MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI. Oleh: DESI AYU ANISIANTI NIM

MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI

Oleh: DESI AYU ANISIANTI NIM. 08610004

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2013


SKRIPSI

Diajukan kepada: Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si)


JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG 2013


SKRIPSI


Telah Diperiksa dan Disetujui untuk Diuji Tanggal: 12 Desember 2012

Pembimbing I

Pembimbing II

Evawati Alisah, M.Pd NIP. 19720604 199903 2 001

Fachrur Rozi, M.Si NIP. 19800527 200801 1 012

Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

MASTRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS

SKRIPSI


Telah Dipertahankan di Depan Dewan Penguji Skripsi Dan Dinyatakan Diterima sebagai Salah Satu Persyaratan Untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains (S.Si) Tanggal: 16 januari 2013

Penguji Utama

: Hairur Rahman, M.Si NIP. 19800429 200604 1 003

...........................

: Dr. Usman Pagalay, M.Si NIP. 19650414 200312 1 001

...........................

Sekretaris Penguji : Evawati Alisah, M.Pd NIP. 19720604 199903 2 001

...........................

Ketua Penguji

Anggota Penguji

: Fachrur Rozi, M.Si NIP. 19800527 200801 1 012

Mengesahkan, Ketua Jurusan Matematika,

Abdussakir, M.Pd NIP. 19751006 200312 1 001

...........................

PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN

Saya yang bertandatangan di bawah ini: Nama

: DESI AYU ANISIANTI

NIM

: 08610004

Jurusan

: Matematika

Fakultas

: Sains dan Teknologi

Judul Penelitian

: Matriks Atas Aljabar Max-Plus

Menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa hasil penelitian saya ini tidak terdapat unsur-unsur penjiplakan atau karya ilmiah yang pernah dilakukan atau dibuat oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka. Apabila ternyata hasil penelitian ini terbukti terdapat unsur-unsur jiplakan, maka saya bersedia untuk mempertanggungjawabkan, serta diproses sesuai peraturan yang berlaku.

Malang, 12 Desember 2012 Yang membuat pernyataan

Desi Ayu Anisianti NIM. 08610004

MOTTO

Gunakanlah kesempatan hidup di dunia dengan sebaik-baiknya untuk memperoleh hidup yang abadi…. Selalu melangkah dengan pasti dan penuh hati-hati….

PERSEMBAHAN Karya ini penulis persembahkan kepada: Kedua orang tua penulis, bapak tersayang Sabron Salam yang telah berkorban jiwa dan raganya serta tidak mengenal lelah hanya untuk penulis, dan ibunda tersayang Karni Yulias yang telah berkorban nyawanya demi penulis, sehingga penulis bisa seperti saat ini.

Adik penulis Fahril Rahmadaniar serta mas Nanang Junaedi dan kak Agus Sutrisno.

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr.Wb. Syukur alhamdulillah penulis haturkan ke hadirat Allah SWT yang telah melimpahkan Rahmat dan Hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan studi di Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang sekaligus penulisan skripsi ini dengan baik. Selanjutnya penulis haturkan ucapan terima kasih seiring do’a dan harapan jazakumullah ahsanal jaza’ kepada semua pihak yang telah membantu sehingga selesainya skripsi ini. Ucapan terima kasih ini penulis sampaikan kepada: 1.

Prof. Dr. H. Imam Suprayogo, selaku Rektor Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang yang telah banyak memberikan pengetahuan dan pengalaman yang berharga.

2.

Prof. Drs. Sutiman B. Sumitro, SU., DSc, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

3.

Abdussakir, M.Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang.

4.

Evawati Alisah, M.Pd dan Fachrur Rozi, M.Si, selaku dosen pembimbing skripsi, yang telah bersedia meluangkan waktu untuk memberikan bimbingan dan arahan selama penulisan skripsi.

5.

Segenap sivitas akademika Jurusan Matematika, terutama seluruh dosen, terima kasih atas segenap ilmu dan bimbingannya.

6.

Bapak tercinta (Sabron Salam) dan ibunda tercinta (Karni Yulias) yang senantiasa memberikan do’a dan restunya kepada penulis dalam menuntut ilmu.

7.

Adik tercinta (Fahril Rahmadaniar) yang telah menjadikan hidup penulis lebih bermakna.

8.

Kakanda Nanang Junaedi dan Agus Sutrisno yang selalu memberikan semangat untuk menyelesaikan skripsi ini serta dukungan dan do’anya kepada penulis.

9.

Sahabat-sahabat “Isnasib Collection” dan teman senasib seperjuangan mahasiswa Jurusan Matematika 2008, terima kasih atas segala pengalaman berharga dan kenangan terindah saat menuntut ilmu bersama.

10. Semua pihak yang tidak mungkin penulis sebut satu persatu, terima kasih atas keikhlasan bantuan moril dan spirituil yang sudah diberikan pada penulis. Penulis berharap semoga skripsi ini dapat memberikan manfaat kepada para pembaca khususnya bagi penulis secara pribadi. Amin Ya Rabbal Alamin. Wassalamu’alaikum Wr.Wb. Malang, 12 Desember 2012 Penulis

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL HALAMAN PENGAJUAN HALAMAN PENGESAHAN HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN TULISAN MOTTO HALAMAN PERSEMBAHAN KATA PENGANTAR .......................................................................................viii DAFTAR ISI ...................................................................................................... x ABSTRAK ......................................................................................................... xii ABSTRACT .......................................................................................................xiii ‫ الملخص‬..................................................................................................................xiv

BAB I PENDAHULUAN ..............................................................................

1

1.1 Latar Belakang ............................................................................................

1

1.2 Rumusan Masalah .......................................................................................

4

1.3 Batasan Penelitian .......................................................................................

5

1.4 Tujuan Masalah ...........................................................................................

5

1.5 Manfaat Penelitian ......................................................................................

5

1.6 Metode Penelitian........................................................................................

5

1.7 Sistematika Penulisan .................................................................................

6

BAB II KAJIAN PUSTAKA ..........................................................................

8

2.1 Himpunan dan Operasi Biner ......................................................................

8

2.1.1 Himpunan ..........................................................................................

8

2.1.2 Operasi Biner .................................................................................... 10 2.2 Matriks ........................................................................................................ 13 2.2.1 Pengertian Matriks ............................................................................ 13 2.2.2 Operasi Aritmetika Matriks .............................................................. 14 2.3 Grup ............................................................................................................ 16

2.4 Semi-Grup ................................................................................................... 20 2.5 Ring ............................................................................................................. 22 2.6 Semi-Ring ................................................................................................... 27 2.7 Semi-Field. .................................................................................................. 32 2.8 Aljabar Max-Plus. ....................................................................................... 35 2.8.1 Pengertian Aljabar Max-Plus ............................................................ 35 2.8.2 Sifat-Sifat Aljabar Max-Plus ............................................................. 36 2.9 Inspirasi Kajian Aljabar dalam Al-qur’an. .................................................. 41

BAB III PEMBAHASAN ............................................................................... 43 3.1 Aljabar Max-Plus ........................................................................................ 43 3.2 Matriks atas Aljabar Max-Plus.................................................................... 44 3.2.1 Pengertian Matriks atas Aljabar Max-Plus ........................................ 44 3.2.2 Pengoperasian Aljabar Max-Plus pada Matriks ................................. 44 3.2.3 Sifat-Sifat Matriks atas Aljabar Max-Plus ......................................... 46 3.3 Inspirasi Kajian Aljabar Max-Plus dalam Al-Qur’an ................................. 66

BAB IV PENUTUP ......................................................................................... 69 4.1 Kesimpulan ................................................................................................. 69 4.2 Saran ............................................................................................................ 70

DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 71

ABSTRAK Anisianti, Desi Ayu. 2012. Matriks atas Aljabar Max-plus. Skripsi. Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Islam Negeri Maulana Malik Ibrahim Malang. Pembimbing: I. Evawati Alisah, M.Pd II. Fachrur Rozi, M.Si Kata Kunci: Semi-grup, Semi-ring, Aljabar Max-plus. Aljabar max-plus ( ) merupakan salah satu struktur aljabar yang semiring. Notasi menyatakan himpunan semua matriks berukuran dengan entri-entrinya elemen , dimana merupakan himpunan bilangan real. Operasi menyatakan maksimal dan operasi menyatakan penjumlahan, yang didefinisikan sebagai berikut:

(

yaitu

(

)

(

)

( (

)

)

) merupakan semi-ring dengan matriks netral ( ) yang entri-entrinya

dan matriks identitas ( )

{

, sehingga untuk

berlaku sifat-sifat: i. ( ) membentuk semi-grup komutatif idempoten dengan matriks netral ( ), karena memiliki sifat asosiatif, komutatif dan terdapat matriks ( ). ii. ( ) membentuk semi-grup, karena memiliki sifat asosiatif dan terdapat matriks identitas ( ), serta memiliki matriks netral ( ) yang bersifat menyerap terhadap operasi . iii. ( ) membentuk semi-ring idempoten, karena berdasarkan i dan ii operasi bersifat idempoten dan operasi bersifat distributif terhadap operasi . Maka disarankan kepada peneliti selanjutnya untuk membahas tentang aljabar max-plus pada matrik berordo , aljabar max-plus pada fungsi skalar, pada masalah nilai eigen dan vektor eigen, aljabar max-plus pada grap dan aljabar maxplus dalam bentuk pemrograman agar lebih mudah menyelesaikannya

