MODIFIKASI METODE INTERPOLASI KOSTAKI DALAM MENDUGA TABEL HAYAT LENGKAP BERDASARKAN TABEL HAYAT RINGKAS
ZULKARNAEN
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ABSTRAK ZULKARNAEN. Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas. Dibimbing oleh HADI SUMARNO dan NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Dalam menentukan besarnya klaim yang akan dibayar di kemudian hari, di bidang asuransi memerlukan informasi tentang peluang seseorang bertahan hidup menurut usia, sehingga memerlukan tabel hayat lengkap. Beberapa metode telah ditawarkan, di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, metode Brass Logit, model Heligman-Pollard (HP) dan metode Kostaki. Tujuan karya tulis ini adalah mencoba memodifikasi metode Kostaki yang nantinya akan dibandingkan dengan metode interpolasi yang lain. Pada metode modifikasi Kostaki tidak memerlukan data standar dalam melakukan pendugaan terhadap tabel hayat lengkap, metode ini mengganti tabel hayat standar dengan interpolasi Lagrange 6 titik dan model HP. Pada karya tulis ini diberikan dua alternatif model HP, yang masing-masing modelnya telah disederhanakan agar lebih mudah dalam melakukan pendugaan nilai-nilai parameternya. Dengan demikian direkomendasikan tiga tambahan metode untuk dibandingkan dengan metode interpolasi yang lain. Nilai kriteria uji yang digunakan dalam membandingkan metode-metode tersebut adalah rataan galat mutlak (MAE) dan koefisien determinasi (R2). Data yang digunakan adalah tabel hayat Amerika Serikat 2002 dan 2007 yang diperoleh dari Human Mortality Database (www.mortality.org). Data tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 digunakan sebagai data standar. Tahap pertama yang dilakukan adalah mengkaji masing-masing metode interpolasi tabel hayat ringkas. Selanjutnya menyusun tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 berdasarkan tabel hayat ringkas 2007 dengan menggunakan masing-masing metode tersebut. Setelah itu membandingkan hasil yang diperoleh berdasarkan masing-masing metode dengan tabel hayat lengkap 2007 yang asli. Untuk menguji kesesuaian data asli dengan data berdasarkan metode dilakukan uji kriteria MAE dan R2. Berdasarkan hasil penelitian, diperoleh tiga metode interpolasi terbaik yang direkomendasikan untuk digunakan, yakni metode Kostaki, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, dan ElandtJohnson. Di antara ketiga metode tersebut hanya Kostaki yang memerlukan data standar. Oleh karena itu, direkomendasikan menggunakan metode Elandt-Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange. Di antara metode Elandt-Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange, metode Elandt-Johnson yang paling direkomendasikan untuk digunakan, karena metode ElandtJohnson lebih sederhana dalam penggunaannya.
ABSTRACT ZULKARNAEN. Modification of the Kostaki Interpolation Method in Estimating Complete Life Table Based on Abridged Life Table. Supervised by HADI SUMARNO and NGAKAN KOMANG KUTHA ARDANA. Information about a person's chances of survival according to age is needed to predict the amount of claims to be paid by an insurance company in the future. This requires a complete life table. Several methods are available to estimate a complete life table, among others there are Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, and Kostaki methods. The purpose of this paper is to modify the Kostaki method, which then will be compared to the other interpolation methods. This method does not require a standard data in making estimation of a complete life table. Standard data are replaced by results of interpolated probability of dying on the abridged life table. The method of interpolation is a six-point Lagrangian interpolation and Heligman-Pollard (HP) method. This paper provides two alternative models of HP method. Each model has been simplified to make it easier to estimate the values of its parameters. The data are derived from the USA life tables of 2002 and 2007, which are obtained from the Human Mortality Database. The complete USA life table of 2002 is used as the standard data. The first step is to examine each of the interpolation method of abridged life table. Furthermore, a complete USA life table of 2007 is developed based on USA abridged life table 2007 using each of the methods. The last step is comparing the results obtained by each method with the empirical complete USA life table of 2007. Mean absolute error and coefficient of determination are used to test the suitability of the empirical data with the estimated data based on the methods. The results of this research recommend three best interpolation methods, namely Kostaki, modified Kostaki with Lagrangian interpolation, and Elandt-Johnson methods. Among these methods, only Kostaki method requires standard data of complete life table. Therefore, ElandtJohnson method and modified Kostaki are recommended to be used. Between these methods, Elandt-Johnson is the most recommended, because it is simpler to apply.
MODIFIKASI METODE INTERPOLASI KOSTAKI DALAM MENDUGA TABEL HAYAT LENGKAP BERDASARKAN TABEL HAYAT RINGKAS
ZULKARNAEN
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Judul : Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas Nama : Zulkarnaen NIM
: G54061920
Menyetujui, Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S. NIP 19590926 198501 1 001
Ir. N. K. Kutha Ardana, M.Sc. NIP 19640823 198903 1 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, M.S. NIP 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus : ………………………………………..
PRAKATA Puji syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat dan nikmat sehat jasmani maupun rohani sehingga penulis mampu menyelesaikan karya ilmiah ini yang berjudul “Modifikasi Metode Interpolasi Kostaki dalam Menduga Tabel Hayat Lengkap Berdasarkan Tabel Hayat Ringkas”. Berbagai permasalahan yang muncul selama penyusunan karya ilmiah ini. Namun berkat bantuan dari semua pihak, penulis akhirnya mampu menyelesaikan semua permasalahan yang ada. Dengan segala kerendahan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Bapak Dr. Ir. Hadi Sumarno, M.S selaku pembimbing 1 yang selalu sabar mendidik, membimbing, memberikan ilmu sehingga penulis bisa menyelesaikan tugas akhir ini. 2. Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc selaku pembimbing 2 yang telah memberikan bimbingan dan motivasi dengan penuh kesabaran kepada penulis. 3. Ibu Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S yang bersedia menjadi penguji, dan telah memberikan banyak masukan. 4. Semua dosen Departemen Matematika, terima kasih atas semua ilmu yang sudah diberikan selama saya menyelesaikan studi. 5. Mas Yono, Mas Bono, Mas Deni, Mas Heri, Bu Susi dan Bu Ade, terima kasih atas kemudahan administrasi, dukungan dan doanya. 6. Pemerintah Daerah Kabupaten Kutai Kartanegara yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh studi di Institut Pertanian Bogor. 7. Ayah, Ibu, Kakak dan Adik serta seluruh keluarga yang memberikan segala pengorbanan, dukungan dan motivasi selama penulis menyelesaikan studi. 8. Teman-teman mahasiswa angkatan 43: Arif, Andrew, Albrian, Dandi, Desi, Faizul, Fardan, Irsyad, Kuntoaji, Razon, Sunarsih, Sukarso, Tubagus, Yulfi dan teman-teman lainnya atas segenap dukungannya selama penulis menempuh studi di Departemen Matematika IPB. 9. Kakak-kakak mahasiswa matematika angkatan 41 dan 42 serta adik-adik mahasiswa matematika angkatan 44, 45 dan 46 yang tidak bisa disebutkan satu per satu. 10. Keluarga besar FM BUD KUKAR atas dukungan, motivasi serta doanya. 11. Semua teman-teman Pondok D’QAQA atas dukungan, nasihat dan bantuan kepada penulis selama ini. Besar harapan penulis agar karya ilmiah ini dapat memberikan banyak manfaat bagi para pembacanya. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan karya ilmiah ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun sangat diharapkan dalam perbaikan atau kelanjutan karya ilmiah ini.
Bogor, Maret 2012
Zulkarnaen
RIWAYAT HIDUP Zulkarnaen lahir di Marangkayu Kabupaten Kutai Kartanegara Kalimantan timur pada tanggal 18 juni 1988 dari pasangan ayah Nazar Tahuka dan ibu Ida Ernia. Penulis merupakan anak ke tiga dari empat bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan di Sekolah Dasar Negeri 009 Marangkayu Kutai Kartanegara lulus pada tahun 2000, pendidikan lanjutan di Sekolah Menengah Pertama Negeri 1 Marangkayu Kutai Kartanegara lulus pada tahun 2003, dan pendidikan Sekolah Menengah Atas Negeri 1 Marangkayu Kutai Kartanegara lulus pada tahun 2006. Pada tahun yang sama penulis melanjutkan pendidikan sarjana jurusan Matematika di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah (BUD) Pemerintah Daerah Kutai Kartanegara.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL............................................................................................................ viii DAFTAR GRAFIK ............................................................................................................ ix DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................................... x I
PENDAHULUAN ........................................................................................................ 1
II
LANDASAN TEORI ................................................................................................................ 2 2.1. Tabel hayat ...............................................................................................................2 2.2. Fungsi dasar tabel hayat .............................................................................................2 2.3. Interpolasi Lagrange ..................................................................................................2 2.4. Model tak linear ........................................................................................................3 2.5. Regresi tak linear .......................................................................................................3 2.6. Metode Levenberg Marquardt .....................................................................................4 2.7. Uji kesuaian data .......................................................................................................4 2.8. Kurva bertahan hidup .................................................................................................4
III
METODE INTERPOLASI ....................................................................................................... 6 3.1. Metode Elandt-Johnson ..............................................................................................6 3.2. Metode Brass Logit ....................................................................................................6 3.3. Model Heligman-Pollard (HP) ....................................................................................6 3.4. Metode Kostaki .........................................................................................................7 3.5. Modifikasi Kostaki ....................................................................................................7 3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik ............................................................................7 3.5.2. Model Heligman-Pollard alternatif .................................................................7
1.1. Latar Belakang .................................................................................................................... 1 1.2. Permasalahan ............................................................................................................1 1.3. Tujuan ......................................................................................................................1
IV PEMBAHASAN ........................................................................................................................ 9 4.1. Metode Elandt-Johnson ..............................................................................................9 4.2. Metode Brass Logit .................................................................................................. 11 4.3. Model Heligman-Pollard (HP) .................................................................................. 13 4.4. Metode Kostaki ....................................................................................................... 14 4.5. Metode modifikasi Kostaki ....................................................................................... 15 4.5.1. Modifikasi Kostaki dengan Lagrange ........................................................... 16 4.5.2. Modifikasi Kostaki dengan HP 1 .................................................................. 17 4.5.3. Modifikasi Kostaki dengan HP 2 .................................................................. 18 4.6. Perbandingan antar metode ....................................................................................... 19 V
KESIMPULAN ........................................................................................................................ 22
DAFTAR PUSTAKA ..................................................................................................................... 23 LAMPIRAN .................................................................................................................................... 24
vii
DAFTAR TABEL 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
Halaman
Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝐶 𝑙𝑥 dengan (2 ≤ 𝑥 ≤ 9) .................. 10 Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung 𝐶 𝑙𝑥 dengan (11 ≤ 𝑥 ≤ 74) ......................................... 10 Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard ........................................................... 14 Tabel 4.4 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑛𝑞𝑥 (I) dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 10 ............. 16 Tabel 4.5 Nilai parameter model (3.16), (3.17), (3.18) ............................................................ 17 Tabel 4.6 Nilai parameter model (3.19), (3.20), (3.21) ............................................................ 18 Tabel 4.7 Urutan nilai kriteria uji terbaik untuk 𝑙𝑥 pada masing-masing metode .................... 20
viii
DAFTAR GRAFIK Halaman 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup ............................................................................................. 5 Gambar 4.1 Plot 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap dan 𝑙𝑥 tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 ....... 9 Gambar 4.2 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Elandt-Johnson .......... 11 Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit ...................................................... 12 Gambar 4.4 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit ................. 13 Gambar 4.5 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan model Heligman-Pollard ......... 14 Gambar 4.6 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Kostaki ....................... 15 Gambar 4.7 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange ...................................................................................................................... 17 9. Gambar 4.8 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 .................................................................................................................. 18 10. Gambar 4.9 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2 .................................................................................................................. 19 11. Gambar 4.10 Perbandingan metode interpolasi 𝑙𝑥 tabel hayat ringkas .................................... 21
ix
DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.
Lampiran 1 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 .......................................................... 25 Lampiran 2 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 ........................................................... 28 Lampiran 3 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 ..................................................... 29 Lampiran 4 Nilai 𝑙𝑥 untuk masing-masing metode yang digunakan .................................... 32 Lampiran 5 Proses perhitungan persamaan (4.1) dan persamaan (4.2) .................................... 35 Lampiran 6 Program mencari parameter metode Brass Logit dengan software Mathematica 7.0 ............................................................................................................................................ 36 Lampiran 7 Program pendugaan parameter Heligman-Pollard dengan software Mathematica 7.0 ............................................................................................................................................ 37 Lampiran 8 Perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 pada metode Kostaki ........................................ 39 Lampiran 9 Nilai koefisien untuk menghitung 𝑛𝑞𝑥 (I) dengan metode modifikasi Kostaki Lagrange ................................................................................................................................. 40 Lampiran 10 Perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange .................................................................................................................................. 41 Lampiran 11 Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) berdasarkan model HP 1 ................................................................. 42 Lampiran 12 Perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 ......................................................................................................................................... 43 Lampiran 13 Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) berdasarkan model HP 2 ................................................................. 44 Lampiran 14 Perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2.............................................................................................................................. 45 Lampiran 15 Langkah yang dilakukan dalam melakukan pendugaan parameter model HP alternatif. .................................................................................................................................. 46
x
I PENDAHULUAN 1.1. Latar belakang Dalam rangka perencanaan pembangunan segala bidang di suatu negara, diperlukan informasi mengenai keadaan jumlah penduduk, persebaran penduduk, dan susunan penduduk menurut usia. Informasi yang harus tersedia tidak hanya menyangkut keadaan pada saat perencanaan disusun, tetapi juga informasi masa lalu dan untuk masa yang akan datang. Proyeksi penduduk adalah perhitungan jumlah penduduk (menurut komposisi usia dan jenis kelamin) di masa yang akan datang berdasarkan asumsi arah perkembangan fertilitas, mortalitas dan migrasi. Pada proses proyeksi penduduk dibutuhkan tabel hayat yang digunakan sebagai alat analisis mortalitas. Adapun manfaat dari proyeksi penduduk adalah untuk perencanaan penyediaan beras, fasilitas kesehatan, fasilitas perumahan, dan fasilitas kesempatan kerja. Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal
atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval lima atau sepuluh tahun. Adapun manfaat dari tabel hayat antara lain adalah sebagai berikut: (i) untuk keperluan analisis mortalitas, (ii) sebagai salah satu komponen dalam perhitungan proyeksi penduduk, (iii) sebagai dasar penentuan premi di bidang asuransi jiwa, (iv) serta untuk mengetahui kemajuan yang diperoleh dari upaya pemeliharaan kesehatan masyarakat. 1.2. Permasalahan Pada kenyataannya kita sering menghadapi masalah mengenai pendataan. Misalkan, pada tabel hayat ringkas (lima tahunan) kita tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. 1.3. Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah: Melakukan interpolasi terhadap data tabel hayat ringkas. Membandingkan dan menentukan metode terbaik dalam menduga tabel hayat lengkap.
