J URNAL F ISIKA DAN A PLIKASINYA
VOLUME 10, N OMOR 2
J UNI 2014
Mesin Panas Kuantum Partikel Relativistik pada Sumur Potensial 2 Dimensi Heru Sukamto,∗ Agus Purwanto,† dan Bintoro Anang Subagyo‡ Jurusan Fisika-FMIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Kampus ITS Sukolilo, Surabaya 61111
Intisari Pada paper ini, dibahas mesin panas kuantum dengan medium partikel relativistik pada sumur potensial 2 dimensi. Dipilih model mirip mesin Carnot dengan ekspansi isoenergetik dan isoentropik pada kedua dimensi sumur potensial. Diambil parameter ekspansi yang berbeda pada kedua dimensi. Dari perhitungan secara analitik, diperoleh nilai efisiensi mesin panas dalam pendekatan non-relativistik bergantung pada ukuran awal sumur potensial. Namun jika parameter ekspansi diambil sama, maka nilai efisiensi sama dengan kasus 1 dimensi. ABSTRACT In this paper, we discuss quantum heat engine with relativistic particle medium in two-dimensional potential well. We chose Carnot-like engine model with isoenergetic and isoentropic expansion to both dimensions of potensial well. We took different expansion parameter to both dimensions. From the analytic calculation, we obtained heat engine eficiency with non-relativistic approach depend on the sizes of potensial well. However, if we took same expansion parameter both dimensions, then the value of heat engine eficiency was equal to 1 dimension case. K ATA KUNCI : Mesin panas relativistik, parameter ekspansi, efisiensi Carnot
I.
PENDAHULUAN
Mesin panas merupakan piranti untuk mengkonversi energi panas menjadi energi mekanik. Versi kuantumnya dikenal sebagai mesin panas kuantum, dengan obyek partikel kuantum sebagai media kerja dari mesin panas. Kajian mesin panas kuantum ini telah banyak dikaji oleh banyak peneliti, dari model mainan[1–4] hingga penerapan praktis [5]. Beberapa penelitian mengambil partikel relativistik dalam sumur potensial 1 dimensi sebagai medium kerja mesin [6].
Pada paper ini, dikaji model mesin panas kuantum relativistik dengan sumur potensial 2 dimensi. Pada model ini, proses ekspansi mesin panas melibatkan kedua dimensi. Apabila pada kasus 1 dimensi terdapat 4 proses termodinamik, maka untuk kasus 2 dimensi terdapat 8 proses pada satu siklus Carnot.
II.
PARTIKEL DIRAC PADA SUMUR POTENSIAL 2 DIMENSI
Pemodelan menggunakan sumur potensial 2 dimensi, dengan Hamiltonian partikel Dirac diberikan oleh ˆ c2 + V (x, y)Iˆ ˆ = αˆ1 p1 c + αˆ2 p2 c + βM H
(1)
dengan V (x, y) =
0, 0 < x < a dan 0 < y < b +∞, yang lain
(2)
Karena hanya melibatkan dua dimensi, maka 3 matriks Pauli cukup menjadi alternatif matiks α1 , α2 , β
0 1
α1 = σ1 =
1 0
0 −i
α2 = σ2 =
(3)
i 0 ∗ E- MAIL :
[email protected] † E- MAIL :
[email protected] ‡ E- MAIL : b
[email protected]
