MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO MENGGUNAKAN HIMPUNAN FUZZY
KARYA ILMIAH
SUDRADJAT
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PADJADJARAN 2009
MENGETAHUI
Prof. Dr. Budi Nurani Ruchjana, MS Guru Besar Matematika FMIPA Unpad
MODEL OPTIMISASI PORTOFOLIO DENGAN MENGGUNAKAN HIMPUNAN FUZZY Sudradjat*)
[email protected] ,
[email protected]
1. Pendahuluan Pada pertengahan abad ke 1952, H. Markowitz mempelopori teori financial modern yang dikenal dengan model meanvarians portofolio seleksi. Teori tersebut akan memudahkan dan menginspirasi dalam permasalahan financial. Zhou dan Lie
2000
mengembangkan model “Markowitz complete continuous-time financial market”. Varians mempunyai peran yang penting dalam pengukuran risiko. Banyak para peneliti mengemukakan bagaimana melakukan pengukuran risiko dalam investasi, begitu juga semivarians yang dikemukakan oleh Markowitz. Pada framework mean-risk, hanya mean-varians yang telah diterima pada discete-time market. Masalah optimisasi portofolio pada suatu asset terbatas adalah masalah klasik dalam teori dan perhitungan financial. Markowitz 1952, pertama kali mengemukakan bahwa penampilan portofolio seharusnya diukur dalam dua dimensi yang berbeda, yaitu rata-rata yang menggambarkan ekspektasi return, dan risiko yang mengukur ketidakpastian return. Salah satu pendekatan teori terhadap masalah portofolio seleksi adalah stokastik dominance.
*) Staf dosen Jurusan Matematika FMIPA Unpad.
Optimisasi portofolio adalah merupakan target return diatas kenaikan (rate) risiko bebas pada pasar tertentu dimana untuk waktu yang sama dapat menjamin pencapaian kenaikan return minimum, salah satu teori yang dapat digunakan untuk mencapai target tersebut adalah teori keputusan fuzzy. Teorri keputusan fuzzy menyediakan framework analisis yang sangat baik seperti yang kemukakan oleh Supian, 2007 [30, 31] dan Supian, 2008 . Karena permasalahan dalam dunia praktis membutuhkan teori untuk memeriksa berbagai macam skenario pasar dan setiap sekenario pasar digambarkan kedalam bentuk fungsi tujuan. Para investor menyadari investasi yang dilakukan untuk mendapatkan return yang mengandung konsekuensi risiko. Para investor sebenarnya tidak mengetahui secara pasti seberapa besar hasil yang akan diperoleh dari investasi yang dilakukan. Namun demikian para investor dapat memperkirakan berapa keuntungan yang diharapkan dan seberapa besar kemungkinan hasil yang sebenarnya akan menyimpang dari yang diharapkan. Upaya melakukan diversifikasi dapat diwujudkan dengan cara mengkombinasikan berbagai pilihan saham dalam investasinya. Melalui portofolio saham para investor berusaha memaksimumkan keuntungan yang diharapkan dari investasi dengan tingkat risiko tertentu atau berusaha meminimumkan risiko untuk sasaran tingkat keuntungan tertentu. Permasalahannya jenis saham apa yang akan dipilih dalam portofolionya, dan para investor cenderung memilih portofolio yang optimal, yaitu yang sesuai dengan preferensinya terhadap keuntungan serta risiko yang ditanggung. Pada analisis keuangan dikenal dua macam model analisis optimisasi portofolio yaitu stochastic dominance dan single index model. Pada karya ilmiah ini akan dibahas dua model optimisasi portofolio, pertama model optimisasi portofolio dengan pembatas stochastic dominance, kemudian model ini diselesaikan dengan menggunakan pemrograman linear fuzzy lebih khusus lagi dengan menggunakan linear membership function dan kedua pendekatan model posibilistik VaR pada portofolio seleksi. 2
2. Stokastik dominance Relasi dari stokastik dominance merupakan konsep dasar dari teori keputusan dan ekonomi, Dentcheva dan Ruszczynski 2003, Hanoch dan Levy 1969, Quirk dan Saposnik 1962 dan Rothschild 1969. Model dasar stokastik optimisasi diformulasikan sebagai berikut:
max E[ ( z , )] ,
(2.1)
zZ
dimana ω adalah kejadian dasar pada ruang probabilitas (, F , P) , z adalah vector
keputusan yang sesuai dengan ruang Z , dan : Z R . Himpunan Z Z didefinisikan secara eksplisit, atau beberapa kendala yang mempengaruhi kejadian dasar ω dan harus memenuhi probabilitas yang tepat. Model Optimisasi Stokastik pertama kali dikembangkan oleh Lehmann 1955 dan Hanoch dan Levy 1969. Teori matematika dari model-model ekspektasi melibatkan keputusan dua-stage dan multi-stage telah dikembangkan oleh Wets 1999 dan
Birge 1997, sedangkan model-model yang
melibatkan kendala-kendala probabilitas diawali oleh Charnes dan Cooper 1959, Prekopa 1979, Dentcheva dan Ruszczynski 2003 membahas secara lengkap teori dan metode numerik untuk model linear dengan satu kendala probabilistik dengan beberapa pertidaksamaan secara terbatas. Dalam pendekatan stokastik dominance, random return merupakan hasil dari perbandingan titik-pertitik (point-wise) dari beberapa fungsi performansi yang dikonstruksi dari fungsi distribusinya. Untuk variabel acak V , bentuk fungsi didefinisikan dengan fungsi distribusi kontinu kanan dari V : F (V , ) P{V } untuk R . Random return
V dikatakan stokastik dominance orde pertama (Dentcheva dan
Ruszczynski, 2003, Lehmann, 1955 dan Quirk dan Saposnik, 1962), ditulis V jika F (V ; ) F ( S ; ) untuk semua R . 3
FSD
S,
Tentukan fungsi F2 (V ; ) dengan
F2 (V ; )
F (V ; ) d untuk R ,
(2.2)
fungsi integral adalah fungsi tidak naik, ini adalah fungsi konveks dari dan ditentukan dengan relasi lemah (weak relation) dari orde dua stokastik dominance (SSD). Hal ini menunjukkan bahwa random return V adalah stokastik dominance S orde dua, ditulis V
SSD
S , jika F2 (V ; ) F2 ( S ; ) untuk semua R .
Hubungan kuat relasi dominance untuk
FSD
dan SSD adalah didefinisikan dengan:
V S jika dan hanya jika V S , S V . Lebih penting lagi, untuk V Lm (, F , P) , dapat didefinisikan secara rekursif fungsifungsi Fk (V ; )
Fk 1 (V , )d untuk R, k 3, m 1 .
(2.3)
Juga untuk V Lm (, F , P) dapat didefinisikan secara rekursif fungsi-fungsi Fk (V ; )
Fk 1 (V , )d untuk R, k 3, m 1 .
Gambar 2.1 Stokastik dominance orde pertama
4
(2.4)
F2 ( X ;)
F1 ( X ; ) d E( X ) for R untuk R
Gambar 2.2 Stokastik dominance orde dua
Definisi
2.1.
