MENENTUKAN INVERS MOORE PENROSE DARI MATRIKS KOMPLEKS
skripsi disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Program Studi Matematika
oleh Astin Wita Yunihapsari 4150407021
JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG 2011 i
PERNYATAAN
Saya menyatakan bahwa skripsi ini bebas plagiat, dan apabila di kemudian hari terbukti terdapat plagiat dalam skripsi ini, maka saya bersedia menerima sanksi sesuai ketentuan peraturan perundang-undangan.
Semarang, 29 Juli 2011
Astin Wita Yunihapsari 4150407021
ii
PENGESAHAN Skripsi yang berjudul Menentukan Invers Moore-Penrose dari Matriks Kompleks disusun oleh Astin Wita Yunihapsari 4150407021 telah dipertahankan di hadapan sidang Panitia Ujian Skripsi FMIPA Unnes pada tanggal 9 Agustus 2011
Panitia, Ketua
Sekretaris
Dr. Kasmadi Imam S., M.S. 195111151979031001
Drs. Edy Soedjoko, M.Pd. 195604191987031001
Ketua Penguji
Drs. Supriyono, M.Si. 195210291980031002
Anggota Penguji/ Pembimbing Utama
Anggota Penguji/ Pembimbing Pendamping
Dr. Kartono, M.Si 196502221980031002
Drs. Darmo 19490481975011001
iii
PERSEMBAHAN
Ku tulis dengan tinta emas yang ku hiasi cinta Skripsi ini ku persembahkan untuk......
Bapak Ibuku tersayang Ibnoe Taufik (alm) dan Widihastuti. Keluargaku tersayang Rima Yunartati, Haryono dan Airlangga. Penjaga hatiku tercinta, Tri Hermanto. Sahabat-sahabatku tersayang Tenis, Anisa, Ulil, Riza, Ani, Meita, Ninik. Teman seperjuanganku Matematika ’07. Anak-anak kos dodol, kos pelangi, Creal Ska, KKN Wonorejo-Pringapus Almamaterku.
iv
MOTTO
Tetesan air mengalahkan kekerasan batu. Kebahagiaan tertunda yang dibayar dengan pengorbanan dan keikhlasan akan terasa lebih indah. Rencana Tuhan akan selalu indah pada waktunya. Harapan, doa, dan usaha mengantarkan kita pada kesuksesan.
v
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat dan hidayah-Nya, sehingga penulis memperoleh kekuatan untuk menyelesaikan skripsi ini. Solawat dan salam senantiasa penulis tujukan kepada Nabi Muhammad SAW. Penyelesaian skripsi ini tidak terlepas dari bimbingan, bantuan dan saran dari segala pihak dalam penulisannya. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada : 1. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si., Rektor Universitas Negeri Semarang yang telah memberikan fasilitas-fasilitas kepada penulis. 2. Dr. Kasmadi Imam S, M.S, Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. 3. Drs. Edy Soedjoko, M.Pd, Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang. 4. Dr. Kartono, M.Si, Dosen Pembimbing I yang penuh keikhlasan mengarahkan dan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal hingga akhir. 5. Drs Darmo, Dosen Pembimbing II yang penuh keikhlasan mengarahkan dan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal hingga akhir. 6. Drs. Supriyono, M.Si, Dosen Penguji yang penuh keikhlasan mengarahkan dan membimbing penulis dalam menyusun skripsi ini dari awal hingga akhir. 7. Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika yang telah memberikan bekal ilmu dan pengetahuan selama kuliah. 8. Bapak ibu dan keluargaku yang selalu memberikan doa, dukungan, dan semangat sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. 9. Semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian Skripsi ini.
vi
Penulis menyadari bahwa Skripsi ini masih sangat jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan. Semoga tulisan ini bermanfaat bagi yang berkepentingan dengan ilmu matematika.
Semarang,
Agustus 2011
Penulis
Astin Wita Yunihapsari 4150407021
vii
ABSTRAK
Yunihapsari, Astin, Wita. 2011. Menentukan Invers Moore Penrose Dari Matriks Kompleks. Skripsi, Jurusan Matematika dan Fakultas Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing Utama Dr. Kartono, M.Si. dan Pembimbing Pendamping Drs. Darmo.
Kata Kunci : Bilangan Kompleks, Ruang Vektor, Matriks, Graf.
Invers Moore - Penrose adalah salah satu jenis matriks invers yang dinotasikan dengan
. Invers Moore - Penrose merupakan perluasan dari konsep
invers matriks. Jika invers matriks yang sudah kita kenal adalah invers dari suatu matriks bujur sangkar dan non singular (determinannya tidak nol), maka Invers Moore - Penrose ada untuk setiap matriks baik matriks bujur sangkar yang singular maupun yang tidak bujur sangkar. Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk mengetahui sifat dan metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks, apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas, dan syarat apa saja yang harus dipenuhi. Metode penelitian yang digunakan dalam skripsi ini adalah penemuan masalah, perumusan masalah, studi pustaka, analisis pemecahan masalah, penarikan simpulan. Dalam pembahasan dijelaskan mengenai sifat dan metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks, apakah Invers Moore Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas, dan syarat apa saja yang harus dipenuhi. Dari pembahasan dapat disimpulkan bahwa Invers Moore – Penrose mempunyai enam sifat dan dua metode untuk mencari Invers Moore – Penrose, tidak semua matriks bebas memiliki Invers Moore – Penrose yang bebas, dan ada dua syarat yang harus dipenuhi agar Invers Moore – Penrose dari suatu matriks bebas juga merupakan matriks bebas.
viii
DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL
i
PERNYATAAN
ii
PENGESAHAN
iii
PERSEMBAHAN
iv
MOTTO
v
KATA PENGANTAR
vi
ABSTRAK
viii
DAFTAR ISI
ix
DAFTAR GAMBAR
xi
DAFTAR SIMBOL
xii
BAB 1 PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
1
1.2 Masalahan
2
1.3 Batasan Masalah
3
1.4 Tujuan Penelitian
3
1.5 Manfaat Penelisan
4
1.6 Sistematika Skripsi
4
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Bilangan Kompleks
6
2.2 Ruang Vektor
9
2.3 Matriks
15
2.4 Graf
20
BAB 3 METODE PENELITIAN 3.1 Penemuan Masalah
25
ix
3.2 Perumusan Masalah
26
3.3 Studi Pustaka
26
3.4 Analisis Pemecahan Masalah
27
3.5 Penarikan Simpulan
27
BAB 4 PEMBAHASAN 4.1 Invers Moore – Penrose
29
4.2 Sifat Invers Moore – Penrose
33
4.3 Metode untuk mencari Invers Moore – Penrose
38
4.4 Invers Moore – Penrose Matriks Bebas
48
4.5 Struktur Invers Moore – Penrose Matriks Bebas
63
BAB 5 PENUTUP 5.1 Simpulan
75
5.2 Saran
76
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
x
DAFTAR GAMBAR
Gambar
Halaman
2.1.1 Penyajian Bilangan Kompleks Dalam Koordinat
6
2.4.1 Graf G
20
2.4.2 Graf Yang Memiliki Sisi Ganda
21
2.4.3 Garaf Yang Memiliki Lup
21
2.4.4 Graf Sederhana
22
2.4.5a Subgaf G
22
2.4.5b Graf G
22
2.4.6 Graf G
23
2.4.7 Graf B
23
2.4.8 Digraf D
24
4.4.1 Graf Bipartite
52
4.4.2
53
4.4.3
53
4.4.4
54
4.4.5
54
4.4.6
55
4.4.7 Matriks bebas dan Invers Moore - Penrosenya yang tidak bebas
62
4.4.8 Matriks Bebas dan Invers Moore-Penrosenya yang tidak bebas
62
xi
DAFTAR SIMBOL
Invers Moore – Penrose Transpose Konjugat Invers dari matriks Transpos dari matriks
xii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Matriks dan operasinya merupakan hal yang berkaitan erat dengan bidang aljabar linear. Konsep dari suatu matriks sangat berguna dalam menyelesaikan beberapa permasalahan pada ilmu matematika modern. Penyelesaian permasalahan matematika dalam bentuk matriks tersebut dapat dilakukan dengan beberapa cara. Salah satu cara tersebut adalah menggunakan invers matriks. Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. (Anton, H; 1987: 22). Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya.Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisikan. (http://en.wikipedia.org/wiki/matriks_(matematic)) Penggunaan matriks invers sangatlah penting dalam menentukan solusi dari sistem persamaan linear
yang sesuai, yakni
. (Anton, H; 1987:
49). Oleh karena pentingnya penggunaan matriks invers maka tulisan ini akan membahas salah satu jenis matriks invers, yakni Invers Moore - Penrose. 1
2
Invers Moore - Penrose adalah salah satu jenis matriks invers yang dinotasikan dengan
. Invers Moore - Penrose merupakan perluasan dari konsep invers matriks.
