X
matematika PEMINATAN FUNGSI EKSPONEN Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi fungsi eksponen dan cara menghitung nilainya. 2. Menggambar grafik fungsi eksponen dan transformasinya. 3. Memahami definisi fungsi eksponen bilangan natural dan cara menghitung nilainya. 4. Memahami aplikasi fungsi eksponen pada bidang ekonomi dan kedokteran.
A. Definisi Fungsi Eksponen Fungsi eksponen dengan basis a untuk seluruh bilangan real x didefinisikan sebagai berikut. f(x) = ax , a > 0 dan a ≠ 1 Fungsi eksponen dapat digunakan untuk memodelkan kejadian-kejadian alami seperti pertumbuhan penduduk, peluruhan radioaktif, bunga majemuk, dan perhitungan kuantitas karbon 14 untuk memperkirakan usia fosil. Sebagai contoh, model perhitungan kuantitas karbon 14 untuk memperkirakan usia fosil (Q(t)) adalah sebagai berikut. Q(t) = Q0e–0,000121t, e ≈ 2,72 Q0 adalah jumlah perkiraan isotop pada sampel saat fosil itu mati.
Kela s
K13
Contoh Soal 1 Misal f (x) = 2x, hitunglah:
c.
f (3) 1 f (– ) 2 f (π)
d.
f( 3 )
a. b.
Pembahasan: a.
f (3) = 23 = 8
c.
1 − 1 ) = 2 2 ≈ 0,7071 2 f (π) = 2π ≈ 8,8250
d.
f( 3 )= 2
b.
f (–
3
≈ 3,3220
B. Grafik Fungsi Eksponen Grafik fungsi eksponen memiliki bentuk yang sangat mudah dikenali. Grafik ini dapat digambar melalui plot titik-titik pada bidang Cartesius, kemudian menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus.
Contoh Soal 2 Gambarlah grafik fungsi-fungsi berikut. a. b.
f (x) = 3x x 1 g (x) = 3
Pembahasan: Hitung nilai f (x) dan g (x) untuk x = –3 sampai x = 3. Kemudian, plot titik-titik yang diperoleh pada bidang Cartesius dan hubungkan dengan sebuah kurva mulus.
2
x
f (x)
g (x)
–3
1 27
27
–2
1 9
9
–1
1 3
3
0
1
1
1
3
1 3
2
9
1 9
3
27
1 27
Grafik f (x) dan g (x) saling reflektif terhadap sumbu-y. x
x 1 g ( x ) = = ( 3−1 ) = 3− x = f ( − x ) 3
Berdasarkan hal tersebut, dapat disimpulkan bahwa f (–x) adalah hasil refleksi f (x) terhadap sumbu-y.
Contoh Soal 3 Gambarlah grafik f (x) = 5x dan f (–x).
Pembahasan: Mula-mula, tentukan titik-titik yang memenuhi persamaan dengan menggunakan cara SUPER berikut.
3
Super "Solusi Quipper" Plot tiga titik x
f (x)
–1
1 a
0
1
1
a
Dengan demikian, diperoleh: x
f (x)
–1
1 5
0
1
1
5
Selanjutnya, plot titik-titik yang diperoleh pada bidang Cartesius dan hubungkan dengan garis sehingga membentuk sebuah kurva mulus.
Sifat-Sifat Grafik Fungsi Eksponen Fungsi eksponen f (x) = ax, a > 0 dan a ≠ 1 memiliki daerah asal R dan daerah hasil (0, ∞). Garis y = 0 (sumbu-x) adalah asimtot horizontal dari f. Grafik fungsi f memenuhi salah satu bentuk berikut.
4
f (x) = ax, a > 1 Domain – ∞ < x < ∞ Range y > 0 Asimtot horizontal y = 0 1 Melalui titik (–1, ), (0, 1), dan (1, a) a Merupakan fungsi naik untuk setiap x
f (x) = ax, 0 < a < 1 Domain – ∞ < x < ∞ Range y > 0 Asimtot horizontal y = 0
1 ) a Merupakan fungsi turun untuk setiap x
Melalui titik (–1, a), (0, 1) dan (1,
Contoh Soal 4 Carilah fungsi eksponen f (x) = ax dari grafik berikut. b. a.
Pembahasan: a. b.
Oleh karena f (2) = a2 = 16, maka a = 4. Dengan demikian, f (x) = 4x x 1 Oleh karena f (–2) = a–2 = 36, maka a = . Dengan demikian, f (x) = 1 6 6
Contoh Soal 5 Gunakan f (x) = 3x untuk mensketsa fungsi-fungsi berikut. a.
g (x) = 1 + 3x
b.
h (x) = –3x
c.
k (x) = 3x – 1
Tentukan pula sifat-sifatnya.
