MATEMATIKA INDUSTRI 1 RESUME INTEGRAL DAN APLIKASI
Nama
: Syifa’ Robbani
NIM
: 125100301111002
Dosen
: Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc
Kelas
:L
Nimas Nimas Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc Mayang Sabrina S., STP, MP, MSc
JURUSAN TEKNOLOGI INDUSTRI PERTANIAN FAKULTAS TEKNOLOGI PERTANIAN UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG 2012
Integral 1. Pengantar Kegunaan integral sebagai ilmu bantu dalam geometri, teknologi, biologi dan ekonomi tak dapat disangkal lagi. Orang yang tercatat dalam sejarah pertama kali mengemukakan ide tentang integral adalah Archimedes seorang ilmuwan bangsa Yunani yang berasal dari Syracusa (287 – 212 SM). Archimedes menggunakan ide integral tersebut untuk mencari luas daerah suatu lingkaran, daerah yang dibatasi oleh parabola dan tali busur dan sebagainya. Sejarah mencatat orang yang paling berjasa dalam hal pengembangan kalkulus integral adalah Georg Friederich Benhard Riemann (1826 – 1866). Integral adalah suatu fungsi f(X) secara matematis ditulis
dan
dinyatakan sebagai antiturunan atau kebalikan dari diffrential Secara umum ditulis ∫f (x)dx =F(x)+ c ∫dx : Lambang integral yang menyatakan operasi anti turunan f(x) : fungsi integran, yaitu fungsi yang dicari antiturunannya c
: konstanta
Jenis Integral
1. Integral tak tentu (anti turunan) adalah integral yang mana nilai x dari fungsi tidak disebutkan sehingga dapat menghasilkan nilai dari fungsi tersebut banyak. TEOREMA-TEOREMA DALAM INTEGRAL TAK TENTU TEOREMA 1 : Jika n bilangan rasional dan n≠1, maka Xndx = 1/n+1 Xn+1 +c,dengan c adalah konstanta TEOREMA 2 : Jika f fungsi yang terintegralkan dan k suatu konstanta, maka: ∫kf(x)dx = k∫f(x) dx
TEOREMA 3 : KELINIEARAN Jika f dan g fungsi-fungsi yangterintegralkan, maka : ∫f(x) ± g(x) dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx TEOREMA 4 : ATURAN INTEGRAL TRIGONOMETRI 1. ∫cos (ax + b) dx = 1/a sin x + c 2. ∫sin (ax + b) dx = - 1/a cos x + c 3. ∫ 1/cos2(ax+b) dx = 1/a tan x + c RINGKASAN FORMULA INTEGRAL TAK TENTU 1. ∫xn dx = xn+1/ (n+1) + c, n ≠ -1 2. ∫sin x dx = - cos x + c 3. ∫cos x dx = sin x + c 4. ∫sec2 x dx = tan x + c 5. ∫cosec2 x dx = -cot x + c 6. ∫sec x tan x dx = sec x + c 7. ∫cosec x cot x dx = -cosec x + c 8. ∫tan x dx = - In|cos x| + c 9. ∫cot x dx = In |sin| x + c 10. ∫1/x dx = In|x| + c 11. ∫ex dx = ex + c 12. ∫ax dx = ax/In a + c, a> 0, a≠ -1 13. ∫ 1
√
14. ∫ 1
√
= sin +
=
1
tan
( )+ 1
( )+
APLIKASI INTEGRAL TAK TENTU Pada umumnya aplikasi di sini berkaitan dengan mencari fungsi-fungsi ekonomiyang merupakan fungsi primitif (fungsi asal) dari fungsi marginalnya. Mencari fungsi biaya total dari fungsi biaya marginal, fungsi penerimaan total dari fungsi penerimaan marginal, fungsi konsumsi dari fungsi konsumsi marginal, fungsi tabungan dari fungsi tabungan marginal serta fungsi kapital dari fungsi investasi.