Jika invers matriks yang sudah kita kenal adalah invers dari suatu matriks bujur sangkar dan non singular (determinannya tidak nol), maka Invers Moore - Penrose ada untuk setiap matriks baik matriks bujur sangkar yang singular maupun yang tidak bujur sangkar. (Thomas Blitz :1081-3810) Pada skripsi sebelumnya telah dijelaskan mengenai matriks invers tergeneralisir dan matriks invers tergeralisir Moore - Penrose, dan hubungan matriks invers tergeralisir dengan matriks tergeralisir Moore - Penrose. Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk melanjutkan skripsi sebelumnya dengan membahas lebih lanjut mengenai Invers Moore - Penrose pada matriks kompleks dengan membatasinya pada matrik kompleks sejati dan matriks bebas dengan membatasinya pada matriks berukuran
. Pembahasan ini akan dikaitkan dengan digraph dan graf bipartite
sub-sub matriks dari matriks bebas tersebut dengan Invers Moore - Penrosenya.
1.2 Masalah Dari latar belakang di atas diperoleh permasalahan yang timbul dalam penyusunan skripsi ini adalah : 1. Bagaimana sifat-sifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks? 2. Bagaimana metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks?
3
3. Apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas? 4. Syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas?
1.3 Batasan Masalah Dalam skripsi ini permasalahan yang dibahas adalah menentukan Invers Moore – Penrose matriks kompleks dengan membatasinya hanya pada matriks kompleks sejati dan matriks bebas dengan membatasinya pada matriks
berukuran
.
1.4 Tujuan Penulisan Tujuan dari penelitian ini adalah : 1. Mengetahui sifat-sifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks. 2. Mengetahui metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks. 3. Mengetahui apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas. 4. Mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas.
4
1.5 Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penyusunan skripsi ini adalah : 1. Bagi peneliti Dapat mengetahui sifat-sifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks, mengetahui metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks, mengetahui apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas, mengetahui syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas. 2. Bagi universitas Dari hasil penelitian ini dapat dijadikan masukan dan bahan koreksi dalam menentukan Invers Moore - Penrose dari matriks kompleks dan matriks bebas dengan membatasinya pada matriks
berukuran
.
1.6 Sistematika Skripsi Dalam penulisan skripsi ini secara garis besar dibagi menjadi tiga bagian pokok, yaitu bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir. Pada bagian awal berisi halaman sampul, halaman judul, abstrak, lembar pengesahan, motto dan persembahan, kata pengantar, daftar isi.
5
Pada bagian isi skripsi terdiri dari lima bab. Bab 1 Pendahuluan. Pada bab ini mengemukakan tentang latar belakang, permasalahan, tujuan dan manfaat penelitian, dan sistematika penulisan skripsi. Pada bab berikutnya adalah tinjauan pustaka yang diangkat sebagai bab 2. Bab ini berisi uraian teoritis atau teori-teori yang mendasari pemecahan tentang masalah-masalah yang berhubungan dengan judul skripsi. Bab 3 adalah metode penelitian yang berisi tentang metode yang digunakan dalam penelitian yang meliputi penemuan masalah, perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah, serta penarikan simpulan. Bab selanjutnya yaitu bab 4 berisi semua hasil dan pembahasan mengenai bagaimana sifat-sifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks, bagaimana metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks, apakah Invers Moore Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas, syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas. Bab terakhir merupakan bab 4, yaitu bab penutup. Bab ini berisi tentang simpulan dan saran yang diberikan penulis berdasarkan simpulan yang diambil. Bagian akhir skripsi berisi daftar pustaka dan lampiran-lampiran yang mendukung skripsi.
BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.1 BILANGAN KOMPLEKS Definisi 2.1.1 Bilangan kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real , yang dinyatakan oleh berarti
atau
. Lambang bilangan kompleks, kita gunakan
dan yang
(Supriyono; 1992:1)
Secara geometris, bilangan kompleks dapat ditinjau sebagai titik atau pun vektor di bidang
dimana sumbu
disebut sumbu riil ,sumbu
disebut sumbu
imajiner, dan bidangnya disebut bidang kompleks. (Anton, H; 1987: 389) Sumbu Imajiner
(bagian imajiner )
Sumbu riil (Bagian riil )
Gambar 2.1.1 Penyajian bilangan kompleks dalam koordinat
6
7
Definisi 2.1.2 Dua bilangan kompleks jika
dan
dan
didefinisikan sama, dituliskan
(Anton, H; 1987: 390)
Operasi aljabar dari bilangan kompleks di pandang sama dengan operasi aljabar vektor dalam
. Jika diketahui
dan
, maka
Penjumlahan bilangan kompleks
Pengurangan bilangan kompleks
Perkalian bilangan kompleks
Pembagian bilangan kompleks
Dengan
dan
tidak boleh sama dengan nol. (Anton, H; 1987: 390)
Contoh 2.1.1 Diketahui
dan
, maka
8
Definisi 2.1.3 Jika dinyatakan oleh
sebarang bilangan kompleks, maka konjugat/ sekawan (dibaca “ garis”), didefinisikan oleh
yang
. (Anton, H; 1987:
394) Contoh 2.1.2 Konjugat dari bilangan kompleks
adalah
Definisi 2.1.4 Modulus/ Nilai Mutlak bilangan kompleks didefinisikan oleh
dinyatakan oleh
,
. (Anton, H; 1987: 395)
Contoh 2.1.3 Bilangan kompleks
memiliki harga mutlak
Definisi 2.1.5 Matriks Kompleks adalah matriks dengan entri-entri bilangan kompleks. (Schaum’s; 2004: 34) Contoh 2.1.4 Matriks Kompleks
9
2.2 RUANG VEKTOR Definisi 2.2.1 Misalkan
sebarang himpunan yang tidak kosong, dimana telah didefinikan
operasi-operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar. Himpunan
dikatakan
ruang vektor jika memenuhi aksioma sebagai berikut 1. Untuk setiap 2.
maka untuk setiap
3.
untuk setiap
4. Terdapat
sehingga
5. Untuk setiap
, untuk setiap
terdapat –
6. Untuk sembarang skalar 7.
sehingga
dan untuk setiap
, maka
untuk sembarang skalar
8.
untuk sembarang skalar
9.
untuk sembarang skalar
10.
dan untuk setiap dan untuk setiap
dan untuk setiap
.
untuk setiap (Anton, H; 1987: 137)
Contoh 2.2.1 Diketahui adalah dengan penjumlahan
vektor-vektor
di
dalam
adalah bilangan kompleks} dengan mendefinisikan operasi
10
Dan perkalian skalar
Akan diperlihatkan bahwa Aksioma 1
. Aksioma 2
= = = = Aksioma 3
+ =
merupakan ruang vektor.
