MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA

TURUNAN FUNGSI

lim f (x  h)  f (x) h0

h

KELAS : XI IPS SEMESTER : 2 (DUA)

SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 2015 - 2016

Turunan

XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

2

Turunan

TURUNAN FUNGSI PENGANTAR : Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 6.3 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan dengan teliti. 2. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan dengan jujur. 3. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi dengan tekun. 4. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai 5. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama 6. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

3

Turunan

7. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi 8. Mengidentifikasi masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi 9. Merumuskan model matematika dari masalah ekstrim fungsi 10. Menyelesaiakan model matematika dari masalah ekstrim fungsi 11. Menafsirkan solusi dari masalah nilai ekstrim KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar : 1. Pengertian Turunan Fungsi 2. Rumus-rumus Turunan Fungsi 3. Turunan Fungsi Trigonometri 4. Dalil Rantai 5. Garis Singgung 6. Fungsi Naik dan Turun 7. Menggambar grafik fungsi II. Uraian materi dan contoh PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy = df(x) dan di definisikan : dx dx y’ = f’(x) = lim f(x + h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆x) – f(x) h→0 h dx h→0 h Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.

Contoh 1: Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3 XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

4

Turunan

Jawab f(x) = 4x – 3 f( x + h) = 4(x + h) – 3 = 4x + 4h -3 f ( x  h)  f ( x ) Sehingga: f’(x) = lim h0 h (4 x  4h  3)  (4 x  3) = lim h 0 h 4 x  4h  3  4 x  3) = lim h 0 h 4h = lim h 0 h = lim 4 h 0

= 4 Contoh 2; Tentukan turunan dari f(x) = 3x2 Jawab : f(x) = 3x2 f(x + h) = 3 (x + h)2 = 3 (x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 f ( x  h)  f ( x ) Sehingga : f’(x) = lim h 0 h 2 (3x  6 xh  3h 2 )  3x 2 = lim h 0 h 2 6 xh  3h = lim h 0 h = lim 6 x  3 h h 0

= 6x+ 3.0 = 6x XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

5

Turunan

Latihan Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut: 1. f(x) = 6 – 2x 2. f(x) = 5x2 +2x 1 3. f ( x)  2 x 4. f ( x)  x 5. f(x) = 2x3 RUMUS-RUMUS TURUNAN dy = anxn-1 dx 2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. y = v± u → y’ = v’ ± u’ b. y = c.u → y’ = c.u’ c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’ u u ' v  uv' d. y   y '  v v2 e. y = un → y’ = n. un-1.u’

1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau

Contoh: 3 Soal ke-1 Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang mungkin adalah …. Pembahasan f(x) = 3x2 + 4 f1(x) = 3.2x = 6x

Soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)3 + 12x2 – 8x + 4 adalah … XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

6

Turunan

Pembahasan f(x) = 2x3 + 12x2 – 8x + 4 1 f (x) = 2.3x2 + 12.2x – 8 = 6x2 + 24x -8 Soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah … Pembahasan f(x) = (3x-2)(4x+1) f(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2 f(x) = 12x2 – 5x – 2 1 f (x) = 24x – 5 Soal ke- 4 Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah … Pembahasan f(x) = (2x – 1)3 1 f (x) = 3(2x – 1)2 (2) f1(x) = 6(2x – 1)2 f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1) f1(x) = 6(4x2 – 4x+1) f1(x) = 24x2 – 24x + 6 Soal ke- 5 Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah … Pembahasan f(x) = (5x2 – 1)3 1 f (x) = 2(5x2 – 1) (10x) f1(x) = 20x (5x2 – 1) f1(x) = 100x3 – 20x

Soal ke- 6 Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) adalah …


7

Turunan

Pembahasan f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) Cara 1: Misal : U = 3x2 – 6x U1 = 6x – 6 V =x+2 V1 = 1 Sehingga: f’(x) = U’ V + U V’ f1(x) = (6x – 6)(x+2) + (3x2+6x).1 f1(x) = 6x2 + 12x – 6x – 12 + 3x2 – 6x f1(x) = 9x2 – 12 Cara 2: f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x f1(x) = 9x2+12x –12x – 12 f1(x) = 9x2 – 12 Latihan soal. Tentukan turunan dari: 1. f(x) = 2x -3 3 2. f(x) = 5 x 3. f(x) = 4 x 3 2 3

4. f(x) = 4 x  x  x 5. f(x) = (2x + 1) (3x – 2) ( x  2) 2 6. f(x) = x 2

4

7. f(x) = ( x 2  3) 3 8. f(x) =

x 2  5x


8

Turunan

DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x) Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x) du Jika g(x) = u→ g’ (x) = dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) → dx dy = f’(u) = f’(g(x)) du Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi dy dy du  . dx du dx Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka: dy dy du dv  . . dx du dv dx Contoh 5: Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari : a. y = (x – 3x) 2

4 3

Jawab: a. y = (x – 3x) 2

4 3

du = 2x – 3 dx 1 dy 4 3  u → du 3 1 4 = ( x 2  3 x) 3 3

missal : u = x2 – 3x → y=u

3 4

Sehingga :


9

Turunan 1

dy dy du 4 2  . = ( x  3x) 3 .(2x – 3) dx du dx 3 1 8  =   4  x 2  3x 3 x  Latihan soal : 1. Dengan rumus turunan y = f ( g(x)) adalah f’ (x) = f’(g(x) ). g’(x) Tentukan turunan dari:





3

a. y = ( 4x + 5) 2 b. 2. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut : a. y = ( 6 – x 2 )3 b.

