MATEMATIKA SMK TEKNIK
LIMIT FUNGSI : Limit Fungsi Limit Fungsi Aljabar Limit Fungsi Trigonometri
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 1
BAB LIMIT FUNGSI A. Limit Fungsi Aljabar PENGERTIAN LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK DAN DI TAK HINGGA 1. Limit Fungsi di Satu Titik Melalui Perhitungan Nilai-Nilai di Sekitar Titik Tersebut Diketahui fungsi f : R → R yang ditentukan oleh f ( x ) = 2x – 1. Jika variabel x diganti dengan 3, maka f (3) = 2⋅3 – 1 = 5. Berapakah nilai yang akan didekati f ( x ) jika variabel x mendekati 3? Untuk menjawab persoalan ini diperlukan tabel sebagai berikut.
Dari tabel dapat dilihat jika x mendekati 3 dari pihak kurang dari 3, maka nilai f ( x ) mendekati 5. Apakah nilai f ( x ) akan mendekati 5 jika x lebih besar dari 3? Untuk menjawabnya kita lihat tabel berikut ini.
Dari tabel dapat dilihat bahwa jika x mendekati 3 dari pihak lebih dari 3 maka nilai f ( x ) mendekati 5, sehingga dikatakan bahwa fungsi f ( x ) = 2 x – 1 mempunyai limit 5 untuk x mendekati 3 dan ditulis “jika f (x ) = 2 x – 1, maka . Grafiknya dapat kamu amati pada gambar di samping. Dari penjelasan di atas, kamu juga dapat menentukan nilai dari
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka f (2) = yaitu suatu bentuk tak tentu, tetapi jika x mendekati 2 dari arah kiri maka nilai f(x ) mendekati 5. Demikian juga jika x mendekati 2 dari arah kanan maka nilai f ( x ) mendekati 5. Oleh karena itu dapat ditulis:
Dari uraian di atas, secara intuitif limit dapat didefinisikan sebagai berikut.:
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 2
LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas Limit fungsi: Suatu limit f(x) dikatakan mendekati a {f(x) a} sebagai suatu limit. Bila x mendekati a {x a} Dinotasikan
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah …. 1. Subtitusi langsung. 2. Faktorisasi. 3. Mengalikan dengan bilangan sekawan. 4. Membagi dengan variabel pangkat tertinggi. 2. Sifat-Sifat Limit Fungsi Apabila k suatu konstanta, f dan g merupakan fungsi-fungsi yang mempunyai limit untuk x → a , a ∈ R maka berlaku:
Untuk lebih memahami tentang sifat-sifat limit fungsi, pelajarilah contoh soal berikut. Contoh soal Diketahui f ( x ) = 2 x – 5 dan g ( x ) = 3 x2 + 4 x . Tentukan:
Penyelesaian :
= 2.3 – 5 + 3 (3)2 + 4.3 = 1 + 15 = 16
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
= 3(3)2 + 6(3) – 5 = 27 + 18 – 5 = 40.
Halaman 3
Konsep limit fungsi di suatu titik adalah melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-nilai fungsi disekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri. Sebagai contoh: Kita tahu bahwa jika kita substitusikan nilai x= 3, maka akan mendapatkan bentuk takterdefinisikan, Akan tetapi jika kita melakukan substitusi nilai x selain 3, kita akan mendapatkan hasilnya. Pada dasarnya limit boleh menghasilkan berapapun, tetapi tidak boleh menghasilkan . 3. Limit Fungsi di Tak Berhingga Diketahui f (x ) = . Jika dibuat tabel untuk x bilangan sebagai berikut.
Apabila nilai x makin besar, ternyata nilai f ( x ) makin lama makin kecil. Apabila x besar sekali atau x mendekati tak berhingga, ditulis x → ∞ , maka nilai akan mendekati nol, dikatakan limit dari untuk x mendekati tak berhingga adalah nol dan ditulis:
Sekarang perhatikan contoh berikut ini. Hitunglah
Untuk menjawab limit tersebut, dapat dicoba dengan tabel berikut ini.