11
=
= Aksioma 4 Terdapat
, sedemikian sehingga
untuk setiap Aksioma 5
Terdapat
, sedemikian sehingga
untuk setiap Aksioma 6
= Aksioma 7
=
= =
.
12
Aksioma 8 . =
= Aksioma 9
= = Aksioma 10
Karena memenuhi semua aksioma dari ruang vektor, maka himpunan dengan
adalah bilangan kompleks} adalah ruang vektor.
Definisi 2.2.2 Sebuah vektor
dinamakan kombinasi linear dari vektor-vektor
jika vektor tersebut dapat diungkapkan dalam bentuk di mana
adalah skalar. (Anton, H; 1987: 145)
13
Definisi 2.2.3 Jika vektor pada
adalah vektor-vektor pada ruang
dan jika masing-masing
dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
maka vektor-
vektor ini merentang
(Anton, H; 1987: 146)
Contoh 2.2.2 Diketahui vektor-vektor dengan linear
dan
Dengan
di dalam
adalah bilangan kompleks. Himpunan semua kombinasi
disebut Rentang (
adalah skalar tertentu.
Untuk
diperoleh
yang merupakan kombinasi linear dari
dan Definisi 2.2.4 Jika
adalah himpunan vektor maka persamaan vektor hanya mempunyai satu pemecahan maka
dinamakan bebas linear (linearly independent). Jika ada
pemecahan lain, maka
kita namakan himpunan tak bebas linear (linearly
dependent)/ bergantung linear. (Anton, H; 1987: 151)
14
Contoh 2.2.4 Dengan menggunakan contoh diatas akan diselidiki apakah bebas linear atau bergantung linear. Diambil sedimikian sehingga
Dari sini diperoleh sistem persamaan
Dengan melakukan substitusi terhadap persamaan (2), (3) dan (4) diperoleh
Karena persamaan (1) hanya dipenuhi oleh
maka terbukti bahwa bebas linear.
15
2.3 MATRIKS Definisi 2.3.1 Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. (Anton, H; 1987: 22). Matriks adalah kumpulan bilangan berbentuk persegi panjang yang disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang terdapat di suatu matriks disebut dengan elemen atau anggota matriks. Dengan representasi matriks, perhitungan dapat dilakukan dengan lebih terstruktur. Pemanfaatannya misalnya dalam menjelaskan persamaan linier, transformasi koordinat, dan lainnya. Matriks seperti halnya variabel biasa dapat dimanipulasi, seperti dikalikan, dijumlah, dikurangkan dan didekomposisi kan. (http://en.wikipedia.org/wiki/matriks_(matematic))
Contoh 2.3.1 Matriks
adalah matriks persegi berukuran
Matriks
adalah matriks yang berukuran
Matriks
adalah matriks yang berukuran
16
Definisi 2.3.2 Jika
adalah matriks
adalah matriks
dan
, maka hasil kali
yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari
entri dalam baris dan kolom dari matriks
adalah matriks
, pilih baris dari matriks
dan kolom dari
. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut
bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan. (Anton, H; 1987: 25) Contoh 2.3.2 Diketahui matriks
dan
Maka Definisi 2.3.3 Jika
adalah sebarang matriks
didefinisikan dengan matriks dari
maka transpos A dinyatakan oleh
dan
yang kolom pertamanya adalah baris pertama
, kolom keduanya adalah baris kedua dari , demikian juga dengan kolom
ketiga adalah baris ketiga dari Contoh 2.3.3 Diketahui matriks
dan seterusnya. (Anton, H; 1987: 27)
17
Maka Transpos matriks dari
Definisi 2.3.4 Jika konjugat dari
adalah matriks dengan elemen bilangan kompleks, maka transpos dinotasikan dengan
dan didefinisikan sebagai matriks hasil yang
diperoleh dengan mengubah elemen-elemen yang bersesuaian dari
dengan
konjugatnya, kemudian mengubah letak elemen-elemen dalam matriks, dari yang baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Jika
, maka matriks
merupakan matriks Hermitian. (Anton, H; 1987: 425) Contoh 2.3.4 Diketahui matriks
Maka Dari sini dapat terlihat matriks sedangkan dan
dan
. Oleh karena itu,
adalah matriks Hermitian.
tidak sama dengan tranpos konjugatnya, dan
bukan merupakan matriks Hermitian
18
Definisi 2.3.5 Matriks bujur sangkar
dengan unsur kompleks dinamakan Uniter jika
. (Anton, H; 1987: 426). Contoh 2.3.5
Diketahui
maka
Karena
maka matriks
merupakan matriks Uniter.
Definisi 2.3.6 Jika
adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks
sama sedemikian rupa sehingga (invertible) dan
, dimana
Contoh 2.3.6
Dan
tidak dapat
dinyatakan sebagai matriks singular (Anton & Rosses, 2004:
46).
Di mana
disebut dapat dibalik
disebut sebagai invers (inverse) dari . Jika matriks
didefinisikan, maka
Diketahui matriks
yang ukurannya
dan
19
Definisi 2.3.7 Dimensi umum dari ruang baris dan ruang kolom dari suatu matriks rank dari
dan dinyatakan sebagai
sebagai nulitas (nullity) dari
; dimensi ruang nul dari
dan dinyatakan sebagai
disebut disebut
(Anton &
Rosses.2004: 294). Contoh 2.3.7 Diketahui Akan dicari rank dari matriks
dengan
Karena jumlah maksimal baris dari matriks
yang bebas linear adalah 1, maka
Definisi 2.3.8 Misalkan
adalah matriks berukuran
didefiniskan sebagai himpunan
. Diagonal parsial dari matriks
elemen yang terletak pada baris dan kolom yang
berbeda. Contoh 2.3.8 Diketahui
Diagonal parsial dari matriks
tersebut adalah
dan yang lain.
20
Definisi 2.3.9 Misalkan
adalah matriks berukuran
. Term rank dari matriks
didefinisikan sebagai jumlah maksimal dari elemen tak nol pada diagonal parsial matriks
dan dinotasikan dengan term rank
.
Contoh 2.3.9 Diketahui matriks rank
Term rank
dan term
.
2.4 Graf Definisi 2.4.1 Graf adalah pasangan himpunan dari titik dan
dengan
adalah himpunan tak kosong
adalah himpunan sisi yang menghubungkan sepasang titik (bisa
berupa himpunan kosong). Graf biasanya dinotasikan dengan
(Sutarno, Heri, dkk,
2003: 59) Contoh 2.4.1
Gambar 2.4.1 Graf G Graf
tersebut memiliki dan
.
21
Definisi 2.4.2 Dua sisi atau lebih yang menghubungkan pasangan titik yang sama dinamakan dengan sisi ganda. (Sutarno, Heri, dkk, 2003: 60) Contoh 2.4.2
Sisi ganda
Gambar 2.4.2. Graf yang memiliki sisi ganda Definisi 2.4.3 Sebuah sisi yang menghubungkan sebuah titik dengan dirinya sendiri dinamakan dengan lup (simpul). (Sutarno, Heri, dkk, 2003: 60) Contoh 2.4.3
Lup
Gambar 2.4.3. Graf yang memiliki lup Definisi 2.4.3 Graf tanpa lup dan sisi ganda dinamakan dengan graf sederhana, sebaliknya graf yang memiliki lup atau sisi ganda dinamakan graf tidak sederhana.
