Megint egy keverési feladat Az alábbi feladatot [ 1 ] - ben találtuk, nyilván megoldás nélkül. Itt azért vezetjük elő, mert a megoldása során előálló összefüggések egybecsengenek egy korábbi dolgozatunkéival, melynek címe: Ragasztóanyag - keverési feladatok. A feladat Klára a konyhája falát lila színűre szeretné festeni. A lila festéket három színből: kékből, pirosból és sárgából keverik ki számára. A keverékben a kék, piros és sárga színek aránya 4 :5 :1. A raktárban 6 liter kék, 9 liter piros és 2 liter sárga festéket találtak. Legfeljebb hány liter LILA színű festéket lehet kikeverni a raktárban lévő készletből? Úgy dolgozz, hogy számításaid nyomon követhetők legyenek! A megoldás Jelölések: ~ δk : a kék festék keverési recept szerinti térfogati arányszáma; ~ δp : a piros festék keverési recept szerinti térfogati arányszáma; ~ δs : a sárga festék keverési recept szerinti térfogati arányszáma; ~ Vk: a kék festék recept szerinti térfogata; ~ Vp: a piros festék recept szerinti térfogata; ~ Vs: a sárga festék recept szerinti térfogata; ~ VL : a recept szerint bekevert lila festék térfogata. Egy összefüggés, amely a feladat megadásából közvetlenül felírható:
δ k : δ p : δ s = 4 : 5 :1 ,
(1)
amiből pedig közvetlenül adódnak az alábbiak:
4 δ = ⋅δp k δk 4 5 = → δp 5 δ = 5 ⋅ δ p 4 k δ = 4 ⋅ δ s δk 4 k = → 1 δ s 1 δ s = ⋅ δ k 4
, ;
, ;
(2)
(3)
2
δ p = 5 ⋅ δ s , 5 = → 1 δ s 1 δ s = ⋅ δ p . 5
δp
(4)
Minthogy az egyes összetevők térfogatainak aránya a keverési recept szerinti arány számok arányaival egyezik, írhatjuk, hogy
4 V = ⋅Vp k Vk δ k 4 5 = = → Vp δ p 5 V = 5 ⋅ V p k 4
, ;
(5)
majd
V = 4 ⋅ Vs Vk δ k 4 k = = → 1 Vs δ s 1 Vs = 4 ⋅Vk
, ;
(6)
V p = 5 ⋅ Vs , 5 = = → 1 Vs δ s 1 Vs = ⋅ V p . 5
(7)
végül:
Vp
δp
Tudjuk, hogy a teljes bekevert lila festék térfogata megegyezik az összetevők térfogatának összegével, azaz:
VL = Vk + V p + Vs .
(8)
Most ( 5 / 2 ), ( 6 / 2 ) és ( 8 ) szerint:
5 1 10 VL = Vk + V p + Vs = Vk + ⋅ Vk + ⋅Vk = ⋅Vk , 4 4 4 tehát:
VL =
10 ⋅ Vk . 4
Hasonlóképpen ( 5 / 1 ), ( 7 / 2 ) és ( 8 ) - cal:
(9)
3
VL = Vk + V p + Vs =
4 1 10 ⋅Vp + Vp + ⋅Vp = ⋅Vp , 5 5 5
tehát:
VL =
10 ⋅V p . 5
( 10 )
Megint így eljárva ( 6 / 1 ), ( 7 / 1 ) és ( 8 ) alapján:
VL = Vk + V p + Vs = 4 ⋅ Vs + 5 ⋅ Vs + Vs = 10 ⋅Vs , tehát:
VL = 10 ⋅ Vs .
