MATEMATIKA TEKNIK II BILANGAN KOMPLEKS
PENDAHULUAN SISTEM BILANGAN KOMPLEKS
REAL
IMAJINER
RASIONAL
IRASIONAL
BULAT
PECAHAN
BULAT NEGATIF
CACAH
0
2
ASLI
ILUSTRASI Carilah akar-akar persamaan π₯ 2 + 4π₯ + 5 = 0
SOLUSI
βπ Β± π 2 β 4ππ π₯1 , π₯2 = 2π
β4 Β± β4 π₯1 , π₯2 = 2
β4 Β± 2 β1 π₯1 , π₯2 = 2
π₯1 = β2 + β1
π₯2 = β2 β β1
3
Akar-akar tersebut adalah akar-akar imajiner dimana β1 = π .
NOTASI o Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk π§ = π₯ + ππ¦ atau π§ = π₯ + π¦π dengan π₯, π¦ adalah bilangan real dan π 2 = β1
o Re(π§) = π₯ dan Im(π§) = π¦ o Himpunan bilangan kompleks dinyatakan dengan β. CONTOH
4
π§ = 4 + 6π
BIDANG KOMPLEKS o Bilangan kompleks dapat digambarkan dalam suatu bidang kompleks. o Sumbu π₯: sumbu real o Sumbu π¦: sumbu imajiner
5
π§ = π₯ + π¦π
OPERASI PADA BILANGAN KOMPLEKS Jika π§1 = π₯1 + ππ¦1 dan π§2 = π₯2 + ππ¦2 maka 1. Penjumlahan π§1 + π§2 = π₯1 + π₯2 + π π¦1 + π¦2 2. Perkalian π§1 π§2 = π₯1 π₯2 β π¦1 π¦2 + π π₯1 π¦2 β π₯2 π¦1
6
3. Pembagian π§1 π₯1 π₯2 + π¦1 π¦2 π₯1 π¦2 β π₯2 π¦1 = βπ 2 2 π§2 π₯2 + π¦2 π₯2 2 + π¦2 2
KONJUGAT DAN MODULUS o Konjugat dari bilangan kompleks π§ = π₯ + ππ¦ adalah
π§ = π₯ + π¦π π§
π§ = π₯ β ππ¦ o Modulus dari bilangan kompleks π§ = π₯ + ππ¦ adalah π₯2 + π¦2
π§ = π₯ β ππ¦
7
π§ = π₯ + π¦π =
HUKUM-HUKUM PADA OPERASI KONJUGAT
2
π§π§ = π
π π§ + πΌπ π§ π§+π§ π
π π§ = 2 π§βπ§ πΌπ π§ = 2π
2
8
π§=π§ π§1 + π§2 = π§1 + π§2 π§1 β π§2 = π§1 β π§2 π§1 π§2 = π§1 π§2 π§1 π§1 = π§2 π§2
HUKUM-HUKUM PADA MODULUS Teorema (sifat β sifat modulus pada bilangan kompleks)
9
π§ β₯ 0, π§ β π§ = 0 βπ§ = π§ , π§ = π§ π
π π§ β€ π
π π§ β€ π§ πΌπ π§ β€ πΌπ π§ β€ π§ π§π§ = π§ 2 π§1 π§2 = π§1 π§2 π§1 π§1 = π§2 π§2
SOAL LATIHAN 1. Tentukan π
π(π§), πΌπ(π§), |π§|, dan konjugat dari π§ untuk 2 β 5π 3 β 14π π. π§ = + 3 + 4π 25π 12 β 5π π. π§ = 1 + π 1 + 2π 1 + 3π
10
2. Buktikan bahwa hasil kali dua bilangan kompleks adalah nol jika dan hanya jika paling sedikit satu diantara kedua bilangan tersebut adalah nol.
BENTUK POLAR o Bilangan kompleks π§ = π₯ + ππ¦ bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter π dan π dengan hubungan sebagai berikut π₯ = π cos π π¦ = π sin π sehingga π§ = π cos π + π π sin π
π : modulus π§ ( π§ )
11
π : argumen π§ (arg π§)
BENTUK POLAR Gambar
π
12
π
BENTUK POLAR o Nilai π dan π dapat dinyatakan dalam bentuk π₯2 + π¦2 π¦ π = arctan π₯ π=
o Sudut π disebut dengan argumen dari π§ dan dinotasikan βarg(π§)β o Argumen dari bilangan π§ tidak tunggal karena cos π dan sinπ adalah fungsi periodik
13
o Jadi arg(π§) = π + 2ππ (π = 0, Β±1, Β±2, β¦ )
CONTOH Nyatakan π§ = β 3 β π dalam bentuk polar
Solusi π = 2 dan
π¦ π₯
= 1/ 3
sehingga tanβ1 (1/ 3) = π/6
14
Karena titik (β 3, β1) terletak pada kuadran 3, maka 7π 7π π§ = 2 cos + π sin 6 6
ARG (Z) Nilai utama argumen dari suatu bilangan kompleks adalah nilai yang lebih besar dari β π tetapi tidak melebihi π. Nilai utama argumen bilangan π§ ditulis βπ΄ππ(π§).β Jadi β π < π΄ππ(π§) β€ π
Contoh Carilah nilai utama argumen dari π§ = π Solusi: π΄ππ(π§) = π/2
Secara umum hubungan antara arg(π§) dengan π΄ππ(π§) adalah
15
arg(π§) = π΄ππ(π§) + 2ππ ; π = 0, Β±1, Β±2, β¦
1.