ABSTRACT Anisianti, Desi Ayu. 2012. Matrix on Max-plus Algebra. Thesis. Department of Mathematics, Faculty of Science and Technology, State Islamic University Maulana Malik Ibrahim Malang. Promotor: I. Evawati Alisah, M.Pd II. Fachrur Rozi, M.Si Keywords: Semi-group, Semi-ring, Max-plus Algebra. An max-plus algebra ( ) is one of the algebraic structure of a semi-ring. Notation states the set of all matrix of size n × n with entries element of where R is the set of real numbers. Operation states maximum and operation states addition, which is defined as follows:

(

(

)

(

)

(

(

)

)

) is a semi-ring with neutral matrix ( ) whose entries are

identity matrix is ( )

{

, so that for

and the applicable

the properties: i. ( ) form a commutative idempotent semi-group with neutral matrix ( ), as has the nature of associative, commutative and there is a matrix of ( ). ii. ( ) form a semi-group, because the properties are associative and the identity matrix (E), and has a neutral matrix (ε) which is absorbing the operations . iii. ( ) form a idempotent semi-ring, because based on i and ii are idempotent operations and is distributive operation on operation . Then suggested to the next researchers to discuss max-plus algebra on matrix order . Max-plus algebra on scalar function, the problem eigen values and eigen vectors, max-plus algebra on graph, and max-plus algebra in the form of programming for easy finish.

‫الملخص‬ ‫أٍّسٍاُ تً‪ ،‬دٌسً أٌ٘‪ .2102 .‬اىعنسٍت ٍعٌَ اىعادٌت ىيَصف٘فت عيى اىجبر ٍامس زائذ‪ .‬اىبحث اىعيًَ‪ .‬قسٌ‬ ‫اىرٌاضٍاث بنيٍت اىعيً٘ ٗاىتنْ٘ى٘جٍا جاٍعت اإلسالٍٍت اىحنٍٍ٘ت ٍ٘الّا ٍاىل إبرإٌٍ ٍاالّج‪.‬‬ ‫اىَشرف‪ .0 :‬أٌفاٗاتً أىٍسآ ‪ ،‬اىَاجستٍر‪.‬‬ ‫‪ 2‬فخر اىرازي ‪ ،‬اىَاجستٍر‪.‬‬ ‫اىنيَاث اىرئٍسٍت ‪ّ:‬صف اىَجَ٘عت ‪ٗ ،‬شبٔ اىذائري ‪ ،‬اىجبر ٍامس زائذ‪.‬‬ ‫تْص مو‬ ‫( ًٕ ٗاحذة ٍِ بٍْت جبرٌت ٍِ اىشبٔ اىحيقت‪ .‬اىتذٌِٗ‬ ‫ٗاىجبر ٍامس زائذ )‬ ‫ٍع إدخاالث عْصر ‪ ,‬حٍث ٕ٘ ٍجَ٘عت األعذاد اىحقٍقٍت‪.‬‬ ‫ٍجَ٘عت ٍِ اىَصف٘فاث حجٌ‬ ‫اىذٗه األقصى ٗ عَيٍت اىذٗه باإلضافت إىى رىل‪ ,‬اىزي ٌعرف عيى اىْح٘ اىتاىً‪:‬‬ ‫عَيٍت‬ ‫)‬

‫)‬ ‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫( ٕ٘ خاتٌ شبٔ ٍحاٌذة ٍع ٍصف٘فت ) ( اىزي اإلدخاالث‬ ‫{‬

‫) (‪ ,‬بحٍث إىى‬

‫ٗ ٍصف٘فت اىٌٖ٘ت ًٕ‬

‫تْطبق خصائص‪:‬‬

‫( تشنٍو سَرّذاشٍت تبادىً ٍع ٍحاٌذة ٍصف٘فت ) ( ٗمزىل طبٍعت اىْقابً ‪ ,‬تبادىً ْٕٗاك‬ ‫‪) .i‬‬ ‫ٍصف٘فت ٍِ ) (‪.‬‬ ‫( تشنٍو سَرّذاشٍت ٗ خصائص أحادٌت‪ ,‬ألُ اىخصائص ًٕ اىْقابً ٍٗصف٘فت اىٌٖ٘ت‬ ‫‪) .ii‬‬ ‫ٗ ٍعن٘س اىَصف٘فت إىى عَيٍاث‬ ‫) (‪ٌٗ ,‬حت٘ي عيى ٍصف٘فت ٍحاٌذة ) ( اىتً تست٘عب عَيٍاث‬ ‫‪.‬‬ ‫(ٌشنو ‪ idempotent‬شبٔ اىذائري‪ ،‬ألّٔ فً ظو األٗه ٗاىثاًّ ًٕ عَيٍاث‬ ‫‪) .iii‬‬

‫‪ ٕ٘ ٗ idempotent‬عَيٍت اىت٘زٌع ىعَيٍت ‪.‬‬ ‫ٍصف٘فت‪،‬‬ ‫ٍْتظَت‪.‬ثٌ اقترح ىيباحثٍِ اىَقبو ىَْاقشت اىجبر ٍامس زائذ عيى ٍِ اىَصف٘فاث حجٌ‬ ‫ٍامس زائذ اىجبر عيى اىذاالث اىعذدٌت‪ٍٗ ،‬شنيت اىقٌٍ اىزاتٍت ٗاىَتجٖاث اىزاتٍت‪ٍ ،‬امس زائذ اىجبر ٗاىجبر‬ ‫الىعْب ٍامس زائذ فً شنو ىتسٍٖو اىبرٍجت ّٖاٌت‬

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Seiring dengan berjalannya waktu, manusia selalu melakukan usaha untuk menjadi yang lebih baik secara kontinyu. Usaha untuk merumuskan konsep dan unsur dalam bidang ilmu dunia nyata. Seperti Agama Islam yang telah mengajarkan umatnya untuk bersungguh-sungguh menuntut ilmu, baik ilmu agama maupun ilmu pengetahuan. Seperti pada ayat Al-Qur’an yang memberikan semangat kepada kita untuk menuntut ilmu. Seperti yang dijelaskan pada Q.S. AlMujaadalah ayat 11:

                                 Artinya: Hai orang-orang beriman apabila kamu dikatakan kepadamu: “berlapang-lapanglah dalam majelis”, maka lapangkanlah niscaya Allah akan memberi kelapangan untukmu. Dan apabila dikatakan “berdirilah kamu”, maka berdirilah, niscaya Allah akan meninggikan orang-orang yang beriman diantaramu dan orang-orang yang diberi ilmu pengetahuan beberapa derajat dan Allah Maha mengetahui apa yang kamu kerjakan. Janji Allah dalam ayat di atas tidak menyebutkan secara tegas bahwa Allah akan meninggikan derajat orang yang berilmu namun menegaskan bahwa mereka memiliki derajat-derajat yang lebih tinggi dari orang yang sekadar beriman. Kaum beriman di sini dibagi menjadi dua macam, yaitu orang yang hanya beriman dan beramal sholeh, dan orang yang beriman dan beramal sholeh serta memiliki pengetahuan dan ilmu.

1

2

Dengan pengetahuan dan ilmu seseorang akan mudah menyelesaikan semua urusannya dengan tepat dan akan mengetahui segala sisi kesalahannya. Di sisi lain juga menunjukkan bahwa orang yang berilmu haruslah disertai rasa takut dan kagum kepada Allah, yang akan mendorong tumbuhnya rasa untuk mengamalkan ilmunya serta memanfaatkannya untuk kepentingan manusia. Ilmu yang dimaksud dalam ayat di atas bukan saja ilmu agama, tetapi ilmu apapun yang bermanfaat, termasuk matematika. Matematika merupakan suatu ilmu yang berperan sebagi ilmu pengetahuan pelayan bagi ilmu pengetahuan yang lainnya. Matematika sebagai ilmu eksakta dapat digunakan untuk membantu memecahkan suatu masalah dengan rumus atau perhitungan dan dapat dijadikan sebagai alat untuk menyederhanakan penyajian, sehingga mudah untuk dipahami, dianalisis dan dipecahkan. Seperti yang telah dijelaskan oleh Abdul Aziz (2006), matematika adalah salah satu ilmu pasti yang mengkaji abstraksi ruang, waktu, dan angka. Matematika juga mendeskripsikan realitas alam semesta dalam bahasa lambang, sehingga suatu permasalahan dalam realitas akan lebih mudah dipahami. Konsep dari disiplin ilmu matematika yang ada dalam Al-Qur’an diantaranya adalah bidang aljabar, matematika terapan, logika, analisis, statistik, dan lain-lain. Aljabar merupakan salah satu cabang dari ilmu matematika yang banyak manfaatnya karena teori-teorinya dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Sedangkan cabang dari ilmu aljabar itu sendiri antara lain aljabar abstrak dan aljabar linier (Majid, 2011).

