MODEL SISTEM ANTRIAN
Pendahuluan • Teori antrian ditemukan oleh AK Erlang seorang ahli matematika Denmark tahun 1909 • Sistem antrian berkembang karena fasilitas pelayanan (server) yang semakin mahal dan terbatas • Hampir setiap organisasi selalu ada proses yang menimbulkan antrian
Pendahuluan • Contoh antrian dalam kehidupan sehari-hari Sistem
subjek kedatangan
antrian
fasilitas
Bandara
pesawat
mendarat
landasan
SPBU
kendaraan
pengisian bbm
pompa/petugas
Toko
pelanggan
bayar belanja
kasir
Pendahuluan • Teori antrian dapat digunakan untuk memberikan informasi dalam membuat keputusan yang berkaitan dengan permasalahan antrian • Tujuan utama teori antrian adalah untuk mencari kondisi keseimbangan antara ongkos pelayanan dengan ongkos yang disebabkan oleh adanya antrian • Contoh : Swalayan yang mempunyai 6 buah kasir, agar dicapai keseimbangan, maka akan digunakan sistem buka tutup kasir sesuai dengan panjang antrian
Pendahuluan Ada 2 faktor penting yang mempengaruhi tujuan dari sistem antrian : 1. Biaya akibat penyediaan pelayanan (cost of providing service). Diusahakan tidak terlalu banyak fasilitas pelayanan yang menganggur (idle) karena akan menimbulkan biaya operasional tinggi 2. Biaya akibat ketidakpuasan kustomer (cost of customer dissatisfaction). Tingginya permintaan layanan tanpa diikuti dengan kapasitas pelayanan yang memadai dapat menyebabkan ketidakpuasan pelanggan
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian Sistem antrian pada dasarnya terdiri dari 6 komponen, yaitu : 1. Sumber input (calling population) sumber input dapat berupa populasi individu seperti orang atau barang yang datang pada sistem untuk mendapat pelayanan. Karakteristik yang perlu diketahui adalah ukuran populasi bisa terbatas atau tak terbatas 2. Pola kedatangan (arrival patern) cara individu-individu dari populasi dalam memasuki sistem antrian : Ada yang pola kedatanganya konstan, ada yang acak Perilaku kedatangan ada yang berkelompok ada yang satu per satu
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian Pola Kedatangan : Antar waktu kedatangan adalah cara yang dipakai untuk menggambarkan pola kedatangan dengan mendefinisikan interval antar kedatangan yang berurutan, yaitu : 1. Untuk satu pola yang tidak memiliki variansi, maka waktu antar kedatanganya konstan 2. Untuk satu pola yang berubah-ubah, maka diperlukan fungsi probabilitas antar waktu kedatngan, antara lain : A. Pola kedatangan Poisson terjadi secara acak, artinya waktu kedatangan berikutnya tidak tergantung pada kedatangan sebelumnya B. Pola kedatangan Erlang misalkan entitas 1 masuk menuju ke server 1, server 2 dan server 3 untuk dilayani secara bertingkat, jika entitas 1 belum selesai dilayani oleh ke 3 server, maka entitas 2 tidak boleh masuk ke server 1 menunggu entitas 1 selesai dilayani oleh server 3
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian 3. Antrian (queue) • Antrian menunjukan aktivitas individu yang menunggu untuk dilayani • Banyaknya invividu dalam antrian disebut panjang antrian • Antrian terjadi jika kapasitas pelayanan lebih kecil dari jumlah individu yang memasuki sistem dan memerlukan pelayanan
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian Ada 3 macam perilaku individu dalam antrian : 1. Balking : Perilaku individu yang meninggalkan sistem sebelum masuk antrian 2. Renege : Perilaku individu yang sudah masuk antrian tapi meninggalkan antrian sebelum dilayani 3. Jockey : Perilaku individu yang sudah masuk antrian kemudian pindah ke jalur antrian yang lain
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian 4. Disiplin antrian Merupakan pedoman yang digunakan untuk menseleksi individu yang masuk antrian untuk dilayani lebih dulu. Ada 5 macam disiplin antrian : a) FIFO (First In First Out) / FCFS (First Come First Served) : pelayanan disesuaikan dengan urutan kedatangan, individu yang pertama datang, maka akan dilayani terlebih dahulu b) LIFO (Last In First Out) / LCFS (Last Come First Served) : ndividu yang terakhir datang, akan dilayani terlebih dahulu (berupa tumpukan)
Lanjutan : Ada 5 macam disiplin antrian : c) SIRO (Service In Random Order): pelayanan dilakukan secara random atau acak. contoh : pelayanan di toko yang tidak punya jalur antrian d) SOT (Shortest Operating Time) / SPT (Shortest Processing Time) : Pelayanan yang membutuhkan waktu paling cepat akan dilayani dahulu e) PR (Priority): Mendahulukan pelayanan pada individu dengan prioritas tertentu
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian 5.