(Dentcheva
dan
Ruszczy´nski
2003)
Suatu
variabel
acak
X Lk -1 (, F , P) dominance orde ke-k terhadap variabel acak Y Lk-1 (, F , P) jika, Fk ( X ; ) Fk (Y ; ) untuk semua R .
(2.5)
Relasi (2.5) dapat dituliskan X ( k )Y
(2.6)
dan himpunan X memenuhi relasi Ak (Y ) { X Lk 1 (, F , P) : X ( k ) Y } .
Dengan menukarkan orde dari
(2.7)
integrasi dapat diperlihatkan fungsi F2 (V ; ) juga
ekpektasi shortfall (Rockafellar and Uryasev, 2002): untuk semua target nilai
,
diperoleh F2 (V ; ) E ( V ) ,
(2.8)
dimana ( V ) max( V , 0) . Fungsi F2 (V ; ) adalah kontinu, konveks, nonnegatif dan tak naik. Hal ini didefinisikan untuk semua variabel acak V dengan nilai ekspektasi terhingga.
5
3. Masalah Portofolio
Proses portofolio seleksi dibagi dalam dua stage. Stage pertama mulai dengan observasi dan pengalaman dan diakhiri dengan kenyakinan performansi masa depan. Stage kedua mulai dengan kenyakinan yang relevan tentang performansi masa depan dan berakhir dengan memilih portofolio, Markowitz, 1987. Asumsi dasar masalah standar untuk portofolio seleksi adalah sebagai berikut: (a) n sekuritas, (b) inisialisasi dari jumlah dana yang diinvestasikan, (c) permulaan periode pesanan, (d) akhir periode pesanan, dan tentukan x1 , , xn sebagai bobot proporsi dari yang diinvestasikan inivestor. Ini adalah proporsi dari jumlah awal yang diinvestasikan dalam n sekuritas di awal dari holding periode yang menjelaskan portofolio untuk dipastikan sampai akhir dari holding periode. Standar view adalah hanya ada satu tujuan di seleksi portofolio dan untuk memaksimalkan portofolio return, prosentase return didapat dari portofolio holding periode. Misalkan R1 ,..., Rn adalah random returns dari aset 1, n . Asumsikan bahwa [| R j |]<∞ untuk semua j 1, n . Notasikan x1 ,..., xn pembagian modal investasi dari asset 1, n , maka model total return dapat dituliskan: R ( x) R1 x1 ... Rn x n .
(3.1)
Himpunan alokasi aset yang mungkin dapat dirumuskan:
X x R n : x1 ... x n 1, x j 0, j 1,..., n
Rata return
( x) E R( x) .
Varians return ( x) Var R( x) , 6
Rata-rata risiko: max ( x) ( x) x X
s/t
(3.2)
x X,
dimana, adalah parameter nonnegatif yang merepresentasikan perubahan rate dari ratarata risiko. Jika 0 , tidak mempunyai nilai risiko dan masalah direduksi menjadi maksimasi rata-rata. Jika 0 pilih salah satu dari rata-rata dan risiko. Pendekatan lainnya adalah dengan memilih fungsi utilitas
u : R R , model
optimisasinya dirumuskan sebagai berikut:
max E u R( x) .
(3.3)
x X
Fungsi u(·) pada umumnya adalah concave dan tak naik. Dalam pendekatan stokastik dominance, random returns dibandingkan dengan cara point-wise dari beberapa bentuk fungsi yang dibentuk dari distribusi fungsi. Untuk variabel acak real V, bentuk fungsi pertama didefinisikan sebangai kontinu kanan distribusi fungsi kualitatif dari V : F (V ; ) P(V ) untuk R . Random return V, dikatakan stokastik dominance orde pertama terhadap random return S , dinotasikan V FSD S , jika
F (V ; ) F ( S ; ) untuk R . Bentuk kedua fungsi F2 , diberikan dari area di bawah distribusi fungsi F,
F2 (V ; ) F (V ; )d untuk R .
dan defnisikan relasi yang lemah dari order kedua stokastik dominance (SSD). Random return V stokastik dominance ke S orde dua, dinotasikan V SSD S , jika F2 (V ; ) F2 ( S ; ) untuk R .
Portofolio x mendominasi portofolio y di bawah aturan FSD, jika F ( R( x); ) F ( R( y ); ) untuk semua R , 7
dan x mendominasi y di bawah aturan SSD ( R( x) SSD R( y )) , jika F2 ( R( x); ) F2 ( R( y ); ) untuk semua R .
Relasi stokastik dominance mempunyai peranan penting dalam teori keputusan, telah diketahui bahwa R ( x) FSD R( y ) jika dan hanya jika E[u ( R( x))] E[u ( R( y ))] ,
(3.4)
untuk berbagai fungsi tak turun u(.) dimana nilai ekspektasinya adalah terbatas. Selanjutnya, R ( x) SSD R( y ) jika dan hanya jika (3.4) tidak turun dan concave, yang mana nilai ekspektasi terbatas dapat dilihat pada Dentcheva dan Ruszczy´nski 2003. Portofolio x disebut SSD-effisient (atau FSD-effesient) dalam sebuah himpunan portofolio X jika tidak terdapat y X seperti ( R( y ) SSD R( x)) (or ( R( y ) FSD R( x)) ). Pembahasan difokuskan pada relasi SSD, karena konsistensinya dengan
tampilan
preferensi yang berlawanan dengan risiko: jika ( R( y ) SSD R( x)) , maka portofolio x lebih disukai dari y dengan semua risiko averse decision makers. Definisi 3.1 (Ruszczy´nski dan Vanderbei, 2002) Model mean-risk ( , ) adalah konsisten
terhadap SSD dengan koefisien 0 , jika relasi berikut dipenuhi R( x) SSD R( y ) ( x) ( x) ( y ) ( y ) untuk semua 0 .
Perhatikan model optimisasi berikut (Dentcheva dan Ruszczy´nski, 2003):
maksimasi f ( x) kendala R( x) ( 2)Y ,
(3.5) (3.6)
x X ,
(3.7)
dimana f : X R adalah fungsi kontinu concave dituliskan, f ( x) E[ R( x)] dan ini akan tetap memiliki solusi nontrivial, dengan melihat sifat dominance constraints.
8
Proposisi 3.1 (Dentcheva dan Ruszczy´nski, 2003) Asumsikan bahwa Y suatu distribusi
diskrit dengan realisasi yi , i 1, m , maka relasi (2.6) ekuivalen dengan E[( y R( x)) ] E[( y Y ) ], i .
(3.8)
Asumsikan bahwa return memiliki joint distribusi distkrit dengan relasi rtj , t = 1, . . . , T, j 1, n , probabilitas pt , t = 1, 2, . . . , T. Dengan memasukkan variabel sit yang
merepresentasikan shortfall dari R(x) di bawah y i pada realisasi t, i = 1, . . . ,m and t 1,, T , maka Proposisi 2 (Dentcheva dan Ruszczy´nski, 2003) dikembangkan oleh Supian 2007 [30,31] dan Supian, 2008 sebagai berikut.
