MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG
NUR AZIEZAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
ABSTRAK NUR AZIEZAH. Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan Strategi Investasi Saham Dua Perusahaan yang Bergabung. Dibimbing oleh SISWANDI dan ENDAR HASAFAH NUGRAHANI. Saham merupakan sarana investasi yang paling populer. Harga saham berubah secara dinamis dan acak. Diasumsikan perubahan harga saham mengikuti gerak Brown. Ada kemungkinan investor dapat memperoleh keuntungan yang lebih besar jika perusahaannya bergabung dengan perusahaan lain. Jika terjadi penggabungan dua perusahaan maka terjadi kombinasi linear dua harga saham yang mengikuti gerak Brown. Tujuan dari karya ilmiah ini adalah menentukan nilai harapan yang maksimum dari kekayaan investor dengan strategi investasi saham dua perusahaan yang bergabung. Hasil kajian dalam suatu teorema yang menyatakan bahwa strategi yang digunakan adalah dengan melihat tingkat return saham perusahaan pada saat tertentu. Dengan teorema tersebut dibuktikan bahwa ada dua kemungkinan bagi investor, yaitu berinvestasi di kedua perusahaan atau berinvestasi di salah satu perusahaan saja. Nilai harapan dari kekayaan investor akan maksimum jika alokasi investasi di dua perusahaan adalah maksimum. Kata kunci: gerak Brown, nilai harapan, saham, strategi
ABSTRACT NUR AZIEZAH. Maximizing Expected Value of Wealth with Investment Strategy on Stocks of Two Merging Companies. Supervised by SISWANDI and ENDAR HASAFAH NUGRAHANI Stock is the most popular form of investment. Its price changes dynamically and randomly. It is assumed that the price moves according to Brownian motion. Investors can earn more profit when a company merges with another one. In case of a merger of two companies, there is a linear combination of two stock prices that change according to Brownian motion. The objective of this research is to determine the expected value of investor’s wealth with a certain strategy. The result is presented in a theorem, which describes the investment strategy according to the company’s stock return at certain time. It has been proved that the investor can have two possibilities, i.e. the investor does not invest in either companies, or the investor invest only in one company. The expected value of wealth will be maximum if the allocation of investment in both companies are maximum. Keywords: Brownian motion, expected value, stock, strategy
MEMAKSIMUMKAN NILAI HARAPAN KEKAYAAN INVESTOR DENGAN STRATEGI INVESTASI SAHAM DUA PERUSAHAAN YANG BERGABUNG
NUR AZIEZAH
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2012
Judul Skripsi Nama NRP
: Memaksimumkan Nilai Harapan Kekayaan Investor dengan Strategi Investasi Saham Dua Perusahaan yang Bergabung : Nur Aziezah : G54062457
Menyetujui, Pembimbing I
Pembimbing II
Drs. Siswandi, M.Si NIP. 19640629 199103 1 001
Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS NIP. 19631228 198903 2 001
Mengetahui, Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada: 1. Drs. Siswandi, M.Si. selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini). 2. Dr. Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu, saran, dan motivasinya). 3. Ir. Retno Budiarti, MS selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya). 4. Semua dosen Departemen Matematika (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan). 5. Bu Susi, Bu Ade, Bu Marisi, Mas Deni, Mas Yono, Mas Heri. 6. Keluargaku tercinta: Bapak (terima kasih atas semua nasihat dan motivasinya. Keinginan Bapak udah Cici laksanakan), Ibu (terima kasih banyak atas semua doa, dukungan, kasih sayang, dan kesabarannya), Teteh (terima kasih sudah membantu memeriksa tugas akhir dan slide presentasi), Mang Tata, Mang Wanda, Mang Kanda, Mang Yadi, Mang Asep, Mas Anggi, Ene, Mang Iam, Pak Asep, dan lain-lain (terima kasih atas doanya). 7. Teman-teman Math 43: Dandi, Gandi, Subro, Desi, Rizky NS, Rizky SN, Apri, Slamet, Irsyad, Narsih, Fardan, David, Kuntoaji, Sendy, Rian, Ace, Zulkarnaen, Mubarok, Faizal, Dwi, Nanu, Syahrul, Kiki, Peli, dan lain-lain (terima kasih doanya, senang bisa belajar bersama). 8. BBB : Ka Amin, Slamet, Eck, Syahrul, Desi, SN (terima kasih doanya, senang bisa mengukir kenangan bersama). 9. Keluarga Bahagia : Mba Lia Y (terima kasih atas bantuannya. Ilmunya sangat bermanfaat), Mba Ana (terima kasih sudah memberi semangat dan motivasi, share pengalamannya sangat berharga), Ka Iput (terima kasih sudah sabar membantu), slamet (terima kasih sudah membantu mencari buku, terima kasih tidak bosan memberi semangat dan motivasinya dengan berbagai cara), Mas Ian, Eck, Ayu, Mega (terima kasih atas doanya). 10. Adik-adik Math 44 dan Math 45: terima kasih atas doa, semangat dan dukungannya. 11. Keluarga Yapsir : Pak Andri, Bu dodo, Kevin, Kristie terima kasih atas bantuannya. 12. Teman-teman KSR PMI kota Bogor (terima kasih atas semangat dan doanya). 13. Semua pihak yang telah ikut membantu baik secara moril maupun secara materiil. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, September 2012
Nur Aziezah
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 28 Juni 1988 sebagai anak bungsu dari dua bersaudara, anak dari pasangan Sudardjat (alm) dan Nurulhuda. Tahun 2000 penulis lulus dari SDN Sindangbarang 6 Bogor. Tahun 2003 penulis lulus dari SMPN 4 Bogor. Tahun 2006 penulis lulus dari SMAN 1 Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Penulis memilih Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif pada kegiatan kemahasiswaan Gumatika (Gugus Mahasiswa Matematika) sebagai staf Biro Kaderisasi Departemen Pengembangan Sumber Daya Manusia (PSDM) periode 2008 – 2009. Penulis juga aktif mengikuti kepanitiaan Masa Perkenalan Departemen (MPD) sebagai Koordinator divisi Medis.
