MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

MATEMATIKA

TURUNAN FUNGSI lim f (x  h)  f (x) h 0 h

KELAS : XI MIA SEMESTER : 2 (DUA)

SMA Santa Angela Bandung Tahun Pelajaran 2016 - 2017

Turunan

XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

2

Turunan

TURUNAN FUNGSI PENGANTAR : Modul ini kami susun sebagai salah satu sumber belajar untuk siswa agar dapat dipelajari dengan lebih mudah. Kami menyajikan materi dalam modul ini berusaha mengacu pada pendekatan kontekstual dengan diharapkan matematika akan makin terasa kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari. STANDAR KOMPETENSI : 6. Menggunakan konsep limit fungsi dan turunan fungsi dalam pemecahan masalah. KOMPETENSI DASAR : 6.1 Menggunakan konsep dan aturan turunan dalam perhitungan turunan fungsi 6.2 Menggunakan turunan untuk menentukan karakteristik suatu fungsi dan memecahkan masalah 6.3 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi 6.4 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ekstrim fungsi dan penafsirannya TUJUAN PEMBELAJARAN : 1. Menghitung limit fungsi yang mengarah ke konsep turunan. 2. Menghitung turunan fungsi yang sederhana dengan menggunakan definisi turunan 3. Menentukan sifat-sifat turunan fungsi 4. Menentukan turunan fungsi aljabar dan trigonometri dengan menggunakan sifat-sifat turunan 5. Menentukan turunan fungsi komposisi dengan aturan Rantai 6. Menentukan fungsi monoton naik dan turun dengan menggunakan konsep turunan pertama XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

3

Turunan

7. Menentukan titik ekstrim grafik fungsi 8. Menentukan persamaan garis singgung dari sebuah fungsi 9. Mengidentifikasi masalah-masalah yang bisa diselesaikan dengan konsep ekstrim fungsi 10. Merumuskan model matematika dari masalah ekstrim fungsi 11. Menyelesaiakan model matematika dari masalah ekstrim fungsi 12. Menafsirkan solusi dari masalah nilai ekstrim KEGIATAN BELAJAR : I. Judul sub kegiatan belajar : 1. Pengertian Turunan Fungsi 2. Rumus-rumus Turunan Fungsi 3. Turunan Fungsi Trigonometri 4. Dalil Rantai 5. Garis Singgung 6. Fungsi Naik dan Turun 7. Menggambar grafik fungsi II. Uraian materi dan contoh PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI Definisi turunan : Fungsi f : x → y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau dy = df(x) dan di definisikan : dx dx y’ = f’(x) = lim f(x + h) – f(x) atau dy = lim f (x +∆x) – f(x) h→0 h dx h→0 h Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.


4

Turunan

Contoh 1: Tentukan turunan dari f(x) = 4x – 3 Jawab f(x) = 4x – 3 f( x + h) = 4(x + h) – 3 = 4x + 4h -3 f ( x  h)  f ( x) Sehingga: f’(x) = lim h0 h (4 x  4h  3)  (4 x  3) = lim h0 h 4 x  4h  3  4 x  3) = lim h0 h 4h = lim h 0 h = lim 4 h0

= 4 Contoh 2; Tentukan turunan dari f(x) = 3x2 Jawab : f(x) = 3x2 f(x + h) = 3 (x + h)2 = 3 (x2 + 2xh + h2) = 3x2 + 6xh + 3h2 f ( x  h)  f ( x) Sehingga : f’(x) = lim h0 h 2 (3x  6 xh  3h 2 )  3x 2 = lim h 0 h 2 6 xh  3h = lim h 0 h = lim 6 x  3 h h 0


