MUG2E3 Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS-38-02 [Jadwal] Rabu 12.30-14.30 R.KU3.05.14; Jumat 16.30-18.30 R.KU3.05.15 [Materi Statistika] • Minggu 1 Statistika deskriptif • Minggu 2 Tipe kejadian dan Peluang • Minggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) • Ujian 1 Materi Minggu 1-3 • Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi • Minggu 5 Peubah Acak Bivariat, Fungsi Peluang Gabungan dan Marginal, Korelasi • Ujian 2 Materi Minggu 4-5 • Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD) • Minggu 7 Distribusi Peubah Acak Kontinu (PAK) • Minggu 8 Distribusi Sampling • Ujian 3 Materi Minggu 6-8 • Minggu 9 Penaksiran parameter, estimasi titik dan selang • Minggu 10 Uji hipotesis satu populasi • Minggu 11-12 Analisis regresi linear sederhana • Minggu 13 Review • Ujian 4 Materi Minggu 9-12
1
1
Statistika Deskriptif
[Definisi] Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi, melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara luas, statistika adalah ilmu yang mempelajari dan menginterpretasikan data agar mempunyai makna. Lalu, bagaimana dengan Statistik? [Statistika Deskriptif] Statistika deskriptif membahas cara atau metode mengumpulkan, menyederhanakan dan menyajikan data sehingga bisa memberikan informasi. Kesimpulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif. Meskipun demikian, kesimpulan yang salah akan terlihat. Bagaimana dengan Statistika Inferesia? Data Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung ataupun tidak langsung. Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkan dapat dikelompokkan menjadi data kategorik atau data numerik. Berdasarkan skala pengukuran data dapat dibedakan menjadi: 1. Nominal, misalkan: jenis kelamin, golongan darah 2. Ordinal, misalkan: tingkat kecelakaan, tingkat kelulusan 3. Rasio/Interval, misalkan: nilai, tekanan darah, denyut nadi [Latihan] Tentukan tipe data (nominal, ordinal atau rasio/interval) berikut: 1. Syahrina mempunyai warna bola mota coklat bukan hitam. 2. Kartono lahir pada bulan April. 3. Harga rumah di Bhojhongshoang relatif mahal. 4. Beberapa tradisi menempatkan seseorang berdasarkan kasta 5. Profesi sebagai dosen memerlukan keahlian berkomunikasi Penyajian Data [Parameter] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggambarkan sifat POPULASI. Misalkan: mean (µ); simpangan baku (σ)
2
[Statistik] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggambarkan sifat SAMPEL. Misalkan: mean (X); simpangan baku (s). Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsiran sederhana melalui ukuran atau statistik. Ukuran atau statistik yang melekat pada data dibagi menjadi: • Ukuran pusat/lokasi: mean, median, modus [Mean] Misalkan terdapat data sampel y1 , y2 , ..., yn , dimana yi menyatakan titik sampel ke-i. Mean didefinisikan sebagai, y¯ =
Σni=1 yi n
Bagaimana sifat-sifat mean? [Median] Median atau nilai tengah dilakukan pada data yang sudah diurutkan. Median didefinisikan sebagai data (observasi) ke- n+1 2 [Modus] Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang sering muncul. [Latihan] Data nilai UTS Bahasa Soenda dari 20 siswa: Nama Nilai Nama Siswa 1 61 Siswa 6 Siswa 2 54 Siswa 7 Siswa 3 58 Siswa 8 Siswa 4 25 Siswa 9 Siswa 5 46 Siswa 10
Nilai 77 40 47 67 63
Nama Nilai Nama Nilai Siswa 11 59 Siswa 16 33 Siswa 12 42 Siswa 17 70 Siswa 13 42 Siswa 18 54 Siswa 14 44 Siswa 19 17 Siswa 15 46 Siswa 20 46
Tentukan ukuran pusat/lokasi data diatas! Apabila setiap nilai data ditambah 5 maka nilai mean menjadi? Buat diagram batang dan daun dari data tersebut? • Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi, simpangan baku (a) Jangkauan (Range): R = ymax − ymin
3
(b) Variansi Sampel: s2 =
Σni=1 (yi − y¯)2 (n − 1)
Bagaimana sifat variansi? (c) Simpangan baku: akar kuadrat dari variansi (d) Koefisien Variasi untuk membandingkan keragama dua atau lebih data, s CV = × 100% x¯ • Ukuran letak: kuartil, desil, persentil. Untuk menentukan nilai kuartil, data diurutkan terlabih dahulu. (a) Lokasi kuartil pertama (Q1): data ke (n+1) 4 (b) Lokasi kuartil kedua (Q2)/median: data ke (n+1) 2 (c) Lokasi kuartil ketiga (Q3): data ke 3(n+1) 4 Bagaimana dengan Interquartile Range? • Ukuran bentuk: skewness, kurtosis (a) Skewness (kemiringan) distribusi data
(b) Kurtosis (kecuraman) distribusi data
4
Box-Whisker Plot Grafik data yang terdiri lima informasi ringkasan data: Minimum – Q1 – Median – Q3 – Maximum
Bentuk Distribusi Data dilihat dari Box-Whisker Plot
[Latihan] 1. Sebuah riset dilakukan oleh Virginia Tech adalah membandingkan batang baja dari perusahaan A dan B. Sebanyak 10 sampel kelenturan batang baja diambil dari kedua perusahaan tersebut (Walpole et al, 2007). Perusahaan A: 9.3; 8.8; 6.8; 8.7; 8.5; 6.7; 8.0; 6.5; 9.2; 7.0 Perusahaan B: 11.0; 9.8; 9.9; 10.2; 10.1; 9.7; 11.0; 11.1; 10.2; 9.6 (a) Hitunglah mean, Q1, Q2 (median), Q3? (b) Hitunglah jangkauan (range), variansi dan Interquartile Range (IR)? Note: IR = Q3 − Q1 (c) Gambarkan diagram Box Plot dan jelaskan?