22
Contoh 2.4.3
Gambar 2.4.4. Graf sederhana Definisi 2.4.4 Misalkan
adalah suatu graf yang memiliki himpunan titik
Subgraf dari graf
dan daftar sisi
adalah graf yang semua titiknya merupakan elemen dari
dan
semua sisinya merupakan elemen dari . Contoh 2.4.4
(b)
(a)
Gambar 2.4.5. (a) subgraf
(b) graf
Definisi 2.4.5 Misalkan
adalah graf dan
dihubungkan dengan sisi Dikatakan juga, bahwa insiden dengan titik
dan
adalah titik-titik dari graf
, maka dan
dan
. Jika
dan
dikatakan berdekatan (adjacent).
insiden dengan sisi
serta sisi
juga dikatakan
23
Contoh 2.4.5
Gambar 2.4.6. Graf Pada gambar 2.4.5, titik dengan
Kemudian sisi {
dengan
dan
berdekatan dengan
dan
insiden dengan titik
, tapi tidak berdekatan dan
tapi tidak insiden
.
Definisi 2.4.6 Graf bipartite adalah graf yang memiliki himpunan titik yang dapat dikomposisikan ke dalam dua himpunan yang saling terpisah, sehingga tidak terdapat titik yang berada di dalam himpunan titik yang sama saling bedekatan (adjacent). Graf bipartite dinotasikan dengan . Contoh 2.4.6
Gambar 2.4.7. Graf
24
Pada contoh di atas graf dan
adalah graf bipartite dengan dua himpunan titik, yaitu Titik yang berada dalam satu himpunan tidak
ada yang berdekatan. Definisi 2.4.7 Digraf adalah grafik yang terdiri dari titik dan busur, di mana busur tersebut menghubungkan titik satu ke titik yang lainnya dan memiliki arah. Digraf biasanya dinotasikan dengan . Misalkan dengan
adalah digraf, himpunan titik dari digraf biasanya dinotasikan
Sedangkan daftar busur biasanya dinotasikan dengan
Contoh 2.4.7
Gambar 2.4.8. Digraf Pada contoh di atas digraph
memiliki himpunan titik
dan himpunan busurnya adalah
.
BAB 3 METODE PENELITIAN
Peranan metode dalam suatu penelitian sangatlah penting sehingga dengan metode penelitian dapat mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan. Melalui metode penelitian, masalah yang dihadapi dapat diatasi dan dipecahkan dari perolehan data atau informasi yang telah dikumpulkan. Langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini meliputi beberapa hal yaitu sebagai berikut:
3.1 Penemuan Masalah Metode ini merupakan tahapan pertama dalam penelitian yaitu dengan pencarian ide atau gagasan materi dari bidang kajian yang dipilih dan dijadikan permasalahan untuk dikaji pada penelitian ini. Dalam aljabar elementer konsep invers hanya dibatasi sampai pada matriks persegi non singular. Jika
matriks persegi non singular maka terdapat matriks
sedemikian sehingga dari matriks
Jika
Matriks matriks berukuran
selalu terdapat matriks
yang bersifat demikian disebut invers atau
matriks singular maka tidak
yang bersifat demikian. Berdasarkan pernyataan tersebut
peneliti menemukan masalah yang akan dipecahkan dalam penelitian ini yaitu tentang invers dari matriks
berukuran
yang selanjutnya disebut matriks invers
25
26
tergeneralisir yang bersifat khusus yang disebut Invers Moore – Penrose, dengan membatasinya pada matriks kompleks sejati dan mengenai Invers Moore – Penrose matriks bebas dengan membatasinya pada matriks
berukuran
.
3.2 Perumusan Masalah Tahap ini di maksudkan untuk memperjelas permasalahan yang telah ditemukan yaitu dengan merumuskannya sebagai berikut. Berdasarkan masalah yang telah ditemukan, peneliti merumuskan masalah sebagai berikut : 5. Bagaimana sifat-sifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks? 6. Bagaimana metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks? 7. Apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas? 8. Syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas?
3.3 Studi Pustaka Studi pustaka merupakan penelaah sumber pustaka relevan yang digunakan untuk mengumpulkan data maupun informasi yang diperlukan dalam penelitian ini. Studi pustaka diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka yaitu berupa buku-
27
buku maupun referensi yang menjadi dasar dalam penelitian ini. Setelah sumber pustaka terkumpul dilanjutkan dengan penelaahan isi sumber pustaka tersebut. Pada akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk melakukan penelitian ini. Dalam penelitian ini pokok bahasan yang ditelaah adalah bilangan kompleks, ruang vektor, matriks, dan graf. Hasil telaah akan menjadi landasan untuk memecahkan masalah.
3.4 Analisis Pemecahan Masalah Pada tahap ini dilakukan analisa dan pemecahan masalah yaitu dengan langkahlangkah sebagai berikut. 5. Mengkaji sifat-sifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks. 6. Mengkaji metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks. 7. Mengkaji apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas. 8. Mengkaji syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas.
3.5 Penarikan Simpulan Sebagai akhir dari penelitian ini, dilakukan penarikan simpulan mengenai sifatsifat Invers Moore – Penrose matriks kompleks, metode dalam mencari Invers Moore
28
– Penrose matriks kompleks, apakah Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas, dan syarat apa saja yang harus dipenuhi agar Invers Moore - Penrose dari matriks bebas juga merupakan matriks bebas.
BAB 4 HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada skripsi sebelumnya telah dijelaskan mengenai matriks invers tergeneralisir dan matriks invers tergeralisir Moore Penrose, dan hubungan matriks invers tergeralisir dengan matriks tergeralisir Moore Penrose. Pada skripsi ini penulis tertarik untuk melanjutkan skripsi sebelumnya dengan membahas lebih lanjut mengenai Invers Moore - Penrose pada matriks bebas dengan membatasinya pada matriks
berukuran
.
Invers Moore - Penrose merupakan salah satu jenis invers matriks yang biasanya disimbolkan dengan
. Dalam skripsi ini penulis tertarik untuk
menentukan Invers Moore - Penrose dari suatu matriks kompleks dengan melihat ranknya, kemudian akan dilanjutnya mengenai matriks bebas, dan menentukan Invers Moore - Penrose matriks bebas.
4.1 Invers Moore - Penrose Definisi 4.1.1 Diberikan matriks Penrose dari matriks
berukuran
. Matriks
jika memenuhi
1. 2.
29
merupakan Invers Moore -
30
3.
(
hermitian)
4.
(
hermitian)
Dengan
merupakan transpose konjugat dari matriks .
Contoh 4.1.1
Diketahui
,
akan
dibuktikan
bahwa
merupakan Invers Moore - Penrose dari matriks Bukti Matriks
1.
Jadi
2.
Jadi
merupakan Invers Moore - Penrose dari matriks
jika memenuhi
31
3.
Jadi
4.
Jadi
Karena
memenuhi ke-4 definisi di atas jadi
merupakan Invers Moore - Penrose dari Contoh 4.1.2
Diketahui
, akan dibuktikan bahwa
merupakan Invers Moore - Penrose dari matriks Bukti
1.
32
Jadi
2.
Jadi
3.
Jadi
4.
33
Jadi
Karena
memenuhi ke-4 definisi di atas jadi
merupakan Invers Moore - Penrose dari
Seperti telah dijelaskan sebelumnya, Invers Moore – Penrose ini merupakan salah satu jenis invers semu yang bisa digunakan untuk mencari invers matriks yang tidak bujur sangkar maupun singular yang mempunyai determinan . Menurut definisi Invers Moore – Penrose salah satu syaratnya adalah jika
atau
Hermitian. Hal ini bisa dipenuhi apabila matriks yang digunakan adalah matriks kompleks yang sejati. Jadi Invers Moore – Penrose ini hanya bisa digunakan apabila matriks
mempunyai entri bilangan kompleks sejati.