5

Turunan

= 6x+ 3.0 = 6x Latihan Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut: 1. f(x) = 6 – 2x 2. f(x) = 5x2 +2x 1 3. f ( x)  2 x 4. f ( x)  x 5. f(x) = 2x3 RUMUS-RUMUS TURUNAN

dy = anxn-1 dx 2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku a. y = v± u → y’ = v’ ± u’ b. y = c.u → y’ = c.u’ c. y = u.v → y’ = u’ v + u.v’ u u' v  uv' d. y   y '  v v2 e. y = un → y’ = n. un-1.u’ 1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau

Contoh: 3 Soal ke-1 Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang mungkin adalah …. Pembahasan f(x) = 3x2 + 4 f1(x) = 3.2x = 6x


6

Turunan

Soal ke-2 Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)3 + 12x2 – 8x + 4 adalah … Pembahasan f(x) = 2x3 + 12x2 – 8x + 4 f1(x) = 2.3x2 + 12.2x – 8 = 6x2 + 24x -8 Soal ke-3 Turunan ke- 1 dari f(x) = (3x-2)(4x+1) adalah … Pembahasan f(x) = (3x-2)(4x+1) f(x) = 12x2 + 3x – 8x – 2 f(x) = 12x2 – 5x – 2 f1(x) = 24x – 5 Soal ke- 4 Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah … Pembahasan f(x) = (2x – 1)3 f1(x) = 3(2x – 1)2 (2) f1(x) = 6(2x – 1)2 f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1) f1(x) = 6(4x2 – 4x+1) f1(x) = 24x2 – 24x + 6 Soal ke- 5 Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah … Pembahasan f(x) = (5x2 – 1)3 f1(x) = 2(5x2 – 1) (10x) f1(x) = 20x (5x2 – 1) f1(x) = 100x3 – 20x


7

Turunan

Soal ke- 6 Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) adalah … Pembahasan f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) Cara 1: Misal : U = 3x2 – 6x U1 = 6x – 6 V =x+2 V1 = 1 Sehingga: f’(x) = U’ V + U V’ f1(x) = (6x – 6)(x+2) + (3x2+6x).1 f1(x) = 6x2 + 12x – 6x – 12 + 3x2 – 6x f1(x) = 9x2 – 12 Cara 2: f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2) f1(x) = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x f1(x) = 9x2+12x –12x – 12 f1(x) = 9x2 – 12 Latihan soal. Tentukan turunan dari: 1. f(x) = 2x -3 3 2. f(x) = 5 x 3. f(x) = 4 x 3 2 3

4. f(x) = 4 x  x  x 5. f(x) = (2x + 1) (3x – 2) ( x  2) 2 6. f(x) = x 2


8

Turunan 4

7. f(x) = ( x 2  3) 3 8. f(x) =

x 2  5x

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari : 1. f(x) = sin x Yaitu : f(x) = sin x f(x + h) = sin (x + h) f ( x  h)  f ( x) f’(x) = lim ho h sin( x  h)  sin( x) = lim h0 h 1 1 2 cos (2 x  h) sin h 2 2 = lim h 0 h 1 sin h 1 2 = lim 2 cos (2 x  h) lim h 0 h 0 2 h 1 1 = 2 cos (2 x). 2 2 = cos x 2. f(x) = cos x Yaitu : f(x) = cos x f(x + h) = cos ( x + h ) f ( x  h)  f ( x) f’(x) = lim ho h


9

Turunan

cos( x  h)  cos( x) h 1 1  2 sin (2 x  h) sin h 2 2 = lim h 0 h = lim

h0

1 sin h 1 2 ) = lim (2 sin (2 x  h) lim h 0 h 0 2 h 1 1 = - 2 sin (2 x). 2 2 = - sin x Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri : 1. a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x b. f(x) = cos x → f’ (x) = - sin x 2. a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b ) b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = - a sin (ax + b ) dan jika u suatu fungsi maka: 3. a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u b. f(x) = cos u → f’(x) = - u’ sin u

Contoh 4: Tentuka turunan dari: a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x b. f(x) = sin (5x – 2) c. f(x) = tan x jawab: a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x f’(x) = 3 cos x - 2 sin x b. f(x) = sin (5x – 2) f’ (x) = 5 cos (5x – 2 ) sin x c. f(x) = tan x = cos x missal : u = sin x → u’ = cos x XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

