Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada

KALKULUS I

5

TURUNAN

JUMLAH PERTEMUAN : 4 PERTEMUAN TUJUAN INSTRUKSIONAL KHUSUS : Memahami konsep dasar turunan fungsi dan mengaplikasikan turunan fungsi pada permasalahan yang ada Materi

:

5.1 Pendahuluan Ide awal adanya turunan adalah karena adanya permasalahan garis singgung di titik
 

Tali busur      

Garis singgung     

  P h c

c+h

   




adalah tali busur untuk kurva , dengan kemiringan 

Maka kemiringan garis singgung di titik P:        

KED

KALKULUS I

Contoh: Jika      , tentukan kemiringan garis di titik: a. 

b. 

c.  Jawab: Untuk menyelesaikan permasalahan diatas karena hanya yang berubah hanya titiknya saja maka dapat dikerjakan secara langsung, dengan cara mengerjakan secara umum untuk di titik  :         

Karena       maka       dan                   Maka                                                     

 

KED

KALKULUS I

Maka kemiringan garis singgung kurva       adalah , jadi a. kemiringan garis singgung fungsi       di titik   adalah , maka kemiringan garis singgung di titik  adalah   

b. kemiringan garis singgung fungsi       di titik   adalah , maka kemiringan garis singgung di titik  adalah  

c. kemiringan garis singgung fungsi       di titik   adalah , maka kemiringan garis singgung di titik  adalah   !

Dapat dilihat bahwa kemiringan garis singgung fungsi       di titik   adalah , maka kemiringan garis singgung di titik   adalah . Ini sama seperti ketika kita mencari turunan fungsi       yaitu  "   

5.2 Definisi Turunan fungsi  adalah fungsi lain # (dibaca “ aksen”) yang nilainya pada sebarang bilangan  adalah

      

 "    asalkan limitnya ini ada.

KED

KALKULUS I

5.3 Notasi dari turunan 1. Notasi aksen,  " 

2. Notasi d, $% &

'(

3. Notasi Leibniz, '% Contoh:

Andaikan      . Cari #. Jawab: )      *  )  *      +            

 "   

  +    + 

Contoh: Jika    ,  , cari D! Jawab: )  ,  *  ) ,  *           

$ ,    

      ,                 KED

KALKULUS I

Contoh: Jika  



, cari

%

' '%

!

Jawab:             -&                             -                                                 

 

5.4 Bentuk yang setara untuk turunan Tali busur  

Garis singgung   

 

P

c

x

   ./ 

 "   

 "    0.

1   1

Contoh: Andaikan      . Cari #. Jawab:

KED

KALKULUS I

)   *  )  *        !           + %,  %, %,   

 "   



'

Jika   %, cari '% ! Jawab:

    3      -& 3   3         3        2% 2% - 2% 3 3 3

   3    3 3    3     3           2% 2% 2% 3     3   3 3    2% 3       

 

5.5 Keterdiferensialan menunjukkan kekontinuan Jika sebuah kurva mempunyai sebuah garis singgung di sebuah titik, maka kurva itu tidak dapat melompat atau sangat berayun di titik tersebut. Perumusan yang persis dari kenyataan ini merupakan sebuah teorema penting. Teorema Jika # ada, maka  kontinu di . Kebalikan dari teorema ini tidak berlaku. Contoh: Jika     , tentukan apakah fungsi  kontinu di   ? KED

KALKULUS I

Jawab: Tanpa harus membuktikan 1.  ada

4  ada   4 4 3.      4 2.

Berdasarkan teorema diatas maka:                % % %  %  

 "   

Karena fungsi     ada turunannya di   , maka dapat dikatakan fungsi     kontinu di   

Contoh (penyangkal teorema): Jika   55, tentukan # Jawab: 55  55 55        . . .   

 "    Limit ini tidak ada karena

6

.

55 7  6   .  

Sedangkan 8

.

