Smart Solution
UJIAN NASIONAL TAHUN PELAJARAN 2012/2013 Disusun Sesuai Indikator Kisi-Kisi UN 2013
Matematika SMA (Program Studi IPA)
Disusun oleh :
Pak Anang
SKL 5. Memahami konsep limit, turunan dan integral dari fungsi aljabar dan fungsi trigonometri, serta mampu menerapkannya dalam pemecahan masalah. 5. 1.
Menghitung nilai limit fungsi aljabar dan fungsi trigonometri.
Limit Aljabar Bentuk Umum
lim ๐(๐ฅ)
๐ฅโ๐
Limit ๐ฅ โ ๐
Limit ๐ฅ โ โ ๐ ๐
โJika ๐(๐) terdefinisiโ
โJika ๐(๐) = โ
lim ๐(๐ฅ) = ๐(๐)
๐(๐ฅ) diubah sehingga 0 pembuat nilai hilang.
๐ฅโ๐
๐ โ
โ itu mendekati nolโ lim
๐ฅโโ
0
1 =0 ๐ฅ๐
Pemfaktoran
Dikali Sekawan Akar
Dibagi Variabel Pangkat Tertinggi
(๐ฅ โ ๐)๐(๐ฅ) ๐(๐ฅ) = lim ๐ฅโ๐ ๐(๐ฅ) ๐ฅโ๐ (๐ฅ โ ๐)๐(๐ฅ)
โ2๐ฅ โ 2 ๐ฅโ2 2๐ฅ โ 4
3๐ฅ 2 โ 2๐ฅ + 4 ๐ฅโโ 5๐ฅ 2 + 9๐ฅ โ 3
Sehingga hilanglah pembuat (๐ฅโ๐) 0 nilai , yaitu (๐ฅโ๐)
Bentuk limit tersebut memuat bentuk akar yaitu โ2๐ฅ โ 2, yang bentuk sekawannya โ2๐ฅ + 2.
Nilai limit di atas adalah bentuk tak tentu , โ bagilah semua suku pembilang dan penyebut dengan variabel pangkat tertinggi, yaitu ๐ฅ 2 ,
โ2๐ฅ โ 2 โ2๐ฅ + 2 ร ๐ฅโ2 2๐ฅ โ 4 โ2๐ฅ + 2 (2๐ฅ โ 4) โ lim ๐ฅโ2 (2๐ฅ โ 4)(โ2๐ฅ + 4)
3๐ฅ2 2๐ฅ 4 2 โ 2 + ๐ฅ2 โ lim ๐ฅ 2 ๐ฅ ๐ฅโโ 5๐ฅ 9๐ฅ 3 + 2โ 2 ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ
lim
0
๐(๐ฅ) ๐ฅโ๐ ๐(๐ฅ) ๐(๐) โ ๐(๐) โ lim
lim
lim
โ
โ lim
โ lim
3โ0+0 +0โ0
๐ฅโ2 5
Sehingga hilanglah pembuat 0 2๐ฅโ4 nilai , yaitu 0
โ
2๐ฅโ4
Dikali Sekawan Akar
Aturan LโHรดpital
lim โ2๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 1 โ โ2๐ฅ 2 โ ๐ฅ + 5
โDiturunkanโ ๐(๐ฅ) ๐โฒ(๐ฅ) lim = lim ๐ฅโ๐ ๐(๐ฅ) ๐ฅโ๐ ๐โฒ(๐ฅ)
3 5
๐ฅโโ
Nilai limit adalah bentuk tak tentu โ โ โ, kalikan dengan bentuk sekawan akar. lim โ2๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 1 โ โ2๐ฅ 2 โ ๐ฅ + 5 ร
๐ฅโโ
โ2๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 1 + โ2๐ฅ 2 โ ๐ฅ + 5 โ2๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 1 + โ2๐ฅ 2 โ ๐ฅ + 5
Setelah itu lanjutkan dengan membagi variabel pangkat tertinggi.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 187
Limit Trigonometri Sinus dan Tangen
Kosinus โJahatโ
โCoret Sintaโ
โHapus Kosinusโ
sin ๐ฅ ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅโ0 sin ๐ฅ lim
1 =1 ๐ฅโ0 cos ๐ฅ
lim cos ๐ฅ = lim
๐ฅโ0
tan ๐ฅ ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐ฅ lim
lim cos ๐๐ฅ = lim
๐ฅโ0
1
๐ฅโ0 cos ๐๐ฅ
=1
sin ๐ฅ tan ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 tan ๐ฅ ๐ฅโ0 sin ๐ฅ lim
sin ๐ฅ tan ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 sin ๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐ฅ lim
Kosinus โBaikโ adalah Kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0.
sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ lim = lim = ๐ฅโ0 ๐๐ฅ ๐ฅโ0 sin ๐๐ฅ ๐ tan ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = lim = ๐ฅโ0 ๐๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐๐ฅ ๐ lim
Ingat lagi identitas trigonometri 1 1 โ cos ๐ฅ = 2 sin2 ๐ฅ 2 1 โ cos2 ๐ฅ = sin2 ๐ฅ
sin ๐๐ฅ tan ๐๐ฅ ๐ lim = lim = ๐ฅโ0 tan ๐๐ฅ ๐ฅโ0 sin ๐๐ฅ ๐ sin ๐๐ฅ tan ๐๐ฅ ๐ = lim = ๐ฅโ0 sin ๐๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐๐ฅ ๐ lim
Kosinus โBaikโ โUbah Kosinusโ 1 1 1 2 sin2 ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ 2 2 2 lim = lim = lim 2 โ โ ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ 1 1 1 โ2 sin2 ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ ๐๐จ๐ฌ ๐ โ ๐ 2 2 2 lim = lim = lim โ2 โ โ ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ 1 1 1 2 sin2 ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ 2 2 2 lim = lim = lim 2 โ โ ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ 1 1 1 โ2 sin2 ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐ 2 2 2 lim = lim = lim โ2 โ โ ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ 1 1 2 sin2 ๐๐ฅ โ 2 sin2 ๐๐ฅ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ 2 2 lim = lim = dst dst โฆ ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 lim
๐ฅโ0
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐ sin2 ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ = lim = lim โ 2 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅ
๐๐จ๐ฌ ๐ ๐ โ ๐ โ sin2 ๐ฅ sin ๐ฅ sin ๐ฅ = lim = lim โ โ ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ lim
๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ sin2 ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ = lim = lim โ 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ lim
๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ โ ๐ โ sin2 ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ = lim = lim โ โ 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ2 ๐ฅ ๐ฅ lim
๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ sin2 ๐๐ฅ โ sin2 ๐๐ฅ = lim = dst dst โฆ 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ2 lim
dst โฆ dst โฆ
Halaman 188
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
LOGIKA PRAKTIS Pengerjaan Limit. Secara umum proses mengerjakan soal limit adalah sebagai berikut:
lim ๐(๐ฅ)
๐ฅโ๐
Substitusi ๐ฅ = ๐ ke ๐(๐ฅ)
Periksa Hasilnya?
Bentuk tertentu ๐ 0 ๐ ( , = 0, = โ) ๐ ๐ 0
Ubah
Bentuk tak tentu 0 โ ( , , โ โ โ, โฆ ) 0 โ
Selesai
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 189
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Aturan LโHopital (Turunan). 0
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan menggunakan aturan LโHopital, yaitu mencari turunan dari pembilang dan penyebut. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. Contoh: 2๐ฅ 2 โ 7๐ฅ + 6 0 = ๐ฅโ2 4๐ฅ โ 8 0 lim
Sehingga, diturunkan
2๐ฅ 2 โ 7๐ฅ + 6 4๐ฅ โ 7 4(2) โ 7 8 โ 7 1 = lim = = = ๐ฅโ2 ๐ฅโ2 4๐ฅ โ 8 4 4 4 4 lim
disubstitusikan diturunkan
Halaman 190
