Matematika HELYI TANTERV évfolyam

Matematika HELYI TANTERV 9-12. évfolyam Összeállította a Károlyi Mihály Fővárosi Gyakorló Kéttannyelvű Közgazdasági Szakközépiskola Matematikai Munkaközössége Készült: 2008. június 25.

Bevezetésre kerül felmenő rendszerben a 2008-2009-es tanévben a 9. évfolyamon..

1. Matematika 9-12 Mottó: „A matematika érdekes és szép is, az emberi gondolat izgalmas és szép kalandja. A matematika szépsége nem valami járulékos dolog, hanem a matematikának a lényegéhez tartozik. A valódi igazság mindig szép és a valódi szépség mindig igaz". Rényi Alfréd

Az órakeret évfolyamonkénti elosztása: Évfolyam Heti óraszám Éves óraszám Tanítási hét szám

9. 3 óra 111 óra 37

10. 3 óra 111 óra 37

11. 3 óra 111 óra 37

12. 3 óra 96 óra 32

2. Célok és feladatok A matematikatanítás célja feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belső, felfedező tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetőségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése.

2

Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentőségének növekedése b) a matematika alkalmazási terének növekedése c) egyensúly a matematika belső struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. „Az ember csak azt értheti meg, amire maga jön rá: amit készen kap, anélkül, hogy megdolgozna érte, az egyik fülén be, a másikon ki.”

3. Fejlesztési követelmények 3.1. Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása, a matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az időszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Műveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bővülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A „ha ..., akkor ...” az „akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos.

3

3.2. Gyakorlottság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különböző tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.

3.3. Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása A középiskola matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi előtti rendszerező összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különböző területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen időszakban is elengedhetetlen a szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást.

3.4. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. A közelítő értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért.

4

Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is.

4. Magasabb évfolyamra lépés feltételei A követelményrendszer kidolgozása során az alábbi szinteket alkalmazzuk: A megértés szintje: A matematikai fogalmakat akkor nevezhetjük megértetteknek, ha a fogalomnak matematikailag lényeges jegyeit helyesen tudják felhasználni a tanulók. A tételeket akkor értik, ha értik a tételben szereplő fogalmakat, s világosan látják, hogy a tételben megfogalmazott állítás(ok) mely feltételek mellett igaz(ak), mely feltételek mellett nem. Az alkalmazás szintje: Az ismereteket számukra új helyzetben is alkotó módon tudják alkalmazni. A matematikában az alkalmazás szintjét az önálló problémamegoldás képessége jellemezheti. Természetesen ezen a szinten belül nagyon sok, fokozat lehetséges: az egyszerű feladatok önálló megoldásától a versenyfeladatok megoldásáig. Itt valamiféle felső határt megszabni szinte lehetetlen. A nagy gyakorlat szintje: A felsorolt ismereteket és eljárásokat rutinszerűen, biztos eszközként tudja alkalmazni a tanuló. Az évfolyamokra és témakörökre lebontott követelmények a részletes tantervben megtalálhatók.

5. Értékelés, ellenőrzés, otthoni felkészülés 5.1. Az értékelés általános elvei és módszerei Hatékonyan nevelni és tanítani lehetetlen megfelelő ellenőrzési és értékelési eljárások nélkül, hiszen az ellenőrzés folyamatában nyert információkat elemezve alakíthatjuk ki további pedagógiai munkánk irányát, fő lépéseit. Ugyanakkor az ellenőrzés és értékelés a tanulási és önnevelési folyamat fejlesztésének fontos eszköze, a folyamatos ellenőrzés rendszeres munkára szoktatja a tanulókat, az ellenőrzés eszközéül szolgáló feladatok megoldása közben hozzászoknak a koncentrált, pontos munkavégzéshez, az önálló munkához, fejlődik gondolkodásuk, szóbeli és írásbeli kifejezőképességük. Minden tanulói teljesítményt lehet és kell értékelni, de nem minden teljesítményt lehet és kell osztályozni! A tantárgyi osztályzatok kizárólag a tantárgyi teljesítményt értékelik; helytelen, ha az osztályzatba beszámítjuk a tanulók segítő tevékenységét, viselkedését, különböző iskolai feladatok végzését. Bele kell viszont számítani az érdemjegybe és az osztályzatba a tanulónak a tantárggyal kapcsolatos valamennyi megnyilvánulását: szóbeli, írásbeli feleleteket, dolgozatokat, órai munkát, 5

aktivitást, kiselőadást, versenyeken való részvételt, pályázatokat, gyakorlati tevékenységeket (kísérletek) stb. A tantárgyi teljesítmények elbírálásánál messzemenő objektivitásra kell törekedni. A dolgozatokat, feladatlapokat, általában minden tanulói produktumot kijavítás után a pedagógus értékelésével együtt legkésőbb két héten belül vissza kell adni a tanulóknak, a megerősítés élménye csak így érvényesülhet. A szóbeli feleleteknél is élni kell a tanári és a tanulói értékelés, bírálat lehetőségével, ezzel elősegítve a tanulók ítélőképességének és önértékelésének fejlődését. Meg kell különböztetni a tantárgyi érdemjegyet az osztályzattól. Az érdemjegyet egyes feleletekre, dolgozatokra adjuk, vagyis egy-egy részteljesítményt honorálunk. Célszerű a szaktanárnak feljegyezni, hogy ezek a részteljesítmények miből adódnak, mert nem egyenlő értékűek. Az év végi (félévi) osztályzat megállapításánál az év végi (félévi) összteljesítményt kell figyelembe venni, hiszen a tantervi követelmények általában a tanév végére, vagy meghatározott időszakra teljesítendők. Sok olyan tanuló van, akiknél a megértés, rögzítés és alkalmazás folyamata hosszabb időt igényel. Az év végi (félévi) összteljesítményt értékelje tehát az osztályzat, és ne az érdemjegyek középarányosaként keletkezzen; tükrözze az értékelési időben bekövetkezett fejlődést. Az évközi érdemjegyek és az év végi teljesítmény között mutatkozó eltérés sokszor dilemmahelyzetet jelent a tanár számára. Úgy tűnik, hogy igazságtalanság az, hogy az év végi rohammunkát éppúgy jó osztályzattal jutalmazzuk, mint az egész éven át egyenletest. Mégis pedagógiailag az a helyes, ha egyes gyengébb évközi érdemjegyek nem húzhatják le az év végi osztályzatot, ha közben beértek az ismeretek, és a tanuló pótolta a hiányosságait. (Az egyenetlen munkavégzés a szorgalom ill. magatartás osztályzatban tükröződjön.) A tanulók munkájáról, teljesítményéről a szülők rendszeres és folyamatos tájékoztatása szükséges. Ennek módjai a továbbiakban is: ellenőrző, fogadó óra ill. a szülő külön behívása indokolt esetben.

5.2. Az ellenőrzés általános elvei és módszerei Matematikából az érettségi követelmény és a tantárgy sajátos szerepe miatt az írásbeli ellenőrzés dominál. Az írásbeli beszámoltatás egyike azon módszereknek, melyekkel a tanulók tudását ellenőrizhetjük, illetve egy-egy osztályközösséget lendületes munkára ösztönözhetünk. Az írásbeli ellenőrző formák sokféleségét figyelhetjük meg a természettudományi tantárgyak tanítása során, hiszen más-más célt szolgál egy-egy röpdolgozat, témazáró dolgozat, tantárgyteszt, stb. megíratása. Arányát, számát úgy kell meghatározni, hogy ez ne fokozza a tanulók túlterhelését. Nem helyeselhető naponta több feladatlap, dolgozatírás. A feladatsorok összeállításakor ügyeljünk arra, hogy a becsületesen dolgozó, szerényebb képességű tanulókat a dolgozat ne állítsa leküzdhetetlen nehézségek elé. (Célunk nem az, hogy a tanulni akaró diákot elkedvetlenítsük.) Ezért a feladatsorok feltétlenül tartalmazzanak legalább két elégséges és egy közepes színvonalú feladatot. Ugyanakkor a jó és a jeles képességű tanulókra is gondolva tartalmazzon „nehezebb” feladatokat is, ügyelve arra, hogy a választott feladatok a kerettanterv célkitűzésének és nehézségi szintjének megfeleljenek. Célszerű olyan feladatok szerepeltetése is, melyek házi feladat vagy órai munka során már ismertté váltak a tanulóknak, ezek tudatosíthatják a tanulókban az otthoni egyéni munkák fontosságát, hasznosságát. Így azok a diákok, akik becsületesen készülnek az órákra, szerényebb képességük ellenére is megfelelő sikerélményhez, elismeréshez juthatnak. Ezzel fokozódik az önálló gyakorlás iránti igény, amely nélkül az eredményes matematikaoktatás elképzelhetetlen.