5
2. Berikut ini merupakan diagram Batang-Daun data waktu pengeringan (dalam menit) kain pada sebuah perusahaan kain latex. Batang 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5
Daun 234 0223 66779 01344 5689 13 8999
789
Identifikasi ada atau tidaknya pencilan dan gambarkan diagram Box Plot! Note: Nilai pencilan (outlier) adalah nilai data yang letaknya: Q3 +(1.5× IR) < outlier atas ≤ Q3 + (3 × IR) Q1 −(1.5× IR) > outlier bawah ≥ Q1 − (3 × IR)
6
2
Peluang dan Aturan Bayes
Statistics may be defined as ’a body of methods for making wise decisions in the face of uncertainty’ - Wallis Terdapat dua kategori kejadian atau event yaitu kejadian deterministik dan stokastik. Kejadian stokastik berkaitan erat dengan peluang, sehingga kejadian stokastik sering disebut sebagai kejadian probabilistik. Berikut beberapa definisi yang berkaitan dengan peluang, 1. Ruang Sampel: himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel terdiri dari ruang sampel diskrit (pelemparan dadu, jumlah anak) dan kontinu (curah hujan (mm), berat badan (kg)) 2. Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel. Tipe kejadian, • Gabungan dua peristiwa A dan B ditulis A ∪ B adalah himpunan semua kejadian yang ada didalam A atau B termasuk didalam keduanya. • Irisan dua peristiwa A dan B ditulis A∩B adalah himpunan semua kejadian yang ada didalam A dan B. • Komplemen kejadian A ditulis Ac adalah himpunan semua kejadian yang tidak didalam A 3. Dua kejadian dikatakan saling bebas (independent) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Contoh: ... 4. Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Contoh: ... [Ilustrasi] 1. Seorang mahasiswa ingin menyusun 6 komik dan 3 novel dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku harus berdekatan. Berapa banyak cara mahasiswa tersebut menyusun buku ... 2. Ani melempar koin dua kali, peluang mendapat ’Angka’ (A) pada lemparan pertama lalu mendapat ’Gambar’ (G) pada lemparan kedua adalah ... 3. Ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah ... 7
[Peluang] Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, n(A) n(A) = n→∞ n n(S)
P (A) = lim Aksioma Peluang,
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A 2. P (S) = 1 3. Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 4. Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A ∩ B = 0 sehingga P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 5. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P (A ∩ B) = P (A) × P (B) [Coba] Dalam rangka memperingati Dies Natalis ’Ketjap ABC’, perusahaan memberikan hadiah bagi 4 karyawan berprestrasi, dari 20 karyawan yang terdiri dari 13 laki-laki dan 7 wanita. Berapa peluang terpilih 1 laki-laki dan 3 wanita? Berapa peluang terpilih paling tidak 1 laki-laki? [Peluang Bersyarat] Jika A dan B dua kejadian, dengan P (A) > 0, peluang bersyarat B jika diketahui A, didefinisikan P (B|A) =
P (A ∩ B) P (A)
[Ilustasi] 1. ’Pak Mad’ mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya lakilaki, diberikan bahwa ’Pak Mad’ tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki? 2. Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Jika Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat ’A’ adalah 13 . Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia mendapat ’A’ adalah 12 . Ayu memutuskan untuk melemparkan koin dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat ’A’ di kursus Matematika? 8
[Teorema Bayes] Jika kejadian - kejadian A1 , A2 , A3 , ..., Ak adalah partisi dari ruang sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P (B) > 0, berlaku, P (Ai ∩ B) P (B) P (B|Ai )P (Ai ) = Pk i=1 P (B|Ai )P (Ai )
P (Ai |B) =