II LANDASAN TEORI 2.1. Tabel hayat Tabel hayat menggambarkan sejarah hidup kelompok penduduk yang dimulai dengan kelahiran pada waktu yang sama dan kemudian perlahan-lahan berkurang karena kematian hingga kelompok penduduk tersebut tak ada satu pun yang tertinggal. Tabel hayat berdasarkan penyusunannya diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Tabel hayat lengkap berisi data kematian penduduk yang disajikan dalam interval tahunan, sedangkan tabel hayat ringkas berisi data kematian penduduk yang dikelompokkan dalam interval usia 5 tahun atau 10 tahun. Alasan utama tabel hayat ringkas lebih sering digunakan karena data kematian penduduk yang tersedia tidak lengkap, selain itu tabel hayat ringkas sangat praktis digunakan. (Siegel & Swanson 2004)
2) 𝑙𝑥 : jumlah orang-orang yang hidup pada usia 𝑥 (dimulai pada interval 𝑥 sampai 𝑥 + 𝑛) dari jumlah total kelahiran menurut “radix tabel hayat”. Kolom ini dimulai dengan 𝑙0 yang biasanya bernilai 100.000. 3) 𝑚𝑥 : tingkat kematian penduduk usia 𝑥
4)
5)
𝑚𝑥 =
𝑑𝑥 𝐿𝑥
(2.1)
𝑛𝑞𝑥 : peluang seorang akan meninggal sebelum mencapai usia 𝑥 + 𝑛, untuk penduduk yang berusia 𝑥. 𝑛 𝑞𝑥
=
𝑛𝑑𝑥
𝑙𝑥
=
𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛 𝑙𝑥
(2.2)
𝑛𝑑𝑥 : jumlah kematian dari orang-orang 𝑙𝑥 selama periode tahun 𝑛 . R
Asumsi – asumsi dalam tabel hayat: Kohort adalah sekelompok orang yang mempunyai pengalaman waktu yang sama dari suatu peristiwa tertentu (dalam hal ini lahir pada tahun yang sama). Kohort hanya berkurang berangsurangsur karena kematian. Migrasi dianggap tidak ada, perubahan jumlah kelompok (kohort) hanya dipengaruhi oleh kematian. Kematian penduduk mengikuti pola tertentu yang tetap menurut usia. Besaran kohort adalah jumlah tetap dari jumlah kelahiran menurut jenis kelamin seperti 1.000; 10.000; atau 100.000 yang disebut dengan “radix tabel hayat” sehingga menyediakan perbandingan antara tabel-tabel yang berbeda. (Wirosuhardjo et al. 1985) 2.2. Fungsi dasar tabel hayat Fungsi dasar tabel hayat adalah menerangkan riwayat suatu kelompok (kohort) penduduk yang biasanya disebut radix. Pada kasus ini diberikan fungsi dasar tabel hayat dalam bentuk diskret yakni sebagai berikut: 1) 𝑥 : berarti usia 𝑥, dalam tabel hayat lengkap, kolom ini berisi 𝑥 = 0,1,2, … 𝛾, dengan 𝛾 adalah usia tertua.
6)
𝑛𝑑𝑥
= 𝑙𝑥 − 𝑙𝑥+𝑛
𝑛𝐿𝑥
= 𝑙𝑥 −
(2.3)
𝑛𝐿𝑥 : lamanya waktu yang dijalani oleh sejumlah orang 𝑙𝑥 , dalam interval usia 𝑥 sampai 𝑥 + 𝑛.
𝑛 𝑛 𝑛𝑑𝑥 = (𝑙𝑥 + 𝑙𝑥+𝑛 ) 2 2
(2.4)
7) 𝑇𝑥 : lamanya waktu hidup yang dijalani setelah mencapai usia 𝑥. 𝛾
𝑇𝑥 = � 𝐿𝑥 𝑥
(2.5)
8) 𝑒 0 𝑥 : tingkat harapan hidup pada usia 𝑥. Ini adalah rata-rata tahun hidup yang masih akan dijalani oleh seseorang. R
𝑒 0𝑥 =
𝑇𝑥 𝑙𝑥
(2.6)
Catatan: Dalam tabel hayat lengkap 𝑛 = 1, sedangkan dalam tabel hayat ringkas biasanya menggunakan 𝑛 = 5 atau 𝑛 = 10.
(Brown 1997 )
2.3. Interpolasi Lagrange Interpolasi merupakan metode untuk menaksir data yang tidak ada atau belum diketahui nilainya di antara nilai-nilai data
yang diberikan. Salah satu fungsi interpolasi yang sering digunakan adalah fungsi polinomial karena fungsi polinomial mudah dihitung, diturunkan dan diintegralkan. Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapat fungsi polinomial 𝑃(𝑥) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalkan sekumpulan titik data (𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) dengan 𝑖 = 1,2, … 𝑛. Bentuk umum polinomial Lagrange berderajat (𝑛 − 1) yang melalui 𝑛 titik berbeda adalah: 𝑛
𝑃𝑛−1 (𝑥) = � 𝑦𝑖 𝐿𝑖 (𝑥)
(2.7)
𝑖=1
dengan 𝐿𝑖 (𝑥) merupakan fungsi basis Lagrange yang dirumuskan sebagai berikut: 𝐿𝑖 (𝑥) =
∏𝑛𝑗=1,𝑗≠𝑖 �𝑥 − 𝑥𝑗 �
∏𝑛𝑗=1,𝑗≠𝑖�𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 �
(2.8)
(Heath 1996)
2.4. Model tak linear Model-model yang linear parameter secara umum berbentuk:
dalam
𝑌 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑋1 + 𝛽2 𝑋2 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑋𝑝 + 𝜀 (2.9)
Sembarang model yang tidak berbentuk seperti persamaan (2.9) disebut model tak linear, maksudnya tak linear dalam parameternya. Model tak linear dapat dibagi menjadi dua jenis, yakni model linear intrinsik dan model tak linear intrinsik. Jika suatu model adalah linear intrinsik, maka model ini dapat ditransformasi ke bentuk linear, jika suatu model tak linear tidak dapat di ubah ke bentuk linear, maka model tak linear tersebut adalah model tak linear intrinsik. Contoh untuk model-model tersebut adalah: 𝑌 = е�𝛽1+ 𝛽2𝑡
2 + 𝜀�
(2.10)
Model ini dapat ditransformasi ke dalam bentuk yang linear, menjadi: ln(𝑌) = 𝛽1 + 𝛽2 𝑡 2 + 𝜀
(2.11)
Meskipun terdapat pangkat pada persamaan, persamaan tersebut tetap disebut persamaan yang linear (persamaan linear ordo-kedua), yang artinya linear dalam parameternya. Contoh untuk model tak linear intrinsik:
𝑌=
𝛽1 �е −𝛽2𝑡 − е −𝛽1𝑡 � +𝜀 𝛽1 − 𝛽2
(2.12)
Model ini dikatakan model tak linear intrinsik, karena tidak mungkin mengubah bentuknya ke dalam suatu bentuk yang linear dalam parameternya. (Draper & Smith 1992) 2.5. Regresi tak linear Bentuk sederhana dari persamaan regresi tak linear dapat dinyatakan sebagai berikut: 𝒀 = 𝑓(𝝃; 𝜽) + 𝛆
(2.13)
𝒀𝑢 = 𝑓(𝝃𝑢 ; 𝜽) + 𝛆𝑢 𝑢 = 1,2, … , 𝑛
(2.14)
dengan 𝑓 adalah fungsi taklinear dari 𝝃 = (𝜉1 , 𝜉2 , … , 𝜉𝑘 )′ yang merupakan vektor dari peubah bebas dan 𝜽 = �𝜃1 , 𝜃2 , … , 𝜃𝑝 �′ adalah parameter-parameternya. Apabila ada 𝑛 data amatan, maka persamaan (2.13) menjadi:
Galat dengan 𝝃𝑢 = (𝜉1𝑢 , 𝜉2𝑢 , … , 𝜉𝑘𝑢 )′. persamaan tak linear 𝛆𝑢 = (ε1 , ε2 , … , ε𝑛 )′ yang diasumsikan bebas dan berdistribusi normal ε ~ 𝑁(𝟎, 𝑰𝜎 2 ) dengan 𝟎 vektor nol dan 𝑰 matriks identitas, keduanya berukuran sesuai. Jumlah kuadrat galat untuk model tak linear didefinisikan sebagai berikut: 𝑛
𝑆𝑆𝐸(𝜽) = �{𝑌𝑢 − 𝑓(𝝃𝑢 , 𝜽)}2 𝑢=1
(2.15)
Jumlah kuadrat tersebut merupakan fungsi dari 𝜽. Nilai dugaan kuadrat terkecil bagi 𝜽 � merupakan nilai 𝜽 dilambangkan dengan 𝜽 yang meminimumkan 𝑆𝑆𝐸(𝜽). Nilai dugaan � dapat diperoleh dengan kuadrat terkecil 𝜽 mendiferensialkan persamaan 2.15 relatif terhadap 𝜽. Ini akan menghasilkan 𝑝 persamaan normal yang harus diselesaikan � . Persamaan normal untuk memperoleh nilai 𝜽 tersebut mempunyai bentuk : 𝑛
� �} � �{𝑌𝑢 − 𝑓�𝝃𝑢 , 𝜽
𝑢=1
𝜕𝑓(𝝃𝑢 , 𝜽) � =0 𝜕𝜃𝑖 � 𝜽=𝜽
(2.16)
dengan 𝑖 = 1,2, … , 𝑝, sedangkan besaran di dalam tanda kurung merupakan diferensial dari 𝑓(𝝃𝑢 , 𝜽) terhadap 𝜃𝑖 dengan semua 𝜽 � . Persamaan-persamaan diganti dengan 𝜽 normal pada persamaan regresi tak linear
tersebut akan sangat sulit diselesaikan bila parameternya lebih banyak dan modelnya lebih rumit. Oleh karena itu, untuk menentukan parameter-parameter dari persamaan tak linear diperlukan metode iterasi. Salah satu metode iterasi yang dapat digunakan untuk menduga parameter pada persamaan tak linear adalah metode Levenberg Marquardt. (Draper & Smith 1992) 2.6. Metode Levenberg Marquardt Metode Levenberg Marquardt adalah salah satu metode yang digunakan untuk menduga nilai parameter koefisien modelmodel tak linier. Secara umum metode Levenberg Marquardt dinyatakan sebagai berikut: � 𝑛 − �𝐽�𝜷 � 𝑛 �𝑇 𝐽�𝜷 � 𝑛 � + 𝜆𝑛 𝐼𝑝×𝑝 � � 𝑛+1 = 𝜷 𝜷 �
𝜕𝑆𝑆𝐸(𝜷) 𝜕(𝛽𝑖 )
𝑖 = 1,2, … , 𝑝
�
−1
(2.17)
(Marquardt 1963)
Algoritma Metode Levenberg Marquardt adalah sebagai berikut: 1) Untuk 𝑛 = 0 (iterasi ke-n), perlu menentukan nilai awal penaksir parameter (𝜷0 ), nilai 𝜆 adalah 0 < 𝜆 < 1 atau yang biasanya faktor dari 10. � 𝑛+1 , 2) Memperbarui vektor parameter 𝜷 secara iteratif sesuai dengan persamaan (2.17). � 𝑛+1 �. 3) Menghitung 𝑆𝑆𝐸�𝜷 𝑛+1 � � 𝑛 � maka 𝜆 4) Jika 𝑆𝑆𝐸�𝜷 � > 𝑆𝑆𝐸�𝜷 dikalikan 10, kemudian kembali ke langkah (1). � 𝑛 � maka 𝜆 � 𝑛+1 � < 𝑆𝑆𝐸�𝜷 5) Jika 𝑆𝑆𝐸�𝜷 dibagi dengan 10, kemudian kembali ke langkah (1). 6) Iterasi berhenti jika
2.7. Uji kesuaian data Untuk mengetahui kesuaian data yang diperoleh berdasarkan suatu metode tertentu terhadap data sebenarnya perlu dilakukan uji kesuaian data. Ada beberapa kriteria yang dapat dijadikan sebagai acuan di antaranya adalah: 1) Galat mutlak (Absolute error, AE) Misalkan 𝑦𝑖 adalah data ke-i yang sebenarnya dan 𝑦�𝑖 adalah data yang diperoleh dengan menggunakan metode tertentu sebagai nilai pendekatan untuk 𝑦𝑖 . Galat mutlak didefinisikan sebagai berikut: 𝐴𝐸 = |𝑦𝑖 − 𝑦�𝑖 | ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛
(2.18)
(Mathews 1992)
2) Rataan galat mutlak (Mean absolute error, MAE) Rataan galat mutlak untuk data ke-i didefinisikan sebagai berikut: 𝑛
1 𝑀𝐴𝐸 = �|𝑦𝑖 − 𝑦�𝑖 | 𝑛 𝑖=1
𝑖 = 1,2, … 𝑛
(2.19)
(Mathews 1992)
3) Koefisien determinasi 𝑅2
∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦�𝑖 )2 ∑𝑛𝑖=1(𝑦𝑖 − 𝑦�)2 𝑖 = 1,2, … , 𝑛 𝑅2 = 1 −
(2.20)
dengan 𝑦𝑖 = nilai sebenarnya, 𝑦�𝑖 = nilai dugaan, dan 𝑦� = nilai rata-rata. (Agresti & Barbara 1986)
2.8. Kurva bertahan hidup
Keterangan:
Kurva bertahan hidup adalah kurva yang menunjukkan jumlah atau proporsi dari individu yang bertahan hidup di setiap tahunnya. Kurva ini menyajikan hubungan antara 𝑙𝑥 pada sumbu-𝑦 dan usia (𝑥) pada sumbu-𝑥.
�𝑛 𝜷 �𝑛� 𝐽�𝜷 𝜆𝑛 𝛪𝑝×𝑝
1) Tipe I pada populasi, tidak banyak mengalami kematian di awal dan pertengahan usia, namun menurun secara tajam ketika angka kematian meningkat pada kelompok usia tua.
�
� 𝑛+1 �− 𝑆𝑆𝐸�𝜷 � 𝑛� 𝑆𝑆𝐸�𝜷 � 𝑛 � 𝑆𝑆𝐸�𝜷 �
: vektor parameter pada iterasi ke-n. : matriks Jacobi. : nilai skalar pada iterasi ke-n. : matriks Identitas
𝜕𝑆𝑆𝐸(𝜷)
�
𝜕(𝛽𝑖 )
× 100 < 𝑡𝑜𝑙
� : persamaan normal.
(Ranganathan 2004)
Ada tiga tipe kurva bertahan hidup:
2) Tipe II adalah perantara antara tipe I dan tipe III, angka kematian populasi relatif tetap pada setiap kelas usia atau dengan kata lain angka kematian konstan dialami tanpa memandang kelompok usia. Kurva ketahanan hidup untuk tipe ini berbentuk garis diagonal.
3) Tipe III pada populasi tingkat kematian tinggi di awal usia dan pertengahan usia sehingga kurva menurun sampai periode tertentu, kemudian relatif stabil ketika memasuki periode usia tua.