3

Aljabar abstrak adalah bidang matematika yang mengkaji struktur aljabar seperti grup, ring, field, dan modul. Struktur aljabar dengan satu operasi biner di antaranya grup, dan semi-grup. Sedangkan struktur aljabar dengan dua operasi biner di antaranya adalah ring dan field. Selain ring, juga terdapat struktur aljabar dengan dua operasi yaitu semi-ring. Pada dasarnya aljabar abstrak juga membahas tentang himpunan dan operasinya. Sehingga dalam mempelajari materi ini selalu identik dengan sebuah himpunan tidak kosong yang mempunyai elemen-elemen yang dapat dikombinasikan dengan penjumlahan, perkalian, ataupun keduanya atau dapat dioperasikan dengan satu atau lebih operasi biner. Hal tersebut berarti pembahasan-pembahasannya melibatkan objek-objek abstrak yang dinyatakan dalam simbol-simbol (Majid, 2011). Sedangkan aljabar linier adalah bidang matematika yang diantaranya mengkaji tentang vektor, pemetaan linier, dan matriks. Matriks didefinisikan sebagai suatu himpunan bilangan atau fungsi yang tersusun dalam baris dan kolom serta diapit oleh dua kurung siku. Bilangan atau fungsi tersebut dinamakan entri atau elemen dari matriks. Matriks dilambangkan dengan huruf besar sedangkan entri dilambangkan dengan huruf kecil (Imrona, 2009:1). Matriks dibagi menjadi beberapa jenis antara lain matriks bujur sangkar, matriks nul, matriks identitas, matriks simetri, dan lain-lain. Operasi dalam matriks jika penjumlahan maka syaratnya jumlah ordo antara kedua matriks harus sama, sedangkan untuk operasi perkalian banyak kolom pada matriks satu harus sama dengan banyak baris pada matriks lainnya (Imrona, 2009:4).

4

Pada penelitian sebelumnya yaitu penelitian Abdul Majid (2011) menunjukkan bahwa sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian yang berlaku pada himpunan semua bilangan, baik bilangan asli, bilangan bulat, bilangan rasional, bilangan real, maupun bilangan kompleks merupakan suatu kajian yang sering kita jumpai. Sedikit memberi perbedaan definisi operasi penjumlahan dan perkalian pada umumnya, maka dengan operasi dasar aljabar max-plus menggunakan pendefinisian sebagai berikut (Schutter, 1996: 35):

(Rmax, ,

) merupakan semi-ring dengan elemen netral 𝜀 = –∞ dan

elemen satuan e = 0. (Rmax,

,

) disebut semi-ring, semi-ring Rmax merupakan

semi-ring komutatif dan semi-ring idempoten jika operasi

bersifat idempoten,

dan semi-ring komutatif Rmax merupakan semi-field jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi ) merupakan semi-field idempoten.

. Maka, terlihat bahwa (Rmax,

,

= (Rmax, , ) disebut dengan aljabar

max-plus, yang selanjutnya cukup dituliskan dengan Rmax. Berdasarkan uraian di atas, dan sebagai penelitian lanjutan dari penelitian sebelumnya, maka dalam penelitian ini dibahas secara khusus, tentang Matriks atas Aljabar Max-Plus. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang di atas, maka permasalahan yang dapat dirumuskan adalah bagaimana sifat-sifat aljabar max-plus dalam matriks?

5

1.3 Batasan Masalah Batasan masalah dalam penelitian ini adalah membahas matriks yang berordo

yaitu matriks bujur sangkar, dan aljabar max-plus (

).

1.4 Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah di atas, maka tujuan dari penelitian ini adalah untuk mendeskripsikan sifat aljabar max-plus dalam matriks. 1.5 Manfaat Penelitian Hasil penelitian ini diharapkan dapat bermanfaat bagi: 1.

Penulis Menambah pengetahuan dan keilmuan tentang hal-hal yang berkaitan dengan matriks atas aljabar max-plus.

2.

Lembaga Sebagai tambahan pustaka untuk rujukan penelitian dan bahan perkuliahan khususnya tentang materi matriks atas aljabar max-plus.

3.

Pembaca Sebagai bahan pembelajaran dan pengetahuan mengenai matriks atas aljabar max-plus, dan diharapkan dapat menjadi rujukan untuk penelitian yang akan datang.

1.6 Metode Penelitian Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah metode penelitian kepustakaan (library research) atau kajian pustaka, yakni melakukan penelitian untuk memperoleh data-data dan informasi-informasi serta objek yang digunakan dalam pembahasan masalah tersebut. Studi kepustakaan merupakan penampilan

6

argumentasi penalaran keilmuan untuk memaparkan hasil olah pikir mengenai suatu permasalahan atau topik kajian kepustakaan yang dibahas dalam penelitian ini. Adapun langkah-langkah yang akan digunakan oleh peneliti dalam membahas penelitian ini adalah sebagai berikut: 1.

Mempelajari dan memahami konsep operasi biner, semi-grup, semi-ring, matriks, dan aljabar max-plus.

2.

Dimulai dari suatu himpunan tak kosong yang didefinisikan dengan matriks ordo

3.

matriks

Sehingga matriks

dikerjakan dengan sifat-sifat aljabar max-plus. terbukti memenuhi sifat alajabar max-plus yaitu

merupakan semi-ring idempoten. 4.

Jadi dapat dikatakan matriks atas aljabar max-plus.

1.7 Sistematika Penulisan Dalam penulisan penelitian ini perlu dibuat langkah-langkah yang sistematis guna memudahkan dalam memahami makna dari setiap bab yang ada. Secara umum penulisan penelitian ini terdiri dari empat bab: 1. Bab I Pendahuluan Bab ini membahas mengenai latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode penelitian, dan sistematika penulisan. 2. Bab II Kajian Pustaka Bab ini berisikan teori-teori yang mendasari penulisan skripsi ini, atau lebih dikenal dengan kajian teori. Adapun teori-teori yang termuat didalamnya

7

adalah himpunan dan operasi biner, matriks, grup, semi-grup, ring, semi-ring, semi-field, aljabar max-plus, dan inspirasi kajian aljabar dalam Al-Qur’an. 3. Bab III Pembahasan Pada bab ini akan dibahas mengenai definisi aljabar max-plus, bukti-bukti sifat aljabar max-plus terhadap matriks, inspirasi kajian aljabar max-plus dalam AlQur’an. 4. Bab IV Penutup Bab ini berisi tentang kesimpulan dari materi yang telah dibahas pada bab sebelumnya dan berisi saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.

BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Himpunan dan Operasi Biner 2.2.1 Himpunan Istilah himpunan sering dijumpai ketika mempelajari aljabar abstrak. Hal ini dikarenakan himpunan merupakan dasar dari berbagai pembahasanpembahasan mengenai aljabar abstrak. Definisi himpunan dapat dilihat sebagai berikut: Definisi 1 Himpunan adalah kumpulan obyek-obyek yang mempunyai sifat yang sama, obyek-obyek tersebut yang selanjutnya disebut sebagai anggota dari himpunan (Bhattacharya, 1990:3). Obyek yang berada dalam himpunan merupakan anggota himpunan atau elemen atau unsur himpunan. Obyek tersebut dapat berupa benda konkret, seperti meja, kursi, dan lain-lain, atau dapat pula berupa benda abstrak seperti bilangan, fungsi dan yang sejenisnya. Definisi 2 Suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota disebut himpunan kosong dan disimbolkan dengan

atau { } (Sukirman, 2005:1).

Istilah kosong mengacu pada himpunan yang tidak mengandung elemen atau himpunan dengan kardinal 0. Himpunan {{ }} dapat juga ditulis * +, akan tetapi * + bukan himpunan kosong karena * + memuat satu elemen yaitu .

8

9 Contoh: A adalah himpunn semua bilangan genap positif yang kurang dari 10 *

Maka

+

Contoh: Misal * |

+

Maka | | Definisi 3 Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A (Munir, 2009:54). Notasi himpunan bagian Contoh: *

Ambil

+, dan

*

+

Maka Definisi 4 Gabungan dari himpunan A dan B adalah himpunan yang setiap anggotanya merupakan anggota himpunan A atau B, yang dinotasikan + (Munir, 2009:61). Contoh: Misal Maka

*

+ dan *

* +

+

* |

10 Difinisi 5 Misalkan A dan B himpunan. Irisan A dan B, ditulis A ∩ B, adalah himpunan yang memuat semua unsur di A dan B yang dinotasikan dengan A ∩ B = {x| x

A dan x

B} (Raisinghania dan Aggarwal, 1980:4). Contoh: Ambil A = {1,3,5,7,9} dan B = {2,3,5,7} Maka A ∩ B = {3,5,7} 2.1.2 Operasi Biner Definisi 6 Operasi atau komposisi * dalam sebuah himpunan tidak kosong G adalah biner jika dan hanya jika maka

.

Sifat di atas dari operasi di G dikatakan tertutup dan jika sifat ini memenuhi operasi * di G (Raisinghania dan Anggarwal, 1980: 27). Misal (a, b)

S × S maka bayangan dari pasangan terurut (a, b) di S

dibawah pemetaan * ditulis a * b. Dengan kata lain operasi biner * memasangkan setiap a dan b dari himpunan S dengan suatu a * b elemen dari himpunan S. Selanjutnya * dikatakan sebagai operasi biner pada S. Salah satu contoh operasi biner adalah penjumlahan, pengurangan, dan perkalian pada bilangan real R, sebab a, b

R, maka a + b

R, a – b

R, a

b

R. Sedangkan pembagian

bukan opeasi biner pada R karena pembagian dengan nol tak terdefinisi, tetapi pembagian adalah operasi biner pada R − {0}.