6

Az írásbeli beszámoltatás formái: 1. Matematikából a 8. osztályosok írásbeli felvételit tesznek, melynek anyaga az általános iskolában tanultak legfontosabb részét öleli fel, de képet kell kapnunk a tanulók gondolkodási készségéről is. Ennek értékelése egységesen kidolgozott pontozással történik. 2. A felvett tanulók szeptember elején egységes feladatlap alapján felmérő dolgozatot írnak. Ennek célja a tanulók tudásszintjének vizsgálata, a tanár további tervező és felzárkóztató munkájához való adatgyűjtés. A felmérőre adott érdemjegyet nem számítjuk az osztályzatokba, az osztályzatot zöld színű tollal írjuk be az osztálynaplóba. 3. A röpdolgozat egy-egy témakörben kíván tájékozódni. Kisebb anyagrész elsajátításának ellenőrzése szolgál; elméleti tételeket, egyszerűbb bizonyításokat és ezek konkrét alkalmazását kérheti. Ezeket a szaktanár nem köteles előre bejelenteni, az ilyen jellegű ellenőrzés folyamatos. 4. A témazáró dolgozat összefoglaló dolgozat, nagyobb anyagrészben kíván tájékozódást szerezni a tanuló felkészültségéről. Mérhető vele a tudás, az ismeretek szilárdsága és azok biztonságos alkalmazása. Bizonyos anyagrészek lezárásakor íratjuk; összefoglalás és rendszerező ismétlés előzi meg. Ennek a dolgozatnak a megíratását legalább egy héttel előbb jelezni kell a tanulóknak, és fel kell hívni a figyelmet a legfontosabb anyagrészekre, az előforduló problémákra. Célszerű gyakorló feladatokat kijelölni, ezzel is fokozni a felkészülés intenzitását. 5. A helyi tantervben előírt kötelező írásbeli dolgozat: Nagyobb anyagrészt számonkérő írásbeli dolgozat. Mérhető vele a tudás, az ismeretek szilárdsága, és azok bztonságos alkalmazása. Ennek a dolgozatnak a megíratását legalább egy héttel előbb jelezni kell a tanulóknak, és fel kell hívni a figyelmet a legfontosabb anyagrészekre, az előforduló problémákra. Célszerű gyakorló feladatokat kijelölni, ezzel is fokozni a felkészülés intenzitását. A dolgozatot úgy kell tervezni, hogy egy nap két dolgozatnál ne legyen több. Az elégtelent írt tanulóknál javítási lehetőséget kell biztosítani két héten belül. A dolgozatot a hiányzó tanulókkal is pótoltatni kell. Elégtelentől különböző osztályzat esetén is felajánlhat a szaktanár javítási lehetőséget, mellyel újabb osztályzat szerezhető. Ha javító dolgozat megírására nem kerül sor, az eredeti osztályzat kétszer (egyik alkalommal piros tollal) kerül bejegyzésre. Minden évfolyamon három-három dolgozat megírása szükséges, melynek szétosztása egyenletes legyen a tanév során. 6. Célszerű egy-egy nagyobb anyagrészből gyakorló feladatokat kijelölni hosszabb időintervallumra. Ezek megoldását – ha a tanuló beadja – javítási lehetőségként értékelje a szaktanár. 7. Évfolyamok egységes felmérése (a munkaközösségi tervek alapján), ezeket év végén illetve félévzárás előtt célszerű íratni. Értékelése egy osztályzattal történik, mely az osztályzónaplóba zöld színnel kerül beírásra 8. Értékeljük még a tanuló órai munkáját, házi versenyeken és egyéb matematika versenyeken nyújtott teljesítményét. 9. Az önálló ellenőrzésre nevelés feladataként a házi feladatok ellenőrzése és javítása folyamatosan történik az egész tanév során. 10. A 10. év végén (kéttannyelvű és nyelvi előkészítős osztályok esetén a 11. év végén) május közepéig diagnosztikus felmérést iratunk az addig tanított tananyagából, amelynek százalékos teljesítményét értékeljük. A 12. év végén (kéttannyelvű és nyelvi előkészítős osztályok esetén a 13. év végén) április közepéig diagnosztikus felmérést iratunk az érettségi tartalmi 7

követelményéből, amelynek százalékos teljesítményét értékeljük. Az elégtelent írt tanulók háromtagú vizsgabizottság előtt szóbeli javítóvizsgán vesznek részt. Ezen felmérések eredménye zöld színű tollal kétszer kerül beírásra az osztálynaplóba. Hiányzás esetén a tanulóval pótló dolgozatot íratunk.

5.3. Az otthoni felkészülés előírásának elvei és korlátai Matematika oktatásunk eredményessége érdekében szem előtt kell tartanunk, továbbá tudatosítani kell a tanulókban és a szülőkben is, hogy az írásbeli és szóbeli házi feladatok, azaz a tanulók otthoni munkája a tanórai munka szerves folytatása. A házi feladatok célja különböző lehet: 

Az alapfogalmak, alapismeretek, összefüggések gyakoroltatása. Így tudjuk elérni, hogy a legfontosabb ismeretek megszilárduljanak, alapvető tudáselemek készségként álljanak a tanulók rendelkezésére.



A tanult ismereteket a tanulók önálló feladatmegoldásban tudják alkalmazni, egyrészt olyan feladat formájában, amelynél az órán megoldottra ráismernek a diákok, másrészt új szituációkban is meg tudják a problémát oldani.



Az órán feldolgozásra kerülő témákhoz szükséges alapismeretek feleleveníttetése (ismétlés, tankönyvhasználat)

A házi feladatok célját (és az osztályt) ismerve kell megtalálnunk azt a módszert és helyes arányt, amelyet követnünk kell, de vannak általános elvek, amelyeket minden szaktanárnak be kell tartani: 1. A kijelölt házi feladatokhoz adjunk útmutatást, segítséget (figyelembe véve a csoport képességét). 2. A feladatok kijelölése differenciáltan történjen. A feladatsor mindig tartalmazzon elégséges, közepes és jó képességű tanulókra vonatkozó feladatot. 3. A házi feladatok ellenőrzésére, a felmerülő problémákra, ötletekre időt kell szánni (itt élhetünk a technika eszközeivel is, mint például írásvetítő). 4. A házi feladatok megoldását értékelni kell. Így azok a tanulók, akik becsületesen megoldják a házi feladatot, siker élményhez, elismeréshez jutnak. 5. Tudatosítani, és következetesen alkalmazni kell valamilyen szankciót, ha a tanuló nem készít házi feladatot. Ha a tanuló esetleg nem érti a feladatot, álljon rendelkezésére egy olyan kijelölt „feladatbank”, amelyből alternatívát választhat képességeinek megfelelően, így bizonyítva az órára való készülésének szándékát. 6. A szaktanárnak ügyelni kell arra, hogy a házi feladat harminc-negyven percnél ne legyen időigényesebb, mert a többi tárgyból is kell készülnie a tanulónak. 7. A megtanulandó elméleti anyagot egyértelműen ki kell jelölni a diákok számára, mert lexikális tudás nélkül nem tudják feladatokat megoldani. 8. Az önálló gyakorlás igényének fokozása érdekében témakörönként jelöljünk ki nagyobb időintervallumra gyakorló feladatokat, melyeket felhasználhatunk dolgozatoknál, feleléseknél.

