MODUL 2 BILANGAN KOMPLEKS

Diktat Kuliah EL-121 Matematika Teknik I

MODUL 2 BILANGAN KOMPLEKS Satuan Acara Perkuliahan Modul 2 (Bilangan Kompleks) sebagai berikut. Petemuan ke4

Pokok/Sub PokokBahasan

TujuanPembelajaran

Bilangan Kompleks Pengantar Bilangan Kompleks

Mahasiswa diharapkan mampu:  memahami bilangan kompleks

Lambang Bilangan dan Bidang Kompleks



menggambarkan kurva pada bidang kompleks,

Formula Euler



menuliskan bilangan kompleks dalam bentuk polar/formula Euler,

Sekawan Kompleks



mengetahui bahwa setiap bilangan kompleks memiliki sekawan

Aljabar Kompleks



menentukan hasil penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks menentukan hasil kali dan hasil bagi bilangan kompleks dalam bentuk polar memecahkan persamaan kompleks

 

5

Bilangan Kompleks Pangkat dan Akar Bilangan Kompleks

Mahasiswa diharapkan mampu:  menentukan hasil pemangkatan bilangan kompleks  menentukan akar-akar dari bilangan kompleks

Fungsi eksponen dan Trgonometri

  

Aplikasi dalam Rangkaian Listrik AC

Aip Saripudin



mengetahui bentuk eksponen dari sinus dan cosinus menentukan nilai sinus dan cosinus dari bilangan kompleks menggunakan bentuk sinus dan cosinus untuk menghitung integral trigonometri mengunakan konsep bilangan kompleks untuk menganalisis rangkaian listrik AC RLC seri

Bab 2 Bilangan Kompleks - 20


2.1 Pengantar Tinjau kembali persamaan kuadrat dalam aljabar, yakni

az 2 bz c 0 . Nilaiz yang memenuhipersamaan di atasdapatdicarimenggunakanrumusabc:

b2 2a

b

z

4ac

.

Permasalahan muncul ketika diskriminan, D b 2 4ac 0 (negatif), karena bilangan negatif tidak memiliki akar. Untuk mengatasi hal tersebut, diperkenalkan bilangan imajiner, yakni

j dengan pemahaman bahwa j 2

1

1 . Selanjutnya 4

2j,

2

j3

j 2,

j

adalah bilangan-bilangan imajiner. Akan tetapi,

j2

2

1,

2

j 2 j 2

j4

2,

1

merupakan bilangan-bilangan real. Dengan diperkenalkannya bilangan imajiner ini, persamaan kuadrat yang diskriminannya negatif dapat memiliki akar yang merupakan kombinasi dari bilangan real dan bilangan imajiner. Sebagaicontoh, akar-akardaripersamaankuadrat

z2

2z 3 0

adalah

z

2

4 12 2

2

8

1

2

j 2

yang terdiri dari bilangan real, yakni 1, dan bilangan imajiner, yakni j 2 2 . Semua bilangan yang mencakup bilangan real, imajiner, dan kombinasi keduanya disebut bilangan kompleks.

LATIHAN 2.1 Tentukan nilai x dari persamaan berikut. 1. 2. 3.

x

16

x

x

Untuk n = bilangan bulat positif, tentukan nilai dari

2 2

4.

j 4n

5.

j 4n

8

1

4 0

Aip Saripudin



2.2 BilanganKompleks 2.2.1 LambangBilanganKompleks Bilangankompleks, secaraumum, memilikimemilikiduabagianbilangan, yaitubagianrealdanbagianimajiner.Bilangankompleksdilambangkanolehz danditulissebagaiberikut.

z

x

jy

dengan x = Re z = bagianrealdari z, dan y = Imz = bagianimajinerdari z. Sebagaicontoh, z = 2 + j5 (atauz = 2 + 5j) memiliki Re z = 2 Imz = 5 Perhatikan bahwa bagian imajiner dari bilangan kompleks adalah bilangan real, bukan imajiner. Pada contoh di atas, bagian imajiner dari z adalah 5 (bukanj5 atau 5j). Bagianrealdanbagianimajinerbolehsaja nol. Sebagaicontoh, z = 0+ 2j = 2jatauz = 2 + 0j = 2. Jikax = 0, makaz = jydandisebutimajinermurni.

