MUG2E3 Statistika Dosen: Aniq A Rohmawati, M.Si [Kelas Statistika] CS-38-02 [Jadwal] Rabu 12.30-14.30 R.KU3.05.14; Jumat 16.30-18.30 R.KU3.05.15 [Materi Statistika] • Minggu 1 Statistika deskriptif • Minggu 2 Tipe kejadian dan Peluang • Minggu 3 Peluang Bersyarat (Teorema Bayes) • Ujian 1 Materi Minggu 1-3 • Minggu 4 Peubah Acak, Fungsi Peluang, Fungsi Distribusi • Minggu 5 Peubah Acak Bivariat, Fungsi Peluang Gabungan dan Marginal, Korelasi • Ujian 2 Materi Minggu 4-5 • Minggu 6 Distribusi Peubah Acak Diskrit (PAD) • Minggu 7 Distribusi Peubah Acak Kontinu (PAK) • Minggu 8 Distribusi Sampling • Ujian 3 Materi Minggu 6-8 • Minggu 9 Penaksiran parameter, estimasi titik dan selang • Minggu 10 Uji hipotesis satu populasi • Minggu 11-12 Analisis regresi linear sederhana • Minggu 13 Review • Ujian 4 Materi Minggu 9-12
1
1
Statistika Deskriptif
[Definisi] Statistika adalah ilmu yang digunakan untuk mengumpulkan, mengorganisasi, melakukan inferensi dan menafsirkan data. Secara luas, statistika adalah ilmu yang mempelajari dan menginterpretasikan data agar mempunyai makna. Lalu, bagaimana dengan Statistik? [Statistika Deskriptif] Statistika deskriptif membahas cara atau metode mengumpulkan, menyederhanakan dan menyajikan data sehingga bisa memberikan informasi. Kesimpulan yang diberikan dalam statistika deskriptif bersifat subyektif. Meskipun demikian, kesimpulan yang salah akan terlihat. Bagaimana dengan Statistika Inferesia? Data Data adalah hasil observasi tunggal (datum) yang didapat baik secara langsung ataupun tidak langsung. Dalam praktiknya, data yang kita kumpulkan dapat dikelompokkan menjadi data kategorik atau data numerik. Berdasarkan skala pengukuran data dapat dibedakan menjadi: 1. Nominal, misalkan: jenis kelamin, golongan darah 2. Ordinal, misalkan: tingkat kecelakaan, tingkat kelulusan 3. Rasio/Interval, misalkan: nilai, tekanan darah, denyut nadi [Latihan] Tentukan tipe data (nominal, ordinal atau rasio/interval) berikut: 1. Syahrina mempunyai warna bola mota coklat bukan hitam. 2. Kartono lahir pada bulan April. 3. Harga rumah di Bhojhongshoang relatif mahal. 4. Beberapa tradisi menempatkan seseorang berdasarkan kasta 5. Profesi sebagai dosen memerlukan keahlian berkomunikasi Penyajian Data [Parameter] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggambarkan sifat POPULASI. Misalkan: mean (µ); simpangan baku (σ)
2
[Statistik] Suatu nilai yang digunakan untuk mendeskripsikan/menggambarkan sifat SAMPEL. Misalkan: mean (X); simpangan baku (s). Setelah data dikumpulkan dan diorganisasikan, kita dapat memberikan tafsiran sederhana melalui ukuran atau statistik. Ukuran atau statistik yang melekat pada data dibagi menjadi: • Ukuran pusat/lokasi: mean, median, modus [Mean] Misalkan terdapat data sampel y1 , y2 , ..., yn , dimana yi menyatakan titik sampel ke-i. Mean didefinisikan sebagai, y¯ =
Σni=1 yi n
Bagaimana sifat-sifat mean? [Median] Median atau nilai tengah dilakukan pada data yang sudah diurutkan. Median didefinisikan sebagai data (observasi) ke- n+1 2 [Modus] Modus atau Mode adalah ukuran pusat yang menyatakan nilai observasi yang sering muncul. [Latihan] Data nilai UTS Bahasa Soenda dari 20 siswa: Nama Nilai Nama Siswa 1 61 Siswa 6 Siswa 2 54 Siswa 7 Siswa 3 58 Siswa 8 Siswa 4 25 Siswa 9 Siswa 5 46 Siswa 10
Nilai 77 40 47 67 63