55 7  8   .   KED

KALKULUS I

Karena limit kanan dan limit kirinya tidak sama. 5.6 Aturan Pencarian Turunan 5.6.1 Fungsi konstanta Fungsi konstanta   9 mempunyai grafik berupa garis horisontal, sehingga kemiringannya nol dimana-mana. Teorema (Aturan Fungsi Konstanta) Jika   9 dengan 9 suatu konstanta maka untuk sebarang ,  "   , yakni $9  

Bukti      99            

 "    5.6.2 Fungsi identitas

Teorema (Aturan Fungsi Identitas) Jika   , maka  "   , yakni

$  

Bukti                   

 "   

KED

KALKULUS I

5.6.3 Fungsi polinom Teorema (Aturan Pangkat) Jika    : , dengan ; < =  , maka  "   ; :> , yakni $ :   ; :>

Bukti   :   :           

 "   

 



 



 :  ; :>    @; :> 

;;   :     ?  ;:>  :   :  

;;   :    ?  ;:  :> A   ; :> 

Contoh: Jika    , , cari # Jawab: #  $ ,     5.6.4 D adalah sebuah operator linier Teorema (Aturan Kelipatan Konstanta) Jika 9 suatu konstanta dan  suatu fungsi yang terdiferensialkan, maka 9"   9 B $, yakni

KED

KALKULUS I

$)9 B *  9$ Bukti Andaikan C  9. Maka

     C    C 9 B     9 B      9 B      

C "   

      9 B #  

 9 B  Contoh:

Jika   > , cari # Jawab: $)> *  $>    D    D Teorema (Aturan Jumlah) Jika  dan E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka   E"    "   E#, yakni $)  E*  $  $E

Contoh: Jika        , cari # Jawab: $)     *  $    $  $     Teorema (Aturan Selisih) Jika  dan E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka   E"    "   E#, yakni KED

KALKULUS I

$)  E*  $  $E Contoh: Jika      , cari # Jawab: $)   *  $    $    Teorema (Hasil kali) Jika  dan E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka  B E"   E"  

E#, yakni

$) B E*  $E  E$

Contoh: Jika      , cari # Jawab: $)   *  $        $         !      

Teorema (Aturan Hasilbagi) "

Jika  dan E fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, maka FGH   $

G% I % %G"% , GJ %

yakni

 E$  $E  E E 

Contoh: KED

KALKULUS I

>

Jika   ,% J >, cari # Jawab:    $  $         ! !  A   $@                   5.6.5 Fungsi sinus dan kosinus Jika   KL , tentukan #

KL    KL  KL  MNK   MNK  KL   KL       

$KL   

  O KL  

  MNK  KL   MNK  P  

  MNK  KL  R  MNK  Q R    

  KL  Q Ingat bahwa

  MNK  KL   44444444444       

Maka $KL    KL    MNK    MNK 

Jika   MNK , tentukan #

KED

KALKULUS I

MNK    MNK  MNK  MNK   KL  KL   MNK       

$MNK   

   MNK  @ 

  MNK  KL  A  KL    MNK    KL     KL   

Contoh: Jika   1SL , maka #? Jawab TUV %

Karena   1SL   /WT %, maka

Misalkan E  KL  X E"   MNK  dan   MNK  X "    KL   "  

E"   " E 







MNK MNK    KL KL  MNK    KL   MNK  MNK  

  KYM   MNK  

5.7 Aturan Rantai Teorema (Aturan Rantai) Andaikan &  Z dan Z  E menentukan fungsi komposit &  E   [ E. Jika E terdiferensialkan di  dan  terdiferensialkan di Z  E, maka  [ E

terdiferensialkan di  dan

 [ E"   #EE# KED

KALKULUS I

Yakni $% &  $\ &$% Z Contoh Jika &    ]  >^ , cari $% & Jawab Misal Z    ]  dan &  Z>^ , maka $% Z     dan $\ &  +Z>_ Jadi, $% &  $\ & B $% Z  +Z>_     +  ]  >_    5.8 Aturan Rantai Bersusun Andaikan &  Z4`SL4Z  Ea4`SL4a   Maka $% &  $\ &$b Z$% a

