Jurnal Matematika Vol. 11, No.1, April 2008: 43-51, ISSN: 1410-8518
MODEL PERTUMBUHAN LOGISTIK DENGAN WAKTU TUNDA Henny M. Timuneno1, R. Heri Soelistyo Utomo2, dan Widowati3 1, 2, 3 Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, SH Tembalang Semarang 50275
Abstract. The logistic growth model with time delay has developed from the classical logistic model, where as in the growth logistic model with time delay, the growth process delay from a population is calculated. This delay cause population decrease then increase so oscillation appears in population growth. So, the solution is not a monotonous function. The result of analysis indicate that the logistic growth model with time delay have two equilibrium points. Each equilibrium points is analyzed for their stability based on time delay variation on the population growth. The longer time delay in the population growth can cause the unstable growth, hence the population decrease and become extinct. Keywords: logistic model, time-delay, oscillation, equilibrium.
1. PENDAHULUAN Setiap makhluk hidup selalu meng-alami perubahan dari waktu ke waktu, dimulai dari adanya kelahiran, perkembangan, hingga kematian. Untuk menggambarkan pertumbuhan suatu populasi, pada tahun 1838 Verhulst memperkenalkan suatu model pertumbuhan yang sering disebut model pertumbuhan logistik [4,5,7,8]. Pada model pertumbuhan logistik ini diasumsikan bahwa tidak ada penundaan waktu pada proses pertumbuhan populasi [7]. Selain itu pada model ini dihasilkan solusi yang berbentuk fungsi monoton (naik atau turun), dimana fungsi seperti ini memberikan penafsiran bahwa jumlah populasi akan terus bertambah (tidak pernah berkurang) atau akan terus berkurang (tidak pernah bertambah). Dalam kenyataannya, sepanjang waktu pertumbuhan keadaan lingkungan atau daya dukung lingkungan dapat berubah. Beberapa proses biologi yang melibatkan stadium pertumbuhan, keadan lingkungan yang berubah mengakibatkan pertumbuhan akan megalami penundaan. Waktu tunda ini menyebabkan penurunan populasi tetapi kemudian terjadi peningkatan sehingga terjadi
osilasi pada pertumbuhan populasi [7]. Sehingga solusi yang diperoleh bukan merupakan suatu fungsi yang monoton. Bertolak dari pemikiran tersebut, maka pembahasan dititikberatkan pada pengkajian pengaruh penundaan waktu dalam pertumbuhan populasi dan analisa kestabilan dari model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda. 2. HASIL DAN PEMBAHASAN 2.1 Model Pertumbuhan Logistik Sederhana Salah satu model pertumbuhan populasi adalah model pertumbuhan logistik (logistic growth models). Dengan menggunakan kaidah logistik (logistic law) bahwa persediaan logistik ada batasnya, model ini mengasumsikan bahwa pada masa tertentu jumlah populasi akan mendekati titik kesetimbangan (equilibrium). Pada titik ini jumlah kelahiran dan kematian dianggap sama, sehingga grafiknya akan mendekati konstan (zero growth). Misalkan N (t ) menyatakan jumlah populasi pada saat t, dan R0 menyatakan laju pertumbuhan populasi maka secara umum laju pertumbuhan yang bergantung pada suatu populasi, sebagai berikut [7]: dN = R0 N (1) dt 43