DAFTAR ISI DAFTAR ISI .................................................................................................................................ii DAFTAR LAMPIRAN .................................................................................................................ii I PENDAHULUAN ...................................................................................................................... 1 1.1 Latar Belakang .................................................................................................................. 1 1.2 Tujuan .............................................................................................................................. 1 II LANDASAN TEORI ................................................................................................................ 2 2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas ....................................................................................... 2 2.2 Proses Stokastik ................................................................................................................ 2 2.3 Gerak Brown .................................................................................................................... 2 2.4 Pergerakan Harga Saham .................................................................................................. 3 2.5 Proses Wiener Umum ....................................................................................................... 3 2.6 Proses Ito .......................................................................................................................... 4 2.7 Lema Ito ........................................................................................................................... 4 2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham ................................................................................ 4 III HASIL DAN PEMBAHASAN ................................................................................................ 5 3.1 Teorema 1 ......................................................................................................................... 5 3.2 Proposisi 1 ........................................................................................................................ 6 3.3 Proposisi 2 ........................................................................................................................ 7 3.4 Akibat ............................................................................................................................... 9 3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor...................................................................................... 9 IV SIMPULAN DAN SARAN .................................................................................................... 10 4.1 Simpulan ........................................................................................................................ 10 4.2 Saran .............................................................................................................................. 10 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................................. 10
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1: Pembuktian Persamaan (25) dan (26) ....................................................................... 12 Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (34) dan (35) ....................................................................... 14
1
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Tujuan suatu investasi adalah untuk memperoleh keuntungan yang besar dengan tingkat resiko yang rendah. Saat ini keberadaan pasar modal telah menjadi salah satu bentuk investasi yang dapat memberikan keuntungan yang cukup besar. Salah satu instrumen utama yang diperdagangkan di pasar modal adalah saham. Saham merupakan instrumen pasar keuangan yang paling populer. Perusahaan menerbitkan saham untuk menambah dana perusahaan. Faktor yang mempengaruhi besarnya permintaan saham dan penawaran saham adalah tingkat harga saham tersebut. Apabila harga saham dinilai terlalu tinggi oleh pasar, maka jumlah permintaan akan berkurang. Sebaliknya, bila pasar menilai terlalu rendah, jumlah permintaan akan meningkat. Ada kemungkinan investor dapat memperoleh keuntungan yang lebih besar jika perusahaannya bergabung dengan perusahaan lain. Ketika penggabungan berlangsung pada waktu T, kita mengasumsikan bahwa rasio dari dua harga saham akan sama dengan ,
ST1 C. ST2 Konstanta ini merupakan rasio harga saham dari dua perusahaan yang mengganti saham lama mereka dengan yang baru dari perusahaan yang bersatu. Diasumsikan bahwa informasi ini tersedia untuk orang dalam, artinya hanya yang melakukan merger saja yang mengetahui, selain itu tidak. Ada banyak contoh dari pasar konvergen ketika ada dua atau lebih proses dari harga saham, tingkat bursa, atau tingkat suku bunga yang salah satu dapat memiliki banyak informasi tentang
perubahan perkembangan yang akan datang. Jika tidak dibatasi, maka orang dalam dapat mencapai kekayaan tak terhingga dalam waktu yang terbatas karena orang tersebut mempunyai cukup informasi tambahan dibanding orang lain yang berada di pasar. Hal ini jelas sesuatu yang kita ingin kesampingkan. Diasumsikan informasi tambahan hanya tersedia untuk orang dalam yaitu penggabungan akan terjadi pada waktu . Ada model strategi yang diharapkan memaksimalkan kekayaan akhir mengikuti gerak Brown. Strategi dibatasi oleh kendala pada waktu yang singkat yang berkaitan dengan kekayaan sekarang. Pada saat penggabungan dua perusahaan, kondisi ini sama artinya dengan kombinasi linear dari dua harga saham yang mengikuti gerak Brown. Hal ini serupa dengan proses jembatan Brown, tetapi proses dua dimensi. Kita mengacu pada proses jembatan Brown planar dan menyatakan sebagai solusi bagi suatu sistem persamaan diferensial yang mengikuti dua gerak Brown. Posisi ini merupakan sistem persamaan diferensial untuk dua harga saham, begitu juga untuk dinamika kekayaan dari strategi optimal yang ditemukan. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Jonsson & Vecer (2005) yang berjudul “Insider Trading in Convergent Markets.” 1.2 Tujuan Tujuan penulisan karya menentukan nilai harapan dari kekayaan investor investasi saham pada dua bergabung.
ilmiah ini adalah yang maksimum dengan strategi perusahaan yang
2
II LANDASAN TEORI Untuk memahami masalah-masalah yang terjadi pada karya tulis ini diperlukan pengertian beberapa konsep berikut ini.
bersifat aditif tak hingga, yaitu jika dengan Ai Aj ,i j ,
A1, A2 ,
ÇAn P( An ) . n1 n1 3. bernorma satu, yaitu P Ω 1 . Pasangan (Ω, , P) disebut ruang ukuran maka P
2.1 Investasi, Saham, dan Volatilitas Definisi 2.1 (Investasi) Investasi adalah komitmen atau sumber daya saat ini dengan harapan yang lebih besar di masa depan. (Bodie et al. 2009) Definisi 2.2 (Saham) Saham adalah sarana investasi dengan pendapatan tetap dan bersifat jangka panjang. (Bodie et al. 2009) Definisi 2.3 (Volatilitas) Volatilitas adalah ukuran pendapatan saham.
2.
ketidakpastian (Hull 2009)
Harga saham sangat dipengaruhi oleh informasi yang bersifat acak, dan karenanya harga saham juga bernilai acak. Volatilitas saham, yang biasanya dilambangkan σ, menyatakan tingkat keacakan harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin kecil nilai volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut.
peluang atau ruang probabilitas. (Hogg & Craig 1995) Definisi 2.6 (Proses Stokastik) Proses stokastik adalah sekumpulan peubah yang tergantung acak Xt , t T , Γ pada parameter dan terdefinisikan pada ruang probabilitas (, , P) . (Sobczyk 1991) Definisi 2.7 (Turunan Stokastik) Misalkan Xt , t , adalah
stokastik. Jika terdapat fungsi a(t ) dan b(t ) sehingga untuk sembarang t1 , t2 , dengan t1 t2 memenuhi t2
t1
t1
maka dikatakan bahwa X (t) memiliki turunan stokastik dX (t ) yaitu
dX (t) a(t) dt b(t) dW(t). (Sobczyk 1991)
Definisi 2.4 (Medan ) Medan – adalah suatu himpunan yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi syarat berikut. 1. . 2. Jika Α , maka Ac . Jika A1, A2 ,
t2
X t2 X t1 a(t ) dt b(t ) dW (t )
2.2 Proses Stokastik
3.
proses
, maka
ÇA i 1
i
.