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Asal Muasal TRIK SUPERKILAT Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan LโHopital (Turunan Modifikasi). Perhatikan misalkan kita hendak mencari penyelesaian dari: ๐
๐
โ๐(๐ฅ) โ โ๐(๐ฅ) lim = โฆ. ๐ฅโ๐ โ(๐ฅ) 0
Bentuk limit tersebut menghasilkan suatu nilai tak tentu yaitu 0. Jadi kesimpulannya adalah: ๐
๐
โ๐(๐ฅ) โ โ๐(๐ฅ) 0 lim = ๐ฅโ๐ โ(๐ฅ) 0
๐
๐
๐
๐
โ๐(๐ฅ) โ โ๐(๐ฅ) = 0 โ โ๐(๐ฅ) = โ๐(๐ฅ) โ(๐ฅ) = 0
โ untuk ๐ฅ โ ๐ {
Maka, penyelesaiannya bisa menggunakan aturan LโHopital, meskipun cukup panjang karena fungsi yang dilimitkan masih memuat bentuk akar. Sehingga dengan menggunakan aturan LโHopital: ๐ ๐ ๐ ๐ [ โ๐(๐ฅ) โ โ๐(๐ฅ)] โ๐(๐ฅ) โ โ๐(๐ฅ) ๐๐ฅ lim = lim ๐ ๐ฅโ๐ ๐ฅโ๐ โ(๐ฅ) [โ(๐ฅ)] ๐๐ฅ 1 ๐ ๐ ๐ (ingat ( โ๐(๐ฅ)) = (๐(๐ฅ))๐ ) ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐
(sehingga
1 ๐ ๐ 1 โ1 ( โ๐(๐ฅ)) = (๐(๐ฅ))๐ โ ๐ โฒ (๐ฅ) = ๐๐ฅ ๐
๐ โฒ (๐ฅ) ๐
= lim
๐โ1
๐( โ๐(๐ฅ))
๐ฅโ๐
โ
๐โฒ (๐ฅ)
๐ โฒ (๐ฅ) ๐โ
๐โ1 (๐(๐ฅ)) ๐
=
๐ โฒ (๐ฅ) ๐
๐โ1 )
๐( โ๐(๐ฅ))
๐โ1
๐
๐( โ๐(๐ฅ)) โฒ โ (๐ฅ) ๐
๐
(ingat untuk ๐ฅ โ ๐ berlaku โ๐(๐ฅ) = โ๐(๐ฅ)) ๐ โฒ (๐ฅ) ๐
= lim
๐( โ๐(๐ฅ))
๐ฅโ๐
=(
Pangkat Akar
๐โ1
โ
๐โฒ (๐ฅ) ๐
1
๐โ1 ) ร (lim ๐ ๐ฅโ๐ ๐( โ๐(๐ฅ))
Nilai Akar
๐โ1
๐( โ๐(๐ฅ)) โฒ โ (๐ฅ)
Pangkat Akar โ 1
(keluarkan
1 ๐
๐โ1
๐( โ๐(๐ฅ))
dari kedua ruas)
๐ โฒ (๐ฅ) โ ๐โฒ (๐ฅ) ) โโฒ (๐ฅ)
Aturan LโHopital, tapi tanpa tanda akar
Jadi, kesimpulannya jadilah sebuah TRIK SUPERKILAT, yang Pak Anang beri nama, TURUNAN MODIFIKASI. Mengapa? Karena prinsipnya sama dengan proses mencari nilai limit dengan menggunakan aturan LโHopital, yakni dengan mencari turunan pembilang dan penyebut. Namun, TRIK SUPERKILAT tidak menggunakan tanda akar, dan hasilnya nanti harus dikalikan dengan โsesuatuโ. Sesuatu itu adalah, pangkatร(nilai akar)pangkat-1 yang harus diletakkan terbalik dengan letak akar semula.
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 191
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menggunakan Modifikasi Aturan LโHopital (Turunan Modifikasi). 0
Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar yang memuat bentuk akar dan menghasilkan bentuk tak tentu 0 adalah dengan menggunakan modifikasi aturan LโHopital, yaitu memodifikasi cara mencari turunan dari pembilang atau penyebut bentuk akar. Lalu langkah berikutnya adalah disubstitusikan limitnya ke fungsi. Selesai. 0
Soal Limit ๐ฅ โ ๐ bentuk 0 yang memuat bentuk akar
Perhatikan tiga hal
Pangkat Akar
Nilai Akar
Buang Tanda Akar, Ganti dengan Kurung
Letak Akar
Turunkan Pembilang Penyebut (Aturan LโHopital)
Kalikan dengan โSesuatuโ Keterangan TRIK SUPERKILAT:
Selesai!
Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkatร(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
Misal soalnya adalah sebagai berikut: lim
๐ฅโ2
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 0 = ๐ฅ2 โ 4 0
Maka tiga hal yang harus segera diperhatikan pada soal adalah:
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 0 = ๐ฅโ2 ๐ฅ2 โ 4 0 lim
Periksa akar pangkat berapa?
๐
โโ
โ akar pangkat "๐"
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 0 = ๐ฅโ2 ๐ฅ2 โ 4 0 lim
Periksa nilai dari akar pada soal.