Jurnal Matematika Vol. 11, No.1, April 2008:43-51
Model pertumbuhan logistik dapat diturunkan dengan menggunakan asumsi a. Laju pertumbuhan populasi 1 dN (t ) pada saat N (t ) = 0 N (t ) dt adalah r (dengan r konstan). b. Laju pertumbuhan ini menurun secara linear dan bernilai 0 saat N (t ) = K . r adalah laju pertumbuhan intrinsik (intrinsic growth rate), yaitu nilai yang menggambarkan daya tumbuh suatu populasi, K = carrying capacity, yaitu ukuran maksimum dari suatu populasi. Dalam hal ini diasumsikan r > 0 , yaitu mengingat setiap populasi memiliki potensi untuk berkembang biak, sehingga dari asumsi diatas dapat diturunkan suatu model pertumbuhan populasi yang dikenal dengan persamaan logistik. dN (t ) ⎛ N (t ) ⎞ = rN (t ) ⎜1 − (2) ⎟ dt K ⎠ ⎝ Jika diberikan syarat awal N (0) = N 0 , maka diperoleh solusi khusus dari persamaan logistik ini, yaitu K (3) N (t ) = ⎛ K ⎞ − rt − 1⎟ e + 1 ⎜ ⎝ N0 ⎠ dengan N (t ) : Jumlah populasi pada waktu (t) r : Laju pertumbuhan intrinsik K : Kapasitas pembawaan (carrying capacity)
2.2 Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda Persamaan logistik sederhana tidak tepat diterapkan untuk mendeskripsikan pertumbuhan populasi pada kasus dimana ada keterlambatan (waktu tunda) dalam stadium pertumbuhan. Oleh karena itu dikembangkan suatu model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda. 44
Jika melihat pada model pertumbuhan logistik sederhana sebelumnya (2), maka mekanisme penundaan waktu untuk pertumbuhan populasi dapat dimodelkan dalam persamaan dN (t ) ⎡ N (t − τ ) ⎤ = rN (t ) ⎢1 − , (4) dt K ⎥⎦ ⎣ dengan N (t ) : Jumlah populasi pada waktu t r : Laju pertumbuhan intrinsik (intrinsic growth rate) N (t − τ ) : Jumlah populasi pada saat penundaan K : Carrying capacity τ : waktu tunda Secara analitik model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda sangat sulit untuk diselesaikan, sehingga sulit juga untuk memperoleh solusi eksak dari model tersebut. Oleh karena itu untuk menyelesaikan model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda akan digunakan formulasi waktu diskrit untuk memperoleh solusi numerik. Secara umum model dari pertumbuhan populasi diskrit tanpa penunda-an waktu ditulis sebagai berikut (5) N (t + ∆t ) − N (t ) = R (t )∆tN (t ) , dengan ∆t adalah waktu diskritisasi atau disebut juga selang waktu. Selanjutnya model pertumbuhan diskrit dengan R konstan ditulis sebagai berikut N (t + ∆t ) − N (t ) = R0 ∆tN (t ) , (6) dimana laju pertumbuhan proporsional dengan populasi. Jika pada kasus tertentu seperti bahan makanan yang dibatasi maka laju pertumbuhan akan menurun. Situasi ini dimodelkan dengan persamaan logistik diskrit sebagai berikut r ⎡ ⎤ N (t + ∆t ) − N (t ) = ∆tN (t ) ⎢ r − N (t ) ⎥ . ( 7 ) ⎣ K ⎦ Persamaan ini secara otomatis digunakan dalam perhitungan suatu penundaan ∆t . Perubahan dalam populasi bergantung pada populasi ∆t waktu yang lalu. Jika digunakan formulasi diskrit dari pertumbuhan populasi, dan pada penambahan pertumbuhan terjadi penundaan waktu sebesar