2.3 Gerak Brown Definisi 2.8 (Gerak Brown Standar) Sebuah gerak Brown standar W t : t 0 adalah sebuah proses stokastik yang memiliki 1. continuous Path, 2. stasioner, independent increments, dan 3. W (t )~N(0, t ) untuk semua t 0 . (Chang 2007)
(Grimmett & Stirzaker 1992) Definisi 2.5 (Ukuran Peluang) Misalkan Ω adalah ruang contoh suatu percobaan dan adalah medan pada Ω. Suatu fungsi yang memetakan unsur-unsur ke himpunan bilangan nyata , atau P : disebut ukuran peluang jika : 1. tak negatif, yaitu untuk setiap A , P( A) 0 ,
Definisi 2.9 (Gerak Brown) Sebuah proses X dikatakan gerak Brown , 2 jika dapat dituliskan sebagai
X t X 0 t W (t) ,
dengan W adalah sebuah gerak Brown standar. (Chang 2007)
3
W t
Definisi 2.10 (Proses Gaussian) Suatu proses stokastik X t , t 0
dimana adalah peubah acak dengan
dikatakan
sebaran normal baku 0,1 .
proses
Gaussian
X t1 ,, X (tn ) memiliki sebaran bersama untuk semua t1,, tn .
jika normal
(Ross 1996) Definisi 2.11 (Jembatan Brown Standar) Sebuah jembatan Brown standar adalah sebuah proses Gaussian X dengan path yang kontinu, rataan 0, dan fungsi kovarian Cov X s , X t s(1 t ) untuk 0 s t 1. (Chang 2007) 2.4 Pergerakan Harga Saham Secara umum, pergerakan harga saham dapat dipecah menjadi dua faktor, yaitu faktor yang dapat diperhitungkan (misalnya suku bunga) dan faktor yang tidak dapat diperhitungkan (misalnya berita naik-turunnya harga saham perusahaan lain). Faktor kedua ini menyebabkan pergerakan harga saham tidak dapat dimodelkan secara deterministik. Model yang biasa digunakan untuk kasus seperti ini adalah model/proses stokastik. Menurut Willmot et al. (1996), model stokastik bagi pergerakan harga saham memiliki bentuk sebagai berikut : dS (1) dt dW . S dS Dalam hal ini, adalah perubahan harga S saham selama interval dt dibagi harga saham sebelum interval dt. μ adalah rata-rata pertumbuhan harga saham, σ adalah volatilitas, dan dW adalah bagian yang mengandung keacakan/ketidakpastian dari harga saham. Diasumsikan bahwa dW mengikuti proses Wiener serta memiliki sifat: • dW adalah variabel acak yang menyebar normal, • rataan dari dW adalah nol, • ragam dari dW adalah dt . 2.5 Proses Wiener Umum Proses Wiener merupakan salah satu proses stokastik markov dengan perubahan rataan nol dan laju varian 1 per tahun. Variabel W dikatakan mengikuti proses Wiener jika mempunyai sifat: 1. Perubahan W selama periode waktu yang kecil adalah
2.
Nilai dari W untuk dua interval waktu yang singkat t adalah bebas. (Hull 2009)
Proses stokastik memiliki turunan yang bersifat stokastik. Perubahan rataan persatuan waktu untuk proses stokastik diketahui sebagai laju drift dan varian per satuan waktu diketahui sebagai laju varian. Proses Wiener dasar, mempunyai laju drift nol dan laju varian satu. Laju drift dari rataan nol adalah nilai harapan dari W pada waktu yang akan datang adalah sama dengan nilai yang sebenarnya. Laju varian 1 maksudnya bahwa perubahan varian di pada interval waktu dengan panjang sama dengan . Proses dapat Wiener umum untuk variabel didefinisikan dalam bentuk sebagai (2) dx adt bdW dimana dan konstan. Bentuk mengakibatkan mempunyai harapan laju drift per satuan waktu. Jika bagian dikeluarkan maka persamaan menjadi :
dx adt dx adt x at c t 0 x0 c
sehingga
(3) x x0 at dengan adalah nilai dari saat , pada periode waktu dengan panjang T, dan variabel naik sebanyak . Proses Wiener mempunyai standar deviasi 1. Pada saat proses Wiener mempunyai simpangan baku sebesar
dx adt bdz ~ N(adt,b dt ) dx2 b2 dt
(4) dalam selang interval waktu yang kecil , perubahan menjadi: (5) x a t b t . Sebelumnya mempunyai sebaran normal baku, sehingga mempunyai sebaran normal dengan rataan : simpangan baku : √ varian : .
4
2.6 Proses Ito Jenis proses stokastik lainnya adalah proses Ito. Proses Ito merupakan proses Wiener umum dengan parameter dan adalah fungsi dari nilai underlying variabel x dan waktu t. Proses Ito dapat ditulis secara aljabar sebagai : (6) dx a x, t dt b(x, t)dW . Pada interval waktu yang kecil antara dan , variabel berubah dari ke , dimana x a x, t t b( x, t ) t . (7) Diasumsikan bahwa laju drift dan varian ( ) tetap konstan yaitu ( ) dan selama interval waktu antara dan (8) dx ~ N(a(x, t )dt,b(x, t ) dt ) .
dan laju varian
G 2 x b . 2
Sehingga dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa (11) dS Sdt SdW dengan µ dan σ konstan, adalah model perubahan harga saham berdasarkan lema Ito. Proses tersebut diikuti oleh fungsi terhadap dan sebagai berikut
G G 1 2G 2 2 dG S S dt t 2 S 2 S G S dW S
(12)
dan dipengaruhi oleh sumber yang mendasari ketidakpastian yang sama.