Aksioma Peluang Bersyarat, 1. P (B|A) ≥ 0, untuk setiap A ∈ A 2. P (S|A) = 1 3. Untuk setiap kejadian A1 dan A2 bersyarat B berlaku, P (A1 ∪A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) − P (A1 ∩ A2 |B) 4. Kejadian A1 dan A2 dikatakan saling lepas jika P (A1 ∩ A2 |B) = 0 sehingga P (A1 ∪ A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) 5. Hukum Komplemen P (B c |A) = 1 − P (B|A) 6. Hukum Perkalian P (A∩B) = P (B∩A) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) 7. Jika A dan B saling bebas P (B|A) = P (B), sehingga P (A ∩ B) = P (B ∩ A) = P (A)P (B) [Coba] Perusahaan ’Maju Mundur’ mengadakan wisata dan menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap karyawannya. Berdasarkan pengalaman: 20% karyawannya di tempatkan di Hotel A, 50% di Hotel B dan 30% di Hotel C. Jika 5% kamar mandi Hotel A tidak berfungsi dengan baik (rusak), 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel C. Berapa peluang (a) Seorang karyawan mendapat kamar dengan kamar mandi rusak? (b) Karyawan yang mendapat kamar mandi rusak ditempatkan di Hotel C? Latihan 1. Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika (a) Tidak diberikan informasi lain (b) Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka ganjil. 2. Bagi keluarga yang tinggal disuatu kota, peluang bahwa istri ikut kegiatan olah raga 0.21, peluang suami ikut kegiatan olah raga 0.28 9
dan peluang suami dan istri ikut olah raga 0.15. Berapa peluang,(a) Paling sedikit salah seorang ikut kegiatan olah raga (b) Seorang istri ikut olah raga, bila diketahui suaminya olah raga (c) Seorang suami ikut olah raga,diketahui istrinya olah raga. 3. Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut (a) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil tersebut juga dilengkapi AC (b) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi AC, jika diketahui mobil tersebut tidak dilengkapi CD. 4. Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluang pengeboran itu sukses adalah 40%. Pengalaman perusahaan diketahui bahwa 60% keberhasilan pengeboran itu karena dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20% pengeborannya gagal walaupun dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat. Jika perusahaan pengeboran sudah melaksanakan prosedur yang benar dan tepat berapa peluang perusahaan berhasil dalam pengeboran minyaknya? 5. Seorang mahasiswa mengambil dua mata kuliah kalkulus (I,II). Misal A adalah event bahwa dia lulus kalkulus I dan B adalah event bahwa dia lulus kalkulus II. Jika dia menduga bahwa P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9 ; dan P (A ∩ B) = 0, 75. Tentukan sample space untuk kasus tersebut? Tentukan probabilitas: A ∪ B; A ∪ B; A ∩ B; A ∩ B? 6. Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan. Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia (a) Lakilaki (b) Wanita
7. Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari erusahaan X, 10
20% dari perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3% microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan 4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai di pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi atau mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu. Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acak dan ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari perusahaan Y? 8. Seseorang melamar pekerjaan pada 2 perusahaan, A dan B. Dia menduga bahwa peluang akan diterima di perusahaan A adalah 0.4, dan di perusahaan B 0.3. Diasumsikan penerimaan karyawan pada kedua perusahaan tersebut adalah independen, hitung peluang: (a) Dia akan diterima di kedua perusahaan (b) Dia akan diterima paling sedikit di satu perusahaan (c) Dia diterima di perusahaan A tetapi tidak di perusahaan B. 9. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C dengan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan 50%. Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C). (a) Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat? (b) Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat?
11
[Materi Ujian II] 1. p.a Diskrit: fungsi massa peluang, fungsi distribusi, nilai variansi 2. p.a Kontinu: fungsi kepadatan peluang, nilai ekpektasi/variansi 3. p.a Bivariat (Diskrit dan Kontinu): fungsi peluang gabungan, independen, nilai kovariansi [Latihan] 1. p(x) =
10 28 15 28 3 28
x = 0, x = 1, x=2
Tentukan F (1.5)? 2.
0 x < 0, 10 0 ≤ x < 1, 28 F (x) = 25 1 ≤ x < 2, 28 1 x≥2 Tentukan p(1)?
3. Tentukan fungsi distribusi berdasarkan fungsi peluang berikut, 0.1 x = 1, 0.3 x = 2, 0.4 x = 3, f (x) = 0.2 x = 4, 0 lainnya 0 ≤ x < 1, x 2 − x 1 ≤ x < 2, f (x) = 0 lainnya
4.
f (x) =
x2 3
0
−1 < x < 2, lainnya
(a) Periksalah apakah f (x) memenuhi syarat sebagai fungsi rapat probabilitas? (b) Berapakah probabilitas antara 0 dan 1? 12
5.