10

Turunan

v = cos x → v’ = - sin x u' v  uv' f’ (x) = v2 cos x. cos x  sin x.( sin x) = cos 2 x cos 2 x  sin 2 x = cos 2 x 1 = cos 2 x = sec2 x Latihan soal : Tentukan turunan dari fungsi berikut : 1. f(x) = sin x – 3 cos x 2. f(x) = sin 3x 3. f(x) = cos (3x +  ) 1  4. f(x) = tan  x   2 3 5. f(x) = sec x 6. f(x) = sin x. cos x 7. f(x) = cos2x x 8. f(x) = sin 2 x DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x) Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x) du Jika g(x) = u→ g’ (x) = dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) → dx dy = f’(u) = f’(g(x)) du Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

11

Turunan

dy dy du  . dx du dx Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka: dy dy du dv  . . dx du dv dx Contoh 5: Dengan notasi Leibniz tentukam yurunan dari : a. y = (x – 3x) 2

b. y = cos5 (

 3

4 3

 2x )

Jawab: 4

a. y = (x2 – 3x) 3

du = 2x – 3 dx 1 dy 4 3  u → du 3 1 4 2 = ( x  3x) 3 3

missal : u = x2 – 3x → 3

y=u4

Sehingga : 1 dy dy du 4 2  . = ( x  3 x) 3 .(2x – 3) dx du dx 3 1 8  =   4 x 2  3 x 3 x  b. y = cos5 (



3  2x

Misal: v =



3

)

 2x →

dv = -2 dx


12

Turunan

u = cos v → y = u5 →

 du = - sin v = - sin (  2 x ) 3 dv

dy = 5u4 = 5(cos v)4 du

Sehingga : dy dy du dv  = 5(cos v)4 . - sin (  2 x ) . -2  . dx du dv dx 3 = 10 (cos v)4 sin ( = 10 (cos(

 3



3

 2x )

 2 x ) )4 sin (

 3

 2x )

Latihan soal : 1. Dengan rumus turunan y = f ( g(x)) adalah f’ (x) = f’(g(x) ). g’(x) Tentukan turunan dari: 3

a. y = ( 4x + 5) 2

 ) 3 2. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut : a. y = ( 6 – x 2 )3 b. y = cos ( 4x -  )  c. y = sin -3 (2x + ) 3 b. y = sin ( 3x -


13

Turunan

GARIS SINGGUNG PADA KURVA 1. Gradien garis singgung Perhatikan gambar di bawah ini Gradien garis AB adalah y  y1 m AB = 2 x2  x1 f ( a  h)  f ( a ) = ( a  h)  a f (a  h)  f (a) = h y=f(x) y

B((a+h),f(a+h)) A(a,f(a))

x=a

x=a+h

g

x

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient f ( a  h)  f ( a ) m g  lim h 0 h m g  f ' (a)


14

Turunan

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah y – y1 = m (x – x1) Contoh 6: Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4) a. Tentukan gradien garis singgung di titik A. b. Tentukan persamaan garis singgung di titik A. Jawab: y = x2 – 3x + 4 y  = 2x – 3 a. Gradien di titik A (3,4) m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3 b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4) y – y1 = m (x – x1) y – 4 = 3 (x – 3 ) y – 4 = 3x – 9 y = 3x – 5 Latihan soal 1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva: a. y = x2 – 6x di titik (-1,7)  1 b. y = sin 2x di titik ( , 2) 2 2 2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva a. y = x2 – 2x – 3 di titik (3,1) b. y = x -2x2 di titik dengan absis 1 c. y = (2-x)(2x +1) di titik dengan ordinat 2 3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3, tentukan : a. Titik singgung b. persamaan garis singgung XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

15

Turunan

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN y

y f(x1)

f(x2)

f(x2)

f(x1)