Proposisi 3.2 Jika diasumsikan bahwat R j , j 1,..., n , dan Y berdistribusi diskrit maka
permasalahan (3.5)–(3.7) adalah ekivalen dengan permasalahan
maksimasi n
r
kendala T
ps
t it
t 1
(3.9)
x j sit y i , i 1,..., m, t 1,..., T ,
(3.10)
F2 (Y ; yi ) , i 1,..., m,
(3.11)
t j
j 1
f ( x)
sit 0 i 1,..., m, t 1,..., T n
x j 1
j
(3.12)
1
(3.13)
n
x j 1
(3.14)
x j 0 , j=1,…,n,
(3.15)
j 1
dan hal ini ekivalen dengan : n
maksimasi ( X ) maksimasi c j X j
(3.16)
j 1
kendala,
n mT
a x j 1
ij
j
bi , i 1,..., mT 2 m ,
X j 0 , j 1,..., n mT
(3.17) (3.18)
dimana X ( x1 ,..., xn , s11 ,..., s1T , s21 ,..., s2T ,..., sm1 ,..., smT ) , 9
rij , j 1,...,n, i i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) aij 1 , i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) and j n 1,...,n T(i 1) 1 0 , lainnya 1 , j 1,.., n, i mT 1 aij 0 , lainnya 1 , j 1,.., n, i mT 2 aij , lainnya 0 , j n T(K 1) 1,...,n TK and K 1,...,m,i mT 3,...,mT m 2 p aij jnT(K1) , lainnya, 0
bentuk tabel dari permasalahan (3.16)-(3.18) dapat dilihat pada Lampiran. 4. Masalah Portofolio dengan Koefisien Teknologi Fuzzy
Pada bagian ini model portofolio seleksi (Darinka dan Ruszczy´nski 2003) akan dibahas menggunakan pendekatan teori keputusan fuzzy Supian 2007 [31,32] dan Supian 2008. Ambil masalah pemrograman linear (2.20)-(2.22) dengan koefisien teknologi fuzzy, Supian 2007 [31,32] dan Supian 2008. n
maksimasi ( X ) maksimasi c j X j
(4.1)
j 1
kendala
n mT
a~ j 1
ij
X j bi , i 1,..., mT 2 m ,
X j 0 , j 1,..., n mT .
(4.2) (4.3)
Asumsi 4.1. Supian 2007 [31,32] a~ij adalah fuzzy number dengan fungsi keanggotaan
linear: (i)
1. Untuk i=Km+1,…,(K+1)m, K=0,…,(T-1) dan j=1,…,n
10
1 aij (t ) (rij d ij t ) / d ij 0
t rij ,
if
if rij t rij d ij , if t rij d ij ,
2. Untuk i=Km+1,…,(K+1)m, K=0,…,(T-1) dan j=n+T(i-Km-1)+K+1
1 aij (t ) (1 d ij t ) / d ij 0
if t 1 if 1 t 1 d ij , if
t 1 d ij ,
(ii) Untuk i=mT+3, …, mT+2+m; K=1,…m dan j=n+T(K-1)+1,…,n+TK 1 aij (t ) ( p j n T ( K 1) d ij t ) / dij 0 dimana t R dan d ij 0 untuk semua
t p j nT ( K 1) , p j nT ( K 1) t p j nT ( K 1) d ij , t p j nT ( K 1) dij ,
if if if
i 1, , mT m 2, K 0,, (T 1) dan
j 1, , n mT . Untuk kefuzzian pada masalah ini, pertama dibentuk fungsi objektif fuzzy. Hal ini dengan menghitung batas atas dan batas bawah dari nilai optimal petama. zl dan z u diperoleh dari penyelesaian masalah standar
Batas-batas nilai optimal pemrograman linear.
z1 maksimasi ( X )
kendala
n mT
a j 1
dan
(4.4)
X j bi , i=1,…,mT+m+2
(4.5)
X j 0 , j = 1,…,n+mT,
(4.6)
ij
z 2 maksimasi ( X )
kendala
n mT
aˆ j 1
(4.7)
X j bi , i=1,…,mT+m+2
(4.8)
X j 0 , j = 1,…,n+mT,
(4.9)
ij
dimana 11
rij dij , j 1,...,n, i i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) aˆij 1 dij , i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) and j n 1,...,n T(i 1) 1 d , lainnya ij 1 d ij aˆij d ij 1 d ij aˆij d ij
, j 1,.., n, i mT 1 , lainnya , j 1,.., n, i mT 1 , lainnya
pjnT(K1) dij , j n T(K 1) 1,...,n TK dan K 1,...,m,i mT3,...,mT m 2 aˆij ,lainnya dij
Fungsi objektif diberikan antara z1 dan z 2 juga koefisien teknologi antara aij dan aij dij . Berikan zl min( z1 , z2 ) dan z u max( z1 , z 2 ) . Maka zl dan z u secara berturut- turut disebut batas bawah dan batas atas dari nilai optimal. Asumsi 4.2. Supian 2007 [31,32] Linear crisp pada masalah (4.4)-(4.6) dan (4.7)-(4.9)
menpunyai nilai optimal terbatas. Dalam kasus ini himpunan fuzzy dari nilai optimal, G, dimana G adalah subset dari R n , ditentukan pada Gasimov, 2002, 0 n G ( X ) ( c j X j zl ) /( z u zl ) j 1 1
n
if
c j 1
j
X j zl
n
if zl c j X j z u
(4.10)
j 1
n
if
c j 1
j
X j zu .
Himpunan fuzzy pada kendala ke-i, C i , yang merupakan subset dari R m , didefinisikan: (i)
1. Untuk i=Km+1,…,(K+1)m dan K=0,…,(T-1)
12
n , bi rij X j 0 j1 n n n n Ci ( X ) = (bi rij X j ) / dij X j , rij X j bi (rij dij ) X j j1 j1 j1 j 1 n , bi (rij dij ) X j 1 j1
(ii)
(4.11)
2. untuk i=Km+1,…,(K+1)m, dan K=0,…,(T-1) 0 n(i , K ) n Ci ( X ) (bi X j ) / dij X j j n1 j 1 1
n(i , K )
, bi X j ,
j n1 n( i , K )
X j bi
jn1 n( i , K )
n( i , K )
(1 d ) X
j n1
(1 d ) X
, bi
ij
jn1
ij
j
(4.12)
j
dimana n(i,K)=n+T(i-Km-1)+K+1 (iii) Untuk i=mT+3, …, mT+2+m dan K=1,…, m nTK b pjnT(K1) Xj 0 , i j n T K 1) ( nTK nTK nTK nTK b p X d X p X b ( ) / , (pjnT(K1) dij)Xj (4.13) Ci ( X ) = i jnT(K1) j ij j jnT(K1) j i j n T K j n T K j n T K j n T K 1) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( nTK , bi (pjnT(K1) dij)Xj 1 jnT(K1)
Dengan menggunakan definisi keputusan fuzzy dari Bellman and Zadeh, 1970, didapatkan
D ( X ) min( G ( X ), min ( C ( X )) , j
sehingga
j
max ( D ( X )) max min( G ( X ), min ( C j ( X )) . x0
x0
j
13
Konsekuensinya, masalah (4.1)-(4-3) menjadibentuk optimisasi di bawah ini maksimasi
(4.14)
G ( X )
(4.15)
C ( X ) 1 i mT m 2
(4.16)
X j 0 , 0 1 , j 1,..., mT .