โ โ๐๐ + ๐ = โ๐(๐) + ๐ = โ๐ = "๐"
Lihat letak akar! Kalau di atas tulis di bawah. Kalau di bawah tulis di atas.
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 0 = ๐ฅโ2 ๐ฅ2 โ 4 0
Apa yang ditulis?
โ akar berada di atas โ tulis di bawah ๐ โ pangkat ร (nilai akar)pangkatโ๐
pangkat ร (nilai akar)pangkatโ1
Halaman 192
lim
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Nah sekarang praktek mengerjakan soalnya: Tentukan nilai dari: โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 = โฆ. ๐ฅโ2 ๐ฅ2 โ 4 lim
Perhatikan soal!
โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 ๐ฅโ2 ๐ฅ2 โ 4
Buang tanda akar! Ganti akar dengan tanda kurung
(3๐ฅ + 3) โ (5๐ฅ โ 1) ๐ฅโ2 ๐ฅ2 โ 4
lim
lim
๐ [(3๐ฅ + 3) โ (5๐ฅ โ 1)] ๐๐ฅ lim ๐ 2 ๐ฅโ2 [๐ฅ โ 4] ๐๐ฅ
Gunakan aturan LโHopital! Mencari turunan dari pembilang dan penyebut
โ ๐ฅ๐ข๐ฆ ๐โ๐
Masih ingat apa yang ditulis? Pangkat = 2 Nilai Akar = 3 Letak Akar = di atas
Selesaiโฆ!!!!
๐โ๐ โ๐ โ๐ โ๐ = ๐ฅ๐ข๐ฆ = = ๐โ๐ ๐๐ ๐๐ ๐(๐) ๐
โ2 1 ร 4 pangkatร(nilai akar)pangkat-1 โ
โ๐ ๐ โ๐ ๐ ๐ ร = ร =โ ๐โ๐ ๐ ๐ โ (๐) ๐ ๐ ๐๐
1 โ3๐ฅ + 3 โ โ5๐ฅ โ 1 =โ 2 ๐ฅโ2 ๐ฅ โ4 12
โด lim
Contoh Pengerjaan TRIK SUPERKILAT Modifikasi Aturan LโHopital Versi Lebih Singkat: Tentukan nilai dari: โ2๐ฅ + 1 โ โ4๐ฅ โ 3 = โฆ. ๐ฅโ2 5๐ฅ โ 15 lim
Sehingga,
Diturunkan tanpa tanda akar
Keterangan TRIK SUPERKILAT: Dikalikan โsesuatuโ
Dikalikan sesuatu, maksudnya dikalikan dengan: pangkatร(nilai akar)pangkat-1 yang letaknya berkebalikan dengan letak akar.
2โ4 1 โ2 1 1 1 โ2๐ฅ + 1 โ โ4๐ฅ โ 3 = lim ร = ร =โ = โ โ5 ๐ฅโ2 ๐ฅโ2 5 5๐ฅ โ 10 5 25 2โ5 2โ5 5โ5 lim
Diturunkan tanpa tanda akar
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 193
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Membagi Variabel Pangkat Tertinggi. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan membagi variabel pangkat tertinggi adalah dengan membandingkan pangkat variabel pada pembilang dan penyebut. Selesai. Soal Limit ๐ฅ โ โ bentuk
โ โ
Bentuk umum ๐1 ๐ฅ ๐ + ๐2 ๐ฅ ๐โ1 + ๐3 ๐ฅ ๐โ2 + โฆ + ๐๐ ๐ฅโโ ๐1 ๐ฅ ๐ + ๐2 ๐ฅ ๐โ1 + ๐3 ๐ฅ ๐โ2 + โฆ + ๐๐ lim
Bandingkan pangkat terbesar dari pembilang dan penyebut
๐<๐
Nilai limit = 0
๐=๐
Nilai limit =
๐>๐
๐1 ๐1
Nilai limit = โ
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan: Ingat, kecil โ 0, besar โ โ
Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLLโฆ. Kalau pangkat tertinggi di atas berarti tak hingga. Atas itu BEESAAAARRRโฆ. Jika pangkat tertinggi ada di atas dan di bawah, maka lihat koefisiennya saja. Selesai!
