MATEMATIKA HELYI TANTERV ( )

MATEMATIKA HELYI TANTERV (3+3+3+4) Az iskolai matematikatanítás célja, hogy hiteles képet nyújtson a matematikáról mint tudásrendszerről és mint sajátos emberi megismerési, gondolkodási, szellemi tevékenységről. A matematika tanulása érzelmi és motivációs vonatkozásokban is formálja, gazdagítja a személyiséget, fejleszti az önálló, rendszerezett gondolkodást, és alkalmazásra képes tudást hoz létre. A matematikai gondolkodás fejlesztése segíti a gondolkodás általános kultúrájának kiteljesedését. A matematikatanítás feladata a matematika különböző arculatainak bemutatása. A matematika: kulturális örökség; gondolkodásmód; alkotó tevékenység; a gondolkodás örömének forrása; a mintákban, struktúrákban tapasztalható rend és esztétikum megjelenítője; önálló tudomány; más tudományok segítője; a mindennapi élet része és a szakmák eszköze. A tanulók matematikai gondolkodásának fejlesztése során alapvető cél, hogy mindinkább ki tudják választani és alkalmazni tudják a természeti és társadalmi jelenségekhez illeszkedő modelleket, gondolkodásmódokat (analógiás, heurisztikus, becslésen alapuló, matematikai logikai, axiomatikus, valószínűségi, konstruktív, kreatív stb.), módszereket (aritmetikai, algebrai, geometriai, függvénytani, statisztikai stb.) és leírásokat. A matematikai nevelés sokoldalúan fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét. Ugyanakkor fontos a modellek érvényességi körének és gyakorlati alkalmazhatóságának eldöntését segítő képességek fejlesztése. Egyaránt lényeges a reproduktív és a problémamegoldó, valamint az alkotó gondolkodásmód megismerése, elsajátítása, miközben nem szorulhat háttérbe az alapvető tevékenységek (pl. mérés, alapszerkesztések), műveletek (pl. aritmetikai, algebrai műveletek, transzformációk) automatizált végzése sem. A tanulás elvezethet a matematika szerepének megértésére a természet- és társadalomtudományokban, a humán kultúra számos ágában. Segít kialakítani az összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét. Megmutathatja a matematika hasznosságát, belső szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. A tanulási folyamat során fokozatosan megismertetjük a tanulókkal a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása). Mindezzel fejlesztjük a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. Az új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, az önálló gondolatok megfogalmazását, a felmerült problémák megfelelő önbizalommal történő megközelítését, megoldását. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a többféle nézőpont érvényesítését, a komplex problémakezelés képességét is fejleszti. A folyamat végén a tanulók eljutnak az önálló, rendszerezett, logikus gondolkodás bizonyos szintjére. A műveltségi terület a különböző témakörök szerves egymásra épülésével kívánja feltárni a matematika és a matematikai gondolkodás világát. A fogalmak, összefüggések érlelése és a matematikai gondolkodásmód kialakítása egyre emelkedő szintű spirális felépítést indokol – az életkori, egyéni fejlődési és érdeklődési sajátosságoknak, a bonyolódó ismereteknek, a fejlődő absztrakciós képességnek megfelelően. Ez a felépítés egyaránt lehetővé teszi a lassabban haladókkal való foglalkozást és a tehetség kibontakoztatását.

1

A matematikai értékek megismerésével és a matematikai tudás birtokában a tanulók hatékonyan tudják használni a megszerzett kompetenciákat az élet különböző területein. A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természet-tudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, illetve a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. Ezért a tanulóknak rendelkezniük kell azzal a képességgel és készséggel, hogy alkalmazni tudják matematikai tudásukat, és felismerjék, hogy a megismert fogalmakat és tételeket változatos területeken használhatjuk. Az adatok, táblázatok, grafikonok értelmezésének megismerése nagyban segítheti a mindennapokban, és különösen a média közleményeiben való reális tájékozódást. Mindehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv életkornak megfelelő, pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását írásban és szóban egyaránt. A tanulók rendszeresen oldjanak meg önállóan feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A feladatmegoldáson keresztül a tanulók képessé válhatnak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára. Kialakul bennük az önellenőrzés igénye, a sajátjukétól eltérő szemlélet tisztelete. Mindezek érdekében is a tanítás folyamában törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. A matematikatanítás, -tanulás folyamatában egyre nagyobb szerepet kaphat az önálló ismeretszerzés képességnek fejlesztése az ajánlott, illetve az önállóan megkeresett, nyomtatott és internetes szakirodalom által. A matematika a lehetőségekhez igazodva támogatni tudja az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor), internet, oktatóprogramok stb. célszerű felhasználását, ezzel hozzájárul a digitális kompetencia fejlődéséhez. A tananyag egyes részleteinek csoportmunkában történő feldolgozása, a feladatmegoldások megbeszélése az együttműködési képesség, a kommunikációs képesség fejlesztésének, a reális önértékelés kialakulásának fontos területei. Ugyancsak nagy gondot kell fordítani a kommunikáció fejlesztésére (szövegértésre, mások szóban és írásban közölt gondolatainak meghallgatására, megértésére, saját gondolatok közlésére), az érveken alapuló vitakészség fejlesztésére. A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. A gimnázium matematika helyi tantervének ezen változata azzal a céllal készült, hogy a matematikai kultúra megismertetésére, a természettudományos ismeretek megalapozására már 14 éves életkortól magasabb óraszámban adjon lehetőséget az átlagosnál érdeklődőbb tanulók számára. A magasabb óraszámot használhatjuk a tananyag elmélyítésére és új tananyagtartalmakkal való megismerkedésre. Változatos példákkal, feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jártas a problémamegoldásban. A matematikatanításnak kiemelt szerepe van a pénzügyi-gazdasági kompetenciák kialakításában. Életkortól függő szinten, rendszeresen foglakozzunk olyan feladatokkal, amelyekben valamilyen probléma legjobb megoldását keressük. Szánjunk kiemelt szerepet azoknak az optimum-problémáknak, amelyek gazdasági kérdésekkel foglalkoznak, amikor költség, kiadás minimumát; elérhető eredmény, bevétel maximumát keressük. Fokozatosan vezessük be matematikafeladatainkban a pénzügyi fogalmakat: bevétel, kiadás, haszon, kölcsön, kamat, értékcsökkenés, -növekedés, törlesztés, futamidő stb. Ezek a feladatok erősítik a tanulókban azt a tudatot, hogy matematikából valóban hasznos ismereteket tanulnak, illetve hogy a matematika alkalmazása a mindennapi élet szerves része. Az életkor előrehaladtával egyre több 2