Waktu Pelayanan Menunjukan waktu yang digunakan untuk melayani individu dalam suatu sistem. Waktu pelayanan ini bisa konstan ataupun random Ada 3 macam mekanisme pelayanan : 1). Paralel terdapat banyak fasilitas pelayanan untuk jenis pelayanan yang sama 2). Seri terdapat fasilitas pelayanan yang berjenjang dan harus dilalui oleh setiap individu 3). Kombinasi Paralel dan Seri terdapat banyak fasilitas pelayanan untuk setiap jenjang
Komponen dan Karakteristik Model Sistem Antrian 6.Keluar Sesudah individu dilayani, maka individu tersebut dianggap telah keluar dari sistem (departure) dan bergabung dengan populasi kembali
Model Sistem Antrian
Model Sistem Antrian
Struktur Model Antrian Berdasarkan sifat dari proses pelayananya, model sistem dapat dikelompokan berdasarkan fasilitas pelayannanya : • Channel (single atau multiple) Channel menunjukkan jumlah saluran atau jalur masuk ke dalam sistem • Phase (single atau multiple) Phase menunjukan jumlah server yang harus dilalui oleh individu dalam sistem agar pelayanan yang diterima lengkap
Struktur Model Antrian Berdasarkan Channel dan Phasenya, model antrian dikelompokan menjadi : 1). Single Channel Single Phase (SCSP) terdapat saluran dan pelayanan tunggal 2). Single Chanel Multi Phase (SCMP) sistem ini hanya terdapat satu saluran masuk dan lebih dari satu server yang bertingkat 3). Multi Channel Single Phase (MCSP) sistem ini terdapat lebih dari satu saluran masuk dan terdapat lebih dari satu server yang sejenis 4). Multi Channel Multi Phase (MCMP) sistem ini memiliki lebih dari satu saluran masuk dan server yang bertingkat
Struktur Model Antrian
Notasi Model dan Notasi Ukuran Kinerja Untuk menyederhanakan penggunaan symbol-simbol dan asumsi-asumsi yang dimiliki oleh model, digunakan notasi kendall dengan format :
Contoh : M/M/1/I/I
Lanjutan : Notasi Model dan Notasi Ukuran Kinerja 1. Tingkat kedatangan : M untuk random berdistribusi Poisson, D untuk konstan, E untuk random berdistribusi Erlang dan G untuk normal dengan rata-rata dan varians 2 2. Tingkat pelayanan : M untuk random berdistribusi eksponensial, D untuk konstan, E untuk random berdistribusi Erlang dan G untuk distribusi normal dengan rata-rata dan varians 2 3. Jumlah server : S (jumlah fasilitas pelayanan) tunggal atau banyak 4. Besar Populasi : I untuk infinite, F untuk Finite (terbatas) 5. Panjang Antrian/Kapasitas Sistem : I untuk infinite, F untuk Finite (terbatas)
Notasi Variabel Kinerja Sistem Antrian Notasi
Keterangan
Ukuran
tingkat kedatangan rata-rata
unit/jam
1/
waktu antar ketadangan rata-rata
jam/unit
tingkat pelayanan rata-rata
unit/jam
1/
waktu antar pelayanan rata-rata
jam/unit
N
jml individu dlm sistem dlm waktu tertentu
unit
Lq
jml individu rata-2 dalam antrian
unit
Ls
jml individu dlm sistem total
unit
Wq
waktu rata-rata dlm antrian
jam
Ws
waktu rata-rata dlm sistem total
jam
S P
jumlah fasilitas pelayanan (server) tingkat kegunaan fasilitas pelayanan
unit persen
Lanjutan : Notasi Variabel Kinerja Sistem Antrian Notasi
Keterangan
Ukuran
M
panjang maksimum kapasitas sistem
unit
Pn
probabilitas juml n individu dlm sistem
frek.rel
Po
probabilitas tidak adaindividu dlm sistem
frek.rel
Pw
probabilitas menunggu dlm antrian
frek.rel
Contoh Aplikasi Model Antrian : • Single Server : M/M/1/I/I – Tingkat kedatangan M = random berdistribusi poison – Tingkat pelayanan M = random berdistribusi eksponensial
• Ukuran Kinerja : – – – – – –
tingkat kegunaan server : P = / jumlah individu dalam antrian : Lq = 2 / ((-)) jumlah individu dalam sistem : Ls = / (-) waktu rata-rata dlm antrian : Wq = /( (-)) waktu menunggu rata-rata dlm sistem : Ws = 1/ (-) prob terdapat n individu dlm sistem : Pn = (1-P)Pn