Nama Nilai Nama Nilai Siswa 11 59 Siswa 16 33 Siswa 12 42 Siswa 17 70 Siswa 13 42 Siswa 18 54 Siswa 14 44 Siswa 19 17 Siswa 15 46 Siswa 20 46
Tentukan ukuran pusat/lokasi data diatas! Apabila setiap nilai data ditambah 5 maka nilai mean menjadi? Buat diagram batang dan daun dari data tersebut? • Ukuran penyebaran: jangkauan, variansi, simpangan baku (a) Jangkauan (Range): R = ymax − ymin
3
(b) Variansi Sampel: s2 =
Σni=1 (yi − y¯)2 (n − 1)
Bagaimana sifat variansi? (c) Simpangan baku: akar kuadrat dari variansi (d) Koefisien Variasi untuk membandingkan keragama dua atau lebih data, s CV = × 100% x¯ • Ukuran letak: kuartil, desil, persentil. Untuk menentukan nilai kuartil, data diurutkan terlabih dahulu. (a) Lokasi kuartil pertama (Q1): data ke (n+1) 4 (b) Lokasi kuartil kedua (Q2)/median: data ke (n+1) 2 (c) Lokasi kuartil ketiga (Q3): data ke 3(n+1) 4 Bagaimana dengan Interquartile Range? • Ukuran bentuk: skewness, kurtosis (a) Skewness (kemiringan) distribusi data
(b) Kurtosis (kecuraman) distribusi data
4
Box-Whisker Plot Grafik data yang terdiri lima informasi ringkasan data: Minimum – Q1 – Median – Q3 – Maximum
Bentuk Distribusi Data dilihat dari Box-Whisker Plot
[Latihan] 1. Sebuah riset dilakukan oleh Virginia Tech adalah membandingkan batang baja dari perusahaan A dan B. Sebanyak 10 sampel kelenturan batang baja diambil dari kedua perusahaan tersebut (Walpole et al, 2007). Perusahaan A: 9.3; 8.8; 6.8; 8.7; 8.5; 6.7; 8.0; 6.5; 9.2; 7.0 Perusahaan B: 11.0; 9.8; 9.9; 10.2; 10.1; 9.7; 11.0; 11.1; 10.2; 9.6 (a) Hitunglah mean, Q1, Q2 (median), Q3? (b) Hitunglah jangkauan (range), variansi dan Interquartile Range (IR)? Note: IR = Q3 − Q1 (c) Gambarkan diagram Box Plot dan jelaskan?
5
2. Berikut ini merupakan diagram Batang-Daun data waktu pengeringan (dalam menit) kain pada sebuah perusahaan kain latex. Batang 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5
Daun 234 0223 66779 01344 5689 13 8999
789
Identifikasi ada atau tidaknya pencilan dan gambarkan diagram Box Plot! Note: Nilai pencilan (outlier) adalah nilai data yang letaknya: Q3 +(1.5× IR) < outlier atas ≤ Q3 + (3 × IR) Q1 −(1.5× IR) > outlier bawah ≥ Q1 − (3 × IR)
6
2
Peluang dan Aturan Bayes
Statistics may be defined as ’a body of methods for making wise decisions in the face of uncertainty’ - Wallis Terdapat dua kategori kejadian atau event yaitu kejadian deterministik dan stokastik. Kejadian stokastik berkaitan erat dengan peluang, sehingga kejadian stokastik sering disebut sebagai kejadian probabilistik. Berikut beberapa definisi yang berkaitan dengan peluang, 1. Ruang Sampel: himpunan kejadian semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Ruang sampel terdiri dari ruang sampel diskrit (pelemparan dadu, jumlah anak) dan kontinu (curah hujan (mm), berat badan (kg)) 2. Kejadian: himpunan bagian dari ruang sampel. Tipe kejadian, • Gabungan dua peristiwa A dan B ditulis A ∪ B adalah himpunan semua kejadian yang ada didalam A atau B termasuk didalam keduanya. • Irisan dua peristiwa A dan B ditulis A∩B adalah himpunan semua kejadian yang ada didalam A dan B. • Komplemen kejadian A ditulis Ac adalah himpunan semua kejadian yang tidak didalam A 3. Dua kejadian dikatakan saling bebas (independent) jika terjadinya kejadian yang satu tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang lain. Contoh: ... 