Henny M. Timuneno, R. Heri Soelistyo Utomo, dan Widowati Model Pertumbuhan Logistik ... )
τ , maka model pertumbuhan diskrit r ⎡ ⎤ N 2 = N (∆t + ∆t ) = N1 ⎢1 + (∆tr − ∆t N (∆t − ∆t )) ⎥ , dengan R0 konstan adalah K ⎣ ⎦ N (t + ∆t ) − N (t ) = R0 ∆tN (t − τ ) ( 8 ) sedangkan model pertumbuhan logistik r ⎡ ⎤ diskrit dengan waktu tunda τ diberikan N 3 = N (2∆t + ∆t ) = N 2 ⎢1 + (∆tr − ∆t N (2∆t − ∆t )) ⎥ , K ⎣ ⎦ seperti di bawah ini r M ⎡ ⎤ N (t + ∆t ) − N (t ) = ∆tN (t ) ⎢ r − N (t − τ ) ⎥ , ⎣ K ⎦ r ⎡ ⎤ N m = N (m∆t ) = N m−1 ⎢1 + (∆tr − ∆t N (m∆t − ∆t )) ⎥ . (9) K ⎣ ⎦ dengan pengukuran dilakukan pada setiap selang waktu ∆t . Untuk menganalisa lebih jauh Dengan syarat awal t0 = 0, pada m persamaan (9), diasumsikan suatu unit dari ∆t , t ≡ m∆t maka dapat ditulis populasi N(t) bertambah secara teratur sebagai berikut setiap tahun ( ∆t = 1 ). Penambahan N (t ) = N (m∆t ) ≡ N m , individu pada area yang diberikan serta dengan menggunakan notasi dari bergantung pada sumber makanan, persamaan logistik diskrit dengan waktu dimana perubahan bergantung pada tunda, persamaan (10) menjadi berapa banyak sumber makanan yang r ⎡ ⎤ dikonsumsi oleh individu tersebut seN m +1 = N m ⎢1 + (r ∆t − ∆tN m−1 ) ⎥ , K lama tahun sebelumnya. Pada bagian ⎣ ⎦ ini, diasumsikan juga penundaan waktu r ⎡ ⎤ N m +1 − N m = N m ⎢ r ∆t − ∆tN m −1 ⎥ , dalam mekanisme pertumbuhan juga K ⎣ ⎦ satu tahun ( τ = ∆t =1). Penyederhanaan dengan model untuk proses ini adalah persamaN m +1 : Jumlah populasi pada m + 1 unit dari an logistik diskrit dengan waktu tunda ∆t sebagai berikut r ⎡ ⎤ N m : Jumlah populasi pada m unit dari ∆t N (t + ∆t ) − N (t ) = ∆tN (t ) ⎢ r − N (t − ∆t ) ⎥ . ⎣ K ⎦ N m −1 : Jumlah populasi pada m − 1 unit dari ( 10 ) ∆t Dari persamaan (10) bila Jika persamaan di atas disederhanakan maka diberikan syarat awal t0 = 0 , N (0) = N 0 dihasilkan persamaan dan N1 = N (∆t ) maka solusi dari (11) N m +1 − N m = N m (α − β N m −1 ) , persamaan (10) dapat langsung r dengan α = r ∆t dan β = ∆t diselesaikan dengan perhitungan K numerik sebagai berikut: Kesetimbangan populasi N E dicapai pada r ⎡ ⎤ N (t + ∆t ) = ∆tN (t ) ⎢ r − N (t − ∆t ) ⎥ , N E = N m , untuk semua m pada persamaan ⎣ K ⎦ (11) N m+1 − N m = N m (α − β N m −1 ) , r ⎡ ⎤ N (t + ∆t ) = N (t ) ⎢1 + (∆tr − ∆t N (t − ∆t )) ⎥ , N E − N E = N E (α − β N E ) , K ⎣ ⎦ N E (α − β N E ) = 0 . Sehingga diperoleh kesetimbangan populasiN 0 = N (0) , N1 = N (∆t ) , nya adalah
45
Jurnal Matematika Vol. 11, No.1, April 2008:43-51
N E = 0 atau α − β N E = 0 ,
β NE = α , α r ∆t NE = = =K . r β ∆t K
2.3 Analisa Kesetimbangan pada Model Pertumbuhan Logistik dengan Waktu Tunda Model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda pada persaman (10) dapat ditulis sebagai berikut N (t + ∆t ) − N (t ) = N (t ) [α − β N (t − τ )]