Single Server : M/M/1/I/I Sebuah restoran melayani pelanggannya langsung di dalam mobil mereka, restoran ini telah lama dan terkenal, tetapi manajer pemasaran prihatin dengan panjangnya antrian pada jam-jam sibuk, yaitu saat makan siang dan malam, beberapa pelanggan sering mengadu tentang waktu menunggu yang berlebihan, dengan kondisi ini, manajer merasa akan kehilangan pelanggan, tingkat kedatangan rata-rata pelanggan selama periode puncak mencapai 50 mobil/jam . Tingkat kedatangan diasumsikan random berdistribusi Poisson, waktu pelayanan rata-rata 1 menit / mobil sedangkan tingkat pelayanan random berdistribusi eksponensial, lakukan analisis ini dengan menghitungukurankinerja(performance measure) darirestoran ini 1. 2. 3. 4. 5. 6.
tingkat kegunaan pelayanan restoran jumlah rata-rata pelanggan dlm antrian jumlah rata-rata pelanggan dlm sistem wktu menunggu rata-rata dlm antrian waktu menunggu rata-rata dlm sistem prob lebih dari 1 mobil dalam sistem
Lanjutan : Single Server : M/M/1/I/I Diketahui : • Tingkat kedatangan : = 50 mobil /jam, Waktu pelayanan : 1/ = 1 menit / mobil sehingga tingkat pelayanan = 60 mobil /jam • single server : M/M/1/I/I ukuran kinerja : a). tingkat kegunaan pelayanan : P = / = 50/60 = 0,8333 atau b). jumlah rata-rata pelanggan dalam antrian : Lq = 2 / (-) = 502 / 60(60-50) = 4,1667 mobil c). jmh rata-2 pelanggan dlm sistem :Ls =/(-)=50/60-50 = 5 mbl d). waktu rata-rata dlm antrian : Wq = / (-) = 50/60(60-50) = 0,0833 jam atau 5 menit e). waktu menunggu rata-rata dlm sistem : Ws = 1/(-) =1/(60-50) = 0,1 jam atau 6 menit f). prob terdapat lebih dari 1 mobil dlm sistem : Pn>1 = 1-(P0 +P1) = 0,6944 P0=(1-0,8333)(0,8333)0 = 0,1667 P1=(1-0,8333)(0,8333)1 = 0,1389
Single Server : M/G/1/I/I Contoh Aplikasi Model Antrian : a. single server : M/G/1/I/I – Tingkat kedatangan M = random berdistribusi poison – Tingkat pelayanan G = berdistribusi normal dengan rata-rata dan varians 2
b. ukuran kinerja :
– tingkat kegunaan server : P = / – jumlah individu dalam antrian (panjang antrian) : – – – –
Lq = (22 + P2 )/ 2 (1-P)
jumlah individu dalam sistem : Ls = Lq + P waktu rata-rata dlm antrian : Wq = Lq / waktu rata-rata dlm sistem : Ws = Wq + (1/) prob terdapat 0 individu dlm sistem : P0 = 1-P
Lanjutan : Single Server : M/G/1/I/I Contoh : Truk tiba pada suatu fasilitas untuk dikosongkan dalam pola karakteristik sebagai distribusi poisson, rata-rata tingkat kedatangan 3 truk / jam, waktu pelayanan distribusi normal dengan rata-rata waktu pelayanan 1,5 menit dan standar deviasi 0,2 menit, pengemudi dibayar sebesar Rp. 50.000 / jam dan ia tidak harus mengosongkan truknya sendiri, berapa besar pengeluaran rata-rata dari perusahaan truk akibat waktu menganggur dari tiap pengemudi ketika berada pada fasilitas itu
Lanjutan : Single Server : M/G/1/I/I Diketahui : a. single server : M/G/1/I/I, karena pelayanan mengikuti distribusi normal dengan rata-rata 1/ dan varians 2 b. tingkat kedatangan : = 3 truk/jam waktu pelayanan : 1/ = 1,5 menit/truk dan =0,2 menit atau 0,0033 jam tingkat pelayanan : = 40 truk/jam c. ukuran kinerja : – tingkat kegunaan server : P = 3 / 40 = 0,075 – jumlah individu dalam antrian (panjang antrian) :
Lq = (32.0,22 + 0,0752)/ 2 (1-0,075) = 0,003094 truk
– waktu rata-rata dlm antrian :
Wq = 0,003094 / 3 = 0,001031 jam
Lanjutan : Single Server : M/G/1/I/I – waktu rata-rata dlm sistem :
Ws = 0,001031 + (1/40) = 0,026031 jam Jadi setiap pengemudi berada dalam sistem 0,026031 jam, ini adalah waktu pengemudi menganggur, sehingga perusahaan merasa rugi sebesar Rp. 50.000 x 0,026031 =Rp. 1.301, 559.