Misal soalnya adalah sebagai berikut: 5๐ฅ 3 + 2๐ฅ โ 15 = โฆ. ๐ฅโโ 2๐ฅ 4 โ 3๐ฅ 2 + 1 lim
Kalau pangkat terbesar di bawah berarti nol. Bawah itu KEEEECIIIILLLLโฆ. Jadi nilai limitnya sama dengan nol.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di bawahโฆ.. Berarti KEEECIIIIILLLLLโฆ. Sehingga nilai limitnya adalah 0 (nol). Perbandingan koefisien bertanda positif
2๐ฅ 3 + 5๐ฅ 2 + 7 = โฆ. ๐ฅโโ 3๐ฅ 2 + 13๐ฅ + 5 lim
Kalau pangkat terbesar di atas berarti tak hingga. Atas itu BEEESAAARRโฆ. Jadi nilai limitnya sama dengan positif tak hingga, perbandingannya positif..
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah pangkat terbesar ada di atasโฆ.. Berarti BEEESAAAARRRRRRโฆ. Sehingga nilai limitnya adalah +โ (positif tak terhingga).
4๐ฅ 3 + 5๐ฅ โ 21 = โฆ. ๐ฅโโ 3๐ฅ 3 + 7๐ฅ 2 โ 4 lim
Kalau pangkat terbesar di atas dan di bawah berarti nilai limitnya adalah hasil 4
pembagian koefisien yang memuat variabel pangkat tertinggi, yaitu . 3
Apabila pangkat terbesar ada di atas dan di bawah, maka nilai limitnya adalah hasil pembagian koefisien variabel pangkat tertinggi tersebut. Halaman 194
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Aljabar Menuju Tak Hingga dengan Mengalikan Bentuk Sekawan Akar. Cara cepat untuk menyelesaikan limit aljabar menuju tak hingga dengan mengalikan bentuk sekawan akar adalah membandingkan koefisien suku derajat dua dan suku derajat satu di dalam tanda akar. Selesai. Soal Limit ๐ฅ โ โ bentuk โ โ โ
Bentuk umum lim โ๐๐ฅ 2 + ๐๐ฅ + ๐ โ โ๐๐ฅ 2 + ๐๐ฅ + ๐
๐ฅโโ
Bandingkan koefisien suku derajat dua di dalam tanda akar
๐<๐
๐=๐
Nilai limit = โโ
๐>๐
Nilai limit =
๐โ๐ 2 โ๐
Nilai limit = +โ
LOGIKA PRAKTIS menghafalkan:
Ingat, akar tanda positif โ +โ, akar tanda negatif โ โโ Kalau koefisien terbesar di akar bertanda positif. Maka nilai limit POSITIF TAK HINGGAโฆ. Kalau koefisien terbesar di akar bertanda negatif. Maka nilai limit NEGATIF TAK HINGGAโฆ. Jika koefisien tertinggi sama pada kedua bentuk akar, maka gunakan rumusnya. Selesai!
Misal soalnya adalah sebagai berikut: Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Maka nilai limit adalah POSITIF TAK HINGGAAAAAAAโฆ.
lim โ2๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 4 โ โ๐ฅ 2 โ 7๐ฅ โ 1 = โฆ.
๐ฅโโ
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah +โ (positif tak hingga).
Kalau koefisien terbesar ada di akar bertanda negatif. Maka nilai limit adalah NEGATIF TAK HINGGAAAAAAAโฆ.
lim โ๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 4 โ โ2๐ฅ 2 โ 7๐ฅ โ 1 = โฆ.
๐ฅโโ
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di akar bertanda positif. Sehingga nilai limitnya adalah โโ (negatif tak hingga). ๐ Kalau koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar.
lim โ2๐ฅ 2 + 3๐ฅ โ 4 โ โ2๐ฅ 2 โ 7๐ฅ โ 1 = โฆ.
Maka nilai limit adalah
๐ฅโโ
๐โ๐
๐โ๐ 2โ๐
โฆ.