0.1 kx p(x) = k(6 − x) 0
x = 0, x = 1, 2, x = 3, 4, lainnya
Tentukan nilai k dan fungsi distribusinya? 6. Misalkan variabel acak X memiliki pdf: cx 3 < x < 6, f (x) = 0 lainnya (a) Tentukan nilai c? (b) Jika terdapat variabel baru Y = 4X − 3. Tentukan pdf dari Y ? Solusi Z 6 cxdx = 1 3
c= f (x) =
2 x 27
0
2 27
3 < x < 6, lainnya
Misalkan g(y) = 4x − 3, y = 4x − 3 y+3 x= = g −1 (y) 4 Selanjutnya, menentukan |J| −1 dg (y) |J| = dy d y+3 4 = dy =
13
1 4
diperoleh, f (y) = f (g −1 (y)) × |J| 2 y+3 1 = × × 27 4 4 y+3 = 216 pdf untuk Y adalah f (y) =
y+3 216
0
9 < x < 21, lainnya
Fungsi Peluang Gabungan Misalkan p.a X menyatakan kekuatan bangunan dan p.a Y menyatakan tinggi bangunan. Distribusi peluang dari kejadian serentak kedua p.a tersebut dinyatakan oleh f (x, y) yang disebut sebagai fungsi peluang gabungan X dan Y Fungsi Peluang Gabungan Diskrit 1. P (X = x, Y = y) ≥ 0 untuk semua (x, y) 2. Σx Σy P ((X = x, Y = y) = 1 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, P [(X, Y ) ∈ A] = ΣΣA p(x, y) Fungsi Peluang Gabungan Kontinu 1. f (x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y) R R 2. x y f (x, y)dxdy = 1 3. Untuk sebarang daerah A dalam daerah definisi xy berlaku, RR P [(X, Y ) ∈ A] = f (x, y)dxdy A Fungsi Marjinal Misalkan p.a X dan Y memiliki fungsi peluang gabungan f (x, y). Misalkan fungsi peluang marjinal untuk X adalah g(x) dan fungsi peluang marjinal untuk Y adalah h(y) 14
1. Untuk X dan Y diskrit g(x) = Σy f (x, y) = Σy P (X = x, Y = y) h(y) = Σx f (x, y) = Σx P (X = x, Y = y) 2. Untuk X dan Y kontinu Z g(x) =
f (x, y)dy y
Z h(y) =
f (x, y)dx x
3. p.a X dan Y dikatakan saling bebas jika dan hanya jika, f (x, y) = g(x)h(y) 4. Kovariansi Cov(X, Y ) = E(XY ) − E(X)E(Y ) [Latihan] 1. Dalam sebuah kotak buah terdapat 3 buah jeruk, 2 apel dan 3 pisang, diambil secara acak 4 buah. Jika X adalah banyaknya buah jeruk dan Y adalah banyaknya buah apel. Tentukan, (a) Fungsi peluang gabungan f (x, y) (b) P (X + Y ≤ 2) 2. Suatu restoran cepat saji menyediakan fasilitas pemesanan untuk dibawa pulang melalui drive in dan walk in. Pada suatu hari yang dipilih secara acak, diperhatikan waktu yang dibutuhkan untuk menyiapkan pemesanan (dalam satuan waktu pelayanan) masing-masing untuk drive in dan walk in, yang berturut-turut dinotasikan sebagai peubah acak X dan Y . Misalkan fungsi kepadatan peluang gabungan dari kedua peubah acak tersebut adalah: 2 (x + 2y) 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 3 f (x, y) = 0 lainnya (a) Selidiki apakah f (x, y) adalah fungsi peluang? Ya, Z 1Z 1 2 (x + 2y)dxdy = 1 0 0 3 15
(b) Hitung peluang bahwa pada suatu hari ditemukan waktu pelayanan pada fasilitas drive in dan walk in masing-masing kurang dari setengah? Z
1 2
Z
P (X < 0.5, Y < 0.5) = 0
0
1 2
2 1 (x + 2y)dxdy = ... = 3 8
(c) Hitung fungsi marjinal g(x) dan h(y)? Z 1 2 2 g(x) = (x + 2y)dy = ... = (x + 1), 0 ≤ x ≤ 1 3 3 Z 01 2 1 4 h(y) = (x + 2y)dx = ... = + (y), 0 ≤ y ≤ 1 3 3 0 3 (d) Misalkan peluang bahwa fasilitas drive in membutuhkan waktu kurang dari satu setengah satuan waktu pelayanan, P (X < 1.5) Z 1.5 P (X < 1.5) = g(x)dx −∞ Z 1 2 (x + 1)dx = 0 3 = ... =1
16
3
Distribusi Peubah Acak Diskrit
Jika himpunan p.a mencirikan salah satu karakteristik jenis distribusi, analisis statistika akan dapat dilakukan dengan lebih efektif. Terdapat banyak jenis distribusi dalam statistika, secara khusus dibagi dalam distribusi p.a diskrit dan p.a kontinu. Berdasarkan hal tersebut, perlu diketahui karakteristik jenis distribusi yang melekat pada p.a. [Distribusi Bernoulli] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Bernoulli, ditulis sebagai X ∼ BIN (1, p). Karakteristik, 1. Percobaan dilakukan hanya satu kali dan independent 2. Percobaan menghasilkan sukses dan gagal, jika peluang sukses dinyatakan sebagai p, maka peluang gagal merupakan 1 − p 3. Probability mass function (pmf), untuk x = 1, p 1 − p untuk x = 0, P (X = x) = p(x) = 0 lainnya 4. Rata-rata (µ) = p dan variansi (σ 2 ) = p(1 − p) Ex. Sebuah dadu diundi. Jika diketahui munculnya angka 2 atau 4 dikatakan sebagai sukses. Tentukan fungsi peluang, rata-rata dan variansinya? [Distribusi Binomial] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Binomial, ditulis sebagai X ∼ BIN (n, p). Karakteristik, 1. Merupakan proses Bernoulli yang dilakukan sebanyak n kali 2. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x) = Cxn px (1 − p)n−x =
n! px (1 − p)n−x x!(n − x)!