11 Definisi 7 Suatu operasi biner * pada suatu himpunan S dikatakan komutatif jika dan hanya jika untuk setiap x, y

S , maka x * y = y * x (Whitelaw, 1995:63).

Contoh: 20

1

3,

, dan + adalah operasi biner

terhadap M, berlaku A + B = B + A 0

Ambil sebarang

1

0

1

Sedemikian hingga

0

1

0

[

1

0

]

[

1

0

1 ]

Definisi 8 Suatu operasi biner setiap x, y, z

pada suatu himpunan S bersifat asosiatif jika dan hanya jika

S berlaku (x y) z = x (y z) (Whitelaw, 1995:62).

Contoh: 20

1

3,

terhadap M, berlaku ( Ambil sebarang


)

[

(

]

berlaku (

0

)

1

0

1

)

(

)

)

(

)

Sedemikian hingga (

12 ([

]

0

[

1)

0

1

[

]

.0

]

0

1

[

]

0

]

[

[

1

0

1/ 1 ]

Definisi 9 Jika ada

sedemikian hingga

berlaku

maka

disebut elemen identitas terhadap * (Sukirman, 2005:35). Contoh: Ambil

0

1

20

1

3,

adalah operasi biner terhadap M, berlaku ( 0

Ambil sebarang

)

(

, dan + )

1

Sedemikian hingga ( 0

)

1

0

[ 0

(

)

1

0

]

[

1

0

1

0

1 ]

1

Definisi 10 Jika

sedemikian hingga

dari a terhadap operasi *. Invers dari a ditulis

maka b disebut invers (Sukirman, 2005:35).

13 Contoh: 20

Terdapat 0

1

3

1

0

1

terhadap M berlaku

dengan + adalah operasi biner 0

,dan

1

Sedemikian hingga

0 [

1 ( (

0

1

) )

( ( 0

0 ) ] )

1

1

0

1

0 0

1 1

2.2 Matriks 2.2.1 Pengertian Matriks Definisi 11 Sebuah matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut dinamakan entri dalam matriks. Sebagai contoh susunan matriks 0

1[

] , - [

]

(Anton,1987:22) Definisi 12 Ukuran matriks bermacam-macam besarnya. Ukuran matriks dijelaskan dengan menyatakan banyaknya baris (garis horisontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut (Anton, 1987:22)

14 0

Sebagai contoh Pada matriks

1

0

1

dijelaskan bahwa matriks yang memiliki baris 2 dan kolom 2,

sedangkan pada matriks

dijelaskan bahwa matriks yang memiliki baris 2 dan

kolom 3 (Imrona, 2009:1). 2.2.2 Operasi Aritmetika Matriks Operasi aritmetika yang biasa dilakukan terhadap matriks adalah operasi penjumlahan dan perkalian dua buah matriks, serta perkalian matriks dengan skalar. 1.

Penjumlahan Dua Matriks Jika

dan

adalah sembarang dua matriks yang ukurangnya sama. Maka

jumlah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang berbeda tidak dapat ditambahkan (Anton, 1987:23) Contoh: Ambil [

dengan ]

[

]

Sedemikian hingga [ 2.

]

[

]

[

]

Perkalian Dua Matriks Dua matriks dapat dikalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua.

15 Contoh: Ambil

0

dengan

1

0

1

Sedemikian hingga 0 [

( (

) ( ) (

1

( ) ) (

0

1

) ( ) (

( ) ) (

0 3.

) ( ) (

) ] )

1

Perkalian Matriks dengan Skalar Jika A adalah suatu matriks dan c adalah suatu skalar, maka hasil kali cA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan masing-masing entri dari A oleh c (Anton, 1987:24) Contoh: Ambil sebarang

[

dengan

]dan skalar c = 3

Sedemikian hingga [

]

[

]

[

]

Sifat-Sifat Operasi Perkalian Matriks 1.

Perkalian matriks tidak komutatif, yaitu

2.

Asosiatif, yaitu

berlaku (

3.

Distributif, yaitu

berlaku ( (

) )

berlaku )

(

(

)

(

)

(

)

(

)

)

16 4.

Perkalian matriks dengan matriks identitas I tidak mengubah matriks, yaitu berlaku (Munir, 2005:102)

2.3 Grup Salah satu struktur aljabar yang paling sederhana adalah grup. Grup didefinisikan sebagai himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan operasi biner yang memenuhi beberapa aksioma, yaitu tertutup, asosiatif, memiliki elemen identitas, dan memiliki elemen invers. Apabila salah satu aksioma tersebut tidak dipenuhi maka bukan grup. Definisi 13 Misalkan G adalah suatu himpunan tak kosong dan pada G didefinisikan operasi biner *. Sistem matematika (G,*) disebut grup jika memenuhi aksioma-aksioma: i. Untuk setiap a, b, c

G maka (a * b) * c = a * (b * c) operasi * bersifat

asosiatif di G ii. G mempunyai unsur identitas terhadap operasi * Misalkan e unsur di G sedemikian hingga a * e = e * a, a

G maka e disebut

unsur identitas. iii. Setiap unsur di G mempunyai invers terhadap operasi * Untuk setiap a a*

=

1980: 31).

G ada a−1

G yang disebut sebagai invers dari a, sehingga

* a = e. e adalah unsur identitas (Raisinghania dan Anggarwal,

17 Contoh: 20

1

3,


terhadap M, memenuhi sifat-sifat grup! Jawab dan + adalah operasi biner, (

Ambil sebarang

) adalah grup

dengan 0

1

[

]

0

1

jika memenuhi i. Biner terhadap operasi + A,B

M, berlaku

Sedemikian hingga 0

1

[

]

[

]

Jadi, M biner terhadap operasi + ii. Memiliki sifat asosiatif terhadap operasi + A,B,C

M, berlaku (

)

(

)

Sedemikian hingga

(0

1

[

[

])

0

1

]

0

1

18 [

]

0

1

0

([

1

]

0

1)

[

]

[

]

Jadi, operasi + bersifat asosiatif di M 0

iii. Memiliki unsur identitas 0

1

1 terhadap operasi +

, sehingga

A

M

1

0

Sedemikian hingga 0

1

0

[

0

Jadi, identitas di M adalah 0

1

0

]

[

1

0

1

]

1

1

iv. Memiliki invers terhadap operasi + ( Dengan

0

)

, berlaku 1

(

)

(

)

19 Sedemikian hingga ( 0

1 ( (

[

)

0

( 1

) )

( (

) 0

) ] )

0

1

1

0

1

0

0

1

1

Jadi, invers dari a adalah −a Dari (i), (ii), (iii) dan (iv) maka (M, +) adalah grup. Definisi 14 Grup (G,*) dikatakan komutatif (abelian) jika untuk setiap unsur a dan b di G berlaku a * b = b * a (Arifin, 2000: 36). Contoh: 20

1

3, ambil sebarang 0

operasi biner terhadap M, dengan

, dan + adalah 1

[

]

adalah grup komutatif Sedemikian hingga

0

1

[

[ Jadi, (M,

) adalah grup komutatif.

]

[

]

[

]

0

1 ]

20 2.4 Semi-Grup Definisi 15 Misalkan S adalah himpunan tidak kosong, S dikatakan semi-grup jika pada S dikenai operasi biner * sedemikian hingga, untuk semua a, b, c

S sehingga (a *

b) * c = a * (b * c) (hukum asosiatif), yang dinotasikan dengan (S, *) adalah semigrup (Kandasamy, 2002:7). Contoh: 20

1

3 dengan + adalah operasi biner terhadap M,

selidiki apakah (

) dengan 0

1

[

]

0

1

merupakan

semi-grup. Jawab dan + adalah operasi biner, (

Ambil sebarang

) adalah

semi-grup, dengan 0

1

[

]

0

1

jika memenuhi sifat-sifat semi-

grup: i. Biner terhadap operasi + , berlaku Sedemikian hingga 0 0

1 [ 1

] [

]

21 [

]

Jadi, operasi + biner di M ii. Memiliki sifat asosiatif terhadap operasi + , berlaku (

)

(

)

Sedemikian hingga (0

1

[

])

[

]

0 0

[ 0

1 ]

1 0

1

([ 1

] [

[

0

1) ] ]

Jadi, operasi + bersifat asosiatif di M Definisi 16 Jika semi-grup (S, *) dikatakan semi-grup komutatif jika memenuhi a * b = b * a untuk semua a, b

S (Kandasamy, 2002: 7).

Contoh: 20

1

3 dengan + adalah operasi biner terhadap M,

selidiki apakah ( 0

1

), ambil sebarang 0

1

dengan

adalah semi-grup komutatif.