4.2 Sifat – Sifat Invers Moore - Penrose Jika
adalah sebuah matriks, maka Invers Moore - Penrose dari
beberapa sifat, yakni
memiliki
34
1. Jika
adalah matriks persegi yang non-singular, maka Invers Moore -
Penrose dari
adalah
. Dengan kata lain
Bukti Akan dibuktikan bahwa
memenuhi ke-4 kriteria
1. 2. 3. 4. Karena memenuhi keempat kriteria dari Invers Moore - Penrose, maka terbukti bahwa 2. Invers Moore - Penrose bersifat reversible. Dalam pengertian bahwa Invers Moore - Penrose juga memiliki invers, yakni Bukti Misalkan
, akan ditunjukan bahwa
memenuhi ke empat kriteria
dari Invers Moore - Penrose 1. 2. 3. 4. Karena memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose, maka terbukti bahwa
35
3. Invers Moore - Penrose dari matriks nol adalah matriks transposnya sendiri. Bukti Misalkan
(merupakan matriks nol yang berukuran
dibuktikan
), akan
(merupakan Invers Moore - Penrose dari matriks
merupakan matriks nol yang berukuran
yang juga
) memenuhi ke empat kriteria dari
Invers Moore - Penrose 1. Hasil perkalian antara matriks yang berukuran hasil perkalian
yang berukuran
dengan matriks
(matriks tersebut dimisalkan dengan yang berukuran
dengan matriks
). Kemudian yang berukuran
akan menghasilkan matriks nol yang berukuran
Dengan kata
lain matriks hasil yang terakhir tersebut adalah matriks 2. Hasil perkalian antara matriks yang berukuran hasil perkalian
yang berukuran
(matriks tersebut dimisalkan dengan yang berukuran
dengan matriks
akan menghasilkan matriks nol yang berukuran lain matriks hasil yang terakhir tersebut adalah matriks 3.
dengan matriks ). Kemudian yang berukuran Dengan kata
36
Bahwa hasil perkalian dari matriks
merupakan matriks nol yang berukuran
(matriks persegi). Dan matriks Hermitian dari matriks nol yang berupa matriks persegi adalah dirinya sendiri. 4. Bahwa hasil perkalian dari matriks
merupakan matriks nol yang berukuran
(matriks persegi). Dan matriks Hermitian dari matriks nol yang berupa matriks persegi adalah dirinya sendiri. Karena memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose, maka terbukti bahwa 4.Perkalian dengan skalar terhadap matriks perkalian skalar dengan
adalah berbanding terbalik terhadap
. Dengan kata lain
Bukti Misalkan
Akan ditunjukan bahwa
kriteria dari Invers Moore - Penrose 1. 2. 3.
4.
memenuhi ke empat
37
Karena memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose, maka terbukti bahwa 5. Invers Moore - Penrose dari suatu matriks adalah tunggal. Bukti Misal
dan
, masing-masing adalah Invers Moore - Penrose dari matriks .
Akan dibuktikan bahwa = = = = = =
………………………….. (i)
= = = = = =
………………………….. (ii)
Dari (i) dan (ii) terlihat bahwa Penrose bersifat tunggal.
. Jadi terbukti bahwa Invers Moore -
38
6. Pada Invers Moore - Penrose berlaku Bukti Misalkan
, akan ditunjukkan bahwa
memenuhi ke empat
kriteria dari Invers Moore - Penrose 1. 2. 3. 4. Karena memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose, maka terbukti bahwa
4.3 Metode Untuk Mencari Invers Moore - Penrose Misalkan
adalah suatu matriks yang berukuran
mencari Invers Moore - Penrose dari matriks
Langkah awal dalam
adalah menentukan rank matriks
dan dimisalkan dengan . Selanjutnya, terdapat dua metode untuk menentukan Invers Moore - Penrose dari matriks
yakni
4.3.1 Metode 1 Pada metode pertama ini dipergunakan untuk mencari Invers Moore - Penrose dari suatu matriks
yang tidak full rank. Adapun langkah-langkah untuk mencari
Invers Moore - Penrose dari matriks tersebut, yakni
39
Langkah 1
Memilih submatriks dari matriks
yang berukuran
dan memiliki
rank . Kemudian submatriks tersebut dimisalkan dengan Langkah 2
Menempatkan submatriks
di bagian kiri atas dari matriks
semula
dengan melalui penukaran baris-baris dan kolom-kolom. Langkah 3
Mengambil matriks satuan
(matriks identitas yang berukuran
). Misalkan dalam langkah 2 diperoleh dengan menukarkan elemenelemen pada baris ke-i dengan elemen-elemen pada baris ke-j, maka kita dapat membentuk matriks
yang diperoleh dari matriks
,
dengan menukarkan elemen-elemen pada baris ke-i dengan elemenelemen pada baris ke-j. Kemudian mengambil matriks satuan berukuran
(matriks identitas yang
).
Misalkan dalam langkah 2 diperoleh dengan menukarkan elemenelemen pada kolom ke-k dengan elemen-elemen pada kolom ke-l, maka kita dapat membentuk matriks
yang diperoleh dari matriks
,
dengan menukarkan elemen-elemen pada kolom ke-k dengan elemenelemen ke-l. Langkah 4
Menghitung
40
Matriks
merupakan submatriks yang diperoleh dari langkah 2 dan
matriks
merupakan matriks-matriks bagian
yang
diperoleh setelah langkah 2. Langkah 5
Mengambil
Dengan matriks Langkah 6
Dan diperoleh
merupakan matriks satuan yang berukuran dengan menggunakan rumus
Akan dibuktikan bahwa
memenuhi
ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose. Bukti Melalui langkah-langkah dari metode 1 tersebut dapat dikatakan bahwa merupakan hasil kali dari
Oleh karena
, selama
dan
kolom terakhir pada
kolom pertama dari
invertibel, maka
merupakan kombinasi linear dari
, maka terdapat matriks
sehingga
dan
. Karena submatriks Oleh karena itu diperoleh Sedemikian sehingga
berukuran
dengan rank r, maka dan
invertibel.
41
Karena
dan
diperoleh dari matriks identitas yang mengalami operasi elementer
baris dan kolom, maka
dan
invertibel, sehingga diperoleh
Kemudian akan ditunjukkan bahwa Invers Moore - Penrose dari Moore - Penrose. 1. = 2. = 3.
= = = = = 4.
merupakan yang memenuhi kriteria dari Invers
42
= = = = = Karena
memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose, sehingga
Invers Moore - Penrose dari
adalah
Contoh 4.4.1 Pada Contoh 4.1.2 diketahui Akan dicari Invers Moore - Penrose dari matriks tersebut. Langkah awal adalah mencari rank dari matriks . Karena elemen-elemen pada baris 1 dan baris 2 dari matriks maka rank
membentuk himpunan vektor yang tidak bebas linear,
(tidak full rank). Sehingga metode yang dipergunakan untuk
mencari Invers Moore - Penrose dari matriks tersebut adalah metode 1. Langkah 1 Langkah 2
Mengambil Karena pada langkah 1 mengambil submatriks terletak pada kiri atas dari matriks
yang sudah
semula, maka tidak perlu
melakukan penukaran elemen-elemen baris atau kolom.
43
Langkah 3
Mengambil matriks satuan
Langkah 4
Menghitung
Langkah 5
Mengambil
Kemudian mencari
Kemudian mencari Langkah 6
Dan diperoleh
=
=
dengan menggunakan rumus
44
=
Dan dengan definisi 4.1.1 memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore Penrose,
maka
Invers
Moore
-
Penrose
dari
adalah
=
4.3.2 Metode 2 Metode kedua ini diberlakukan untuk matriks
yang full rank, dibedakan
menjadi 2, yakni a. Bila matriks
dan jika
hermitian maka
dapat
dicari dengan rumus Akan dibuktikan bahwa Invers Moore - Penrose. Bukti 1. 2. 3. 4.
memenuhi ke empat kriteria dari
45
Karena
memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose
maka
merupakan Invers Moore - Penrose dari matriks .