GARIS SINGGUNG PADA KURVA 1. Gradien garis singgung Perhatikan gambar di bawah ini Gradien garis AB adalah y  y1 m AB = 2 x 2  x1 f ( a  h)  f ( a ) = ( a  h)  a f ( a  h)  f ( a ) = h y=f(x)


10

Turunan

y

B(a+h),f(a+h) A(a,f(a)

x=a

x=a+h

g

x

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient f ( a  h)  f ( a ) m g  lim h 0 h m g  f ' (a)

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah y – y1 = m (x – x1)

Contoh 6: Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) a. Tentukan gradient garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. Jawab: y = x2 – 3x + 4 y’ = 2x – 3 a. Gradien di titik A (3,4) XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

11

Turunan

m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3 b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1) y – 4 = 3 (x – 3 ) y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5 Latihan soal 1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: a. y = x2 – 6x di titik (-1,7)  1 2) b. y = sin 2x di titik ( , 2 2 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y = x2 – 2x – 3 di titik (3,1) b. y = x -2x2 di titik dengan absis 1 c. y = (2-x)(2x +1) di titik dengan ordinat 8 3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN y

y f(x1)

f(x2)

f(x2)

f(x1)

0

x1

x2

x

0

x1

x2

Gb. 1 gb. 2 1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku : XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

12

Turunan

x2 > x1  f(x2) > f(x1)

(gb. 1)

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku : x2 > x1  f(x2) < f(x1)

(gb. 2)

3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f’ (a) > 0 4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f’ (a) < 0

Contoh 7 : Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun Jawab: f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 f’(x) = 3x2 + 18x + 15 a. Syarat fungsi naik f’(x) > 0 3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0 Harga batas x = -1 , x = -5 Jadi fungsi naik pada interval x < 5 atau x > -1


13

Turunan

b. Syarat fungsi turun f’(x) < 0 3x2 + 18x + 15 < 0 x2 + 6x + 5 < 0 (x+1) (x+5) < 0 Harga batas x = -1 , x = -5 Latiha soal 1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. a. f(x) = x2 – 6x Jadi fungsi1 turun pada interval b. f(x)-5= < xx3<+-14x2 – 20x + 2 3 c. f(x) = (x2 -1) (x+1) 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah turun.


14

Turunan

NILAI STASIONER y A

D B C

0

x=a x=b

x

x=c x=d

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f’(x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

Jenis – jenis nilai stasioner 1. Nilai stasioner di titik A. Pada : x < a diperoleh f’(x) > a x = a diperoleh f’(x) = a x > a diperoleh f’(x) < a +

+

0 a

Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum. 2. Nilai stasioner di titik B dan D. a. Pada : x < b diperoleh f’(x) < 0 x = b diperoleh f’(x) = 0 x > b diperoleh f’(x) < 0 -

0

-

b XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

15

Turunan

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok. b. Pada : x < d diperoleh f’ (x) > 0 x = d diperoleh f’ (x) = d x > d diperoleh f’ (x) > d 0 d

+

+

fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok. 3. Nilai stasioner di titik E Pada : x < e diperoleh f’(x) < 0 x = e diperoleh f’(x) = 0 x > e diperoleh f’(x) > 0

-

0 e

+

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(e) pada x = e dan titik (e,f(e)) disebut titik balik minimum. Contoh 7: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x 2 + 2x


16

Turunan

Jawab : f(x) = x2 + 2x f’(x) = 2x + 2 = 2(x + 1) Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 f(-1) = (-1)2 + 2(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1)

x 2(x+1) f’(x) Bentuk grafik

x=1 -1-

-1 0 0

-1+ + +

Titik balik minimum

Latihan 1. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut : a. f(x) = x2 – 6x b. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x c. f(x) =

1 4 1 2 x  x 4 2

d. f(x) = x4 – 8x2 -9 e. f(x) =

( x  1) 2 x4


17

Turunan

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut : 1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0. 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0. 3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. 4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative. Contoh 8: Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3, tentukan : a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y. b. Nilai stasioner dan titik stasioner. c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative. d. Titik Bantu Jawab: a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. Y = 0 = 3x – x3 ↔ 0 = x (3 – x2) ↔ 0 = x ( 3 - x ) ( 3 + x) Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 ,0), (- 3 ,0) ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x – x3 y = 3.0 - 03 y=0 titik potong sumbu y adalah (0,0) b. Syarat stasioner adalah : f’ (x) = 0 f’ (x) = 3 – 3x2 ↔ 3 (1 - x 2) ↔ 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1 XI IPS Semester 2 Tahun Pelajaran 2015 – 2016

18

Turunan

untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2 nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2 titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2) c. y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x3. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif. d. Titik Bantu x

-2

2

-3

3

…

y

2

-2

18

-18

…

,

y 2 1 -√3

-1 -2


19

Turunan

Soal latihan Gambarlah grafik : 1. y = x2 + 9 2. y = x4 – 2x2 3. y = (x2 – 1)2 4. x3 (8 – x)


20

Turunan Daftar Pustaka Drs. Sumadi dkk. 1966. Matematika SMU 2A. Solo : Tiga Serangkai. Sukino. 2007. Matematika Untuk SMA Kelas XI. Jakarta : Erlangga. Tim Galaksi. 2004. GALAKSI SMU Matematika II A. Klaten : CV.Merpati. Tim Penyusun. 2007. 2007 Soal Pemantapan UN Matematika. Bandung : Yrama Widya.


21

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

Recommend Documents