(4.17)
i
Dengan menggunakan persamaan (4.10) dan (4.11)-(4.13), dapat dirumuskan teorema berikut: Teorema 4.1 Supian 2007 [31,32] Masalah (4.1)-(4.3) direduksi menjadi salah satu dari
masalah crisp berikut ini:
maksimasi
(4.18)
n
( z1 z 2 ) c j X j z 2 0
(4.19)
j 1
n mT
aˆ ( ) X j 1
ij
j
bi 0 , i 1,..., mT m 2
X j 0 , 0 1 , j 1,..., mT ,
(4.20) (4.21)
dimana rij dij , j 1,...,n, Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) aˆij () 1 dij ,i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) dan j n 1,...,n T(i 1) 1 d ,lainnya ij 1 d ij , j 1,.., n, i mT 1 aˆij ( ) , lainnya d ij 1 d ij , j 1,.., n, i mT 2 aˆ ij ( ) , lainnya . d ij
p j n T d ij , j n T ( K 1) 1, , n TK , i mT 3 m 2 aˆ ij ( ) , lainnya . d ij Perlu diperhatikan bahwa, kendala pada (4.18)-(4.21) memuat cross product dari X j
adalah tidak konveks. 14
5. Solusi permasalahan defuzzifikasi
Pada bagian ini, akan dibahas metode modifikasi subgradient, Gasimov 2002 dan ini akan digunakan untuk penyelesaian masalah defuzzifikasi (4.18)-(4.21). Sebagai catatan bahwa, secara umum kendala pada (4.18)-(4.21) adalah non-konveks. Model ini diselesaikan dengan metode himpunan decisive fuzzy, yang dibahas oleh Sakawa dan Yana 1995, atau metode linearisasi oleh Kettani dan Oral, 1990.
5.1. Aplikasi metode modifikasi subgradient pada masalah pemrograman linear.
Penggunaan metode subgradien Gasimov 2002 pada masalah (4.18)-(4.21), pertama dibentuk model kendala persamaan dengan variabel slak y0 dan yi dan ditulis sebagai berikut: maksimasi
(5.1) n
g 0 ( X , , y 0 ) ( z1 z 2 ) c j X j z 2 y 0 0
(5.2)
j 1
g i ( X , , yi )
n mT
aˆ j 1
ij
( ) X j bi y i 0 , i 1,..., mT m 2
(5.3)
X j 0 , y 0 , y i 0 , 0 1 , j 1,...,mT , i 1,...,mT m 2 . (5.4) Untuk masalah ini definisikan himpunan S: S {( X , p, ) X ( X 1 ,..., X n ), y ( y1 ,...., y n ), X i 0, y 0 , y i 0, 0 1} .
Karena max min( ) dan g ( X , , p) ( g 0 ,..., g m ) augmented Lagrangian yang bersesuaian dengan masalah (5.1)-(5.4) dapat ditulis dalam bentuk: 1 2 2 2 mTm2 nmT n L( x, u, c) c ( z1 z2 ) c X z2 y0 aˆij ( )X j bi yi j j j 1 i1 j 1 mTm2 nmT n ( z z ) c X z y ui aˆij ( )X j bi yi . j j 2 0 0 1 2 j 1 i 1 j 1
15
Sebagai ilustrasi pada (5.1)-(5.4) dilakukan dengan cara: Tahap Inisialisasi. Pilih vektor (u01 , u11 ,..., u1mT m 2 , c1 ) dengan c1 0 , ambil k 1 , dan lanjutkan ke tahap utama. Tahap Utama. k k Tahap 1 . Berikan (u0k , u1k ,..., umT m 2 , c ) ; selesaikan submasalah di bawah ini:
1 2 22 n mT m2 n mT min c ( z1 z 2 ) c X z 2 y0 aˆij ( ) X j bi yi j j i1 j 1 j 1 mT 2 n mT n u ( z z ) c X z y u aˆ ( ) X b y . j j 2 0 i1 i ij j i i 0 1 2 j 1 j 1
( X , y, ) S . k Berikan ( X , y , ) suatu solusi. Jika g ( X k , y k , k ) , maka berhenti; (u0k , u1k ,..., umT , ck ) k
k
k
adalah penyelesaian masalah dual, ( X k , k ) adalah penyelesaian masalah (4.18)-(4.21). Lainnya, lanjutkan ke tahap 2. Tahap 2 . Berikan n u0k 1 u0k h k ( z1 z2 ) c j x j z2 y0 j 1 n uik 1 uik h k aˆij ( ) X j bi yi , Km 1 i ( K 1)m dan 0 K T 1 j 1 k 1 k k k c c (h ) g ( xk )
dimana h k dan k adalah skalar positif (stepsizes) dan h k k 0 , ganti k dengan k 1 ; dan kembali ke Tahap 1.
5.2. Algoritma metode himpunan keputusan fuzzy
Metode ini adalah didasari dari ide bahwa, untuk nilai tetap ; masalah (4.18)(4.21) adalah masalah pemrograman linear, Gasimov 2002. * solusi optimal masalah
(4.18)-(4.21)
adalah
ekuivalen
dengan
(himpunan feasible tidak kosong). 16
menentukan
nilai
dari
maksimum
Algoritma untuk masalah (4.18)-(4.21) adalah sebagai berikut: Algoritma
Tahap 1. Berikan = 1 dan lakukan pengujian himpunan feasibel yang memenuhi
kendala pada probelm (4.18)-(4.21). Jika himpunan feasibel ada, berikan = 1: Lainnya, berikan himpunan L 0 dan R 1 dan lanjutkan pada Tahap 2 berikut. Tahap 2. Untuk nilai dari ( L R ) / 2 ; perbaiki nilai dari L dan R dengan
menggunakan metode bisection di bawah ini:
L jika himpunan feasible tidak kosong untuk
R jika himpunan feasibel adalah kosong untuk . Konsekwensi, untuk setiap , baik dengan adanya himpunan feasible dari (4.18)(4.21) atau tidak menggunakan fase satu dari metode simpleks dan menggambarkan nilai maksimum * yang memenuhi kendala pada (4.18)-(4.21).