2.7 Lema Ito Misalkan X(t) memiliki turunan stokastik
dX (t) a(t) dt b(t) dW(t)
dan misalkan g(t,x) adalah fungsi kontinu dalam t dan x bersama turunannya , , maka fungsi ( ( )) memiliki turunan stokastik (dengan Proses Wiener ( )) sebagai berikut : G G 1 2G G dG a(t ) b2 (t ) 2 dt b(t )dW (t ) t x 2 x x (Sobczyk 1991) Harga opsi saham adalah fungsi yang mendasari harga saham dan waktu. Secara umum dikatakan bahwa harga dari suatu derivatif adalah fungsi yang mendasari peubah acak stokastik, sebuah derivatif dan waktu. Misalkan nilai dari peubah acak x mengikuti proses Ito: (9) dx a x, t dt b(x, t)dW dimana adalah proses Wiener, dan adalah fungsi dari dan . Peubah acak mempunyai laju drift dan laju varian . Lema Ito menunjukkan bahwa fungsi dari dan memenuhi
G G 1 2G 2 dG a b dt t 2 x2 x G bdW x
G G 1 2G 2 a b x t 2 x2
(10)
dimana adalah proses Wiener yang sama pada persamaan (9) sehingga juga mengikuti proses Ito dengan laju drift
2.8 Proses Stokastik untuk Harga Saham Pada bagian ini akan dibahas proses stokastik yang biasanya diasumsikan untuk harga saham tanpa pembayaran dividen. Harga saham mengikuti proses Wiener umum yang mempunyai harapan laju drift konstan dan laju varian konstan. Misalkan S adalah harga saham, maka (13) dS a S, t dt b S, t dW . Jika adalah harga saham pada waktu , maka harapan laju drift pada diasumsikan S untuk parameter konstan. Pada interval waktu yang kecil , akan naik sebesar S t . Parameter merupakan laju harapan imbal hasil pada saham. Jika volatilitas dari harga saham selalu nol, maka modelnya menjadi: S µS t (14) saat →0. Dengan demikian
dS µSdt dS dt. S
(15)
Integralkan kedua ruas pada (15) menjadi dS S dt (16) lnS t k , dengan k = konstanta sembarang. Persamaan (16) dapat ditulis menjadi
S e t k S et .ek .
(17)
5
Dengan memisalkan persamaan (17) menjadi
,
S t c1et
maka (18)
Misalkan dan merupakan harga saham pada waktu dan , maka persamaan (18) menjadi (19) Persamaan (19) menunjukkan bahwa laju varian nol, harga saham tumbuh dengan laju continous compounding per satuan waktu. Pada kenyataannya harga saham menunjukkan volatilitas karena asumsinya variasi dari persentasi imbal hasil pada periode waktu yang singkat sama tanpa memperhatikan harga saham.
Simpangan baku dari perubahan dalam periode waktu yang singkat akan proporsional ke harga saham dan berperan penting untuk model:
dS Sdt SdW dS μdt dW S
(20)
Persamaan (20) sebagian digunakan untuk memodelkan tingkah laku harga saham. Variabel adalah volatilitas dari harga saham. Variabel adalah harapan laju imbal hasil. Persamaan (20) disebut juga sebagai gerak Brown geometrik.
III HASIL DAN PEMBAHASAN Misalkan ada dua perusahaan yang akan bergabung. Misalkan pula harga saham masing-masing perusahaan mengikuti gerak Brown geometrik
dSt1 1dt 1dWt1 St1 2 t 2 t
dS 2 dt 2 dWt 2 S Sti adalah harga saham perusahaan
(21) pada
saat , i adalah rata-rata pertumbuhan harga saham perusahaan
, i adalah volatilitas
1 t
dan Wt 2 adalah gerak
, W
perusahaan
Brown dengan dWt1 dWt 2 dt , 1 1 , adalah korelasi antara gerak Brown perusahaan pertama dengan gerak Brown perusahaan kedua, dan pada saat penggabungan (yaitu saat T) berlaku ST1 C ST2 . (22) Diasumsikan tingkat suku bunga adalah nol, misalkan kekayaan awal adalah yang merupakan kekayaan tetap investor dan kekayaan investor saat dengan strategi 1 2 t t ,t adalah Yt , dan berlaku
1 2 dYt 1 dSt 2 dSt t t Yt St1 St2
(23)
dengan ti adalah bagian dari kekayaan yang diinvestasikan pada saham , oleh karenanya 1 t1 t2 adalah bagian dari kekayaan yang didepositokan.
Untuk memaksimumkan harapan dari kegunaan suatu kekayaan dengan beberapa kendala perdagangan, diasumsikan tidak ada peminjaman dan short selling. Dengan kata lain t1 , t2 0 dan t1 t2 1 . Total
Yt kekayaan bernilai tak negatif. Diasumsikan juga fungsi harapan dari kekayaan yang ingin dimaksimumkan oleh investor adalah fungsi linear. Ada dua kemungkinan strategi t yang memaksimumkan nilai harapan kekayaan investor yaitu: 1. t 0,0 , 1,0 , 0,1, 2.
t
,0 , 0, , 1 , ,
,1 , 1 , 0 , 0,1 ,
Strategi yang dibahas pada karya ilmiah ini adalah strategi yang pertama. 3.1 Teorema Strategi t yang memaksimumkan E YT selalu memenuhi t 0,0 , 1,0 , 0,1 dan
S1 1 log t 2 . T t CSt Lebih tepatnya, menetapkan proses planar Zt hanya tergantung pada Xt
dengan melihat tingkat perusahaan i saat t
return
(Zti )
saham sebagai
Zt Zt1, Zt2 A1 Xt B1, A2 Xt B2 , dimana
6
1 1 2 1 dan A2 2 2 2 , 2 21 2 2 1 21 2 22 1 B1 1 A2 2 12 22 A1 dan 2 1 B2 2 A1 1 22 12 A2 , maka 2 1 0,0 jika Zt 0 dan Zt2 0 t 1,0 jika Zt1 0 dan Zt2 Zt1 . 0,1 jika Z 2 0 dan Z 1 Z 2 t t t A1
2 1
Artinya jika investor tidak perusahaan. Jika
dWt1 a1 a2
, maka di kedua , maka
3.2 Proposisi 1 Misalkan Wt1 dan Wt 2 adalah dua gerak
W01 W02 0 dengan
Brown dimulai dari
dWt1 dWt 2 dt , saat a1WT1 a2WT2 b
(24) dan b adalah konstan. Dinamika dan dapat ditulis sebagai
dimana dari
b a1Wt1 a2Wt 2 a1 a2 dt dt1 2 2 2 2 T t a1 2 a1a2 a2 a1 2 a1a2 a2
a2 1 2 a 2 a1a2 a 2 1
2 2
dWt 2 a2 a1
dan berinvestasi dan
investor berinvestasi di perusahaan pertama. Jika dan , maka investor berinvestasi di perusahaan kedua. Untuk membuktikan Teorema tersebut, diperlukan Proposisi 1 dan Proposisi 2.
dt2
(25)
b a1Wt1 a2Wt 2 a2 a1 dt dt1 2 2 2 2 T t a 2 a a a 1 a1 2 a1a2 a2 1 2 2
a1 1 2 a 2 a1a2 a 2 1
2 2
dt2
(26)
dengan dt1 dan dt2 adalah dua gerak Brown standar yang bebas.
adalah kondisi sebuah gerak Brown pada nilai ujung
dan
1 a 2
Bukti: Untuk membuktikan proposisi 1 diketahui bahwa kondisi sebuah gerak Brown Xt 0t T pada nilai ujung X t mengarah pada sebuah jembatan Brown. Jika nilai awal X0 a dan nilai akhir XT b , maka
b Xt dt dWt , X 0 a . (27) T t Persamaan (27) merupakan jembatan Brown satu dimensi. Sedangkan, jembatan Brown planar merupakan versi dua dimensi dari persamaan (27). Kita definisikan dua proses baru: Ut1 a1Wt1 a2Wt 2 (28) dX t
Ut2 a2 a1 Wt1 a1 a2 Wt 2
dengan U t1 dan Ut2 bebas.