2.2.2 Bidang Kompleks. Bentuk Polar Bilangan Kompleks Bilangankompleksselalumerupakanpasanganduabilanganreal, yaituxdany. Olehkarenaitu,bilangankompleksdapatdigambarkandalambidangkompleks, yaknibidanginiyang samadenganbidangkartesius, hanyasajasumbuvertikalnyamerupakanbagianimajinerdansumbuhorisontalnyamerupakanbagianrea l, sepertidiperlihatkanpadaGambar 2.1. Berdasarkan hal tersebut, bilangan kompleks dapat ditulis sebagai z=(x,y) yang maknanya sama dengan z = x + jy. y

(x, y)

|z|

x

Gambar 2.1 Bidang kompleks.

Jarak antara titik (x, y) dan titik asal (0,0) disebut modulus atau nilai mutlak dari z, ditulis

|z|

x2

y2 .

Sudut dari z disebut fase atau argumen dari z dan memenuhi

arctan

y . x

Dari Gambar 2.1,x dan y masing-masing memenuhi

x | z | cos

dan

y | z | sin

jy | z | cos

j | z | sin

| z | (cos

sehinggadiperoleh

z

Aip Saripudin

x

j sin )



Ungkapan

z | z | (cos

j sin )

disebut bentuk polar dari bilangan kompleks.

2.2.3 Formula Euler Untuk bilangan real (dinyatakan dalam radian), bentuk deret Maclaurin dari sin (lihat Bab 1) sebagai berikut.

sin cos

1

3

5

7

3!

5!

7!

2

4

6

2!

4!

6!

x2 2!

x3 3!

x4 ... , 4!

dan cos

... ...

Selanjutnya dari representasi deretex, yakni

ex

1 x

ej

1 j

jikaxdigantiolehj , diperoleh

2

j

2! 2

1

4

3!

4!

...

j

4

2!

cos

3

4!

... 3

5

3!

5!

...

j sin

Dengan demikian, bentuk polar bilangan kompleks, z | z | (cos

j sin ) , dapat ditulis sebagai

z | z|ej atau sering disingkat dalam bentuk

z |z|

.

Jadi, secara keseluruhan, lambang bilangan kompleks dapat ditulis

z

x

j sin ) | z | e j

jy | z | (cos

|z|

.

2.2.4 SekawanKompleks Sekawan kompleks dari z ditulis z atau z*. Sekawan kompleks diperoleh dengan mengubah tanda pada bagian imajiner dari z = x + jy, yakni menjadi

z

x

jy .

Dalambentuk polar ditulis,

z | z | (cos

Aip Saripudin

j sin ) | z | e

j

|z|

.



Tulis z

CONTOH 1

1 i dalam bentuk polar. Tentukan pula Sekawan kompleks dari z.

Penyelesaian

1 i diperoleh x = –1 dan y = –1 maka modulus dari z

Dari z

|z|

x2

y2

( 1) 2 ( 1) 2

2

danfasenya

tan

1

y x

1 1

1

tan

5 4

2n

dengan n bilangan bulat. Sudut bilangan kompleks harus berada pada kuadran yang sama dengan keberadaan titik bilangan. Pada kasus ini, titik (x, y) = ( –1, –1 ) berada di kuadran III dan sudut yang memenuhi adalah

5 atau 4

3 . Dengan demikian, bentuk polar dari z 4

1 i (dapat

ditulis dalam 4 cara) sebagai berikut.

5 4

z

2 cos

z

2 cos 225 o

5 4

z

2e

j sin 225 o

z

2 225 o .

j sin

Selanjutnya, Sekawan kompleks dari z

5 4

z

2 cos

z

2 cos 225 o

1 i adalah z

j5

4

1 i atau dalam bentuk polar,

5 4

z

2e

j sin 225 o

z

2

j sin

j5

4

225 o

LATIHAN 2.2 Nyatakan bilangan kompleks pada Soal 1 – 5 berikut ke dalam bentuk z | z | e j atau . Tentukan pula Sekawan z |z| kompleksnya. 1.

z 1 j

2.

z

2

3.

z 1

j 3

4.

z

5.

z 1

4j

Aip Saripudin

j

NyatakanSoal 6 – 10 berikut ke dalam bentuk z = x + jy. 6.

z

7.

z

8.

z

9.

z e

10. z

2 cos

3 cos 3e

j

j sin

4

6

4

j sin

6

2

j2

2 150 o



2.3 AljabarKompleks 2.3.1 Penjumlahan,Pengurangan, danPerkalian Penjumlahan, pengurangan, dan perkalian bilangan kompleks mengikuti aturan aljabar biasa.