3. Rata-rata (µ) = np dan variansi (σ 2 ) = np(1 − p) Ex. Sebuah sistem produksi dapat menghasilkan produk yang cacat atau tidak cacat. Diambil 3 produk secara acak dari lantai produksi dan jika variabel random X didefinisikan sebagai jumlah produk yang dihasilkan cacat, 17
dengan peluang 0.2. Tentukan peluang dari 3 produk terdapat tepat ada dua produk yang cacat? kurang dari 2 produk cacat? [Distribusi Poisson] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Poisson, ditulis sebagai X ∼ P OI(λ). Karakteristik, 1. Banyaknya outcome/peristiwa/hasil percobaan dalam suatu selang waktu tertentu atau area daerah tertentu. 2. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x; λ) =
e−λ λx x!
dengan x banyaknya outcome selama percobaan, λ menyatakan laju outcome per satuan waktu atau daerah, e bilangan eksponensial 2.718... 3. Rata-rata (µ) = λ dan variansi (σ 2 ) = λ Ex. Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan rata-rata kecelakaan 3 per hari. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? [Proses Poisson] Proses menghitung (counting process) dengan laju (parameter) λ > 0, dengan X(t) menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi selama waktu t, X ∼ P OI(λt). Karakteristik, 1. Tidak punya memori (memory less), yaitu banyaknya outcome dalam satu interval waktu tidak bergantung pada banyaknya outcome pada waktu atau daerah lain. 2. Probabilitas terjadinya 1 outcome dalam interval waktu yang sangat pendek (kecil) sebanding dengan lama waktu interval waktu tsb. 3. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x; λt) =
e−λt (λt)x x!
dengan x banyaknya outcome selama percobaan, e bilangan eksponensial 2.718... 4. Rata-rata (µ) = λt dan variansi (σ 2 ) = λt 18
Ex. Menurut perusahaan asuransi T ditentukan bahwa peluang pria berumur 25 tahun akan meninggal tahun depan adalah 0.0002. Jika perusahaan asuransi T tahun ini menjual 4000 polis terhadap pria berumur 25 tahun, berapa peluang mereka akan membayar tepat 1 polis? [Note] Jika X adalah p.a distribusi Binomial, maka jika jumlah percobaannya besar sekali n → ∞ dan peluang sukses p kecil sekali n → 0, dengan rata-rata µ = np maka distribusi Binomial dapat diaproksimasi dengan distribusi Poisson. Ex. Probabilitas terjadinya kecelakaan di suatu hari di sebuah pabrik adalah 0.005. Berapakah probabilitasnya selama 400 hari terjadi 1 kecelakaan? [Distribusi Hipergeometrik] Misalkan suatu populasi yang berukuran N terdapat D item cacat dan N −D item tidak cacat. Sebuah sampel diambil dengan ukuran sampel n, ternyata X diantaranya merupakan item cacat. Jika X menyatakan p.a berdistribusi Hipergeometrik, ditulis sebagai X ∼ HY P (n, N, D). Karakteristik, 1. Probability mass function (pmf), P (X = x) = p(x) = =
N −D CxD Cn−x CnN (N −D)! D! (D−x)x! (N −D−n+x)!(n−x)! N! (N −n)!n!
q q nD(N −D) N −n 2 2. Rata-rata (µ) = nD dan variansi (σ ) = dengan N N2 N −1 q N −n disebut faktor koreksi populasi terbatas (finite population) N −1 Ex. Tiga komputer diperiksa dari sepuluh komputer di sebuah departemen. Empat dari sepuluh komputer terdapat aplikasi software yang ilegal. Berapa peluang dua dari tiga komputer yang dipilih secara acak terdapat aplikasi software ilegal? [Hipergeometrik vs Binomial] Jika ukuran sampel n jauh lebih kecil dari ukuran populasinya N maka disD tribusi HYP sangat mirip dengan BIN, dimana peluang sukses (p = N ) dan
19
peluang gagal (1 − p), sehingga, µ = np = n
D N
D σ = np(1 − p) = n N 2
D 1− N
seringkali diterapkan jika Nn < 5% maka digunakan distribusi Binomial sebagai pengganti distribusi Hipergeometrik. Ex. Sebuah pabrik ban menyatakan dari 5000 ban yang dikirim ke distributor sebanyak 1000 warnanya sedikit pudar. Seorang pelanggan membeli 10 ban dari distributor secara acak saja. Berapa peluang bahwa ada 3 buah ban yang warnanya sedikit pudar? [Latihan] 1. Berdasarkan data masa lalu, probabilitas mahasiswa lulus dari mata kuliah statistik 0,45. Jika diambil sampel sebanyak 5 mahasiswa. Hitung peluang (a) Tepat 3 mahasiswa yang tidak lulus? (b) Paling sedikit 4 mahasiswa yang lulus? (c) Paling banyak ada 5 mhs yang lulus? 