5
Pembahasan: Gambarlah dahulu grafik fungsi f (x) = 3x. Dengan menggunakan sifat-sifat grafik eksponen untuk a > 0, diperoleh:
Super "Solusi Quipper" Grafik transformasi f (x) menjadi f (x) + c, f (x – c), –f (x), dan f (–x) dapat dilakukan dengan cara berikut. a.
b.
f (x) + c •
c > 0, menggeser f (x) c satuan ke atas
•
c < 0, menggeser f (x) c satuan ke bawah
f (x – c) •
c > 0, menggeser f (x) c satuan ke kanan
•
c < 0, menggeserf (x) c satuan ke kiri
c.
–f (x) mencerminkan f (x) terhadap sumbu-x
d.
f (–x) mencerminkan f (x) terhadap sumbu-y
Selanjutnya, gunakan SUPER, Solusi Quipper di atas untuk menentukan grafik transformasinya. a.
Grafik g (x) = 1 + 3x = 1 + f (x) didapat dengan menggeser grafik f (x) = 3x sejauh 1 satuan ke atas.
g
6
b.
Grafik h (x) = –3x = –f (x) didapat dengan mencerminkan grafik f (x) terhadap sumbu-x.
c.
Grafik k (x) = 3x – 1 = f (x – 1) didapat dengan menggeser f (x) sejauh 1 satuan ke kanan. k
Contoh Soal 6 Gambarlah grafik g (x) = 5x + 2 – 3, serta tentukan domain, range, dan asimtotnya.
Pembahasan:
1 ), (0, 1), dan (1, 5). 5 Fungsi g (x) dapat dinyatakan dalam bentuk lain seperti berikut.
Misal f (x) = 5x melalui titik (–1, g (x) = 5x + 2 – 3 ⇔ g (x) = f (x + 2) – 3 ⇔ g (x) = f (x – (–2)) – 3
Berdasarkan bentuk tersebut, dapat diketahui bahwa grafik g (x) diperoleh dengan menggeser grafik f (x) sejauh 2 satuan ke kiri dan 3 satuan ke bawah. Dengan kata lain, absis-absis titik pada f (x) bergeser 2 satuan ke kiri dan ordinat-ordinat pada f (x) bergeser 3 satuan ke bawah.
7
−2 1 −3
14 −1, 5 → −3, − 5
g(x)
−2 −3
( 0,1) → ( −2, −2 ) −2 −3
(1,5) → ( −1,2 )
Domain g(x): x ∈ R atau – ∞ < x < ∞ Range g(x): y > –3 atau (–3, ∞) Asimtot: y = –3
C. Fungsi Eksponen Bilangan Natural Bilangan positif sembarang dapat digunakan sebagai basis dari fungsi eksponen, hanya saja ada beberapa bilangan yang lebih sering digunakan daripada yang lain. Salah satunya adalah bilangan natural e. n 1 Bilangan natural e didefinisikan sebagai nilai pendekatan 1+ saat n membesar. n Perhatikan tabel berikut. n
1 1+ n
1
2,00000
5
2,48832
10
2,59374
100
2,70481
1000
2,71692
10.000
2,71815
100.000
2,71827
1.000.000
2,71828
n
n
1 Tabel di atas menunjukkan bahwa semakin besar nilai n, semakin besar pula nilai 1+ . n
8
n
1 Nilai 1+ pada tabel di atas hanya ditulis dalam 5 tempat desimal. Jika ditulis dalam 20 n tempat desimal, diperoleh: e ≈ 2,71828182845904523536 Berdasarkan penjelasan di atas, terlihat jelas bahwa e adalah bilangan irasional.
Definisi Fungsi Eksponen Natural Fungsi eksponen natural adalah fungsi eksponen f (x) = ex dengan basis e. Fungsi eksponen natural seringkali disebut sebagai fungsi eksponensial saja.
Contoh Soal 7 Hitunglah nilai dari fungsi eksponen berikut sampai lima tempat desimal.
a.
e4
b.
2e–0,3
c.
e
Pembahasan: Dengan menggunakan kalkulator, diperoleh: a.
e4 ≈ 54,59815
b.
2e–0,3 ≈ 1,48164
9
c.
e ≈ 1,64872
Contoh Soal 8 Sketsa grafik fungsi berikut.
a.
g (x) = e–x
b.
h (x) = 3e0,5x
Pembahasan: a.