c Jurusan Fisika FMIPA ITS
β = σ3 =
1 0 0 −1
-103
J. F IS . DAN A PL ., VOL . 10, N O . 2, J UNI 2014
H. S UKAMTO , dkk.
sehingga fungsi gelombang menjadi matriks 2 × 1 ϕ(x, y) ψ(x, y) = χ(x, y)
dan dengan mengambil syarat batas ϕ(x = 0, y) = ϕ(x = a, y) = ϕ(x, y = 0) = ϕ(x, y = b) = 0
(4)
dengan ϕ dan χ merupakan spinor Dirac partikel dalam sumur. Namun untuk pembahasan ini, pengaruh spin partikel diabaikan. Fungsi gelombang Pers.(4) disubtitusikan ke persamaan Dirac tak bergantung waktu −i~cσ1 ∂x ψ − i~cσ2 ∂y ψ + σ3 M c2 ψ = Eψ
v u u ψn,m (x, y) = t h 1 4
1 1+
~2 π 2 c2 (E+M c2 )2
~2 a2
+
m2 b2
serta kondisi normalisasi
i
sin
0
Z
b1 + ψn,m (x, y)ψn,m (x, y)dxdy = 1
(7)
0
diperoleh solusi fungsi gelombang
nπx a
−i~c E+M c2
a1
Z
(5)
(6)
cos
nπ a
cos
mπy b
nπx a
sin
mπy b
+
mπ b sin
mπy b
cos
nπx a
dengan nilai energi s En,m (a, b) =
~2 π 2 c2
m2 n2 + + M 2 c4 a2 b2
(8)
Bilangan kuantum n,m menyatakan level energi sistem sama seperti halnya bilangan kuantum energi partikel pada sumur potensial non-relativistik. Gambar 1: Siklus Carnot 2 dimensi. III.
PROSES ISOENERGETIK DAN ISOENTROPIK
Siklus Carnot klasik terdiri dari proses isothermal dan adiabatik. Proses isothermal terjadi tanpa perubahan energi dalam dari sistem, sedangkan proses adiabatik terjadi tanpa ada kalor yang masuk dan keluar dari sistem. Selama proses berlangsung, dipenuhi hukum termodinamika I dU = dQ − dW
(9)
Pada Siklus Carnot kuantum, proses isothermal diganti oleh proses isonergetik dengan nilai energi total partikel yang tetap. Sedangkan proses isothermal digantikan oleh proses isoentropik dengan nilai probabilitas tetap[1]. Kedua proses ini dapat berlangsung karena tekanan partikel dalam sumur dan pengaruh eksternal. Di sini digunakan sistem 1 partikel relativistik saja. Dengan probabilitas partikel pada keadaan n,m dinotasikan pn,m . Energi total partikel diberikan oleh E=
X
berikut X
dE =
En,m (a, b)dpn,m (a, b)
n,m
X
+
pn,m (a, b)dEn,m (a, b)
(11)
n,m
Suku pertama analog dengan kalor yang masuk atau keluar sistem, suku kedua analog dengan usaha pada atau oleh sistem. Selama proses isoenergetik, probabilitas partikel berubah sehingga proses ini mensyaratkan perubahan keadaan. Dengan demikian, untuk sumur potensial 2 dimensi dibutuhkan minimal 4 keadaan. Yang di sini diambil model minimal 4 keadaan, yaitu (1,1), (1,2), (2,1), (2,2). Diperkenalkan siklus yang mirip siklus Carnot dengan 4 proses isoenergetik dan 4 proses isoentropik seperti Gambar 1. Proses isoenergetik
pn,m En,m
(10)
n,m
Untuk mendapatkan bentuk serupa hukum termodinamika I, maka dideferensialkan energi total sistem kuantum sebagai
Pertama akan dibahas proses isoenergetik AB (Gambar 1). Selama proses tidak terjadi perubahan energi total. Kalor yang masuk dari reservoir keseluruhannya berubah menjadi kerja.
-104
QAB − WAB = 0
(12)
J. F IS . DAN A PL ., VOL . 10, N O . 2, J UNI 2014
H. S UKAMTO , dkk.
Gambar 2: Skema siklus ukuran sumur potensial 2 dimensi.