I II 𝑙𝑥
III
𝑥 Gambar 2.1 Kurva bertahan hidup (Feldhamer 2007)
III METODE INTERPOLASI dengan
3.1. Metode Elandt-Johnson Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap dengan menggunakan metode Elandt-Johnson adalah: 1) Untuk usia 0–74 tahun menggunakan interpolasi Lagrange berderajat lima dengan enam titik interpolan. Interpolasi Lagrange dirumuskan dalam formula 𝐶
6
𝑙𝑥 = � 𝑖=1
∏𝑗≠𝑖�𝑥 − 𝑥𝑗 �
∏𝑗≠𝑖 �𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 �
𝐴
𝑙𝑥𝑖
(3.1)
1 1 − 𝑙𝑥 logit(1 − 𝑙𝑥 ) = ln � � 𝑙𝑥 2
Parameter 𝛼 dan 𝛽 diduga menggunakan metode kuadrat terkecil linear 2) Setelah diperoleh nilai parameter 𝛼 dan 𝛽, kemudian ditentukan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap dengan menggunakan rumus berikut:
dengan fungsi basis dari persamaan di atas adalah 𝐿𝑖 (𝑥) =
∏𝑗≠𝑖�𝑥 − 𝑥𝑗 �
∏𝑗≠𝑖 �𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 � 𝑖 = 1,2, … 6
1−𝑐 𝑥
(3.2)
𝑅
𝑆(𝑥) = exp � (1 − 𝑒 𝑎𝑥 )� = 𝑎
𝑏 ; 𝑥 > 0, 𝑅 > 0, 𝑎 > 0, 𝑏 = 𝑅 exp � � dan 𝑐 = exp(𝑎) dengan usia 𝑥 𝑎 dan parameter 𝑎 dan 𝑅. Kemudian jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yaitu nilai 𝑙𝑥 ditentukan dengan menggunakan rumus: 𝐶
𝑙𝑥+𝑖 = 𝐴𝑙𝑥
dengan
𝑙𝑥 =
1
1 + exp[2(𝛼 + 𝛽logit(1 − 𝑆𝑙𝑥 ))] (3.6) (Brass 1971)
;
2) Untuk usia di atas 74 tahun diasumsikan berdistribusi Gompertz dengan fungsi survival
(3.5)
𝑆̂(𝑥 + 𝑖) 𝑆̂(𝑥)
(3.3)
𝑖 = 1, … ,4; 𝑥 = 75,80, … , 𝛾 − 15 𝑖 = 1, … , (119 − 𝛾); 𝑥 = 𝛾 − 10
(Elandt & Johnson 1980)
3.2. Metode Brass Logit Tahapan yang dilakukan untuk menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode Brass Logit adalah: 1) Menduga parameter 𝛼 dan 𝛽 yang memenuhi hubungan linear berikut: logit(1 − 𝑙𝑥 ) = 𝛼 + 𝛽logit�1 − 𝑆𝑙𝑥 � (3.4)
3.3. Model Heligman-Pollard (HP) Rumus matematik metode interpolasi dengan model Heligman-Pollard diberikan sebagai berikut: 𝑞𝑥 𝑥 2 𝐶 = 𝐴(𝑥+𝐵) + 𝐷exp �−𝐸 �ln � �� � + 𝐺𝐻 𝑥 𝑝𝑥 𝐹 (3.7)
Keterangan: 𝐴 : representasi dari 𝑞1 . 𝐵 : perbedaan antara 𝑑0 dan 𝑑1 . 𝐶 : penurunan laju kematian anak-anak. 𝐷 : intensitas kematian pada dewasa muda. 𝐸 : sebaran usia terjadinya kecelakaan. 𝐹 : usia muda dengan kematian terbanyak. 𝐺 : tingkat kematian usia tua. 𝐻 : laju peningkatan kematian usia tua. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷, 𝐸, 𝐹, 𝐺, 𝐻 ≥ 0 0T
2T
0T
Tahapan yang dilakukan adalah menduga nilai parameter-parameter dari model Heligman-Pollard dengan meminimumkan: 𝑛
𝑆𝑆𝐸(𝑪) = � � dengan �𝑥 𝑛𝑞
𝑖=1
𝑛−1
�𝑥 𝑛𝑞 𝑛𝑞𝑥
− 1�
2
= 1 − � 1 − 𝑮(𝑥 + 𝑖; 𝑪) 𝑖=0
(3.8)
(3.9)
Setelah parameter-parameter tersebut diperoleh, peluang kematian pada tabel hayat lengkap dapat dihitung menggunakan rumus berikut: 𝑭(𝑥; 𝑪) = 𝑮(𝑥; 𝑪) 𝑞𝑥 = 1 + 𝑭(𝑥; 𝑪) dengan
1) Menentukan konstanta 𝑛𝐾𝑥 untuk setiap interval usia [𝑥, 𝑥 + 𝑛) dengan menggunakan rumus: 𝑛𝐾𝑥
(3.10)
untuk 𝑥 𝜖 [1,4] 5𝐾5 untuk 𝑥 𝜖 [5,9] 5𝐾10 untuk 𝑥 𝜖 [10,14] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝐾 untuk 𝑥 𝜖 [105,109] 5 105
3.4. Metode Kostaki
𝑛𝐾𝑥
=
dengan:
ln(1 − 𝑛𝑞𝑥 )
𝑛−1 ∑𝑖=0 ln(1
(𝑆)
− 𝑞𝑥+𝑖 )
(3.11)
untuk 𝑥 𝜖 [1,4] 5𝐾5 untuk 𝑥 𝜖 [5,9] 5𝐾10 untuk 𝑥 𝜖 [10,14] ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 5𝐾105 untuk 𝑥 𝜖 [105,109]
2) Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus: (𝑆)
Keterangan:
2) Menghitung peluang kematian pada tabel hayat lengkap menggunakan rumus: 𝑞𝑥 = 1 − �1 − 𝑛𝑞𝑥 (I) �
𝑛𝐾𝑥
(3.14)
Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) di atas berasal dari data hasil interpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat ringkas dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik dan model Heligman-Pollard alternatif. 3.5.1. Interpolasi Lagrange 6 titik Interpolasi lagrange 6 titik adalah metode yang digunakan untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat ringkas, dan diberikan dengan menggunakan persamaan:
4𝐾1
𝑞𝑥 = 1 − (1 − 𝑞𝑥 ) 𝑛𝐾𝑥
(3.13)
4𝐾1
(Heligman & Pollard 1980)
1) Menentukan konstanta 𝑛𝐾𝑥 untuk setiap interval usia [𝑥, 𝑥 + 𝑛) dengan menggunakan rumus:
ln(1 − 𝑛𝑞𝑥 ) − 𝑛𝑞𝑥+𝑖 (I) )
𝑛−1 ∑𝑖=0 ln(1
dengan:
𝑥 2 𝐶 𝑭(𝑥; 𝑪) = 𝐴(𝑥+𝐵) + 𝐷exp �−𝐸 �ln � �� � 𝐹 +𝐺𝐻 𝑥
Tabel hayat lengkap dapat disusun dengan menggunakan metode Kostaki, tahapan yang dilakukan pada metode ini adalah:
=
(3.12)
(𝑆)
𝑞𝑥 : peluang seseorang tepat berusia 𝑥 meninggal sebelum mencapai usia 𝑥 + 1 pada tabel hayat standar. (Kostaki 2000) 3.5. Modifikasi Kostaki Tahapan yang dilakukan dalam menyusun tabel hayat lengkap menggunakan metode modifikasi Kostaki adalah:
𝑛𝑞𝑥
(I)
6
=� 𝑖=1
∏𝑗≠𝑖�𝑥 − 𝑥𝑗 �
∏𝑗≠𝑖 �𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 �
𝑛𝑞𝑥𝑖
(3.15)
3.5.2 Model Heligman-Pollard alternatif
Pada model Heligman-Pollard diberikan 2 alternatif model, yakni alternatif pertama berdasarkan persamaan (3.10) dan alternatif yang kedua berdasarkan persamaaan (3.7). Pada alternatif yang pertama dan kedua akan dicoba mengelompokkan model-model tersebut berdasarkan kelompok usia, yang nantinya akan dijadikan sebagai model-model untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat ringkas. Model-model alternatif HeligmanPollard diberikan sebagai berikut:
1) HP (1)
2) HP (2)
Usia anak-anak (1-9 tahun) 𝑛𝑞𝑥
(I)
=
1+𝐴
(𝑥+𝐵)𝐶
𝐴(𝑥+𝐵)
𝑥 2 +𝐷exp�−𝐸�ln� �� �+𝐺𝐻 𝑥 𝐹
(3.16)
Usia muda (10-29 tahun) 𝑛𝑞𝑥
(I)
=
Usia anak-anak (1-9 tahun)
𝐶
𝑥
2
𝐷exp�−𝐸�ln�𝐹�� � 𝐶
𝑥 𝐹
2
1+𝐴(𝑥+𝐵) +𝐷exp�−𝐸�ln� �� �+𝐺𝐻 𝑥
Usia tua (30 tahun ke atas) 𝑛𝑞𝑥
(I)
=
1+𝐴
(𝑥+𝐵)𝐶
𝐺𝐻 𝑥
𝑥 𝐹
2
(3.17)
+𝐷exp�−𝐸�ln� �� �+𝐺𝐻 𝑥
(3.18)
𝑛𝑞𝑥
(I)
𝑛𝑞𝑥
(I)
𝑛𝑞𝑥
(I)
=
𝐴(𝑥+𝐵)
𝐶
(3.19)
𝐶 1+𝐴(𝑥+𝐵)
Usia muda (10-29 tahun) =
𝑥 𝐹
2
𝐷exp�−𝐸�ln� �� � 𝑥 𝐹
2
1+𝐷exp�−𝐸�ln� �� �
Usia tua (30 tahun ke atas) =
𝐺𝐻 𝑥
1+𝐺𝐻 𝑥
(3.20) (3.21)
9
IV PEMBAHASAN Dalam penyusunannya, tabel hayat diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan interval usia yakni tabel hayat lengkap dan tabel hayat ringkas. Suatu tabel hayat dikatakan lengkap jika dalam tabel hayat menyajikan usia tunggal atau pertahun, sedangkan tabel hayat ringkas jika dalam penyajiannya menyajikan usia dalam interval 5 atau 10 tahun. Berdasarkan tabel hayat ringkas Amerika Serikat tahun 2007, dapat diketahui mengenai jumlah penduduk yang bertahan hidup menurut usia tertentu pada interval usia 5 tahunan, peluang penduduk usia tertentu akan meninggal dunia, dan angka harapan hidup penduduk usia tertentu. Tabel
hayat ringkas 5 tahunan lebih sering digunakan dengan alasan lebih praktis dalam penggunaannya. Namun, tabel hayat ringkas tidak dapat menentukan peluang seseorang yang berusia 30 tahun akan meninggal di usia 31 tahun. Oleh karena itu, dibutuhkan tabel hayat lengkap yang dapat memberikan informasi lebih lengkap tentang keadaan jumlah penduduk dalam interval usia satu tahun. Perbandingan kurva antara 𝑙𝑥 pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.1.
100000 80000
60000
40000
20000
20
Data Lengkap Data Ringkas
40
60
80
100
Gambar 4.1 Plot 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap dan 𝑙𝑥 tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007
Berdasarkan Gambar 4.1 terlihat bahwa kurva 𝑙𝑥 pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 cenderung monoton turun, artinya bahwa jumlah penduduk pada populasi tersebut berkurang seiring bertambahnya usia dari suatu individu populasi akibat adanya kematian. Misalkan pada Gambar 4.1 dapat dilihat bahwa jumlah penduduk yang bertahan hidup di Amerika Serikat berusia 80 tahun ada sekitar 40% dari jumlah keseluruhan populasi. Data pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 akan digunakan sebagai perbandingan dari metode-metode interpolasi yang digunakan dalam tulisan ini, yakni di antaranya adalah metode Elandt-Johnson, Brass Logit, Heligman-Pollard, Kostaki, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan modifikasi Kostaki dengan HP 2.
4.1. Metode Elandt-Johnson
Elandt-Johnson (1980) menyatakan bahwa tabel hayat lengkap dapat disusun berdasakan tabel hayat ringkas dengan menggunakan formula smoothing dari tiga skema interpolasi menurut usia tertentu, yakni usia 0-10 tahun, usia 10-74 tahun, serta usia di atas 74 tahun. Untuk interval usia 0-74 tahun, metode Elandt-Johnson menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik seperti pada persamaan (3.1). Berdasarkan persamaan (3.1), koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝐶 𝑙𝑥 pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.2). Nilai koefisien yang diperoleh berdasarkan persamaan (3.2) diberikan pada Tabel 4.1 (2 ≤ 𝑥 ≤ 9) dan Tabel 4.2 (11 ≤ 𝑥 ≤ 74).
10
Tabel 4.1 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝐶 𝑙𝑥 dengan (2 ≤ 𝑥 ≤ 9). 𝐴
𝐴
𝑙1 0.5620 0.2734 0.0965 -0.0417 -0.0489 -0.0373 -0.0184
𝐶
𝑙2 𝐶 𝑙3 𝐶 𝑙4 𝐶 𝑙6 𝐶 𝑙7 𝐶 𝑙8 𝐶 𝑙9
𝑙5 0.7176 1.0472 1.1088 0.7980 0.5616 0.3332 0.1408
𝐴
𝑙10 -0.4784 -0.5319 -0.3285 0.3547 0.6656 0.8885 1.0012
𝐴
𝐴
𝑙15 0.2839 0.2992 0.1728 -0.1520 -0.2407 -0.2448 -0.1609
𝑙20 -0.1007 -0.1037 -0.0584 0.0480 0.0728 0.0701 0.0431
𝐴
𝑙25 0.0156 0.0159 0.0088 -0.0070 -0.0104 -0.0098 -0.0059
Keterangan: 𝐴 𝑙𝑥 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 𝑥 yang tersedia pada tabel hayat ringkas. 𝐶 𝑙𝑥 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 𝑥 dari tabel hayat lengkap yang akan diduga.
Tabel 4.2 Koefisien untuk menghitung 𝐶 𝑙𝑥 dengan (11 ≤ 𝑥 ≤ 74). 𝐶
𝑙5𝑚+1 𝑙5𝑚+2 𝐶 𝑙5𝑚+3 𝐶 𝑙5𝑚+4 𝐶
𝐴
𝐴
𝑙5𝑚−10 0.0081 0.0116 0.0108 0.0063
𝑙5𝑚−5 -0.0739 -0.0998 -0.0874 -0.0493
𝐴
𝑙5𝑚 0.8870 0.6989 0.4659 0.2218
𝐴
𝑙5𝑚+5 0.2218 0.4659 0.6989 0.8870
𝐴
𝐴
𝑙5𝑚+10 -0.0493 -0.0874 -0.0998 -0.0739
𝑙5𝑚+15 0.0063 0.0108 0.0116 0.0081
Keterangan: 𝐴 𝑙5𝑚+𝑗 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5𝑚 + 𝑗 dari tabel hayat ringkas dengan 𝑗 = −10, −5,0,5,10,15. 𝐶 𝑙5𝑚+𝑖 : jumlah penduduk yang bertahan hidup pada usia 5𝑚 + 𝑖 dari tabel hayat lengkap yang akan diduga dengan 𝑖 = 1, … ,4.
dengan 𝑚 = 2 untuk ⋮ ⋮ 𝑚 = 14 untuk
𝐶
𝑙11 − 𝐶 𝑙14 ⋮ 𝐶 𝑙70 − 𝐶 𝑙74
Jika tabel hayat ringkas yang digunakan adalah 5 tahunan, maka nilai koefisien pada Tabel 4.1 yang digunakan, yakni nilai 𝐴𝑙1 , 𝐴 𝑙5 , 𝐴𝑙10 , 𝐴𝑙15 , 𝐴𝑙20 , dan 𝐴𝑙25 . Misalkan, untuk menghitung 𝐶 𝑙2 diperoleh: 𝐶
𝑙2 = 0.5620 𝐴𝑙1 + 0.7176 𝐴𝑙5 − 0.4784 𝐴𝑙10 + 0.2839 𝐴𝑙15 −0.1007 𝐴𝑙20 + 0.0156 𝐶 𝑙25
Perhitungan yang dilakukan pada Tabel 4.2 sama seperti pada Tabel 4.1. Misalkan, untuk menghitung 𝐶 𝑙11 , diambil nilai 𝑚 = 2, sehingga diperoleh: 𝐶
𝑙11 = 0.0081 𝐴𝑙0 − 0.0739 𝐴𝑙5 +0.8870 𝐴𝑙10 + 0.2218 𝐴𝑙15 − 0.0493 𝐴𝑙20 + 0.0063 𝐶 𝑙25
Untuk usia di atas 74 tahun, metode ini mengasumsikan berdistribusi Gompertz, 𝑅 dengan fungsi survival 𝑆(𝑥) = exp( (1 − 𝑥
exp(𝑎𝑥))) = 𝑏1−𝑐 ;
𝑎
𝑥 > 0, 𝑅 > 0, 𝑎 > 0,
𝑅
𝑏 = exp( ) dan 𝑐 = exp(𝑎) dengan usia 𝑥, 𝑎 𝑎 dan 𝑅 adalah parameter. Langkah awal dalam metode ini adalah menentukan logaritma dan rasio nilai 𝐴𝑙𝑥 yang berdekatan, yang kemudian akan menghasilkan parameter 𝑏𝑥 dan 𝑐𝑥 untuk usia 𝑥. Nilai penduga untuk 𝑏𝑥 dan 𝑐𝑥 , yakni 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅ dapat ditentukan dengan menggunakan persamaan: 1
⎧ 𝑐̂ = �𝑦1 � 5 𝑥̅ 𝑦2 𝑦1 ⎨ 𝑥 5 ⎩𝑏�𝑥̅ = 10𝑐𝑥�𝑐𝑥−1� −
dengan
⎧ ⎪
𝑦1 = log
𝐴
𝐴
𝑙𝑥
𝑙𝑥+5 𝑙𝑥+5 ⎨ 𝑦2 = log 𝐴 𝑙𝑥+10 ⎪ ⎩𝑥 = 75,80, … , 𝛾 − 10 𝐴
(4.1)
11
Dimulai dari survival 𝑆̂(𝑥) kemudian menduga jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat lengkap yakni 𝐶 𝑙𝑥 pada persamaan (3.3). dan 𝑐̂𝑥̅ Hasil perhitungan 𝑏�𝑥̅ menggunakan persamaan (4.1) dan (4.2) diberikan pada Lampiran 5. Selanjutnya hasil nilai 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan menggunakan metode ElandtJohnson diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 pada tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan berdasarkan metode Elandt-Johnson dapat dilihat pada Gambar 4.2.