Fungsi Biaya Total (C) Fungsi biaya total merupakan integral dari biaya marginalnya, dan sebaliknya biaya marginal merupakan turunan pertama dari fungsi biaya total. C =∫ MC dq Fungsi Penerimaan Total (R) Fungsi penerimaan total merupakan integral dari penerimaan marginalnya, dan sebaliknya penerimaan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi penerimaan total. R =∫ MC dq Fungsi Konsumsi (C) Fungsi konsumsi merupakan integral dari konsumsi marginalnya (MPC), dan sebaliknya konsumsi merupakan turunan pertama dari fungsi konsumsi. C= ∫ MPC dv Fungsi Tabungan (S) Fungsi tabungan merupakan integral dari tabungan marginalnya (MPS), dan sebaliknya tabungan marginal merupakan turunan pertama dari fungsi tabungan. S= ∫ MPS dv Fungsi Model (K) Fungsi (pembentukan) modal atau fungsi (pembentukan) kapital merupakan integral dari (aliran) investasi bersih (I) dan sebaliknya investasi bersih merupakan turunan pertama dari fungsi kapital.
Kt = ∫I (t) dt Agar lebih jelas bagaimana fungsi asal dapat di dapat melalui integrasi fungsi marginalnya, di bawah ini diberikan beberapa contoh. Untuk dapat membedakan konsumsi (C), biaya total (C) dengan tetapan/konstanta integrasi (C), khusus dalam integrasi biaya marginal dan konsumsi marginal, maka tetapan integrasi di simbolkan dengan K. Contoh 1 Biaya Marginal di tunjukkan oleh MC=150-70q+12q2. Biaya tetapnya adalah 135. Carilah fungsi biaya totalnya, fungsi biaya rata-rata dan fungsi biaya variabelnya. Penyelesaian Fungsi biaya total, C = ∫ MC dq = (150q - 70q + 12q2)dq = 150q- 35q2 + 4q3 (K = Konstanta Integrasi) Bila q = 0 dimasukkan ke dalam fungsi C = f(q) tersebut, didapat biaya tetap (FC) sebagai berikut : FC = 150 (0)- 35 (0)2 + 4 (0)3 135 = K = FC Jadi, fungsi biaya totalnya adalah : C = 150q- 35q2 + 4q3+ 135
Fungsi biaya rata AC= C/q = (150q- 35q2 + 4q3+ 135)/q = 150- 35q + 4q2 + 135/q Fungsi biaya variabel VC = C – FC = (150q- 35q2 + 4q3+ 135) -135 = 150q- 35q2 + 4q3 Contoh 2: Penerimaan marginal di tunjukkan oleh MR = 20 – 8q, (q = kuantitas barang) Tentukanlah : (a) Fungsi penerimaan total (b) Fungsi permintaan Penyelesaian (a) Fungsi penerimaan total R
= ∫ MR dq = ∫ (20 – 8q) dq = 20q – 4q2 + C
Bila q = 0, maka R = 0. Selanjutnya nilai C (konstanta Integrasi) dicari dengan memasukkan q = 0 dan R = 0 ke dalam persamaandi atas akan di dapat nilai C sebagai berikut : R = 20 q – 4q2 + C
0 = 20 (0) – 2 (0)2 + C C=0 Jadi, fungsi penerimaan totalnya adala : R = f(q) = 20q – 4q2 (b) Fungsi permintaaan R = q.p
→
=
=
= 20 Jadi, fungsi permintaannya adalah q = =
→
=
1
+
+
Contoh 3 Hasrat marginal untuk konsumsi (MPC) adalah 0,8. Bila pendapatan nol (y = 0) maka besarnya konsumsi adalah 50. Tentukanlah besar konsumsinya. Penyelesaian: C = ∫ MPC dy = ∫ 0,8 dy = ∫ 0,8 y + K Selanjutnya di cari terlebih dahulu nilai K (Konstanta Integrasi) degan memasukkan y = 0 dan C (konsumsi) = 50, ke dalam persamaan di atas akan di dapat K sebagai berikut :
C = 0,8 y + K 50 = 0,8 (0) + K K = 50 Jadi, fungsi konsumsinya: C = f(y) = 0,8 y + K = 0,8 y + 50 2. integral tentu Sifat- sifat integral tentu: 1. Teorema Linier : Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan k suatu konstanta, maka: (i) ∫ k f(x)dx = k ∫ (ii) ∫
( )
( )
( ) = ∫
( )
( )
∫
2. Penambahan interval: Jika f terintegralkan pada interval yang memuat tiga titik a, b, dan c, maka ∫
( )
( )
=∫
∫ ( )