példát mutassunk arra, milyen területeken tud segíteni a matematika. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy milyen matematikai ismereteket alkalmaznak az alapvetően matematikaigényes, illetve a matematikát csak kisebb részben használó szakmák (pl. informatikus, mérnök, közgazdász, pénzügyi szakember, biztosítási szakember, valamint pl. vegyész, grafikus, szociológus), ezzel is segítve a tanulók pályaválasztását. A matematikához való pozitív hozzáállást nagyban segíthetik a matematika tartalmú játékok és a matematikához kapcsolódó érdekes problémák és feladványok. A matematika a kultúrtörténetnek is része. Segítheti a matematikához való pozitív hozzáállást, ha bemutatjuk a tananyag egyes elemeinek a művészetekben való alkalmazását. A motivációs bázis kialakításában komoly segítség lehet a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok életének, munkásságának megismerése. A NAT néhány matematikus ismeretét előírja minden tanuló számára: Thalész, Euler, Gauss, Pascal, Cantor, Erdős, Neumann. A helyi tanterv ezen kívül is sok helyen hívja fel a tananyag matematikatörténeti érdekességeire a figyelmet. Ebből a tanárkollégák csoportjuk jellegének megfelelően szabadon válogathatnak. A matematika oktatása elképzelhetetlen állítások, tételek bizonyítása nélkül. Hogy a tananyagban szereplő tételek beláttatása során milyen elfogadott igazságokból indulunk ki, s mennyire részletezünk egy bizonyítást, nagymértékben függ az állítás súlyától, a csoport befogadó képességétől, a rendelkezésre álló időtől stb. Ami fontos, az a bizonyítás iránti igény felkeltése, a logikai levezetés szükségességének megértetése. Ennek mikéntjét a helyi tantervre támaszkodva mindig a szaktanárnak kell eldöntenie, ezért a tantervben a tételek megnevezése mellett nem szerepel utalás a bizonyításra. A fejlesztési cél elérése szempontjából - egy adott tanulói közösség számára - nem feltétlenül a tantervben szereplő (nevesített) tételek a legalkalmasabbak bizonyítás bemutatására, gyakorlására. Minden életkori szakaszban fontos a differenciálás. Ez nemcsak az egyéni igények figyelembevételét jelenti. Sokszor az alkalmazhatóság vezérli a tananyag és a tárgyalásmód megválasztását, más esetekben a tudományos igényesség szintje szerinti differenciálás szükséges. Egy adott osztály matematikatanítása során a célok, feladatok teljesíthetősége igényli, hogy a tananyag megválasztásában a tanulói érdeklődés és a pályaorientáció is szerepet kapjon. A matematikát alkalmazó pályák felé vonzódó tanulók gondolkodtató, kreativitást igénylő versenyfeladatokkal motiválhatók, a humán területen továbbtanulni szándékozók számára érdekesebb a matematika kultúrtörténeti szerepének kidomborítása, másoknak a középiskolai matematika gyakorlati alkalmazhatósága fontos. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége segíthetik az esélyegyenlőség megvalósulását. Célok és feladatok A középiskolai matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségének megalapozása, a matematikai kompetencia kialakítása, a matematikai szemlélet fejlesztése, a logikus gondolkodás továbbfejlesztése, az önálló, rendszerezett gondolkodás és feladatmegoldás megalapozása. A matematikatanításnak a középiskolában is biztosítania kell a többi tantárgy tanulásához, a mindennapok gyakorlatához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket, miközben meg kell mutatnia azok konkrét gyakorlati hasznosságát.

3

Szükséges, hogy a matematika tanulása során a tanulók a hétköznapi szövegekben rejlő matematikai problémákat észrevegyék, képesek legyenek egy-egy gyakorlati kérdés megoldásához matematikai modellt alkotni, különböző problémamegoldó stratégiákat alkalmazni. Így a matematikatanítás fejleszti a tanulók modellalkotó tevékenységét, segíti az összefüggések, hipotézisek megfogalmazását, a bizonyítás igényének megjelenését. Alapvető célunk a megértésen alapuló gondolkodás fejlesztése, a valóságos szituációk és a matematikai modellek közötti kétirányú út megismertetése, és azok használatának kialakítása. A matematikatanítás folyamatában el kell érni, hogy a tanulók megfelelő szintű probléma- és feladatmegoldó, absztrakciós, analizáló és szintetizáló képességgel rendelkezzenek. Mindehhez szükséges a matematikatanítás belső struktúrájának fokozatos kiépítése, a megfelelő tartalmak esetében szilárd fogalom- és axiómarendszer elsajátítása, a matematikai tételek és bizonyítások értése és egyszerűbb gondolatmenetű bizonyítások szabatos megfogalmazása, az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása. A matematikatanítás célja, hogy fejlessze a tanulók térbeli, időbeli és mennyiségi tájékozódását, esztétikai érzékét. A matematikatanításnak feladata, hogy képessé tegye a tanulót a síkbeli és a térbeli szituációk elképzelésére, s ennek segítségével az adott konstrukcióban gondolkodni, feladatot megoldani, számolni. A matematikatanítás feladata továbbá, hogy képessé tegye a tanulókat arra, hogy a statisztikai gondolatokat megértse, felhasználja, valamint, hogy a függvény- vagy függvényszerű kapcsolatokat felismerje. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A matematikatanítás – a lehetőségekhez igazodva – támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, grafikus kalkulátor, számítógép, Internet stb.), információhordozók célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat az ismeretszerzésben, a problémák megoldásának egyszerűsítésében, és ezzel járuljon hozzá a tanulók digitális kompetenciájának kifejlődőséhez, gyakorlati alkalmazásához. A matematika tanításában törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságának fejlesztésére, a pontos és kitartó munkára való nevelésre, a reális önbizalom, az akaraterő, az igényes és a matematikai nyelvezetet használó kommunikáció kialakítására, a gondolatok érvekkel való alátámasztásának fejlesztésére. Fontos, hogy a tanulók képesek legyenek a várható eredmények becslésére, az önellenőrzésre, az eredmények becsléssel való összevetésére, valamint a szöveges, gyakorlati feladatokban kapott eredmények valósághoz való viszonyítására. A matematika tanításában törekedni kell arra, hogy kiderüljön a matematika hasznossága, a matematikai struktúra belső szépsége, az emberi kultúrában betöltött szerepe. A sajátos nevelési igényű tanulók fejlesztése, illetve a kisebbségi migráns tanulókkal való foglalkozás a matematika órákon is szükséges: ami a szokásos tartalmi és eljárásbeli differenciálásnál nagyobb mértékű differenciálást, speciális eljárások alkalmazását és kiegészítő pedagógiai szolgáltatások igénybe vételét teheti szükségessé. Figyelembe kell venni az egyéni fejlesztési tervek kialakításakor, a tanórákon a csoportok szervezésekor, a tanórák tanulásszervezési eljárásainak tervezésekor. Sajátos tanulásszervezési megoldások alkalmazása nélkül ugyanis nem valósíthatók meg a különleges bánásmódot igénylő, sajátos nevelési igényű gyerekek, a tanulási és egyéb problémákkal, magatartási zavarokkal küzdő tanulók nevelésének, oktatásának feladatai. Figyelembe kell venni a tervezéskor a tanórán kívüli lehetőségek felhasználását is.