( 11 )
Most ( 9 ), ( 10 ), ( 11 ) - ből átrendezéssel:
4 ⋅VL , 10 5 V p = ⋅VL , 10 1 Vs = ⋅ VL . 10 Vk =
( 12 )
Ellenőrzés: ( 12 ) - vel teljesül ( 8 ). ☺ A feladat adatai szerint a rendelkezésre álló, azaz maximális összetevő - térfogatok: Vk ,max = 6 l , V p ,max = 9 l , Vs ,max = 2 l . ( 13 ) Az ezeknek megfelelő maximális lila festék - térfogatok ( 9 ), ( 10 ) és ( 11 ) szerint:
10 10 ⋅ Vk ,max = ⋅ 6 l = 15 l ; 4 4 10 10 VL ,max p = ⋅ V p ,max = ⋅ 9 l = 18 l ; 5 5 s VL ,max = 10 ⋅ Vs ,max = 10 ⋅ 2 l = 20 l. VL ,max k =
( 14 )
4
Ezek a kész, bekevert lila festék mennyiségek akkor lennének elérhetőek, ha mind egyik összetevőből elegendő állna rendelkezésre. Minthogy ez nem igaz, így csak annyi lila festék keverhető ki az adott mennyiségű összetevőkből, amennyi a ( 14 ) szerinti legkisebb mennyiség; esetünkben: 15 liter. Ugyanis legfeljebb csak annyi lila festék készíthető, ameddig valamelyik összetevő el nem fogy. Mivel a 15 liter lila fes ték elkészítésekor a kék már éppen elfogyott, de a piros és a sárga még nem, így itt a kék festék mennyisége korlátozza az elkészíthető lila festék mennyiségét. Tehát legfeljebb 15 liter lila színű festéket lehet kikeverni a raktárban lévő készletből. Ezzel a feladatot megoldottuk.
Megjegyzések: M1. A legfeljebb bekeverhető mennyiség meghatározásának végső lépését így is megformulázhatjuk:
(
)
VL ,max = min VL ,max i , i = k , p, s .
( 15 )
M2. Az ( 5 ), ( 6 ) és ( 8 ) képletek alapján írhatjuk, hogy
Vi Vi pl. Vk = = = VL ∑ Vi Vk + V p + Vs
1 1+
Vp Vk
+
Vs Vk
1
= 1+
δp δk
+
δs δk
=
δk δ = i , δ k + δ p + δ s ∑ δi
tehát:
Vi δ = i . ∑Vi ∑ δi
( 16 )
Mivel a térfogatok és a nekik megfelelő tömegek egymással arányosak, így
mi = ρi ⋅ Vi ;
( 17 )
most ( 16 ) és ( 17 ) - tel:
mi Vi ρi δ = = i ; ∑Vi ∑ mi ∑ δi ρi
( 18 )
majd feltéve, hogy az összetevő festékek sűrűsége gyakorlatilag egyező, adódik, hogy
5
ρi = ρ ;
( 19 )
ezután ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
mi mi 1 ⋅ mi ρi mi δ ρ ρ = = = = i , mi mi 1 ∑ ρ ∑ ρ ρ ⋅ ∑ mi ∑ mi ∑ δi i tehát:
mi δ = i . ∑ mi ∑ δi
( 20 )
A ( 20 ) képlet egyezik a korábbi dolgozat idevágó képletével, amely a keverés elvi alapját képező egyenes arányosságot formulázza meg. M3. Látjuk, hogy ( 16 ) és ( 20 ) csak akkor egyenértékűek, ha ( 19 ) is fennáll. Ellenkező esetben választanunk kell ( 16 ) és ( 20 ) között. Mint azt a korábbi dolgo zatból is tudjuk, ragasztásnál – a nagyon eltérő fajtájú anyagok keverésekor – a ( 20 ) képletalak használatos. Ekkor – értelemszerűen – a δi számok már nem térfogati, hanem tömeg - arányszámok. M4. A feladat kiírásában felhívják a figyelmet arra, hogy a számítás követhető legyen. Úgy tűnik, ez sokak számára még ma sem magától értetődő követelmény.
Forrás: [ 1 ] – Országos kompetenciamérés 2013, 10. évfolyam Emberi Erőforrások Minisztériuma, Oktatási Hivatal, Közoktatási Mérési Értékelési Osztály
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2013. június 6.