4. Dua kejadian dikatakan saling lepas jika kedua kejadian tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Contoh: ... [Ilustrasi] 1. Seorang mahasiswa ingin menyusun 6 komik dan 3 novel dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku harus berdekatan. Berapa banyak cara mahasiswa tersebut menyusun buku ... 2. Ani melempar koin dua kali, peluang mendapat ’Angka’ (A) pada lemparan pertama lalu mendapat ’Gambar’ (G) pada lemparan kedua adalah ... 3. Ketika memilih bola secara acak dari keranjang yang berisi 3 bola biru, 2 bola hijau, dan 5 bola merah, peluang mendapat bola biru atau merah adalah ... 7
[Peluang] Misalkan S adalah ruang sampel, dengan A adalah kejadian, maka peluang kejadian A, n(A) n(A) = n→∞ n n(S)
P (A) = lim Aksioma Peluang,
1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A 2. P (S) = 1 3. Untuk setiap kejadian A dan B berlaku, P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) 4. Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika A ∩ B = 0 sehingga P (A ∪ B) = P (A) + P (B) 5. Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika P (A ∩ B) = P (A) × P (B) [Coba] Dalam rangka memperingati Dies Natalis ’Ketjap ABC’, perusahaan memberikan hadiah bagi 4 karyawan berprestrasi, dari 20 karyawan yang terdiri dari 13 laki-laki dan 7 wanita. Berapa peluang terpilih 1 laki-laki dan 3 wanita? Berapa peluang terpilih paling tidak 1 laki-laki? [Peluang Bersyarat] Jika A dan B dua kejadian, dengan P (A) > 0, peluang bersyarat B jika diketahui A, didefinisikan P (B|A) =
P (A ∩ B) P (A)
[Ilustasi] 1. ’Pak Mad’ mempunyai 2 anak. Berapa peluang bahwa keduanya lakilaki, diberikan bahwa ’Pak Mad’ tersebut memiliki setidaknya 1 anak laki-laki? 2. Ayu dapat mengambil kursus Bahasa atau kursus Matematika. Jika Ayu mengambil kursus Matematika, maka peluang dia mendapat ’A’ adalah 13 . Jika Ayu mengambil kursus Bahasa, maka peluang dia mendapat ’A’ adalah 12 . Ayu memutuskan untuk melemparkan koin dalam menentuka pilihan. Berapa peluang Ayu mendapat ’A’ di kursus Matematika? 8
[Teorema Bayes] Jika kejadian - kejadian A1 , A2 , A3 , ..., Ak adalah partisi dari ruang sampel S, maka untuk kejadian B sedemikian sehingga P (B) > 0, berlaku, P (Ai ∩ B) P (B) P (B|Ai )P (Ai ) = Pk i=1 P (B|Ai )P (Ai )
P (Ai |B) =
Aksioma Peluang Bersyarat, 1. P (B|A) ≥ 0, untuk setiap A ∈ A 2. P (S|A) = 1 3. Untuk setiap kejadian A1 dan A2 bersyarat B berlaku, P (A1 ∪A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) − P (A1 ∩ A2 |B) 4. Kejadian A1 dan A2 dikatakan saling lepas jika P (A1 ∩ A2 |B) = 0 sehingga P (A1 ∪ A2 |B) = P (A1 |B) + P (A2 |B) 5. Hukum Komplemen P (B c |A) = 1 − P (B|A) 6. Hukum Perkalian P (A∩B) = P (B∩A) = P (A)P (B|A) = P (B)P (A|B) 7. Jika A dan B saling bebas P (B|A) = P (B), sehingga P (A ∩ B) = P (B ∩ A) = P (A)P (B) [Coba] Perusahaan ’Maju Mundur’ mengadakan wisata dan menggunakan tiga hotel sebagai tempat menginap karyawannya. Berdasarkan pengalaman: 20% karyawannya di tempatkan di Hotel A, 50% di Hotel B dan 30% di Hotel C. Jika 5% kamar mandi Hotel A tidak berfungsi dengan baik (rusak), 4% di Hotel B, dan 8% di Hotel C. Berapa peluang (a) Seorang karyawan mendapat kamar dengan kamar mandi rusak? (b) Karyawan yang mendapat kamar mandi rusak ditempatkan di Hotel C? Latihan 1. Tentukan peluang bahwa sebuah dadu diundi satu kali akan menghasilkan angka yang kurang dari 4 jika (a) Tidak diberikan informasi lain (b) Diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka ganjil. 2. Bagi keluarga yang tinggal disuatu kota, peluang bahwa istri ikut kegiatan olah raga 0.21, peluang suami ikut kegiatan olah raga 0.28 9