Apabila x menjadi semakin besar, maka nilai
Limit fungsi yang berbentuk
akan mendekati 2. Dikatakan bahwa L =
dapat diselesaikan dengan cara membagi bagia
pembilang f( x ) dan bagian penyebut g (x ) dengan xn, n adalah pangkat tertinggi dari f ( x ) atau g (x ) untuk setiap n bilangan positip dan a bilangan real, maka: Jika diketahui limit tak hingga (~) Sebagai berikut:
Maka: 1. R = 0 jika n < m 2. R = jika n = m 3. R = ~ jika n > m
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 4
Contoh :
Karena pangkat tertinggi diatas (pembilang) maka hasilnya adalah 0
Contoh
Karena pangkat paling tinggi sama pembilang dan penyebut maka hasilnya adalah koefisien dari masing-masing variabel =
Limit Fungsi Bentuk (~ - ~) 1. R = ~ jika a > p 2. R = 0 jika a = p 3. R = -~ jika a < p
Contoh :
Jalur rumus menghasilkan 0 karena a = p Jalur penjabaran :
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 5
1. R = ~ 2. R
a = p
bq 2 a
3. R = -~
jika a>p jika a=p jika a
Contoh :
Di lihat dari rumus akan menghasilkan
=
Dengan Penjabaran :
=
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 6
UJI KOMPETENSI LIMIT FUNGSI ALJABAR Selesaikan soal di bawah ini dengan cermat
B. LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Secara umum bentuk limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut :
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 7
Contoh Tentukan nilai limit dari
Pembahasan
Pembahasan
Pembahasan :
Penyelesaian :
Ingat !!! Sin 2x = 1 – Cos 2x
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 8
UJI KOMPETENSI LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
3. Tentukan nilai dari limit berikut
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 9
Uji Kompetensi Soal pilihan ganda adalah …..
1. Nilai dari
A. -∞
B.
B. -1
C. 0
B. –
C.
B. -2
C. 0
B. – 1
C. 0
B. -
C. 0
B.
B.
E. ∞
D. 1
E. ∞
D.
E.
C.
D.
E.
C. 0
D.
E..
D. 3
E. 7
adalah …..
9. Nilai dari A. -7
D. 2
adalah …..
8. Nilai dari
A.
E. ∞
adalah …..
7. Nilai dari A.
D.
adalah …..
6. Nilai dari
A. –
E. ∞
adalah …..
5. Nilai dari A. -∞
D. 1
adalah …..
4. Nilai dari A. -∞
E. ∞
adalah …..
3. Nilai dari
A. ∞
D.
adalah…..
2. Nilai dari A. ∞
C. 0
B. -3
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
C. 0
Halaman 10
10. Jika ,
dan
maka nilai 2a + b adalah ….. A. √5
B. 2√5
C. 3√5
D. 4√5
E. 6
A. -6
B. -5
C. -2
D. 6
E. 5
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
E. -8
A. 7
B. 6
C. 4
D. 3
E. 2
E. ∞
A. -2
B. 0
C. 1
D. ½
A. ∞
B. 5
C. 4
D. 1
E. 0
A. 2
B. 1
C. 0
D. -2
E. ∞
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
A. 12
B. 6
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
C. 3
D. 2
E. 5
E. 0
Halaman 11
A.
A. 12
B.
C.
D.
B. 6
C. 3
D. 2
B.
C.
A.
A.
A.
B.
B.
C.
D.
D.
C.
D. -
C.
D.
E. -
E. 0
E.
E.
E. -
E. -
A.
B.
A.
B.
C.
D.
E. 0
A.
B.
C.
D.
E. 0
A.
B.
C.
D.
E. 0
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 12
A.
B.
C. -
D.-
E. .-
A.
B.
C. 4
D. 10
E. ∞
A.
B.
C.
D.
E. ∞
A.
B.
C.
D.
E. ∞
A.
B.
C.
D.
E. ∞
A.
B.
C.
D.
E. 5
A.
B.
C.
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
D.
E. -
Halaman 13
MATEMATIKA LIMIT FUNGSI SMK NEGERI 1 SURABAYA BY : Drs. Abd. Salam, MM
Halaman 14