Megint a szíjhajtásról Ezzel a témával már egy korábbi dolgozatunkban is foglakoztunk; ennek címe: Richard - II. Most egy kicsit más alakú, bár ugyanarra vonatkozó képleteket állítunk elő, részben a szakirodalom segítségével. A téma: a nyitott szíjhajtásban szereplő szíjhossz „pontos” és „közelítő” képleteinek levezetése. Ez lehetőséget ad egy - két kitérőre is. Az alábbiakban lényegesen támaszkodunk a ma már viszonylag ritkán előforduló [ 1 ] munkára. A szíjhossz „pontos” képletének levezetése Ehhez tekintsük az 1. ábrát is – ld.: [ 1 ]!
1. ábra Itt egy δ vastagságú ( lapos )szíjat szemlélhetünk, melyet egy D1 átmérőjű hajtó, és egy D2 átmérőjű hajtott tárcsán vetettek át és feszítettek meg. A szíjágak belógását nem vesszük figyelembe, mert a szíjat teljesen kifeszítettnek vesszük. Ez máris egy olyan egyszerűsítés, amely indokolja a pontos jelző idézőjelbe tételét. A tárcsák középpontjai a távolságra vannak egymástól. A szíj L hossza 3 részből tevődik össze:
L L1 L2 L3 ,
(1)
ahol ~ L1: a kistárcsát körülfogó íves szíjdarab hossza, ~ L2: a nagy tárcsát körülfogó ív hossza, ~ L3: a tárcsákat érintő két egyenes szakasz hossza. Minden szakasz hossza a szíj középvonalán értendő, azaz a „pontos” képlet figyelembe veszi a ( lapos )szíj vastagságát is. A részképletek:
2
D1 D L1 R 1 1 ; 2 2 2 2 D L 2 2 R 2 2 2 ; 2 2 L3 2 a cos 90 2 a sin . 2 2
(2)
(3)
(4)
Most ( 1 ), ( 2 ), ( 3 ) és ( 4 ) - gyel:
L 2 a sin
D D 1 2 2 . 2 2 2
(5)
Most átalakításokat végzünk az ( 5 ) képleten. Ismét az 1. ábra alapján:
cos
D2 D1 . 2 2 a
(6)
Majd felhasználva, hogy
sin
1 cos 2 , 2 2
(7)
írhatjuk ( 6 ) és ( 7 ) - tel, hogy
D2 D1 sin 1 . 2 a 2 2
(8)
Ezután ( 5 ) és ( 8 ) - cal:
D D1 D1 D2 L 2 a 1 2 2 . 2 a 2 2 2
Az utolsó két tagot kifejtve:
D D 2 D1 D D2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 D D2 D 1 2 2 D1 D 2 D 2 , 2 2 2
(9)
3 tehát:
D1 D 2 2 D1 D 2 D 2 . 2 2 2
( 10 )
Most ( 9 ) és ( 10 ) - zel:
D 2 D1 L 2 a 1 D1 D 2 D 2 . 2 a 2 2
( 11 )
Majd ( 5 ) és ( 10 ) - zel:
L 2 a sin
D1 D 2 D 2 ; 2 2
( 12 )
ezután ( 6 ) - ból:
2 a
D 2 D1 ; cos 2
( 13 )
most ( 12 ) és ( 13 ) - mal:
D 2 D1 sin D1 D 2 D 2 2 2 cos 2 D 2 D1 tg D1 D 2 D 2 2 2 D 2 D1 tg D2 , 2 2
L
tehát:
L D2 D2 D1 tg . 2 2
( 14 )
A ( 14 ) képlet kapcsán az [ 1 ] műben a [ 2 ] cikkre utalnak. Most ( 6 ) - ból:
D D1 arc cos 2 , 2 2 a
( 15 )
4 így ( 11 ) és ( 15 ) - ből:
D D1 D 2 D1 L D 2 2 a 1 2 D D arc cos . 2 1 2 a 2 a 2
( 16 ) Vagy más alakban, kiemeléssel: 2 D2 D1 D D D D 2 1 2 1 L D 2 2 a 1 arc cos 2 a 2 a 2 a ( 17 )
Rendezve:
D D1 L D2 D 2 D1 D2 D1 1 2 arc cos ; 2 a 2 a 2 a 2a 2
( 18 )
bevezetve a
L D2 , 2 a D 2 D1 2 a
( 19 )
jelöléseket, ( 18 ) és ( 19 ) - cel:
1 2 arc cos .