22 Sudah dibuktikan bahwa (M, +) adalah semi-grup. Memiliki sifat komutatif terhadap operasi + , berlaku Sedemikian hingga 0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1 1

Jadi, operasi + memiliki sifat komutatif di M. 2.5 Ring Suatu sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan satu operasi biner dinamakan grup. Sistem matematika tersebut belumlah cukup untuk menampung struktur-struktur yang ada dalam matematika. Pada bagian ini dikembangkan suatu sistem matematika yang terdiri dari satu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yang disebut dengan ring. Definisi 17 Suatu ring (

) adalah sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi

biner yaitu * sebagai operasi pertama dan sebagai operasi kedua, yang keduaduanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma berikut: i. (

) adalah grup abelian

a. R tertutup terhadap operasi * x, y

M berlaku (x * y)

M

b. Operasi * bersifat asosiatif di R x, y, z

M berlaku x * (y * z) = (x * y) * z (

)

(

(

))

23 (

c.

Memiliki elemen identitas

)

((

)

(

)

)

terhadap operasi * di R berlaku

(

d.

)

, berlaku x * (−x) = (−x) * x = e

e. Operasi * bersifat komutatif di R x,y

R berlaku x * y = y * x

ii. Operasi bersifat distributif terhadap operasi * di R baik distributif kiri maupun kanan (Dummit dan Foote, 1991:225). iii. Operasi bersifat asosiatif berlaku (

)

(

) (Raisinghania dan Aggarwal,

1980:313) Contoh: 20

1

3, (M, +, ) adalah ring

Ambil sebarang 0

1

, dengan [

]

0

1

Jawab Ambil sebarang 0 i. (

1

dengan [

]

0

1

) adalah grup abelian karena

a) M tertutup terhadap operasi +

memenuhi sifat-sifat ring.

24 x, y

M berlaku (x + y)

M

Sedemikian hingga 0

1

[

]

[

]

b) Operasi + bersifat asosiatif di M x, y, z

M berlaku x + (y + z) = (x + y) + z

Sedemikian hingga 0

1

([

0

1

]

0

1)

[

]

[

]

(0

1

[

])

[

]

0

1

0

1

[ c)

]

adalah elemen identitas terhadap operasi + di M dengan

0

1

Sedemikian hingga x

M berlaku x + e = e + x = x 0

1

0

1

0

1

0

1

25 0 (

d)

1

)

0

1

, berlaku x + (−x) = (−x) + x = e

Sedemikian hingga 0

1 0

. 0 1

1/

0 0

. 0

1/

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

e) Operasi + bersifat komutatif di M x,y

M berlaku x + y = y + x

Sedemikian hingga 0

1

[

[ ii. Operasi

]

0

]

[

1

[

] ]

bersifat asosiatif di M berlaku (x

y)

z=x

(y

z)


1

[

])

[ [

( (

) )

] ( (

0

0

) ) 1

([

( ( ]

1 0

1 ) )

0

1)

( (

) ] )

26 0 ( (

[ iii. Operasi

1

) )

[

]

( (

) )

( (

) )

( (

) ] )

z = (x

z)+ (y

bersifat distributif terhadap + x, y, z M berlaku (x + y)

z)


1

[

])

0

.0

1 1

0

[

[

( (

1/ ]

) )

( (

]

0

1)

[

) ( ) (

x, y, z M berlaku x

([

] ) )

(y + z) = (x

( (

y)+ (x

) ] ) z)

Sedemikian hingga 0

1

(0

1

[

[ [

([ ]) ]

( (

) )

( (

] .0

0

1) 1

0

1/

[ ) ( ) (

] ) )

( (

) ] )

27 2.6 Semi-Ring Definisi 18 Suatu semi-ring (S, +,

) adalah suatu himpunan tak kosong S yang dilengkapi

dengan dua operasi biner yaitu + dan , yang memenuhi aksioma berikut: i.

(S, +) adalah semi-grup komutatif dengan elemen netral c

S, berlaku:

a.

Asosiatif

0, yaitu jika a, b,

berlaku (a + b) + c = a + (b + c) b. Komutatif berlaku a + b = b + a c. Mempunyai elemen netral berlaku a + 0 = 0 + a = a d. Idempoten berlaku a + a = a ii. (S,

) adalah semi-grup dengan elemen satuan 1, yaitu jika a, b, c

berlaku: a. Asosiatif berlaku (a

b)

c=a

(b

b. Mempunyai elemen identitas berlaku a

1=1

a=a

c. Komutatif berlaku (a

b)

(b

a)

c)

S,

28 d.

Elemen netral jika a

0 merupakan elemen penyerap terhadap operasi

S, berlaku: berlaku a

e.

, yaitu

Operasi

0=0

a=0

distributif terhadap operasi +, yaitu a, b, c berlaku (a + b) berlaku a

S, maka:

c = (a

c) + (b

c)

( b + c ) = (a

b) + (a

c) (Rudhito, 2004: 2).

Contoh: 20

1

3,dan operasi + dan operasi

adalah operasi

biner terhadap M. (M, +, ) adalah semi-ring. Ambil sebarang

,

dengan 0

1

0

1

0

dengan elemen netral ( ) 1.

1

0

memenuhi sifat-sifat semi-ring

1 dan elemen identitas

0

(M, +) merupakan semi-grup komutatif dengan elemen netral 0 i.

berlaku (x + y) + z = x + (y + z) Sedemikian hingga .0

1

0

0

1/

0

1

1

0

1

[ 0

] 1

.0

1

0

1/

1

29 0

1

[

]

[

]

Jadi, operasi + bersifat asosiatif di M ii.

berlaku x + y = y + x Sedemikian hingga 0

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1 1

Jadi, operasi + bersifat komutatif di M iii.

berlaku x + e = e + x = x Sedemikian hingga 0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Jadi, operasi + memiliki elemen netral di M iv.

berlaku Sedemikian hingga 0

1

0

1

0

1

Jadi, operasi + bersifat idempoten di M 2. (M, ) merupakan semi-grup dengan elemen identitas i.

berlaku (x

y)

z=x

(y

z)

Sedemikian hingga .0

1

0

1/

0

1

0

1

30 0 [

( (

[

) )

( (

1 ( (

0

1

.0

0

1

[

) )

Jadi, operasi ii.

) )

0

( (

1 ) )

1

( (

0

) ] )

1/ ]

( (

( (

) )

) )

( (

) ] )

bersifat asosiatif di M berlaku x

I=x

Sedemikian hingga 0

1

0

1

0

1

Oleh karena dengan memasukkan entri himpunan matriks, maka

iii.

sehingga operasi

tidak memiliki identitas di M

berlaku (

(

)

)

Sedemikian hingga 0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

[

]

0

1

[

]

31 0

Olek karena

1

[

]

tidak komutatif di M sehingga (

operasi tetapi jika maka (

dengan

)

(

), akan

adalah himpunan bilangan real,

)

(

) sehingga operasi

3. Elemen netral ( )

0

1 bersifat menyerap terhadap operasi

( )

berlaku x

maka

komutatif di M.

( )=( )

x=( )

Sedemikian hingga 0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

4. (M, +, ) bersifat distributif berlaku (x + y)

z = (x

z) + (y

z)

Sedemikian hingga .0

1

0

0

1/

1

0

1

.0

1

0

1

0

0 [

( (

) )

( (

) ) [

( (

( ( ) )

berlaku x

) ) ( (

1/

.0

1

[

( ( ) )

1

0

1/

] ) ] )

( (

(y + z) = (x

) ) y) + (x

( (

) ] ) z)

32 Sedemikian hingga 0

1

.0

1

0

.0 0

1

[

1/ 1

0

( (

.0

1

0

1

0

1/

] 0

[

1/

) )

( (

) ) [

( (

( ( ) )

) ) ( (

1

( ( ) )

) ] ) ( (

) )

( (

) ] )

2.7 Semi-Field Definisi 19 Sebuah semi-field (S, +, operasi + dan i.

) adalah himpunan yang dikenai dengan dua

sedemikian sehingga:

Operasi + asosiatif, komutatif dan memiliki elemen netral 0.

ii. Operasi

membentuk grup abelian dan memiliki elemen identitas 1.

iii. Memiliki sifat distributif

terhadap +.

Sehingga yang dimaksud semi-field adalah i.

Idempoten jika operasi pertama adalah idempoten,

sehingga,

jika

. ii. Komutatif jika grupnya adalah komutatif. (Baccelli, 2001: 101).

33 Contoh: R adalah himpunan semua bilangan real (R, +,

) merupakan semi-field dengan elemen netral

identitas 1, karena untuk setiap x, y, z

0 dan elemen

R dengan

berlaku: 1.

(R, +) merupakan semi-grup komutatif dengan elemen netral 0 i.

berlaku (x + y) + z = x + (y + z) Sedemikian hingga (

)

Jadi, operasi + bersifat asosiatif di R ii.

berlaku x + y = y + x Sedemikian hingga

Jadi, operasi + bersifat komutatif di R iii.

berlaku x + 0 = 0 + x = x Sedemikian hingga

Jadi, operasi + memiliki identitas di R iv.

x+x=x Sedemikian hingga

Jadi, operasi + bersifat idempoten di R

(

)

34 2.

(R, ) merupakan grup abelian dengan elemen identitas 1 i.

berlaku (x

y)

z=x

(y

z)

Sedemikian hingga (

Jadi, operasi ii.

)

(

)

bersifat asosiatif di R

berlaku x

y=y

x

(

)

Sedemikian hingga

Jadi, operasi iii.