4

A matematika helyi tanterv érvényesíti az iskolai oktatás-nevelés közös, átfogó elveit, így részt vállal az egészségfejlesztés, a környezetvédelem és a fogyasztóvédelem társadalmi feladataiból. A matematika műveltségterület az egészségnevelési feladatát elsősorban azokon a feladatokon (statisztika, valószínűség, szöveges feladatok) tudja teljesíteni, amely valóságos hazai és nemzetközi adatok felhasználásával alkalmat adnak arra, hogy elősegítsék a tanulók egészségfejlesztési attitűdjének, magatartásának, életvitelének kialakulását a feladatok adatainak eredményeinek értelmezésén, továbbgondolásán keresztül. A környezettudatosságra nevelés érdekében a matematika igen alkalmas arra, hogy különböző, valóságos adatok és tények felhasználásával, feladatokat oldjanak meg a tanulók, amelyeken keresztül megismerhetik, megérthetik, valamint az adatokon és azok értelmezésén keresztül végiggondolhatják azokat a jelenlegi folyamatokat, amelyek következményeként bolygónkon környezeti válságjelenségek mutatkoznak, továbbá konkrét hazai példákon is felismerhetik a társadalmi-gazdasági modernizáció pozitív és negatív környezeti következményeit. Az egészségvédelemhez és a környezetvédelemhez hasonlóan a fogyasztóvédelemre, a tudatos kritikus fogyasztói magatartásra való nevelés is jól megoldható a matematika feladatain keresztül, amely amúgy is fontos területe a valóságos életben megjelenő problémák, adatok, összefüggések vizsgálatának. Az adatgyűjtések színtere lehet a vásárlási szokásokról történő gyűjtés, továbbá szöveges feladatok gyártására alkalmasak a vásárlási számlák, amelyeken keresztül mód van az egyes termékekről való beszélgetések kezdeményezése stb. Szöveges feladatokban fogyasztói kosár elemzésére is sort keríthetünk. Az egyes témákban szerepeltetett különböző nehézségű problémák természetesen nyújtják a differenciálás lehetőségét. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége biztosítsák az esélyegyenlőséget! A matematika tanulása járuljon hozzá helyes pályaválasztási irány megtalálásához és megalapozásához! A tanulók a középiskola befejezésére váljanak képessé a középszintű érettségi vizsga sikeres letételére! A fogalmi rendszer A matematika révén közvetített tudás konstruálásában, a fogalmi műveltség felépítésében folyamatos tevékenység a fogalmi gondolkodás fejlesztése. A matematika műveltségterület – a témakörökhöz, témákhoz rendelt fogalmak közlésével – felépítette a maga sajátos fogalomrendszerét. E rendszert természetesen többféleképpen is meg lehet határozni., és fontos leszögezni, hogy az általunk létrehozott fogalmi rendszer nem a matematikát mint tudományt, hanem a középiskolai matematika műveltségterületet fedi le. A tantárgy kulcsfogalmai a következők: Axióma, definíció, tétel, bizonyítás, modellezés, transzformáció, sorbarendezés, kiválasztás, oszthatóság, eloszlás, valószínűség, halmaz, egyenlet, függvény, alakzatok, véletlen esemény. E kulcsfogalmakkal kapcsolatos tudás folyamatos bővítése és elmélyítése az értelmes tanulás egyik összetevője. A kulcsfogalmak tehát az adott ismeretrendszer fogalmi hálójának csomópontjait jelentik, amelyek sok más fogalommal kapcsolatba hozhatóak. A kulcsfogalmak más és más kontextusban, mélységben és egymáshoz való kapcsolódási lehetőséggel újra és újra megjelennek, segítve ezzel a matematika egységes 5

dási lehetőséggel újra és újra megjelennek, segítve ezzel a matematika egységes látásmódjának kialakulását. A tantárgy kulcsfogalmai tehát átfogó, a tanítási-tanulási folyamatban szükségszerűen ismétlődő fogalmak. E fogalmak jellegüknél fogva, tartalmi összetevőik révén igen gyakran érintkeznek is egymással. A kulcsfogalmak természetesen fokozatosan telítődnek konkrét tartalmakkal, azaz fokozatosan épül fel az a fogalmi háló, ami végül is a fogalmi műveltségben ölt(het) testet. A tanulók értékelése A javasolt ellenőrzési módszerek:  feladatlapok (állítások igazságtartalmának eldöntése, hibakereséses feladatok elvégzése, egyszerű feleletválasztás, többszörös feleletválasztás ellenpéldák indoklásával, logikai feladatok megoldása indoklással stb.);  szóbeli felelet (órán megoldott mintára feladatok számonkérése, házi feladatok helyes megoldásának szakszerű kommunikálása, lényegkiemelés, érvelés, kiselőadás felkészülés alapján, definíciók, tételek pontos kimondása, bizonyítások levezetése, órai feladatok stb.);  témazáró dolgozat (nagyobb témakörök végén, vagy több témakör együttes zárásakor);  otthoni munka (feladatok megoldása, gyűjtőmunka, megfigyelés, feladatok számítógépes megoldása stb.);  csoportmunka (statisztikai adatgyűjtés, valószínűségi kísérletek elvégzése stb.);  projektmunka és annak dokumentálása;  versenyeken, vetélkedőkön való szereplés, elért eredmények. A tantárgyi eredmények értékelése a hagyományos 5 fokozatú skálán történik. Fontos, hogy a tanulók  motiváltak legyenek a minél jobb értékelés elnyerésére;  tudják, hogy munkájukat hogyan fogják (szóban, írásban, osztályzattal) értékelni, – ez a tanár részéről következetességet és céltudatosságot igényel;  számítsanak arra, hogy munkájuk elvégzése után önértékelést is kell végezniük;  hallgassák meg társaik értékelését az adott szempontok alapján;  fogadják meg tanáraik észrevételeit, javaslatait, kritikáit akkor is, ha nem érdemjeggyel történik az értékelés, tudják hasznosítani a fejlesztő értékelési megnyilvánulásokat. A tankönyvek kiválasztásának elvei A matematika tantárgy tanításához a tanulók életkori sajátosságait figyelembe vevő, a szaknyelv használatát az adott életkornak megfelelően alkalmazó taneszközök, tankönyvek közül lehetőleg olyanokat kell használni, amelyek lehetőséget biztosítanak a sokoldalú képességfejlesztésre, tartalmukban korszerűek és tananyagstruktúrában a tanulói ismeretszerzés sajátosságaihoz illeszkednek, ezért a tananyag eredményesebb elsajátítását teszik lehetővé. A taneszköz kiválasztásánál érdemes előnyben részesíteni az alábbi jellemzőket, ha azok értelmezhetők az adott taneszközre:  feladatokban gazdag, 6

    

az egyéni haladást jól szolgáló, differenciált tanulást-tanítást támogató, az önálló tanulásra ösztönző, azt lehetővé tevő, tehát a tanulásirányítást jól megvalósító, legyen motiváló hatású, például matematikatörténeti kitekintés, utalás más tantárgyak tartalmára, tanultakat rendszerező és jól strukturált, tipográfiailag jól szerkesztett (pl. ábrák, kiemelések), didaktikailag jól felépített tankönyveket.

7

Tantárgyi struktúra és óraszámok 9. évf. 3 óra

Matematika

10. évf. 11. évf. 12. évf. 3 óra

3 óra

4 óra

Kerettantervi megfelelés Jelen helyi tanterv az 51/2012. (XII.21.) EMMI rendelet: 3. sz. melléklet: Kerettanterv a gimnáziumok 9-12. évfolyama számára 3.3.2.2-es sorszámú matematika kerettanterve alapján készült. A kerettanterv által biztosított 10 %-os szabad mozgástér a megtanított ismeretek elmélyítésére és a gyakorlásra kerül felhasználásra, tehát új tartalmi elemekkel a témák nem bővülnek, csak bizonyos résztémákra szánt órakeret került megnövelésre.

