MATRIKS INVERS MOORE PENROSE ATAS DAERAH INTEGRAL
Titi Udjiani SRRM Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Semarang 50275
Abstract. The Inverse Moore Penrose matrix has been applied in various areas, for example in statistic and optimization. In this paper we study Inverse Moore Penrose matrix which is applied to Integral Domain. We will first discuss the characterization of all matrices over Integral Domain which admits Moore Penrose Inverse. With this characterization we will derive necessary and sufficient conditions for a matrix to have a Moore Penrose Inverse. We also show the relations between Moore Penrose Inverse matrix and Compound matrix. The aim of this paper is to obtain an explicit formula for the Moore Penrose Inverse when it exist and gives a necessary and sufficient condition for a matrix to have a Moore Penrose Inverse under the assumption that a matrix has a rank factorization. Key words: Integral Domain, rank, minor.
1. PENDAHULUAN Jika A adalah suatu matriks dengan rank r dan elemen elemennya merupakan ring komutatif, maka syarat perlu dan cukup agar A mempunyai invers Moore Penrose adalah jika jumlahan dari semua minor berukuran rxr dari A mempunyai invers Moore Penrose. Saat ini matriks invers Moore Penrose semakin banyak penggunaannya dalam berbagai cabang ilmu matematika, misalnya dalam statistik dan operasi riset. Oleh karenanya tulisan ini akan membahas mengenai matriks Invers Moore Penrose pada Daerah Integral. Seperti telah diketahui bahwa Daerah Integral adalah Ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak sama dengan nol dan tidak mempunyai pembagi nol sejati mengacu pada [2]. Selanjutnya untuk dapat memahami tulisan ini, pemahaman mengenai Daerah Integral sangat diperlukan. 2. MATRIKS INVERS MOORE PENROSE PADA DAERAH INTEGRAL Berikut ini adalah definisi mengenai matriks Invers Moore Penrose.
60
Definisi 2.1. [3] Diketahui A adalah matriks berukuran mxn atas Daerah Integral R. Suatu matriks G berukuran nxm atas R dikatakan matriks invers Moore Penrose dari A jika: 1. AGA = A 2. GAG = G 3. (AG) T = AG 4. (GA) T = GA
Lemma 2.1. [3] Diketahui A adalah matriks tidak nol berukuran nx1 atas R. Matriks A dikatakan mempunyai Invers Moore Penrose jika dan hanya jika A T A invertible di R Bukti. Diketahui bahwa A mempunyai invers Moore Penrose, akan ditunjukkan bahwa A T A invertible di R. Misal G adalah invers Moore Penrose dari A, maka AGA = A. Karena A ≠ 0 dan berukuran nx1 maka GA adalah I 1 . Selanjutnya karena (AG) T = AG maka G T A T A=(AG) T A = AGA = A. Sehingga (GG T )(A T A) = G(G T A T A) = GA = I 1 .
Titi Udjiani SRRM (Matriks Invers Moore Penrose atas Daerah Integral)
Sampai disini terbukti bahwa A T A invertible di R, dengan inversnya GG T . Sebaliknya diketahui bahwa A T A invertible di R, akan dibuktikan bahwa A mempunyai matriks invers Moore Penrose. Untuk membuktikan bahwa A mempunyai matriks invers Moore Penrose, akan ditunjukkan bahwa (A T A) −1 A T adalah invers Moore Penrose dari A T A. (a). ( (A T A) −1 A T )A((A T A) −1 A T ) = (A T A) −1 (A T A)(A T A) −1 A T ). Karena A T A invertible, artinya (A T A) −1 ada, maka (A T A) −1 (A T A)(A T A) −1 A T ) = I(A T A) −1 A T = (A T A) −1 A T . (b). A((A T A) −1 A T )A = A((A T A) −1 A T A). Karena A T A invertible di R, maka ((A T A) −1 A T A) = A. (c). (A((A T A) −1 A T )) T = ((A T A) −1 ) T A T = A(A −1 (A T ) −1 ) T A T = A(A −1 (A −1 ) T ) T A T = AA −1 (A −1 ) T A T = AA −1 (A T ) −1 A T = A (A T A) −1 A T (d). (((A T A) −1 A T )A) T = A T A((A T A) −1 ) T −1 = A T A(A −1 (A ) T ) T = A T A(A −1 ) T = A T (( A T A) −1 A T ) T = A T A((A T A) −1 ) T = A T A (A −1 ( A T ) −1 ) T = A T A (A −1 ( A −1 ) T ) T = A T A (A −1 ( A −1 ) T ) = A T A(A T A) −1 = (A T A) −1 (A T A) ■ Dengan cara yang sama juga dapat ditunjukkan untuk matriks tak nol A yang berukuran 1xm atas R. Pada pembicaraan selanjutnya akan dibahas untuk matriks atas R yang full rank.