(12) r dengan α = r ∆t dan β = ∆t . K Model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda di atas mempunyai dua titik kesetimbangan yaitu pada titik N (t ) = 0 dan titik N (t ) = K , untuk setiap t. Untuk menganalisa masingmasing titik kesetimbangan, dilakukan proses linearisasi pada persamaan nonlinear. Proses linearisasai dilakukan di persekitaran titik kesetimbangan dengan meng-gunakan prosedur perturbasi. Pada proses perturbasi ini, parameter perturbasi ε yang digunakan sangat kecil (0 < ε ≤ 1) sehingga ini akan mengakibatkan sangat dekat dengan titik kesetimbangan (equilibrium). 2.3.1 Perturbasi di sekitar titik kesetim-bangan N (t ) = 0 Perturbasi di sekitar titik kesetimbangan N (t ) = 0 ditulis sebagai berikut N (t ) = 0 + ε N1 (t ) , (13) ε N1 (t ) adalah perubahan dari titik kesetimbangan N (t ) = 0 . Selanjutnya persamaan (13) disubstitusikan kedalam persamaan (4) sehingga menghasilkan ε dN1 (t ) r = ε N1 (t )[r − ε N1 (t − τ )] , dt K
equivalen 46
dN1 (t ) r = rN1 (t ) − N1 (t )ε N1 (t − τ ) . (14) dt K Dengan mengabaikan bentuk nonlinear r − N1 (t )ε N1 (t − τ ) , maka diperoleh K dN1 (t ) = rN1 (t ) . Solusi dari persamaan dt tersebut adalah N1 (t ) = cert . Dari solusi yang dihasilkan, hal ini menunjukan bahwa populasi bertumbuh secara ekponensial dan tidak mengarah ke titik kesetimbangan N (t ) = 0 . Sehingga solusi kesetimbangan di titik N (t ) = 0 merupakan kesetimbangan tidak stabil. Selanjutnya akan dilakukan proses per-turbasi di titik kesetimbangan N (t ) = K . 2.3.2 Perturbasi di sekitar titik kesetimbangan N (t ) = K Perturbasi di sekitar titik kesetimbangan N (t ) = K untuk model logistik diskrit ditulis sebagai berikut N m = K + ε ym , εy m ≤ K (15) ε ym adalah perubahan dari titik kesetimbangan N (t ) = K . Selanjutnya persamaan (15) disubstitusikan ke dalam persamaan (11) sehingga menghasilkan K + εy m +1 − ( K + εy m ) = ( K + εy m ) (α − β ( K + εy m −1 )) K + εy m +1 − K − εy m = ( K + εy m ) (α − βK − εβy m −1 ) εy m +1 − εy m = ( K + εy m )(r∆t − r∆t − εβy m −1 ) εy m +1 − εy m = −εβy m −1 ( K + εy m )
εy m +1 − εy m = (−εβy m −1 K ) − (εβy m −1εy m ) .
Dengan mengabaikan bentuk nonlinear − β ym −1 (ε ym ) maka diperoleh persamaan berikut (16) ym +1 − ym = −α ym −1 . dengan α = β K . Persamaan (16) diatas merupakan persamaan differensi koefisien konstan linear. Untuk dapat menentukan perilaku di sekitar titik kesetimbangan, maka terlebih dahulu dilakukan analisa pada persamaan (16).
Henny M. Timuneno, R. Heri Soelistyo Utomo, dan Widowati Model Pertumbuhan Logistik ... )
Diasumsikan solusi dari persamaan tersebut adalah ym = p m . Selanjutnya nilai p ditentukan dengan substitusi ym = p m ke persamaan (16)
ym +1 − ym + α ym −1 = 0 , p − p +α p = 0 , tiap suku dibagi dengan p m −1 , diperoleh persamaan kuadrat untuk p sebagai berikut p2 − p + α = 0 (17) akar-akar dari persamaan kuadrat di atas adalah 1 ± 1 − 4α , p1,2 = 2 sehingga solusi umum dari persamaan (16) dapat ditulis m m ym = c1 p1 + c2 p2 . m +1
m
m −1
Dari akar-akar p1 dan p2 , akan diperoleh hasil sebagai berikut 1 a. Untuk 0 < α < 4 p1 dan p2 merupakan akar-akar real positif, berbeda dan kurang dari 1, dan 0 < p2 < 1 ). ( 0 < p1 < 1 Sehingga solusi dari persamaan (16) mendekati nol. Hal ini berarti titik kesetimbangan N (t ) = K stabil. 1 b. Untuk α = 4 1 p1 = p2 = merupakan akar-akar 2 real positif, sama dan kurang dari 1. Hal ini menunjukkan solusi dari persamaan (16) mendekati nol. Hal ini berarti N (t ) = K stabil. 1 4 1 + i 4α − 1 p1 = dan 2 1 − i 4α − 1 p2 = 2 salah satu akar merupakan konjugate kompleks dari yang lainnya,