6. Mean Downside-Risk Freamwork
Para investor dalam prakteknya konsentrasi pada risiko bahwa nilai portofolio jatuh pasti lebih rendah dari suatu level . Jika dinotasikan v adalah nilai portofolio diakhir periode, dengan probabilitas P (v VaR ) , untuk nilai portofolio jatuh lebih rendah dari tingkat VaR , disebut shortfall probability, dan expected shortfall adalah , mean absolute deviation
E ( v E (v) v E (v) ,
dan
semi-varians E ((v E (v) 2 v VaR) ,
jika
x j , ( j 1, n) merepresentasikan proporsi pada total jumlah uang yang disimpan pada sekuritas j, l j dan u j , ( j 1, n)
masing-masing menotasikan proporsi minimum dan
maksimum pada total jumlah uang yang disimpan pada sekuritas j. Berikan r j , ( j 1, n) adalah variabel acak yang merepresentasikan rate of return pada n
sekuritas, sehingga v r j x j . j 1
17
Asumsikan bahwa investor ingin mengalokasikan sebagian kekayaannya n risiko sekuritas. Jika profil risiko pada investor ditentukan dalam bentuk VaR, maka solusi mean-VaR portofolio efisien dapat diselesaikan dengan permasalahan optimisasi berikut, (Inuiguchi, 2000): maksimasi E (v) x
kendala P (v VaR) , (P1)
n
x j 1
j
1
l j x j u j , j 1, n. Model (P1) ini menunjukkan bahwa investor mencoba memaksimumkan nilai portofolio untuk waktu yang akan datang, yang membutuhkan probabilitas bahwa nilai portofolio yang akan datang mendekati VaR dengan tidak lebih dari .
7. Kasus model proposional transaction cost
Biaya tansaksi adalah salah satu dari sumber yang menjadi perhatian dari manajer portofolio. Arnott dan
Wagner, 1990
mempengaruhi inefisien portofolio.
menemukan bahwa transaction costs akan
Yoshimoto's empirical analysis, 1996
juga
menyimpulkan yang sama. Jika diasumsikan bahwa tingkat transaction cost pada sekuritas j ( j 1, n) adalah c j dan transaction cost pada sekuritas j ( j 1, n) adalah c j x j , sehingga tansaction cost pada portofolio x ( x1 ,..., x n ) adalah
n
c j 1
j
x j . Dengan mempetimbangkan tansaction cost dan
kendala shortfall probability, diperoleh model mean VaR portofolio seleksi dengan transaction cost adalah 18
n
E (v ) c j x j
maksimasi x
(P2)
j 1
kendala P (v VaR ) , n
x j 1
j
1
l j x j u j , j 1, n.
8.
Pengembangan model
Jika model di atas diterapkan pada multi asset, Supian 2007 [31, 35, 36], maka nilai portofolio diakhir periode vi , i 1, q ,
P (vi (VaR ) i ), i 1, q , expected shortfall
adalah E (vi vi (VaR ) i ) , mean absolute deviation E ( vi E (vi ) vi E (vi ) , dan semivarians E ((vi E (vi ) 2 vi E (vi )) , jika x j , ( j 1, n) merepresentasikan proporsi pada total uang yang disimpan pada sekuritas j, l1 j dan u 2 j , ( j 1, n)
berturut-turutut
menotasikan proporsi minimum dan maksimum pada total jumlah uang yang simpan pada sekuritas j adalah variabel acak yang merepresentasikan rate of i return pada sekuritas j. Untuk j 1, n dan i 1, q , berikan
r ji , j 1, n, i 1, q adalah variabel acak yang n
merepresentasikan rate of i return pada sekuritas j adalah vi r ji x j . j 1
Asumsikan bahwa investor mengalokasikan sebagian kekayaannya n risiko sekuritas. Jika profil risiko pada investor ditentukan dalam bentuk (VaR) i , i 1, q , maka solusi meanVaR portofolio efisien dapat diselesaikan
dengan permasalahan optimisasi berikut,
(Supian, 2007 [31, 35])
19
maksimasi [ E (v1 ), E (vq )] n
(8.1)
kendala Pr vi VaR ) i
(8.2)
xR
n
x j 1
j
i , i 1, q
1,
(8.3)
M1j x j M 2 j ,
j 1, n .
(8.4)
Model ini menunjukkan bahwa investor mencoba memaksimumkan nilai portofolio untuk waktu yang akan datang, yang membutuhkan probabilitas bahwa nilai portofolio yang akan datang mendekati (VaR)i dengan tidak lebih dari i , i 1, q .
9.
Kasus model proposional transaction cost
Jika diasumsikan bahwa rate of transaction cost pada sekuritas j ( j 1, n) dan dialokasikan pada i, i 1, q aset adalah c ji . Transaction cost pada sekuritas j dan di alokasikan pada i aset adalah c j x j . Transaction cost pada portofolio x ( x1 ,..., xn ) adalah
n
c j 1
ji
x j , i 1, q . Dengan mempetimbangkan tansaction cost dan kendala shortfall
probability, maka model mean VaR portofolio seleksi dengan transaction cost adalah n
n
j 1
j 1
maksimasi [ E (v1 ) c j1 x j , E (v q ) c jq x j ] n
(9.5)
kendala Pr vi VaR ) i
(9.6)
xR
n
x j 1
j
i , i 1, q
1,
M1j x j M 2 j ,
(9.7) j 1, n .
20
(9.8)
10. Model posibilistik mean VaR portofolio seleksi 10.1 Teori posibilistik
Dasar dari konsep dan teknik dari teori possibility dikemukakan oleh Zadeh, 1970. ~ Misalkan a~ dan b dua bilangan fuzzy dengan fungsi keanggotaan masing-masing ~ berturut-turut a~ dan b~ dan b~ , maka possibilitas dari a~ dan b didefinisikan sebagai berikut: (Dubois dan Prade 1990), ~ Pos(a~ b ) sup{min( a~ ( x), b~ ( y )) x, y R, x y}, ~ ~ Pos (a b ) sup{min( a~ ( x), b~ ( y )) x, y R, x y}, Pos(a~ b~ ) sup{min( ~ ( x), ~ ( x)) x R}. a b ~ Jika b adalah suatu bilangan crisp (invariabel) b, didapat Pos{a~ b} sup{ a~ ( x) x R , x b} ~ Pos{a b} sup{ a~ ( x) x R , x b} Pos(a~ b} ~ (b) a
(10.1)
(10.2)
Untuk f : R R R suatu operasi dengan bilangan biner dari himpunan fuzzy. Jika ~ ~ dinotasikan bilangan fuzzy a~, b bilangan c~ f (a~, b ) , maka fungsi keanggotaan c~ dapat diurunkan dari fungsi keanggoaan a~ dan b~ dengan
c~ ( z ) sup{min( a~ ( x), b~ ( y )) x, y R , z f ( x, y )}
(10.3)
~ Untuk suatu z R . Jadi, posibilistik bahwa bilangan fuzzy c~ f (a~, b ) mempunyai nilai z R adalah lebih besar dari kombinasi kemungkinan dari bilangan riil x,y sedemikian ~ z = f(x,y), dimana nilai a~ dan b berturut-turut x dan y.
10.2 Bilangan trapezoidal fuzzy
Rate of return pada sekuritas diberikan dengan bilangan trapezoidal fuzzy ~ r (r , r , r , r ) dimana r r r r . Maka fungsi keangotaan bilangan fuzzy ~ r 1
2
3
4
1
2
3
4
diformulasikan: 21
x r1 r r 2 1 1 ~r ( x) x r4 r3 r4 0
, r1 x r2 , , r2 x r3 ,
(10.4)
, r3 x r4, , lainnya.
r (r1 , r2 , r3 , r4 ) Ambil rate of return pada sekuritas dengan bilangan trapezolidal fuzzy ~
r dapat ditulis: dimana r1 r2 r3 r4 . Maka fungsi keanggotaan dari fuzzy ~ x r1 r r 2 1 1 ~r ( x) x r4 r3 r4 0
, r1 x r2 , , r2 x r3 ,
(10.5)
, r3 x r4, , lainnya.