Definisi 2.2. [3] Diketahui A = ((a ij )), adalah matriks berukuran mxn atas daerah integral R, α = ( i1 ,...,ir ) dengan 1 ≤ i1 ≤ ... ≤ ir ≤ m , β = ( j1 ,..., j r ) dengan 1 ≤ j1 ≤ ... ≤ j r ≤ n . A αβ adalah submatriks A yang ditentukan oleh baris sesuai dengan α dan kolom sesuai dengan β . Jika α = ( i1 ,...,im ) maka A αβ cukup
ditulis
dengan
Aβ ,
dan
jika
β = ( j1 ,..., j n ) maka A αβ cukup ditulis dengan A α . Teorema 2.1. [3] Diketahui A adalah matriks berukuran mxn atas R dengan rank n. Pernyataan di bawah ini ekivalen. 1. A mempunyai matriks invers Moore Penrose. 2. A T A invertible di R. 3.
∑
2
α
Aα invertible di R. Dengan α
berjalan sepanjang n elemen subset dari {1,2,…,m}. Selanjutnya jika Invers Moore Penrose dari A ada, maka ((A T A) −1 ) A T adalah invers Moore Penrose dari A. Bukti. 1 ⇒ 2. Diketahui A mempunyai invers Moore Penrose. Akan ditunjukkan bahwa A T A invertible di R. Misal G adalah invers Moore Penrose dari A, maka AGG T A T A = AG(AG) T A= AGAGA = AGA = A. Misal A full coulomb rank , maka menurut [1] rank A adalah n. Sehingga GG T A T A = In Terbukti bahwa A T A invertible di R. 2 ⇒ 1. Selanjutnya diketahui A T A invertible di R. Untuk menunjukkan bahwa A mempunyai invers Moore Penrose yaitu dengan menunjukkan bahwa ((A T A) −1 ) A T adalah invers Moore Penrose dari A yang sudah ditunjukkan pada lemma 2.
61
Jurnal Matematika Vol. 8, No.2, Agustus 2005: 60-64
2 ⇒ 3. Karena A mempunyai rank n dan dengan menggunakan formulasi Cauchy Binet, diperoleh: AT A = ∑α AαT Aα = ∑α Aα 2 Dengan α berjalan sepanjang n elemen subset dari {1,2,…,m}. Karena suatu matriks bujur sangkar atas R invertible jika dan hanya jika determinannya invertible di R dan A T A invertible, maka terbukti bahwa ∑α Aα 2 invertible.
■
Teorema diatas juga berlaku jika A mempunyai rank m ( full row rank ). Teorema 2.2. [3] Jika A adalah matriks berukuran mxn di R dengan rank r, dan A = BC adalah faktorisasi rank dari A atas R, maka kondisi dibawah ini ekivalen. 1. A mempunyai invers Moore Penrose. 2. B T B dan CC T invertible di R. 3.