(

)

bersifat komutatif di R

berlaku x

1=1

x=x

Sedemikian hingga

Jadi, operasi iv.

, sedemikian hingga x Dengan

Jadi, operasi 3.

memiliki identitas di R =

x=1

maka berlaku

memiliki invers di R

Elemen netral e = 0 bersifat menyerap terhadap operasi berlaku x

0=0

x=0

35 Sedemikian hingga

4.

(R, +, ) bersifat distributif

terhadap +

berlaku (x + y)

z = (x

z) + (y

z)

Sedemikian hingga (

)

(

(

)

(

)

)

(

(

)

)

(y + z) = (x

berlaku x

y) + (x

z)

Sedemikian hingga (

)

(

(

)

(

)

Aljbar max-plus adalah himpunan

*

)

(

(

)

)

2.8 Aljabar Max-Plus 2.8.1 Pengertian Aljabar Max-Plus +, dengan

himpunan semua

bilangan real yang dilengkapi dengan operasi maksimum, dinotasikan dengan dan operasi penjumlahan yang dinotasikan dengan *

+

) dinotasikan dengan

dan *

. Selanjutnya (

+ dinotasikan dengan . Elemen

merupakan elemen netral terhadap operasi

dan 0 merupakan elemen identitas

terhadap operasi

adalah semi-field, yaitu:

1.

(

*

*

+

+

. Struktur aljabar dari

) merupakan semi-grup komutatif dengan elemen netral

36 *

+

2.

(

) merupakan grup komutatif dengan elemen identitas 0

3.

Operasi

4.

Elemen netral bersifat menyerap terhadap operasi

bersifat distributif yaitu (Musthofa, 2011: 2)

2.8.2 Sifat-Sifat Aljabar Max-Plus (Rmax, ,

) merupakan semi-ring dengan elemen netral

satuan e = 0, karena untuk setiap a, b, c i.

Asosiatif terhadap operasi

Rmax berlaku sifat-sifat berikut:

: (

(

)

)

Bukti

(

) ( (

( Jadi,

(

)

ii. Komutatif terhadap operasi

Bukti

(

(

)

(

))

)

(

(

(

) )

) :

= –∞ dan elemen

) )

37 (

)

(

) ... sifat komutatif

Jadi, iii. Terdapat elemen identitas terhadap

:

Bukti

(

) ... sifat perluasan operasi untuk

(


Jadi, iv. Idempoten terhadap operasi

:

Bukti

(

)

Jadi, (Rmax, v.

) membentuk semi-grup komutatif dengan elemen identitas .

Asosiatif terhadap operasi

: (

)

(

)

38 Bukti

(

Jadi,

(

)

vi. Komutatif terhadap operasi

(

)

(

)

(

)

(

)

... sifat asosiatif

) :

Bukti

... sifat komutatif

Jadi, vii. Terdapat elemen identitas terhadap

Bukti

Jadi,

:

39 viii. Invers terhadap operasi

:

terdapat

sehingga

Bukti

Sehingga (

Jadi,

)

ix. Elemen netral bersifat menyerap terhadap operasi

:

Bukti

(

(


)

... sifat perluasan operasi untuk

Jadi, (Rmax,

) membentuk grup abelian dengan elemen identitas e, dan memiliki

elemen netral x.

yang bersifat menyerap terhadap operasi

Distributif operasi

terhadap operasi (

:

) (

.

)

(

)

(

)

(

)

(

)

40 Bukti

(

)

( (

) ... sifat distributif

( Jadi, (

(

)

) )

)

(

(

) )

dan

(

)

(

(

) ... sifat distributif

( Jadi, (Rmax,

,

(

)

(

) )

)

(

(

)

)

) disebut semi-ring, semi-ring Rmax merupakan semi-ring komutatif

dan semi-ring idempoten jika operasi

bersifat idempoten, dan semi-ring

komutatif Rmax merupakan semi-field jika setiap elemen tak netralnya mempunyai invers terhadap operasi field idempoten.

. Maka, terlihat bahwa (Rmax, = (Rmax,

,

) merupakan semi-

, ) disebut dengan aljabar max-plus, yang

selanjutnya cukup dituliskan dengan Rmax (Abdul Majid, 2011:62).

41 2.9 Inspirasi Kajian Aljabar dalam Al-Qur’an Allah berfirman dalam QS. An-Nisa’ : 59 yang berbunyi                                ”Hai orang-orang yang beriman, ta’atilah Allah dan ta’atilah Rasul (Nya), dan ulil amri di antara kamu. Kemudian jika kamu berlainan pendapat tentang sesuatu, maka kembalikanlah ia kepada Allah (Al Qur’an) dan Rasul (sunnahnya), jika kamu benar-benar beriman kepada Allah dan hari kemudian. Yang demikian itu lebih utama (bagimu) dan lebih baik akibatnya.” (An Nisa’ : 59) Dalam penggalan ayat tersebut di atas menjelaskan tentang perlunya mentaati Allah, Rasul dan para pemimpin, selain itu juga apabila terjadi perbedaan pendapat dan tidak menemukan titik temu, maka jalan keluarnya dikembalikan atau bertawakal kepada-Nya, ini merupakan tanda orang yang beriman. Sehingga dengan adanya ayat tersebut, bisa menjadikan kita yakin jika semua masalah pasti ada jalan keluarnya seperti masalah dalam suatu kelompok manusia dalam suatu masyarakat ataupun dalam ilmu matematika khususnya aljabar. Masalah dalam masyarakat dijelaskan dalam QS. Ali-Imron : 104 yang berbunyi

                Dan hendaklah ada di antara kamu segolongan umat yang menyeru kepada kebajikan, menyuruh kepada yang ma'ruf dan mencegah dari yang munkar; merekalah orang-orang yang beruntung. (Ali-Imron:104) Dari ayat di atas kita ketahui bahwa kehidupan manusia tidak bisa lepas dari cara berkelompok dan hidup bermasyarakat. Individu dalam suatu kelompok tersebut saling mempengaruhi individu yang lain. Ayat ini telah menjelaskan pesan akal

42 dalam perintah-perintah dengan amar makruf dan nahi mungkar dan setiap muslim diwajibkan untuk menyerukan kebaikan dan mencegah kemungkaran. Amar makruf dan nahi mungkar dalam tahap ini merupakan fardhu ain yang setiap orang harus melaksanakan sebatas kemampuannya. Dalam ilmu matematika juga terdapat banyak masalah yang bisa diselesaikan, salah satunya sifat dalam aljabar max-plus. Karena suatu himpunan tak kosong dalam aljabar max-plus yang dikenai dua operasi mempunyai beberapa unsur atau kelompok, maka setiap kelompok tersebut juga mempunyai keanekaragaman sifat. Sifat dari unsur yang dikenakan dalam aljabar max-plus saling mempengaruhi, karena unsur dari aljabar max-plus jika diterapkan dalam beberapa sifat akan menghasilkan suatu definisi yang berbeda. Selanjutnya akan dibahas dalam BAB III.

BAB III PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dibahas aljabar max-plus yang entrinya matriks. Mulai dari definisi, teorema, menerapkan sifat-sifat aljabar max-plus terhadap matriks dan contohnya. Meninjau kembali bahwa aljabar max-plus merupakan salah satu stuktur dalam aljabar yaitu semi-field idempoten

(himpunan bilangan real dengan

operasi max dan plus) (Majid, 2011:62). Tujuannya adalah untuk menjelaskan sifat-sifat dari matriks atas aljabar max-plus, sehingga diketahui sifat matriks atas aljabar max-plus. Pada pembahasan ini dibagi dalam 3 bagian utama. Bagian pertama akan mengulang definisi aljabar max-plus, bagian kedua akan membahas tentang sifatsifat matriks atas aljabar max-plus, dan terakhir akan diinspirasikan kajian aljabar max-plus terhadap Al-qur’an. 3.1 Aljabar Max-Plus Aljabar

max-plus

yang

dinotasikan

dengan

merupakan salah satu struktur dalam aljabar yaitu semi-field komutatif idempoten (Baccelli, 2001: 102). Rmax merupakan himpunan himpunan bilangan real, dengan maksimal dan

{ }, dimana R merupakan

= –∞, sedangkan operasi

menyatakan

menyatakan penjumlahan normal bilangan real. dan

43

(Rudhito, 2008:2)

44

3.2 Matriks atas Aljabar Max-Plus Pada bagian ini akan diuraikan beberapa matriks yang dilengkapi dengan dua operasi aljabar max-plus dan memberikan bukti atas sifat-sifat aljabar max-plus. 3.2.1 Pengertian Matriks atas Aljabar Max-Plus Pada BAB II telah ditunjukkan bahwa aljabar max-plus merupakan semi-ring dengan Rmax merupakan himpunan dimana R merupakan himpunan bilangan real, sedangkan operasi

menyatakan maksimal dan

menyatakan penjumlahan. Himpunan dalam aljabar max-plus bisa juga himpunan matriks

.

merupakan himpunan matriks

dengan

operasi aljabar max-plus (Bacelli, 2001:108). Himpunan matriks

untuk

pada

disimpulkan dengan

. Nomor baris dalam sebuah matriks adalah n dan m adalah nomor kolom (Farlow, 2009:11). Definisi 3.1 adalah Suatu himpunan matriks dua operasi yaitu

sebagai maksimum dan

yang dilengkapi dengan sebagai penjumlahan.