0

x1

x2

x

0

x1

x2

Gb. 1 gb. 2 1. Fungsi f(x) disebut fungsi naik pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku : x2 > x1  f(x2) > f(x1)

(gb. 1)

2. Fungsi f(x) disebut fungsi turun pada interval a ≤ x ≤ b, jika untuk setiap x1 dan x2 dalam interval a ≤ x ≤ b berlaku : x2 > x1  f(x2) < f(x1)

(gb. 2)

3. Fungsi f disebut fungsi naik pada titik dengan absis a, jika f  (a) > 0 4. Fungsi f disebut fungsi turun pada titik dengan absis a, jika f  (a) < 0

Contoh 7 : Tentukan pada interval mana fungsi f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 merupakan : a. Fungsi naik b. Fungsi turun XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

16

Turunan

Jawab: f(x) = x3 + 9x2 + 15x + 4 f’(x) = 3x2 + 18x + 15 a. Syarat fungsi naik f  (x) > 0 3x2 + 18x + 15 > 0 x2 + 6x + 5 > 0 (x+1) (x+5) > 0 Harga batas x = -1 , x = -5 -5

-1

Jadi fungsi naik pada interval x < - 5 atau x > -1

b. Syarat fungsi turun f  (x) < 0 3x2 + 18x + 15 < 0 x2 + 6x + 5 < 0 (x+1) (x+5) < 0 Harga batas x = -1 , x = -5

-5

-1

Jadi fungsi naik pada interval -5 < x < -1

Latiha soal 1. Tentukan pada interval mana fungsi berikut merupakan fungsi naik atau fungsi turun. a. f(x) = x2 – 6x 1 b. f(x) = x3 + 4x2 – 20x + 2 3 c. f(x) = (x2 -1) (x+1) 2. Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = x3 – 6x2 + 12x + 6 tidak pernah turun.


17

Turunan

NILAI STASIONER y A

D B C

0

x=a x=b

x

x=c x=d

Perhatikan grafik fungsi y = f(x) disamping Pada titik A,B,C dan D dengan absis berturut-turut x = a, x = b, x = c dan x = d menyebabkan f  (x) = 0 maka f(a), f(b), f(c) dan f(d) merupakan nilai – nilai stasioner.

Jenis – jenis nilai stasioner 1. Nilai stasioner di titik A. Pada : x < a diperoleh f  (x) > a x = a diperoleh f  (x) = a x > a diperoleh f  (x) < a +

0

+

a Fungsi yang mempunyai sifat demikian dikatakan fungsi f(x) mempunyai nilai stasioner maksimum f(a) pada x = a dan titik (a,f(a)) disebut titik balik maksimum.


18

Turunan

2. Nilai stasioner di titik B dan D. a. Pada : x < b diperoleh f  (x) < 0 x = b diperoleh f  (x) = 0 x > b diperoleh f  (x) < 0 -

0 b

-

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(b) pada x = b dan titik (b,f(b)) disebut titik belok. b. Pada : x < d diperoleh f  (x) > 0 x = d diperoleh f  (x) = d x > d diperoleh f  (x) > d 0 d

+

+

fungsi ini mempunyai nilai stasioner belok turun f(d) pada x = dan titik (d,f(d)) disebut titik belok Pada titik B atau D sering hanya disingkat nilai stasioner belok. 3. Nilai stasioner di titik C Pada : x < c diperoleh f  (x) < 0 x = c diperoleh f  (x) = 0 x > c diperoleh f  (x) > 0

-

0 c

+


19

Turunan

Fungsi ini mempunyai nilai stasioner minimum f(c) pada x =c dan titik (c,f(c)) disebut titik balik minimum. Contoh 7: Tentukan titik stasioner dan jenisnya dari fungsi f(x) = x2 +2x Jawab : f(x) = x2 + 2x f  (x) = 2x + 2 = 2(x + 1) Nilai stasioner didapat dari f’(x) = 0 2(x + 1) = 0 x = -1 2 f(-1) = (-1) + 2(-1) = -1 Jadi diperoleh titik stasioner (-1,-1) x f  (x)2 ( x + 1 ) Bentuk grafik