dan peluang suami dan istri ikut olah raga 0.15. Berapa peluang,(a) Paling sedikit salah seorang ikut kegiatan olah raga (b) Seorang istri ikut olah raga, bila diketahui suaminya olah raga (c) Seorang suami ikut olah raga,diketahui istrinya olah raga. 3. Dari data diketahui bahwa mobil yang dijual di pasaran, 70% nya dilengkapi dengan air conditioning (AC), 40% dilengkapi dengan CD player (CD) dan 20% dilengkapi kedua alat tersebut (a) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi CD player, jika diketahui mobil tersebut juga dilengkapi AC (b) Berapa peluang sebuah mobil dilengkapi AC, jika diketahui mobil tersebut tidak dilengkapi CD. 4. Sebuah perusahaan pengeboran minyak mengestimasi bahwa peluang pengeboran itu sukses adalah 40%. Pengalaman perusahaan diketahui bahwa 60% keberhasilan pengeboran itu karena dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat sedangkan 20% pengeborannya gagal walaupun dikerjakan dengan prosedur yang benar dan tepat. Jika perusahaan pengeboran sudah melaksanakan prosedur yang benar dan tepat berapa peluang perusahaan berhasil dalam pengeboran minyaknya? 5. Seorang mahasiswa mengambil dua mata kuliah kalkulus (I,II). Misal A adalah event bahwa dia lulus kalkulus I dan B adalah event bahwa dia lulus kalkulus II. Jika dia menduga bahwa P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9 ; dan P (A ∩ B) = 0, 75. Tentukan sample space untuk kasus tersebut? Tentukan probabilitas: A ∪ B; A ∪ B; A ∩ B; A ∩ B? 6. Diberikan populasi sarjana disuatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan. Akan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang. Ternyata yang terpilih adalah dalam status bekerja, berapakah probabilitasnya bahwa dia (a) Lakilaki (b) Wanita
7. Sebuah pabrik VCR membeli salah satu microchip-nya dari 3 perusahaan yang berbeda. 30% microchip tersebut dibeli dari erusahaan X, 10
20% dari perusahaan Y, dan 50% dari perusahaan Z. Berdasarkan pengalaman, 3% microchip perusahaan X cacat, 5% microchip perusahaan Y cacat, dan 4% microchip perusahaan Z cacat. Pada saat microchips tersebut sampai di pabrik, mereka langsung menempatkannya dalam kotak tanpa inspeksi atau mengidentifikasi asal microchip terlebih dahulu. Seorang pekerja mengambil sebuah microchip secara acak dan ternyata cacat. Berapa peluang bahwa microchip tersebut berasal dari perusahaan Y? 8. Seseorang melamar pekerjaan pada 2 perusahaan, A dan B. Dia menduga bahwa peluang akan diterima di perusahaan A adalah 0.4, dan di perusahaan B 0.3. Diasumsikan penerimaan karyawan pada kedua perusahaan tersebut adalah independen, hitung peluang: (a) Dia akan diterima di kedua perusahaan (b) Dia akan diterima paling sedikit di satu perusahaan (c) Dia diterima di perusahaan A tetapi tidak di perusahaan B. 9. Suatu perusahaan TV mempunyai tiga pabrik, yaitu A, B, dan C dengan persentase produksi masing-masing adalah 15%, 35%, dan 50%. Tiap pabrik menghasilkan produk (TV) cacat, yaitu masing-masing 1% (A), 5% (B), dan 2% (C). (a) Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat? (b) Apabila sebuah TV diambil secara acak dari keseluruhan produk yang ada, berapakah besarnya peluang bahwa TV yang terpilih tersebut dalam keadaan cacat?
11