Maka satu yang harus segera diperhatikan pada soal adalah koefisien terbesar ada di kedua bentuk akar. ๐โ๐ 3โ(โ7) 10 5 5 Sehingga nilai limitnya adalah = = = = โ2 2โ๐
2โ2
2โ2
โ2
2
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 195
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Sinta Coret. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk sinus atau tangen dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan mencoret sinus dan tangen sehingga tinggal menyisakan sudutnya saja. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. 0
Soal Limit Fungsi Trigonometri ๐ฅ โ 0 bentuk 0
Jika limit memuat bentuk sin atau tan, maka coret sin atau tan. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim
๐ฅโ0
sin ๐ฅ ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 ๐ฅ sin ๐ฅ
lim
๐ฅโ0
sin ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = lim = ๐ฅโ0 ๐๐ฅ sin ๐๐ฅ ๐
lim
tan ๐ฅ ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐ฅ
tan ๐๐ฅ ๐๐ฅ ๐ = lim = ๐ฅโ0 ๐๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐๐ฅ ๐
lim
sin ๐ฅ tan ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 tan ๐ฅ ๐ฅโ0 sin ๐ฅ
sin ๐๐ฅ tan ๐๐ฅ ๐ = lim = ๐ฅโ0 tan ๐๐ฅ ๐ฅโ0 sin ๐๐ฅ ๐
sin ๐ฅ tan ๐ฅ = lim =1 ๐ฅโ0 sin ๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐ฅ
sin ๐๐ฅ tan ๐๐ฅ ๐ = lim = ๐ฅโ0 sin ๐๐ฅ ๐ฅโ0 tan ๐๐ฅ ๐
lim
lim lim
lim
Contoh Soal ๐ฅ sin 2๐ฅ 1โ2 2 = = ๐ฅโ0 5๐ฅ tan 3๐ฅ 3 โ 5 15 lim
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5๐ฅ sin2 2๐ฅ 5๐ฅ sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ 5 โ 2 โ 2 20 = lim = = 2 ๐ฅโ0 3๐ฅ tan ๐ฅ ๐ฅโ0 3 ๐ฅ ๐ฅ tan ๐ฅ 3 3 lim
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5๐ฅ 2 tan 3๐ฅ 5๐ฅ ๐ฅ tan 3๐ฅ 5 โ 5 โ 3 75 = lim = = 3 ๐ฅโ0 sin 2๐ฅ ๐ฅโ0 sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ 2โ2โ2 8 lim
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! sin 3๐ฅ + tan 6๐ฅ 3๐ฅ + 6๐ฅ 9๐ฅ 9 = lim = lim = ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 4๐ฅ 4๐ฅ 4๐ฅ 4 lim
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 5๐ฅ 2 5๐ฅ 2 5๐ฅ 2 5 = lim = lim 2 = ๐ฅโ0 ๐ฅ(tan 7๐ฅ โ sin 3๐ฅ) ๐ฅโ0 ๐ฅ(7๐ฅ โ 3๐ฅ) ๐ฅโ0 4๐ฅ 4 lim
Coret sin dan tan, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! Halaman 196
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Hapus Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus โjahatโ dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan menghapus fungsi kosinus yang bernilai 1. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. 0
Soal Limit Fungsi Trigonometri ๐ฅ โ 0 bentuk 0
Jika limit memuat bentuk cos โjahatโ, maka hapus cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
lim cos ๐ฅ = lim
๐ฅโ0
1
๐ฅโ0 cos ๐ฅ
=1
1 =1 ๐ฅโ0 cos ๐๐ฅ
lim cos ๐๐ฅ = lim
๐ฅโ0
Contoh Soal cos ๐ฅ 1 1 = lim = = โ ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅโ0 ๐ฅ 0 lim
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 3๐ฅ = lim 3๐ฅ = 0 ๐ฅโ0 cos 7๐ฅ ๐ฅโ0 lim
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 2๐ฅ cos 5๐ฅ 2๐ฅ 2 2 = lim = lim = ๐ฅโ0 3 sin ๐ฅ ๐ฅโ0 3 sin ๐ฅ ๐ฅโ0 3 3 lim
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! sin 3๐ฅ + ๐ฅ cos 2๐ฅ 3๐ฅ + ๐ฅ 4๐ฅ 4 4 = lim lim = lim = ๐ฅโ0 tan 5๐ฅ cos 7๐ฅ ๐ฅโ0 5๐ฅ ๐ฅโ0 5๐ฅ ๐ฅโ0 5 5 lim
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! 2๐ฅ 2 cos ๐ฅ 2๐ฅ ๐ฅ 2 2 = lim = lim = ๐ฅโ0 ๐ฅ sin 3๐ฅ ๐ฅโ0 ๐ฅ 3๐ฅ ๐ฅโ0 3 3 lim
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
lim
3๐ฅ cos 2๐ฅ
๐ฅโ0 ๐ฅ cos 2 5๐ฅ
= lim
๐ฅโ0
3๐ฅ 3 = lim = 3 ๐ฅโ0 ๐ฅ 1
Hapus cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 197
TRIK SUPERKILAT dan LOGIKA PRAKTIS Limit Trigonometri Menggunakan Aturan Ubah Kosinus. Cara cepat untuk menyelesaikan limit trigonometri yang memuat bentuk kosinus โbaikโ dan menghasilkan 0 bentuk tak tentu 0 adalah dengan mengubah fungsi kosinus yang menyebabkan nilai limit menjadi 0 dengan menggunakan sifat identitas trigonometri. Lalu langkah berikutnya adalah mencoret variabel yang sama pada pembilang dan penyebut. Selesai. 0
Soal Limit Fungsi Trigonometri ๐ฅ โ 0 bentuk 0
Jika limit memuat bentuk cos โbaikโ, maka ubah cos. Lalu sederhanakan bentuk yang tersisa.
