MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA SMK TEKNIK

LIMIT FUNGSI :  Limit Fungsi  Limit Fungsi Aljabar  Limit Fungsi Trigonometri

MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM

Halaman 1

BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK DAN DI TAK HINGGA 1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik Tersebut Diketahui fungsi f : R → R yang ditentukan oleh f ( x ) = 2x – 1. Jika variabel x diganti dengan 3, maka f (3) = 2⋅3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f ( x ) jika variabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.

Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f ( x ) mendekati 5. Apakah nilai f ( x ) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini.

Dari tabel dapat dilihat bahwa jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai f ( x ) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi f ( x ) = 2 x – 1 mempunyai limit 5 untuk x mendekati 3 dan ditulis “jika f (x ) = 2 x – 1, maka . Grafiknya dapat kamu amati pada gambar di samping. Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat menentukan nilai dari

Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f (2) = yaitu suatu bentuk tak tentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f(x ) mendekati 5. Demikian juga jika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f ( x ) mendekati 5. Oleh karena itu dapat ditulis:

Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut.:


Halaman 2

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas Limit fungsi: Suatu limit f(x) dikatakan mendekati a {f(x)  a} sebagai suatu limit. Bila x mendekati a {x  a} Dinotasikan

Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah …. 1. Subtitusi langsung. 2. Faktorisasi. 3. Mengalikan dengan bilangan sekawan. 4. Membagi dengan variabel pangkat tertinggi. 2. Sifat-Sifat Limit Fungsi Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x → a , a ∈ R maka berlaku:

Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal Diketahui f ( x ) = 2 x – 5 dan g ( x ) = 3 x2 + 4 x . Tentukan:

Penyelesaian :

= 2.3 – 5 + 3 (3)2 + 4.3 = 1 + 15 = 16


= 3(3)2 + 6(3) – 5 = 27 + 18 – 5 = 40.

Halaman 3

Konsep limit fungsi di suatu titik adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi disekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri. Sebagai contoh: Kita tahu bahwa jika kita substitusikan nilai x= 3, maka akan mendapatkan bentuk takterdefinisikan, Akan tetapi jika kita melakukan substitusi nilai x selain 3, kita akan mendapatkan hasilnya. Pada dasarnya limit boleh menghasilkan berapapun, tetapi tidak boleh menghasilkan . 3. Limit Fungsi di Tak Berhingga Diketahui f (x ) = . Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.

Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f ( x ) makin lama makin kecil. Apabila x besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x → ∞ , maka nilai akan mendekati nol, dikatakan limit dari untuk x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis:

Sekarang perhatikan contoh berikut ini. Hitunglah

Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.

Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai

Limit fungsi yang berbentuk

akan mendekati 2. Dikatakan bahwa L =

dapat diselesaikan dengan cara membagi bagia

pembilang f( x ) dan bagian penyebut g (x ) dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f ( x ) atau g (x ) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka:  Jika diketahui limit tak hingga (~) Sebagai berikut:

Maka: 1. R = 0 jika n < m 2. R = jika n = m 3. R = ~ jika n > m


Halaman 4

Contoh :

Karena pangkat tertinggi diatas (pembilang) maka hasilnya adalah 0

Contoh

Karena pangkat paling tinggi sama pembilang dan penyebut maka hasilnya adalah koefisien dari masing-masing variabel =

 Limit Fungsi Bentuk (~ - ~) 1. R = ~ jika a > p 2. R = 0 jika a = p 3. R = -~ jika a < p

Contoh :

Jalur rumus menghasilkan 0 karena a = p Jalur penjabaran :


Halaman 5

1. R = ~ 2. R 

a = p

bq 2 a

3. R = -~

jika a>p jika a=p jika a
Contoh :

Di lihat dari rumus akan menghasilkan

=

Dengan Penjabaran :

=


Halaman 6

UJI KOMPETENSI LIMIT FUNGSI ALJABAR Selesaikan soal di bawah ini dengan cermat

B. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Secara umum bentuk limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut :


Halaman 7

Contoh Tentukan nilai limit dari

Pembahasan

Pembahasan

Pembahasan :

Penyelesaian :

Ingat !!! Sin 2x = 1 – Cos 2x


Halaman 8

UJI KOMPETENSI LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI

3. Tentukan nilai dari limit berikut


Halaman 9

Uji Kompetensi Soal pilihan ganda adalah …..

1. Nilai dari

A. -∞

B.

B. -1

C. 0

B. –

C.

B. -2

C. 0

B. – 1

C. 0

B. -

C. 0

B.

B.

E. ∞

D. 1

E. ∞

D.

E.

C.

D.

E.

C. 0

D.

E..

D. 3

E. 7

adalah …..

9. Nilai dari A. -7

D. 2

adalah …..

8. Nilai dari

A.

E. ∞

adalah …..

7. Nilai dari A.

D.

adalah …..

6. Nilai dari

A. –

E. ∞

adalah …..

5. Nilai dari A. -∞

D. 1

adalah …..

4. Nilai dari A. -∞

E. ∞

adalah …..

3. Nilai dari

A. ∞

D.

adalah…..

2. Nilai dari A. ∞

C. 0

B. -3


C. 0

Halaman 10

10. Jika ,

dan

maka nilai 2a + b adalah ….. A. √5

B. 2√5

C. 3√5

D. 4√5

E. 6

A. -6

B. -5

C. -2

D. 6

E. 5

A. 2

B. 1

C. 0

D. -1

E. -8

A. 7

B. 6

C. 4

D. 3

E. 2

E. ∞

A. -2

B. 0

C. 1

D. ½

A. ∞

B. 5

C. 4

D. 1

E. 0

A. 2

B. 1

C. 0

D. -2

E. ∞

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

A. 12

B. 6


C. 3

D. 2

E. 5

E. 0

Halaman 11

A.

A. 12

B.

C.

D.

B. 6

C. 3

D. 2

B.

C.

A.

A.

A.

B.

B.

C.

D.

D.

C.

D. -

C.

D.

E. -

E. 0

E.

E.

E. -

E. -

A.

B.

A.

B.

C.

D.

E. 0

A.

B.

C.

D.

E. 0

A.

B.

C.

D.

E. 0


Halaman 12

A.

B.

C. -

D.-

E. .-

A.

B.

C. 4

D. 10

E. ∞

A.

B.

C.

D.

E. ∞

A.

B.

C.

D.

E. ∞

A.

B.

C.

D.

E. ∞

A.

B.

C.

D.

E. 5

A.

B.

C.


D.

E. -

Halaman 13


Halaman 14

MATEMATIKA SMK TEKNIK LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri

Recommend Documents