2. Sebuah percobaan dilakukan untuk mencari katalis yang sesuai untuk produksi ethylenediaine. Bila seorang insinyur kimia memilih 3 katalis dari 10 katalis yang terdiri dari 6 katalis yang mempunyai low adicity dan 4 high acidity. Hitung peluang: (a) Tidak ada katalis highly acidity yang dipilih? (b) Tepat satu katalis yang high acidity? 3. Jika X variabel random yang menyatakan jumlah retak yang terjadi per spesimen untuk campuran semen. Rata-rata retak per spesimen 2,5. Hitung peluang: (a) Terjadi 5 retak dalam satu spesimen? (b) Ada 2 atau lebih retak yang terjadi? 4. Bagian Quality Control perusahaan laptop menemukan bahwa produksi laptop yang cacat mencapai 1,5% dari total produksi yang ada. Bila dari seluruh produksi tersebut diambil sebanyak 200 laptop secara random. Tentukan peluang: (a) Laptop yang cacat paling banyak 1%? (b) Laptop yang cacat antara 2% sampai 4%? 5. Jumlah pasien di suatu klinik diketahui mengikuti distribusi Poisson. Jika peluang tidak ada pasien di klinik tersebut adalah sebesar 0,1. Tentukan peluang terdapat paling banyak terdapat dua orang pasien di klinik tersebut? 20
6. Pada tahun 2012, sebuah kota di pedalaman Watampone, diperoleh data bahwa rata-rata terdapat 2,5 orang albino per 175 orang. 525 orang diambil sebagai sampel percobaan. Tentukanlah peluang: (a) Tidak ada yang albino (b) Ada Albino 7. Bagian pembelian dari suatu perusahaan melakukan pembelian bahan baku sebanyak 1000 unit. Pemasok bahan baku tsb menjamin bahwa produk yang cacat tidak lebih dari 1%. Sebagai langkah pengawasan, maka bagian pembelian melakukan inspeksi dengan mengambil sampel acak sebanyak 20 unit. (a) Tentukan peluang diperoleh 4 unit produk yang cacat? (b) Berapa rata-rata terdapat produk cacat? 8. Rata-rata jumlah kedatangan kereta di suatu stasiun XYZ dalam setengah hari kerja adalah 8 kereta. Berapakah peluangnya bahwa dalam satu hari terdapat minimal dua kereta di stasiun XYZ tersebut?
4
Distribusi Peubah Acak Kontinu
Jika diingat kembali, p.a kontinu memiliki karakteristik nilai yang berada pada selang interval. Terdapat beberapa jenis distribusi p.a kontinu. [Distribusi Uniform] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Uniform pada interval (a, b), ditulis sebagai X ∼ U N IF (a, b). Karakteristik, 1. p.a Uniform muncul dalam situasi dimana semua nilai dalam selang/interval tertentu mempunyai peluang sama untuk muncul. 2. Probability density function (pdf), 1 a ≤ x ≤ b, b−a f (x) = 0 lainnya 3. Rata-rata (µ) =
b+a 2
dan variansi (σ 2 ) =
(b−a)2 12
Ex. Diketahui p.a X berdistribusi Uniform dalam interval (2,7). Hitunglah P (X ≥ 4) dan P (3 ≤ X ≤ 5.5)? [Distribusi Eksponensial] Jika X menyatakan p.a berdistribusi Eksponensial dengan parameter λ yang terdefinisi pada selang (0, ∞), ditulis sebagai X ∼ EXP (λ). Karakteristik, 21
1. Distribusi Eksponensial sering digunakan sebagai model distribusi waktu tunggu. 2. Distribusi Eksponensial sangat berkaitan dengan distribusi Poisson. Jika X menyatakan jumlah kedatangan/kejadian dalam selang waktu t, maka X berdistribusi Poisson. 3. Probability density function (pdf), −λx λe x ≥ b, f (x) = 0 lainnya dengan fungsi distribusi, F (x) = 4. Rata-rata (µ) =
1 λ
1 − e−λx x ≥ 0, 0 lainnya
dan variansi (σ 2 ) =
1 (λ)2
Ex. Lamanya waktu untuk melayani konsumen di suatu kafetaria merupakan suatu p.a berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 4 menit. Berapakah peluang seseorang akan dilayani dalam waktu kurang dari 3 menit? [Distribusi Beta] p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter α dan β dengan α, β > 0, ditulis sebagai X ∼ B(α, β). Karakteristik, 1. Probability density function (pdf), ( α−1 x
f (x) = dengan B(α, β) = 2. Rata-rata (µ) =
(1−x)β−1 B(α,β)
0
0 < x < 1, lainnya
Γ(α)Γ(β) Γ(α+β)
α α+β
dan variansi (σ 2 ) =
αβ (α+β+1)(α+β)2
Ex. Diketahui variabel acak X berdistribusi beta dengan α = 3 dan β = 1. Hitung µ dan σ 2 ? [Latihan] 1. Diketahui p.a X berdistribusi Uniform dalam interval (a, b). Jika E(X) = 10 dan V ar(X) = 12. Tentukan nilai a dan b? 22