3. Sifat Pembandingan :Jika f dan g terintegralkan pada interval [a, b] dan f(x) g(x) untuk semua x dalam [a, b], ∫
( )
∫
( )
4. Sifat simetri, (i). f fungsi genap maka:
∫
( )
= 2∫
(ii). F fungsi ganjil, maka :
∫
( )
=0
( )
APLIKASI INTEGRAL TENTU Aplikasi Integral Tentu Antara lain digunakan dalam mencari: Luas diantara 2 kurva , Volume benda dalam bidang (dengan metode cakram dan cincin) , Volume benda putar (dengan metode kulit tabung) ,Luas permukaan benda putar ,Momen dan pusat massa . 1. Luas diantara 2 kurva
Cara menghitung : 1. Bagi luasan S menjadi n irisan dg lebar yang sama besar kemudian tentukan irisan ke-i dengan membuat persegi panjang beralas delta x dan tinggi
f(xi*)- g(xi*) 2. Jumlahkan semua persegi panjang yang telah dibuat 3. Tentukan batas kurvanya lalu jumlahkan Luas A yang dibatasi kurva y=f(x), y=g(x) dan garis x=a, x=b dengan f dan g kontinu dan f(x)≥ g(x) untuk semua x pada selang [a,b] adalah =∫
( )
( )
2. VOLUME BENDA DALAM BIDANG Volume benda padat yang luas penampangnya A(x) dan berada antara x=a dan x=b adalah = lim
→
∑
(
)
= ∫
( )
Langkah-langkah mencari : 1.Gambarkan daerah yang volumenya akan dicari 2.Carilah luas A(x) 3.Carilah batas-batas integrasi 4.Integralkan 1. METODE CAKRAM Misal daerah dibatasi oleh y= f(x), y= 0, x =1, dan x =b diputar dengan sumbu putar x. Volume benda pejal yang terjadi dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda padat tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada selang (a, b). Misal pusat cakram(x0, 0) dan jari-jari r= f (x0). Maka luas cakram dinyatakan :
Ax0 f 2 x0 Oleh karena itu, volume benda putar :
b
V f ( x) dx 2
a
Sedang bila grafik fungsi dinyatakan dengan x g ( y), x 0, y c dan y d diputar mengelilingi sumbu Y maka volume benda putar :
d
V g ( y ) dy 2
c
Bila daerah yang dibatasi oleh y f x 0 , y g x 0, f ( x) g ( x) untuk setiap
x a, b, x a dan x b diputar dengan sumbu putar sumbu X maka volume: b
V f 2 ( x) g 2 ( x) dx a
Bila daerah yang dibatasi oleh x f y 0, x g y 0, f ( y) g ( y) untuk setiap
y c, d , y c dan y d diputar dengan sumbu putar sumbu Y maka volume :
d
V f 2 ( y ) g 2 ( y ) dy c
2. METODE CINCIN Bila sebuah benda putar kita potong-potong tegak lurus pada sumbu putarnya
kita akan memperoleh sebuah cakram yang lubang bagian
tengahnya (disebut cincin) V = π ( r22 - r12) h
r1 = jari-jari dalam, r2 = jari-jari luar, h = tebal cincin 3. VOLUME BENDA PUTAR KULIT TABUNG Sebuah kulit tabung adalah benda yang dibatasi oleh dua tabung lingkaran tegak yang sumbu simetrinya berimpit.
Pada tabung dengan jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut memiliki r1 dan r2 , tinggi tabung h. Maka volume kulit tabung adalah :
V r2 r1 h 2rhr dengan :
r2 r1 r rata rata, jari jari , r2 r1 r 2
Bila daerah yang dibatasi oleh y f ( x), y 0, x a, x b diputar mengelilingi
sumbu
Y
maka
dapat
r x dan r x dan tinggi tabung putar yang terjadi adalah
kita
simpulkan
bahwa
jari-jari
h f (x) Oleh karena itu volume benda
b
V 2xf x dx a
Misal daerah dibatasi oleh kurva
y f x , y g x , f ( x) g ( x), x a, b , x a dan x b diputar mengelilingi sumbu Y. Maka volume benda putar b
V 2x f ( x) g ( x) dx a
Bila daerah dibatasi oleh grafik yang dinyatakan dengan x = f(y), x =0, y=c, y= d diputar mengelilingi sumbu X, maka volume = d
V 2y f ( y ) dy c
Sedang untuk daerah yang dibatasi oleh