8

6. Taneszköz kiválasztás elvei Matematika oktatásunk célja, hogy vezessük be a tanulókat a matematikai gondolkodásmódba, problémamegoldásba, neveljük minél nagyobb önállóságra a tananyag megismerésében és alkalmazásában. Az egységesen használt tankönyveknek tehát olyannak kell lenniük, hogy ezt a szellemi alkotó munkát elősegítsék. A problémából kiindulva juttassák el a tanulókat a matematikai összefüggések észrevételéhez és megfogalmazásához. Ezért olyan tankönyv használata lesz eredményes tanár és diák számára, amely munkáltató jellegű, felépítésében követi és tartalmában lefedi a kerettantervi anyagot, biztosítja a differenciált önálló tanulói munkát. A tanuló életkori sajátosságait figyelembe véve törekszik a precíz matematikai nyelv használatára, tételek, bizonyítások leírására. Ábrái szemléletesek, mintafeladatai, lényegkiemelése, nyelvezete egyaránt alkalmassá teszi arra, hogy a tanulók otthoni és iskolai munkáját segítse. Amennyiben megjelenik az új tankönyvhöz feladatlap vagy feladatgyűjtemény, ezeknek is komoly szerepe kell hogy legyen az iskolai és az otthoni gyakorlásban.

6.1. Taneszközök 6.1.1. Nyomtatott taneszközök:

6.1.1.1. Tanulói segédletek  Tankönyv  Példatárak  Függvénytáblázat  Feladatlapok 6.1.1.2. Tanári segédletek * * * * * *

Tanári kézikönyvek Útmutatók Matematikai lexikonok Szakkönyvek Folyóiratok (KÖMAL stb.) Matematika történeti könyvek

6.1.2. Nyomtatott grafikai taneszközök  Matematikai táblák, faliképek:  Pythagoras tétel  Alapvető térgeometriai testek felszíne és térfogata  Kerület- és területszámítási összefüggések  Szögfüggvények ábrái  Forgásszög  Hogyan oldjuk meg?  Matematikusok arcképsorozata

9

6.1.3. Tanulókísérleti eszközök

   

vonalzók körző szögmérő számológép

6.1.4. Tanári demonstrációs eszközök  Alapvető térgeometriai ismeretek kialakítására, a térszemlélet fejlesztésére alkalmas átlátszó és nem átlátszó testek  Különböző testek síkmetszeteit bemutató eszköz-térbeli modellsorozat  Különböző testek élvázait szemléltető eszköz  Sík- és térmértani modellező készlet  Szerkesztési eljárások végrehajtásához szükséges eszközök:  vonalzók  körző  szögmérő  szögfüggvények kiterjesztés:  egységsugarú kör  zsebszámológép

6.1.5. Audiovizuális információhordozók

 televízió  videó, videofilmek  számítógép, software-ek 6.1.6. Vizuális információhordozók

   

írásvetítő fólia sorozat fólia tollkészlet

10

7. A tanterv évfolyamokra és témakörökre lebontva 7.1. Matematika 9 Heti óraszám: 3 Éves órakeret: 111

7.1.1. Cél Az általános iskolai ismeretek elmélyítése, bővítése és rögzítése. új ismeretek szerzése.  A logikus gondolkodás kialakítása és fejlesztése. A matematika deduktív jellegének, felépítésének megértése (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), a pontos fogalomalkotás jelentőségének felismertetése. Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése.  A kombinatív készség, az ötletesség, a kreativitás fejlesztése célszerű, új fogalmak alkotásával, összefüggések felfedeztetésével, az ismeretanyag feladatokban való alkalmazásával.  A pontos, kitartó, fegyelmezett munkára nevelés, az önellenőrzés igényének, a becslés képességének kialakítása.

7.1.2. Követelmény A matematikai tartalmat hordozó szöveg pontos értelmezése. Az alapfogalmak, definíciók. tételek pontos megfogalmazása és a tételek bizonyítása. Alapvető matematikai eljárások biztos tudása. A mindennapi problémák értelmezése, leírása és kezelése a matematika eszközeivel.

7.1.3. Továbbhaladás feltétele Az évfolyamra vonatkozó továbbhaladási feltétel a részletes tantervben témakörökre lebontva megtalálható.

7.1.4. Tartalom Az éves órakeret felosztása: 1. Gondolkodási módszerek 2. Számtan, algebra 3. Függvények, sorozatok 4. Geometria 5. Valószínűség, statisztika 6. Az évközi témazáró dolgozatok íratása, javítása 7. Évközi és év végi ismétlés

7.1.5. Ellenőrzés Módjai: 

folyamatos megfigyelés, korrekció,



csoportos és egyéni szóbeli számonkérés, 11

7 óra 38 óra 16 óra 28 óra 6 óra 6 óra 10 óra



témazáró feladatlapos felmérés,



diagnosztizáló felmérés,



projekt munka értékelése,



otthoni önálló munka értékelése,



szintfelmérések.

7.1.6. Részletes tanterv

7.1.6.1. Gondolkodási módszerek (7 óra) 7.1.6.1.1.

Cél

A megfigyelőképesség, a problémaérzékenység, a fegyelmezett gondolkodás fejlesztése. Törekvés a problémák önálló megoldására. Az összefüggések felismerése, a fogalmak megértése, elsajátítása, alkalmazása. A gyakorlati alkalmazáshoz szükséges halmazelméleti szemléletmód kialakítása. A valós számhalmaz felépítése, a szám- és ponthalmazok kapcsolatának a megteremtése. A racionális számkörben az alapműveletek biztonságos használatának kialakítása.

7.1.6.1.2.

Követelmény

A megértés szintjén ismerjék: 

a halmaz fogalmát, a halmaz tulajdonságait, az alaphalmaz, a részhalmaz, a halmazok egyenlőségét,



az irracionális szám és a valós számhalmaz szemléletes fogalmát és tulajdonságait,



a N, Z, Q, R halmazok kapcsolatát,



azt a tényt, hogy a racionális számoknak megfelelő pontok nem töltik ki a számegyenest,



a valós számhalmaz és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető,

Az alkalmazás szintjén tudják: 

a halmazokkal kapcsolatos műveleteket: unió, metszet, különbség fogalmát,



a műveletek végrehajtását egyszerű szám- és ponthalmazoknál,



az egyszerű síkbeli ponthalmazok meghatározását és több feltételnek eleget tevő ponthalmazok megkeresését,



a természetes számok, egész számok és racionális számok halmazának fogalmát, tulajdonságait



az alapműveletek tulajdonságait, a racionális számhalmaz zártságát az alapműveletekre nézve, a nullával való osztás kizárását,



a racionális számok számegyenesen való ábrázolását,



a számegyenes és a síkbeli Descartes-féle koordináta rendszer fogalmát

Legyen nagy gyakorlatuk: 

a síkbeli pontok koordinátákkal való meghatározásában, egyszerű tulajdonságú ponthalmazok Descartes-féle koordináta rendszerben történő megadásában, 12



az alapműveletek elvégzésében a racionális számkörben.

7.1.6.1.3.

Tartalom és a továbbhaladás feltételei

Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégséges feltétel megkülönböztetése.

7.1.6.1.4.

Tartalom

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozodás a számegyenesen. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmaz képzés, két halmaz különbsége. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. Egyszerű azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerű feladatok a logikai szita-formulára. Egyszerű kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése.

A továbbhaladás feltételei

Tájékozottság a racionális számkörben.

Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Az “akkor és csak akkor” használata – (folyamatos) Tétel és megfordítása (folyamatos).