U
(29)
1 t
a 2 a1a2 a22 2 1
Ut2
2 1
2 a1a2 a22
adalah sebuah gerak Brown. Sehingga berdasarkan persamaan (27), kita dapat menuliskan U t1 dan Ut2 dalam bentuk
dUt1
b Ut1 dt a12 2a1a2 a22 dt1 (30) T t
dUt2 1 2 a12 2 a1a2 a22 dt2
(31)
dimana d dan d adalah gerak Brown standar yang bebas. Substitusi persamaan (28) ke persamaan (30), akan diperoleh 1 t
2 t
d aW a2Wt 1 1 t
2
1 2 b aW 1 t a2Wt
T t
dt
a12 2a1a2 a22 dt1
7
Persamaan tersebut akan menghasilkan (lihat Lampiran 1a) a2 1 2 b a1Wt1 a2Wt 2 a1 a2 1 dWt1 a1 a2 dt d dt2 . t T t a12 2 a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22 Substitusi persamaan (29) ke persamaan (31)
d a2 a1 Wt1 a1 a2 Wt 2 1 2 a12 2a1a2 a22 dt2 .
Persamaan tersebut akan menghasilkan (lihat Lampiran 1b)
dWt 2 a2 a1
a1 1 2 b a1Wt1 a2Wt 2 a2 a1 1 dt d dt2 . t T t a12 2a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22
Dengan menggunakan jembatan Brown, diperoleh dinamika dari dua saham yang bergabung. 3.3 Proposisi 2
Jika fungsi maka
2G
S
dSt2 (32) 2 dt 2 dWt 2 St2 dimana Wt1 dan Wt 2 adalah dua gerak Brown dengan dWt1 dWt 2 dt pada saat St1 C St2 (33) dinamik
1 t 1 t 2 t 2 t
dapat (34)
dS A2 Xt B2 dt C2 dt1 Ddt2 . S
(35)
Bukti: Dari pembahasan terdahulu diketahui t1 dan t2 adalah dua gerak Brown bebas dengan Xt , A1, A2 , B1, B2 ada pada teorema dan
D
i 2 t
.
G 2G G , , dan , Sti S i 2 t t
persamaan (12) menjadi 1 1 1 2 i 2 dG i i Sti 0 S t dt St 2 S i 2 i t 1 i i i i St dWt St sehingga
1 dG i i 2 dt i dWt i 2
(37)
dan
12 21 2 22 2 2 1
dWt i dG 1 . (38) i i 2 i dt 2 dt Karena G lnSti , maka persamaan (38) menjadi d (lnSti ) dWt i 1 (39) i i 2 i dt 2 dt sehingga
12 21 2 22
1 2 1 2 12 21 2 22 G lnSti .
diturunkan terhadap
S
G G 1 2G 2 i 2 dG i i Sti S dt i t St t 2 S i 2 t G i i Sti dWt i St
1 1 2
Didefinisikan Jika fungsi
1
diturunkan terhadap , maka G (36) 0. t Berdasarkan persamaan (12) didapat
dengan mensubstitusi
dS A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 . S
C2
,
Jika fungsi
dSt1 1dt 1dWt1 St1
maka harga saham diekspresikan sebagai
i 2 t
Misalkan dinamika dari dua harga saham diberikan sebagai berikut
C1
G 1 . Sti Sti diturunkan dua kali terhadap
, maka
dWt i 1 dSti 1 i i 2 i i 2 dt St dt
(40)
8
atau dSti 1 (41) i i2 dt i dWt i i 2 St Untuk mendapatkan persamaan dalam Sti , dilakukan pengintegralan kedua ruas pada persamaan (41)
dSti 1 2 i Sti i 2 i dt i dWt 1 lnSti i i 2 t iWt i C 2 1 Sti exp i i 2 t iWt i C 2 1 Sti exp C.exp i i 2 t iWt i . 2 Jika
1 Sti S0i exp i i 2 t iWti . (42) 2 sehingga untuk kondisi
ST1 C ST2
diartikan
sebagai
ST1 C ST2 1 S01exp 1 12 T 1WT1 2 C 1 S02 exp 2 22 T 2WT2 2 1 2 exp 1 1 T 1WT1 2 2 C S0 1 S0 1 exp 2 22 T 2WT2 2
[ ], maka
S2 1 1 exp 1 12 T 1WT1 2 22 T 2WT2 C 01 2 2 S0 S02 1 2 1 2 1 2 1 2 1 T 1WT 2 2 2 T 2WT ln C S1 0
1 2
1 2
1T 12T 1WT1 2T 22T 2WT2 ln C
S02 S01
S2 1 1WT1 2WT2 2 1 T 22 12 T ln C 01 2 S0 S2 1 1WT1 2WT2 2 1 T 22 12 T ln C 01 2 S0
S2
0
1WT1 2WT2 2 1 22 12 T ln C 01 . 2 S 1
Persamaan (43) sesuai dengan persamaan (24) dengan a1 1 , a2 2 , dan S2 1 b 2 1 22 12 T ln C 01 . (44) 2 S0
(43)
Dinamika jembatan Brown planar diberikan pada Proposisi 1, persamaan dari dua gerak Brown standar dan . Jika persamaan (25) disubstitusi ke persamaan (32), maka
1 2 dSt1 b aW a1 a2 1 t a2Wt 1dt 1 a1 a2 dt dt1 1 2 2 2 2 St T t a 2 a a a 1 a1 2 a1a2 a2 1 2 2 a2 1 2 dt2 . a12 2 a1a2 a22
Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi (lihat Lampiran 2)
dSt1 A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 . 1 St
9
Jika persamaan (26) disubstitusi ke persamaan (32), maka 1 2 dSt2 b aW a2 a1 1 t a2Wt dt a a dt dt1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 St T t a1 2a1a2 a2 a1 2 a1a2 a2 a1 1 2 dt2 . a12 2 a1a2 a22
Berdasarkan teorema, persamaan tersebut menjadi (lihat Lampiran 2)
dSt2 A2 Xt B2 dt C2 dt1 Ddt2 . St2 Dengan demikian Proposisi 2 terbukti.