-2 -

-1 0

0 +

Titik balik minimum Dengan menggunakan uji turuna kedua : a. f c   0 , maka f(c) adalah nilai balik maksimum fungsi f b. f c   0 , maka f(c) adalah nilai balik minimum fungsi f c. f c   0 , maka belum dapat disimpulkan, berarti f mungkin mencapai nilai balik maksimum, nilai balik minimum, atau tidak mencapai nilai ekstrim. Dalam kasus ini f c   0 penentuan jenis-jenis nilai stasioner kembali menggunakan uji turuna peprtama. XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

20

Turunan

Latihan 1. Tentukan nilai stasioner dan jenisnya pada fungsi berikut : a. f(x) = x2 – 6x b. f(x) = 2x3 – 9x2 + 12x c. f(x) =

1 4 1 2 x  x 4 2

d. f(x) = x4 – 8x2 -9 e. f(x) =

( x  1) 2 x4

MENGGAMBAR GRAFIK FUNGSI Untuk menggambar grafik fungsi y = f(x) ada beberapa langkah sebagai berikut : 1. Tentukan titik-titik potong grafik dengan sumbu x ( jika mudah ditentukan ), yaitu diperoleh dari y = 0. 2. Tentukan titik potong dengan sumbu y, yaitu diperoleh dari x = 0. 3. tentukan titik-titik stasioner dan jenisnya. 4. tentukan nilai-nilai y untuk nilai x besar positif dan untuk x yang besar negative. Contoh 8: Diketahui persamaan y = f(x) = 3x – x3, tentukan : a. Tentukan titik potong dngan sumbu x dan sumbu y. b. Nilai stasioner dan titik stasioner. c. Nilai y untuk x besar positif dan untuk x besar negative. d. Titik Bantu Jawab: a. i. Grafik memotong sumbu x, bila y = 0. Y = 0 = 3x – x3 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

21

Turunan

↔ 0 = x (3 – x2) ↔0=x( 3 -x)(

3 + x) Titik potong sumbu x adalah (0,0), ( 3 ,0), (- 3 ,0) ii. memotong sumbu y, jika x = 0 y = 3x – x3 y = 3.0 - 03 y=0 titik potong sumbu y adalah (0,0) b. Syarat stasioner adalah : f  (x) = 0 f  (x) = 3 – 3x2 ↔ 3 (1 - x 2) ↔ 3 (1 – x) (1 + x) x = 1, x = -1 untuk x = 1, f(1) = 3(1) – (1)3 = 2 x = -1, f(-1) = 3(-1) – (-1)3 = -2 nilai stasionernya : y = 2 dan y = -2 titik stasioner : (1,2) dan (-1,-2) c. y = 3x – x2 , untuk nilai x besar maka bilangan 3 dapat diabaikan terhadap x, sehingga y = -x3. Jika x besar positif maka y = besar negative dan jika x besar negative maka y besar positif.


22

Turunan

d. Titik Bantu

,

x

-2

2

-3

3

…

y

2

-2

18

-18

…

y 2 1 -√3

-1 -2

Soal latihan Gambarlah grafik : 1. y = x2 + 9 2. y = x4 – 2x2 3. y = (x2 – 1)2 4. x3 (8 – x)


23

Turunan

Materi Pokok : Turunan dan Turunan Berantai 1. Jika f(x) = sin² ( 2x + π/6 ), maka nilai f′(0) = …. a. 2√3 b. 2 c. √3 d. ½√3 e. ½√2 Soal Ujian Nasional tahun 2007 – 2 ) adalah f’(x) =

2. …. a. 2 sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) b. 12x sin² ( 3x² – 2 ) sin ( 6x² – 4 ) c. 12x sin² ( 3x² – 2 ) cos ( 6x² – 4 ) d. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos² ( 3x² – 2 ) e. 24x sin³ ( 3x² – 2 ) cos ( 3x² – 2 ) Soal Ujian Nasional tahun 2006 3. Turunan dari f(x) =

3

cos 2 (3x 2  5 x) adalah f’(x) = ….