3.2.2 Pengoperasian Aljabar Max-plus pada Matriks Aljabar max-plus

merupakan suatu himpunan yang dilengkapi

dengan dua operasi Operasi

dan

sebagai maksimum dan

sebagai penjumlahan.

pada aljabar max-plus dapat diperluas untuk operasi pada

himpunan matriks. Khususnya untuk

dapat didefinisikan sebagai

45

1. Jika ada

dan

(

, maka

[

]

)

[

]

[

]

2. Jika ada

dan

, maka [(

)

(

)

[

]

((

(

[

)(

]

)

(

))

Contoh: *

+, *

* + [

+ *

, maka +

)]

[

] ]

*

+

46

*

+

*

+

[

]

[ Selanjutnya pada

]

*

+

, untuk matriks identitas dinotasikan dengan . Dan

matriks nol dinotasikan dengan , yaitu {

Jadi 1.

, untuk setiap

2.

, untuk setiap

[

Untuk

Dan

[

]

]

[

*

]

+

3.2.3 Sifat-Sifat Matriks atas Aljabar Max-Plus Pada bagian ini akan diperkenalkan aljabar max-plus yang entrinya bilangan real dalam bentuk matriks. Definisi dalam bentuk umum sifat-sifat aljabar max-plus sebagai berikut: Teorema 3.1 Matriks ordo

memenuhi sifat-sifat aljabar max-plus.

Bukti i.

membentuk semi-grup komutatif dengan elemen identitas

47

a.

Asosiatif terhadap operasi berlaku Bukti Ambil sebarang Dengan

[

], untuk

[

], untuk

[

], untuk

[

(

]

)

([

]

[

[

])

]

48

[

]

[

]

[

[

[

]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)]

[

]

[

]

([

( [

) ]

]

[

])

49

Jadi

.

b. Komutatif terhadap operasi berlaku Bukti Ambil sebarang Dengan

[

], untuk

[

], untuk

[

[

]

]

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

50

[

Jadi

]

.

c. Terdapat elemen netral

terhadap operasi berlaku (Mustofa,2001:1)

Bukti Ambil sebarang Dengan

[

], untuk

[

[

[

[

], untuk

]

[

]

]

]

51

[

[

]

]

[

]

[

]

[

[

]

]

Jadi

.

d. Idempoten terhadap operasi berlaku (Musthofa, 2011: 1). Bukti Ambil sebarang Dengan

52

[

], untuk

[

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Jadi

.

Dapat dikatakan bahwa

dengan operasi

membentuk semi-grup

komutatif (abelians) karena memiliki sifat asosiatif, dan komutatif terhadap operasi

. Dengan matriks netral,

[

Sehingga netral

],

disebut juga dengan semi-grup komutatif dengan matriks . Dan bisa juga disebut semi-grup idempoten, karena operasi

bersifat idempoten.

53

ii.

Membentuk semi-grup dengan elemen identitas elemen netral

dan mempunyai

yang bersifat menyerap terhadap operasi

a. Asosiatif terhadap operasi berlaku (Baccelli, 2001: 107). Bukti Ambil sebarang [

]

(

[

] )

((

)

(

[ [

Jadi

]

.

b. Komutatif terhadap operasi berlaku Bukti

)

)

]

54

Ambil sebarang Dengan

[

], untuk

[

], untuk

[

]

[

]

((

)(

Jika misalkan operasi

[

]

)

(

)),

bersifat komutatif, maka , tetapi , karena

[

]

Jadi

.

c. Terdapat elemen identitas jika

dan

terhadap operasi

dengan

jika berlaku (Baccelli, 2001: 107).

55

Bukti

Dengan

[

], untuk

[

], untuk

[

]

[

]

[

]

]

[

[

[

]

]

56

[

]

[

]

[

]

[

]

Jadi d. Elemen netral

bersifat menyerap terhadap operasi berlaku (Baccelli, 2001: 107).

Bukti Ambil sebarang

, dan pilih

Dengan

[

], untuk

[

], untuk

[

]

57

[

[

]

]

*

+

[

]

(

)

(

)

Maka diperoleh *

[

+

]

*

[

]

+

[(

)

(( (

Maka diperoleh

(

[

]

)

)(

(

) )

(

)]

))

58

*

+

Jadi dengan operasi elemen identitas

merupakan semi-grup dengan

, karena

memiliki sifat asosiatif, terdapat

elemen identitas, dan mempunyai elemen netral yang menyerap terhadap operasi

, dan

iii. Distributif operasi

tidak bersifat komutatif. terhadap operasi

a. Distributif kanan berlaku (Baccelli, 2001: 107). Bukti Ambil sebarang [

] [

]

(

((

)

)

(

))

59

(

(

))

( [

]

(

[

))

]

Jadi b. Distributif kiri

(Baccelli, 2001: 107). Bukti

[

]

[

]

((

(

)

(

(

))

))

(

(

))

60

[

]

[

]

Jadi Berdasarkan sifat-sifat di atas, maka karena

membentuk semi-grup komutatif idempoten dengan

elemen netral juga

, mempunyai sifat asosiatif, komutatif dan idempoten, membentuk

semi-grup

mempunyai elemen identitas menyerap terhadap operasi , dan operasi

disebut semi-ring,

yang

bersifat

asosiatif,

dan elemen netral yang bensifat , akan tetapi tidak komutatif pada operasi

mempunyai sifat distributif operasi

terhadap

.

Contoh: Suatu matriks ordo

memenuhi sifat-sifat aljabar

max-plus. Yaitu *

+

i.

dengan *

+,

*

+

berlaku:

membentuk semi-grup komutatif dengan elemen identitas a. Asosiatif terhadap operasi

(*

+

*

+) *

+

* (*

+ +

*

+)

61

[ * *

+

*

[ *

+

*

]

*

+

[

+

*

]

[

+ ] +

*

+ ]

+

Jadi (*

+

*

+) *

*

+ (*

+

*

+

*

+

*

]

[

+

+)

b. Komutatif terhadap operasi

*

+

*

[ *

+

Jadi *

* +

]

+ *

+

*

c. Terdapat elemen netral

*

+

*

+

*

+.

terhadap operasi

*

Dengan

+

+

+

*

*

+

+

,

*

+

62

[

]

[

[

]

] [

*

+

Jadi *

]

* +

+ *

+

*

+

*

+

*

+

d. Idempoten terhadap operasi

*

+

*

+

[

]

* Jadi *

+ +

*

+

*

+

ii. Membentuk semi-grup dengan elemen identitas mempunyai elemen netral

dan

yang bersifat menyerap

terhadap operasi a. Asosiatif terhadap operasi

*

+

(* (*

+

*

+

*

+) +)

*

+

63

*

+

[

] [

*

+

]

*

[

+

*

]

[

+

*

*

+ +

]

*

+

*

+

Jadi *

(*

+

+ (*

*

+)

+

*

+)

*

+

b. Komutatif terhadap operasi *

+

{(

*

+

)

{(

*

* }

)

{

}

{

(

)}

(

)}

+ * * *

Jadi *

+

{

*

(

{

( + +

*

+

+ )}

{

}

)}

{

}

+

+

64

c. Terdapat elemen identitas jika

dengan

*

+

*

+

*

*

+

(

) (

)

(

) (

)

[

+

] +

*

+

*

+

[

]

[ *

Jadi *

] +

+

*

+

d. Elemen netral

*

*

+

*

+

bersifat menyerap terhadap operasi *

Dengan

dan

terhadap operasi

Dengan

*

jika

+

+

*

*

+

+

65

*

((

)(

))

((

)(

))

((

)(

))

((

)(

))

[

] *

*

+

*

+

*

+

+

((

)(

))

((

)(

))

((

)(

))

((

)(

))

[

]

*

+

Jadi *

+

*

iii. Distributif operasi

+

*

+

terhadap operasi

a. Distributif kanan

*

*

+

+

+

(*

+

*

(*

+

*

(*

+

*

(*

+) +) +)

+) ([ ([

]* ]*

*

+

66

[

]

*

+

*

*

+

*

+

+

Jadi *

+

(*

+

*

+)

(*

+

*

(*

+

*

+) +)

b. Distributif kiri

(*

+

*

+) (*

+

+

*

+

*

(* *

*

+

+) *

+ [

[ *

] ]

+

+)

*

+

*

+

[ *

] +

67

Jadi (*

+

*

+) (*

* +

(*

+ *

+)

+

*

+)

3.3 Inspirasi Kajian Aljabar Max-plus dalam Al-qur’an Secara umum konsep dari disiplin ilmu telah dijelaskan dalam Al-qur’an, salah satunya mengenai matematika. Ilmu matematika yang dimaksud antara lain bidang statistik, logika, pemodelan, teori graf, alajabar, dan lain-lain. Kajian mengenai aljabar, khususnya aljabar max-plus yang menjelaskan bahwa suatu himpunan yang dilengkapi dengan dua operasi dan mempunyai beberapa sifat akan memberikan suatu definisi. Seperti aljabar max-plus jika unsur himpunannya adalah bilangan bulat maka aljabar max-plus

bisa dikatakan

sebagai semi-field idempoten yang memenuhi beberapa sifat antara lain membentuk semi-grup komutatif idempoten dengan elemen identitas operasi