2. Waktu kegagalan suatu komponen elektronik diketahui berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 3 tahun. Perusahaan pembuat komponen tersebut memberi jaminan untuk pemakaian satu tahun pertama. Apabila perusahaan tersebut berhasil menjual 50 buah komponen, berapa peluang perusahaan tersebut harus membayar lebih dari 40 klaim dari pembeli? 3. Rata-rata banyaknya sambungan telpon yang diterima di suatu sentral telepon dalam satu jam adalah 6. (a) Berapa peluang akan masuk paling banyak 10 sambungan telpon dalam selang waktu 2 jam? (b) Berapa peluang menunggu lebih dari 15 menit antara 2 sambungan yang berturutan? [Distribusi Beta] p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter α dan β dengan α, β > 0, ditulis sebagai X ∼ B(α, β). Karakteristik, 1. Probability density function (pdf), ( α−1 x
f (x) = dengan B(α, β) = 2. Rata-rata (µ) =
(1−x)β−1 B(α,β)
0
0 < x < 1, lainnya
Γ(α)Γ(β) Γ(α+β)
α α+β
dan variansi (σ 2 ) =
αβ (α+β+1)(α+β)2
Ex. Diketahui variabel acak X berdistribusi beta dengan α = 3 dan β = 1. Hitung µ dan σ 2 ? [Latihan] 1. Diketahui p.a X berdistribusi Uniform dalam interval (a, b). Jika E(X) = 10 dan V ar(X) = 12. Tentukan nilai a dan b? 2. Waktu kegagalan suatu komponen elektronik diketahui berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 3 tahun. Perusahaan pembuat komponen tersebut memberi jaminan untuk pemakaian satu tahun pertama. Apabila perusahaan tersebut berhasil menjual 50 buah komponen, berapa peluang perusahaan tersebut harus membayar lebih dari 40 klaim dari pembeli? 3. Rata-rata banyaknya sambungan telpon yang diterima di suatu sentral telepon dalam satu jam adalah 6. (a) Berapa peluang akan masuk 23
paling banyak 10 sambungan telpon dalam selang waktu 2 jam? (b) Berapa peluang menunggu lebih dari 15 menit antara 2 sambungan yang berturutan? [Distribusi Normal] p.a X menyatakan p.a berdistribusi Beta dengan parameter µ dan σ 2 , ditulis sebagai X ∼ N (µ, σ 2 ) atau X ∼ N OR(µ, σ 2 ). Karakteristik, 1. Probability density function (pdf), untuk −∞ < x < ∞ 1 x−µ 2 1 f (x, µ, σ 2 ) = √ e− 2 ( σ ) σ 2π
2. Jika µ = 0 dan σ 2 = 1, maka Z ∼ N (0, 1) atau Z berdistribusi Normal standar (baku) dengan pdf, 1 z 2 1 f (x, µ, σ 2 ) = √ e− 2 ( σ ) 2π
Misalkan X ∼ N (µ, σ 2 ), menentukan nilai peluang distribusi Normal dengan Tabel Z: 1. Transformasi nilai X ke Z, dengan Z =
X−µ σ
2. Ubah bentuk peluang kedalam P (Z ≤ z) atau P (Z < z) 3. Tentukan nilai peluang dengan melihat nilai Z pada Tabel Z Ex. Misalkan X√∼ N (8, 25). Tentukan P (8 < X < 8.6)? Sol. µ = 8; σ = 25 = 5. Transformasi X ke Z, 8−8 X −µ 8.6 − 8 < < ) Transformasi X ke Z 5 σ 5 = P (0 < Z < 0.12) = P (Z < 0.12) − P (Z ≤ 0) Lihat Tabel Z = 0.5478 − 0.5000 = ...
P (8 < X < 8.6) = P (
Misalkan X ∼ N (µ, σ 2 ), menentukan nilai X jika peluang diketahui: 1. Tentukan nilai Z berdasarkan nilai peluang (lihat Tabel Z) 2. Tentukan nilai X dengan X = µ + Zσ
24
Ex. Misalkan X ∼ N (8, 25). Tentukan nilai X dimana 20% dibawah kurva Normal? √ Sol. µ = 8; σ = 25 = 5; P (X ≤ x) = 0.20. (1) Tentukan nilai z,
diperoleh nilai Z = −0.84. (2) Tentukan nilai x dengan transformasi x = µ + zσ, x = µ + zσ = ... = 3.80 diperoleh x = 3.80 sedemikian sehingga P (X ≤ 3.80) = 0.20. [Normal vs Binomial] Jika p.a diskit diubah menjadi p.a kontinu, maka nilai p.a tersebut perlu mendapat penyesuaian dengan memberikan koreksi kontinuitas,
Jika p mendekati 0.5, dan n cukup besar, maka pendekatan distribusi Normal p dapat diterapkan untuk distribusi Binomial, dengan µ = np dan σ = np(1 − p) Ex. Diketahui n = 1000 dan √ p = 0.2. Tentukan P (X ≤ 180)? Sol. µ = np = 200; σ = 1000 × 0.2 × 0.8 = .... Transformasi ke Normal
25
standar P (X ≤ 180) = P (Z ≤
X −µ ) σ
= ... = P (Z ≤ −1.54) = 0.0618
5
Distribusi Sampling
Dalam melakukan observasi suatu percobaan atau kejadian, tidak memungkinkan untuk mengamati keseluruhan populasi observasi. Sampling merupakan pengambilan data atau informasi terhadap suatu populasi, data sampel hasil sampling diharapkan dapat mewakili (dekat) dengan karakteristik populasi. • Populasi (X): banyaknya populasi (N ), mean (µ), variansi (σ 2 ) ¯ banyaknya sampel (n), mean (µX¯ ), variansi (σ 2¯ ) • Sampel (X): X [Teknik Sampling] • Sampel yang diambil dengan pengembalian. Hubungan n sampel dan N populasi, µX¯ = µ σ 2 σX ¯ = √ n • Sampel yang diambil tanpa pengembalian. Hubungan n sampel dan N populasi, µX¯ = µ 2 σX ¯
dengan
q
N −n N −1
σ =√ n
r
N −n N −1
merupakan faktor koreksi.