3.4 Akibat Diasumsikan bahwa saham mengikuti dSt dt dWt . St
tunggal (45)
Saat ST C , maka
dSt 1 S 1 log T 2 dt dt St T t St 2
dengan t standar.
1 1 0 0 2 0 1 2 2 2 1 S S 1 1 Xt log t 2 log t T t St 1 CSt T t S 1 log t T t St
maka (46)
adalah sebuah gerak Brown
dSt1 A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 St1
Bukti: Persamaan (46) merupakan kasus khusus dari proposisi 2 dengan St St1 , 1 ,
1 S 1 1 log t 2 dt dt 0 St 2 T t 1 S 1 log T 2 dt dt . St 2 T t
1 , 2 2 0 , St2 1 .
Dengan demikian akibat terbukti.
1 t 1 t
dS A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 S 1 1 2 C1 12 21 2 22
D
0
00 2
σ 2
1 2 1 2 12 21 2 22
0
1 2
0
2 00 2 0 A1 2 1 1 2 1 2 1 21 2 2 0 0 1 0 0 A2 2 2 2 2 0 2 1 21 2 2 0 0 1 B1 1 A2 2 12 22 A1 2
3.5 Nilai Harapan Kekayaan Investor Persamaan (23) yang kekayaan investor adalah
menyatakan
1 2 dYt 1 dSt 2 dSt t t Yt St1 St2
dS1 dS 2 dYt t1 1t t2 2t Yt St St T dS1 dS 2 Yt t1 1t t2 2t Yt St St 0
(47)
Nilai harapan dari kekayaan investor adalah kekayaan tetap investor ditambah dengan nilai harapan kekayaan investor yang dimaksimumkan.
T dS1 dS 2 E YT Y0 E t1 1t t2 2t YT . (48) St 0 St Jika persamaan (34) dan (35) disubstitusikan ke persamaan (48), maka nilai harapan dari kekayaan investor dapat ditulis
10
T E YT Y0 E t1 A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 t2 A2 X t B2 dt C2dt2 Ddt2 YT dt 0 T (49) Y0 E t1 A1 X t B1 t2 A2 X t B2 YT dt 0
Berdasarkan teorema
Zt1, Zt2 A1 Xt B1, A2 Xt B2 ,
maka persamaan (49) menjadi
T E YT Y0 E t1Zt1 t2 Zt2 YT dt . 0
Karena nilai harapan dari proses Wiener adalah nol, maka nilai harapan dari gerak Brown ( ) adalah nol, sehingga integral mempunyai nilai harapan nol. Karena asumsi tanpa pinjaman, maka . Integral 1 1 tersebut akan maksimal jika t Zt t2 Zt2 maksimal untuk setiap t.
IV SIMPULAN DAN SARAN 4.1 Simpulan Dengan asumsi pergerakan harga saham mengikuti gerak Brown yang mempunyai harapan laju drift konstan dan laju varian konstan. Strategi yang digunakan adalah dengan melihat tingkat return saham perusahaan i saat t ( ). Ada dua
kemungkinan strategi t1 , t2
bagi investor
yang dibahas, yaitu: tidak berinvestasi di kedua perusahaan 0,0 atau berinvestasi di salah satu perusahaan
0,1 , 1,0 . Dengan
strategi investasi tersebut diperoleh nilai harapan kekayaan investor dari dua perusahaan yang bergabung akan maksimum jika t1Zt1 t2 Zt2 maksimum. 4.2 Saran Analisis lebih lanjut mengenai memaksimumkan nilai harapan dari kekayaan investor dapat dikembangkan untuk strategi
,0 , 0, , ,1 , 1 , , 1 ,0 , 0,1 .
t
DAFTAR PUSTAKA Bodie, Kane, Markus. 2009 . Investment. 8th Ed. The McGraw-Hill Companies Inc. Chang J. 2007. Stochastic Processes. Yale University.
Jonsson M, Vecer J. 2005. Insider Trading in Convergent Markets, Applied Mathematical Finance, Vol. 12: 243252 Ross
Grimmett GR, DR Stirzaker. 1992. Probability and Random Processes. 2th Ed. Clarendon Press. Oxford. Hogg RV, AT Craig. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. 5th Ed. Prentice Hall, Englewood Cliffs. New Jersey Hull JC. 2009. Options, Futures, and Other Derivatives. 7th Ed. Prentice Hall International Inc. Toronto.
SM. 1996. Stochastic University of California.
Processes.
Sobczyk K. 1991. Stochastic Differential Equations with Aplications to Physics and Engineering. Kluwer Academic Publisher. Wilmott P, Howison S, Dewynne J. 1996. The Mathematics of Financial Derivatives. Cambridge University Press. Cambridge.
LAMPIRAN
12
Lampiran 1: Pembuktian Persamaan (25) dan (26) a. Akan dibuktikan Persamaan (25), yaitu
dWt1 a1 a2
b a1Wt1 a2Wt 2 a1 a2 dt dt1 2 2 2 T t a1 2 a1a2 a2 a1 2 a1a2 a22
a2 1 2
a12 2 a1a2 a22
dt2
(L-1)
Bukti: Diberikan persamaan
Ut1 a1Wt1 a2Wt 2 Ut2 a2 a1 Wt1 a1 a2 Wt 2 dengan
dan
bebas.
U
(L-2) (L-3) 1 t
a 2 a1a2 a22
adalah kondisi sebuah gerak Brown pada nilai
2 1
ujung dan
1 a 2
Ut2
2 1
2 a1a2 a22
persamaan (27), kita dapat menuliskan
dUt1
adalah sebuah gerak Brown. Sehingga berdasarkan dan
dalam bentuk
b U dt a12 2a1a2 a22 dt1 T t 1 t
(L-4)
dUt2 1 2 a12 2 a1a2 a22 dt2
(L-5)
Substitusi persamaan (L-2) ke persamaan (L-4), akan diperoleh
d a1Wt1 a2Wt 2
b a1Wt1 a2Wt 2 T t
dt a12 2 a1a2 a22 dt1 .
Misalkan:
b a1Wt1 a2Wt 2
2 2 1 2 dan n a1 2 a1a2 a2 , maka d aW mdt ndt1 . 1 t a2Wt T t Berdasarkan sifat turunan, 1 2 d aW mdt ndt1 1 t d a2Wt
m
a1dW a2 dWt mdt ndt1 . 1 t
2
(L-6)
Substitusi persamaan (L-3) ke persamaan (L-5)
d a2 a1 Wt1 a1 a2 Wt 2 1 2 a12 2a1a2 a22 dt2 .