8

9–10. évfolyam

A 9–10. évfolyamon, a szemlélet alapján, a tevékenységeken, felfedeztetéseken keresztül korábban kialakított fogalmak pontos definiálására, az összefüggések felismerésére, modellek készítésére kell helyezni a fő hangsúlyt. Szükséges a matematika alkalmazási területeinek széles körű bemutatása a matematikán belüli problémák megoldásában, illetve más tudományok segítőjeként. Ezekben az években erősödik a tanulók önismerete, és megfelelő képességfejlesztéssel és módszertani változatossággal mind több tanulóban kialakulhat a matematika, illetve a természettudomány valamely ága iránti érdeklődés. A megismerés módszerei között továbbra is fontos a gyakorlati tapasztalatszerzés, de az ismeretszerzés fő módszere a tapasztalatokból szerzett információk rendszerezése, igazolása, ellenőrzése, és az ezek alapján elsajátított ismeretanyag alkalmazása. Ezeken az évfolyamokon a fogalmak definiálásán, az összefüggések igazolásán, az ismeretek rendszerezésén, kapcsolataik feltárásán és az alkalmazási lehetőségek megismerésén van a hangsúly. Ezért a tanulóknak meg kell ismerkedniük a tudományos feldolgozás alapvető módszereivel. (Mindenki által elfogadott alapelvek/axiómák, már bizonyított állítások, új sejtések, állítások megfogalmazása és azok igazolása, a fentiek összegzése, a nyitva maradt kérdések felsorolása, a következmények A problémamegoldás elemzése.) megszerettetésének igen fontos eszközei lehetnek a matematikai alapú játékok. A gyerekek szívesen játszanak maradékos osztáson, oszthatósági szabályokon alapuló számjátékokat, és szimmetriákon alapuló geometriai, rajzos játékokat. Nyerni akarnak, ezért természetes módon elemezni kezdik a szabályokat, lehetőségeket. Olyan következtetésekre jutnak, olyan elemzéseket végeznek, amilyeneket hagyományos feladatokkal nem tudnánk elérni. A matematikatanításnak ebben a szakaszában sok érdekes matematikatörténeti vonatkozással lehet közelebb hozni a tanulókhoz a tantárgyat. A témakör egyes elemeihez kapcsolódva mutassuk be néhány matematikus életútját. A geometria egyes területeinek (pl. szimmetriák) a művészetekben való alkalmazásait megjelenítve világossá tehetjük a tanulók előtt, hogy a matematika a kultúra elválaszthatatlan része. Az ezekre a témákra fordított idő bőven megtérül az ennek következtében növekvő érdeklődés, Változatos javuló példákkal, motiváció miatt. feladatokkal mutathatunk rá arra, hogy milyen előnyöket jelenthet a mindennapi életben, ha valaki jól tud problémákat megoldani. Gazdasági, sport témájú feladatokkal, számos geometriai és algebrai szélsőérték-feladattal lehet gyakorlati kérdésekre optimális megoldásokat keresni. Ez az életkor már alkalmassá teszi a tanulókat az önálló ismeretszerzésre. Legyen követelmény, hogy egyes adatoknak, fogalmaknak, ismereteknek könyvtárban, interneten nézzenek utána. Ez a kutatómunka hozzájárulhat a tanulók digitális kompetenciájának növeléséhez, ugyanúgy, mint a geometriai és egyéb matematikai programok használata is. A számítógép által nyújtott határtalan lehetőségeket képesek legyenek felismerni, és hatékonyan felhasználni. Fontos célkitűzés, hogy a feladatmegoldások közben a számológépet segédeszközként tudják használni. Ebben az életkori szakaszban már elvárható, hogy a tanulók a leírt szöveget pontosan megértsék, gondolataikat igyekezzenek szabatosan kifejteni. A matematikai gondolkodásmód fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, 9

dolkodásmód fejlődésével egyre magabiztosabban képesek véleményt nyilvánítani, érvelni, mások gondolatait megérteni. Megjegyzés A taneszközök oszlopban két rövidítést használunk: T — tanulói eszközök; TD — tanári demonstrációs eszközök. 9. évfolyam Célok és feladatok A 9. évfolyamon fontos cél az alapképességek továbbfejlesztése. El kell érni, hogy a szemléletes fogalmak többsége definiálásra kerüljön, azok tartalma tudatosuljon. A tételek kimondásakor a szükséges és elégséges feltételek megkülönböztetése történjen meg. Másik fontos cél a kommunikációs készség továbbfejlesztése írásban és szóban egyaránt. A fejlesztésnek ki kell térnie arra, hogy a tanuló mások szóban vagy írásban közvetített gondolatait megértse, saját gondolatait megfelelően közvetítse. Mindezeket egyszerre fejleszthetjük és értékelhetjük a tankönyvi/feladatgyűjteményi szövegek értésével, az órai vitákban való érveléskészség, vitakészség fejlesztésével, a feladatmegoldások során a szóbeli válaszok, magyarázatok igénylésével. A matematikaórákon, a feladatmegoldásokban megfelelő pontossággal használtassuk az anyanyelvet, illetve a szaknyelvet, s fokozatosan bővítsük a jelölésrendszert. Fontos, hogy a tanulók érezzék szükségét, hogy a feladatmegoldások helyességét ellenőrizzék, illetve amelyik feladatban az lehetséges, a várható eredményt előre megbecsüljék. A gyakorlati számításoknál is elkerülhetetlen kerekítés alkalmazásával el kell érnünk, hogy a tanulók reális eredményeket fogadjanak el. Folyamatosan fejlesztenünk kell a verbális kommunikáció mellett az igényes grafikus kommunikáció kialakítását is, megértetve a tanulókkal, hogy a jó gondolatok, megoldások semmit sem érnek, ha azt nem tudják valamilyen módon helyesen kinyilvánítani. A matematika elemi fogalmait, összefüggéseit más tantárgyakban és a mindennapi életben is alkalmazzuk, éppen ezért nagy hangsúlyt kell fektetni az egyszerű, közérthető, frappáns alkalmazások megválasztására, mert ezzel a matematika hasznosságát mutatjuk meg. Kiemelt fontosságú, hogy a már biztos számfogalomra építve eljussunk a valós szám fogalmához, beleértve a racionális és az irracionális számok fogalmának megértését. A számítások elvégzéséhez használtassuk a számológépet, tudatosítsuk az eszköz előnyeit és korlátait. A műveletek sorát bővíteni kell. Folyamatosan nagy hangsúlyt kell fektetnünk a szövegértő képesség fejlesztésére, az algoritmikus gondolkodás erősítésére a szöveg alapján matematikai modellek készítésére. A kombinatorikus feladatok, a geometriai transzformációk, a megismert síkidomok tulajdonságaiban való tájékozódás, a valós számok halmazának megértése fejleszti a rendszerező képességet. A geometria eszközeinek felhasználásával fejlesztenünk kell a tanulók síkban való tájékozódását, a 9. évfolyamon erre leginkább a geometriai transzformációk értése és 10

alkalmazása ad lehetőséget. Fontos feladat a tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség, valamint a diszkussziós igény kialakítása. A függvényszemlélet fejlesztése a hozzárendelések szabályként való értelmezésével, valamint a függvénykapcsolatokhoz a megfelelő modell megkeresésével lehetséges. A transzformációk mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresésére ad alkalmat. Nagyon fontos cél a 9. évfolyamon is a sejtések megfogalmazása, új összefüggések felfedezése, a bizonyítási igény kialakítása, egyes tételek konkrét bizonyítása is. A matematika iránti érdeklődés erősíthető az elemi számelmélet alapvető problémáival és a matematikatörténeti vonatkozásaival. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Témakörök Óraszámok 3 óra/hét (108 óra) 15 óra

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok 2. Számelmélet, algebra 3. Függvények 4. Geometria 6. Statisztika. Valószínűség.