Proses perhitungan akan berhenti pada saat 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅ untuk 𝑥̅ = 𝛾 −10, dengan 𝛾 adalah usia tertua pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Setelah memperoleh nilai dugaan parameter 𝑏�𝑥̅ dan 𝑐̂𝑥̅ dilanjutkan dengan menghitung fungsi survival berdasarkan persamaan: 𝑥+𝑖
1−𝑐̂ 𝑆̂(𝑥 + 𝑖) = 𝑏�𝑥 𝑥
dengan 𝑖 = 1, … ,4 𝑖 = 1, … , (119 − 𝛾)
𝑥 = 75,80, … , 𝛾 − 15 𝑥 = 𝛾 − 10 (4.2)
100000 80000 60000
40000 20000
20
Asli ElandtJohnson
40
60
80
100
Gambar 4.2 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Elandt-Johnson
Gambar 4.2 kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli memiliki perbedaan yang sangat kecil dengan metode Elandt-Johnson, sehingga metode ElandtJohnson dikatakan sangat baik dalam menduga 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007. 4.2. Metode Brass Logit
Brass (1971) mengasumsikan hubungan linear persamaan (3.4) yakni antara 𝑙𝑥 dan 𝑆 𝑙𝑥 . 𝑆𝑙𝑥 merupakan jumlah penduduk yang bertahan hidup pada tabel hayat standar, sedangkan 𝛼 dan 𝛽 adalah parameter yang masing-masing menyatakan perubahan level kematian dan slope kematian. Perubahan nilai 𝛽 berhubungan dengan distribusi usia yang berbeda yaitu apakah kematian usia anak-anak lebih banyak atau lebih sedikit dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Jika nilai 𝛽 >1 berarti kematian usia anak-anak lebih rendah
dibandingkan dengan kematian usia dewasa, sebaliknya jika 𝛽 < 1 berarti kematian usia anak-anak lebih tinggi dibandingkan dengan kematian usia dewasa. Metode Brass Logit sangat bergantung pada penentuan tabel hayat standar yang akan digunakan, oleh karena itu perlu dilakukan pengujian linearitas antara logit (1 − 𝑙𝑥 ) dengan logit �1 − 𝑆𝑙𝑥 � menggunakan persamaan (3.4). Pada tulisan ini data yang digunakan sebagai data standar adalah tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002. Berdasarkan hasil perhitungan dengan menggunakan bantuan Software Mathematica 7.0 diperoleh 𝛼 = −0.154 dan 𝛽 = 0.91 dengan 𝑅2 = 0.9989 yang berarti pemilihan tabel hayat standar sudah tepat. Hubungan linear antara logit (1 − 𝑙𝑥 ) 2007 dan logit �1 − 𝑆𝑙𝑥 � 2002 dapat dilihat pada Gambar 4.3 di bawah ini.
12
logit 1l x 4 2
logit 1s l x
0 2 4 4
2
0
2
6
4
Gambar 4.3 Pendugaan parameter metode Brass Logit Jumlah penduduk yang bertahan hidup dari tabel hayat lengkap dapat dihitung berdasarkan persamaan (3.4) dan persamaan (3.5) sehingga diperoleh persamaan (3.6). Berdasarkan perhitungan 𝛼 = −0.154 dan 𝛽 = 0.91, 𝛽 < 1 artinya angka kematian penduduk Amerika Serikat 2007 usia anakanak lebih tinggi dibandingkan dengan usia muda. Parameter 𝛽 yang mendekati 1 menunjukkan bahwa perubahan kurva 𝑙𝑥 pada tabel hayat Amerika Serikat 2007 tidak berubah drastis dari tabel hayat standar yang dipilih yaitu tabel hayat Amerika Serikat 2002.
1 − 𝑙𝑥 � � = exp �2 �𝛼 𝑙𝑥 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 ���
Bukti persamaan (3.6):
𝑙𝑥 =
𝑙𝑥 =
1
1 + exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 ���
Diketahui:
1 1 − 𝑙𝑥 logit(1 − 𝑙𝑥 ) = ln � � 𝑙𝑥 2
Bukti:
logit(1 − 𝑙𝑥 ) = 𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 � 1 1 − 𝑙𝑥 ln � � = 𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 � 2 𝑙𝑥
1 − 𝑙𝑥 � = 2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 �� 𝑙𝑥
ln �
1 𝑙𝑥 − = exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 ��� 𝑙𝑥 𝑙𝑥 1 − 1 = exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 ��� 𝑙𝑥 1 = 1 + exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 ��� 𝑙𝑥 1
1 + exp �2 �𝛼 + 𝛽logit�1 − S𝑙𝑥 ���
Berdasarkan hasil yang diperoleh persamaan (3.6) menjadi 𝑙𝑥 =
1
1+exp[2(−0.154+0.91logit(1− S𝑙𝑥 ))]
(4.3)
Nilai 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Brass Logit diperoleh dengan mensubstitusi 𝑆𝑙𝑥 (data standar 𝑙𝑥 ) tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 kepersamaan (4.3). Nilai 𝑙𝑥 metode ini dapat dilihat pada lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.4.
13
100000 80000
60000 40000
20000
20
Asli Brass Logit
40
60
80
100
Gambar 4.4 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit
Kurva 𝑙𝑥 dengan metode Brass Logit mengikuti pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli, kecuali di usia sekitar 50 tahun ke atas nilai 𝑙𝑥 berbeda jauh dengan nilai 𝑙𝑥 sebenarnya.
4.3. Model Heligman-Pollard (HP)
Menurut Heligman-Pollard (1980), model Heligman-Pollard adalah salah satu metode interpolasi yang merepresentasikan kematian selama rentang waktu seluruh kehidupan. Ide yang mendasari model Heligman-Pollard ini adalah bahwa kelompok kematian dapat dibagi menjadi tiga kelas, yakni komponen pertama merepresentasikan kematian bayi dan anak-anak, komponen kedua merepresentasikan kematian dewasa muda, dan komponen ketiga merepresentasikan kematian di usia tua. Fungsi matematika model HeligmanPollard diberikan pada persamaan (3.7). Misalkan fungsi pada sisi kanan persamaan tersebut adalah 𝑭(𝑥; 𝑪), yakni suatu fungsi dengan variabel usia 𝑥 dan 𝑪 merupakan vektor parameter pada persamaan tersebut, maka rumus Heligman-Pollard akan menjadi: 𝑞𝑥 = 𝑭(𝑥; 𝑪) 𝑝𝑥
karena
𝑞𝑥 = 1 − 𝑝𝑥
maka
𝑞𝑥 =
𝑭(𝑥; 𝑪) 1 + 𝑭(𝑥; 𝑪)
Bukti hubungan 𝑛𝑞𝑥 dengan 𝑞𝑥 pada model Heligman-Pollard: 𝑛−1
𝑛𝑞𝑥 = 1 − �(1 − 𝑞𝑥+𝑖 ) 𝑖=0
Bukti:
𝑛𝑝𝑥
= 1 − 𝑛𝑞𝑥 = 1− = =
𝑙𝑥+𝑛 𝑙𝑥
𝑛𝑑𝑥
𝑙𝑥
𝑙𝑥+1 𝑙𝑥+2 𝑙𝑥+𝑛 … 𝑙𝑥 𝑙𝑥+1 𝑙𝑥+𝑛−1
= 𝑝𝑥 𝑝𝑥+1 … 𝑝𝑥+𝑛−1 𝑛−1
= � 𝑝𝑥+𝑖 𝑖=0
𝑛−1
𝑛𝑞𝑥 = 1 − � 𝑝𝑥+𝑖 𝑖=0
𝑛−1
= 1 − �(1 − 𝑞𝑥+𝑖 ) 𝑖=0
14
Sehingga model peluang kematian untuk tabel hayat ringkas adalah: �𝑥 𝑛𝑞
𝑛−1
= 1 − � �1 − 𝑖=0
Nilai-nilai parameter model HeligmanPollard dapat dihitung dengan menggunakan persamaan (3.8). Berdasarkan hasil perhitungan menggunakan software Mathematica 7.0 diperoleh nilai-nilai parameter model Heligman-Pollard yang diberikan pada Tabel 4.3 di bawah ini.
𝑭(𝑥 + 𝑖; 𝑪) � 1 + 𝑭(𝑥 + 𝑖; 𝑪)
Tabel 4.3 Nilai parameter model Heligman-Pollard. Parameter 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 𝐸 𝐹 𝐺 𝐻
Nilai 0.0073 4.2105 0.2905 0.0009 7.8659 23.3058 0.0001 1.0928
Keterangan Representasi dari 𝑞1 Perbedaan antara 𝑑0 dan 𝑑1 Penurunan laju kematian anak-anak. Intensitas kematian pada dewasa muda. Sebaran usia terjadinya kecelakaan. Usia muda dengan kematian terbanyak. Tingkat kematian usia tua. Laju peningkatan kematian usia tua.
Kemudian dengan mensubstitusi nilai penduga parameter-parameter yang telah diperoleh ke dalam persamaan (3.10) akan dihasilkan nilai dugaan 𝑞𝑥 tabel hayat lengkap. Setelah nilai 𝑞𝑥 diperoleh, nilai 𝑙𝑥 dapat diperoleh dengan menggunakan hubungan dengan fungsi 𝑞𝑥 yaitu:
𝑙𝑥+1 = (1 − 𝑞𝑥 )𝑙𝑥 ; 𝑥 = 0,1,2, … , 𝛾 100000 80000 60000
40000 20000
20
𝛾 adalah usia tertua tabel hayat ringkas dan 𝑙0 = 100000. Hasil pendugaan 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 diberikan pada Lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard dapat dilihat pada Gambar 4.5.
(4.4)
Asli Heligman Pollard
40
60
80
100
Gambar 4.5 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan model Heligman-Pollard
Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan model Heligman-Pollard mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat yang asli. Model Heligman-Pollard dapat menduga data asli dengan cukup baik.
4.4. Metode Kostaki
Metode interpolasi Kostaki (Kostaki 2000) memberikan metode nonparametric sederhana yang berkaitan dengan peluang kematian lima tahunan dan peluang kematian satu tahunan. Hipotesis dari metode ini adalah
15
bahwa dalam setiap usia interval [𝑥, 𝑥 + 𝑛), laju kematian sesaat 𝜇(𝑥) tabel hayat ringkas adalah perkalian atau penggandaan konstanta laju kematian sesaat 𝜇(𝑥) tabel hayat lengkap standar di interval usia yang sama. Hipotesis metode ini diberikan pada persamaan: 𝜇(𝑥) = 𝑛𝐾𝑥 ∗ 𝜇
(𝑆)
ln 𝑛𝑝𝑥 = 𝑛𝐾𝑥 ln 𝑛𝑝(𝑠) 𝑥 𝑛𝐾𝑥
=
(𝑥)
Oleh karena itu konstanta 𝑛𝐾𝑥 konstan untuk setiap interval usia [𝑥, 𝑥 + 𝑛). Metode interpolasi Kostaki berdasarkan data standar diberikan pada persamaan (3.11). Kemudian untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan, hasil perhitungan persamaan (3.11) disubstitusi kepersamaan (3.12).
= =
=
Diketahui:
ln(1 − 𝑛𝑞𝑥 )
𝑛=1 ∑𝑖=0 ln(1
(𝑆)
− 𝑞𝑥+𝑖 )
𝜇(𝑥) = 𝑛𝐾𝑥 ∗ 𝜇 (𝑆) (𝑥)
Bukti:
𝑛
𝑛
− � 𝜇𝑥+𝑠 𝑑𝑠 = − 𝑛𝐾𝑥 � 𝜇 (𝑠) 𝑥+𝑠 𝑑𝑠 0
ln 𝑛𝑝𝑥 ln 𝑛𝑝(𝑠) 𝑥
ln 𝑛𝑝𝑥
ln�∏𝑛=1 𝑖=0
𝑝(𝑠) 𝑥+𝑖 �
ln�1 − 𝑛𝑞𝑥 �
𝑛=1 ln�∏𝑖=0 �1
− 𝑞 (𝑠) 𝑥+𝑖 ��
ln(1 − 𝑛𝑞𝑥 )
𝑛=1 ∑𝑖=0 ln(1
(𝑆)
− 𝑞𝑥+𝑖 )
Metode Kostaki menggunakan tabel hayat standar yang serupa dengan metode Brass Logit, yakni tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002. Hasil nilai 𝑙𝑥 dari metode Kostaki diberikan pada Lampiran 4 dan hasil keseluruhan untuk perhitungan nilai konstanta diberikan pada Lampiran 8. 𝑛𝐾𝑥 Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode Kostaki diberikan pada Gambar 4.6.
Bukti persamaan (3.11): 𝑛𝐾𝑥
=
0
100000 80000
60000
40000
20000
20
Asli Kostaki
40
60
80
100
Gambar 4.6 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode Kostaki
Berdasarkan kurva 𝑙𝑥 pada Gambar 4.6 dengan menggunakan metode Kostaki, mengikuti pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan sangat baik.
4.5. Metode modifikasi Kostaki
Metode ini hampir serupa dengan metode Kostaki. Metode ini tidak memerlukan tabel hayat standar sebagai alat bantu untuk melakukan pendugaan tabel hayat lengkap. Namun, metode ini memerlukan metode
16
interpolasi yang lain sebagai pengganti tabel hayat standar. Pada tulisan ini digunakan metode interpolasi Lagrange enam titik, model HP 1, dan model HP 2 sebagai alat yang akan menginterpolasi 𝑞𝑥 tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. 4.5.1. Modifikasi Kostaki dengan Lagrange
interpolasi Lagrange yang serupa dengan skenario interpolasi yang digunakan pada metode Elandt-Johnson. Proses interpolasi 𝑞𝑥 tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007, menggunakan metode interpolasi Lagrange enam titik. Nilai-nilai koefisien yang diperoleh untuk fungsi basis dari usia 1-10 tahun diberikan pada Tabel 4.4 di bawah ini.
Metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange adalah kombinasi Kostaki dan Tabel 4.4 Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑛𝑞𝑥 (I) dengan 1 ≤ 𝑥 ≤ 10. 4𝑞1
4𝑞2 4𝑞3 4𝑞4
5𝑞5 5𝑞6 5𝑞7 5𝑞8 5𝑞9
4𝑞1
(I)
5𝑞5
5𝑞10
5𝑞15
5𝑞20
5𝑞25
(I)
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.5620
0.7176
-0.4784
0.2839
-0.1007
0.0156
(I)
0.2734
1.0472
-0.5319
0.2992
-0.1037
0.0159
0.0965
1.1088
-0.3285
0.1728
-0.0584
0.0088
(I) (I) (I)
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
0.0000
-0.0417
0.7980
0.3547
-0.1520
0.0480
-0.0070
(I)
-0.0489
0.5616
0.6656
-0.2407
0.0728
-0.0104
-0.0373
0.3332
0.8885
-0.2448
0.0701
-0.0098
-0.0184
0.1408
1.0000
-0.1609
0.0431
-0.0059
0.0000
0.0000
1.0000
0.0000
0.0000
0.0000
(I) (I)
5𝑞10
(I)
Skenario interpolasi yang dilakukan adalah misalkan untuk memperoleh nilai (I) usia 11-15 tahun, menggunakan titik𝑛𝑞𝑥 titik data interpolan 𝑥1 = 0, 𝑥2 = 5, 𝑥3 = 10, 𝑥4 = 15, 𝑥5 = 20, dan 𝑥6 = 25. Kemudian untuk memperoleh nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) usia 16-20 tahun menggunakan titik-titik data 𝑥1 = 5, 𝑥2 = 10, 𝑥3 = 15, 𝑥4 = 20, 𝑥5 = 25, dan 𝑥6 = 30. Proses yang sama dilakukan untuk datadata yang berikutnya. Berdasarkan Tabel 4.4 perhitungan nilai (I) untuk interval usia 1-10 tahun 𝑞 𝑛 𝑥 menggunakan 6 titik-titik data interpolan yakni 𝑥1 = 1, 𝑥2 = 5, 𝑥3 = 10, 𝑥4 = 15, 𝑥5 = 20, dan 𝑥6 = 25. Misalkan untuk menghitung nilai 4𝑞2 (I) dengan menggunakan persamaan (3.15) adalah sebagai berikut: 4𝑞2
(I)
= 0.5620 4𝑞1 + 0.7176 5𝑞5 − 0.4784 5𝑞10 + 0.2839 5𝑞15 − 0.1007 5𝑞20 − 0.0156 5𝑞25
Perhitungan dilakukan dengan cara yang sama sampai 𝑥 = 10. Hasil interpolasi yang selanjutnya masing-masing diberikan pada Lampiran 9. Setelah dilakukan interpolasi dengan menggunakan metode interpolasi Lagrange 6 titik, tahap pertama yang dilakukan adalah (I) akan disubstitusi hasil nilai 𝑛𝑞𝑥 kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai Kemudian tahapan konstanta 𝑛𝐾𝑥 . selanjutnya, untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan, hasil yang diperoleh berdasarkan perhitungan pada persamaan (3.13) disubstitusi kepersamaan (3.14). Nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 dan hasil nilai 𝑙𝑥 , masingmasing diberikan pada Lampiran 10 dan Lampiran 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli dan kurva 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.7 di bawah ini.
17
100000 80000
60000
40000
20000
20
Asli Kostaki Lagrange
40
60
80
100
Gambar 4.7 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan baik. 4.5.2. Modifikasi Kostaki dengan HP 1 Model HP 1 adalah model yang akan digunakan untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Pada metode interpolasi ini membagi tiga tahap interpolasi berdasarkan kelompok usia.
Pertama menggunakan model (3.16) untuk menginterpolasi usia 1-9 tahun, kedua menggunakan model (3.17) untuk menginterpolasi usia 10-29 tahun, dan interpolasi yang ketiga menggunakan model (3.18) untuk menginterpolasi usia 30-110 tahun. Nilai dugaan parameter model-model tersebut diperoleh dengan bantuan Software MATLAB R2008b menggunakan metode Levenberg Marquardt, langkah-langkah proses pencariannya diberikan pada Lampiran 15. Hasil nilai parameter model-model tersebut diberikan pada Tabel 4.5 di bawah ini.
Tabel 4.5 Nilai parameter model (3.16), (3.17), (3.18). Parameter A B C D E F G H
Model (3.16) 0.7804 18.3491 0.9316 10.8156 1.7012 2.3520 7.6251 0.6697
Tahap pertama, nilai-nilai parameter yang telah dihasilkan disubstitusi ke masing-masing model yang bersangkutan untuk memperoleh nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) . Tahap kedua, hasil berdasarkan nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) disubstitusi kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 . Kemudian tahap selanjutnya, hasil berdasarkan persamaan (3.13) disubstitusi
Model (3.17) 0.9321 0.9919 0.9841 0.5244 0.0069 5.49E-10 1.1553 0.9293
Model (3.18) 1.0000 1.0001 0.9979 1.0000 0.9999 1.0000 2.44E-05 1.1426
kepersamaan (3.14) untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan. Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) , konstanta 𝑛𝐾𝑥 , dan hasil nilai 𝑙𝑥 dari metode ini masingmasing diberikan pada Lampiran 11, 12 dan 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 asli dan metode modifikasi Kostaki dengan HP 1 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.8.
18
100000 80000
60000
40000
20000
20
Asli Kostaki HP1
40
60
80
100
Gambar 4.8 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1. Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 1 mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yangasli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data asli dengan baik. 4.5.3. Modifikasi Kostaki dengan HP 2 Model HP 2 adalah model yang akan digunakan untuk menginterpolasi 𝑞𝑥 pada tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007. Metode interpolasi yang dilakukan serupa dengan yang dilakukan pada model HP 1, yakni interpolasi dilakukan dengan cara membagi tiga tahap interpolasi berdasarkan
kelompok usia. Interpolasi yang pertama menggunakan model (3.19) untuk menginterpolasi usia 1-9 tahun, interpolasi kedua menggunakan model (3.20) untuk menginterpolasi usia 10-29 tahun, dan interpolasi yang ketiga menggunakan model (3.21) untuk menginterpolasi usia 30-110 tahun. Nilai dugaan untuk parameterparameter model HP 2 diperoleh dengan bantuan Software MATLAB R2008b menggunakan metode Levenberg Marquardt, langkah-langkah proses pencariannya diberikan pada Lampiran 15. Hasil yang telah diperoleh untuk nilai-nilai parameter tersebut diberikan pada Tabel 4.6 di bawah ini.
Tabel 4.6 Nilai parameter model (3.19), (3.20), (3.21). Parameter
Model (3.19)
A
0.9721
-
-
B
234.7215
-
-
C
1.0207
-
-
D
-
0.0077
-
E
-
2.1744
-
F
-
25.0809
-
G
-
-
1.22E-05
H
-
-
1.1426
Tahapan yang dilakukan serupa dengan tahapan pada modifikasi Kostaki dengan HP 1. Tahap pertama, nilai-nilai parameter yang telah dihasilkan disubstitusi ke masing-masing
Model (3.20)
Model (3.21)
model yang bersangkutan untuk memperoleh nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) . Tahap kedua, hasil berdasarkan nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) disubstitusi kepersamaan (3.13) untuk memperoleh nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 .
19
masing diberikan pada Lampiran 13, 14 dan 4. Perbandingan kurva 𝑙𝑥 asli dan metode modifikasi Kostaki dengan HP 2 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dapat dilihat pada Gambar 4.9 di bawah ini.
Kemudian tahap selanjutnya, hasil berdasarkan persamaan (3.13) disubstitusi kepersamaan (3.14) untuk memperoleh nilai dugaan 𝑞𝑥 tahunan. Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) , konstanta 𝑛𝐾𝑥 , dan hasil nilai 𝑙𝑥 dari metode ini masing100000 80000
60000
40000
20000
20
Asli Kostaki HP2
40
60
80
100
Gambar 4.9 Plot 𝑙𝑥 asli Amerika Serikat 2007 dan 𝑙𝑥 dengan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2. Pola kurva 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 dan metode modifikasi Kostaki dengan model HP 2 mengikuti pola 𝑙𝑥 tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 yang asli. Dengan demikian metode ini dapat menduga data yang asli dengan baik. 4.6. Perbandingan antar metode Berdasarkan metode interpolasi yang digunakan, masing-masing metode memiliki karakteristik yang berbeda. Metode ElandtJohnson, model HP, modifikasi Kostaki dengan Lagrange, modifikasi Kostaki dengan HP 1, dan modifikasi Kostaki dengan HP 2 tidak memerlukan data standar dalam melakukan proses komputasi, sedangkan metode Brass Logit dan Kostaki memerlukan data standar dalam melakukan proses komputasi. Metode Elandt-Johnson menggunakan 3 skema interpolasi, 2 skema interpolasi yang pertama adalah dengan menggunakan interpolasi Lagrange 6 titik untuk usia 0-74, dan skema yang berikutnya menggunakan fungsi Gompertz untuk usia 74-110 tahun. Metode Brass Logit adalah salah satu metode interpolasi yang memerlukan data standar, metode ini menjelaskan bahwa terdapat hubungan linear antara fungsi logit tabel hayat standar dan fungsi logit tabel hayat lainnya.
Metode interpolasi dengan model HP berbasis fungsi odds dari fungsi peluang kematian tabel hayat lengkap. Metode Kostaki adalah metode yang juga memerlukan data standar, metode ini menyatakan bahwa laju kematian tabel hayat ringkas merupakan perkalian konstanta laju kematian tabel hayat standar. Metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange adalah kombinasi metode Kostaki dengan interpolasi Lagrange 6 titik. Metode modifikasi Kostaki dengan HP 1 adalah kombinasi metode Kostaki dan model HP 1. Metode modifikasi Kostaki dengan HP 2 adalah kombinasi metode Kostaki dan model HP 2. Perbandingan antar metode interpolasi tabel hayat ringkas, menggunakan dua nilai kriteria uji, yakni menentukan nilai rataan galat mutlak (MAE) dan koefisien determinasi (𝑅2 ). Nilai rataan galat mutlak (MAE) adalah rata-rata dari galat mutlak yang digunakan untuk mengukur seberapa dekat nilai dugaan dengan nilai yang sebenarnya, semakin kecil nilainya maka semakin akurat dugaannya. Koefisien determinasi (𝑅2 ) adalah proporsi keragaman data yang dapat dijelaskan oleh model. Urutan nilai kriteria uji terbaik untuk metode-metode interpolasi yang digunakan dapat dilihat pada Tabel 4.7.
20
Tabel 4.7 Urutan nilai kriteria uji terbaik untuk 𝑙𝑥 pada masing-masing metode No 1 2 3 4 5 6 7
Metode
Kostaki Modifikasi Kostaki dengan Lagrange Elandt-Johnson Modifikasi Kostaki dengan HP 1 Modifikasi Kostaki dengan HP (2) Heligman-Pollard (HP) Brass Logit
Data √ -
𝑅2
Acuan komputasi
MAE
𝜇(𝑥) = 𝑛𝐾𝑥 ∗ 𝜇 (𝑆) (𝑥)
11.9636
0.9999
15.6818
0.9999
15.7273
0.9999
53.0455
0.9999
53.2545
0.9999
750.2636
0.9994
982.2727
0.9979
standar
Kombinasi Kostaki dan Lagrange 6 titik o Lagrange 6 titik o Gompertz Kombinasi Kostaki dan HP (1) Kombinasi Kostaki dan HP (2) 𝑞𝑥
-
Fungsi
√
Fungsi Logit
Berdasarkan Tabel 4.11 metode Brass Logit adalah metode yang tidak direkomendasikan untuk digunakan karena memiliki nilai MAE tertinggi. Sedangkan untuk metode modifikasi Kostaki HP 1 dan modifikasi HP 2 ternyata hasilnya jauh lebih baik jika dibandingkan dengan model HP yang asli. Namun selain sulit dalam proses perhitungannya, nilai MAE kedua metode tersebut masih cukup besar sehingga tidak direkomendasikan untuk digunakan. Metode Kostaki, modifikasi Kostaki Lagrange dan Elandt-Johnson adalah tiga metode terbaik dalam menduga tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007. Di antara ketiga metode tersebut, Kostaki memerlukan data standar dalam melakukan proses pendugaan, sehingga metode ini tentu saja tidak berlaku untuk negara yang belum mempunyai data standar. Oleh karena itu, bagi suatu negara yang belum memiliki data standar, seperti negara Indonesia, metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange dan Elandt-Johnson yang direkomendasikan untuk digunakan. Di antara metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange
𝑝𝑥
dan Elandt-Johnson, metode Elandt-Johnson yang paling direkomendasikan untuk digunakan, karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dalam penggunaannya. Data standar Amerika Serikat tidak dapat diterapkan di Indonesia karena tingkat kematian bayi di Amerika Serikat berbeda dengan tingkat kematian bayi di Indonesia. Berdasarkan hasil yang telah diperoleh metode Elandt-Johnson adalah metode yang paling cocok diterapkan di Indonesia, disamping mudah dalam penggunaannya, metode Elandt-Johnson juga tidak memerlukan data standar. Berdasarkan nilai koefisien metode Elandt-Johnson yang telah diperoleh dengan menggunakan data Amerika Serikat, tentu saja berbeda dengan data Indonesia, oleh karena itu dianjurkan untuk mengkomputasi ulang nilai koefisienkoefisien tersebut. Perbandingan antar metode interpolasi berdasarkan nilai 𝑙𝑥 untuk seluruh metode interpolasi yang digunakan diberikan pada Gambar 4.10 di bawah ini.
21
100000 80000
60000
40000
20000
20
Asli Elandt Brass HP Kos KosLag KosHP1 KosHP2
40
60
80
Gambar 4.10 Perbandingan metode interpolasi 𝑙𝑥 tabel hayat ringkas
Berdasarkan Gambar 4.10 ketujuh metode interpolasi mengikuti pola yang sama. Kurva akan menurun sejalan bertambahnya usia. Berdasarkan tipe-tipe kurva bertahan hidup, Gambar 4.10 tersebut mengikuti tipe I yang berarti pada populasi tidak banyak
100
mengalami kematian di awal dan pertengahan usia, namun menurun secara tajam ketika angka kematian meningkat pada kelompok usia tua.
KESIMPULAN 1. 2.
3.
Berdasarkan nilai 𝑅2 , seluruh metode dapat menjelaskan nilai 𝑙𝑥 yang asli. Berdasarkan uji MAE diperoleh tiga metode terbaik yakni metode Elandt Johnson, Kostaki dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange. Di antara ketiga metode tersebut Kostaki memerlukan data standar, sedangkan Elandt Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange tidak memerlukan data standar. Oleh karena itu, bagi negara yang
4.
tidak memiliki tabel hayat lengkap, direkomendasikan Elandt-Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange untuk digunakan. Di antara metode Elandt-Johnson dan modifikasi Kostaki dengan Lagrange, metode Elandt-Johnson yang paling direkomendasikan untuk digunakan, karena metode Elandt-Johnson lebih sederhana dalam penggunaannya.
DAFTAR PUSTAKA Agresti A & Barbara F. 1986. Statistical Methods for the Social Sciences. Ed ke-2. California: Dellen Publishing Company. Brass W. 1971. Biological Aspect of Demography. London: Taylor and Francis. Brown RL. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. Ed ke-3. Winsted: Actec Publications. Draper NR & Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Ed ke-2. Jakarta: Penerbit PT Gramedia Pustaka Utama. Elandt-Johnson RC & Johnson NL. 1980. Survival Models and Data Analysis. New York: Wiley Series. Feldhamer GA. 2007. Mammalogy Adaptation Diversity and Ecology. Ed ke-3. Baltimore, Maryland: The Johns Hopkins University Press. Heath MT. 1996. Scientific Computing an Introductory Survey. New York: McGraw-Hill. Heligman L & Pollard JH. 1980. The Age Pattern of Mortality. Journal of the Institute of Actuaries, 107: 49-80.