c. Untuk α >
p1 = p2 dan θ1 = −θ 2 , sehingga diper-
oleh solusi persamaan differensi sebagai berikut y m = p1
m
(c1e imθ1 + c 2 e − imθ1 )
y m = p1
m
[(c1 cos mθ1 + c1i sin mθ1 ) + (c 2 cos mθ1 − c 2 i sin mθ1 )]
y m = p1
m
y m = p1
[(c1 + c 2 ) cos mθ1 + i (c1 − c 2 ) sin mθ1 ]
m
(c3 cos mθ1 + c 4 sin mθ1 )
dengan p1 =
2 ⎛ ⎛1⎞ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎝2⎠ ⎝
2
4α − 1 ⎞ ⎟⎟ = 2 ⎠
α
θ1 = tan −1 4α − 1 1 < α ≤ 1 , solusi ym 4 berosilasi. Secara umum untuk interval 1 < α < 1 solusi berosilasi di sekitar titik 4 kesetimbangan dan menuju ke nol, disebut dengan osilasi konvergen. Hal ini berarti bahwa kesetimbangan mengarah ke titik N (t ) = K , yang berarti kesetimbangannya stabil. Pada kasus α = 1 , solusi berosilasi tetap atau tidak menjauh maupun mendekati titik kesetimbangan N (t ) = K , hal ini berarti bahwa untuk α = 1 , kesetimbangan di titik N (t ) = K adalah stabil. Penundaan yang semakin besar menyebabkan nilai α yang semakin besar pula sehingga populasi melebihi tingkat kesetimbangannya dan cenderung menjauhi titik kesetimbangan. Hal ini digambarkan untuk α > 1 . Pada bagian ini pertumbuhan populasi berosilasi dengan jumlah yang semakin besar dan tidak menuju ke titik kesetimbangan,disebut dengan osilasi divergen. Oleh karena osilasi yang terjadi tidak menuju ke titik kesetimbangan N (t ) = K , maka untuk α > 1 kesetimbangan menjadi tidak stabil. Selanjutnya akan dianalisa perilaku kesetimbangan di sekitar titik kesetimbangan N (t ) = K untuk model logistik kontinu. Perturbasi di sekitar titik kesetimbangan N (t ) = K ditulis sebagai berikut Untuk interval
47
Jurnal Matematika Vol. 11, No.1, April 2008:43-51
N (t ) = K + ε N1 (t ) , εN1 (t ) ≤ K
(19) ε N1 (t ) adalah perubahan dari titik kesetimbangan N (t ) = K . Selanjutnya persaman (19) disubstitusikan kedalam persamaan (4) sehingga menghasilkan εdN1 (t ) = r ( K + εN1 (t )) dt
⎡ ( K + εN1 (t − τ ) ⎤ ⎢1 − ⎥, K ⎣ ⎦ dN1 (t ) = rK − rK − rN1 (t − τ ) + rN1 (t ) dt rN (t )εN1 (t − τ ) − rN1 (t ) − 1 K
(20) Dengan mengabaikan bentuk nonlinear rN1 (t )ε N1 (t − τ ) pada persamaan (20) K di atas, maka diperoleh persamaan berikut ini dN1 (t ) = − rN1 (t − τ ) (21) dt Dengan mengasumsikan solusi dari persamaan (21) di atas adalah N1 (t ) = ceλt maka persamaan karakteristiknya dapat ditentukan dengan mensubstitusi N1 (t ) = ceλt ke persamaan (21) sehingga diperoleh dN1 (t ) = −rN1 (t − τ ) , dt deλt = − reλ ( t −τ ) , dt λ + re− λτ = 0 , (22) adalah solusi dari perdengan λ samaan karakteristik (22). Pada teori linearisasi, jika terdapat solusi dari persamaan karakte-ristik memiliki bagian real yang bernilai positif maka titik kesetimbangannya dikatakan tidak stabil, dan jika semua solusi dari persamaan karakteristik memiliki bagian real yang bernilai negatif maka titik kesetimbangannya dikatakan stabil.