44 óra 12 óra 30 óra 7 óra

11

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél

Órakeret 15 óra

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 1.1 Halmazok, ponthalmazok Csoportosítás különböző szempontok alapján. Halmazműveletek véges halmazokon. Halmazábra. Részhalmaz. Előzetes tudás Számhalmazok, ponthalmazok. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A halmaz fogalmának mélyítése, alkalmazása problémamegoldásra, matematikai modellek alkotására. Több szemnevelésipont alkalmazásával a megosztott figyelem fejlesztése. Definíciók, jelölések használata során az emlékezet fejleszfejlesztési céljai tése.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Intervallumok: zárt, nyílt, félig zárt, félig nyílt. A fogalom szemléletes kialakítása, majd definiálása.

n elemű halmaz részhalmazainak a száma. Korábbi ismeretek felhasználása, a tanult jelölések alkalmazása. Halmazok számossága. Véges és végtelen halmazok, megszámlálható, nem megszámlálható halmazok. Matematikatörténet: Georg Cantor.

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok Taneszközök módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és Magyar nyelv és iroda- T: csoportmunkában, közös lom: mondatok, szavak, számítógép, inmegbeszélés. hangok rendszerezése. teraktív tábla Frontális munka. Tanulói kiselőadás

12

Ismeretek/fejlesztési követelmények Halmazműveletek: unióképzés, metszetképzés, különbségképzés, komplementer halmaz. Halmazműveletek alkalmazása több halmazra. Definíciók megfogalmazása, megértése. Halmazok felbontása diszjunkt halmazok uniójára.

Nevezetes ponthalmazok:  adott térelemtől adott távolságra lévő pontok halmaza – síkban és térben;  két térelemtől egyenlő távol lévő pontok halmaza – síkban és térben. Vegyes feladatok ponthalmazok és halmazműveletek alkalmazására szerkesztéssel is. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Koordinátákkal megadott feltételek. Descartes-szorzat. Matematikatörténet: René Descartes.

Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.

Kapcsolódási pontok

Taneszközök

Informatika: adatbáziskezelés, adatállományok, adatok szűrése különböző szempontok szerint.

Biológia-egészségtan: rendszertan. Feladatmegoldás önállóan és Informatika: geometriai csoportmunkában, közös szerkesztőprogram. megbeszélés. Frontális munka.

Feladatmegoldás önállóan és T: csoportmunkában, közös számítógép, inmegbeszélés. teraktív tábla Frontális munka. Tanulói kiselőadás Véges és végtelen halmaz, unió, metszet, különbség, komplementerhalmaz, Descartes-féle szorzat. Intervallum.

13

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 1.2 Matematikai logika Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás Előzetes tudás tagadása. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Matematikai állítások helyes megfogalmazása, érvelés, vitakultúra fejlesztése. nevelésifejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Matematikai tartalmú szöveg értelmezése. Tétel kimondása, bizonyítása. Állítás és megfordítása. Logikai szita. Modellalkotás egy-egy tipikus problémára.


Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.

Sejtés, bizonyítás.

14


Taneszközök

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 1.3 Kombinatorika Előzetes tudás Elemek sorba rendezése, adott szempont szerinti kiválasztása, gráf használata egyszerű leszámolási feladatokban. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A kombinatorikai problémák felfedezése a hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a nevelésifigyelem fejlesztése. fejlesztési céljai Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák A szorzási és összeadási szabály. Feladatmegoldás önállóan és Az összeszámlálás technikáinak megértése, alkalmazása. csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Sorba rendezés. Feladatmegoldás önállóan és Kiválasztás. csoportmunkában, közös A szöveg matematikai nyelvre fordítása, matematikai megbeszélés. modell készítése. Frontális munka. Kombinatorikai problémák felfedezése a mindennapokban. n!, nk. Az összeszámlálási módszer megértése. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Szorzási szabály, összeadási szabály, faktoriális.

15


Taneszközök

T: Számológép

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél

Órakeret 44 óra

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.1. Valós számok Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Műveletek elvégzése a racionális számok halmaElőzetes tudás zán fejben, írásban. Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. A négyzetgyök fogalma. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A számkörbővítés elveinek megértése. Gondolkodás: ismeretek rendszerezésének fejlesztése. Az absztrakciós nevelésikészség fejlesztése. fejlesztési céljai Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák Számok normálalakja. Feladatmegoldás önállóan és Számolás normálalakban felírt számokkal. csoportmunkában, közös Normálalak a számológépen. megbeszélés. A természettudományokban és a társadalomban elő- Frontális munka. forduló nagy és kis mennyiségekkel történő számolás. Számok tizedes tört alakja. Véges, végtelen szakaszos, végtelen nem szakaszos tizedes törtek. Irracionális számok. A valós számkör. Műveleti tulajdonságok alkalmazása: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás. A valós számok és a számegyenes kapcsolata. A racionális számok halmaza nem elegendő a számegyenes pontjainak jelölésére. 16

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia; biológiaegészségtan: a tér, az idő, az anyagmennyiség nagy és kis méreteinek megadása normálalakkal.

Taneszközök T: Számológép

Ismeretek/fejlesztési követelmények Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák


Taneszközök

Valós szám, normálalak, kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás.

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.2. Algebrai kifejezések használata Előzetes tudás Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok megtalálása, elvégzése. Direkt bizonyítási nevelésimódszer alkalmazása. Ismeretek tudatos memorizálása, az emlékezet fejlesztése. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Algebrai kifejezések.  Egész kifejezések, polinomok, törtkifejezések. Racionális és nem racionális kifejezések.  A kifejezés értelmezési tartománya.  Helyettesítési érték. Műveleti tulajdonságok (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás) vizsgálata. Műveletek többtagú egész algebrai kifejezésekkel. Többtagú kifejezés szorzása többtagú kifejezésekkel – zárójelfelbontás, előjelszabályok. Többtagú kifejezés szorzattá alakítása kiemeléssel.


Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.

17

Kapcsolódási pontok Fizika; kémia: mennyiségek kiszámítása képlet alapján, képletek átrendezése.