∑
2
α ,β
A βα invertible di R, dengan
α ⊂ {1,2,…m}; dan β ⊂ {1,2,…,n}. Selanjutnya jika invers Moore Penrose dari A ada maka C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T adalah invers Moore Penrose dari A. Bukti. 1 ⇒ 2. Misal G adalah matriks invers Moore Penrose dari A, sehingga BCGG T A T BC = BCG(AG) T BC = BCGAGBC = BCGBC = BC. Artinya CGG T A T B = CGG T (BC) T B = CGG T C T B T B = I. Terbukti bahwa B T B invertible di R. Dengan cara yang sama diperoleh juga bahwa CC T invertible di R. 2 ⇒1 Akan ditunjukkan bahwa C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T adalah matriks invers Moore Penrose dari A. (a). AC T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T A = AC T (C T ) −1 C −1 B −1 (B T ) −1 B T A = AC −1 B −1 A = A(BC) −1 A = AA −1 A = A. 62
(b).C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T AC T (CC T ) −1 ( B T B) −1 B T = C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T A C T (C T ) −1 C −1 B −1 (B T ) −1 B T = C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T AC −1 B −1 = C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T AC −1 B −1 = C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T A (BC) −1 = T
C (CC T ) −1 (B T B) −1 B T A A −1 = C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T (c).Karena AC T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T = AC T (C T ) −1 C −1 B −1 (B T ) −1 B T = AC −1 B −1 = A(BC) −1 = AA −1 = I , maka (AC T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T ) T = AC T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T (d).Dengan cara yang sama karena C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T = I maka (C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T A) T = C T (CC T ) −1 (B T B) −1 B T A. 2 ⇒3 Karena A = BC adalah faktorisasi rank dari A atas R, maka dengan menggunakan formulasi Cauchy Binet diperoleh bahwa A βα = B α C β untuk suatu α berjalan sepanjang r elemen subset dai {1,2,…,m} dan β berjalan sepanjang r elemen subset dai
{1,2,…,n}. Sehingga
∑ α β
2
Aβα =
,
∑ α β
B
α 2
2
Cβ =
,
∑ α
Bα
2
∑β
2
Cβ .
Dengan menggunakan Teorema 2. Terbukti bahwa
∑ α β
2
Aβα invertible.
■
,
Akibat 2.1. Diketahui A adalah matriks berukuran mxn atas R dengan rank r. Jika ada faktorisasi rank A = BC dari A atas R maka A akan mempunyai matriks Invers Moore Penrose jika dan hanya jika C r (A) mempunyai invers Moore Penrose. Bukti. ( ⇐ )Karena ada faktorisasi rank A = BC maka C r (A) = C r (B) C r (C). Sehingga
Titi Udjiani SRRM (Matriks Invers Moore Penrose atas Daerah Integral)
karena C r (A) mempunyai invers Moore Penrose dan dengan menggunakan teorema 3 [1) ⇒ 3)], diperoleh bahwa jumlahan dari semua elemen di C r (A) yaitu
∑ α β
Aβα
2
,
invertible, dengan α ⊂ {1,2,…m}; dan β ⊂ {1,2,…,n}. Akibatnya dengan menggunakan teorema 3 [3) ⇒ 1)] diperoleh A mempunyai invers Moore Penrose. ( ⇒ )Misal G adalah invers Moore Penrose dari A, sehingga AGA = A. Dengan menggunakan sifat matriks Compound diperoleh bahwa C r (G) adalah invers dari C r (A). ■
Lemma 2.2. Diketahui A matriks berukuran mxn atas R yang mempunyai rank 1. A dikatakan mempunyai invers Moore Penrose jika dan hanya jika ∑ a i , j 2 invertible di R. i, j
Bukti. ( ⇐ )Diketahui u =