Ellenőrzés

Módjai: 




csoportos és egyéni írásbeli számonkérés,



más témakörökben tanultak felmérése során adunk olyan feladatokat, amelyek e témakörhöz is kapcsolódnak.






projektmunka értékelése,



otthoni önálló munka értékelése

7.1.6.2. Számtan, algebra (38 óra) 7.1.6.2.1.

Cél

Az általános iskolában tanult ismeretek bővítése. A normál alak, a törzstényezőre bontás, a legkisebb közös többszörös. a legnagyobb közös osztó és az oszthatósági alapfogalmak eszközszerű alkalmazása. A többi tantárgyban szükséges algebrai átalakítások biztos használata, a permanencia elv megértése. Igény kialakítása az algebrai kifejezések vizsgálatára. Szöveges problémák matematikai megfogalmazása és megoldása. A lineáris egyenlet eszközszerű használata. A szöveges egyenletek felállításával a tanulók logikus gondolkodásának fejlesztése a fokozatosság elve alapján. A matematika széleskörű alkalmazásának érzékeltetése.

13

7.1.6.2.2.

Követelmény


a számelmélet alaptételét,



az algebrai kifejezés fogalmát,



a pozitív egész kitevőjű hatványokra vonatkozó azonosságok bizonyítását,



a permanencia elvét,



a polinom fogalmát, egyenlőségét és fokszámát,



az algebrai tört fogalmát és műveleti tulajdonságait.



az egyenlet fogalmát,



az egyenlet gyökének fogalmát,



az azonosság fogalmát,



az egyenlet és egyenlőtlenség megoldásának különböző módszereit (algebrai, geometriai).


az osztó, a többszörös, a legnagyobb közös osztó és a legkisebb közös többszörös : fogalmát,



a prímszám és összetett szám fogalmát,



a pozitív, negatív egész és zérus kitevőjű hatvány fogalmát és azt, hogy a hatványozás azonosságai a bővített hatványfogalom esetén is érvényben maradnak, és mindkét irányban alkalmazhatók,



az algebrai törtekkel végezhető alapműveleteket,



az algebrai kifejezések értelmezési tartományának a meghatározását,



a polinomok hatványozásának és szorzatra bontásának módszereit és azonosságait,



az egyenlet és egyenlőtlenség, egyenletrendszer, egyenlőtlenség-rendszer megoldását,



a „mérlegelv” lényegét egyenletnél és egyenlőtlenségnél,



a szöveges problémák matematikai megfogalmazását,



a szöveges típusfeladatok vagy azokhoz közelálló nehézségű feladatok egyenleteinek felírását, illetve megoldását,



azokat az összefüggéseket, amelyek ismerete elengedhetetlen a szöveges típusfeladatok megoldásához,



a fizikai, kémiai képletekből az egyes változók kifejezését,



a törtet tartalmazó egyenletek egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek megoldási módszereit,



az abszolút-értékes egyenletek megoldási módszereit.


a tanult műveletek alkalmazásában (asszociativitás, kommutativitás, disztributivitás), az egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldásában,



az összeg összeggel való szorzásának és a kiemelés műveletének alkalmazásában,



a lineáris egyenletek. egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek algebrai megoldásában. 14

7.1.6.2.3.



A fogalom célszerű kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata.

Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás.

A rendszerező-képesség fejlesztése. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alapvető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival. Induktív gondolkodás fejlesztése (próbálgatás, általánosítás).

7.1.6.2.4.

Tartalom

Betűk használata a matematikában, műveletek betűs kifejezésekkel. Egytagú, többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azonosságai, legalább egy azonosság bizonyítása; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b)2, a2 – b2 szorzat alakja, (a ± b)3, a3 – b3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása. Ezen azonosságok alkalmazása egyszerű algebrai, egészekkel és törtekkel végzett műveleteknél. (Egyszerűsítés, szorzás, osztás, összevonás.) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. Egyenletek megoldása mérlegelvvel, szorzattá alakítással, értelmezési tartomány és értékkészlet vizsgálatával. Paraméteres egyenletek. Gyakorlati, mindennapi életbeli problémák megoldása egyenletekkel. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítő módszer, egyenlő együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. Gazdaságosság, veszteség, nyereség elemzése a feladatok kapcsán. Egy abszolútértéket tartalmazó egyenletek. Relatív prímek, oszthatósági feladatok (számolás maradékokkal, oszthatósági szabályok: 2-vel, 3mal, 4-gyel, 5-tel, 9-cel való oszthatóság). Prímtényezős felbontás, a számelmélet alaptétele, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Példa számrendszerekre.


Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása. A négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezésekkel.

Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása. Kettes alapú számrendszer kapcsolata a tizes alapú számrendszerrel.

Ellenőrzés

Módjai: 




csoportos és egyéni számonkérés, 15












témazáró feladatlapos értékelés.

7.1.6.3. Függvények, sorozatok (16 óra) 7.1.6.3.1.

Cél

Legyen képes a tanuló a körülötte levő világ összefüggéseinek függvényszerű megjelenítésére, ezek elemzéséből tudjon következtetni valóságos jelenségek várható lefolyására, s tudja az így kapott eredményeket interpretálni. Értse, hogy a függvény matematikai fogalom, amely a hozzárendelés absztrakt megfogalmazása. Legyen képes az ok-okozati viszony felismerésére, a függés értelmezésére. Ismerje fel a hozzárendelés formáját, elemezze a halmazok közötti kapcsolatokat.

7.1.6.3.2.

Követelmény


a monotonitást,



az abszolút szélső értéket



a függvény invertálhatóságát.


az intervallum fogalmát és jelölését,



a reláció fogalmát,



a függvény fogalmát,



a függvény megadási módjait,



a függvény értelmezési tartományát, értékkészletét,



két függvény egyenlőségének feltételét,



a valós függvény zérushelyét,



a valós függvények ábrázolását derékszögű koordináta rendszerben,



az egyenes- és fordított arányosságot,



a lineáris függvényeket,



a másodfokú függvényeket,



az abszolút érték függvényt,



a lineáris tört függvényt,


a függvénykapcsolatok felismerésében,



a függvények különböző módon történő ábrázolásában (a függvények transzformációs lépésekkel történő ábrázolását jártasság szintjén alkalmazzák)

16

7.1.6.3.3.



Tartalom

A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A távolság és az abszolútérték kapcsolata A megfelelő modell megkeresése.

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány, a x a . A vizsgált függvények x elemi tulajdonságai: értékkészlet, zérushely, monotonitás, szélsőértékek.

7.1.6.3.4.


Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Ellenőrzés

Módjai: 




csoportos és egyéni számonkérés.









otthoni önálló munka értékelése.



témazáró feladatlapos mérés.

7.1.6.4. Geometria (28 óra) 7.1.6.4.1.

Cél

Az általános iskolai ismeretek rendszerezése és bővítése. A modellalkotó tevékenység fejlesztése, a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyítására való igény kialakítása. A matematika belső szépségének és az emberi kultúrában betöltött szerepének bemutatása. A térbeli tájékozódás és az esztétikai érzék fejlesztése.

7.1.6.4.2.

Követelmény


a geometriai alapfogalmakat,



Thalész tételét, megfordítását és bizonyítását,



a vektor, a vektor abszolút értéke, a nullvektor, az ellentett vektor, a helyvektor és vektoregyenlőség fogalmát,



a térelemek távolságának és szögének értelmezését.


az egyszerű síkbeli ponthalmazok meghatározását és több feltételnek eleget tevő ponthalmazok megkeresését,



a háromszögbe és a háromszög köré írható kör fogalmát és ezek megszerkesztését,



a sokszögek osztályozását, tulajdonságaikat,

17



a háromszög-egyenlőtlenségeket,



az egyes egybevágósági transzformációk definícióját és tulajdonságaikat (tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, eltolás, forgatás),



a háromszögek egybevágósági eseteit,



az egyszerű síkidomok szimmetria viszonyait,



az egybevágóságra vonatkozó szerkesztési; számítási és bizonyítási feladatok megoldását,



a vektorok összeadását és kivonását,



a szög mértékegységeinek átváltását,



a körív hosszát és a kör részeinek területét,



a háromszög nevezetes vonalait (magasság-, súly-, középvonal, szögfelező, oldalfelező merőleges).