Untuk proses isoenergetik yang pertama (proses AB), Kalor yang masuk diberikan oleh QAB =
2 Z X n=1
a2
a1
dpn,1 (a, b1 ) En,1 (a, b1 ) da da
2 X
(13)
Selama proses berlangsung, nilai probabilitas partikel berubah. Kondisi normalisasi mensyaratkan p1,1 (a, b1 ) + p2,1 (a, b1 ) = 1
proses AB
pn,1 (a, b1 )En,1 (a, b1 ) = p1,1 (a1 , b1 )E1,1 (a1 , b1 ) (15)
n=1
diperoleh p1,1 (a, b1 ) =
(14)
p1,1 (a1 , b1 )E1,1 (a1 , b1 ) − E2,1 (a, b1 ) (16) E1,1 (a, b1 ) − E2,1 (a, b1 )
Dengan menggunakan energi total yang konstan selama
Disubstitusikan pada Pers. (13), diperoleh kalor dari reservoar panas sebesar Z a2 d p1,1 (a1 , b1 )E1,1 (a1 , b1 ) − E2,1 (a, b1 ) QAB = [E1,1 (a, b1 ) − E2,1 (a, b1 )] × da E1,1 (a, b1 ) − E2,1 (a, b1 ) a1
(17)
Kondisi awal diambil sepenuhnya pada keadaan dasar (1,1), sehingga nilai p1,1 (a1 ,b1 ) = 1. Dari perhitungan secara analitik, diperoleh a2 [A1 (b1 ) + E2,1 (a1 , b1 )] [A1 (b1 ) + E1,1 (a1 , b1 )] QAB = 2 [E1,1 (a1 , b1 ) − A1 (b1 )] ln (18) + A1 (b1 )ln a1 [A1 (b1 ) + E2,1 (a2 , b1 )] [A1 (b1 ) + E1,1 (a2 , b1 )] E2,1 (a2 , b1 ) + E1,1 (a2 , b1 ) + E1,1 (a1 , b1 )ln E2,1 (a1 , b1 ) + E1,1 (a1 , b1 )
Proses isoentropik
dengan r An (x) =
~2 c2 π 2
n2 + M 2 c4 x2
(19)
Dengan cara yang sama, dapat dihitung QBC , QEF , QF G . Usaha selama proses isoenergtik ditentukan dengan Pers. (12). Sehingga WAB = QAB , WBC = QBC , WEF = QEF , WF G = QF G . Berikutnya ditinjau kondisi awal dan akhir selama proses isoenergetik AB. Karena nilai energi total sistem tidah berubah selama proses dan hanya melibatkan satu partikel, maka E1,1 (a1 , b1 ) = E2,1 (a@ , b1 )
(20)
Dengan demikian, dapat diperoleh hubungan a2 = 2a1 . Begitu juga dengan proses isoenergetik yang lainnya, b2 = 2b1 , a4 = a3 /2, b4 = b3 /2.
Untuk proses isoentropik, nilai probabilitas tetap. Misal untuk isoentropik CD, p22 (a2 ,b2 )= p22 (a3 ,b2 ) = 1. Tidak ada kalor yang masuk, sehingga usaha sistem hanya terkait dengan perubahan energi total. Selama proses ini, tidak diperlukan perubahan keadaan sistem, karena perubahan energi total telah terkait dengan perubahan ukuran sumur potensial. Usaha selama proses isoentropik CD diberikan oleh WCD = p2,2 (a3 , b2 )E2,2 (a3 , b2 ) − p2,2 (a2 , b2 )E2,2 (a2 , b2 ) s 4 4 = ~2 π 2 c2 + + M 2 c4 (21) a23 b22 s 4 4 2 2 2 ~ π c + 2 + M 2 c4 − a22 b2 Dengan prosedur yang sama dapat dihitung juga WDE , WGH , WHA . Pada proses isoentropik, diperkenalkan parameter ekspansi α untuk sumbu X dan β untuk sumbu Y, sehingga
-105
J. F IS . DAN A PL ., VOL . 10, N O . 2, J UNI 2014
H. S UKAMTO , dkk.
Untuk menghitung efisiensi mesin ini harus dihitung keseluruhan kerja selama satu siklus dibagi dengan panas yang masuk pada proses energetik AB dan BC seperti Gambar 3. Namun kerumitan ini menjadi lebih sederhana karena selama proses isoentropik, dengan menggunakan Pers.(21), serta skema Gambar 2, total usaha sama dengan nol. WCD + WDE + WGH + WHA = 0
Dengan demikian efisiensi Carnot kuantum dapat dihitung dari proses isoenergetik saja sebagai berikut
Gambar 3: Proses isoenergetik (AB,BC, EF, FB) dan proses isoentropik (CD, DE, GH, HA).
a3 = αa2 , dan b3 = βb2 . Parameter ekspansi dibedakan agar diperoleh hasil yang general, dengan demikian skema selama satu siklus dapat digambarkan seperti ditunjukkan Gambar 2.