~ Jika diambil dua trapezoidal bilangan fuzzy ~ r (r1 , r2 , r3 , r4 ) dan b (b1 , b2 , b3 , b4 ) ,
seperti terlihat pada Gambar 10.1. Jika r2 b3 , maka diperoleh:
~ Pos ~ r b sup min{ ~r ( x), b~ ( y )} x y ~ min ~r (r2 ), b~ (b3 ) min 1,1 1, mengakibatkan bahwa Pos (~ r b ) 1. ~ Jika r2 b3 dan r1 b4 , mengakibatkan Pos(~ r b ) 1 . Jika r2 b3 dan r1 b4 maka suprimum adalah x yang merupakan irisan dari dua fungsi keanggotaan ~r ( x) dan b~ ( x) , dimana x r1 (r2 r1 ) . Jika r1 b4 , maka untuk suatu x y , satu dari persamaan
~r ( x) 0, b~ ( y ) 0 , benar. 22
b~ ( x)
~r ( x)
1
0
b1
b2 r1
b3
x
r2
r3
b4
r4
~ r dan b . Gambar 10.1: Dua trapezoidal bilangan fuzzy ~
~ Jadi diperoleh Pos ~ r b 0. Kemudian dapat disimpulkan bahwa 1, r2 b3 , ~ ~ Pos r b , r2 b3 , r1 b4 , 0, r b . 1 4
(10.6)
~ Secara khusus, dimana b adalah bilangan 0, maka diperoleh 1, r2 0, ~ Pos r 0 , r1 0 r2 , 0, r 0, 1
(10.7)
dimana
r1 . r1 r2
(10.8)
Perhatikan lemma berikut: Lemma 10.1 (Dubois dan Prade, 1990) Ambil ~ r r1 , r2 , r3 , r4 adalah bilangan
trapezoidal fuzzy. Maka untuk suatu tingkat konfiden Pos(r~ 0) , jika dan hanya jika (1 )r1 + r2 0 .
23
dengan
0 1,
Himpunan bilangan fuzzy ~ r r1 , r2 , r3 , r4 dengan tingkat (level) adalah suatu himpunan bagian crisp dari
R dan dinotasikan [~ r ] {x ( x) , x R} , dengan
mengacu pada Carlsson 2002, diperoleh [~ r ] {x ( x) , x R} [r1 (r2 r1 ), r4 (r4 r3 )] . Level dari bilangan fuzzy
~ r r1 , r2 , r3 , r4 adalah himpunan crisp dari R dan
dinotasikan dengan [~ r ] {x ( x) , x R} , maka dengan mengacu pada Carlsson 2001, didapat [~ r ] {x ( x) , x R} [r1 (r2 r1 ), r4 (r4 r3 )] . r ] [a1 ( ), a 2 ( )] , posibilistik nilai rata-rata crisp dari ~ r r1 , r2 , r3 , r4 Jika diberikan [~ 1 ~ ~ r ) (a1 ( ) a2 ( ))d , dimana E adalah operator mean. adalah E (~ 0
r r1 , r2 , r3 , r4 , maka trapezoidal fuzzy number adalah Dapat diuraikan jika ~ 1 r r r r ~ E (~ r ) (r1 (r2 r1 ) r4 (r4 r3 ))d 2 3 1 4 . 0 3 6
(10.9)
10.3 Formulasi portofolio efisien
Ambil x j adalah proposional dari total sejumlah uang yang disimpan sekuritas j, M 1 j dan M 2 j berturut-turut menotasikan proporsi minimum dan maximum dari total semua uang yang dipilih pada sekuritas j . Bilangan trapezoidal fuzzy dari rji adalah ~ rji r( ji )1 , r( ji ) 2 , r( ji )3 , r( ji ) 4 dimana r( ji )1 r( ji ) 2 r( ji )3 r( ji ) 4 . Jika tingkat (VaR)i dengan ~ bilangan trapezoidal bi bi1 , bi 2 , bi 3 , bi 4 , i 1, q .
Dengan pendekatan ini perhatikan model pada (9.5)-(9.8) dapat direduksi dari teorema berikut: (Supian 2007 [34]) 24
Teorema 10.1 Posibilistik mean VaR portofolio seleksi untuk vector mean VaR , model
efficient portofolio (9.5)-(9.8) adalah ~ n n n ~ n maksimasi E ~ r j1 x j c j1 x j ,..., E ~ r jk x j c jk x j (10.10) xR n j 1 j 1 j 1 j 1 n ~ (10.11) kendala Pos ~ r ji x j bi i , i 1, q, j 1 n
x j 1
j
1,
M1j x j M 2 j ,
(10.12) j 1, n .
(10.13)
Dengan menggunakan White 1995, Teorema 10.1 dapat dikembangkan menjadi teorema sebagai berikut: Supian 2007 [,31, 32, 35] Teorema 10.2. Jika i 0, i 1, q , maka efscien portofolio untuk model posibilistik
adalah solusi optimal dari permasalahan di bawah ini: q ~ n ~ n maksimasi i E r ji x j c ji x j n xR i 1 j 1 j 1 n ~ kendala Pos ~ r ji x j bi i , i 1, q, j 1 n
x j 1
j
1,
M1j x j M 2 j ,
(10.13) (10.14) (10.15)
j 1, n .
(10.16)
Dengan menggunakan tingkat return pad a sekuritas j ( j 1, n) dengan bilangan trapezoidal fuzzy, maka dapat dirumuskan teorema berkut: Supian 2007 [31,32,35] Teorema 10.3 Rate of return pada sekurtias j ( j 1, n) dengan bilangan trapezoidal ~ fuzzy rji r( ji )1 , r( ji ) 2 , r( ji ) 3 , r( ji ) 4 dimana r( ji )1 r( ji ) 2 r( ji ) 3 r( ji ) 4 dan ~ bi bi1 , bi 2 , bi 3 , bi 4 adalah trapezoidal fuzzy number untuk VaR level dan
i 0 ,dengan i 1, q , maka dengan menggunakan model possibilistic mean VaR portofolio seleksi, efisien portofolio adalah solusi optimal dari permasalahan berikut: 25
n n n n r x r x r x ( ji ) 2 j ( ji ) 3 j ( ji )1 j r( ji ) 4 x j q n j 1 j 1 j 1 j 1 maks i c ji x j (10.17) xR n 3 6 i 1 j 1 n n kendala 1 i r( ji )1 x j bi 4 i r( ji ) 2 x j bi 3 0, 1 1, q (10.18) j 1 j 1 n
x j 1
j
1,
(10.19)
M1j x j M 2 j ,
j 1, n .