Kostaki A. 2000. A Relational Technique for Estimating the Age-Specific Mortality Pattern from Grouped Data. Mathematical Population Studies, 9(1): 83-95. Marquardt D. 1963. An Algoritma for LeastSquares Estimation of Nonlinear Parameter. SIAM J. Appl. Math, 11: 431441. Mathews JH. 1992. Numerical Methods for Mathematics, Science, and Engineering. London: Prentice-Hall. Ranganathan A. 2004. The LevenbergMarquardt Algorithm. From http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/down load?doi=10.1.1.135.865&rep=rep1&typ e=pdf. Siegel JS & Swanson DA. 2004. The Methods and Materials of Demography. Ed ke-2. San Diego, California: Elsevier Inc. Wirosuhardjo K, Munir R, Kusumosuwidho S, Kartoyo A, Muliakusuma S. 1985. Kamus Istilah Demografi. Jakarta: Pusat Pembinaan dan Pengembangan Bahasa.
LAMPIRAN
25
Lampiran 1 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2007 𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
𝑙𝑥 100000 99260 99211 99180 99156 99137 99120 99105 99091 99077 99063 99048 99032 99016 98994 98965 98924 98865 98783 98668 98536 98405 98261 98111 97971 97825 97689 97554 97415 97278 97139 96997 96858 96718 96572 96418 96257 96090 95911 95721 95520 95302 95063 94807 94523 94208 93868
𝑞𝑥 0.00740 0.00049 0.00031 0.00024 0.00020 0.00017 0.00015 0.00015 0.00014 0.00014 0.00015 0.00016 0.00017 0.00022 0.00029 0.00041 0.00060 0.00082 0.00117 0.00133 0.00133 0.00146 0.00153 0.00143 0.00148 0.00140 0.00138 0.00142 0.00142 0.00143 0.00146 0.00143 0.00144 0.00151 0.00160 0.00166 0.00174 0.00186 0.00198 0.00209 0.00229 0.00250 0.00269 0.00300 0.00333 0.00361 0.00392
𝑑𝑥 740 49 31 24 20 16 15 15 14 14 15 16 17 22 29 41 59 82 116 132 131 144 150 140 145 137 135 138 138 139 142 139 140 146 155 160 168 179 190 200 219 239 256 285 315 340 368
𝐿𝑥 99308 99235 99195 99168 99147 99129 99113 99098 99084 99070 99056 99040 99024 99005 98980 98945 98895 98824 98726 98602 98470 98333 98186 98041 97898 97757 97621 97485 97347 97208 97068 96928 96788 96645 96495 96337 96174 96000 95816 95621 95411 95182 94935 94665 94365 94038 93684
𝑇𝑥 7563759 7464451 7365215 7266020 7166852 7067705 6968577 6869464 6770366 6671282 6572212 6473156 6374116 6275092 6176087 6077107 5978162 5879268 5780443 5681718 5583116 5484645 5386312 5288126 5190085 5092187 4994430 4896809 4799324 4701978 4604770 4507702 4410774 4313986 4217341 4120846 4024508 3928335 3832334 3736519 3640898 3545487 3450305 3355370 3260705 3166339 3072302
𝑒𝑥 75.64 75.20 74.24 73.26 72.28 71.29 70.30 69.31 68.32 67.33 66.34 65.35 64.36 63.37 62.39 61.41 60.43 59.47 58.52 57.58 56.66 55.74 54.82 53.90 52.98 52.05 51.13 50.20 49.27 48.34 47.40 46.47 45.54 44.60 43.67 42.74 41.81 40.88 39.96 39.04 38.12 37.20 36.29 35.39 34.50 33.61 32.73
26
𝑥 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
𝑙𝑥 93500 93114 92688 92225 91717 91163 90582 89940 89275 88544 87786 86986 86139 85256 84257 83284 82189 80988 79676 78319 76886 75377 73780 72050 70252 68327 66292 64124 61860 59420 56925 54268 51537 48664 45641 42550 39406 36176 32895 29672 26446 23251 20318 17302 14507 11944 9633 7584 5838
𝑞𝑥 0.00414 0.00456 0.00500 0.00551 0.00603 0.00638 0.00709 0.00739 0.00819 0.00856 0.00911 0.00974 0.01026 0.01171 0.01154 0.01315 0.01461 0.01621 0.01703 0.01830 0.01962 0.02119 0.02346 0.02495 0.02740 0.02978 0.03271 0.03531 0.03944 0.04199 0.04668 0.05032 0.05574 0.06213 0.06771 0.07390 0.08196 0.09070 0.09798 0.10872 0.12083 0.12614 0.14845 0.16151 0.17668 0.19350 0.21268 0.23026 0.24181
𝑑𝑥 387 425 464 508 553 581 642 665 731 758 800 847 884 998 973 1096 1200 1312 1357 1433 1509 1597 1731 1798 1925 2035 2168 2264 2440 2495 2657 2731 2873 3024 3090 3144 3230 3281 3223 3226 3196 2933 3016 2794 2563 2311 2049 1746 1412
𝐿𝑥 93307 92901 92457 91971 91440 90873 90261 89607 88909 88165 87386 86563 85697 84756 83771 82737 81589 80332 78998 77603 76132 74579 72915 71151 69289 67310 65208 62992 60640 58173 55597 52902 50101 47152 44095 40978 37791 34536 31284 28059 24848 21784 18810 15904 13226 10789 8609 6711 5132
𝑇𝑥 2978617 2885310 2792409 2699953 2607982 2516542 2425669 2335409 2245802 2156892 2068727 1981341 1894778 1809081 1724325 1640554 1557817 1476229 1395897 1316899 1239296 1163165 1088586 1015671 944520 875231 807921 742713 679721 619081 560908 505312 452409 402309 355156 311061 270083 232291 197756 166472 138413 113565 91780 72971 57066 43841 33052 24443 17732
𝑒𝑥 31.86 30.99 30.13 29.28 28.44 27.60 26.78 25.97 25.16 24.36 23.57 22.78 22.00 21.22 20.47 19.70 18.95 18.23 17.52 16.81 16.12 15.43 14.75 14.10 13.44 12.81 12.19 11.58 10.99 10.42 9.85 9.31 8.78 8.27 7.78 7.31 6.85 6.42 6.01 5.61 5.23 4.88 4.52 4.22 3.93 3.67 3.43 3.22 3.04
27
𝑥 𝑙𝑥 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝐿𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 96 4426 0.26006 1151 3851 12600 2.85 97 3275 0.27878 913 2819 8750 2.67 98 2362 0.29787 704 2010 5931 2.51 99 1658 0.31719 526 1395 3921 2.36 100 1132 0.33662 381 942 2526 2.23 101 751 0.35603 267 617 1584 2.11 102 484 0.37528 182 393 966 2.00 103 302 0.39426 119 243 573 1.90 104 183 0.41283 76 145 331 1.81 105 107 0.43090 46 84 185 1.72 106 61 0.44836 27 47 101 1.65 107 34 0.46513 16 26 54 1.59 108 18 0.48115 9 14 28 1.53 109 9 0.49636 5 7 14 1.49 110 5 1 5 7 7 1.46 Sumber: USA Life Table. Human Mortality Database. www.mortality.org, 4 September 2011.
28
Lampiran 2 Tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007 𝑥 𝑙𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 𝑛𝑞𝑥 𝑛𝑑𝑥 𝑛𝐿𝑥 0 100000 0.00740 740 99308 7563759 75.64 1 99260 0.00124 123 396745 7464451 75.20 5 99137 0.00074 74 495494 7067705 71.29 10 99063 0.00099 98 495105 6572212 66.34 15 98965 0.00434 429 493991 6077107 61.41 20 98536 0.00721 711 490929 5583116 56.66 25 97825 0.00702 687 487418 5092187 52.05 30 97139 0.00742 721 483924 4604770 47.40 35 96418 0.00930 897 479948 4120846 42.74 40 95520 0.01374 1313 474559 3640898 38.12 45 94208 0.02105 1983 466386 3166339 33.61 50 92225 0.03199 2950 454151 2699953 29.28 55 89275 0.04502 4019 436721 2245802 25.16 60 85256 0.06545 5580 413184 1809081 21.22 65 79676 0.09572 7626 380226 1395897 17.52 70 72050 0.14143 10190 335949 1015671 14.10 75 61860 0.21332 13196 277413 679721 10.99 80 48664 0.32404 15769 204553 402309 8.27 85 32895 0.47404 15593 124785 197756 6.01 90 17302 0.66258 11464 55238 72971 4.22 95 5838 0.80602 4705 15207 17732 3.04 100 1132 0.90508 1025 2340 2526 2.23 105 107 0.95612 103 178 185 1.72 110 5 1 5 7 7 1.46 Sumber: USA Life Table. Human Mortality Database. www.mortality.org, 4 September 2011.
29
Lampiran 3 Tabel hayat lengkap Amerika Serikat 2002 𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
𝑙𝑥 100000 99238 99185 99149 99122 99099 99080 99064 99049 99032 99016 98999 98981 98959 98933 98902 98858 98784 98695 98575 98438 98303 98162 98026 97888 97753 97623 97488 97359 97232 97097 96959 96818 96681 96528 96368 96196 96016 95820 95607 95379 95124 94856 94571 94263 93923 93564
𝑞𝑥 0.00762 0.00053 0.00036 0.00027 0.00023 0.00019 0.00016 0.00016 0.00017 0.00016 0.00018 0.00018 0.00022 0.00026 0.00032 0.00044 0.00075 0.00091 0.00121 0.00139 0.00138 0.00143 0.00138 0.00141 0.00138 0.00133 0.00138 0.00132 0.00131 0.00139 0.00142 0.00146 0.00142 0.00158 0.00166 0.00178 0.00188 0.00204 0.00222 0.00239 0.00267 0.00281 0.00300 0.00326 0.00361 0.00382 0.00425
𝑑𝑥 762 52 36 27 23 19 16 16 17 16 17 17 22 26 32 43 74 90 119 137 136 141 136 138 135 130 135 128 127 135 138 141 137 153 160 172 181 195 213 229 255 267 285 308 340 359 398
𝐿𝑥 99288 99212 99167 99136 99110 99090 99072 99056 99040 99024 99008 98990 98970 98946 98917 98880 98821 98739 98635 98507 98370 98232 98094 97957 97821 97688 97555 97423 97296 97165 97028 96889 96749 96605 96448 96282 96106 95918 95714 95493 95251 94990 94714 94417 94093 93744 93365
𝑇𝑥 7442342 7343055 7243843 7144676 7045540 6946430 6847340 6748268 6649211 6550171 6451147 6352140 6253149 6154179 6055233 5956315 5857436 5758614 5659875 5561240 5462733 5364363 5266130 5168036 5070079 4972259 4874571 4777016 4679592 4582297 4485132 4388104 4291215 4194466 4097861 4001413 3905131 3809025 3713107 3617393 3521900 3426648 3331658 3236944 3142527 3048434 2954691
𝑒𝑥 74.42 73.99 73.03 72.06 71.08 70.10 69.11 68.12 67.13 66.14 65.15 64.16 63.17 62.19 61.21 60.22 59.25 58.29 57.35 56.42 55.49 54.57 53.65 52.72 51.79 50.87 49.93 49.00 48.07 47.13 46.19 45.26 44.32 43.38 42.45 41.52 40.60 39.67 38.75 37.84 36.93 36.02 35.12 34.23 33.34 32.46 31.58
30
𝑥 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
𝑙𝑥 93166 92747 92289 91801 91276 90717 90129 89502 88844 88098 87360 86530 85632 84633 83590 82469 81235 79931 78536 77059 75489 73791 72010 70089 68036 65871 63628 61226 58698 56053 53295 50439 47493 44440 41322 38153 34892 31706 28436 25158 21901 18816 15890 13153 10703 8549 6607 4996 3662
𝑞𝑥 0.00450 0.00494 0.00528 0.00572 0.00612 0.00649 0.00695 0.00735 0.00840 0.00838 0.00949 0.01038 0.01166 0.01233 0.01341 0.01496 0.01605 0.01746 0.01881 0.02037 0.02249 0.02414 0.02668 0.02930 0.03182 0.03404 0.03776 0.04128 0.04506 0.04921 0.05359 0.05839 0.06430 0.07016 0.07669 0.08548 0.09131 0.10314 0.11526 0.12947 0.14085 0.15552 0.17225 0.18628 0.20127 0.22719 0.24376 0.26693 0.27983
𝑑𝑥 419 458 487 525 559 589 627 658 746 738 829 898 999 1043 1121 1234 1304 1395 1477 1570 1698 1781 1921 2054 2165 2242 2403 2527 2645 2759 2856 2945 3054 3118 3169 3261 3186 3270 3278 3257 3085 2926 2737 2450 2154 1942 1610 1334 1025
𝐿𝑥 92956 92518 92045 91539 90997 90423 89815 89173 88471 87729 86945 86081 85133 84112 83030 81852 80583 79234 77797 76274 74640 72901 71050 69062 66953 64750 62427 59962 57376 54674 51867 48966 45967 42881 39737 36522 33299 30071 26797 23529 20359 17353 14521 11928 9626 7578 5801 4329 3150
𝑇𝑥 2861326 2768369 2675851 2583806 2492268 2401271 2310848 2221033 2131860 2043389 1955660 1868715 1782633 1697501 1613389 1530359 1448507 1367923 1288690 1210892 1134618 1059978 987077 916027 846965 780011 715262 652835 592873 535497 480823 428956 379990 334024 291143 251406 214884 181585 151515 124718 101188 80830 63477 48955 37028 27402 19824 14023 9694
𝑒𝑥 30.71 29.85 28.99 28.15 27.30 26.47 25.64 24.82 24.00 23.19 22.39 21.60 20.82 20.06 19.30 18.56 17.83 17.11 16.41 15.71 15.03 14.36 13.71 13.07 12.45 11.84 11.24 10.66 10.10 9.55 9.02 8.50 8.00 7.52 7.05 6.59 6.16 5.73 5.33 4.96 4.62 4.30 3.99 3.72 3.46 3.21 3.00 2.81 2.65
31
𝑥 𝑙𝑥 𝑞𝑥 𝑑𝑥 𝐿𝑥 𝑇𝑥 𝑒𝑥 96 2638 0.30000 791 2242 6544 2.48 97 1846 0.32042 592 1551 4302 2.33 98 1255 0.34093 428 1041 2751 2.19 99 827 0.36139 299 678 1710 2.07 100 528 0.38164 202 427 1033 1.96 101 327 0.40153 131 261 605 1.85 102 195 0.42092 82 154 344 1.76 103 113 0.43970 50 88 190 1.68 104 63 0.45775 29 49 102 1.61 105 34 0.47500 16 26 53 1.54 106 18 0.49137 9 14 27 1.48 107 9 0.50681 5 7 13 1.43 108 5 0.52129 2 3 6 1.39 109 2 0.53480 1 2 3 1.35 110 1 1 1 1 1 1.33 Sumber: USA Life Table. Human Mortality Database. www.mortality.org, 4 September 2011.
