) = x2 – y2 + 2xyi + 3x + 3yi = (x2 + 3x – y2) + (2xy + 3y) i Jadi u = x2 + 3x – y2 dan v = 2xy + 3y b) f(z) = w = (x2 + 3x – y2) + (2xy + 3y) i f(1 + 3i) = (1 + 3 – 9)+ (2.1.3 + 3.3) I = -5 + 15i c) Misal z = r(cos + i sin ) f (r (cos + i sin )) = [ ( )] + 3 r (cos + i sin ) 2 2 2 = r (cos – sin + i 2 sin cos ) + 3 r cos + i 3 sin = r2 (cos2 – sin2 ) + 3 r cos + i r2sin 2 + i 3r sin = (r2 cos 2 + 3 r cos ) + (r2sin 2 + 3r sin ) i Jadi u = r2 cos 2 + 3 r cos
dan v = r2sin 2 + 3r sin
4. Jika f(z) = 2x2 + yi , Tentukan f(z) dalam bentuk z! Penyelesaian: Jika z = x + yi maka ̅ = x – yi Akibatnya : z + ̅ = 2x sehingga x = Dari x =
̅
dan y =
̅
̅
dan z - ̅ = 2yi sehingga y = ̅ 2
diperoleh f(z) = 2(
̅
= 2( =
̅
) +(
̅
̅
̅
)i ̅
)+
+
̅
̅
15
=
(
̅
̅+
=
(
̅ +
̅)
̅) ̅
5. Diketahui f(z) = x + yi + a. Nyatakan f(z) dalam bentuk z b. Tentukan nilai u dan v c. Tentukan nilan f(1 + 2i) Penyelesaian : ̅
a) Misal z = x + yi maka x = f(z) = x + yi +
̅
=
b) f(z) = w = x + yi + Jadi u = x +
̅
dan y = ̅
+i(
̅
̅
-
dan v =
6. Jika w = f(z) =
)
=z+
+ yi = (x +
)–(
- y) i
-y
→ f(1 + 2i) = 1 + 2i +
c) f(z) = z +
̅
(
)+
= x+
sehingga
= 1 + 2i +
=
=
+ i
, Tentukan :
a. f(0) , f(i) , f(1 + i) b. Nilai z, sehingga f(z) = i c. Nilai z, sehingga f(z) = 2 – 3i Penyelesaian: a. f(0) = f(i) = f(1+i) =
= =
= -2 (
)
=
x x
(
)
(
)
=
(
=
b. Misal z = x + yi maka f(z) =
)
=
=
= i = – 2i
=i→
= 2xi – 2y –i
→ (2+x) + yi = -2y + (2x -1)i → 2y + x = -2 y - 2x = -1 5x = 0 → x = 0, y = -1 Jadi z = -i c. Misal z = x + yi maka f(z) = → (2+x) + yi = (4x+6y-2) + (4y-3) i
= 2 -3i →
= 4x-6i+4yi+6y-2+3i
16
→ 2 + x = 4x + 6y – 2 dan y = 4y – 3 → 3x + 6y = 4 3y = 3 = -2 → x = - y = 1 Jadi z = - + i
3x
BAB III LIMIT FUNGSI
C. Pengertian Limit Fungsi Limit fungsi menggambarkan seberapa jauh nilai sebuah fungsi akan berkembang apabila variabel di dalam fungsi tersebut terus menerus berkembang mendekati suatu titik tertentu. Jika f(x) mendekati L ketika variabel x mendekati a (a dan L adalah suatu konstanta), maka L disebut limit dari nilai fungsi f pada x untuk x mendekati a Limit merupakan salah satu pengetahuan dasar untuk memahami integral dan diferensial. Limit dapat digunakan untuk menjelaskan pengaruh variabel fungsi yang bergerak mendekati suatu titik terhadap fungsi tersebut. D. Pengertian Limit Fungsi Kompleks Jika diberikan suatu fungsi f yang terdefinisi pada daerah S ⊂ C dan z0∈ S’⊂ C, maka: ( )
a. 0 <|z -
terdapat
sehingga jika
|< berlaku| f(z) – L| < ( )
b.