Taneszközök

Ismeretek/fejlesztési követelmények Nevezetes azonosságok: ( a  b )2 ; a  b   a  b  ; (a  b) 3 ; ( a  b  c ) 2 ; a 3  b3 ; a 3  b 3 Ismeretek (képletek) tudatos memorizálása. Geometria és algebra összekapcsolása az azonosságok igazolásánál. Azonos átalakítások.  Polinomok összeadása, kivonása, szorzása, hatványozása. Kiemelés, szorzattá alakítás. Kifejezések legnagyobb közös osztója, legkisebb közös többszöröse.  Algebrai törtek összeadása, kivonása, szorzása, osztása. Egyszerűsítés. Bővítés. A tanult azonosságok, tulajdonságok felhasználása algebrai átalakítások, egyszerűsítések során. Matematikatörténet. Kulcsfogalmak/Fogalmak



Taneszközök

Feladatmegoldás önállóan és Fizika; kémia: képletek csoportmunkában, közös értelmezése, egyenletek megbeszélés. rendezése. Frontális munka. Tanulói kiselőadás.

T: számítógép interaktív tábla

Algebrai kifejezés, polinom, algebrai tört, azonosság.

18

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.3 Oszthatóság Előzetes tudás Osztó, többszörös, prímszám, prímtényezős felbontás, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység nevelésiAlgebrai azonosságok alkalmazása oszthatósági feladatokban, az ismeretek összekapcsolásának felfedezése. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Osztó, többszörös, oszthatóság, oszthatósági szabályok. Algebrai azonosságok alkalmazása oszthatósági feladatokban. A tanult ismeretek felidézése: prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás. A számelmélet alaptétele. Végtelen sok prímszám van. Osztók számának meghatározása a prímtényezős felbontásból. Matematikatörténet: Euklidesz, Eratosztenész, Euler. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Tanulói kiselőadás.


Osztó, oszthatóság, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás.

19

Taneszközök

T: számítógép interaktív tábla

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.4 Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Előzetes tudás Szöveges feladatok – matematikai modell alkotása. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény nevelésiösszevetése a valósággal; az ellenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása, fejlesztési céljai eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Elsőfokú egyenletek.  Alaphalmaz, megoldáshalmaz.  Ekvivalens átalakítások.  Mérlegelv. Egyenletek algebrai, grafikus megoldása. Digitális technikák használata az egyenletmegoldás során. Elsőfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. A korábban tanult feladattípusok megoldási módszereinek elmélyítése. A mindennapokhoz kapcsolódó problémák matematikai modelljének elkészítése, egyenlet felírása; a megoldás ellenőrzése, a gyakorlati feladat megoldásának összevetése a valósággal (lehetséges-e?). Törtes egyenletek, egyenlőtlenségek. Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe, szükségessége. Törtek előjelének vizsgálata.




Feladatmegoldás önállóan és Fizika: kinematika, dina- T: csoportmunkában, közös mika. Számológép megbeszélés. Frontális munka. Kémia: oldatok összetétele.

Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. 20

T: Számológép

Ismeretek/fejlesztési követelmények Abszolút értéket tartalmazó egyenletek, egyenlőtlenségek.

Elsőfokú egyenletrendszerek.  Grafikus megoldás.  Behelyettesítő módszer.  Egyenlő együtthatók módszere.  Új ismeretlen bevezetése. Különböző módszerek megismerése és alkalmazása ugyanarra a problémára. Egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok. A kapott eredmény értelmezése, valóságtartalmának vizsgálata. Egyenlőtlenségek grafikus megoldása. Egyenlőtlenségek algebrai megoldása. Egyismeretlenes egyenlőtlenségrendszer. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógécsoportmunkában, közös pes program használata. megbeszélés. Frontális munka.



T: Számológép

T: Számológép

Elsőfokú egyenlet, egyenlőtlenség, értelmezési tartomány, azonosság. Ekvivalens átalakítás, hamis gyök.

21

Tematikai egység/ Órakeret 3. Függvények Fejlesztési cél 12 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Előzetes tudás Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolút érték-függvény, másodfokú függvény ismerete. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Függvény-transzformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matenevelésimatikai formában (függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Számífejlesztési céljai tógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Függvény fogalma. Értelmezési tartomány, értékkészlet. A függvény megadási módjai, ábrázolása, jellemzése. Új fogalmak: paritás, korlátosság. Egyenes arányosság. Elsőfokú függvények, lineáris függvények. Lineáris kapcsolatok felfedezése a hétköznapokban. Abszolút érték-függvény. Másodfokú függvények. Teljes négyzetté kiegészítés. Fordított arányosság, elsőfokú törtfüggvény.

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.

22


Taneszközök

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével. Fizika; kémia: egyenesen arányos mennyiségek.

TD: interaktív tábla

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével. Fizika; kémia: fordítottan arányos mennyiségek.




Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák Függvénytranszformációk. Feladatmegoldás önállóan és A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbi- csoportmunkában, közös ak összetételével: f  x   c ; f  x  c  ; c  f  x  ; f c  x  ; f  x  . megbeszélés. Függvények jellemzése (értékkészlet, monotonitás, szélső- Frontális munka. érték, korlátosság, paritás, zérushely). Kulcsfogalmak/Fogalmak

Függvény grafikonja. Paritás, korlátosság.

23


Taneszközök

Fizika: a megfigyelés idő- TD: beli és térbeli kezdőpont- interaktív tábla ja változásának hatása a mennyiségek közötti öszszefüggésekre.

Tematikai egység/ 4. Geometria Fejlesztési cél

Órakeret 30 óra

Tematikai egység/ 4. Geometria Fejlesztési cél 4.1 Sokszögek Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága. Háromszögek, négyszögek, sokszögek tulajdonságai. Speciális háromszöElőzetes tudás gek, négyszögek elnevezése, felismerése, tulajdonságaik. Háromszögek szerkesztése alapadatokból. Háromszög köré írt kör és beírt kör szerkesztése. A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel ismerete. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A geometriai szemlélet, látásmód fejlesztése. A szükséges és az elégséges feltétel felismerése. Bizonyítási igény A tematikai egység kialakítása. Összetett számítási probléma lebontása, számítási terv készítése (megfelelő részlet kiválasztása, a nevelésirészletszámítások logikus sorrendbe illesztése). Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások fejlesztési céljai a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Geometriai alapfogalmak. Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge.

A háromszög oldalai és szögei.  Háromszög-egyenlőtlenség.  Összefüggések a háromszög szögei között – belső szögek, külső szögek.  Összefüggések a háromszög oldalai és szögei között. A háromszögek szögeiről, oldalairól tanult tételek bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.


