Modul 03 HIMPUNAN
I.
Cara Menyatakan Himpunan
¾ PENGERTIAN Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang keanggotaannya didefinisikan dengan jelas. Contoh: •
Himpunan siswi kelas III SMU 6 tahun 1999-2000 yang nilai IQ-nya diatas 120.
•
Himpunan bilangan-bilangan bulat diantara 10 dan 500 yang habis dibagi 7
¾ Cara Menyatakan Himpunan 1. Metode Roster (cara pendaftaran) yaitu dengan menuliskan semua anggota himpunan di dalam tanda kurung {...........} contoh: himpunan bilangan ganjil N = {1,3,5,7,9,.......} 2. Metode Rule (cara Pencirian) yaitu dengan menyebutkan syarat keanggotaannya contoh: N = {x½x adalah bilangan asli}
II. Istilah-istilah: 1. Elemen (Anggota)
notasi : ∈
setiap unsur yang terdapat dalam suatu himpunan disebut elemen/anggota himpunan itu. contoh: A ={a,b,c,d}
1
a ∈A (a adalah anggota himpunan A) e ∉ A (e bukan anggota himpunan A)
2. Himpunan kosong
notasi : φ atau {}
yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota contoh : A = { x | x² = -2; x riil} A=φ
3. Himpunan semesta
notasi : S
yaitu himpunan yang memuat seluruh objek yang dibicarakan contoh : K = {1,2,3} S = { x | x bilangan asli } atau S = { x | x bilangan cacah } atau S = { x | x bilangan positif } dsb.
III. Hubungan Antar Himpunan 1. Himpunan bagian
notasi : ⊂ atau ⊃
Himpunan A adalah himpunan bagian dari himpunan B, jika setiap anggota A adalah anggota B. Ditulis : A ⊂ Bf atau B ⊃ A
contoh: A={a,b}; B={a,b,c}; C={a,b,c,d} maka A ⊂ B ; A ⊂ C ; B ⊂ C
ketentuan : o
himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari sembarang
2
o
himpunan (φ ⊂ A )himpunan A adalah himpunan bagian dari
o
himpunan A sendiri ( A ⊂ A)jika anggota himpunan A ada sebanyak n, maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah HB = 2n
HB = 2n
contoh: jika A = {a,b,c} maka himpunan bagian dari A adalah : {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c} dan φ seluruhnya ada 2³ = 8 POWER SET 2s himpunan yang elemennya adalah himpunan-himpunan bagian dari S
contoh: S = {a,b,c} 2s = { {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}, φ }
2. Himpunan sama ttttttttttt
notasi : =
Dua himpunan A dan B adalah sama, jika setiap elemen A adalah elemen B, dan setiap elemen B adalah elemen A. Ditulis A = B
contoh: K = {x | x²-3x+2=0} L = {2,1} maka K = L
3. Himpunan lepas ttttttttttt
notasi : //
Dua himpunan A dan B disebut saling lepas, jika himpunan A tidak mempunyai
3
anggota persekutuan dengan himpunan B. Ditulis A // B
contoh: A = {a,b,c} B = {k,l,m} Maka A // B
IV. Operasi Pada Himpunan 1. Gabungan (union)
notasi : ∪
Gabungan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang menjadi anggota A atau menjadi anggota B. A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B } contoh: A = {1,2,3} B = {0,2,4} Maka A ∪ B = {0,1,2,3,4}
2. Irisan (intersection)
notasi : ∩
Irisan dari dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen persekutuan dari himpunan A dan B. A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B } contoh: A={1,2,3,4} B={3,4,5} maka A ∩ B = {3,4}
4
3. Selisih
notasi : -
Selisih antara dua himpunan A dan B adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota A yang bukan anggota B. A - B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } contoh: A = {1,2,3,4,5} B = {2,4,6,7,10} Maka A - B = {1,3,5}
notasi: A', Ac, A
4. Komplemen
Komplemen dari himpunan A adalah himpunan yang terdiri dari semua anggota himpunan S yang bukan anggota A. A' = { x | x ∈ S dan x ∉ A } contoh: S = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} A = {1,2,3,4,5} Maka A' = {6,7,8,9,10}