32
Lampiran 4 Nilai 𝑙𝑥 untuk masing-masing metode yang digunakan 𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46
Elandt 100000 99260 99233 99200 99167 99137 99112 99093 99079 99070 99063 99061 99054 99036 99007 98965 98909 98837 98751 98650 98536 98406 98267 98122 97974 97825 97684 97546 97409 97274 97139 97001 96861 96718 96570 96418 96259 96092 95914 95724 95520 95298 95059 94798 94515 94208 93875
Brass 100000 99132 99077 99040 99013 98989 98970 98954 98938 98921 98905 98888 98870 98847 98821 98790 98746 98673 98585 98467 98333 98203 98068 97938 97808 97681 97559 97433 97314 97196 97072 96946 96817 96693 96554 96410 96256 96095 95920 95731 95530 95305 95071 94822 94555 94261 93952
HP 100000 99750 99685 99664 99653 99644 99635 99625 99614 99602 99589 99575 99559 99539 99515 99482 99440 99386 99317 99234 99136 99025 98903 98772 98636 98496 98355 98214 98074 97935 97798 97661 97525 97387 97246 97102 96952 96795 96629 96452 96264 96061 95843 95607 95352 95075 94775
Kos 100000 99260 99213 99181 99157 99137 99120 99106 99092 99077 99063 99048 99033 99014 98992 98965 98925 98856 98773 98662 98535 98394 98248 98108 97965 97825 97689 97548 97413 97280 97139 97003 96863 96727 96576 96418 96263 96099 95922 95729 95522 95292 95051 94794 94516 94209 93874
KosLag 100000 99260 99229 99194 99162 99137 99117 99104 99092 99081 99064 99055 99041 99022 98997 98965 98900 98823 98736 98639 98536 98394 98251 98107 97965 97826 97689 97553 97416 97279 97139 97005 96867 96724 96575 96418 96264 96099 95921 95729 95521 95300 95061 94800 94517 94209 93876
KosHP1 100000 99260 99210 99185 99163 99138 99126 99112 99097 99081 99065 99046 99027 99007 98987 98967 98882 98797 98711 98625 98538 98397 98256 98114 97971 97828 97691 97554 97417 97279 97141 97032 96908 96766 96604 96420 96284 96129 95953 95752 95523 95324 95097 94839 94545 94210 93909
KosHP2 100000 99260 99228 99197 99167 99138 99122 99107 99092 99078 99064 99043 99023 99003 98984 98966 98876 98788 98702 98618 98536 98388 98243 98101 97962 97825 97683 97543 97406 97271 97138 97029 96905 96763 96601 96417 96281 96126 95950 95749 95520 95321 95094 94836 94542 94207 93906
33
𝑥 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95
Elandt 93513 93119 92691 92225 91715 91165 90575 89945 89275 88569 87819 87019 86166 85256 84280 83238 82126 80940 79676 78331 76901 75380 73764 72050 70237 68317 66283 64132 61860 59490 56981 54336 51561 48664 45664 42566 39390 36157 32895 29675 26467 23308 20239 17302 14408 11811 9518 7530 5838
Brass 93611 93254 92865 92452 92010 91542 91051 90529 89984 89368 88760 88079 87344 86528 85679 84767 83765 82707 81575 80376 79101 77719 76266 74694 73005 71215 69347 67331 65189 62923 60531 58018 55385 52606 49712 46705 43536 40357 37000 33528 29958 26450 22993 19626 16483 13601 10886 8531 6491
HP 94449 94094 93709 93290 92835 92341 91804 91222 90589 89904 89161 88356 87486 86545 85529 84433 83251 81980 80614 79149 77579 75901 74110 72203 70178 68032 65766 63379 60873 58253 55524 52694 49772 46772 43708 40598 37461 34321 31202 28129 25128 22228 19454 16832 14382 12126 10077 8245 6634
Kos 93502 93110 92682 92226 91702 91145 90558 89933 89277 88565 87861 87070 86212 85258 84306 83282 82153 80958 79677 78350 76937 75405 73793 72049 70230 68304 66300 64142 61859 59448 56917 54277 51533 48663 45655 42569 39360 36189 32893 29702 26461 23316 20252 17300 14520 11996 9636 7599 5836
KosLag 93513 93117 92689 92226 91708 91156 90567 89941 89275 88576 87828 87028 86172 85256 84282 83241 82129 80942 79676 78336 76908 75388 73770 72050 70248 68333 66301 64144 61860 59487 56979 54335 51561 48664 45656 42557 39385 36156 32895 29689 26483 23319 20242 17301 14427 11826 9523 7528 5838
KosHP1 93566 93176 92732 92228 91777 91265 90684 90025 89278 88659 87958 87165 86269 85259 84389 83408 82305 81066 79678 78466 77110 75597 73915 72051 70380 68534 66503 64281 61862 59582 57117 54470 51649 48666 45704 42617 39432 36180 32897 29583 26325 23166 20146 17303 14376 11762 9471 7501 5840
KosHP2 93563 93173 92729 92225 91774 91262 90681 90022 89275 88656 87955 87162 86266 85256 84386 83405 82302 81063 79675 78463 77107 75594 73912 72048 70377 68531 66500 64278 61859 59579 57114 54467 51646 48663 45701 42614 39429 36177 32894 29580 26322 23163 20143 17300 14373 11759 9468 7498 5837
34
𝑥 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
Elandt 4402 3250 2345 1651 1132 741 474 296 180 107 62 35 19 10 5
Brass 4854 3530 2498 1716 1144 742 464 283 166 95 53 28 17 7 4
HP 5242 4064 3086 2292 1663 1176 810 542 352 221 135 79 45 24 13
Kos 4419 3266 2354 1653 1130 746 478 297 179 104 57 30 14 5 0
KosLag 4408 3254 2347 1651 1132 747 479 299 182 107 63 35 19 10 5
KosHP1 4379 3220 2321 1639 1134 743 476 298 182 109 62 35 20 11 6
KosHP2 4376 3217 2318 1636 1131 740 473 295 179 106 59 32 17 8 3
35
Lampiran 5 Proses perhitungan persamaan (4.1) dan persamaan (4.2) Proses perhitungan persamaan (4.1) 𝑥 75 80 85 90 95 100 105
𝑦𝑥 0.1042 0.1701 0.2790 0.4718 0.7124 1.0245 1.3304
Proses perhitungan persamaan (4.2) 𝑥 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
𝑆̂(𝑥 + 𝑖) 0.6844 0.6581 0.6304 0.6011 0.5704 0.5428 0.5093 0.4748 0.4393 0.4033 0.3947 0.3560 0.3175 0.2796 0.2428 0.1189 0.0990 0.0812 0.0654 0.0517 0.0237 0.0179 0.0132 0.0095 0.0067 0.0004 0.0003 0.0002 0.0001 0.0001 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000
𝑐̂𝑥̅ 1.1029 1.1041 1.1108 1.0859 1.0754 1.0537
𝑏�𝑥̅ 1.0002 1.0002 1.0001 1.0013 1.0038 1.0434
36
Lampiran 6 Program mencari parameter metode Brass Logit dengan software Mathematica 7.0 Clear[𝑥, data, lxdata, lsdata, persamaanlinear] lxdata = List[99260,99137,99063,98965,98536,97825,97139,96418,95520,94208,92225, 89275,85256,79676,72050,61860,48664,32895,17302,5838,1132,107,5]; lsdata = List[99238,99099,99016,98902,98438,97753,97097,96368,95379,93923,91801, 88844,84633,78536,70089,58698,44440,28436,13153,3662,528,34,1]; lx = lxdata/100000//𝑁; ls = lsdata/100000//𝑁; 𝑙 1 ] logit[𝑙_]: = ∗ Log[ 1−𝑙 2 data = Transpose[{logit[1 − ls], logit[1 − lx]}]; persamaanlinear = LinearModelFit[data, 𝑥, 𝑥] FittedModel[−0.153774 + 0.909879𝑥] Show[ListPlot[data], Plot[persamaanlinear[𝑥], {𝑥, −6,6}], Frame → True, AxesLabel → {"logit(1−s lx )", "logit(1 − lx )"}]
logit 1l x
4
2
logit 1s l x
0 2 4 6
4
2
0
2
persamaanlinear[{"ParameterTable", "RSquared"}]
"" {1 𝑥
"Estimate" −0.1537743 0.9098793
"Standard Error" 0.0141179 0.0066636
"t Statistic" −10.8921346 136.544727
4
6
"P- Value" 4.251195 × 10−10 s, 0.99887} 1.8762081 × 10−32
37
Lampiran 7 Program pendugaan parameter Heligman-Pollard dengan software Mathematica 7.0 Clear[nqxAsli, nqxduga, nqxdugaawal, nqxdugaakhir, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ, HeligmanPollard];
Input data:
nqxAsli = List[0.00074,0.00099,0.00434,0.00721,0.00702,0.00742,0.0093,0.01374,0.02105, 0.03199,0.04502,0.06545,0.09572,0.14143,0.21332,0.32404,0.47404,0.66258, 0.80602,0.90508,0.95612,0.00124];
Model yang digunakan:
4
HeligmanPollard = 1 − �
𝑖=0
(1 −
𝑐
𝑎(𝑥+𝑖+𝑏) +𝑑𝑒 𝑐
𝑥+𝑖 2 −𝑒(Log[ ]) 𝑓 +𝑔ℎ𝑥+𝑖 −𝑒(Log[
1+(𝑎 (𝑥+𝑖+𝑏) +𝑑𝑒
nqxduga = HeligmanPollard/. 𝑥 → Range[5,105,5]; nqxdugaawal = 1 − (1 − (1 −
SSE = (�
nqxduga�[1]� nqxAsli�[1]�
nqxduga�[5]�
�
nqxAsli�[5]�
nqxduga�[9]�
�
nqxAsli�[9]�
2
2
nqxAsli�[17]� nqxAsli�[21]�
2
nqxAsli�[2]�
nqxduga�[6]� nqxAsli�[6]�
nqxAsli�[10]�
2
− 1� + �
)(1 −
2
− 1� + � 2
𝑐
1+𝑎 (4+𝑏) +𝑒
nqxAsli�[3]�
nqxduga�[7]� nqxAsli�[7]�
nqxdugaawal
2
nqxAsli[[22]]
2
nqxAsli�[19]�
2
nqxAsli�[4]�
nqxduga�[8]� nqxAsli�[8]�
2
2
− 1� +
nqxAsli�[12]�
− 1� + � 2
2
− 1� +
nqxduga�[12]�
− 1� + �
nqxAsli�[15]�
);
)
nqxduga�[4]�
− 1� + �
nqxduga�[19]�
− 1� + �
− 1� );
2
− 1� + �
nqxduga�[15]�
− 1� + �
nqxAsli�[18]�
4 −𝑒Log[ ]2 𝑓 𝑑+𝑔ℎ4
nqxAsli�[11]�
nqxAsli�[14]�
2
𝑐
nqxduga�[11]�
− 1� + � 2
2 −𝑒Log[ ]2 𝑓 𝑑+𝑔ℎ2
1+𝑎 (2+𝑏) +𝑒
nqxduga�[3]�
2
nqxduga�[18]�
𝑐
𝑎 (2+𝑏) +𝑒
2 −𝑒Log[ ]2 𝑓 𝑑+𝑔ℎ2 4 −𝑒Log[ ]2 𝑐 𝑓 𝑑+𝑔ℎ4 𝑎(4+𝑏) +𝑒
)(1 −
− 1� + �
nqxduga�[14]�
− 1� + � 2
3 −𝑒Log[ ]2 𝑓 𝑑+𝑔ℎ3
nqxduga�[2]�
− 1� + �
Pendugaan parameter:
𝑐
nqxduga�[10]�
− 1� + �
nqxduga�[21]�
�
𝑐
1+𝑎(3+𝑏) +𝑒
− 1� + �
nqxduga�[17]�
�
1 −𝑒Log[ ]2 𝑓 𝑑+𝑔ℎ1 3 −𝑒Log[ ]2 𝑐 𝑓 𝑑+𝑔ℎ3 𝑎 (3+𝑏) +𝑒
2
nqxAsli�[13]�
1 −𝑒Log[ ]2 𝑓 𝑑+𝑔ℎ1
1+𝑎 (1+𝑏) +𝑒
− 1� + �
nqxduga�[13]�
�
𝑐
𝑎 (1+𝑏) +𝑒
);
𝑥+𝑖 2 ]) 𝑓 +𝑔ℎ𝑥+𝑖 )
nqxduga�[16]� nqxAsli�[16]�
nqxduga�[20]�
− 1� + �
nqxAsli�[20]�
2
− 1� + 2
− 1� + 2
− 1� +
fitt = Table[FindMinimum[{SSE, 0.0073 ≤ 𝑎 ≤ 0.0075,1 ≤ 𝑏 ≤ 710, RandomReal[{0,0.07}] ≤ 𝑐 ≤ RandomReal[{0.071,1}], RandomReal[{0,0.0008}] ≤ 𝑑 ≤ RandomReal[{0.00081,0.001}], 1 ≤ 𝑒 ≤ 15,20 ≤ 𝑓 ≤ 25, RandomReal[{0,0.000001}] ≤ 𝑔 ≤ RandomReal[{0.0000011,0.000 1}], 0.9 ≤ ℎ ≤ 1.1}, {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒, 𝑓, 𝑔, ℎ}], {10}]
Output:
{{1.1391281922264287, {𝑎 → 0.0074999865698298146, 𝑏 → 4.359884617397285, 𝑐 → 0.27208100797158424, 𝑑 → 0.000998506683691164, 𝑒 → 4.033520297812883, 𝑓 → 24.999999926578266, 𝑔 → 0.000025640766568661973, ℎ → 1.099999999977046}}, {13.299796999132504, {𝑎 → 0.007403520433155727, 𝑏 → 360.56089081898364, 𝑐 → 0.4361304189339733, 𝑑 → 0.0008089609635047426, 𝑒 → 1.7991080468583138, 𝑓 → 23.462108004723877, 𝑔 → 0.000002882309346860669, ℎ → 1.099999969431693}}, {1.045806939897588, {𝑎 → 0.007499999461686173, 𝑏 → 4.2785634972404125, 𝑐 → 0.27458375705368476, 𝑑 → 0.0008602907434061359, 𝑒 → 3.7427510632537393, 𝑓 → 24.999999978879313, 𝑔 → 0.000027076122250515703, ℎ → 1.0999999999992272}}, {0.35640135922511573, {𝑎 → 0.0074999999936434724, 𝑏 →
38