Single Server : M/D/1/I/I Contoh Aplikasi Model Antrian : a.single server : M/D/1/I/I – Tingkat kedatangan M = random berdistribusi poison – Tingkat pelayanan D = konstan / tetap sehingga 2=0 b.ukuran kinerja : – tingkat kegunaan server : P = / – jumlah individu dalam antrian (panjang antrian) : Lq = P2 / 2 (1-P) – jumlah individu dalam sistem : Ls = Lq + P – waktu rata-rata dlm antrian : Wq = Lq / – waktu rata-rata dlm sistem : Ws = Wq + (1/) – prob terdapat 0 individu dlm sistem : P0 = 1-P
Lanjutan :Single Server : M/D/1/I/I Contoh Soal : Pemilik kedai minuman akan menguji mesin pembuat jus jeruk otomatis yang dapat mengupas dan memeras jeruk serta menuangkan air ke dalam gelas sehingga pemilik tinggal mengambil jus jeruk siap saji dari mesin tersebut. Dalam memproses sebuah jeruk menjadi jus siap saji, mesin ini memerlukan waktu yang konstan yaitu 2 menit/pembeli. Kelihatanya menyenangkan. Namun mesin tersebut memerlukan ongkos tambahan biaya listrik. Sebelum membeli mesin tersebut , pemilik akan melakukan simulasi guna mengetahui sampai berapa besar manfaat dari mesin tersebut. Dari pengalaman sehari-hari, tingkat permintaan jus jeruk ratarata sebesar 10 pembeli per jamnya dan diasumsikan berdistribusi poisson. Tentukan : • tingkat kegunaan mesin tersebut • berapa jumlah pembeli yang menunggu mendapatkan jus jeruk • waktu rata-rata yang diperlukan oleh pembeli untuk mendapatkan jus jeruk • jumlah pembeli dalam sistem • waktu rata-rata yang dibutuhkan pembeli dalam sistem
Single Server : M/M/1/I/F Contoh Aplikasi Model Antrian : a.single server : M/M/1/I/F – Tingkat kedatangan M = random berdistribusi poison – Tingkat pelayanan M = random distribusi eksponensi – Panjang Antrian/Kapasistas Sistem F = terbatas sebesar M
b.ukuran kinerja :
– tingkat kegunaan server : P = / – probabilitas tidak terdapat individu dlm sistem :
Po = (1-P) / (1-PM+1)
– proporsi individu yg hilang karena sistem penuh :
PM = PM Po
Lanjutan : Single Server : M/M/1/I/F – probabilitas fasilitas pelayanan sibuk : PW = 1 – Po – jumlah individu dalam sistem :Ls =(Pq – MPPM)/(1-P) – jumlah individu dalam antrian: Lq = Ls – ((1-PM))/ – waktu rata-rata dalam sistem : Ws = Ls / ((1-PM)) – waktu rata-rata dalam antrian : Wq = Ws – (1/ ) – probabilitas terdapat N individu dalam sistem :
PN = (1- p).PN / (1- PM+1)
Lanjutan : Single Server : M/M/1/I/F Contoh Soal : Restoran M saat ini merupakan salah satu restoran yang paling diminati di kota semarang karena masakan fast foodnya yang lezat. Pemilik restoran agak pusing, karena lahan parkir yang dimilikinya hanya cukup untuk menampung 15 mobil saja dan kalau tampak penuh, maka calon pembeli lain akhirnya tidak jadi makan di restoran tersebut. Tingkat kedatangan pengunjung pada jam sibuk rata-rata 14 mobil per jamnya dan didistribusikan secara poisson. Dan tingkat pelayanan rata-rata 20 mobil per jam yang basa dilayani dan didistribusikan secara eksponensial. Lakukan analisis terhadap kinerja sistem yang ada saat ini dan dibandingkan apabila pimpinan berniat memperluas lahan parkir sehingga cukup untuk 25 mobil atau 30 mobil, lebih baik atau lebih buruk ?