V. Sifat-sifat Himpunan 1. Komutatif
A ∩ B = B∩ A A∪ B = B ∪ A
2. Asosiatif
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
5
3. Distributif
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
____ 4. De Morgan
_
_
(A ∪ B)= A ∩ B ____
_
_
(A ∩ B)= A ∪ B
Jika n menyatakan banyaknya anggota himpunan, maka berlaku hubungan : 2 HIMPUNAN
3 HIMPUNAN ____
n(s) = n (A ∪ B) + n (A ∪ B)
________ n(S) = n (A ∪ B ∪ C) + (A ∪ B ∪ C)
di mana
di mana
n (A ∪ B) = n (A) + n (B) - n (A
n (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) - n
∩ B)
(A ∩ B) - n (A ∩ C) - n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C)
VI. Skema Bilangan 1. Himpunan bilangan asli Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif. N = {1,2,3,4,5,6,......} 2. Himpunan bilangan prima Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan-bilangan asli yang hanya
6
dapat dibagi dirinya sendiri dan satu, kecuali angka 1. P = {2,3,5,7,11,13,....} 3. Himpunan bilangan cacah Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya merupakan bilangan bulat positif digabung dengan nol. C = {0,1,2,3,4,5,6,....} 4. Himpunan bilangan bulat Himpunan bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang anggota-anggotanya seluruh bilangan bulat, baik negatif, nol, dan positif. B = {...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...} 5. Himpunan bilangan rasional Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang anggota-anggota nya merupakan bilangan yang dapat dinyatakan sebagai: p/q dimana p,q ∈ bulat dan q ≠ 0 atau dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. contoh: 0,-2, 2/7, 5, 2/11, dan lain lain 6. Himpunan bilangan irasional Himpunan bilangan irasional adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya tidak dapat dinyatakan sebagai sebagai p/q atau tidak dapat dinyatakan sebagai suatu desimal berulang. contoh: log 2, e, √7 7. Himpunan bilangan riil Himpunan bilangan riil adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan irasional. contoh: log 10, 5/8, -3, 0, 3
7
8. Himpunan bilangan imajiner Himpunan bilangan imajiner adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya merupakan i (satuan imajiner) dimana i merupakan lambang bilangan baru yang bersifat i² = -1 contoh: i, 4i, 5i 9. Himpunan bilangan kompleks Himpunan bilangan kompleks adalah himpunan bilangan yang anggotaanggotanya (a + bi) dimana a, b ∈ R, i² = -1, dengan a bagian riil dan b bagian imajiner. contoh: 2-3i, 8+2
Contoh Soal dan Pemecahanan: 1. Jika B adalah himpunan bilangan asli yang lebih kecil dari 20 dan habis dibagi 4 maka tulislah B dengan cara pencirian (RULE) dan cara pendaftaran (Roster) Jawab: Bilangan-bilangan tersebut adalah: 4, 8, 12, 16
2.
-
Rule: B= { x | x/x=4p, 1 ≤ 4, p ≤ 4, p bilangan asli}
-
Roster: B={4,8,12,16}
Jika A adalah himpunan bilangan ganjil antara 1 dan 12, maka tulislah A dalam cara Roster dan Rule! Jawab: Bilangan-bilangan tersebut adalah: 3,5,7,9,11 -
Rule: A={ x| x=2p+1, 1≤p≤5, p bilangan asli}
-
Roster: A={3,5,7,9,11}
8
3. P adalah himpunan semua bilangan genap yang lebih kecil dari 37 dan Q adalah himpunan bilangan semua pangkat 2 bilangan bulat genap, maka berapa P irisan Q atau P ∩ Q ? Jawab: P={….., -4, -2, 0, 2, 4, 6, ……, 34, 36} Q={ 0, 4, 16, 36} P ∩ Q = { 0, 4, 16, 36 } 4. Jika A={1, 2, 3, 4, 5, 6 } B= {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Maka berapa A – B dan B – A ? Jawab: A – B= { 1, 2, 3 } dan B – A = { 7, 8, 9, 10 }
==oo000oo==
9