5.6603285475683505, 𝑐 → 0.2714268304767759, 𝑑 → 0.0009021762227318356, 𝑒 → 6.086025654118944, 𝑓 → 22.42148269875636, 𝑔 → 0.00004946598986210241, ℎ → 1.0952754843667802}}, {2.0602076533922022, {𝑎 → 0.007499988481388074, 𝑏 → 4.470759417852883, 𝑐 → 0.268017995336688, 𝑑 → 0.000988109541132117, 𝑒 → 3.743212387082024, 𝑓 → 24.999999948498132, 𝑔 → 0.00002109865278672281, ℎ → 1.0999999999827237}}, {10.96729657041606, {𝑎 → 0.007492782131452117, 𝑏 → 4.575490525484187, 𝑐 → 0.2602754633190756, 𝑑 → 0.0008372567595527568, 𝑒 → 2.5561932350429784, 𝑓 → 24.999982431249126, 𝑔 → 0.000003492638258982369, ℎ → 1.099999986030083}}, {𝟎. 𝟏𝟕𝟐𝟒𝟐𝟎𝟖𝟎𝟕𝟗𝟎𝟗𝟔𝟎𝟓𝟑𝟒, {𝒂 → 𝟎. 𝟎𝟎𝟕𝟑𝟐𝟔𝟓𝟑𝟖𝟑𝟒𝟖𝟎𝟒𝟏𝟖𝟕𝟖, 𝒃 → 𝟒. 𝟐𝟏𝟎𝟒𝟖𝟒𝟑𝟕𝟐𝟕𝟓𝟒𝟕𝟑𝟗, 𝒄 → 𝟎. 𝟐𝟗𝟎𝟒𝟕𝟔𝟔𝟏𝟑𝟏𝟔𝟐𝟔𝟓𝟐𝟑, 𝒅 → 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟗𝟑𝟕𝟖𝟎𝟏𝟖𝟑𝟑𝟔𝟗𝟕𝟖𝟔𝟗, 𝒆 → 𝟕. 𝟖𝟔𝟓𝟗𝟑𝟓𝟓𝟖𝟑𝟕𝟏𝟒𝟕𝟎𝟑, 𝒇 → 𝟐𝟑. 𝟑𝟎𝟓𝟕𝟖𝟓𝟐𝟕𝟎𝟓𝟖𝟓𝟐𝟏𝟓, 𝒈 → 𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟓𝟕𝟖𝟐𝟗𝟖𝟏𝟎𝟐𝟒𝟔𝟎𝟎𝟒𝟗𝟓, 𝒉 → 𝟏. 𝟎𝟗𝟐𝟖𝟎𝟕𝟎𝟒𝟖𝟑𝟑𝟏𝟒𝟐𝟔𝟓}}, {9.942015721592709, {𝑎 → 0.007300118252991337, 𝑏 → 709.9962882380826, 𝑐 → 0.08650070450130788, 𝑑 → 0.0008288135984176202, 𝑒 → 4.2399740303451114, 𝑓 → 24.99999943314436, 𝑔 → 0.000004663946577175658, ℎ → 1.0999999996455043}}, {0.3750752202931471, {𝑎 → 0.007300000201314345, 𝑏 → 9.405589530816027, 𝑐 → 0.23136155904177336, 𝑑 → 0.0008462538455968148, 𝑒 → 7.1520389929802635, 𝑓 → 23.93410859738141, 𝑔 → 0.000052041830338635155, ℎ → 1.0944639584043534}}, {0.5726385095910188, {𝑎 → 0.007300006056795492, 𝑏 → 235.7741490618909, 𝑐 → 0.12548995045043607, 𝑑 → 0.0008505581001974448, 𝑒 → 9.905168585460386, 𝑓 → 23.106992723158672, 𝑔 → 0.00006105700710172143, ℎ → 1.0919178770358835}}}
39
Lampiran 8 Perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 pada metode Kostaki
Berdasarkan persamaan (3.7) dengan menggunakan data standar 2002, proses perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 dijelaskan di bawah ini:
Untuk 𝑥 = 1 dan 𝑛 = 4 4𝐾1
=
= = =
ln�1 − 4𝑞1 �
∑3𝑖=0 ln�1 − 𝑞 (S)1+𝑖 � ln�1 −
𝑞 (S)
1
ln�1 − 4𝑞1 �
� + ln�1 − 𝑞 (S) 2 � + ln�1 − 𝑞 (S) 3 � + ln�1 − 𝑞 (S) 4 �
ln(1 − 0.0012) ln(1 − 0.0005) + ln(1 − 0.0004) + ln(1 − 0.0003) + ln(1 − 0.0002)
−0.0012 = 0.8925 −0.0014
Perhitungan dengan cara yang sama dilanjutkan untuk 𝑥 = 5,10,15,...,105 dan 𝑛 = 5. Hasil perhitungan lengkap dapat dilihat pada tabel berikut: 𝑥 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
𝑛𝐾𝑥 0.8812 0.8538 0.9249 1.0359 1.0461 0.9870 0.9053 0.8999 0.9314 0.9931 0.9488 0.9053 0.8842 0.8598 0.8622 0.8771 0.8334 0.8498 0.8468 0.8620 0.8858
40
Lampiran 9 Nilai koefisien untuk menghitung 𝑛𝑞𝑥 (I) dengan metode modifikasi Kostaki Lagrange
Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑛𝑞𝑥 (I) dengan 11 ≤ 𝑥 ≤ 95. (I) 5𝑞5𝑚+1 (I) 5𝑞5𝑚+2 (I) 5𝑞5𝑚+3 (I) 5𝑞5𝑚+4 (I) 5𝑞5𝑚+5
5𝑞5𝑚−10
5𝑞5𝑚−5
0.0081 0.0116 0.0108 0.0063 0.0000
dengan 𝑚 = 2 untuk ⋮ ⋮ 𝑚 = 18 untuk
(I) 5𝑞11
-0.0739 -0.0998 -0.0874 -0.0493 0.0000
5𝑞5𝑚 0.8870 0.6989 0.4659 0.2218 0.0000
5𝑞5𝑚+5
0.2218 0.4659 0.6989 0.8870 1.0000
5𝑞5𝑚+10
-0.0493 -0.0874 -0.0998 -0.0739 0.0000
5𝑞96
5𝑞99
(I)
5𝑞97 5𝑞98
(I) (I)
5𝑞100
(I)
5𝑞103
(I)
5𝑞101 5𝑞102 5𝑞104 5𝑞105 5𝑞106 5𝑞107 5𝑞108 5𝑞109
5𝑞110
(I) (I) (I) (I) (I) (I) (I)
(I)
(I)
0.0063 0.0108 0.0116 0.0081 0.0000
(I)
− 5𝑞14 ⋮ (I) (I) 𝑞 − 5 90 5𝑞95
Koefisien yang digunakan untuk menghitung 𝑛𝑞𝑥 (I) dengan 96 ≤ 𝑥 ≤ 110. (I)
5𝑞5𝑚+15
5𝑞85
0.0081 0.0116 0.0108 0.0063 0.0000 -0.0063 -0.0108 -0.0116 -0.0081 0.0000 0.0113 0.0228 0.0300 0.0255 0.0000
5𝑞90
-0.0739 -0.0998 -0.0874 -0.0493 0.0000 0.0461 0.0762 0.0806 0.0547 0.0000 -0.0739 -0.1478 -0.1914 -0.1613 0.0000
5𝑞95
0.8870 0.6989 0.4659 0.2218 0.0000 -0.1690 -0.2611 -0.2621 -0.1702 0.0000 0.2150 0.4189 0.5299 0.4378 0.0000
5𝑞100
0.2218 0.4659 0.6989 0.8870 1.0000 1.0138 0.9139 0.6989 0.3830 0.0000 -0.3942 -0.7181 -0.8611 -0.6810 0.0000
5𝑞105
-0.0493 -0.0874 -0.0998 -0.0739 0.0000 0.1267 0.3046 0.5242 0.7661 1.0000 1.1827 1.2566 1.1482 0.7661 0.0000
5𝑞110
0.0063 0.0108 0.0116 0.0081 0.0000 -0.0113 -0.0228 -0.0300 0.0255 0.0000 0.0591 0.1676 0.3444 0.6129 1.0000
41
Lampiran 10 Perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 pada metode modifikasi Kostaki dengan Lagrange
Berdasarkan persamaan (3.9) dengan menggunakan data 𝑛𝑞𝑥 (I) yang berasal dari hasil interpolasi persamaan (3.11), proses perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 dijelaskan di bawah ini: Untuk 𝑥 = 1 dan 𝑛 = 4 4𝐾1
=
=
ln�1 − 4𝑞1 �
∑3𝑖=0 ln�1 − 4𝑞𝑥+𝑖 (I) �
ln�1 − 4𝑞1 = =
(I) �
ln�1 − 4𝑞1 �
+ ln�1 − 4𝑞2 (I) � + ln�1 − 4𝑞3 (I) � + ln�1 − 4𝑞4 (I) �
ln(1 − 0.0012) ln(1 − 0.0012) + ln(1 − 0.0014) + ln(1 − 0.0012) + ln(1 − 0.0010)
−0.0012 = 0.2549 −0.0049
Perhitungan dengan cara yang sama dilanjutkan untuk 𝑥 = 5,10,15,...,105dan 𝑛 = 5. Hasil perhitungan lengkap dapat dilihat pada tabel berikut: 𝑥 1 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
𝑛𝐾𝑥 0.2549 0.2656 0.0885 0.1526 0.1987 0.1983 0.1853 0.1712 0.1674 0.1665 0.1731 0.1708 0.1698 0.1686 0.1661 0.1630 0.1629 0.1596 0.1672 0.1713 0.1767 0.1732
42
Lampiran 11 Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) berdasarkan model HP 1 𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
𝑛𝑞𝑥
(I)
0.0012 0.0006 0.0006 0.0006 0.0007 0.0009 0.0009 0.0010 0.0011 0.0052 0.0052 0.0053 0.0053 0.0053 0.0054 0.0054 0.0054 0.0055 0.0055 0.0056 0.0056 0.0056 0.0057 0.0057 0.0057 0.0057 0.0058 0.0058 0.0058 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 0.0022 0.0025 0.0029 0.0033 0.0038 0.0043 0.0049 0.0056 0.0064
𝑥 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
𝑛𝑞𝑥
(I)
0.0073 0.0083 0.0095 0.0108 0.0124 0.0141 0.0161 0.0183 0.0209 0.0238 0.0271 0.0308 0.0351 0.0399 0.0453 0.0514 0.0583 0.0661 0.0748 0.0846 0.0955 0.1077 0.1212 0.1361 0.1526 0.1706 0.1903 0.2117 0.2348 0.2596 0.2861 0.3141 0.3435 0.3741 0.4058 0.4384 0.4714 0.5047 0.5380 0.5709 0.6032 0.6346 0.6650 0.6940 0.7216 0.7475 0.7719
𝑥 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
𝑛𝑞𝑥
(I)
0.7945 0.8154 0.8346 0.8522 0.8682 0.8828 0.8959 0.9077 0.9183 0.9277 0.9362 0.9437 0.9504 0.9563 0.9615 0.9662
43
Lampiran 12 Perhitungan nilai konstanta 1
𝑛𝐾𝑥
pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP
Berdasarkan persamaan (3.9) dengan menggunakan data 𝑛𝑞𝑥 (I) yang berasal dari hasil interpolasi persamaan (3.11) pada Lampiran 16, proses perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 dijelaskan di bawah ini: Untuk 𝑥 = 1 dan 𝑛 = 4 4𝐾1
=
=
ln�1 − 4𝑞1 �
∑3𝑖=0 ln�1
− 4𝑞𝑥+𝑖 (I) �
ln�1 − 4𝑞1 �
ln�1 − 4𝑞1 (I) � + ln�1 − 4𝑞2 (I) � + ln�1 − 4𝑞3 (I) � + ln�1 − 4𝑞4 (I) � = =
ln(1 − 0.0012) ln(1 − 0.0012) + ln(1 − 0.0006) + ln(1 − 0.0006) + ln(1 − 0.0006)
−0.0012 = 0.4097 −0.0030
Perhitungan dengan cara yang sama dilanjutkan untuk 𝑥 = 5,10,15,...,105 dan 𝑛 = 5. Hasil perhitungan lengkap dapat dilihat pada tabel berikut: 𝑥 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
𝑛𝐾𝑥 0.1571 0.0376 0.1595 0.2564 0.2435 1.6844 1.0854 0.8258 0.6531 0.5140 0.3762 0.2872 0.2241 0.1817 0.1578 0.1492 0.1511 0.1695 0.1820 0.1976 0.2081
44
Lampiran 13 Nilai 𝑛𝑞𝑥 (I) berdasarkan model HP 2 𝑥 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47
𝑛𝑞𝑥
(I)
0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0.0010 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0063 0.0060 0.0058 0.0056 0.0055 0.0053 0.0052 0.0051 0.0050 0.0048 0.0047 0.0047 0.0046 0.0045 0.0044 0.0043 0.0043 0.0042 0.0041 0.0041 0.0007 0.0008 0.0009 0.0010 0.0011 0.0013 0.0015 0.0017 0.0019 0.0022 0.0025 0.0029 0.0033 0.0038 0.0043 0.0049 0.0056 0.0064
𝑥 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94
𝑛 𝑞𝑥
(I)
0.0073 0.0083 0.0095 0.0108 0.0124 0.0141 0.0161 0.0183 0.0209 0.0238 0.0271 0.0308 0.0351 0.0399 0.0453 0.0514 0.0583 0.0661 0.0748 0.0846 0.0955 0.1077 0.1212 0.1361 0.1526 0.1706 0.1903 0.2117 0.2348 0.2596 0.2861 0.3141 0.3435 0.3741 0.4058 0.4384 0.4714 0.5047 0.5380 0.5709 0.6032 0.6346 0.6650 0.6940 0.7216 0.7475 0.7719
𝑥 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
𝑛𝑞𝑥
(I)
0.7945 0.8154 0.8346 0.8522 0.8682 0.8828 0.8959 0.9077 0.9183 0.9277 0.9362 0.9437 0.9504 0.9563 0.9615 0.9662
45
Lampiran 14 Perhitungan nilai konstanta 2
𝑛𝐾𝑥
pada metode modifikasi Kostaki dengan model HP
Berdasarkan persamaan (3.9) dengan menggunakan data 𝑛𝑞𝑥 (I) yang berasal dari hasil interpolasi persamaan (3.11) pada Lampiran 19. proses perhitungan nilai konstanta 𝑛𝐾𝑥 dijelaskan di bawah ini: Untuk 𝑥 = 1 dan 𝑛 = 4 4𝐾1
=
=
ln�1 − 4𝑞1 �
∑3𝑖=0 ln�1
− 4𝑞𝑥+𝑖 (I) �
ln�1 − 4𝑞1 �
ln�1 − 4𝑞1 (I) � + ln�1 − 4𝑞2 (I) � + ln�1 − 4𝑞3 (I) � + ln�1 − 4𝑞4 (I) � = =
ln(1 − 0.0012) ln(1 − 0.0011) + ln(1 − 0.0011) + ln(1 − 0.0011) + ln(1 − 0.0010) −0.0012 = 0.2903 −0.0043
Perhitungan dengan cara yang sama dilanjutkan untuk 𝑥 = 5,10,15,...,105 dan 𝑛 = 5. Hasil perhitungan lengkap dapat dilihat pada tabel berikut: 𝑥 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105
𝑛𝐾𝑥 0.1577 0.0337 0.1707 0.3157 0.3345 1.6845 1.0855 0.8259 0.6531 0.5141 0.3762 0.2872 0.2241 0.1817 0.1578 0.1492 0.1511 0.1695 0.1820 0.1976 0.2081
46
Lampiran 15 Langkah yang dilakukan dalam melakukan pendugaan parameter model HP alternatif Langkah yang dilakukan dalam melakukan pendugaan parameter model Heligman-Pollard menggunakan Software MATLAB. Model HP 1 Nama file HP1anakanak.m (persamaan (3.16)) function F = HP1anakanak(x,xdata) F = ((x(1).^(xdata+x(2)).^x(3))./(1+((x(1).^(xdata+x(2)).^x(3))+ x(4).*exp(-x(5).*(log(xdata./x(6))).^2)+x(7).*(x(8).^xdata)))); Nama file HP1muda.m (persamaan (3.17)) function F = HP1muda(x,xdata) F = ((x(4).*exp(x(5).*(log(xdata./x(6))).^2))./(1+((x(1).^(xdata+x(2)).^x(3))+ x(4).*exp(-x(5).*(log(xdata./x(6))).^2)+x(7).*(x(8).^xdata)))); Nama file HP1tua.m (persamaan (3.18)) function F = HP1tua(x,xdata) F = ((x(7).*(x(8).^xdata))./(1+((x(1).^(xdata+x(2)).^x(3))+ x(4).*exp(-x(5).*(log(xdata./x(6))).^2)+x(7).*(x(8).^xdata)))); Model HP 2 Nama file HP2anakanak.m (persamaan (3.19)) function F = HP2anakanak(x,xdata) F = ((x(1).^(xdata+x(2)).^x(3))./(1+((x(1).^(xdata+x(2)).^x(3))))); Nama file HP2muda.m (persamaan (3.20)) function F = HP2muda(x,xdata) F = ((x(1).*exp(-x(2).*(log(xdata./x(3))).^2))./(1+((x(1).*exp(x(2).*(log(xdata./x(3))).^2))))); Nama file HP2tua.m (persamaan (3.21)) function F = HP2tua(x,xdata) F = ((x(1).*(x(2).^xdata))./(1+(x(1).*(x(2).^xdata)))); Misalkan untuk menduga parameter pada persamaan (3.16) Pada command window ketik: >> optimtool Problem Setup and Result Solver → lsqcurvefit – Nonlinear curve fitting Algorithm → Levenberg-Marquardt Problem Objective function → @HP1anakanak (nama file fungsi yang akan dipanggil) Derivatives → Approximated by solver Start point → [1 1 1 1 1 1 1 1] (nilai awal untuk masing-masing parameter) 𝑋 Data→ [1 5 10] (Usia anak-anak) 𝑌 Data→ [0.00124 0.00074 0.00099] (Data yang berasal dari tabel hayat ringkas Amerika Serikat 2007) Start Output 𝑥(1)0.7804
47
𝑥(2)18.3491 𝑥(3)0.9316 𝑥(4)10.8156 𝑥(5)1.7012 𝑥(6)2.3520 𝑥(7)7.6251 𝑥(8)0.6697