Jika z1

CONTOH 1

2 5 j dan z 2

5

j , tentukan z1

z 2 , z1

z 2 , dan z1 z 2 .

Penyelesaian

z1

z2

(2 5 j ) (5

j ) (2 5) (5 j

j) 7 4 j

z1

z2

(2 5 j ) (5

j ) (2 5) (5 j

j)

z1 z 2

(2 5 j ) (5

3 6j

j ) 2 5 2 ( j ) 5 j 5 5 j ( j ) 10 2 j 25 j 5 15 23 j

Jikaz = 2 + j, tentukanz2.

CONTOH 2 Penyelesaian

z2

(2

j) 2

4 2j

Jika z 3 4 j , tentukan yang dapat diperoleh?

CONTOH 3

j2

4 2j 1 3 2j

zz . Bandingkan hasilnya dengan |z|. Apa simpulan

Penyelesaian Sekawan kompleks dari z

zz

3 4 j adalah z

(3 4 j) (3 4 j )

3 4 j maka

9 16 j 2

9 16

25

5.

Selanjutnya,

|z| Simpulannya adalah | z |

32

42

9 16

25

5.

zz .

2.3.2 HasilBagi; PenyederhanaankedalamBentukz = x + jy Hasilbagibilangankompleksdapatdisederhanakankedalambentukz = jydengancaramengalikanpembilangdanpenyebutdenganSekawankomplekspenyebut.

Sederhanakanbentukberikut: z

CONTOH 4

x

+

2 i . 4 3i

Penyelesaian Kalikan pembilang dan penyebut dengan Sekawan kompleks penyebut maka

z

Aip Saripudin

2 j 4 3j

4 3j 4 3j

8 10 j 3 j 2 16 9 j 2

8 10 j 3 16 9

5 10 j 25

1 5

2 j 5



2.3.3 Perkalian dan Pembagian dalam Bentuk Polar Jika z1 | z1 | e

j 1

dan z 2 | z 2 | e

j 2

maka

z1 z 2 | z1 | e j 1 | z 2 | e j

2

| z1 || z 2 | e j ( 1

2)

dan

z1 z2

i

Diketahui z1

CONTOH 5

| z1 | e j 1 | z2 | e j 2

| z1 | j ( 1 e | z2 |

2)

.

j

4e 4 . Tentukan z1 z 2 dan z1 / z 2 .

2e 2 dan z 2

Penyelesaian Akan lebih mudah jika sudutnya dinyatakan dalam derajat. Dalam hal ini

4

45 o dan

2

90 o

maka o

o

2e j 90 4e j 45

z1 z2

o

2e j 90

z1 z2

4e

1 j ( 90o e 2

j 45o

o

8e j (90 45o )

45o )

o

8e j135

1 j 45o e 2

8e

j3

4

1 j4 e 2

atau bisa juga ditulis sebagai berikut.

(2 90 o )(4 45 o ) 8 135 o

z1 z 2

dan

z1 z2

2 90 o 4 45 o

1 45 o . 2

2.3.4 PersamaanKompleks Dua bilangan kompleks dikatakan sama jika dan hanya jika bagian real dan bagian imajiner dari kedua bilangan tersebut sama.

Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan ( x

CONTOH 6

jy ) 2

2j .

Penyelesaian

(x

jy ) 2

x2

y2

j 2 xy maka persamaan di atas dapat ditulis menjadi x2

y2

j 2 xy

2j.