, membentuk grup abelian dengan elemen identitas

elemen netral

yang bersifat menyerap pada operasi

distributif operasi

terhadap

pada

dan mempunyai

, dan mempunyai sifat

. Akan tetapi, jika unsur himpunan dari aljabar

max-plus tersebut merupakan matriks maka aljabar max-plus

dikatakan

sebagai semi-ring idempoten yang memenuhi beberapa sifat antara lain membentuk semi-grup komutatif idempoten dengan elemen identitas operasi

, membentuk semi-grup dengan elemen identitas

elemen netral

yang bersifat menyerap pada operasi

pada

dan mempunyai

, dan mempunyai sifat

68

distributif operasi

terhadap

. Perbedaan pada kedua unsur tersebut adalah

jika unsurnya bilangan bulat maka pada operasi

membentuk grup abelian,

sedangkan jika unsurnya matriks maka akan membentuk semi-grup. Perbedaan sifat dari kedua unsur tersebut akan memberikan definisi yang berbeda pula. Berbicara tentang penbedaan sifat dan definisi oleh suatu unsur juga disebutkan dalam Al-qur’an surat Ali-Imron : 104

                Dan hendaklah ada di antara kamu segolongan umat yang menyeru kepada kebajikan, menyuruh kepada yang ma'ruf dan mencegah dari yang munkar; merekalah orang-orang yang beruntung. (Ali-Imron:104) Ayat di atas memberikan penjelasan bahwa segerombolan umat dikatakan sebagai himpunan yang di dalamnya terdapat unsur-unsur, unsur dari segerombolan umat itu adalah manusia atau individu dalam suatu masyarakat yang mana manusia diwajibkan untuk menyeru dalam kebaikan beramal ma’ruf nahi munkar, kewajiban tersebut merupakan suatu syarat agar manusia tersebut mempunyai sebuah definisi yaitu menjadi manusia yang beruntung. Untuk mencapai masyarakat yang beramal ma’ruf nahi munkar, maka harus ada manusia yang bergerak dalam bidang dakwah yang selalu memberikan peringatan kepada orang-orang yang berbuat dosa. Tahapan dalam amal ma’ruf nahi munkar yang dimaksud adalah menunjukkan rasa tidak suka kepada orang yang berbuat dosa, jika dengan menunjukkan rasa tidak suka tersebut orang yang berbuat dosa tidak memahami bahwa yang dilakukan salah, maka dengan diingatkan dengan perkataan, jika dengan perkataan masih tidak mengerti, maka orang yang beramal

69

ma’ruf nahi munkar berhak mengingatkan dengan tindakan kekerasan. Akan tetapi, mengingatkan untuk berbuat baik saja tidak cukup tanpa dibarengi dengan menghilangkan sifat-sifat buruk. Mereka yang memenuhi syarat-syarat perjuangan dalam tahapan itulah orang-orang yang sukses dan beruntung. Begitu juga dalam unsur dari suatu himpunan aljabar max-plus, unsur tersebut diberikan beberapa sifat yang memenuhi beberapa cara, yang mana sifat tersebut bisa memberikan suatu definisi yaitu aljabar max-plus aljabar max-plus (

merupakan semi-field idempoten dan

) merupakan semi-ring idempoten.

BAB IV PENUTUP 4.1. Kesimpulan Berdasarkan bahwa (

penjelasan

pada

pembahasan

dapat

disimpulkan

) merupakan semi-ring idempoten. Dimana

merupakan

himpunan semua matriks persegi dengan entri-entrinya elemen setiap

berlaku sifat-sifat berikut:

i. Asosiatif terhadap operasi

ii. Komutatif terhadap operasi

dan

: (

)

(

)

(

)

(

)

:

iii. Terdapat elemen netral terhadap operasi ( )

dan bersifat menyerap ( )

( )

( )

iv. Terdapat elemen identitas terhadap operasi

( ) v. Idempoten terhadap operasi

vi. Distributif operasi

. Untuk

:

( ) ( )

( )

:

{

:

terhadap operasi (

70

)

(

)

(

)

71 (

)

Berdasarkan sifat-sifat di atas, maka ( (

(

)

(

)

) disebut semi-ring, karena

) membentuk semi-grup komutatif idempoten dengan elemen netral ( ),

mempunyai sifat asosiatif, komutatif dan idempoten, (

) juga membentuk

semi-grup yang bersifat asosiatif, mempunyai elemen identitas ( ) dan elemen netral yang bensifat menyerap terhadap operasi , dan (

pada operasi terhadap operasi

, akan tetapi tidak komutatif

) mempunyai sifat distributif operasi

.

4.2. Saran Pada skripsi ini, penulis hanya memfokuskan pada pokok bahasan sifat aljabar max-plus yang himpunannya berupa bilangan real berbentuk matriks berordo

. Maka disarankan kepada peneliti selanjutnya untuk membahas

tentang aljabar max-plus pada matriks berukuran

, aljabar max-plus pada

fungsi skalar, pada masalah nilai eigen dan vektor eigen, aljabar max-plus pada graph dan aljabar max-plus dalam bentuk pemrograman agar lebih mudah menyelesaikannya.

DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard. 1987. Aljabar Linier Elementer. Bandung: Erlangga Arifin, Achmad. 2000. Aljabar. Bandung: ITB Bandung. Ayres jr, frank.PhD. 1984. Matriks. Bandung: Erlangga Baccelli, Francois., dkk. 2001. Synchronization and Linearity, An Algebra for Discrete Event Systems. Paris: INDRIA. Bhattacharya, P, B, dkk. 1990. Basic Abstract Algebra. New York: Cambridge University Press Farlow, Kasie G. 2009. Max-plus Algebra. Virginia: Faculty of the Virginia Polytechnic Institute and State University. Imrona, Mahmud Drs M.T. 2009. Aljabar Linier Dasar. Jakarta: Erlangga Kandasamy, W. B. Vasantha. 2002. Smarandache Semiring, Semifield, and Semivector spaces. Rehoboth: American Research Press. Majid, abdul. 2011. Aljabar Max-Plus Dan Sifat-Sifatnya. Tugas Akhir. Tidak diterbitkan. Malang. UIN Maulana Malik Ibrahim Munir, Rinaldi. 2005. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Musthofa. 2011. Invers Tergeneralisasi Matriks Atas Aljabar Maxplus. Jurnal. Tidak diterbitkan: Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY. Raisinghania, M, D dan Anggarwal, R, S. 1980. Modern Algebra. New Delhi: Ram Nagar Rudhito, M. Andy. 2004. Semimodul atas Aljabar Max-Plus. Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma. Rudhito M. Andy, Wahyuni Sri, Suparwanto Ari dan Susilo F, Matriks Aljabar Max-Plus Interval. Prosiding seminar nasional mahasiswa S3 Matematika, pp.23-32, UGM Mei 2008 Schutter, B. De. 1996. Max-Algebraic System Theory for Discrete Event System, PhD thesis Departement of Enginering Katholieke Unoversiteit Leuven, Leuven Sukirman. 2005. Pengantar Aljabar Abstrak. Malang: UM Press

72

73

Whitelaw, T, A. 1995. Introduction to Abstract Algebra. New York: Blackle Academic & Professional. http://cahpemalang.wordpress.com/pesantren-virtual/raktualisasi-amar-marufnahi-munkar/ diunduh tanggal 13 Desember 2012 http://users6.nofeehost.com/alquranonline/Alquran_Tafsir.asp?pageno=6&SuratK e=3 diunduh pada tanggal 14 Desember 2012

KEMENTERIAN AGAMA UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI Jl. Gajayana No. 50 Malang 65144 Telp. / Fax. (0341) 558933

Nama NIM Fakultas Jurusan Judul Skripsi Pembimbing I Pembimbing II No.

: : : : : : :

BUKTI KONSULTASI SKRIPSI Desi Ayu Anisianti 08610004 Sains danTeknologi Matematika Matriks Atas Aljabar Max-plus Evawati Alisah, M.Pd Fachrur Rozi, M.Si

Tanggal

Materi

Ttd. Pembimbing

1. 04 April 2012

Konsultasi BAB I

1.

2. 09 April 2012

Konsultasi BAB I, II

2.

3. 28 Mei 2012

Konsultasi BAB I, II

3.

4. 06 Juni 2012

Konsultasi Agama BAB I, II

4.

5. 16 Juni 2012

Konsultasi Agama BAB I, II

5.

6. 18 September 2012

Konsultasi BAB I, II, III


Konsultasi Agama BAB III


Konsultasi BAB III


Konsultasi Agama BAB III

6. 7. 8. 9.

10. 02 Oktober 2012

Konsultasi BAB III, IV

10.

11. 05 Oktober 2012

Konsultasi BAB I, II, III, IV

11.

12. 22 Oktober 2012


12.

13. 23 Oktober 2012


13.

14. 24 Oktober 2012


14.

Malang, 12 desember 2012 Mengetahui, Ketua Jurusan Matematika

Abdussakir, M.Pd NIP. 1975 1006 200312 1 001

MATRIKS ATAS ALJABAR MAX-PLUS SKRIPSI. Oleh: DESI AYU ANISIANTI NIM

Recommend Documents