2 2 Jika n a1 2 a1a2 a2 , maka
d a2 a1 Wt1 a1 a2 Wt 2 1 2 ndt2 .
(L-7)
Berdasarkan sifat turunan, persamaan (L-7) menjadi
d a2 a1 Wt1 d a1 a2 Wt 2 1 2 ndt2
a2 a1 dWt1 a1 a2 dWt 2 1 2 ndt2
(L-8)
Jika persamaan (L-6) dikali a1 a2 dan persamaan (L-8) dikali a2 kemudian dilakukan eliminasi, maka akan diperoleh
a1 a2 a1dWt1 a1 a2 a2dWt 2 a1 a2 mdt a1 a2 ndt1
a2 a1 a2 dWt1 a1 a2 a2 dWt 2 1 2 na2 dt2
a1 a2 a1dWt1 a2 a1 a2dWt1 a1 a2 mdt a1 a2 ndt1 a12 dWt1 a1a2 dWt1 a1a2 dWt1 a22dWt1 a1 a2 mdt a1 a2 ndt1
-
1 2 na2dt2 1 2 na2dt2
13
a
2 1
2a1a2 a22 dWt1 a1 a2 mdt a1 a2 ndt1 1 2 na2dt2
n2 dWt1 a1 a2 mdt a1 a2 ndt1 1 2 na2dt2
a1 a2 m dt a1 a2 n d1
dWt1
1 2 na2 2 dt n n2 a a m a a2 d1 1 2 a2 d 2 dWt1 1 2 2 dt 1 t t n n n
2
t
2
n
(L-9)
Dengan mengganti kembali m dan n pada persamaan (L-9), diperoleh
dWt1 a1 a2
a2 1 2 b a1Wt1 a2Wt 2 a1 a2 1 dt d dt2 t T t a12 2a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22
b. Akan dibuktikan Persamaan (26), yaitu
dWt 2 a2 a1
b a1Wt1 a2Wt 2 a2 a1 dt dt1 2 2 2 2 T t a1 2a1a2 a2 a1 2 a1a2 a2
a1 1 2 a12 2 a1a2 a22
dt2
(L-10)
Bukti: Dengan cara yang sama saat pada a, jika persamaan (L-6) dikali a2 a1 dan persamaan (L-8) dikali a1 kemudian dilakukan eliminasi, maka akan diperoleh
a2 a1 a1dWt1 a2 a1 a2dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1
a2 a1 a1dWt1 a1 a2 a1dWt 2 1 2 na1dt2
-
a2 a1 a2 dWt 2 a1 a2 a1dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1 1 2 na1dt2
a2 a1 a2 dWt 2 a1 a2 a1dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1
1 2 na1 dt2 (L-11)
Dengan sifat distributif, persamaan (L-11) menjadi
a22 dWt 2 a1a2 dWt 2 a1a2 dWt 2 a12 dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1 1 2 na1dt2 a22 dWt 2 2a1a2 dWt 2 a12 dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1 1 2 na1dt2 Faktorkan
a
2 1
(L-12)
pada persamaan (L-12), sehingga persamaan menjadi
2a1a2 a22 dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1 1 2 na1dt2
(L-13)
2 2 Karena n a1 2 a1a2 a2 , maka persamaan (L-13) menjadi
n2 dWt 2 a2 a1 mdt a2 a1 ndt1 1 2 na1dt2 .
(L-14) Selanjutnya kedua ruas persamaan (L-14) dibagi dengan n , sehingga persamaan menjadi 2
dWt 2
a2 a1 m dt a2 a1 n d1 2
n
t
2
n
1 2 na1 2 dt . n2
(L-15)
Persamaan (L-15) disederhanakan menjadi
dWt 2
a2 a1 m dt a2 a1 d1 n2
n
t
1 2 a1 2 dt . n
(L-16)
Jika mengganti kembali m dan n pada persamaan (L-16), maka diperoleh
dWt 2 a2 a1
a1 1 2 b a1Wt1 a2Wt 2 a2 a1 1 dt d dt2 t T t a12 2a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22 a12 2 a1a2 a22 Terbukti
14
Lampiran 2: Pembuktian Persamaan (34) dan (35) Akan dibuktikan : Persamaan (34), yaitu
dSt1 A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 St1
(L-17)
Persamaan (35), yaitu
dSt2 A2 Xt B2 dt C2 dt1 Ddt2 St2
(L-18)
Bukti : Diketahui persamaan (L-19) dan persamaan (L-20)
dSt1 1dt 1dWt1 St1
dWt1 a1 a2
(L-19)
b a1Wt1 a2Wt 2 a1 a2 dt dt1 2 2 2 2 T t a1 2 a1a2 a2 a1 2 a1a2 a2
a2 1 2 a12 2 a1a2 a22
dt2
(L-20)
Jika persamaan (L-20) disubstitusi ke persamaan (L-19), maka 1 2 dSt1 b aW a1 a2 1 t a2Wt dt a a dt dt1 1 1 1 2 1 2 2 2 2 St T t a1 2a1a2 a2 a1 2 a1a2 a2 a2 1 2 dt2 a12 2 a1a2 a22 1 2 dSt1 b aW a1 a2 1 t a2Wt 1dt 1 a1 a2 dt 1 dt1 1 2 2 St T t a1 2a1a2 a2 a12 2a1a2 a22 a2 1 2 1 dt2 a12 2 a1a2 a22 1 2 1 a1 a2 dSt1 b aW 1 t a2Wt dt 1 1 a1 a2 dt1 1 2 2 2 2 St T t a 2 a a a a 2 a a a 1 1 2 2 1 1 2 2
1a2 1 2 a12 2 a1a2 a22
dt2
1 2 1 a1 a2 b aW 1 a1 a2 dSt1 1 t a2Wt dt1 dt 2 1 1 2 2 T t St a1 2a1a2 a2 a1 2 a1a2 a22
1a2 1 2 a12 2 a1a2 a22
dt2
1 1 2 1 1 ( 2 ) dSt1 b 1Wt1 ( 2 )Wt 2 dt dt1 1 1 2 2 2 2 T t St 1 21 2 2 1 21 2 2
1 ( 2 ) 1 2 21 ( 2 ) ( 2 ) 2 1
2
dt2
15
1 1 2 b 1Wt1 2Wt 2 1 1 2 1 2 1 2 dSt1 1 dt d dt2 t 2 2 2 2 T t St1 1 12 21 2 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 S02 1 2 2 1 2 T ln C 1 1Wt 2Wt 2 1 2 1 1 2 2 dSt S0 dt 1 2 1 1 1 2 T t St 1 21 2 2