Dari persamaan ini diperoleh 2 (1) x

(2)

j 2 xy

y2

0

2j

y x atau y

x

xy 1

Masukkan hasil (1) ke (2), diperoleh

x2

Aip Saripudin

1

atau

x2

1



sehinggapersamaan x 2

Akan tetapi, xdanyadalahbilanganreal (bukanimajiner) tidakmemenuhisyarat.Dengan demikian, diperoleh

x2

1

y

x 1 dan y

x 1 dan x

1

1

dan

x

Jadi, solusi persamaan ( x

1 jy ) 2

2 j adalah x

y 1 atau x

y

1

LATIHAN 2.3 Untuk Soal 1 – 5, diberikan z1

z2

3 4 j dan

6.

8 6j.

Tentukan operasi bilangan kompleks berikut. Nyatakan hasilnya dalam bentuk polar z = |z|ej . 1.

z1

z2

2.

z1

z2

3.

z1 z 2

4.

z1 z2

5.

z1 z1

1 1

j

7.

5 2j 2 2j

8.

3 2

j j

Tentukan x dan y yang memenuhi persamaan kompleks pada Soal 9 – 10 berikut. 9.

j 2x 3

10. ( x

y

jy ) 2

j j2x

Sederhanakan bentuk pada Soal 6–8 ke dalam bentuk z = x + jy.

2.4 PangkatdanAkarBilanganKompleks Dengan menggunakan aturan untuk perkalian dan pembagian bilangan kompleks dalam bentuk polar, diperoleh

zn

| z|ej

n

| z | n e jn

| z | n cos n

j sin n

dan

z1/ n

| z|ej

1/ n

| z |1 / n e j

/n

| z |1 / n cos

n

j sin

n

dengan n = bilangan bulat.

Aip Saripudin



j )4 .

Tentukan (1

CONTOH 1 Penyelesaian Ambil z

bilangan bulat

z 1

12 ( 1) 2

1 j maka | z |

j

j

j )4

CONTOH 2

1 1

1

4

2n dengan n =

(titik zdi kuadran IV bidang kompleks). Ambil

2e

(1

tan

2 dan

4

4

maka

. Dengan demikian,

z4

2e

j4 4

j

4e

4 cos

j sin

4( 1 0)

4.

j )1 / 3 .

Tentukan (1

Penyelesaian Ambil z

12 12

1 j maka | z | j

sehingga z

1

j

2e

4

arctan

2 dan

1 1

2k

4

(k = 0, 1, 2, …)

2k

(1 j )1 / 3

. Dengan demikian,

z1/ 3

2e

j

1/ 3

2k

4

6

2e

j

12

2k 3

.

Untuk k = 0,

(1 j )1 / 3

6

2e

(1 j )1/ 3

6

2e

(1 j )1/ 3

6

2e

j

12

.

Untuk k = 1, j 3

4

.

Untuk k = 2, j 17

12

.

Untuk k = 3, 4, 5, … merupakan pengulangan kembali dari k = 0, 1, 2. Dengan demikian, akar pangkat 3 dari (1 + j) ada 3, yaitu

(1 j )1 / 3

6

2e

j

12

,

6

2e

j 3

4

,

6

2e

j 17

12

.

Catatan: z1/ n memiliki n akar kompleks.

Aip Saripudin



CONTOH 3

Tentukan nilai-nilai dari

4

64 .

Penyelesaian Nilai dari

4

tan

dan

64 ada 4 (karena n = 4). Ambil z

0 64

1

64

64

j 0 maka | z |

(k = 0, 1, 2, …). Ambil 4 nilai , yaitu

2k

( 64) 2

64

, 3 , 5 , 7 .

Dengan demikian, diperoleh 4

z1 / 4

64

1/ 4

64e j

2 2e

j

4

j

2 2e 4 , 2 2e

j3

4

, 2 2e

j5

4

, 2 2e

j7

4

.

LATIHAN 2.4 Tentukan akar-akar berikut. 1.

3

1

2.

4

16

3.

3

4.

5

5.