๐ ๐๐ ๐๐ 1 ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐ lim = lim = ๐2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 2 ๐ โ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐ 1 lim = lim = โ ๐2 2 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ 2 ๐ ๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐ ๐๐ ๐๐ 1 ๐๐จ๐ฌ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ ๐ lim = lim = (๐ 2 โ ๐2 ) ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 2 ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ lim = lim = ๐2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ 2 ๐ฅ2 ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ โ ๐ โ ๐๐ ๐๐ lim = lim = โ ๐2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ2 ๐ฅ2 ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ โ ๐๐ ๐๐ = lim = (๐ 2 โ ๐2 ) 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ2 lim
Contoh Soal ๐ ๐๐ ๐๐ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐๐ 2 2 lim = lim ๐ = lim = 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 3 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅโ0 3 3๐ฅ 3 Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai! ๐ โ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐ ๐๐ ๐๐ 2โ2 4 4 = lim = lim = lim = 2 ๐ฅโ0 ๐ฅโ0 3 ๐ฅ ๐ฅ ๐ฅโ0 3 ๐ฅโ0 3 3๐ฅ 3 lim
Ubah cos, sederhanakan bentuk tersisa! Selesai!
Penjelasan detailnya langkah-langkah TRIK SUPERKILAT beserta contoh-contoh soal akan segera dilanjutkan di http://pak-anang.blogspot.com. :) Jadi pastikan untuk selalu mengunjungi laman web berikut: http://pak-anang.blogspot.com/2013/01/smart-solution-un-matematika-sma-2013_23.html untuk mengecek dan mengunduh update versi terbaru terbaru TRIK SUPERKILAT UN Matematika SMA 2013 pada bab Limit Fungsi Aljabar dan Limit Fungsi Trigonometri iniโฆ. Halaman 198
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Pembahasan TRIK SUPERKILAT pada contoh soal yang serupa pada UN 2012 kemarin:
1.
Nilai lim
x ๏ฎ0
A. B. C. D. E.
5x
๏ฝ .... 3๏ญ 9๏ซ x 5๐ฅ 5๐ฅ 3 + โ9 + ๐ฅ โ30 lim = lim ร ๐ฅโ0 3 โ โ9 + ๐ฅ ๐ฅโ0 3 โ โ9 + ๐ฅ 3 + โ9 + ๐ฅ โ27 5๐ฅ โ (3 + โ9 + ๐ฅ) 15 = lim ๐ฅโ0 9 โ (9 + ๐ฅ) 30 5๐ฅ โ (3 + โ9 + ๐ฅ) 36 = lim
TRIK SUPERKILAT: 5๐ฅ 5 2โ3 lim = โ = โ30 ๐ฅโ0 3 โ โ9 + ๐ฅ โ1 1
๐ฅโ0 โ๐ฅ = lim โ5 โ (3 + โ9 + ๐ฅ) ๐ฅโ0
= โ5 โ (3 + โ9) = โ5 โ 6 = โ30
2.
Nilai lim
x ๏ฎ1
A. B. C. D. E.
1๏ญ x
๏ฝ .... 2๏ญ x๏ซ3 1โ๐ฅ 1โ๐ฅ 2 + โ๐ฅ + 3 8 lim = lim ร ๐ฅโ1 2 โ โ๐ฅ + 3 ๐ฅโ1 2 โ โ๐ฅ + 3 2 + โ๐ฅ + 3 4 (1 โ ๐ฅ) โ (2 + โ๐ฅ + 3) 0 = lim ๐ฅโ1 4 โ (๐ฅ + 3) โ4 (1 โ ๐ฅ) โ (2 + โ๐ฅ + 3) โ8 = lim
TRIK SUPERKILAT: 1โ๐ฅ โ1 2 โ 2 lim = โ =4 ๐ฅโ1 2 โ โ๐ฅ + 3 โ1 1
(1 โ ๐ฅ)
๐ฅโ1
= lim(2 + โ๐ฅ + 3) ๐ฅโ1
= 2 + โ1 + 3 = 2 + โ4 =2+2 =4
3.