Legyen nagy gyakorlatuk 

a geometriai alapszerkesztések elvégzésében,



a tanult egybevágósági transzformációk végrehajtásában,



az összeg és különbségvektor megszerkesztésében.

7.1.6.4.3.



Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, bizonyítási igény kialakítása.

Tartalom


Geometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Nevezetes ponthalmazok a síkban és a térben. A háromszög nevezetes vonalai, beírt köre, körülírt köre (legalább egy tétel bizonyítása).

Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete.

Thalész tétele, néhány alkalmazása, a kör és érintői.

A körrel kapcsolatos fogalmak és az érintő tulajdonságának ismerete.

18


A transzformációk, mint függvények értelmezése, a megmaradó és változó tulajdonságok a transzformációkban.

A geometriai transzformáció fogalma, példák geometriai transzformációkra. A tengelyes és középpontos tükrözés, ezek tulajdonságai, néhány alkalmazása (tengelyes és középpontos szimmetria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. (pont körüli elforgatás, forgásszimmetria). Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. Síkbeli tájékozódás, A forgásszög fogalma, írmérték, tervezés, a a kör középponti szöge, körív konstrukciós, hossza, körcikk kerülete, területe. analizáló képesség és Képletek használata. a diszkussziós igény kialakítása, Egyszerű szerkesztési feladatok. sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.

7.1.6.4.4.


Tartalom

A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben.

Ellenőrzés

Módjai: 




csoportos és egyéni számonkérés.









otthoni önálló munka értékelése.



témazáró feladatlapos mérés.

7.1.6.5. Valószínűség, statisztika (6 óra) 7.1.6.5.1.

Cél

A megfigyelő-, elemző képesség és a matematikai szemlélet fejlesztése. A mindennapi élet matematikai vonatkozásainak és a matematika gyakorlati alkalmazhatóságának felismerése.

7.1.6.5.2.

Követelmény

A megértés szintjén ismerjék 

a statisztikai alapfogalmakat,



a mérési eredmények vizuális ábrázolási módjait.

Az alkalmazás szintjén tudják 

értelmezni és elemezni a statisztikai kiadványokban megjelenő adatokat. 19

Legyen nagy gyakorlatuk 

grafikonok, diagrammok olvasásában és értelmezésében.,

7.1.6.5.3.



A statisztikai adatok helyes értelmezése. Képi információ és a matematikai tartalom kapcsolata

7.1.6.5.4.


Tartalom

Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram), számtani közép, medián, módusz; szórás. Környezetvédelmi, népesedési, fogyasztásról szóló adatok szerepeltetése.

Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

Ellenőrzés

Módjai: 











7.1.6.6. Dolgozatok (6 óra) 7.1.6.6.1.

Cél

A tanult ismeretek számonkérése.

7.1.6.6.2.

Követelmény

A dolgozatban feladatsorok).

7.1.6.6.3.

szereplő

téma

követelményeinél

megtalálhatók

(differenciált

nehézségű

Tartalom

A tanévben tanult témák anyaga, figyelembe véve az évközi eredményeket. A témazáró dolgozat témakörei: 1. Halmazok, függvények 2. Hatványozás, polinomok, algebrai törtek, szorzattá alakítások, geometriai transzformációk 3. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek, síkidomok, geometriai számítások

7.1.6.6.4.

Ellenőrzés

Témazáró feladatlapos értékelés.

20

7.1.6.7. Ismétlés (10 óra) 7.1.6.7.1.

Cél

Rendszerező összefoglalás.

7.1.6.7.2.

Követelmény

Az átismételt témakörök tartalmazzák.

7.1.6.7.3.

Tartalom

A tanévben tanult témák anyaga, figyelembe véve az évközi eredményeket.

7.1.6.7.4.

Ellenőrzés

Évvégi szintmérés.

21

7.2. Matematika 10 Heti óraszám: 3 Éves órakeret: 111

7.2.1. Cél Nagyobb önállóságra nevelés a szövegelemzés és a bizonyítás terén. A matematika alkalmazhatóságának a további megmutatása. A trigonometrikus ismeretek beépítése a geometriai módszerek körébe.

7.2.2. Követelmény A biztos egyenletmegoldás, egyenlőtlenség megoldása (első és másodfokú); az ekvivalencia elvének ismeretében. Ismerje a szögfüggvényeket, a hasonlóságot és annak alkalmazását. Legyen gyakorlatuk az összetett geometriai feladatok megoldásában. Bizonyítási igény fontosságának tudatosítása.



7.2.5. Ellenőrzés 




csoportos és egyéni szóbeli számonkérés,















év végi szintfelmérés

22

6 óra 38 óra 12 óra 33 óra 6 óra 6 óra 10 óra



Cél

A gondolkodási módszerek egyre tudatosabb alkotó alkalmazása a matematikai fogalmak értelmezésében, a fogalmak közti feltárásában, a problémák megoldásában, a felismert összefüggések bizonyításában. A kombinatorikai gondolkodásmód fejlesztése.

7.2.6.1.2.

Követelmény

Tétel és definíciók megkülönböztetése, különböző bizonyítási módszerek ismerete.

7.2.6.1.3.



A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. A bizonyítási igény további fejlesztése. A követő képzelet fejlesztése a tanult bizonyítások felidézésével

Tartalom


Tétel és megfordítása. (folyamatos) Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolatmenetek (indirekt módszer, skatulya-elv konkrét példákon kersztül).

A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Változatos kombinatorikai feladatok Egyszerű sorbarendezési és a hétköznapi életből. kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

7.2.6.1.4.

Ellenőrzés

Módjai: 









Cél

Az egyenletmegoldási ismeretek bővítése. A másodfokú függvény fogalmának általánosítása. A szöveges feladatok kapcsán a gondolkodásmód fejlesztése. A valós szám fogalmának elmélyítése.

7.2.6.2.2.

Követelmény


az n-edik gyök fogalmát, azonosságait és azok bizonyítását, 23



az egyenlet, az egyenletrendszer ellenőrzésének elvi alapjait (saját munkánk és a nem ekvivalens átalakításokból adódó hibák ellenőrzése),



az egyenletek ekvivalenciájának fogalmát.


a gyökös kifejezésekkel végezhető műveleteket,



a gyökös kifejezések értelmezési tartományának meghatározását,



a másodfokú egyenlet megoldási módszereit (szorzattá alakítás, megoldóképlet),



a másodfokú egyenlőtlenség grafikus megoldását,



a másodfokú egyenletrendszerek megoldását,



a diszkrimináns fogalmát, gyöktényezős alakot,



a témához kapcsolódó gyakorlati problémák matematikai modellezését.


a gyökös kifejezésekkel végzett műveletekben,



a másodfokú megoldóképlet alkalmazásában.

7.2.6.2.3.



A permanencia elve a számfogalom bővítésében.

A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

Tartalom


A valós szám szemléletes fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja. Kapcsolat a racionális számok (közönséges) tört és tizedes tört alakja között. Példák irracionális számokra ( 2 ).

Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes irracionális számok ismerete.

A négyzetgyök azonosságai. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Az n-edik gyök fogalma, azonosságai.

A négyzetgyök azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben.

A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezős alak. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között.

A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

24



Tartalom

A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományo s problémák megoldásában. A szöveg felidézése, vázlat, rajz készítése a problémához. A megfelelő rögzítési mód megtalálása.

Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok. Egyszerű gazdaságossági számítások, mozgási feladatok, a szakmai profilnak megfelelő alkalmazások, tréfás feladatok stb.

Különböző típusú egyszerű szöveges feladatok megoldása.

Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál.

Ekvivalens és nem ekvivalens lépések egyenletek átalakításánál, egyszerű négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata.

Egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenőrzése.

Az algebrai és Egyszerű másodfokú egyenlőtlenség grafikus módszerek megoldása. A megoldások együttes alkalmazása ábrázolása számegyenesen. a problémamegoldásba n.

7.2.6.2.4.