1

a.

 3 cos 3 (3 x 2  5 x). sin( 3 x 2  5 x) 2 1

 3 (6 x  5). cos 3 (3 x 2  5 x) b. 2


24

Turunan 1

2 c.  cos 3 (3x 2  5 x). sin( 3x 2  5 x) 3

2 d.  (6 x  5) tan(3x 2  5x) 3 e.

2 (6 x  5) tan(3x 2  5x) 3

3

3

cos 2 (3x 2  5x)

cos 2 (3x 2  5x)

Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 4. Turunan pertama f(x) = cos³ x adalah …. a.

3 f ' ( x)   cos x sin 2 x 2

b.

f ' ( x) 

c.

f ' ( x)  3 sin x cos x

d.

f ' ( x)  3 sin x cos x

e.

f ' ( x)  3 cos 2 x

3 cos x sin 2 x 2

Soal Ujian Nasional tahun 2005

5. Jika f(x) = ( 2x – 1 )² ( x + 2 ), maka f’(x) = …. a. 4 ( 2x – 1 ) ( x + 3 ) b. 2 ( 2x – 1 ) ( 5x + 6 ) c. ( 2x – 1 ) ( 6x + 5 ) d. ( 2x – 1 ) ( 6x + 11 ) XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

25

Turunan

e. ( 2x – 1 ) ( 6x + 7 ) Soal Ujian Nasional tahun 2004 6. Turunan pertama dari fungsi f yang dinyatakan dengan f(x) = a.

b.

c.

d.

e.

3 x 2  5 adalah f ’, maka f’(x) = ….

3x 3x 2  5 3 3x 2  5 6 3x 2  5 x 3x 2  5 6x 3x 2  5

Soal Ujian Nasional tahun 2004 7. Diketahui f(x) =

4 x 2  9 , Jika f’(x) adalah turunan

pertama dari f(x), maka nilai f’(2) = …. a. 0,1 b. 1,6 c. 2,5 d. 5,0 e. 7,0 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

26

Turunan

Soal Ujian Nasional tahun 2003 8. Diketahui f ( x) 

2x  4 1 x

, Nilai f’(4) = ….

a. 1/3 b. 3/7 c. 3/5 d. 1 e. 4 Soal Ujian Nasional tahun 2002 9. Jika f(x) = 1  x 2 , maka a.

b.

c.

d.

e.

d ( f (sin x ))  .... dx

sin x 1  sin 2 x cos x 1  sin 2 x sin x 2 1  sin 2 x sin 2x 1  sin 2 x sin x.cos x 1  sin 2 x

Soal Ujian Nasional tahun 2002 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

27

Turunan

10. Turunan pertama fungsi f9x) = (6x – 3)³ (2x – 1) adalah f’(x). Nilai dari f’(1) = …. a. 18 b. 24 c. 54 d. 162 e. 216 Soal Ujian Nasional tahun 2001 11. Diketahui f(x) = sin³ (3 – 2x). Turunan pertama fungsi f adalah f’(x) = …. a. 6 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) b. 3 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) c. –2 sin² (3 – 2x) cos (3 – 2x) d. –6 sin (3 – 2x) cos (6 – 4x) e. –3 sin² (3 – 2x) sin (6 – 4x) Soal Ujian Nasional tahun 2000


28

Turunan

Materi Pokok : Aplikasi Turunan 12. Perhatikan gambar !