3

j 2 2j

8

2.5 FungsiEksponendanTrigonometri Telahdiperolehbahwa

ej

cos

j sin

dan

e

j

cos

j sin

Jikakeduapersamaan di atasdiselisihkandandijumlahkan, masing-masinghasilnyasebagaiberikut.

ej

e

j

(cos

j sin ) (cos

j sin )

2 j sin

ej

e

j

(cos

j sin ) (cos

j sin )

2 cos

Dari keduapersamaanterakhirdiperoleh

sin

ej

e 2j

j

e jz

e 2j

jz

dan

cos

dan

cos z

ej

e 2

j

e jz

e 2

jz

Jika digantioleh z, diperoleh

sin z

CONTOH 1

Aip Saripudin

Tentukan sin j .



Penyelesaian

sin j

ej j

e 2j

j j

e

1

e1

j j

2j

1 je 2

1 e

1,1752 j

2 Gunakanbentukeksponendaricosinusuntukmenghitung cos 3 xdx .

CONTOH 2 Penyelesaian

e j3x

Dalam bentuk eksponen: cos 3x

2

cos 3x

e j3x

e 2

j3x

e 2

j3x

2

e j6x

maka

e j6x 4

2

sehingga

cos2 3xdx

1 4

e j6x

1 4

1 j6 e j6

1 4

1 j6

e

j6x

1 e j6

1 j6

2

1 1 j6x e 4 j6

2 dx

j6

1 e j6

2

1 j6

1 j6

1 e j6 j

j6x

1 j6 e j6

2x

2

2

Catatan:

e j6 e

cos 6

j6

cos 6

j sin 6 j sin 6

1 0 1 1 0 1

LATIHAN 2.5 Nyatakan berikut ini ke dalam bentuk z x jy . 1.

e j(

2.

cos j

3.

Buktikan bahwa sin 2 z cos 2 z

Nyatakan sinus dan kosinus dalam bentuk eksponen untuk menghitung integral berikut.

/ 4 ) ln 3

1.

4.

cos 2 x sin 2 xdx

5.

sin 2 4 xdx

2.6 Aplikasi dalam Rangkaian Listrik AC Aip Saripudin



Tinjau rangkaian listrik ac RLC seri pada Gambar 2.2berikut. R

L

C

Gambar 2.2Rangkaian AC RLC Seri Jika arus yang mengalir dalam rangkaian adalah i, tegangan pada tiap komponen sebagai berikut.

vR

Ri ,

vL

L

di , dt

1 idt . C

vC

Tegangan totalnya memenuhi

v vR

vL

vC .

Sejauh ini, arus bolak-balik dinyatakan oleh i I 0 sin t . Jika persamaan arus seperti ini digunakan untuk menghitung tegangan total, akan cukup rumit dan memerlukan waktu lama. Dalam analisis kompleks, arus bolak-balik dapat dinyatakan oleh

I 0e j t .

i

Dengan persamaan arus ini, tegangan pada komponen L dan C masing-masing

di dt

vL

L

vC

1 idt C

j LI 0 e j

t

j Li

1 I 0 e j t dt C

1 I 0e j j C

t

j

1 i. C

Dengan demikian, diperoleh

v

vR

vL

vC

R

j

1 C

L

i.

Perbandingan antara v dan i disebut impedansi kompleks, diberi simbol Z, yakni

Z

v i

R

j

L

1 C

Besar impedansi sama dengan modulus kompleksnya, yakni

|Z|

Aip Saripudin

R

2

L

1 L

2

.



LATIHAN 2.6 Jika dua komponen yang impedansinya masing-masing Z1 dan Z2 dirangkai seri, impedansi totalnya adalah Z S Z1 Z 2 dan jika dirangkai paralel,

1 ZP

1 Z1

Z1

2 3 j dan Z 2

2.

Z2

20 3 30 o dan Z 2

Aip Saripudin

1 5j 20 120 o

Tegangan dan arus ac pada sebuah komponen masing-masing adalah

v

220 2 45o dan i 5

90 o .

Berapakah impedansi komponen?

1 . Z2

Tentukan ZS dan ZPpada Soal 1 – 2 jika diketahui 1.

3.

Soal 4 – 5 mengacu pada rangkaian ac RLC seri seperti Gambar 2.2. 4.

Cari dalam kaitannya dengan R, L, dan C jika sudut fasenya 45o.

5.

Pada keadaan resonansi, Z adalah real. Tentukan pada keadaan ini.


MODUL 2 BILANGAN KOMPLEKS

Recommend Documents