Contoh 4.3.2a Diketahui matriks
dengan rank=2, atau full colom rank.
Akan dicari Invers Moore - Penrose dari matriks
Diperoleh
sehingga
sehingga Invers Moore - Penrose dari
Akan dibuktikan bahwa
2.
hermitian
adalah
yang telah diperoleh merupakan Invers Moore -
Penrose yang memenuhi definisi Invers Moore - Penrose
1.
yang memenuhi
=
46
3.
4.
Karena ke empat kriteria terpenuhi maka
merupakan Invers Moore -
Penrose dari b.Bila matriks
dan jika
hermitian maka
dapat
dicari dengan rumus Akan dibuktikan bahwa
memenuhi ke empat kriteria dari
Invers Moore - Penrose. Bukti 1. 2. 3. 4. Karena maka
memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose merupakan Invers Moore - Penrose dari matriks .
47
Contoh 4.3.2b Diketahui matriks
dengan rank=2 ,atau full row rank.
Akan dicari Invers Moore - Penrose dari matriks
Diperoleh
yang memenuhi
dimana
sehingga
Moore - Penrose dari
Akan dibuktikan bahwa
hermitian
sehingga Invers
adalah
yang telah diperoleh merupakan Invers Moore -
Penrose yang memenuhi definisi Invers Moore - Penrose
1.
2.
=
48
3.
4.
Karena ke empat kriteria terpenuhi maka
merupakan Invers Moore -
Penrose dari
4.4 Invers Moore - Penrose Matriks Bebas Definisi 4.4.1 Diketahui himpunan bilangan kompleks elemen diantaranya tidak ada yang sama. Himpunan
, dimana dua tersebut dikatakan bebas
49
aljabar, jika
untuk setiap polinomial tak nol dengan koefisien
rasional tak nol Contoh 4.4.1 1. Suatu himpunan bilangan kompleks
adalah bukan bebas aljabar
karena dapat ditemukan suatu polinomial
, sedemikian
sehingga 2. Suatu himpunan bilangan kompleks
adalah bukan bebas aljabar
karena dapat ditemukan suatu polinomial
, sedemikian
sehingga 3. Suatu himpunan bilangan kompleks tidak dapat ditemukan
adalah bebas aljabar karena sedemikian sehingga
Lemma 4.4.1 Misalkan
dan
merupakan himpunan berhingga dari bilangan kompleks,
sedemikian sehingga setiap elemen suatu elemen
, begitu pula sebaliknya, setiap elemen
bentuk rasional dari sebuah elemen di kardinal
dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional dari
kardinal
. Jika
dapat dinyatakan sebagai
bebas aljabar jika dan hanya jika
.
Bukti Diketahui himpunan tak kosong dari bilangan kompleks terdapat fungsi injektif dan surjektif dari
ke
dan
. Kemudian
, juga sebaliknya terdapat fungsi
50
injektif dan surjektif dari
ke
. Diketahui pula
juga bebas aljabar, maka kardinal
adalah bebas aljabar. Jika
kardinal
Diketahui himpunan tak kosong dari bilangan kompleks terdapat fungsi injektif dan surjektif dari injektif dan surjektif dari kardinal
kardinal
ke maka
ke
dan
Kemudian
, juga sebaliknya terdapat fungsi
. Diketahui pula
adalah bebas aljabar. Jika
adalah bebas aljabar.
Contoh 4.4.2 Diketahui
dan
yang didefinisikan dengan Karena setiap elemen di
maka
(di mana
) adalah fungsi bijektif.
dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional dari suatu elemen
. Sebaliknya, setiap elemen
suatu elemen
. Terdapat fungsi
. Dikarenakan
dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional dari kardinal
dan
adalah bebas aljabar,
juga bebas aljabar.
Definisi 4.4.2 Suatu matriks dikatakan matriks bebas jika himpunan dari semua elemenelemen yang tidak nol pada matriks tersebut adalah bebas aljabar. Contoh 4.4.3 Diketahui matriks
. Matriks
tersebut adalah matriks bebas
karena himpunan dari semua elemen-elemen yang tidak nol dari matriks adalah bebas aljabar. Dengan pengertian tidak dapat ditemukan sedemikian sehingga
tersebut
51
Teorema 4.4.2 Term rank dari matriks bebas sama dengan ranknya. Bukti Matriks bebas adalah matriks bilangan kompleks dimana himpunan dari semua elemen-elemen tidak nol pada matriks tersebut adalah bebas aljabar. Karena elemenelemennya adalah bebas aljabar, maka terdapat baris-baris atau kolom-kolom yang bebas linear. Sedangkan rank dari matriks tersebut adalah jumlah maksimal baris atau kolom yang bebas linear, maka term rank sama dengan ranknya. Contoh 4.4.4 Diketahui matriks
. Matriks tersebut adalah matriks bebas,
karena himpunan bilangan elemen tak nol dari matriks tersebut adalah bebas aljabar.
Karena jumlah maksimum baris dari matriks
Diagonal parsial dari matriks
yang bebas linear adalah 2, maka
tersebut adalah dan
.
Karena
jumlah
52
maksimal dari elemen tak nol pada semua diagonal parsial matriks
adalah 2, maka
Dari sini terlihat bahwa Definisi 4.4.3 Diketahui dan
adalah matriks berukuran
, di mana
. Himpunan
sejumlah dan
dan
adalah himpunan titik-titik adalah himpunan titik-titik sejumlah
Di mana
adalah himpunan yang terpisah. Kemudian graf bipartite dari matriks
dinotasikan dengan
didefinisikan sebagai graf yang memiliki titik
himpunan sisi
dan
.
Contoh 4.4.5 Diketahui matriks memiliki titik
Graf bipartite
, di mana
dan
sisi
serta himpunan .
digambarkan sebagai berikut
Gambar 4.4.1 Graf bipartite
adalah graf yang
Graf
bipartitenya
dapat
53
Definisi 4.4.4 Diketahui
adalah matriks berukuran
. Himpunan W Digraf
dari
matriks
graf yang memiliki titik
dinotasikan
dengan
definisi
tersebut,
sebagai
didefinisikan
dan busur
merupakan matriks identitas yang berukuran
Contoh 4.4.6 , digrafnya adalah
Gambar 4.4.2 Matriks
didefinisikan
dan himpunan busur
sebagai graf yang memiliki titik
Matriks
dan
adalah himpunan titik-titik sejumlah .
Berdasarkan
di mana
, di mana
, digrafnya adalah
Gambar 4.4.3
, .
54
Matriks
digrafnya adalah
Gambar 4.4.4 Definisi 4.4.5 Transitive Clousure dari suatu digraf mengandung busur dari
ke
didefinisikan dengan digraf yang
, jika pada
Jika tidak dapat ditemukan path dari
dapat ditemukan path dari
ke
ke
, maka transitive clousure dari digraf
tersebut adalah dirinya sendiri. Transitive clousure dari
dinotasikan dengan
Contoh 4.4.7 Misalkan
adalah
Gambar 4.4.5 Karena dapat ditemukan path dari clousurenya adalah
ke
dan path dari
ke
, maka transitive
55
Gambar 4.4.6 Definisi 4.4.6 Diketahui matriks
adalah matriks berukuran
. Matriks
dengan
adalah submatriks dari
adalah rank dari
yang berukuran
dan
memiliki Contoh 4.4.8 Berdasarkan Contoh 4.4.4 diketahui
maka
dapat berupa
memiliki
atau
Dalam pembahasan berikutnya, matriks bebas yang digunakan adalah matriks bebas yang berukuran
(matriks persegi).