24


Taneszközök TD: interaktív tábla


Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák A háromszögek nevezetes vonalai: Feladatmegoldás önállóan és Informatika: geometriai szerkesztő program hasz A háromszög oldalfelező merőlegesei, a háromszög köré csoportmunkában, közös megbeszélés. nálata. írt köre. Frontális munka.  A háromszög magasságvonalai, magasságpontja.  A háromszög szögfelező egyenesei, a háromszög beírt köre, hozzáírt körei.  A háromszög súlyvonalai, súlypontja. A háromszögek nevezetes vonalairól és köreiről tanult tételek bizonyítása, alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Euler-egyenes, Feuerbach-kör bemutatása grafikus programmal. Négyszögek, sokszögek, szabályos sokszögek. Feladatmegoldás önállóan és Belső és külső szögek összege. csoportmunkában, közös Átlók száma. megbeszélés. Frontális munka. Pitagorasz-tétel és megfordításának bizonyítása és alkalma- Feladatmegoldás önállóan és Fizika: vektor felbontása zása. csoportmunkában, közös merőleges összetevőkre. Számítási feladatok síkban és térben. megbeszélés. A tétel és megfordításának alkalmazása bizonyítási Frontális munka. feladatokban. Tanulói kiselőadás. Matematikatörténet: Pitagorasz. Thalész tétele és a tétel megfordításának bizonyítása és al- Feladatmegoldás önállóan és kalmazása. csoportmunkában, közös Szerkesztési és bizonyítási feladatok. megbeszélés. Körérintő szerkesztése. Frontális munka. Matematikatörténet: Thalész. Tanulói kiselőadás.

25



T: Számológép TD: interaktív tábla


Ismeretek/fejlesztési követelmények Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák

Hozzáírt kör. Sokszög.

26


Taneszközök

Tematikai egység/ 4. Geometria Fejlesztési cél 4.2 Geometriai transzformációk Előzetes tudás Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. A szimmetria szerepének felismertetése a maA tematikai egység tematikában és a valóságban. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és egyéb vázlatok alapján. Valós problénevelésima geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az eredmények összevetése a valósággal. fejlesztési céljai Számológép, számítógép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Geometriai transzformáció fogalma. Egybevágósági transzformációk rendszerezése. Tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli elforgatás, eltolás. A geometriai transzformációk tulajdonságai: – fixpont, fixegyenes, fixsík; – szögtartás, távolságtartás, irányítástartás; Geometriai transzformációk szorzata. Az egybevágóság fogalma. Egybevágó alakzatok felismerése. Alakzatok egybevágósága. A háromszögek egybevágóságának alapesetei. Szimmetrikus alakzatok. A szimmetrián alapuló tulajdonságok felismerése: szögek, szakaszok egyenlősége.



Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és Vizuális kultúra: művécsoportmunkában, közös szettörténeti stíluskormegbeszélés. szakok. Frontális munka.

27




Ismeretek/fejlesztési követelmények Szerkesztési, számítási és bizonyítási feladatok. Az egybevágóság, a szimmetria felismerése, hatékony alkalmazása. Vázlatkészítés, elemzés, diszkusszió. A paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala. A középpontos tükrözés alkalmazása.

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Feladatmegoldás önállóan és Fizika: vektormennyisécsoportmunkában, közös gek. megbeszélés. Frontális munka.



A vektor. TD: Ellentett vektorok, nullvektor, egyenlő vektorok, vektor abinteraktív tábla szolút értéke. Műveletek vektorokkal: – összeadás; – kivonás; Geometriai transzformáció, egybevágósági transzformáció, szimmetrikus alakzat. Vektorművelet, paraleKulcsfogalmak/Fogalmak logramma-módszer, nullvektor, ellentett vektor, egyenlő vektor.

28

Tematikai egység/ Órakeret 6. Statisztika. valószínűség Fejlesztési cél 7 óra Adatok elemzése, átlag, táblázatok, grafikonok használata, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség fogalma. Előzetes tudás Százalékszámítás. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Tapasztalatszerzés kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése, következtetések. Diagram készítése, olvasása. Táblázat nevelésiértelmezése, készítése. Számítógép használata az adatok rendezésében, értékelésében, ábrázolásában. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Statisztikai adatok gyűjtése, elemzése és ábrázolása. Adatok rendezése, osztályokba sorolása, táblázatba rendezése, ábrázolása. Következtetések levonása. Számológép használata. Adathalmazok jellemzői: terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás.

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Földrajz: időjárási, éghajcsoportmunkában, közös lati és gazdasági statisztimegbeszélés. kák. Frontális munka. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: történelmi, társadalmi témák vizuális ábrázolása (táblázat, diagram). Informatika: adatkezelés, adatfeldolgozás, információ-megjelenítés.


Terjedelem, szórás.

29

Taneszközök T: Számítógép TD: Számítógép

Továbbhaladás feltételei  Tájékozott a racionális számkörben.  Ismeri a részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége fogalmakat.  Ismeri és alkalmazza a hatványozás azonosságait.  Ismeri számok és kifejezések abszolút értékének fogalmát, alkalmazza a számok normál alakját.  Biztonsággal használja a másodfokú azonosságokat.  Biztonsággal végzi a négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezésekkel.  Nagy biztonsággal old meg egyszerű törtes egyenleteket, kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszereket.  Jól alkalmazza a százalékszámítást gyakorlati feladatokban is.  Ismeri a 3-mal és a 9-cel való oszthatóság feltételét.  Képe számok prímtényezőkre való bontására. a  Tájékozott az alapfüggvények (lineáris, másodfokú, abszolút érték, ) tulajdonx ságaiban.  Képes képlettel megadott függvényt értéktáblázat segítségével ábrázolni.  Ismeri a speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságait.  Ismeri a háromszög nevezetes vonalainak, a háromszög beírt és körülírt körének fogalmát és tulajdonságait.  Ismeri a körrel kapcsolatos fogalmakat és az érintő tulajdonságait.  Felhasználja az eltolás és a tükrözés tulajdonságait egyszerű feladatokban.  Képes számsokaság számtani közepének kiszámítására.  Ismeri a módusz és a medián fogalmát.  Alapszinten értelmezi a kördiagram, oszlopdiagram adatait

30

10. évfolyam Célok és feladatok A 10. évfolyamon is fontos cél, hogy a különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejlessze a tanulók matematizáló tevékenységét. Törekedni kell arra, hogy a tanulók egyre inkább képesek legyenek a köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetésére. A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat, aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A 10. évfolyamon is szükség van a bizonyítási igény további fejlesztésére és az algoritmikus gondolkodás továbbfejlesztésére. A különböző feladatok megoldásában törekedni kell arra, hogy a megoldások keresése önállóan történjék, lehetőség legyen a tanulói felfedezésekre, önálló eljárások keresésére, továbbá minél gyakrabban kerüljenek a tanulók olyan feladat elé, ahol a matematika eszközként való felhasználása segíti a gyakorlati és természettudományos problémák megoldását. Szükség van eközben a valós helyzetek értelmezésére, megértésére és értékelésére. Ezen az évfolyamon fokozottan figyelni kell arra, hogy alakítsuk ki a diszkussziós igényt az algebrai feladatoknál is. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban lehetőséget nyújt a matematika különböző területeinek az összekapcsolására. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák Témakörök Óraszámok 3 óra/hét (108 óra) 10 óra

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok 2. Számelmélet, algebra 3. Függvények 4. Geometria 5. Szögfüggvények. 6. Statisztika. Valószínűség.