x f y , x g y , f ( y) g ( y), y c, d , dan y c dan y d diputar mengelilingi sumbu X. Maka volume benda putar yang didapat dinyatakan dengan d
V 2y f ( y ) g ( y ) dx c
4. LUAS PERMUKAAN BENDA PUTAR Diketahui x=f(t) dan y=g(t), a t b, adalah persamaan kurva licin pada bidang xy yang terbagi menjadi n bagian. Bila kurva itu diputar mengelilingi sumbu x, ia akan membentuk suatu permukaan dan bagian
akan
membentuk permukaan bagian. Luas bagian ini dapat didekati oleh luas kerucut terpancung yakni 2
Kurva y=f(x) pada batas a x b, diputar mengelilingi sumbu x, maka luasnya adalah
=2 ∫
( ) √1 +
( )
INTEGRAL FUNGSI TRIGONOMETRI 1. ∫sin x dx = -cos x + c 2. ∫cos x dx = sin x + c 3. ∫sec2 x dx = tan x dx 4. ∫ cosec2 x dx = -cot x + c 5. ∫ sec x tan x dx = sec x + c 6. ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + c INTEGRAL SUBTITUSI TRIGONOMETRI Fungsi integral
Subtitusi dengan
Hasil subtitusi
Akar a2 – x2
X= a sin α
a cosα
Akar a2 + x2
X= a tan α
a sec α
Akar x2 – a2
X = a sec α
a tanα
INTEGRAL METODE SUBTITUSI Andaikan g suatu fungsi yang terdiferensialkan dan andaikan F adalah suatu anti-turunan dari f. sehingga, jika u = g(x), maka ∫f(g(x)) g'(x) dx = ∫f(u) du = F(u) + c = F(g(x)) + c
Langkah untuk mengintegralkan dengan metode subtitusi adalah sebagai berikut. 1. Memilih fungsi u = g(x) sehingga ∫f ( g(x) ) g'(x) dx = f(u) du 2. Tentukan ∫f(u) du
METODE SUBSITUSI DALAM INTEGRAL BENTUK TRIGONOMETRI Bentuk ∫sinn xdxdan ∫cosn xdx Apabila n bilangan bulat ganjil dan positif, setelah mengeluarkan faktor sin x atau cos x, maka gunakanlah persamaan : Sin2 x + cos 2 x = 1 Apabila n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut : Sin2 x =( 1- cos2x)/2 dan cos2 x= ( 1 +cos2 x)/2 Bentuk ∫sinm x cosn x dx Apabila m dan n ganjil dan positif, keluarkan faktor sin x atau cos x, kemudian Gunakanlah persamaan : Sin2 x + cos 2 x = 1 Apabila m dan n bilangan bulat genap dan positif, gunakan rumus setengah sudut berikut : Sin2 x =( 1- cos2x)/2 dan cos2 x= ( 1 +cos2 x)/2 Bentuk ∫sina x cosb x dx , ∫cosa x sinb x dx , ∫sinax sinbx dx , ∫cosa x cosb x dx Untuk menyelesaikan integral dalam bentuk tersebut, gunakan kesamaan berikut ini : (1). sin ax cos bx = ½ [sin (a + b)x + sin (a – b)x] (2). cos ax sin bx = ½ [sin (a + b)x – sin (a – b)x] (3). cos ax cos bx = ½ [cos (a + b)x + cos (a – b)x] (4). sin ax sin bx = - ½ [cos (a + b)x – cos (a – b)x] INTEGRAL METODE PARSIAL Apabila pengintegralan dengan metode subtitusi tidak berhasil, kita dapat menggunakan teknik pengintegralan lain yang disebut Metode Parsial. Misalkan u dan v adalah fungsi yang dapat dideferensialkan. ∫u dv = u. v - ∫v du
Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam menggunakan metode parsial, yaitu : 1. Pemilihan dv harus dapat diintegralkan untuk memperoleh v, yaitu v = ∫dv 2. ∫u du harus lebih mudah diselesaikan daripada ∫u du
DAFTAR PUSTAKA Chiang.C. Alpha. & Kevin W. 2002. Fundamental Methods Of Mathematical Economics. The Fourth Edition. New York: McGraw-Hill Book Company. Purcell, Edwin J. 2003. Kalkulus dan Geometri Analitis. Jakarta : PT. Gelora Aksara Pratama Stroud, K. A. 2001. Engineering Mathematics. Industrial Press Inc. : New York
Weber, Jean E. 1982. mathematical analysis, Business and Economics applications. Ed. Ke -4 Bab 4. new york : harper & Rao, publisher Zaelani, Ahmad, Dkk. 2008. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika. Bandung :Yrama Widya