48
Selanjutnya λ ditulis dalam bentuk bilangan kompleks λ = µ + iv dengan µ dan v masing-masing merupakan bagian real dan imajiner dari λ . Dengan mensubstitusi λ = µ + iv ke persamaan karakteristik (22) diperoleh ( µ + re− µτ cos vτ ) + i (v − re − µτ sin vτ ) = 0 (23) dengan menyamakan komponen real dan imajiner pada ruas kiri dan kanan maka diperoleh µ + re− µτ cos vτ = 0 , (23a) v − re− µτ sin vτ = 0
(23b)
Untuk menganalisa kestabilan di titik N(t) = K maka akan dilihat beberapa kasus dari τ sebagai berikut a. Kasus τ = 0 (Tidak terjadi penundaan pada proses pertumbuhan populasi) Untuk τ = 0 persamaan karakteristik (22) menjadi λ+r =0 , (24) dari persamaan (24) di atas, nilai eigen λ = −r < 0 merupakan suatu bilangan real yang negatif. Solusi untuk persamaan (21) menjadi N1 (t ) = ce − rt . Hal ini berarti bahwa untuk τ = 0 solusi N1 (t ) mendekati 0 atau dapat dikatakan bahwa titik kesetimbangan N(t) = K stabil. (Terjadi penundaan pada b. Kasus τ > 0 proses pertumbuhan populasi) Akan ditentukan syarat dan kondisi dari sehingga agar τ >0 Re λ < 0 kesetimbangan di titik N(t) = K stabil. τ menunjukkan waktu tunda, sehingga τ merupakan variabel bebas yang kontinu. Oleh karena λ merupakan variabel tak bebas yang memuat τ maka λ juga kontinu. Titik N(t) = K stabil jika nilai Re λ = µ bernilai negatif ( µ < 0 ), dalam hal ini µ = 0 menjadi batas atas agar titik kesetimbangan N(t) = K stabil. Oleh karena itu akan dilihat kondisi τ untuk µ =0. Karena τ dan λ kontinu, akan dilihat nilai τ misal τ 0 yang memenuhi
Henny M. Timuneno, R. Heri Soelistyo Utomo, dan Widowati Model Pertumbuhan Logistik ... )
Re λ (τ 0 ) = µ (τ 0 ) = 0 . Dari hal ini maka diperoleh persamaan karakteristik (22) yang memiliki sepasang akar-akar imajiner murni ±iv0 , dengan v0 = v(τ 0 ) . Dari persamaan (23a) untuk µ (τ 0 ) = 0 diperoleh cos v0τ = 0 , dimana menunjukan bahwa v0τ k =
(25)
π
+ 2kπ k = 0,1, 2... 2 , dari µ (τ 0 ) = 0 dan cos v0τ = 0 yang ada diperoleh v0 = v(τ 0 ) pada persamaan (23b) sebagai berikut v0 = re −τ 0 sin v0τ , v0 = r ,
Untuk v0 = r , v0τ k dapat ditulis sebagai berikut π 2 kπ τk = + , k = 0,1, 2... 2r r , Re λ ( τ ) = µ (τ 0 ) = 0 0 Oleh karena itu
τ =τ0 =
π
2r untuk Dengan melihat kondisi dari τ , untuk τ = 0 nilai µ yang diperoleh
τ=
π
2r nilai adalah –r , dan untuk µ yang diperoleh adalah 0. Dari kedua hal tersebut dapat diketahui 0 ≤τ <
π
2r
bahwa untuk nilai Re λ = µ bernilai negatif. Hal ini berarti bahwa kesetimbangan di titik N(t) = K stabil . Selanjutnya akan
τ> dianalisa kestabilan untuk c. Kasus τ >
π
2r Misalkan τ = τ c + ε
π
2r .
