Materi 2: Matriks dan Operasi Matriks

Materi 2: Matriks dan Operasi Matriks I Nyoman Kusuma Wardana Sistem Komputer STMIK STIKOM Bali

Amatilah contoh jumlah jam yang dihabiskan oleh siswa di sekolah dlm satu minggu berikut:

Jika kita menghilangkan keterangan jenis matapelajaran & hari, maka kita memperoleh angka2 yg terdiri dr 3 baris dan 7 kolom 2 0 4

3 3 1

2 4 1 4 3 1

1 4 3 2 0 0

2 2 2

Kumpulan angka ini yg kita sebut sbg “matriks”

Definisi Matriks  adalah susunan angka-angka yg tersusun secara rektangular Matriks yg terdr hanya satu kolom disebut sbg vektor kolom atau matriks kolom Contoh: matriks berukuran 2 x 1:

2 3

Matriks yg terdr hanya satu baris disebut sbg vektor baris atau matriks baris Contoh: matriks berukuran 1 x 3

2 4 7 Bgmn dgn matriks 1 x 1?

Gunakan huruf kapital utk menunjukkan nama matriks dan huruf biasa utk menunjukkan anggota matriks Setiap anggota matriks dikenal sbg skalar Input matriks A pd baris i dan kolom j disebut sbg aij Misal, matriks umum berukuran 3 x 4 ditulis, sbb:

Scr umum, matriks berukuran m x n ditulis sbb:

Utk notasi yg lebih ringkas: 𝑎𝑖𝑗

𝑚×𝑛

atau

𝑎𝑖𝑗

Inputan dr matriks A pd baris i dan kolom j dapat ditulis sbg (A)ij Contoh:

2 −3 𝐴= 7 0

Maka: (A)11 = 2, (A)12 = -3, (A)21 = 7 dan (A)22 = 0

Utk matriks kolom dan matriks baris, indeks ganda pada elemen matriks tidak diperlukan

Matriks yang sama (equal) Dua matriks dikatakan sama jika matriks tsb memiliki ukuran yg sama & memiliki elemen yg sama pula Misal matriks 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 Jika sama, maka dapat ditulis: 𝑨

𝒊𝒋

= 𝑩

atau ditulis:

𝒂𝒊𝒋 = 𝒃𝒊𝒋

𝒊𝒋

Amati contoh berikut:

Jika x = 5, maka A = B, selain itu maka A ≠ B Tidak ada nilai yg dpt memenuhi A = C, sebab ukuran matriks A dan C berbeda

Penjumlahan & Pengurangan Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 dan 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 memiliki ukuran yg sama, maka: 𝑨+𝑩

𝒊𝒋

= 𝑨

𝒊𝒋

+ 𝑩

𝒊𝒋

= 𝒂𝒊𝒋 + 𝒃𝒊𝒋

𝑨−𝑩

𝒊𝒋

= 𝑨

𝒊𝒋

− 𝑩

𝒊𝒋

= 𝒂𝒊𝒋 − 𝒃𝒊𝒋

dan

Contoh:

Hitunglah A + B, A – B, A+C, B+C dan B-C! Jawab:

A+C, B+C dan B-C tidak didefinisikan

Perkalian Skalar Jika A adalah matriks dan c adalah skalar, maka produk cA adlh matriks yg diperoleh dengan mengalikan setiap anggota matriks A dgn c Jika 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 maka: 𝒄𝑨

𝒊𝒋

=𝒄 𝑨

𝒊𝒋

= 𝒄𝒂𝒊𝒋

Contoh: Jika diketahui

Hitunglah nilai 2A, -1B dan 1/3C:

Perkalian Matriks Amati matriks berikut:

Jika ukuran A adlh 2x3 dan B adlh 3 x 4, maka produk AB berukuran 2 x 4 Maka, utk mencari salah satu anggota, sbb:

Contoh mencari elemen lain:

Berikut sisanya:

Syarat umum agar perkalian matriks berlaku:

Kolom faktor A maka harus sama dgn Baris faktor B

Teorema: Jika A adalah sebuah matriks berukuran mn, dan jika x adalah sebuah vektor kolom n1, maka produk Ax dapat ditulis sebagai kombinasi linier dr vektor kolom A dengan koefisien-koefisiennya merupakan anggota dari x.

Produk Matrik sebagai kombinasi linier Contoh: Amati perkalian matriks sbb:

Dapat dijadikan kombinasi linier, sbb:

Kolom dari Produk AB sbg Kombinasi Linier Contoh: Amati hasil perkalian berikut:

Kemudian amati kolom dr hasil perkalian tsb

Kolom hasil merupakan kombinasi linier, sbb:

Matriks Augmented Amati sistem linier berikut:

Ringkaslah menjadi bentuk matriks, sbb:

Matriks ini dikenal sbg Matriks Augmented

Bentuk matriks dr suatu Sistem Linier Misalnya kita memiliki persamaan sistem linier sebanyak m dgn n variabel tdk diketahui, sbb:

Kita dpt menulis ulang dlm bentuk matriks, sbb:

Tulis ulang sbg produk matriks, sbb:

Bentuk sederhananya dapat ditulis sbg:

𝑨x = b

𝑨x = b Matriks A dlm persamaan ini disebut sbg: Koefisien Matriks dari sistem Matriks Augmanted diperoleh dgn menggandeng b ke A, sbb:

Hanya utk visualisasi saja, tidak memiliki efek secara matematis

Definisi: Jika A adlh matriks m  n , maka transpose dari A ditulis sbg AT, didefinisikan sbg matriks n  m yg mrpkn hasil dari mempertukarkan baris dan kolom dr A, yaitu kolom pertama dr AT adlh baris pertama dr A, kolom kedua dr AT adlh baris kedua dr A, dan demikian seterusnya

Contoh: Amati bbrp matriks berikut:

Transpose dr matriks tsb adlh:

Definisi: Jika A adalah matriks persegi, maka trace dari A ditulis sbg tr(A), dan didefinisikan sbg hasil penjumlahan anggota diagonal matriks A. Jika matriks A tidak persegi (jumlah kolom tidak sama dengan jumlah baris), maka tr(A) tidak didefinisikan

Contoh: Amati matriks berikut:

Trace dr matriks tsb:

Amati bbrp matriks, berikut: 3 0 𝐴 = −1 2 , 1 1 1 5 𝐷 = −1 0 3 2

4 𝐵= 0 2 1 , 4

−1 , 2

6 𝐸 = −1 4

1 𝐶= 3 1 3 1 2 1 3

4 2 1 5

Hitunglah (jika memungkinkan): 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

8)

4E – 2D -3(D + 2E) tr(D - 3E) 4tr(7B) 2AT + C B – BT (CTB)AT tr(CTAT + 2ET)

9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

tr((ECT)T A) (2DT – E)A (4B)C + 2B (-AC)T + 5DT (BAT – 2C)T BT(CCT-ATA) DTET - (ED)T tr (DDT)

MATLAB Workshop

Anton, Howard, 2010, Elementary Linear Algebra: Application version, John Wiley & Sons Kolman,B., Hill, D.R., 2005, Introductory Linear Algebra, Pearson Prentice Hall