IV.
EFISIENSI MESIN
η =1+
W Qin
QEF + QF G AAB + QBC
(24)
Suku QEF + QF G adalah kalor yang keluar sistem dan bernilai negatif. Sedangkan suku QAB + QBC merupakan kalor yang masuk ke sistem dan bernilai positif. Dengan mensubtitusikan Pers.(18), serta panduan dari skema Gambar 2 diperoleh efisiensi mesin Carnot relativistik 2 dimensi
Nilai efisiensi mesin Carnot merupakan perbandingan antara kerja yang diberikan mesin dengan kalor yang masuk. Secara umum dituliskan sebagai berikut η=
(23)
η =1+
ln [D1 D2 D3 ] ln [D4 D5 D6 ]
(25)
(22)
dengan
D1 = D2 = D3 = D4 = D5 = D6 =
1 [E1,1 (αa1 , βb1 ) + E2,1 (αa1 , βb1 )] [E1,1 (αa1 , βb1 ) + E1,1 (αa1 , βb1 )] 16 [E1,1 (2αa1 , βb1 ) + E1,1 (αa1 , βb1 )] [E1,1 (αa1 , βb1 ) + E1,1 (αa1 , 2βb1 )] A (βb ) 4 [A1 (βb1 ) + E1,1 (2αa1 , βb1 )] 1 1 [A1 (βb1 ) + E2,1 (αa1 , βb1 )] A (αa ) 4 [A1 (αa1 ) + E1,1 (αa1 , 2βb1 )] 1 1 [A1 (αa1 ) + E1,2 (αa1 , βb1 )] E (a ,b ) 16 [E1,1 (a1 , b1 ) + E2,1 (2a1 , b1 )] [E1,1 (a1 , b1 ) + E1,1 (a1 , 2b1 )] 1,1 1 1 [E2,1 (a1 , b1 ) + E1,1 (a1 , b1 )] [E1,2 (a1 , b1 ) + E1,1 (a1 , b1 )] A1 (b1 ) 1 [A1 (b1 ) + E2,1 (a1 , b1 )] 4 [A1 (b1 ) + E1,1 (2a1 , b1 )] A1 (a1 ) 1 [A1 (a1 ) + E1,2 (a1 , b1 )] 4 [A1 (a1 ) + E1,1 (a1 , 2b1 )]
Suku di atas menerangkan bahwa nilai efisiensi mesin bergantung pada ukuran awal sumur potensial dan parameter ekspansi. Pendekatan secara non-relativistik [6] aλ1 → 0, λ 2π~ b1 → 0, dengan λ = M c diperoleh η =1−
1 α2 a21
1 a21
+
1 β 2 b21
+
1 b21
E1,1 (αa1 ,βb1 )
Jika nilai parameter ekspansi diambil sama pada kedua derajat kebebasan (α = β), maka akan diperoleh nilai efisiensi yang sama dengan referensi [6],
(26)
-106
η =1−
1 α2
(27)
J. F IS . DAN A PL ., VOL . 10, N O . 2, J UNI 2014 V.
H. S UKAMTO , dkk.
SIMPULAN
Nilai efisiensi mesin panas kuantum relativistik pada siklus yang diberikan bergantung pada ukuran awal sumur poten-
[1] C.M. Bender, D.C. Brody, and B.K. Meister, Journal of Physics, 33(24), 4427-4436 (2000). [2] E. Latifah and A. Purwanto, J. Mod. Phys., 2(11), 1366-1372 (2011). [3] T.H. Quan, et al., Phys. Rev. E 76, 031105 (2007). [4] H.T. Quan, P. Zhang, and C.P. Sun, Phycical Rev. E, 72(5)
sial dan parameter ekspansi. Namun jika nilai parameter ekspansi diambil sama untuk kedua derajat kebebasan, dalam pendekatan non-relativistik akan memberikan nilai yang sama dengan kasus 1 dimensi.
(2005). [5] H.E.D. Scovil, and E.O. Schul-DuBois, Physical Review Letters, 2(6), (1959) [6] E. Munoz and Fransisco J. Pena, Phys.Rev.E. 86, 061108 (2012).
-107