Teorema 4.4.3 Jika matriks
adalah matriks bebas dengan dan
dapat dituliskan sebagai
dengan Di mana
dan
maka dan .
dan
adalah sub matriks sisa dari
yang secara berturut-turut
56
berukuran
dan
. Sedangkan
yang berukuran
dengan
,
dan
adalah sub matriks dari adalah sub matriks dari
secara berturut-turut berukuran
dan
yang
.
Bukti Diketahui dari
di mana
dan
yang secara berturut-turut berukuran
tersebut memiliki dan
di mana
dan
Matriks
adalah sub matrik
adalah sub matriks dari dan
adalah sub matriks sisa
yang berukuran
yang secara berturut-turut berukuran
. Dengan Teorema 4.4.2, maka
adalah matriks nol. Jika dipilih
adalah matriks nol dan
diketahui
maka matriks
atau
bukan matriks nol serta adalah matriks nol
adalah bukan matriks nol. Akan dibuktikan bahwa
adalah Invers Moore - Penrose dari
1.
Matriks
adalah sub matriks
sub matriks dari
yang berukuran
yang berukuran
dapat dikalikan dengan
dengan
dengan
dan
adalah
juga. Oleh karena itu,
dengan matriks hasil berukuran
(dimisalkan
57
dengan
). Matriks
adalah matriks nol berukuran
matriks nol berukuran
. Oleh karena itu,
matriks hasil matriks nol berukuran
berukuran
yang berukuran
dan
dapat dikalikan dengan
(dimisalkan dengan
(bukan matriks nol yang berukuran dikalikan dengan
dan dikalikan dengan
). Matriks
. Matriks
matriks nol yang berukuran
dapat dikalikan dengan
dan menghasilkan matriks
yang berukuran
adalah ). Analog untuk elemen-elemen matriks yang lain.
Penjelasannya analog dengan kriteria (1).
3. Penjelasannya analog dengan kriteria (1).
4. Penjelasannya analog dengan kriteria (1).
adalah bukan
yang berukuran
. Kemudian
dan menghasilkan matriks
2.
dapat
Sehingga menghasilkan matriks yang
(dimisalkan dengan
dapat dijumlahkan dengan
). Sehingga
(matriks tersebut
58
Karena
memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose sehingga terbukti
bahwa Invers Moore - Penrose dari
adalah
.
Akibat 4.4.4 Jika
adalah matriks bebas, jumlah elemen tak nol dari Invers Moore - Penrose
lebih besar atau sama dengan jumlah elemen tak nol dari matriks Bukti Pada
Teorema
4.4.3
menyatakan
bahwa
. Dan berdasarkan tinjauan pustaka mengenai definisi subgraf, subgraf dari
(atau
adalah graf yang semua titik dan busurnya adalah
anggota dari himpunan titik dan busur pada titik dan busur dari dan
memiliki paling sedikit sebanyak
Secara analog,
Oleh karena itu,
) juga terbukti
memiliki paling sedikit sebanyak elemen tak nol dari
matriks Contoh 4.4.9 Diketahui matriks bebas menggunakan
metode
memiliki 1
dalam
mencari
Invers
. Dengan Moore
-
Penrose
. Dari sini dapat dilihat bahwa jumlah
elemen tak nol
lebih besar dari jumlah elemen tak nol
59
Contoh 4.4.10 Diketahui matriks bebas menggunakan
metode
memiliki 1
dalam
mencari
. Dengan
Invers
Moore
-
Penrose
. Dari sini dapat dilihat bahwa jumlah elemen tak nol
lebih besar dari jumlah elemen tak nol Dari kedua contoh tersebut dapat dilihat bahwa
memiliki elemen tak nol
lebih besar atau sama dengan jumlah elemen tak nol dari . Teorema 4.4.5 berikut menyatakan syarat perlu dan syarat cukup untuk Invers Moore - Penrose
dari sebuah matriks bebas
adalah bebas.
Teorema 4.4.5 Misalkan mana
adalah matriks bebas yang berukuran
tidak terletak pada bagian kiri atas dari matriks
dapat diambil matriks (sehingga
dan
sedemikian sehingga
dengan
semula. Kemudian memenuhi
memiliki submatriks yang berukuran
terletak pada kiri atas dari matriks
tersebut). Di mana
. Di
dengan dan
adalah matriks
identitas yang telah dilakukan operasi elementer terhadapnya. Dituliskan bahwa dan
60
Dengan
dan
adalah matriks
dengan
Pernyataan berikut
ini adalah ekuivalen adalah bebas dan
memiliki jumlah elemen tidak nol (atau nol) yang sama dan
Bukti Pernyataan tersebut ekuivalen dengan Lemma 4.4.1. Pernyataan tersebut ekuivalen dengan Lemma 4.4.1. Jika
dan
memiliki jumlah elemen tidak nol (atau nol) yang sama dan
pada Teorema 4.4.3 menyatakan bahwa
dan
, maka
Jika dan
dan
dan
memiliki jumlah elemen tidak nol (atau nol) yang sama (pernyataan
tersebut benar). Contoh dari Teorema 4.4.5 mengikuti contoh 4.4.11. Akibat 4.4.6 Misalkan
, maka
adalah sebuah matriks bebas. Jika
bebas, maka
61
Bukti Pada Teorema 4.4.3 menyatakan bahwa 4.4.5 menyatakan bahwa
dan pada Teorema
maka terbukti
Contoh 4.4.11 Pada gambar 4.4.7 menyatakan hubungan antara matriks bebas dengan Invers Moore - Penrosenya yang tidak bebas, di mana Pada gambar 4.4.8 menyatakan hubungan antara matriks bebas dengan Invers Moore - Penrosenya yang bebas juga, di mana dan
62
Gambar 4.4.7 Matriks bebas dan Invers Moore - Penrosenya yang tidak bebas
Gambar 4.4.8. Matriks Bebas dan Invers Moore-Penrosenya juga bebas
63
4.5 Struktur Invers Moore - Penrose Matriks Bebas Definisi 4.5.1 Diketahui
adalah
himpunan berurut dari elemen dari
elemen dan
adalah
Untuk suatu
elemen sama dengan kardinal
menotasikan himpunan dengan jumlah dan untuk setiap
menotasikan
himpunan dengan jumlah elemen sama dengan kardinal Contoh 4.5.1 Misalkan
kemudian jika diambil
maka
Dan jika diambil
diambil adalah
maka
yang bisa
karena tidak memuat bilangan 1. Sehingga
Definisi 4.5.2 Misalkan elemen dari
adalah suatu matriks bebas berukuran dan
adalah elemen dari
berukuran kardinal Matriks
kardinal
Matriks
di mana elemen ke
adalah matriks yang berukuran kardinal
kemudian
adalah
adalah matriks yang sama dengan kardinal
.
,
mana
Contoh 4.5.2 Misalkan
adalah
suatu
dan
matriks
yang .
berukuran
di
64
Dengan dari
=
. Dan
adalah himpunan bilangan elemen
Kemudian jika diambil
Matriks
dan
adalah matriks yang berukuran
dengan
Elemen ke
sama dengan
,
Elemen ke
sama dengan
,
Elemen ke
sama dengan
, dan
Elemen ke
sama dengan
(dari matriks
Sehingga
.
semula).
.
Teorema 4.5.1 Jika
merupakan suatu matriks bebas yang berukuran
dan elemen dari matriks Penrose
dinotasikan dengan
dinotasikan dengan
dengan
serta elemen dari Invers Moore -
, maka
Bukti Untuk matriks
yang berukuran
dengan
Berdasarkan Teorema 4.4.5, akan dicari
dan dan
.
65
Mencari dan
Jumlah
66
Mencari
untuk
Jumlah Sehingga diperoleh
Dan dengan cara yang sama diperoleh
Sehingga
Dan untuk matriks yang berukuran lainnya, dibuktikan dengan cara yang sama.