Ellenőrzés

Módjai: 







témazáró feladatlapos felmérés











Cél

A trigonometrikus alapfogalmak megismertetése. Az összefüggések gyakorlati alkalmazhatóságának megmutatása. A függvénytani fogalmak pontosítása, elmélyítése. Az esztétikus munkára nevelés.

7.2.6.3.2.

Követelmény


a hasonlóságra alapozva a hegyesszögek szögfüggvényeinek szemléletes jelentését,



a sin  cos , tg , ctg  definícióját, szemléletes jelentését hegyesszögekre,



a tetszőleges szög szögfüggvényének definícióját. 25


a szögfüggvények közötti egyszerűbb összefüggéseket,



függvény monotonitásának, periodicitásának, zérushelyének megállapítását.


a négyzetgyök x függvény ábrázolásában és jellemzésben,



a sin x cos x függvények ábrázolásában és jellemzésében,



függvények transzformációs lépésekkel történő ábrázolásában (1-2 lépés).

7.2.6.3.3.



Új függvénytulajdonságok megismerése, a periodicitás mint időbeli és térbeli jelenség, függvénytranszformációk alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerű használata.

7.2.6.3.4.

Tartalom

A négyzetgyök függvény. A tanult függvények néhány egyszerű transzformációja. A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggések a szög szögfüggvényei között (sin2 + cos2 = 1, pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítő szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása.


A szögfüggvények definíciójának ismerete, az xsinx és xcosx függvények ábrázolása és tulajdonságai.

Ellenőrzés

Módjai: 




csoportos és egyéni szóbeli, írásbeli számonkérés,










7.2.6.4. Geometria (33 óra) 7.2.6.4.1.

Cél

A gondolkodás absztrakciós szintjének emelése. A bizonyítás és a megoldhatóság vizsgálata iránti igény elmélyítése. A síkgeometriai ismeretek kibővítése. A bizonyítási igény és készség fejlesztése. 26

A trigonometrikus alapfogalmak megismertetése. Az összefüggések gyakorlati alkalmazhatóságának megmutatása. Becslések szerepének fontossága távolságok meghatározásánál. A vektorokkal kapcsolatos ismeretek ismétlése, bővítése. A témán keresztül a matematika széleskörű gyakorlati alkalmazhatóságának bemutatása. A függvénytani fogalmak pontosítása, elmélyítése. Az esztétikus munkára nevelés.

7.2.6.4.2.

Követelmény


a geometriai transzformáció általános fogalmát,



a párhuzamos szelők tételét,



a tétel megfordítását,



az arányossági tételeket a derékszögű háromszögben bizonyításokkal,



a középpontos hasonlósági és a hasonlósági transzformáció fogalmát,



a hasonlóságra alapozva a hegyesszögek szögfüggvényeinek szemléletes jelentését,



a sin  cos  tg , ctg  definícióját, szemléletes jelentését hegyesszögekre.


a síkidomok hasonlóságának fogalmát, a háromszögek hasonlósági eseteit,



a hasonlóságra vonatkozó számítási, egyszerű szerkesztési és bizonyítási feladatok megoldását,



a háromszög súlyvonalának és súlypontjának meghatározását és felhasználhatóságát,



vektorok számmal való szorzását, vektorok felbontását síkban,



a szögfüggvények közötti egyszerűbb összefüggéseket,



derékszögiű háromszög alkotórészeinek kiszámítását szögfüggvények segítségével.


középpontos hasonlósági transzformáció végrehajtásában,



hegyesszögek szögfüggvényeinek „ki- és visszakeresésében” zsebszámológép segítségével,



a vektorokkal végzett műveleteket,



a vektorokkal végzett műveleteket koordináták segítségével,



a pozitív és negatív szögek szögfüggvényei közötti kapcsolatokat,



tetszőleges szögek szögfüggvényeinek ki- és visszakeresését zsebszámológép segítségével.

27

7.2.6.4.3.



A transzformációs szemlélet fejlesztése.Hasonlósá gi kapcsolatok keresése a mindennapi életben.

A hasonlósági transzformáció fogalma.

Kreatív problémamegoldás. Geometriai ismeretek alkalmazása, biztos számolási készség, zsebszámológép célszerű használata.

A háromszögek hasonlósága alapeseteinek ismerete és alkalmazása egyszerű esetekben. A hasonlóság alkalmazásai: háromszög súlyvonalai, súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben (befogótétel, magasságtétel). Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok (pl. háromszögek, négyszögek, sokszögek területének meghatározása szögfüggvények segítségével). (A szakmai profilnak megfelelőek is.) Nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különböző irányú összetevőkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben.

A vektorok további alkalmazása.

7.2.6.4.4.


Tartalom

A merőleges vetítés szemléletes fogalma.

A hasonlóság szemléletes tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál.

Ellenőrzés

Módjai: 


















Cél

A matematikai látásmód fejlesztése. A mindennapi véletlen jelenségek értelmezése. 28

7.2.6.5.2.

Követelmény

A megértés szintjén ismerjék 

a valószínűségszámítás alapfogalmakat,

Az alkalmazás szintjén tudják 

a valószínűség kiszámítását egyszerű esetekben.

7.2.6.5.3.



A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése. Kísérletek elvégzése és számítógépes modellezése

7.2.6.5.4.


Tartalom

Valószínűségi kísérletek. A valószínűség szemléletes fogalma. A valószínűség kiszámítása egyszerű esetekben.

Egyszerű problémák megoldása a klasszikus valószínűségi modell alapján.

Ellenőrzés

Módjai: 








7.2.6.6. Dolgozatok (6 óra) 7.2.6.6.1.

Cél


7.2.6.6.2.

Követelmény


7.2.6.6.3.

szereplő

téma

követelményeinél

megtalálhatók

(differenciált

nehézségű

Tartalom

A tanévben tanult témák anyaga, figyelembe véve az évközi eredményeket. A témazáró dolgozatok témakörei: 1.

Négyzetgyökös kifejezések, számolás négyzetgyökökkel, másodfokú és négyzetgyökös egyenletek

2.

Síkgeometriai számítások és magasságtétel, Pitagorasz-tétel)

3.

Szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszögben, szögfüggvények kiterjesztése, egyszerű trigonometriai egyenletek, értelmezési tartományok

7.2.6.6.4.

egyszeűbb

Ellenőrzés

Témazáró feladatlapos értékelés. 29

bizonyítások

(hasonlóság,

befogótétel,

7.2.6.7. Ismétlés (10 óra) 7.2.6.7.1.

Cél


7.2.6.7.2.

Követelmény


7.2.6.7.3.

Előfeltételek

Az egyes témakörök kapcsolódása.

7.2.6.7.4.

Tartalom


7.2.6.7.5.

Ellenőrzés


30


7.3.1. Cél Gyakorlatszerzés az összetett feladatok megoldásában. A matematika alkalmazhatóságának további megmutatása. A hatványozás kiterjesztése és a logaritmus megismerése. A koordinátageometriai ismeretek beépítése a geometriai módszerek körébe. Felkészülés a középszintű matematikai érettségire és az érettségi utáni továbbképzésre.

7.3.2. Követelmény A matematikában és a gyakorlatban jól használható függvénytani szemléletmód és ábrázolás kialakítása. Legyen gyakorlatuk egyszerű és összetett logaritmikus, trigonometriai és koordinátageometriai feladatok megoldásában.




folyamatos megfigyelés, korrekció



csoportos és egyéni szóbeli számonkérés






diagnosztizáló felmérés



projektmunka értékelése






év végi szintmérés

31

közép szint 10 óra 24 óra 12 óra 36 óra 13 óra 6 óra 10 óra



Cél

A problémamegoldó képesség, logikus gondolkodás fejlesztése. A kombinatorikai gondolkodásmód kifejlesztése.

7.3.6.1.2.

Követelmény


a permutáció, a variáció, az ismétléses variáció és a kombináció kiszámítási módjának az igazolását,


egyszerű gráfok készítését,



a permutáció, a variáció az ismétléses variáció és a kombináció alkalmazását egyszerűbb feladatokban.