Jika dan hanya jika untuk setiap
Jika dan hanya jika untuk setiap Lingkungan N(L, ) terdapat
Lingkungan terhapus N*(z0, ) sehingga jika z ∈ {N*(z0, ) S} berlaku f(z) ∈ N(L, ) Contoh 1: Hitunglah Jawab : Contoh 2:
=
(
)(
Buktikan bahwa:
)
(
) = 2i =5
Penyelesaian : Bukti Misal ditentukan > 0, akan dicari > 0 sedemikian sehingga: jika 0 <|z - 2|< berlaku|
– 5| < , untuk z ≠ 2
Dari persamaan kanan diperoleh: |
(
– 5|< ↔ |
)(
)
– 5|<
17
↔ |2z + 1 – 5|< ↔ |2(z – 2)|< ↔ |z – 2|< Dari hal tersebut di atas menunjukkan bahwa
telah diperoleh yaitu
=
Jadi jika diberikan > 0, maka terdapat = > 0 sehingga z ≠ 2 Jika 0<|z - 2|< =
– 5| <
berlaku|
Terbukti bahwa
=5
Contoh 3:Diketahui
=
,
= 0,1
Tentukan
Penyelesaian: akan dicari >0 sedemikian sehingga jika 0 <| Dari bagian kanan diperoleh |
|< ↔ │
(
| ||
maka |
)
│<
|
<
↔| Berarti
|<
|< 2
= 2 = 2 . 0,1 = 0,2
Contoh 4:Misalkan f(z) =
, | |< 1 , buktikan
( )=
Penyelesaian: Misal ditentukan > 0, akan dicari > 0 sedemikian sehingga: jika 0 <|z - 1|< berlaku| – | < , Dari persamaan kanan diperoleh: | – |< ↔ │ | ||
(
)
│<
|
<
↔| Dari hal tersebut di atas menunjukkan bahwa
|< 2
telah diperoleh yaitu = 2
Jadi jika diberikan > 0, maka terdapat = 2 > 0 sehingga Jika 0<|z - 1|< = 2 Terbukti bahwa
berlaku| – |< ( )=
Contoh 5:Jika f(z) = 3z2 + 2z , Tentukan Penyelesaian:
( )
(
)
|<
18 ( )
(
)
(
=
)+2 = (
)+2 =6
Contoh 6:Misalkan f(z) = E.
(
=
)
(
)
(
=
)+2
+2
( ) tidak ada.
, buktikan ̅
)(
Teorema Limit Fungsi Kompleks: 1. Diberikan fungsi kompleks f dan g yang terdefinisi pada daerah S ⊂ C dengan z0∈ S’ ( )
Jika
( )
dan
a)
( ( )
( )) = L + M
b)
( ( )
( )) = L-M
c)
( ( )
d)
(
( ) ( )
,
maka
( )) = L.M
) =
e)
( ) = k.L , k ∈ C
f)
, k : konstanta
2. Diberikan f(z) = u(x,y) + v(x,y)i terdefinisi pada daerah S ⊂ C dengan z0 = (x + yi) ∈ S’ ( ) = A + Bi jika dan hanya jika
Maka: (
)
(
)
(
(
)
(
)
(
) = A dan
)=B atau
Misalkan z = x+yi dan f(z) = u + vi dengan domain S ⊂ C. Titik z0 = (x0, + y0 i) ∈ S’ ⊂ C Maka
( ) (
)
Contoh 7: Hitung
(
x0, + y0 i Jika dan hanya jika
)
0.
(
)(
)
Penyelesaian : dengan menggunakan teorema limit diperoleh : (
)(
)=
(
)
-
= (1+i)2 – 5(1 + i) + 10 = 1+2i -1 – 5 –5i +10 = 5 – 3i F. FUNGSI KONTINU
(
)
+
(
)
x0 dan
19
( ) = f (z0)
Suatu fungsi f dikatakan kontinu pada z0 jika Definisi tersebut mensyaratkan tiga hal, antara lain: ( ) ada
1) jika 2) f (z0) ada
( ) = f (z0)
3) jika
G. TURUNAN FUNGSI KOMPLEKS Jika diberikan fungsi f terdefinisi pada daerah S ⊂ C dan z0∈ S.makaturunan fungsi f pada z0 dapat didefinisikan dengan: ( )
f ‘( ) =
(
)
=
(
)
(
)
, berlaku jika limit tersebut ada.
Jika f(z) = k, untuk setiap z ⊂ C dengan k adalah suatu konstanta, maka f ‘(z) = 0 Jika f(z) = z, untuk setiap z ⊂ C , maka f ‘(z) = 0 Jika f(z) = zn untuk setiap z ⊂ C , maka f ‘(z) = n.zn-1 Contoh1: Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh ℂ Bukti : Ditinjau sebarang titik zoℂ f ' ( zo ) lim
z zo
lim
z zo
f ( z ) f ( zo ) z zo z 2 zo2 z zo
( z zo )( z zo ) z zo z zo
lim
2 zo
Karena zo sebarang maka f(z) = z2 terdefferensialdi seluruh ℂ