[Catatan] (1) Jika proporsi Nn ≤ 0.05 maka faktor koreksi dapat diabaikan. (2) Apabila n ≥ 30, maka distribusi sampling mendekati distribusi Normal. [Sifat Distribusi Sampling] • Mean sampel unbiased, µX¯ = µ 26
• Minimum variance, σX¯ < σ • Konsisten, semakin besar jumlah sampel yang diambil, penyimpangan variansi sampel terhadap variansi populasi semakin menurun [Teorema Limit Pusat] Distribusi sampel acak sederhana dengan ukuran n dari N populasi yang berasal dari distribusi apapun (Binomial, Poisson, dll) dapat didekati dengan distribusi probabilitas Normal untuk ukuran sampel n yang besar, n ≥ 30. Bagaimana menentukan ukuran sampel untuk mengestimasi suatu proporsi populasi (p)? Dalam menentukan ukuran sampel, perlu diperhatikan hal-hal berikut ini, • Galat/eror (e) • Proporsi populasi (p), jika proporsi populasi tidak diketahui, maka p didekati dengan nilai 0.5 • Tentukan α berdasarkan informasi tingkat kepercayaan (1 − α) [Contoh] • Rangga ingin mengetahui proporsi laboratorium yang dilengkapi dengan komputer di seluruh kampus Bandung. Untuk mengetahui informasi tersebut dilakukan survei acak. Berapa ukuran sampel yang harus dia ambil apabila ingin yakin 95%. Galat pada selang kepercayaan tidak dapat lebih dari 0.05? Anggap bahwa proporsi aktual tidak diketahui sebelumnya [Sol.] proporsi tidak diketahui (p) = 0.5; (1 − α) = 0.95 sehingga α = 0.05; eror/galat (e) = 0.05 Ukuran sampel (n), Z 2α p(1 − p) n=
2
e2 (1.96)2 (0.5)(0.5) = = ... (0.05)2
¯ diambil dengan pengembalian dari populasi • Sebanyak 25 sampel X ¯ < 8.2)? X ∼ N (8, 4). Tentukan P (7.8 < X
27
[Sol.] ¯ < 8.2) = P P (7.8 < X =P
¯ −µ 7.8 − µX¯ X 8.2 − µX¯ < < σX¯ σX¯ σ¯ ! X 8.2 − µ 7.8 − µ
n
√
n
= P (−0.5 < Z < 0.5) = ... • Tinggi badan mahasiswa IK rata-rata mencapai 165 cm dengan simpangan baku 8,4 cm. Diambil sampel acak terdiri atas 45 mahasiswa. Tentukan peluang tinggi rata rata ke 45 mahasiswa tersebut paling sedikit 166? [Sol.] µ = 165; σ = 8.4; n = 45 166 − µX¯ ¯ P (X ≥ 166) = P Z ≥ σX¯ = ... = P (Z ≥ 0.80) = 1 − P (Z < 0.80) = ... [Latihan] 1. Seorang peneliti menyatakan bahwa 60% penderita diabetes adalah karena faktor keturunan.Tentukan bahwa dari 15 pasien yang berobat ke rumah sakit, kurang dari sepertiganya adalah penderita diabetes karena faktor lain? 2. Misalkan diketahui peluang kesembuhan suatu penyakit adalah 30 persen. Suatu perusahaan obat memproduksi suatu obat baru untuk penyakit tersebut dan mengklaim bahwa obat baru tersebut dapat meningkatkan peluang kesembuhan menjadi 50 persen. Dua ratus pasien penderita penyakit tersebut diberikan obat baru tersebut. Tentukan peluang paling sedikit 80 pasien sembuh, jika (a) obat baru tersebut tidak berguna (b) klaim perusahaan tersebut benar (Gunakan hampiran Normal untuk distribusi Binomial) 3. Sampel berukuran 36 diambil dari peubah acak X ∼ P OI(4). Hi¯ > 4.3)? tunglah P (X
28
4. Suatu sampel acak berukuran n = 25 yang diambil dari populasi berhingga dengan p.a X. Fungsi padat peluang untuk X, 1 − x2 0 < x < 2, f (x) = 0 lainnya ¯≤5 (a) Hitung σX¯ (b) P 23 ≤ X 6 5. Bila rata-rata IQ seluruh mahasiswa baru 110 dengan standar deviasi 10 (IQ berdistribusi Normal) (a) Hitunglah peluang mahasiswa memiliki IQ ≥ 112 (b) Hitunglah peluang 36 mahasiswa, rata-rata memiliki IQ ≥ 112 6. Jika p.a Z ∼ N OR(0, 1). Tentukan nilai a dan b sehingga (a)P (Z ≤ a) = 0, 9147 (b)P (Z ≥ b) = 0, 0526?
29