( 20 )
λ ismeretében ennek ξ0 megoldásával és ( 19 / 2 ) - vel:
D1 D2 2 a 0 .
( 21 )
Az utolsó sorok egy olyan feladat megoldását adják, amikor L, D2, a és δ ismeretében D1 - et kell meghatározni.
5 A szíjhossz „közelítő” képletének levezetése A Géptan tankönyveiben gyakran esik szó a szíjhosszat megadó közelítő képletről, miközben sokszor megesik, hogy sem a pontos képletet, sem pedig az ebből adódó közelítő képlet levezetését nem közlik. Most ez utóbbit mutatjuk be. Kiindulunk a ( 16 ) képletből:
D2 D1 2 D 2 D1 D D 2 1 L D 2 2 a 1 arc cos ; ( 16 ) 2 a 2 a 2 a átalakítással:
D 2 D2 1 D
D 2 2
mert
1 ; D2
,
( 22 )
hatványsorba fejtéssel – ld. pl.: [ 3 ]! – :
1 1/ 2 1 x 1 x 1 x , 2 arccos x x , 2
x 1 ; x 1 ;
( 23 )
most ( 16 ) és ( 23 ) - mal: 2 2 2 D2 D1 D 2 D1 D 2 D1 1 1 1 , 1 ; 2 a 2 a 2 2 a D 2 D1 D 2 D1 D2 D1 arc cos , 1 ; 2 a 2 2 a 2 a
( 24 )
majd ( 16 ) és ( 24 ) - gyel:
D D1 D 2 D1 D 2 D1 1 2 arc cos 2 a 2 a 2 a 2
1 D D1 D 2 D1 D 2 D1 1 2 ; 2 2 a 2 a 2 2 a 2
( 25 )
6 rendezve a jobb oldalt:
2 2 1 D 2 D1 D 2 D1 D 2 D1 1 2 2 a 2 a 2 2 a 2 1 D D1 D 2 D1 1 2 ; 2 2 a 2 2a
1 D D1 D 2 D1 D 2 D1 1 2 2 2 a 2 a 2 2 a 2
( 26 )
most ( 25 ) és ( 26 ) - tal:
D2 D1 2 D2 D1 D2 D1 2 D 2 D1 D D 1 2 1 1 arc cos 1 ; 2 a 2 a 2 a 2 2 a 2 2 a ( 27 ) majd ( 16 ), ( 22 ) és ( 27 ) - tel: 2 D 2 D1 D D D D 2 1 2 1 L D 2 2 a 1 arc cos 2 a 2 a 2 a 1 D D 2 D D 1 2 1 D 2 2 a 1 2 2 a 2 2 2 a 2 1 D 2 D1 D 2 D1 D 2 2 a 2 a 2 a 2 2 a 2 2a
D 2 D1
2
D 2 2 a
4 a
D 2 D1 2 2
D D1 D 2 D1 2 a 2 2 2 4 a 2
D 2 D1
2
2 a
4 a
D1 D 2 , 2
tehát:
D 2 D1 L 2 a D1 D 2 . 2 4a 2
( 28 )
7 [ 1 ] szerint ( 28 ) jól használható, ha α 140° és 180° közé esik, de ennél kisebb szög esetén ajánlatos a pontos képlet használata. Az α körülfogási szögre is található közelítő képlet a szakirodalomban – [ 4 ]. ( 15 ) - ből, ( 24 / 2 ) - vel:
D D1 D 2 D1 arc cos 2 , 2 2 a 2 2 a innen:
D 2 D1 . a
( 29 )
Majd a
180 (fok) (rad)
( 30 )
átszámító összefüggéssel is, ( 29 ) - ből:
D 2 D1 180 180 D 2 D1 D 2 D1 (fok) 180 180 57,3 , a a a tehát:
(fok) 180 57,3
D2 D1 ; a
( 31 )
az amúgy is közelítő jelleg miatt ( 31) - ből:
(fok) 180 60
D2 D1 ; min 110. a
[ 4 ] - ben is olvashatjuk a ( 32 ) második felében megadott korlátozást. Az a tengelytávolságra is találhatók közelítő képletek – ld. pl. [ 5 ]! Egy ilyen levezethető ( 28 ) - ból kiindulva:
D D1 L 2 a D1 D 2 2 ; 2 4 a 2
D D1 L D1 D 2 2 a 2 ; 2 4 a 2 L D1 D 2 4 a 8 a 2 D 2 D1 ; 2 2 8 a 2 4 L D1 D2 a D 2 D1 0 ; 2 2
( 32 )
8 folytatva:
2 4 L D1 D 2 42 L D1 D 2 4 8 D 2 D1 2 2 a1,2 2 8 2
2 2 L D1 D2 4 L D1 D 2 8 D 2 D1 2 2 8 2
2 L D1 D 2 2 L D1 D2 8 D 2 D1 2 , 8 2
tehát:
2 L D1 D2 2 L D1 D 2 8 D 2 D1 2 . 8 2
a1,2
(!)