7.3.6.1.3.



Tartalom


A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése. A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Becslés, a becslés összevetése a számításokkal.

Binomiális együtthatók, Vegyes kombinatorikai feladatok.

Egyszerű kombinatorikai feladatok megoldása.

A gráf modellként való felhasználása.

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal.

A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai.

7.3.6.1.4.

Ellenőrzés

Módjai: 














32


Cél

A szakmai ismeretek feldolgozása során eszközszerűen tudják alkalmazni a hatványozás, a gyökvonás és a logaritmus műveleteit. Az egyenletre vonatkozó és a függvénytani ismeretek bővítése, és elmélyítése az ekvivalencia elvének tudatos alkalmazása.

7.3.6.2.2.

Követelmény


a logaritmus fogalmát, azonosságait és azok bizonyítását,



a racionális kitevőjű hatványok és a gyökös kifejezések közötti kapcsolatot,



a hatvány-, gyök- és logaritmustáblázatokat.


másodfokúra visszavezethető egyenletek és egyenletrendszerek megoldását,



a logaritmus azonosságainak alkalmazását a logaritmikus kifejezésekkel végzett műveletekben, egyenletekben,



a logaritmikus kifejezések értelmezési tartományának meghatározását,


hatvány, gyök és logaritmikus kifejezések számértékének a meghatározásában zsebszámológép segítségével.

7.3.6.2.3.



Tartalom


Modell megtalálása a Másodfokúra visszavezethető matematikán belüli magasabb fokú egyenletek problémánál. A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása.

A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok.

A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén.

Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtárés internethasználat).

A logaritmus értelmezése. A logaritmus azonosságai.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.

33


Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

7.3.6.2.4.


Tartalom

A definíciókon és a megismert azonosságokon alapuló exponenciális és logaritmikus egyenletek és trigonometrikus egyenletek.

A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet egyszerű konkrét feladatokban.

Ellenőrzés

Módjai: 


















Cél

Függvénytani ismeretek bővítése, ismerkedés új függvényekkel. transzformáltjaiknak legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata.

7.3.6.3.2.

Követelmény


a folytonosságot,



a monotonitást,



a periodicitást,



a paritást,



a zérushely fogalmát,


az exponenciális függvényt,



a logaritmus függvényt,



szögfüggvényeket,


az alapfüggvények és egyszerű transzformáltjaiknak ábrázolásában.

34

Alapfüggvények

és

7.3.6.3.3.



A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése.

A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze.

Számítógép használata a függvényvizsgálatok ban és a transzformációkban.

A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás,). A függvények transzformációi: f(x)+c, f(x+c), cf(x), f(cx).

7.3.6.3.4.


Tartalom

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték).

Ellenőrzés

Módjai: 

















7.3.6.4. Geometria, mérés (36 óra) 7.3.6.4.1.

Cél

Az eddig megszerzett trigonometrikus ismeretek bővítése. A témán keresztül a matematika széleskörű gyakorlati alkalmazhatóságának bemutatása. Feladattervek készítésével a logikus gondolkodás fejlesztése. A koordináta-geometriai feladatokon keresztül a síkgeometriai, a vektorgeometriai, az algebrai és a függvénytani ismeretek összekapcsolódása. A megoldási módszerek változatos lehetőségének bemutatása és a legegyszerűbb kiválasztása. Ésszerű, tervszerű, esztétikus munkára nevelés.

7.3.6.4.2.

Követelmény


a skaláris szorzat fogalmát és tulajdonságait,



a szinusztétel és a koszinusztétel bizonyítását, 35



azt, hogy, a koszinusztétel bizonyos vonatkozásban a Pitagorasz-tétel általánosítása,



az egyenes tanult egyenleteinek a bizonyítását,



a kör egyenletének a bizonyítását,



általában az alakzat és egyenletének a kapcsolatát,



az egyenes és a kétismeretlenes elsőfokú egyenlet kapcsolatát,



a kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet kapcsolatát.


a szinusztételt és a koszinusztételt,



a háromszög trigonometrikus területképletének alkalmazását,



a tételek felhasználását egyszerűbb geometriai feladatokban,



a háromszög köré írható kör sugarának kiszámítását, ha adott egy oldal és a szemközti szög,



a skaláris szorzat kiszámítását a definíció alapján, illetve a koordinátákkal,



a. vektor megadását koordinátákkal, illetve abszolút értékkel és irányszöggel,



az összeg-, a különbségvektor és vektor számszorosa koordinátáinak meghatározását, a műveletben részt vevő vektorok koordinátáinak az ismeretében,



a szakasz felező- és harmadolópontja koordinátáinak kiszámítását a mutató helyvektor koordinátáinak a segítségével,



a háromszög súlypontjának koordinátáit,



az egyenes irányvektorának, normálvektorának és iránytangensének fogalmát és ezek kapcsolatát,



az egyenes irányvektoros, normálvektoros vagy iránytényezős egyenletét,



az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének a feltételét,



a kör középponti és általános egyénletét,



a parabola definícióját, tengelyponti egyenletét,

szakasz végpontjaiba


koordinátákkal, illetve abszolút értékkel és irányszöggel megadott vektorok adatainak az átszámításában,



a vektor 90°-os elforgatottja koordinátáinak a kiszámításában,



a vektor abszolút értékének koordinátákkal történő meghatározásában,



két pont távolságának koordinátageometriai úton való meghatározásában,



egyenesre, körre vonatkozó egyszerűbb feladatok megoldásában (érintők),

7.3.6.4.3.



Tartalom


36


A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása.

A matematika gyakorlati felhasználása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése.

Tartalom


A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása.

Vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai.

Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása).

Távolság, szög és terület meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában. Számítások terep-mérési adatokkal, úthálózatokkal.

Geometriai feladatok Helyvektor. megoldása algebrai Műveletek koordinátákkal adott eszközökkel. vektorokkal.

Vektorok koordinátáinak biztos használata.

A bizonyítási készség fejlesztése.

Szakasz: felező és harmadoló pont. A háromszög súlypontja.

Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása.

Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei.

A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása.

Adott probléma többféle megközelítése.

Az egyenes irányára jellemző adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyik egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintője.

Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

37

7.3.6.4.4.

Ellenőrzés

Módjai: 


















Cél

A matematikai látásmód fejlesztése, a matematika gyakorlati alkalmazhatóságának felismertetése. Alapvető logikai műveletek elsajátítása.

7.3.6.5.2.

Követelmény

A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

7.3.6.5.3.



Tartalom

A körülmények kellő figyelembevétele. Közvéleménykutatás i, egészségügyi, vásárlással kapcsolatos események valószínűsége. Előzetes becslés összevetése a számításokkal. Modellalkotásra nevelés..

Egyszerű valószínűség-számítási problémák. Binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel) eseményekkel konkrét feladatokban valószínűségszámítási példák esetén („és”, „vagy”, „nem”).

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése.

Statisztikai mintavétel a gyakorlati életben.

Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje.


A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

38

7.3.6.5.4.

Ellenőrzés

Módjai: 











7.3.6.6. Dolgozatok (6 óra) 7.3.6.6.1.

Cél


7.3.6.6.2.

Követelmény


7.3.6.6.3.

szereplő

téma

követelményeinél

megtalálhatók

(differenciált

Tartalom

A tanévben tanult témák anyaga, figyelembe véve az évközi eredményeket. A témazáró dolgozatok témakörei: 1. Hatványozás azonosságai, logaritmikus és exponenciális egyenletek, 2. Vektorok, szinusz- és koszinusz tétel, 3. Koordinátageometriai feladatok

7.3.6.6.4.

Ellenőrzés

Témazáró feladatlapos értékelés.

7.3.6.7. Ismétlés (10 óra) 7.3.6.7.1.

Cél


7.3.6.7.2.

Követelmény


7.3.6.7.3.

Előfeltételek


39

nehézségű

7.3.6.7.4.

Tartalom


7.3.6.7.5.