KED

KALKULUS I

Contoh Cari $% )KL,  * Jawab: Misal a   dan Z  KL a dan &  Z, Maka $% &  $\ &$b Z$% a  $\ Z, $b KL a$%    Z MNK a    MNK  KL  5.9 Notasi Leibniz   d   d   x

d& d

  d

Perbandingan yang menggambarkan talibusur yang melalui  

kemiringan

d&   d    d d

Jika d  , kemiringan talibusur ini mendekati kemiringan garis singgung, dan untuk kemiringan ini disebut kemiringan Leibniz menggunakan lambang Sehingga

'( . '%

-& d&   d        # - d% d d% d

Contoh '(

Cari '% jika &   ,     c

KED

KALKULUS I

Penyelesaian: -& - , - ,  -   -      c    c       c - - - - -     !  c

5.9.1 Aturan Rantai Andaikan bahwa &  Z dan Z  E. Dalam notasi Leibniz, Aturan Rantai: -& -& -Z  - -Z - Contoh:

Cari

-&e , > - jika &    

Jawab Misal Z   ,   dan &  Z> , maka -& -& -Z   Z>>       ,  >>     - -Z - Contoh: Cari

'( '%

, jika &  fKL  

Jawab: KED

KALKULUS I

h

'\

'i

'(

>

h

Misal Z    , g  KL Z4 dan &  gJ , maka '%  , '\  MNK Z dan 'i   gJ     MNK    -& -& -g -Z   @ A MNK Z  MNK   @ A - -g -Z -  fg fKL   fKL Z

>

fi

5.10 Turunan Tingkat Tinggi Notasi

Notasi

Notasi

Notasi

#

Pertama

&#

$

Leibniz

#

&#

$% &

-& -

Kedua

##

&##

$% &

-& - 

Ketiga

###

&###

$%, &

j

j

j

j

-,& - ,

Turunan

Ke-n

 : 

& :

$%: &

j

-: & - :

Contoh: Jika &  >   ^ , cari

'J ( 'k ( 'hJ (

,

,

'% J '% k '% hJ

.

Jawab:

KED

KALKULUS I

-&   D  + _ - -&  ] l   , -  -,&  c m  !  - , -_ &  +  n   - _ -^&    ^   - ^ j -> &  -> 5.11 Pendiferensialan Implisit Contoh: Jika   &  &   ,   tentukan

'( '%

Jawab: Cara 1 KED

KALKULUS I

Dapat diselesaikan dengan mengubahnya kedalam fungsi eksplisit terlebih dahulu &

,     

Maka  _      -&          ,               - Cara 2 Didiferensialkan secara bersamaan untuk kedua ruas   &  &   ,   

-& -&  &      - -

-&          & - -&    &  -   

KED

KALKULUS I

% o >

Tampak terlihat hasilnya berbeda dengan metode 1, tapi jika kita substitusi nilai &  _% J , maka diperoleh

-&  -

_  _ ,   A   ]        _  ]                    

    @

5.12 Diferensial 5.12.1 Definisi Andaikan &   terdiferensialkan di  dan andaikan bahwa -, diferensial dari variabel

bebas  menyatakan pertambahan sebarang dari . Diferensial yang bersesuaian dengan -&

dari variabel tak bebas & didefinisikan oleh

-&  #- Contoh: Cari -& jika &   ,     Jawab: -&     - KED

KALKULUS I

Aturan-aturan utama diferensial dan turunan dapat digambarkan Aturan Turunan

Aturan Diferensial

-9  -

-9  

-9Z -Z 9 - -

-Z  a -Z -a   - - -

-9Z  9-Z -Z  a  -Z  -a

-Za -a -Z Z a - - -

-Za  Z-a  a-Z

-Z:  -Z  ;Z:> - -

-Z:   ;Z:> -Z

-Zpa aF  -

-Ze H  ZF-ae H - - a

Z a-Z  Z-a -F H  a a

5.12.2 Aproksimasi Formula aproksimasi:   d q   -&    #d Contoh: Tentukan aproksimasi dari f ! adalah KED

KALKULUS I

Jawab: Misal &  f Maka aproksimasi dari f ! adalah   ! q    -& -&  Sedangkan di  



f

-

dan -  ! mempunyai nilai -& 



f

! 

!

 +

Jadi r ! q f  -&    +  +

KED