τ=
π 2r
+ε
τ=
,
0 < ε ≤1
π
2r Untuk diketahui bahwa nilai µ = 0 dan v = r . Untuk ε yang sangat kecil, µ dan v berubah menjadi µ = δ dan v = r + σ , , (26) 0 < δ ≤1 0 < σ ≤1 dengan δ dan σ akan ditentukan dengan mensubstitusi persamaan (26) ke persamaan (23a) dan persamaan (23b) sehingga diperoleh π π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ r + σ = r exp ⎢ −δ ( + ε ) ⎥ sin ⎢ (r + σ )( + ε ) ⎥ 2r 2r ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (27a) dan π π ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ δ = − r exp ⎢ −δ ( + ε ) ⎥ cos ⎢ (r + σ )( + ε ) ⎥ 2r 2r ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ . (27b) σ Dengan melakukan ekspansi untuk , δ , dan ε yang sangat kecil maka diperoleh r 2ε δ≈ π2 1+ 4 dan 2 r επ σ ≈− ⎛ π2 ⎞ 2 ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝ Dari nilai δ dan σ yang telah diperoleh maka solusi dari persamaan (21) dapat ditulis N1 (t ) = ceλt , N1 (t ) = Re {ce( µ +iv ) t } ,
Dengan mengganti nilai µ dan v yang baru maka N1 (t ) = Re {c exp [δ t + i (r + σ )t ]} ,
⎧ ⎡ ⎪ ⎢ r 2ε t ⎪ N1 (t ) = Re ⎨c exp ⎢ 2 ⎢1 + π ⎪ ⎪ 4 ⎣⎢ ⎩ atau dapat ditulis
⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎫ ⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎪ ⎥ r 2επ ⎟ ⎥ ⎪ ⎢ ⎜ ⎥ exp ⎢it r − ⎬ ⎜ ⎛ π 2 ⎞ ⎟⎥ ⎪ ⎥ 2 ⎜1 + ⎢ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎥ ⎦⎥ 4 ⎠ ⎟⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎢⎣ ⎝ ⎝
49
Jurnal Matematika Vol. 11, No.1, April 2008:43-51
⎧ ⎛ ⎡ ⎪ ⎜ ⎢ 2 r εt ⎪ ⎜ N1 (t ) = Re ⎨c⎜ exp ⎢ ⎢ π2 ⎪ ⎜ ⎢ 1 + ⎜ ⎪ 4 ⎣ ⎩ ⎝ ⎛ ⎡ ⎜ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜ cos t ⎢r − ⎜ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜ ⎣⎢ ⎝
⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ r 2 επ ⎥ + i sin t ⎢r − ⎛ π 2τ ⎞ ⎥ ⎢ ⎟⎥ 2⎜1 + ⎢ ⎜ 4 ⎟⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣⎢
⎛ ⎡ ⎜ ⎢ 2 ⎜ r εt N1 (t ) = c⎜ exp ⎢ ⎢ π2 ⎜ ⎢1 + ⎜ 4 ⎣ ⎝
Untuk nilai
⎤ ⎞⎫ ⎥ ⎟⎪ 2 ⎥ ⎟⎪⎪ r επ ⎥ ⎟⎬ ⎛ π 2τ ⎞ ⎥ ⎟⎪ ⎟⎥⎟ 2⎜1 + ⎜ 4 ⎟ ⎥ ⎟⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎦ ⎠⎭
⎤⎞ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎦⎠
⎛ ⎡ ⎜ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜ cos t ⎢r − ⎜ ⎢ ⎜ ⎢ ⎜ ⎢⎣ ⎝
⎛ π2 2⎜1 + ⎜ 4 ⎝
⎤⎞ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎞⎥⎟ ⎟⎥⎟ ⎟⎥⎟ ⎠⎦⎠
2r
(28)
yang bernilai
π
kesetimbangan stabil.
Untuk nilai ε = 0, atau pada τ =
π
) solusi ber2r osilasi semakin besar dan menjauhi titik kesetimbangan. Hal ini berarti kesetimbangan menjadi tidak stabil. Jika periode dari solusi yang berosilasi di atas adalah T dan periode untuk fungsi trigonometri adalah 2π maka T dapat ditentukan melalui cos ω ( t + T ) = cos ωt + 2π ,
50
adalah sebesar 4τ .