(10.20)
Proof : Dari persamaan (10.9), diperoleh: ~ n E ~ rji x j j 1
n
n
j 1
j 1
r( ji ) 2 x j r( ji )3 x j 3
n
n
j 1
j 1
r( ji )1x j r( ji ) 4 x j 6
, i 1, q .
Dari Lemma 10.1, diperoleh: n ~ Pos ~ r ji x j bi i , i 1, q , is equivalent with j 1
n
n
j 1
1 i r( ji )1 x j bi 4 i r( ji ) 2 x j bi 3 0 . j 1
Juga, dari (10.17)-(10.20) dengan menggunakan Teorema 10.2, diperoleh bentuk berikut: n n n n r x r x r x r( ji ) 4 x j ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ji j ji j ji j q n j 1 j 1 j 1 j 1 maks i c ji x j (10.21) 3 6 xR n i 1 j 1 n n (10.22) kendala 1 i r( ji )1 x j bi 4 i r( ji ) 2 x j bi 3 0 , j 1 j 1 n
x j 1
j
1
(10.23)
26
M1 j x j M 2 j ,
j 1, q .
□
(10.24)
Permasalahan (10.21)-(10.24) adalah standar dari permasalahan pemrograman linear multi-objektif.
Untuk mencari solusi optimal dapat menggunakan algoritma dari
pemrograman multi-objektif Caballero, 2001, Preda, 1993. 11. Contoh Kasus
Sebagai ilustrasi untuk model posibilistik mean VaR portofolio seleksi, misalkan permasalahan 5-sekuritas dengan distribusi possibiliti berikut : (Guohua, 2006) r1 (0.04, 0.05, 0.06, 0.07) , , r2 (0.04, 0.06, 0.065, 0.07) ,
r3 (0.048, 0.68, 0.075, 0.08) , r4 (0.05, 0.065, 0.07, 0.01) , r5 (0.05, 0.075, 0.085, 0.116) . ~ VaR level adalah b (0.04, 0,046, 0.048, 0.05) . Rates dari transaction costs pada sekuritas adalah c1 0, c2 0.001, c3 0.001, c4 0.002, c5 0.003 . Untuk β =0.01, maka n
n
j 1
j 1
rj 2 x j rj3 x j maks
3
x
n
n
j 1
j 1
r j1 x j r j 4 x j 6
n n kendala (1 ) r j1 x j b4 ) r j 2 x j b3 0, j 1 j 1 n
x j 1
j
1,
l j x j u j. j 1, n.
27
n
cj xj j 1
Maks 0.055 x1 0.059 x 2 0.068 x3 0.067 x 4 0.078 x5 x
kendala 0.0401x1 0.0402 x 2 0.0482 x3 0.5015 x 4 0.5025 x5 0,04998 n
x j 1
j
1,
0 x j 0,05,
j 1,5.
Dengan menggunakan model pemrograman linear diperoleh hasil
(0, 0, 0.112821,
0.387179, 0.50), dan nilai optimal 0.0731128. Portofolio optimal adalah (0, 0, 0.112821, 0.387179, 0.50), possibility return optimal = 0.0731128. Dengan cara yang sama bisa dicari untuk nilai β=0.03, β=0.05 dst. Kesimpulan
Dalam karya ilmiah ini, mempertimbangkan distribusi possibility trapezoidal sebagai distribusi possibility dari rate of returns dalam sekuritas dan mengusulkan sebuah model possibilistic mean VaR portofolio. Sebuah pendekatan pemrograman posibilistik yang berbasis pada fuzzy VaR
telah diusulkan. Masalah pemrograman posibilistik dapat
diselesaikan dengan mentranformasinya ke dalam masalah pemrograman linear yang berbasis teori posibilistik. Model posibilistik ini kemudian dikembangkan dengan menggunakan faktor pembobot oleh Supian, 2007 [31, 32, 36] dengan mengacu pada model dasar Fuller dan Majlender, 2002. Sebagai implementasi model ini diberikan contoh numerik
untuk memberikan gambaran bahwa metode yang diusulkan dapat
digunakan secara efisien untuk menyelesaikan masalah pemilihan portofolio. Daftar pustaka
[1]
Andrzej Ruszczynsk and Robert J. Vanderbei, “Frontiers of stochastically nondominated portofolio” Operations research and financial engineering, Princeton University, ORFE -0-01,2002. 28
[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] [18] [19]
Arnott, R.D. and Wanger, W.H., The measurement and control of trading costs, Financial Analysts Journal, 46(6), 73-80, 1990. Bellman, R. and Zadeh, L.A., Decision making in a fuzzy environment, Management Science, 17, 141-164, 1970. Birge, J.R. and Louveaux, F.V., Introduction to Stochastic Programming, Springer, New York, 1997. Caballero R., Cerda E., Munoz M. M., L. Rey, and I. M. Stancu Minasian, Efficient solution concepts and their relations in stochastic multi-objective programming. Journal of Optimization Theory and Applica-tions, 110(1):53-74, 2001. Carlsson, C. and Fuller, R., On possibilistic mean value and variance of fuzzy numbers, Fuzzy sets and systems, 122, 315-326, 2001. Carlsson, C., Fuller, R. and Majlender, P., A possibilistic approach to selecting portofolios with highest utilty score, Fuzzy sets and systems, 131, 13-21, 2002. Dentcheva, D. and Ruszczynski, A, Optimization under linear stochastic dominance, Comptes Rendus de l’Academie Bulgare des Sciences 56, No. 6, pp. 6– 11, 2003. Dentcheva, D. and Ruszczy´nski, A., Portofolio Optimization with Stochastic Dominance Constraints, May 12, 2003. Darinka Dentcheva and Ruszczy´nski, A., Optimization with stochastic dominance constraints, Siam J. Optim.Society For Industrial And Applied Mathematics Vol. 14, No. 2, Pp. 548–566, 2003. Dubois, D. and Prade, H., Possibility theory, Plenum press, New York 1998. Fernando, K. F., Practical Portofolio Optimization, NAG. Ltd., Wilkinson House Jordan Hill Oxford OX2 8DR. Fuller, R. and Majlender, P., On weighted possibilistic mean value and variance of fuzzy numbers, Turku Centre for Computer Science, 2002. Gasimov, R. N., Yenilmez K., Solving fuzzy linear programming probelms with linear membership functions, Turk J Math. 26 , 375 -396, 2002. Guohua C., A possibilistic mean VaR model for portofolio selection, AMOAdvanced Modeling and Optimization, Vol. 8, No. 1, 2006. Hanoch, G.and Levy, H., The efficiency analysis of choices involving risk, Rev. Econom.Stud., 36, pp. 335–346,1969. Hull, J. C., White, D. J., Value-at-risk when daily changes in market variabel are not normally distributed, Journal of Derivatives 5, 9-19, 1998. Inuiguchi, M. and Ramik, J., Possibilistic linear programming: a brief review of fuzzy mathematical programming and a comparison with stochastic programming in portofolio selection probelm, Fuzzy Sets and Systems, 111, 3-28, 2000. Hadar, J. and Russell, W., Rules for ordering uncertain prospects, Amer. Econom. Rev., 59, pp. 25–34, 1969. 29