Jika f (x) = ex, maka g (x) = e–x = f (–x) adalah hasil pencerminan f (x) terhadap sumbu-y.
b.
h (x) = 3e0,5x
Hitung nilai h(x) untuk x = -3 sampai x = 3. Kemudian, plot titik-titik yang diperoleh pada bidang Cartesius dan hubungkan dengan sebuah kurva mulus.
10
x
h (x) = 3e0,5x
–3
0,67
–2
1,10
–1
1,82
0
3,00
1
4,95
2
8,15
3
13,45
D. Aplikasi Fungsi Eksponen 1. Bunga Majemuk Sejumlah uang Mo diinvestasikan dengan bunga i per periode waktu. Setelah satu periode, besar bunga pada periode 1 adalah sebagai berikut. i.Mo Dengan demikian, jumlah uang setelah periode 1: M1 = Mo + iMo ⇔ M1 = Mo (1 + i) Apabila M1 diinvestasikan kembali, maka besar bunga pada periode 2 adalah sebagai berikut. iMo (1 + i) Dengan demikian, jumlah uang setelah periode 2: M2 = M1 + iMo (1 + i) ⇔ M2 = Mo (1 + i) + iMo (1 + i) ⇔ M2 = Mo (1 + i)(1 + i) ⇔ M2 = Mo (1 + i)2 Jika diteruskan sampai periode k, maka jumlah uang hasil investasi dapat dirumuskan sebagai berikut. Mk = Mo (1 + i)k Perhatikan bahwa Mk adalah fungsi eksponen dengan basis (1 + i).
11
Lantas, bagaimana cara menghitung jumlah investasi setelah t tahun? Apabila bunga tahunan adalah r dan bunga diberikan n kali selama setahun, maka besar bunga setiap periodenya adalah sebagai berikut.
i=
r n
Jika k = nt, maka jumlah investasi setelah t tahun dapat dirumuskan sebagai berikut. r Mt = Mo 1+ n
nt
Contoh Soal 9 Uang sebesar Rp150.000.000,00 diinvestasikan dengan bunga 12% per tahun. Tentukan hasil investasi setelah tiga tahun apabila bunga diberikan tahunan, setengah tahunan, empat bulanan, dan harian.
Pembahasan: Diketahui: Mo = Rp150.000.000 r = 0,12 t = 3 Hasil investasi setelah tiga tahun apabila bunga diberikan tahunan, setengah tahunan, empat bulanan, dan harian dapat ditentukan dengan bantuan tabel berikut.
12
n
Periode
Hasil Investasi 1.3
0,12 = Rp210.739.200 1
Tahunan
1
(Rp150.000.000 ) 1+
2
(Rp150.000.000 ) 1+
0,12 2
2.3
Setengah tahunan
4.3
4 bulanan
4
0,12 (Rp150.000.000 ) 1+ 4
Bulanan
12
(Rp150.000.000 ) 1+
0,12 12
Harian
365
(Rp150.000.000 ) 1+
0,12 365
= Rp212.777.867
= Rp213.864.133
12.3
= Rp214.615.318 365.3
= Rp214.986.692
Dari contoh di atas terlihat bahwa semakin banyak periode diberikannya bunga dalam setahun, semakin banyak pula hasil investasinya. n Sekarang, mari kita lihat bagaimana jika n membesar terus menerus. Misal m = . r r Mt = Mo 1+ n
nt
n r 1 ⇔ Mt = Mo 1+ n r
rt
m 1 ⇔ Mt = Mo 1+ m
rt
1 Perhatikan bahwa semakin besar nilai m, maka nilai 1+ m Dengan demikian, diperoleh: Mt = Mo e rt
13
m
mendekati nilai e.
Ini adalah formula yang dapat digunakan jika bunga diberikan setiap saat. Dengan menggunakan formula tersebut, nilai investasi setelah 3 tahun pada contoh soal 9 dapat ditentukan sebagai berikut. M3 = 150.000.000 ( e )
0,12.3
⇔ M3 = 214.999.412,18405
2. Aplikasi pada Dunia Medis
Contoh Soal 10 Suatu obat medis tertentu diberikan kepada pasien. Setelah t jam, banyaknya obat (dalam miligram) yang tersisa pada aliran darah pasien tersebut dimodelkan sebagai berikut. D(t) = 50.e–0,2t Berapa miligram obat yang tersisa pada aliran darah pasien setelah 3 jam?
Pembahasan: Oleh karena t = 3, maka: D(3) = 50.e–0,2.3 ⇔ D(3) = 27,44058047 mg Jadi, obat yang tersisa pada aliran darah pasien setelah 3 jam adalah 27,44058047 mg.
14