π 2r
π
adalah nilai bifurkasi, yakni 2r nilai yang mengubah suatu keadaan setimbang stabil berubah menjadi suatu keadaan setimbang yang tidak stabil. Dalam hal ini jika waktu tunda τ
meningkat melebihi nilai bifurkasi τ =
π
, 2r maka keadaan setimbang menjadi tidak stabil.
Untuk
τ=
π
belum bisa 2r ditentukan kestabilannya dan perlu pengkajian lebih mendalam mengenai bifurkasi.
π
, 2r solusinya merupakan suatu fungsi cosines yang osilasinya stabil dan tidak mengarah ke titik kesetimbangan. Untuk ε > 0 , semakin besar nilai ε yang dipakai berarti τ (waktu tunda) juga semakin besar. Untuk τ yang semakin besar ( τ >
2r
Nilai τ =
, solusi 2r berosilasi dan menuju ke nol. Hal ini berarti bahwa solusi mengarah ke kesetimbangan populasi, sehingga
π
π
d. Kasus τ =
negatif atau pada τ <
untuk τ <
2 ⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝ Dari perhitungan periode di atas maka dapat diperoleh periode osilasi untuk nilai
τ=
r 2 επ
ε
ω ( t + T ) = ωt + 2π , 2π 2π , = T= ω r +σ 2π 2π T= ≈ 2 r επ r r− 2 ⎛ π ⎞
⎤⎞ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥⎟ ⎥ ⎟⎟ ⎦⎠
3. PENUTUP Berdasarkan pembahasan mengenai model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda dapat disimpulkan bahwa penundaan dalam pertumbuhan populasi yang mengikuti model pertumbuhan logistik menyebabkan terjadinya osilasi sehingga mempengaruhi kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Model pertumbuhan logistik dengan waktu tunda setimbang pada jumlah populasi nol dan pada jumlah populasi yang sama dengan Carrying capacity. Pada jumlah populasi nol, keadaan setimbangnya tidak stabil. Untuk jumlah populasi yang sama dengan Carrying capacity keadaan setimbangnya stabil untuk waktu tunda yang kurang dari
π
, dan tidak 2r stabil untuk waktu tunda yang lebih besar dari
Henny M. Timuneno, R. Heri Soelistyo Utomo, dan Widowati Model Pertumbuhan Logistik ... )
π 2r
, sedangkan untuk waktu tunda yang
sama dengan
π
terjadi bifurkasi. 2r Secara umum semakin besar waktu tunda dalam per-tumbuhan populasi menyebabkan ketidak-stabilan terhadap pertumbuhan, dalam hal ini terjadi ledakan populasi dan juga populasi dapat berkurang hingga akhirnya mengalami kepunahan.
4. DAFTAR PUSTAKA [1] Anton, Howard (1987), Aljabar Linear Elementer, Erlangga, Jakarta [2] Cheng, A.K (2006), Differential Equations : Models and Methods, Mc Graw Hill, Singapore [3] Forys, U. , Czochra, M.A (2003), Logistik Equations in Tumour Growth Modelling, Int. J. Appl. Math. Comput. Sci. , Vol. 13, No. 3, 317-325 [4] Haberman, Richard (1977), Mathematical Models : Mechanical Vibrations, Population Dynamics, and Traffic Flow, Prentice-Hall Inc., New Jersey
[5] Murray, J.D (1993), Mathematical Biology, SpringerVerlag, Heidelberg Berlin [6] Purcell & Varberg (1987), Kalkulus dan Geometri Analitis, Erlangga, Jakarta [7] Purnomo,D. Kosala (2000), Model Pertumbuhan Populasi Dengan Memodifikasi Model Pertumbuhan Logistik, Majalah Matematika dan Statistika Vol.1, No.1, Oktober 2000 : 21-29 [8] Ruan, Shigui, --------. Delay Differential Equations In Single Species Dynamics, Department of Mathematics University of Miami, USA [9] Tarumingkeng, C. Rudy (1994), Dinamika Populasi Kajian Ekologi Kuantitatif, Pustaka Sinar Harapan, Jakarta [10] Vries, G & Hillen T (2004), A Short Course in Mathematical Biology, Tuebingen [11] Waluya, S.B. 2006. Persamaan Differensial, Graha Ilmu ,Yogyakarta
51