Multi Server : M/M/S/I/I Contoh Aplikasi Model Antrian : a.multi server : M/M/S/I/I – Tingkat kedatangan M = random berdistribusi poison – Tingkat pelayanan M = random distribusi eksponensi – Jumlah server S = lebih dari 1, misal S server mempunyai pelayanan yg sama
b.ukuran kinerja :
– tingkat kegunaan server : P = / S – probabilitas tidak terdapat individu dlm sistem :
Po = 1/ Jml
Lanjutan :Multi Server : M/M/S/I/I – Probabilitas terdapat n individu dalam sistem
Pn = (/)n Po / n ! Pn = (/)n Po / S! Sn-s
; jika 0 n s ; jika n > s
– probabilitas semua server sibuk :
PW = (/)s (S) Po / (S! (S– ))
– rata-rata jumlah individu dalam sistem :
Ls =[ () (/)s Po / (S-1)! (S - )2 ] + (/)
– rata-rata jumlah individu dalam antrian :
Lq = Ls – (/)
– waktu rata-rata dalam sistem : Ws = Ls / – waktu rata-rata dalam antrian : Wq = Lq /
Lanjutan :Multi Server : M/M/S/I/I Contoh Soal : Sebuah minimarket mempunyai 2 kasir untuk melayani pembayaran dari pembeli yang berbelanja. Akhir-akhir ini pimpinan sering melihat adanya antrian pembeli yang akan membayar ke kasir dan berencana untuk menambah seoarang kasir lagi. Bila diperkirakan tingkat kedatangan pembeli adalah 8 orang per jam dan tingkat pelayanan dari setiap kasir adalah 5 orang per jam yang dapat dilayani, maka lakukan simulasi untuk mengetahui bagaimana perubahan kinerja sistem apabila dilakukan penambahan kasir menjadi 3 orang, bagaimana keputusan pimpinan apakah jadi menambah 1 kasir lagi ? mengapa ?
Multi Server : M/M/~/I/I Contoh Aplikasi Model Antrian : a.multi server : M/M/~/I/I – Tingkat kedatangan M = random berdistribusi poison – Tingkat pelayanan M = random distribusi eksponensi – Jumlah server S = tidak terbatas (~) jika setiap pembeli dapat melayani diri sendiri
b.ukuran kinerja : – Probabilitas tidak ada individu dalam sistem :
Po = e-/
– Probabilitas terdapat n individu dalam sistem :
Pn = Po (/)n / n!
– Rata-rata jumlah individu dalam sistem : Ls = / Rata-rata jumlah individu dalam antrian : Lq = 0 Waktu rata-rata dalam sistem : Ws =1/ Waktu rata-rata dalam antrian : Wq = 0
Lanjutan : Multi Server : M/M/~/I/I Contoh Soal : Sebuah hotel menyediakan layanan restoran bagi tamutamunya yang menginap. Bagi tamu yang menginap dapat mengambil sendiri berbagai makanan dan minuman yang sudah disediakan secara gratis pada saat jam-jam makan sebagai salah satu fasilitas menginap di hotel tersebut. Tingkat kedatangan tamu yang memanfaatkan fasilitas tersebut rata-rata adalah 45 orang per hari dan didistribusikan secara poisson, sedangkan setiap tamu ratarata membutuhkan waktu 1,5 menit untuk mengambil makanan dan minuman, sebagai bahan evaluasi bagi manager restoran, lakukan analisis apakah penyediaan fasilitas restoran secara swalayan ters
TUGAS 3 : KERJAKAN SOAL YANG TERDAPAT PADA HALAMAN 28, 30, 33 DAN 35 Catatan : Dalam menjawab disertai dengan data yang diperoleh dari perhitungan :