Ellenőrzés


40


7.4.1. Cél A tanulók rendszerező képességének további fejlesztése. Térszemlélet fejlesztése. Felkészülés a középszintű és emelt szintű érettségi vizsgára. A matematika deduktív jellegének, felépítésének megértése, a pontos fogalomalkotás jelentőségének felismerése.

7.4.2. Követelmény Legyen gyakorlatuk egyszerű terület és térfogatszámítást feladatok megoldásában. Legyen képük a matematika különböző problémaköreinek egymással és a kultúra más területeivel való kapcsolatáról. A mindennapi problémák értelmezése, leírása és kezelése a matematika eszközeivel.




folyamatos megfigyelés, korrekció



csoportos és egyéni szóbeli számonkérés






diagnosztizáló felmérés



projektmunka értékelése






év végi szintmérés

41

közép szint 10 óra 18 óra 16 óra 32 óra 8 óra 6 óra 6 óra



Cél

A matematikai logika alapfogalmainak elsajátítása, alkalmazásuk gyakorlása a már tanult definíciókban és tételekben.

7.4.6.1.2.

Követelmény

A halmazokkal és a logikával kapcsolatosan tanult legalapvetőbb ismeretek tudatos alkalmazása matematikai és nem matematikai tárgykörökben.

7.4.6.1.3.



Tartalom

Az ismeretek rendszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A döntési képesség fejlesztése, állítások igazságértékének megállapítása.

Ekvivalencia, implikáció. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése.

A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése.

7.4.6.1.4.


Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

Ellenőrzés

Módjai: 












Cél

Az áttekintő és rendszerező képesség fejlesztése. Általános képük alakuljon ki a matematika módszereiről, és azok gyakorlati alkalmazhatóságáról.

7.4.6.2.2.

Követelmény

Az átismételt témakörök tartalmazzák. 42

7.4.6.2.3.




Tartalom

Rendszerező összefoglalás Számhalmazok


Matematikatörténeti Számelméleti összefoglalás. ismeretek (könyvtár- A valós számok és részhalmazai. és internethasználat). Szám- és műveletfogalom biztos alkalmazása. Tervszerű, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenőrzés fontossága.

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

7.4.6.2.4.

A műveletek értelmezése, műveleti tulajdonságok. Közelítő értékek. Egyenletek Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Egyenlet-, illetve egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Vičte formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek. Szöveges feladatok.

Ellenőrzés

Módjai: 


















Cél

Az általános iskolában tanult ismeretek kiegészítése és bővítése. A mindennapi életben egyre gyakrabban előforduló kamatszámítási problémák megadásához módszer nyújtása. Alkalmazási képesség, problémalátás fontosságának tudatosítása.

43

7.4.6.3.2.

Követelmény


a számsorozat fogalmát (mint speciális diszkrét függvényt),



a számsorozat megadási módjait,



a számtani és mértani sorozatra vonatkozó tanult tételek bizonyítását,


a számtani és mértani sorozat n-edik elemének kiszámítását (an),



a számtani és mértani sorozat első n elemének az összegét (Sn),



a kamatos kamat számítását gyakorlati feladatokban,



a számtani és mértani sorozatra tanult összefüggések alkalmazását szöveges feladatok megoldásakor,

7.4.6.3.3.



A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Matematikatörténeti feladatok. Egyszerű gazdaságossági problémák áttekintése.

Tartalom

A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás.

Rendszerező összefoglalás

Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

7.4.6.3.4.


Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamatszámítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. Függvényvizsgálat a függvényábrák segítségével.

Ellenőrzés

Módjai: 
















otthoni önálló munka értékelése 44

7.4.6.4. Geometria, mérés (32 óra) 7.4.6.4.1.

Cél

A gyakorlati számításokon kívül a térlátás fejlesztése. A térfogat képletek igazolásán keresztül a kétoldali megközelítés módszerének bemutatása. Az absztrakciós készség fejlesztése, a felszín és térfogat fogalmának elmélyítésével. A modellalkotó tevékenység fejlesztése, a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyítására való igény kialakítása.

7.4.6.4.2.

Követelmény


a terület és kerület általános fogalmának szemléletes képét,



a sokszögekre vonatkozó kerületképleteket,



a sokszögekre vonatkozó területképleteket a téglalapra való visszavezetéssel,



a kör és részeinek a kerületét és területét (ismétlés),



térfogat és felszín általános fogalmának szemléletes képét,



a hasáb térfogatképletét,



a gúla- és a csonka gúla felszín- és térfogatképletét,



a henger és gömb felszín- és térfogatképletét,



a forgáskúp és a csonka fogáskúp felszín- és térfogatképletét,


síkidomok kerületének és területének a meghatározását (a Pitagorasz-tétel, a hasonlóság és a trigonometria felhasználásával),



a tanult testek származtatását és tulajdonságait,



a testek felszínének és térfogatának a meghatározását a tanult sík- és térgeometriai fogalmak és tételek segítségével,

7.4.6.4.3.



A térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése.

Tartalom

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge.


Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.

45



Tartalom

A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A A matematika poliéderek felszíne, térfogata. gyakorlati A forgáshenger felszíne és térfogata. alkalmazásai a A forgáskúp felszíne és térfogata. térgeometriában. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, A megismert Sík- és térgeometriai felszíne. felszín- és térfogat ismeretek számítási képletek A gömb felszíne, térfogata. összekapcsolása, alkalmazása analógiák egyszerű felismerése. feladatokban. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás fejlesztése.

Az egybevágósági és hasonlósági geometriai transzformációk áttekintése. Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik.

A matematika különböző területei közötti összefüggések felhasználása.

Vektorok, vektorok koordinátái. Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordináta-rendszer. Egyenes és kör egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

7.4.6.4.4.

Ellenőrzés

Módjai: 


















Cél

Annak tudatosítása, hogy a modern tudományelmélet egyik legfontosabb pillére a sztochasztikus gondolkodásmód, mivel mind a társadalomtudományi, mind a természettudományi, mind pedig a közgazdasági törvényeink nagy része csak statisztikusan igaz. A mindennapi élet történéseit sem lehet megérteni statisztikai ismeretek nélkül, mivel ezek között is tömegjelenségek fordulnak elő a leggyakrabban.

46

7.4.6.5.2.

Követelmény



Középszinten csak az alapfogalmak megértése és használata,



Ismerje a tanuló az adatgyűjtés lehetséges formáit, s az összegyűjtött adatokat tudja áttekinthetően szemléltetni,



Legyen képes adatok tömörítésére középértékek használatával, s ezek „jóságát” különböző szóródású mérőszámokkal mérni,



Ismerje a véletlen esemény fogalmát, a valószínűség és relatív gyakoriság kapcsolatát, tudjon egyszerű kombinatorikus esetekben valószínűséget számolni,



Ismerje a mintából a sokaságra való következtetés gondolatmenetét



Tartalom és a továbbhaladás feltételei Fejlesztési feladatok, tevékenységek


Tartalom

A leíró statisztika és Adatkezelésnél osztályba sorolás és a valószínűségszámí- terjedelem. tás gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.

7.4.6.5.3.


Egyszerű klasszikus valószínűségszámítási feladatok megoldása.

Ellenőrzés

Módjai: 














7.4.6.6. Dolgozatok (6 óra) 7.4.6.6.1.

Cél


7.4.6.6.2.

Követelmény


szereplő

téma

követelményeinél 47

megtalálhatók

(differenciált

nehézségű

7.4.6.6.3.

Tartalom

A tanévben tanult témák anyaga, figyelembe véve az évközi eredményeket. A témazáró dolgozatok témakörei: 1. Számtani és mértani sorozatok 2. Területszámítás 3. Térfogatszámítás

7.4.6.7. Ismétlés (3 óra) 7.4.6.7.1.

Cél


7.4.6.7.2.

Követelmény


7.4.6.7.3.

Előfeltételek


7.4.6.7.4.

Tartalom


7.4.6.7.5.

Ellenőrzés


48

Matematika HELYI TANTERV évfolyam

Recommend Documents