67
Contoh 4.5.3 Diketahui matriks bebas
Akan di cari
Teorema 4.5.1. Karena baris 1 dan 2 dari matriks
Sesuai dengan Teorema 4.4.5, akan dicari Mencari dan
dengan menggunakan
adalah bebas linear, maka
68
Jumlah Mencari
untuk
2
3
0
0
Jumlah
69
Sehingga diperoleh
Dan dengan cara yang sama diperoleh
. Sehingga
dan
.
Definisi 4.5.3 Misalkan
berdasarkan definisi mengenai harga mutlak bilangan
kompleks yang dinotasikan dengan
di mana
.
panjang suatu vektor atau norm dari
dalam
Kemudian untuk didefinisikan
dengan
Contoh 4.5.3 Misalkan
, maka
Teorema 4.5.2 Jika Jika
maka
sehingga
, maka baris dan kolom dari . Di
mana
dan
dapat ditukar dan
adalah vektor yang tidak nol. Sehingga
adalah sebuah titik di
jika dan hanya jika
tidak memiliki titik. atau
memiliki bentuk . Oleh
terdapat titik
karena itu,
70
Bukti Jika
, maka
Hal tersebut bersesuaian dengan sifat dari
Invers Moore - Penrose yang ke tiga, yang menyatakan bahwa Invers Moore Penrose dari matriks nol adalah matriks transposnya sendiri. Sehingga graf bipartite dari
dan
nya tidak memiliki titik.
Jika bentuk
maka dengan penukaran baris dan kolom, matriks ,
di mana
berukuran
merupakan vektor yang tak nol. Misalkan ,
.
Karena
dengan
,
memiliki
adalah matriks di
mana
adalah yang tidak full rank, maka akan dipergunakan
metode 1 untuk mencari Invers Moore - Penrose dari , dengan Langkah 1
Mengambil
Langkah 2
Karena pada langkah 1 mengambil submatriks
.
terletak pada kiri atas dari matriks
semula, maka tidak perlu
melakukan penukaran elemen-elemen baris atau kolom. Langkah 3
Mengambil matriks satuan
Langkah 4
Menghitung.
Langkah 5
Mengambil
Kemudian mencari
yang sudah
71
,
Kemudian mencari Langkah 6
Dan diperoleh
dengan menggunakan rumus
Akan dilakukan pengecekan apakah
yang diperoleh dengan menggunakan metode
1 tersebut memenuhi ke empat kriteria dari Invers Moore - Penrose.
72
1.
2.
73
4.
Karena
yang diperoleh tersebut memiliki ke empat kriteria dari Invers Moore -
Penrose, maka Invers Moore - Penrose dari
adalah
tersebut dapat diuraikan menjadi , di mana
adalah transpose konjugat dari
dan
. Sehingga Invers Moore - Penrose
74
dari matriks
yang memiliki
memiliki bentuk
di mana
mengakibatkan, bahwa
dapat diperoleh dengan
. Dan
adalah vektor yang tidak nol. Serta hal ini
memiliki titik
dan
titik
Dalam pengertian bahwa
dan hanya jika
adalah titik dari
Untuk matriks yang berukuran lain dan
memiliki
adalah titik dari
jika
dibuktikan dengan cara yang sama.
Contoh 4.5.5 Jika diketahui
dengan
Akan dicari Invers Moore
- Penrose dari Dimisalkan
Kemudian
, sehingga
, sehingga
dan
BAB 5 PENUTUP 5.1 SIMPULAN Berdasarkan pembahasan tentang Invers Moore – Penrose dari matriks kompleks yang dibatasi pada Invers Moore – Penrose matriks bebas berukuran
, dapat
disimpulkan, yaitu sebagai berikut. 1. Invers Moore – Penrose matriks kompleks memiliki sifat-sifat a. Jika dari
adalah matriks persegi yang non-singular, maka Invers Moore - Penrose adalah
. Dengan kata lain
b. Invers Moore - Penrose bersifat reversible. Dalam pengertian bahwa Invers Moore - Penrose juga memiliki invers, yaitu c. Invers Moore - Penrose dari matriks nol adalah matriks transposnya sendiri. d. Perkalian dengan skalar terhadap matriks perkalian skalar dengan
adalah berbanding terbalik terhadap
. Dengan kata lain
e. Invers Moore - Penrose dari suatu matriks adalah tunggal. f. Pada Invers Moore - Penrose berlaku 2. Metode dalam mencari Invers Moore – Penrose matriks kompleks a. Pada metode pertama ini dipergunakan untuk mencari Invers Moore - Penrose dari suatu matriks
yang tidak full rank.
75
76
b. Metode kedua ini diberlakukan untuk matriks
yang full rank, dibedakan
menjadi 2, yaitu bila matriks
dan bila matriks
3. Tidak semua matriks bebas memiliki Invers Moore – Penrose yang bebas 4. Syarat yang harus dipenuhi agar Invers Moore – Penrose dari suatu matriks bebas juga merupakan matriks bebas adalah a.
dan
memiliki jumlah elemen tidak nol ( atau nol) yang sama
b. Digraf dari sub matriks dari sub matriks
yang berukuran
dengan rank . Graf bipartit
yang berukuran
dari transpose sub matriks bipartit dari sub matriks
sama dengan graf bipartit
yang berukuran yang berukuran
, begitu pula graf sama dengan graf
bipartit dari transpose sub matriks
yang berukuran
matriks
sama dengan nol.
yang berukuran
. Sub
5.2 SARAN Berdasarkan simpulan di atas disarankan untuk penelitian berikutnya dapat dibahas mengenai Invers Moore – Penrose dari matriks kompleks dan matriks bebas yang berukuran
, dan jenis-jenis matriks invers lainnya.
77
DAFTAR PUSTAKA
Anton, H. 1984. Aljabar Linear Elementer, edisi ketiga. Bandung : Erlangga. Anton, H & C. Rosses. 2004. Aljabar Linear Elementer, Versi Aplikasi, Edisi Kedelapan Jilid I. Alih bahasa Refina Indriasari dan Irzam Harmein. Jakarta: Erlangga. Britz, T. 2007. The Moore-Penrose Inverse Of A Free Matrix. Electronic Journal of Linear Algebra ISSN 1081-3810, Vol 16, pp. 208-215. Tersedia di http://math.technion.ac.il/iic/ela.html [diakses 02-03-2010] Halim, S. Invers Secara Umum. Diktat Aljabar Linear, halaman 31-34. Teknik Industri UK Petra. Tersedia di http://en.wikipedia.org/wiki/invers(matematic)/ [diakses 8-01-2011]. Lipschuntz ,S & M. Lipson. 2004. Aljabar Linear, edisi ketiga. Jakarta: Erlangga. Supriyono. 1992. Bahan Ajar Analisis Kompleks. Penerbit: Institut Teknologi Bandung. Rahayu, S. 2007. Matriks Invers Tergeneralisir Atas Bilangan Real. Skripsi. Semarang: FMIPA Universitas Negeri Semarang. Wikipedia, Matriks_(Matematic). Tersedia di http://en.wikipedia.org/wiki/matriks(ma tematic)/ [diakses 08-01-2011]. Wikipedia, Moore Penrose Pseudoinvers. Tersedia di http://en.wikipedia.org/wiki/M oore Penrose_pseudoinvers/. [diakses 08-01-2011]. Wikipedia, Graf (Matematika). Tersedia di http://en.wikipedia.org/wiki/graf(matema tic)/ [diakses 14-01-2011]. Wikipedia, Transitif Clousure. Tersedia di Clousure/ [diakses 14-01-2011].
http://en.wikipedia.org/wiki/Transitif-