Luas daerah yang diarsir pada gambar akan mencapai maksimum jika koordinat titik M adalah …. a. ( 2,5 ) b. ( 2,5/2 ) c. ( 2,2/5 ) d. ( 5/2,2 ) e. ( 2/5,2 ) Soal Ujian Nasional tahun 2007 13. Persamaan garis singgung kurva y = ³√( 5 + x ) di titik dengan absis 3 adalah …. XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

29

Turunan

a. x – 12y + 21 = 0 b. x – 12y + 23 = 0 c. x – 12y + 27 = 0 d. x – 12y + 34 = 0 e. x – 12y + 38 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 2006 14. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari dengan biaya ( 4x – 160 + 2000/x )ribu rupiah per hari. Biaya minmum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah …. a. Rp. 200.000,00 b. Rp. 400.000,00 c. Rp. 560.000,00 d. Rp. 600.000,00 e. Rp. 800.000,00 Soal Ujian Nasional tahun 2006 15. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam, dengan biaya per jam ( 4x – 800 + 120/x ) ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, maka produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu … jam. a.

40

b. 60 c. 100 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

30

Turunan

d. 120 e. 150 Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004 16. Persamaan gerak suatu partikel dinyatakan dengan rumus s = f(t) =

3t  1 ( s dalam meter dan t dalam detikk ).

Kecepatan partikel tersebut pada saat t = 8 adalah … m/det. a. 3/10 b. 3/5 c. 3/2 d. 3 e. 5 Soal Ujian Nasional tahun 2005 kurikulum 2004

17. Suatu perusahaan memproduksi x buah barang. Setiap barang yang diproduksi memberikan keuntungan ( 225x – x² ) rupiah. Supaya total keuntungan mencapai maksimum, banyak barang yang harus diproduksi adalah …. a. 120 b. 130 c. 140 d. 150 e. 160 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

31

Turunan

Soal Ujian Nasional tahun 2005 18. Persamaan garis inggung pada kurva y = –2x + 6x + 7 yang tegak lurus garis x – 2y + 13 = 0 adalah …. a. 2x + y + 15 = 0 b. 2x + y – 15 = 0 c. 2x – y – 15 = 0 d. 4x – 2y + 29 = 0 e. 4x + 2y + 29 = 0 Soal Ujian Nasional tahun 2004 19. Luas sebuah kotak tanpa tutup yang alasnya persegi adalah 432 cm². Agar volume kotak tersebut mencapai maksimum, maka panjang rusuk persgi adalah … cm. a. 6 b. 8 c. 10 d. 12 e. 16 Soal Ujian Nasional tahun 2004 20. Garis singgung pada kurva y = x² – 4x + 3 di titik ( 1,0 ) adalah …. a. y = x – 1 b. y = –x + 1 c. y = 2x – 2 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

32

Turunan

d. y = –2x + 1 e. y = 3x – 3 Soal Ujian Nasional tahun 2003 21. Grafik fungsi f(x) = x³ + ax² + bx +c hanya turun pada interval –1 < x < 5. Nilai a + b = …. a. – 21 b. – 9 c. 9 d. 21 e. 24 Soal Ujian Nasional tahun 2003

22. Sebuah tabung tanpa tutup bervolume 512 cm³. Luas tabung akan minimum jika jari – jari tabung adalah … cm. a.

8

  3

b. c. d.

43

 16 3

 83



2

2 2

2


33

Turunan

e.

83



3 2

Soal Ujian Nasional tahun 2003 23. Garis l tegak lurus dengan garis x + 3y + 12 = 0 dan menyinggung kurva y = x² – x – 6. Ordinat titik singgung garis l pada kurva tersebut adalah …. a. – 12 b. – 4 c. – 2 d. 2 e. 4 Soal Ujian Nasional tahun 2002 24. Persamaan garis singgung kurva y = x 2 x di titik pada kurva dengan absis 2 adalah …. a. y = 3x – 2 b. y = 3x + 2 c. y = 3x – 1 d. y = –3x + 2 e. y = –3x + 1 Soal Ujian Nasional tahun 2001 25. Fungsi y = 4x³ – 6x² + 2 naik pada interval …. a. x < 0 atau x > 1 b. x > 1 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