2 ๏ญ x ๏ซ1 2 โ โ๐ฅ + 1 ๏ฝ .... lim ๐ฅโ1 ๐ฅโ3 x ๏ฎ3 x๏ญ3 1 A. ๏ญ 4 1 B. ๏ญ 2 C. 1 D. 2 E. 4
Nilai lim
= lim
๐ฅโ3
= lim
2 โ โ๐ฅ + 1 2 + โ๐ฅ + 1 ร ๐ฅโ3 2 + โ๐ฅ + 1 4 โ (๐ฅ + 1)
๐ฅโ3 (๐ฅ
= lim
๐ฅโ3 (๐ฅ
= lim
๐ฅโ3 (2
=
โ 3) โ (2 + โ๐ฅ + 1) (3 โ ๐ฅ)
TRIK SUPERKILAT: 2 โ โ๐ฅ + 1 โ1 1 1 lim = โ =โ ๐ฅโ3 ๐ฅโ3 1 2โ2 4
โ 3) โ (2 + โ๐ฅ + 1) โ1 + โ๐ฅ + 1)
โ1 2 + โ4 1 4
=โ
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)
Halaman 199
4.
1 โ cos 2๐ฅ 1 โ (1 โ 2 sin2 ๐ฅ) 1 ๏ญ cos 2 x lim = lim ๏ฝ ....๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ ๐ฅ tan 2๐ฅ x ๏ฎ0 x tan 2 x 2 sin2 ๐ฅ A. โ2 = lim ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ B. โ1 2 sin ๐ฅ sin ๐ฅ ๐ฅ 2๐ฅ = lim โ โ C. 0 ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ ๐ฅ 2๐ฅ D. 1 sin ๐ฅ sin ๐ฅ 2๐ฅ ๐ฅ = lim 2 โ โ โ โ E. 2 ๐ฅโ0 ๐ฅ ๐ฅ tan 2๐ฅ 2๐ฅ
Nilai lim
=2โ1โ1โ1โ
5.
TRIK SUPERKILAT: 1 1 โ cos 2๐ฅ 2 โ 2 โ 2 lim = =1 ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ 1โ2
1 =1 2
(1 โ 2 sin2 2๐ฅ) โ 1 cos 4๐ฅ โ 1 cos 4 x ๏ญ 1 TRIK SUPERKILAT: lim = lim ๏ฝ ....๐ฅโ0 ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ ๐ฅ tan 2๐ฅ x ๏ฎ0 x tan 2 x 1 cos 4๐ฅ โ 1 โ 2 โ 4 โ 4 โ2 sin2 2๐ฅ A. 4 lim = = lim ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ 1โ2 ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ B. 2 = โ4 โ2 sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ 2๐ฅ 2๐ฅ = lim โ โ C. โ1 ๐ฅโ0 ๐ฅ tan 2๐ฅ 2๐ฅ 2๐ฅ D. โ2 sin 2๐ฅ sin 2๐ฅ 2๐ฅ 2๐ฅ = lim โ2 โ โ โ โ E. โ4 ๐ฅโ0 2๐ฅ 2๐ฅ tan 2๐ฅ ๐ฅ
Nilai lim
= โ2 โ 1 โ 1 โ 1 โ 2 = โ4
Jika adik-adik butuh โbocoranโ butir soal Ujian Nasional tahun 2013, maka adik-adik bisa download di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/prediksi-soal-un-matematika-sma-2013.html. Semua soal tersebut disusun sesuai kisi-kisi SKL UN tahun 2013 yang dikeluarkan secara resmi oleh BSNP tanggal 20November 2012 yang lalu. Kisi-kisi SKL UN SMA tahun 2013 untuk versi lengkap semua mata pelajaran bisa adik-adik lihat di http://pak-anang.blogspot.com/2012/11/kisi-kisi-skl-un-2013.html. Pak Anang.
Halaman 200
Bimbel UN Matematika SMA Program IPA by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)