A négyzetgyök előtti előjelről az alábbi megfontolás alapján is dönthetünk. ( 28 ) - ból D1 = D 2 = D (*) esetén adódik, hogy
L D L 2 a * 2 D a* ; 2 2 2
( !! )
A ( ! ) képletben a négyzetgyök előtti azon előjelet választjuk, amellyel ( * ) esetén ( !! ) előáll. Most ( ! ) - ből ( * ) - gal:
2 L 2 D 2 L 2 D
2
a1,2 **
8
2 L 2 D 2 L 2 D 8
,
( !!! ) innen leolvasható, hogy
2 L D a1 ** 2 L 2 D 8 2 2 a 2 ** 0 .
,
Ezekkel:
a ** a * , ha . Most a ( ! ) és ( !!!! ) képletekkel:
( !!!! )
9
2 1 2 a 2 L D1 D 2 2 L D1 D 2 8 D 2 D1 8
.
( 33 )
( 33 ) - mal egyenértékű képletek találhatók [ 5 ], [ 6 ] - ban is. Most nézzük meg, hogyan lehet az a tengelytávot „pontosan” kiszámítani, ha adott a többi ( L , D1 , D2 , δ ) paraméter! A ( 6 ) képletből:
a
D 2 D1 ; 2 cos 2
( 34 )
ebből látjuk, hogy ehhez először az α szöget kell meghatároznunk. Ehhez ( 14 ) szerint:
L D2 D 2 D1 tg , 2 2 innen:
tg
L D 2 ; 2 2 D 2 D1
( 35 )
bevezetve a
L D 2 D2 D1
( 36 )
jelölést, ( 35 ) és ( 36 ) - tal:
tg
. 2 2
( 37 )
, melyet ( 34 ) - be helyettesítve: Ennek megoldása
a
D 2 D1 . 2 cos 2
( 38 )
A ( 20 ) és a ( 37 ) egyenletek megoldása numerikusan vagy grafikusan történhet. Látjuk, hogy sokszor a „pontos képletek” nem zárt alakú megoldásokat, hanem a ( 20 ) és a ( 37 ) egyenletekhez hasonló közbenső – közvetítő – egyenletek révén való megol dást jelentenek.
10 Megjegyzések: M1. A szíjhossz változásának egyik megjelenési formája a szíj megnyúlása; ezt a szíjban fellépő erők okozzák. M2. A laposszíj - hajtásra kapott összefüggéseket ékszíjhajtásra is alkalmazhatjuk; [ 1 ] szerint úgy, hogy a hajtó és a hajtott tárcsákon ék alakú horonyban futó ékszíjra vonatkozó középátmérőkkel dolgozunk – 2. ábra.
2. ábra Ekkor Dn = Dk, azaz a névleges ékszíjtárcsa - átmérő a szíj középátmérőjének felel meg. A 2. ábra szerint:
D k D tárcsa ,külső
h , 2
( 39 )
ahol h: az ékszíj magassága. M3. A valóságban a géptervezőnek esetleg több lépésben, fokozatos közelítéssel kell meghatároznia a fontos geometriai adatokat, mert sok szempontot, korlátozást kell figyelembe vennie, ajánlások, szabványok, előírások szerint. Egy ilyen érthető korlátozás például a gyártók által kínált szíjhosszak választéka.
11 Irodalom: [ 1 ] – Sárvári Béla: Szíjhajtások Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1964., 25. ~ 29. o. [ 2 ] – Ordódy János: A szíjhossz evolvensgeometriai kifejezése Gép, 1955. XI. 439. o. [ 3 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 404. ~ 409. o. [ 4 ] – Szerk. Boldizsár Tibor: Bányászati kézikönyv, I. kötet Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1956., 1315. o. [ 5] – E. N. Dubejkovszkij ~ E. Sz. Szavvuskin ~ L. A. Cejtlin: Tyehnyicseszkaja mehanyika Masinosztrojenyije, Moszkva, 1980., 279. o. [ 6 ] – Zsáry Árpád: Gépelemek II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1991., 485. o.
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. március 1.