∑
a i , j 2 invertible di
R. Akan ditunjukkan bahwa u −1 A T adalah invers Moore Penrose dari A. Karena A mempunyai rank 1 maka setiap minor berukuran 2x2 dari A mempunyai determinan nol. Untuk suatu i,j,k,l diperoleh a k , j a i ,l = a i , j a k ,l . Sehingga untuk suatu i,l diperoleh:
∑a
ij
g jk a kl = u
j,k
∑a
ij
a kj a kl
j,k
= u −1 ∑ ail a kj
2
r 2 , …,r m ); H mnx1 = (c T1 , c 2T ,..., c mT ) dan akan ditunjukkan bahwa H adalah invers Moore Penrose dari B. Dengan menggunakan (*) diperoleh 2 u −1 ∑ a kj = 1; u −1 ∑ a kj a kj = 1; j,k
∑a
kj
j,k
g jk =1; BH = 1. Sehingga HBH = H;
∑ ( (a
∑a
) 2 ) −1
kj
k,j
BHB = B dan (BH) T = BH . c1 r1 ⋯ c1 rm c r ⋯ c r 2 1 2 m Selanjutnya HB = . ⋮ ⋱ ⋮ c m r1 ⋯ c m rm Untuk menunjukkan bahwa (HB) T = HB, akan ditunjukkan dengan (c i r j ) T
Diatas sudah ditunjukkan bahwa u −1 A T adalah invers Moore Penrose dari A. Karena sifat tunggal dari invers maka g ij = u −1 a ji , untuk setiap i, j. Sehingga untuk
j,k
=
Selanjutnya (AG) T = (Au −1 A T ) T = A(u −1 ) T A T = Au −1 A T =AG. (GA) T =(u −1 A T A) T = A T A(u T ) −1 = A T Au −1 = u −1 A T A = GA. ( ⇒ )Misal G adalah invers Moore Penrose dari A ; r i adalah baris ke i dari A dengan i = 1,2,…,m dan c j adalah kolom ke j dari G dengan j = 1,2,..,n. Selanjutnya dibentuk matriks B 1xmn = (r 1 ,
j,k
i, j
−1
Terbukti bahwa GAG = G.
il
a kj
2
suatu i,j,k,l diperoleh g ki a jl = u −1 a ik a jl = u −1 a jl a ik = g lj a ik .
j,k
= a il ….(*). Terbukti bahwa AGA = A.
Jadi (c i rj ) T = c j r i , untuk setiap i, j.
∑g
Sehingga (HB) T = HB. Kemudian dengan menggunakan Lemma 2.1 diperoleh ■ ∑ a i , j 2 invertible di R.
ji
ail g lk = u −1 u −1 ∑ aij ail a kl
j,k
j,k
=u
−1
u
−1
∑a
kj
ail
2
i, j
j,k
= u −1 (a il ) −1 ∑ a kj ail 2
j,k
=u
−1
∑a j,k
kj
= g jk .
2
Teorema 2.3. Diketahui A matriks berukuran mxn atas R dengan rank r. Pernyataan pernyataan di bawah ini ekivalen : 1. A mempunyai invers Moore Penrose. 63
Jurnal Matematika Vol. 8, No.2, Agustus 2005: 60-64
2. C r (A) mempunyai invers Moore Penrose 3.
∑α β
2
Aβα invertible di R, dengan
,
α ⊂ {1,2,…m}; dan β ⊂ {1,2,…,n}. Selanjutnya jika G invers Moore Penrose dari A, maka G = ((g ij )) dengan g ji = u=
∑ ∑β α α β :i∈
∑α β ,
u −1 Aβα
: j∈
Aβα
∂ Aβα dan ∂aij
2
Bukti. 1⇒ 2. Misal G adalah invers Moore Penrose dari A. Denganmenggunakan sifat matriks Compound yang diberikan oleh Prosolov maka C r (G) adalah invers Moore Penrose dari C r (A). 2⇒ 3 . Dengan menggunakan teorema 3 diperoleh A mempunyai invers Moore Penrose. ■
64
3. PENUTUP Jika A adalah matriks atas Daerah Integral yang mempunyai faktorisasi rank, maka: 1. Invers Moore Penrose dari A dapat diperoleh melalui faktorisasi ranknya 2. A mempunyai Invers Moore Penrose jika dan hanya jika matriks Compoundnya juga mempunyai invers Moore Penrose. 4. DAFTAR PUSTAKA [1] Ayres F., Linear Algebra, Mc Graw – Hill,Inc.,United State of America. [2] Bapat, R.B., Bhaskara Rao, K.P.S., Mayunata, K. (1990), Generalized Over Integral Domain, Elsevier Science Publishing Co.Inc , New York. [3] Brown W.C. (1993), Matrices Over Commutative Rings ,Marcel Dekker, Inc. New York. [4] Fraleigh J.B.(1994), A First course in Abstract Algebra, Fourth edition, Addison Wesley Co.Inc.,New York.