arg(π§ ) = β arg(π§)
2.
arg π§1 π§2 = arg π§1 + arg(π§2 )
3.
arg π§1 /π§2 = arg π§1 β arg(π§2 )
16
SIFAT β SIFAT ARGUMEN
RUMUS DE MOIVRE Misal π§π = ππ(cos π + π sin π), π = 1, 2, β¦ , π π§1π§2 β¦ π§π = π1π2 β¦ ππ (cos(π1 + β― + ππ) + π sin(π1 + β― + ππ))
Jika π§1 = π§2 = β¦ = π§π = cos π + π sin π maka diperoleh (cos π + π sin π)π = cos(ππ) + π sin(ππ)
17
yang berlaku untuk semua bilangan bulat positif π.
LATIHAN 1.
Hitunglah (1 β π)8
2.
Jika 1 + πΌ 1 + 3π π§= β1 + πΌ
18
Tentukan: a. Bentuk kutub dari π§ b. arg(π§) dan arg(π§) c. Arg(π§) dan Arg(π§)
BENTUK EKSPONENSIAL Formula Euler πππ = exp(ππ) = cos π + π sin π dimana π dalam radian
Dengan menggunakan formula Euler bentuk π§ = π (cos π + π sin π) dapat ditulis dalam bentuk π§ = π πππ
Contoh
19
Tuliskan π§ = β 1 β π dalam bentuk eksponensial.
AKAR BILANGAN KOMPLEKS Jika diberikan bilangan kompleks π€ = π πππ π yang tak nol dan π 1 bilangan bulat positif, maka diperoleh π buah nilai untuk π€ π , yaitu
π€
1
π
= π§π =
π
π cos
π + 2ππ π + 2ππ + π sin π π
20
dengan π = 0, 1, β¦ , (π β 1) atau π bilangan bulat yang berurutan.
CONTOH Tentukan semua nilai untuk akar pangkat 6 dari 1.
Solusi: 1
1
6
= π§π = 1 cos
0 + 2ππ + π sin 6
21
π = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
HIMPUNAN TITIK PADA BIDANG KOMPLEKS Lingkaran Misalkan π§0 = π₯0 + ππ¦0. Karena
z ο z0 ο½
ο¨ x ο x0 ο© ο« ο¨ y ο y0 ο© 2
2
adalah jarak antara titik π§ dengan π§0, titik π§ = π₯ + ππ¦ memenuhi persamaan
z ο z0 ο½ ο² , ο² οΎ 0 z0
ο²
22
terletak pada lingkaran berdiameter ο² dan berpusat di π§0.
CAKRAM DAN KITARAN Himpunan titik yang didefinisikan oleh
z ο z0 ο£ ο² adalah cakram radius ο² dan berpusat di π§0. Tetapi titik π§ yang memenuhi pertidaksamaan
z ο z0 οΌ ο²
23
terletak di dalam, bukan pada, sebuah lingkaran berdiameter ο² dan berpusat di π§0. Himpunan ini disebut kitaran dari π§0.
HIMPUNAN BUKA Titik π§0 disebut titik dalam (interior point) dari himpunan S jika terdapat sekitar (neighborhood) π§0 yang keseluruhannya terletak di dalam S.
24
Jika setiap titik π§ dalam S adalah titik dalam, maka S disebut himpunan buka.
CONTOH a.
βπ§β < 1
b.
1 < βπ§ + 2πβ β€ 2
c.
π/3 β€ arg(π§) β€ π/2 ο latihan
25
Tentukan daerah pada bidang z yang direpresentasikan oleh fungsi berikut
SOLUSI (A) Interior lingkaran berjari β jari 1
y
x
26
1
SOLUSI (B) βπ§ + 2πβ adalah jarak dari π§ ke β 2π βπ§ + 2πβ = 1 ο lingkaran berjari β jari 1, berpusat di β 2π βπ§ + 2πβ = 2 ο lingkaran berjari β jari 2, berpusat di β 2π
2
27
β2i
1