[20] Kettani, O., Oral, M.: Equivalent formulations of nonlinear integer probelms for eficient optimization, Management Science Vol. 36 No. 1, 115-119, 1990. [21] Klir, G.J., Yuan, B., Fuzzy Sets and Fuzzy Logic-Theory and Applications, PrenticeHall Inc. , 574p, 1995. [22] Lehmann E., Ordered families of distributions, Annals of Mathematical Statistics, 26, pp. 399–419, 1955. [23] Manfred Gilli and Evis K¨ellezi., A Global Optimization Heuristic for Portofolio Choice with VaR and Expected Shortfall, This draft: January 2001. [24] Markowitz, H. M. , Mean–Variance Analysis in Portofolio Choice and Capital Markets, Blackwell, Oxford, 1987. [25] Negoita, C.V.: Fuzziness in management, OPSA/TIMS, Miami ,1970. [26] Quirk, J.P and Saposnik, R., Admissibility and measurabel utility functions, Review of Economic Studies, 29, pp. 140–146, 1962. [27] Rockafellar, R.T. and Uryasev S., Conditional value-at-risk for general loss distributions,J. Banking and Finance, 26, pp. 1443–1471, 2002. [28] Ruszczynski A. and Vanderbei R. J., Frontiers of stochastically nondominated portofolios, Operations Research and Financial Engineering, Princeton University, ORFE-02-01, 2002. [29] Rockafellar, R.T. and. Wets, R.J.-B., Stochastic convex programming: Basic duality , Pacific J.Math., 62, pp. 173-195, 1976. [30] Sakawa, M., Yana, H.: Interactive decision making for multi-objective linear fractional programming probelms with fuzy parameters, Cybernetics Systems 16, 377-397, 1985. [31] Supian, S., Contributions to Portofolio Optimization Model, Teză de Doctorat, Universitatea din Bucureşti, 2007. [32] Supian, S., “Mathematical Programming Models for Portofolio Selection, editura Universităţii din Bucureşti, 2007. [33] Supian, S., Preda, V., On portofolio optimization using fuzzy decisions, ICIAM, Elvetia, Zürich, , Juli 2007, InterScience, WILEY-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA, Weinheim, Volume 7, Issue 1, Page 2060075, 12 Dec 2008 [34] Supian, S., On possibilistic approach for a portofolio selection, Romanian Academy, Mathematical Reports, Vol. 9(59). No. 3. 2007. [35] Supian, S., Popescu, C. and Ghica, M., .A portofolio selection probelm with a possibilistic approach, 22ND European Conference on operational research, Prague July 2007. [36] Supian, S., .The weighted possibilistic mean variance and covariance of fuzzy numbers, Journal of Applied Quantitative Methods, vo. 2, No. 3 Fall, 2007. [37] Tanaka, H., Asai, K.: Fuzzy linear programming probelms with fuzzy numbers, Fuzzy Sets and Systems 13, 1-10, 1984. 30
[38] Tanaka, H., Okuda, T., Asai, K.: On fuzzy mathematical programming, J. Cybernetics 3 , 37-46, 1984. [39] Uryasev, S. and R.T. Rockafellar, Conditional value-at-risk: Optimization approach, in Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (Gainesville, FL, 2000), Appl. Optim. 54, Kluwer Academic, Dordrecht, The Netherlands, pp. 411–435, 2001. [40] White, D. J., Multiple objective weighting factor auxiliary optimizationprobelms, J. Multi-Criteria Decision Analysis, 4, 122-132, 1995. [41] Zimmermann, H.J., Fuzzy mathematical programming, Comput. & Ops. Res. Vol. 10 No 4 (1983) 291-298.
31
LAMPIRAN Proposisi 3.2 Jika diasumsikan bahwat R j , j 1,..., n , dan Y berdistribusi diskrit maka
permasalahan (3.5)–(3.7) adalah ekivalen dengan permasalahan
maks
f (x) n
r
kendala
j 1
T
ps
t it
t 1
tj
(3.9)
x j sit y i , i 1,..., m, t 1,..., T ,
F2 (Y ; yi ) , i 1,..., m,
s it 0 i 1,..., m, t 1,..., T n
x j 1
j
(3.10) (3.11) (3.12)
1
(3.13)
n
x j 1
(3.14)
x j 0 , j=1,…,n
(3.15)
j 1
dan hal ini ekivalen terhadap masalah : maks ( X ) maks
n
c j 1
kendala,
n mT
a x j 1
ij
j
j
Xj
bi , i 1,..., mT 2 m ,
X j 0 , j 1,..., n mT
(3.16) (3.17) (3.18)
dimana X ( x1 ,..., xn , s11 ,..., s1T , s21 ,..., s2T ,..., sm1 ,..., smT ) rij , j 1,...,n, i i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) aij 1 , i Km1,...,(K 1)m, K 0,...,(T 1) and j n 1,...,n T(i 1) 1 0 , lainnya 1 , j 1,.., n, i mT 1 aij 0 , lainnya 1 , j 1,.., n, i mT 2 aij , lainnya 0 , j n T(K 1) 1,...,n TK and K 1,...,m,i mT 3,...,mT m 2 p aij jnT(K1) , lainnya, 0
Permasalahan (3.16)-(3.18) dapat dinyatakan dalam bentuk tabel di bawah ini:
x1
x2
… xn
s11
s12
…
s1T
s21
s21
s2T
… sm1
sm2
… smT
bi
r11
r12
… r1n
-1
0
…
0
0
0
0
… 0
0
… 0
y1
r11
r12
… r1n
0
0
…
0
-1
…
0
… 0
0
… 0
y2
:
:
r12
: 0
: 0
…
r11
… : … r1n
: 0
: 0
… …
: 0
… : … 0
: 0
… : … -1
:
r21
r22
… r2 n
0
-1
…
0
0
0
… 0
0
… 0
y1
r21
r22
… r2 n
0
0
…
0
0
-1
… 0
0
… 0
y2
:
:
r21
r22
… : … r2 n
: 0
: 0
…
: 0
: 0
: 0
… : … 0
: -1
… : … 0
:
:
:
rT 1
rT 2
: : … rTn
: 0
: 0
… …
: -1
: 0
: 0
: …
: : … 0
: 0
: : … 0
:
0
rT 1
rT 2
… rTn
0
0
0
0
-1
…
0
… 0
0
… 0
y2
rT 2
0
0
0
: 0
: 0
… …
: 0
… : … 0
: 0
… 0 … -1
:
… rTn
rT 1 1 -1
1 -1
… 1 … -1
0 0
0 0
0 0
0 0
…
0 0
… 0 … 0
0 0
… 0 … 0
1 -1
0
0
… 0
0
…
0
… 0
0
… 0
F2(Y,y1)
0
0
… 0
0
0
…
0
…
pT
… 0
0
… 0
F2(Y,y2)
: 0
: 0
: : … 0
: 0
: 0
… …
: 0
: …
: 0
: : … p1
:
: : … pT
: F2(Y,ym)
p1
p2
… …
pT
p1 : 0
…
p2
ym
ym y1
ym