1 1 2 21 2 2 1
2 2
dt1
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
S01 1 2 2 1 2 T ln C 2 1Wt 2Wt 2 1 2 1 1 2 2 dSt S0 dt 1 2 1 1 1 2 T t St 1 21 2 2
1 1 2 21 2 2 1
2 2
dt1
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
S01 1 2 1 22 12 T ln C 2 1 2 2 dS 2 S0 1Wt 2Wt dt 1 2 1 1 T t T t T t S 1 21 2 22 1 1 2 1 2 1 2 dt1 dt2 12 21 2 22 12 21 2 22 1 t 1 t
2 dS 1 2 1 1 S 1 21 2 22 1 t 1 t
S1 1 2 2 ln C 02 2 1 2 2 1 T S0 2 2 1 1 T t T t 1 21 2 22
1 1 2 1Wt1 2Wt 2 1 1 2 1 2 1 2 1 dt d dt2 t 2 2 2 2 T t 12 21 2 22 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2
Berdasarkan teorema, A1
(L-21)
S01 1 1 2 1 X ln dan C maka, persamaan (L-21) t T t S02 12 21 2 22
menjadi 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 T 1 1 2 dSt1 W W 2 t A1 A1 X t A1 1 t dt dt1 2 2 T t T t St1 1 1 21 2 2
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
1 2 2 2 1 2 2 1 T W 1 W 2 1 1 2 dSt1 2 t dt A1 X t 1 A1 1 t dt1 T t T t St1 12 21 2 22
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
(L-22)
16
Dengan C1
1 1 2
dan D
12 21 2 22
1 2 1 2 12 21 2 22
maka, persamaan (L-22)
menjadi 1 2 1 22 12 T 1 1 2 dSt 2 1Wt 2Wt dt C d 1 Dd 2 A X 1 A1 1 t t T t T t St1 1 t Berdasarkan Mattias Jonsson & Jan Vecer, persamaan (L-23) menjadi
(L-23)
dSt1 A1 X t B1 dt C1dt1 Ddt2 St1 Diketahui persamaan (L-24) dan persamaan (L-25)
dSt2 2 dt 2 dWt 2 2 St
dWt 2 a2 a1
(L-24)
b a1Wt1 a2Wt 2 a2 a1 dt dt1 2 2 2 2 T t a1 2a1a2 a2 a1 2 a1a2 a2
a1 1 2 a 2 a1a2 a 2 1
2 2
dt2
(L-25)
Jika persamaan (L-25) disubstitusi ke persamaan (L-24), maka 1 2 dSt2 b aW a2 a1 1 t a2Wt dt a a dt dt1 2 2 2 1 2 2 2 2 St T t a1 2a1a2 a2 a1 2 a1a2 a22
a1 1 2 a 2 a1a2 a 2 1
2 2
dt2
1 2 dSt2 b aW a2 a1 1 1 t a2Wt 2 dt 2 a2 a1 dt d 2 t 2 St a12 2 a1a2 a22 T t a12 2a1a2 a22 a1 1 2 2 dt2 a12 2 a1a2 a22 1 2 2 a2 a1 dSt2 b aW 1 t a2Wt dt a a dt1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 St T t a 2 a a a a 2 a a a 1 1 2 2 1 1 2 2
2 a1 1 2 a 2 a1a2 a 2 1
2 2
dt2
1 2 a a1 b aW 2 a2 a1 dS 1 t a2Wt 2 2 2 2 dt1 dt 2 2 2 T t S a 2 a a a a 2 a a a 1 1 2 2 1 1 2 2 2 t 2 t
2 a1 1 2 a12 2 a1a2 a22
dt2
2 2 1 2 2 1 dSt2 b 1Wt1 ( 2 )Wt 2 dt dt1 2 2 2 2 2 2 T t St 1 21 2 2 1 21 2 2
( 2 )1 1 2
21 ( 2 ) ( 2 ) 2 1
2
dt2
17
1 b 1Wt1 2Wt 2 2 2 1 dSt2 2 2 2 2 dt1 dt 2 2 2 2 T t St 1 21 2 2 1 21 2 2
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
S02 1 2 2 1 2 T ln C 1 1Wt 2Wt 2 1 2 1 2 2 2 2 1 dSt S0 dt T t St2 2 12 21 2 22
2 2 1 12 21 2 22
dt1
1 2 1 2 12 21 2 22
dt2
S01 1 2 2 1 2 T ln C 2 1Wt 2Wt 2 1 2 1 2 2 1 dSt S0 dt 2 2 2 2 2 2 T t St 1 21 2 2
2 2 1 21 2 2 1
2 2
dt1
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
S01 1 2 1 22 12 T ln C 2 1 2 1 dS 2 S0 1Wt 2Wt dt 2 2 2 2 T t T t T t S 1 21 2 22 2 2 1 1 2 1 2 dt1 dt2 12 21 2 22 12 21 2 22 2 t 2 t
S01 1 2 2 ln T C 2 S0 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 dSt2 2 2 2 2 2 2 T t T t St 1 21 2 2 1 21 2 2
2 2 1 1Wt1 2Wt 2 2 2 1 1 2 1 2 1 dt d dt2 t 2 2 2 2 T t 12 21 2 22 1 21 2 2 1 21 2 2 (L-26)
Berdasarkan teorema, A2
S 2 2 1 1 ln C maka, persamaan (L-26) dan X t 2 T t S 21 2 2 2 1
1 0 2 0
menjadi
1 2 1 22 12 T 1 2 dS 2 A X A 1Wt 2Wt dt 2 2 1 d 1 2 A2 2 t 2 t T t T t S 12 21 2 22 2 t 2 t
1 2 1 2 21 2 2 1
2 2
dt2
18
1 2 2 2 1 2 2 1 T W 1 W 2 2 2 1 dSt2 1 t 2 t dt A2 X t 2 A2 dt1 2 T t T t St 12 21 2 22
Dengan
1 2 1 2 12 21 2 22 C2
dt2
2 2 1 12 21 2 22
(L-27)
dan
D
1 2 1 2 12 21 2 22
maka, persamaan (L-27)
menjadi
1 2 2 2 1 2 2 1 T W 1 W 2 dSt2 1 t 2 t dt C2 dt1 Ddt2 A X 2 A2 T t T t St2 2 t
(L-28)
Berdasarkan Mattias Jonsson & Jan Vecer, persamaan (L-28) menjadi
dSt2 A2 Xt B2 dt C2 dt1 Ddt2 St2 Terbukti