34

Turunan

c. x < 1 d. x < 0 e. 0 < x < 1 Soal Ujian Nasional tahun 2001 26. Nilai maksimum fungsi f(x) = x³ + 3x² – 9x dalam interval –3 ≤ x ≤ 2 adalah …. a. 25 b. 27 c. 29 d. 31 e. 33 Soal Ujian Nasional tahun 2001 27. Nilai maksimum dari y  100  x 2 pada interval –6 ≤ x ≤ 8 adalah …. a.

164

b.

136

c. 10 d. 8 e. 6 Soal Ujian Nasional tahun 2000 28. Persamaan garis yang menyinggung kurva f(x) = 2x3- 4x + 3 pada titik yang berabsis -1 adalah .... XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

35

Turunan

a. y = 2x + 3 b. y = 2x + 7 c. y = -2x -3 d. y = -2x -1 e. y = -2x -2 29. Fungsi f yang dirumuskan dengan f(x) = x3 -6x2 + 9x + 2 turun pada interval ... a. -1 < x < 2 b. 0 < x < 2 c. 1 < x < 6 d. 1 < x < 4 e. 1 < x < 3 30. Diketahui fungsi f didefinisikan sebagai f(x) = 2x3 + 2x2 – 12 x – 2. Nilai minimum fungsi f dalam interval 0 ≤ x ≤ 2 adalah … a. – 18 b. – 9 c. 2 d. 11 e. 18 31. Nilai maksimum dari f(x) = 2x3 + 5x2 - 4x dalam interval -3 ≤ x ≤-1 adalah … a. 28 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

36

Turunan

b. 27 c. 19 d. 12 e. 7 32. Turunan pertama dari y = x2 cos2 x adalah … a. 2x cos x( cos x – x sin x ) b. 2x cos 2x + 2x2 cos x – sin x c. 2x ( cos 2x – x sin 2x) d. 2x cos2 x – x2 sin 2x e. 2x ( cos 2x – x sin x ) 33. Persamaan garis singgung kurva y = 5x2 + 2x – 12 pada titik (2, 12) adalah ... a. y = 32 – 22x b. y = 22x – 32 c. y = 22x – 262 d. y = 22x + 262 e. y = 22x + 32 34. Grafik fungsi f(x) = x(6 – x)2 naik dalam interval ... a. 2 < x < 6 b. 6 < x < 2 c. x < 2 atau x > 6 XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

37

Turunan

d. x <

1 atau x > 6 2

e. x <

1 atau x > 2 6

35. Jika f(x) = x4- 7x3 + 2x2 + 15 maka f ’’( 3

1 ) = ... 2

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4 36. Jika k, l, m adalah konstanta serta f(x) = 2k – 5mx maka f ’(l) = ... a. 2k b. 2k – 5ml c. -5ml d. -5m e. l 37. Jika y =

1 1 dy , maka = ... sin x y dx

a. tan x b. cot x c. sin x XI MIA Semester 2 Tahun Pelajaran 2016 – 2017

38

Turunan

d. –cos x e. – sin x 38. Jika f(x) = tan2( 3x – 2 ), maka f’’ = ... a. 36 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec4(3x-2) b. 36 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec2(3x-2) c. 36 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec4(3x-2) d. 18 tan2(3x-2) sec2(3x-2) + 36 sec4(3x-2) e. 18 tan(3x-2) sec2(3x-2) + 18 sec4(3x-2) 39. Jika y = sin3 ( 1-2x ) maka

dy =… dx

a. 3sin2 (1-2x) b. -2cos3 (1-2x) c. -6sin2 (1-2x) d. -6cos2(1-2x) e. -6sin2(1-2x) cos (1-2x)


39

Turunan


40

MATEMATIKA TURUNAN FUNGSI

Recommend Documents