34 óra 10 óra 26 óra 20 óra 8 óra

31

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél

Órakeret 10 óra

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 1.2 Matematikai logika Állítások megfogalmazása a hétköznapi életből. Matematikai állítások vizsgálata. Igaz és hamis állítások. Állítás Előzetes tudás tagadása. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A köznapi életben használt logikai következtetések és a matematikai logikában használt kifejezések összevetése. A nevelésihétköznapi, nem tudományos szövegekben található matematikai információk felfedezése, rendszerezése a célnak fejlesztési céljai megfelelően. Matematikai állítások helyes megfogalmazása, érvelés, vitakultúra fejlesztése. Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Állítás és megfordítása. Feladatmegoldás önállóan és Direkt, indirekt bizonyítás. csoportmunkában, közös Szükséges, elégséges, szükséges és elégséges feltétel. megbeszélés. Állítások megsejtése, bizonyítás vagy cáfolat megFrontális munka. adása. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY, „Minden”, „van olyan”, Feladatmegoldás önállóan és Magyar nyelv és irodalom: ha …., akkor. csoportmunkában, közös retorikai alapismeretek. A köznapi szóhasználat és a matematikai kifejezés megbeszélés. kapcsolatának megértése. Frontális munka. Matematikai és más jellegű érvelésekben a logikai műveletek felfedezése, alkalmazása. Érvelés és vita, ellenpélda szerepe. Ismeretek/fejlesztési követelmények

32

Taneszközök

Ismeretek/fejlesztési követelmények Skatulyaelv.




Logikai művelet (NEM, ÉS, VAGY. Ha…. akkor), szükséges és elégséges feltétel.

33

Taneszközök

Tematikai egység/ 1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 1.3 Kombinatorika Előzetes tudás Elemek sorba rendezése, adott szempont szerinti kiválasztása, gráf használata egyszerű leszámolási feladatokban. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A kombinatorikai problémák felfedezése a hétköznapi életben, modellek alkalmazása. A rendszerező képesség, a nevelésifigyelem fejlesztése. Gráfok segédeszközként való használata a gondolkodásban. fejlesztési céljai Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és Kapcsolódási pontok munkaformák Sorba rendezés. Feladatmegoldás önállóan és Kiválasztás. csoportmunkában, közös A szöveg matematikai nyelvre fordítása, matematikai megbeszélés. modell készítése. Frontális munka. Kombinatorikai problémák felfedezése a mindennapokban. n!, nk. Az összeszámlálási módszer megértése. Gráfok: csúcs, él, fokszám. Feladatmegoldás önállóan és Kémia: molekulák szerkeGráfok alkalmazása feladatmegoldásban. csoportmunkában, közös zete. Gondolatmenet megjelenítése gráffal. megbeszélés. Frontális munka. Informatika: számítógépes hálózatok felépítése. Ismeretek/fejlesztési követelmények

Földrajz: térképek, úthálózat. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Szorzási szabály, összeadási szabály, faktoriális, gráf, csúcs, él, fokszám.

34

Taneszközök

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél

Órakeret 34 óra

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.1. Valós számok Természetes számok, egész számok, racionális számok halmaza. Műveletek elvégzése a racionális számok halmaElőzetes tudás zán fejben, írásban. Műveletek sorrendje, zárójelek használata. Hatványozás. A négyzetgyök fogalma. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A számkörbővítés elveinek megértése. Gondolkodás: ismeretek rendszerezésének fejlesztése. Az absztrakciós nevelésikészség fejlesztése. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Négyzetgyök fogalma. A négyzetgyökvonás azonosságai.  Az indirekt bizonyítás: a 2 irracionális.  Bevitel a gyökjel alá, kiemelés a gyökjel alól.  Nevező gyöktelenítése. Műveletek gyökös kifejezésekkel. Az n-edik gyök fogalma.





Négyzetgyök, n-edik gyök.

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.2. Algebrai kifejezések használata Előzetes tudás Összefüggések leírása algebrai kifejezésekkel, helyettesítési érték, zárójelfelbontás. 35


T: Számológép

További feltételek

Személyi: matematika szakos tanár Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla

A tematikai egység Algebrai kifejezések biztonságos használata, célszerű átalakítási módok megtalálása, elvégzése. Direkt bizonyítási nevelésimódszer alkalmazása. Ismeretek tudatos memorizálása, az emlékezet fejlesztése. fejlesztési céljai Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák Két szám számtani- és mértani közepe, a köztük lévő egyen- Feladatmegoldás önállóan és lőtlenség. csoportmunkában, közös Algebrai bizonyítás. megbeszélés. Frontális munka. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Számtani közép, mértani közép.

36


Taneszközök

Tematikai egység/ 2. Számelmélet, algebra Fejlesztési cél 2.4 Egyenlet, egyenlőtlenség, egyenletrendszer Egyismeretlenes elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Alaphalmaz vizsgálata, ellenőrzés. Azonosság. Előzetes tudás Szöveges feladatok – matematikai modell alkotása. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Gyakorlati problémák matematikai modelljének felállítása, a modell hatókörének vizsgálata, a kapott eredmény nevelésiösszevetése a valósággal; az ellenőrzés fontosságának belátása. A problémához illő számítási mód kiválasztása, fejlesztési céljai eredmény kerekítése a problémának megfelelően. Számológép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek.  Grafikus megoldás.  Teljes négyzetté kiegészítés. Egyenletmegoldás szorzattá alakítással. Algoritmus keresése a megoldásra. A másodfokú egyenlet megoldóképlete. A megoldóképlet készségszintű alkalmazása. Számológép használata. A másodfokú egyenlet diszkriminánsa. Diszkusszió. Gyöktényezős alak, Viete-formulák. Másodfokúra visszavezethető egyenletek. Új ismeretlen bevezetése. Matematikatörténet: egyenletek megoldhatósága.

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Tanulói kiselőadás.

37


Taneszközök T: Számológép Interaktív tábla TD: Interaktív tábla

Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok Taneszközök módszerek, szervezési- és munkaformák Másodfokú egyenlettel megoldható szöveges feladatok. Feladatmegoldás önállóan és Fizika: egyenletesen gyor- T: Modellalkotás, megoldási módszerek. Szövegben tör- csoportmunkában, közös suló mozgás leírása. Számológép ténő ellenőrzés. megbeszélés. TD: Másodfokú függvények vizsgálata. Frontális munka. Informatika: számítógéInteraktív tábla Teljes négyzetté alakítás használata. Számítógépes pes program használata. program használata. Szélsőérték-feladatok. Másodfokú függvény vizsgálatával. Másodfokú egyenlőtlenségek. Feladatmegoldás önállóan és T: A megoldás megadása másodfokú függvény vizsgála- csoportmunkában, közös Számológép tával. megbeszélés. TD: Frontális munka. Interaktív tábla Másodfokú egyenletrendszer. Feladatmegoldás önállóan és Fizika: ütközések. T: Másodfokú egyenletrendszerrel megoldható szöveges felcsoportmunkában, közös Számológép adatok. megbeszélés. TD: Emlékezés korábban megismert módszerekre, alkalFrontális munka. Interaktív tábla mazás az adott környezetben. Négyzetgyökös egyenletek. Feladatmegoldás önállóan és T: csoportmunkában, közös Számológép  Ekvivalens és nem ekvivalens egyenlet-megoldási lépémegbeszélés. TD: sek. Frontális munka. Interaktív tábla  Hamisgyök, gyökvesztés.  Értelmezési tartomány. Ekvivalens átalakítások. Az ellenőrzés szerepe, szükségessége. Másodfokú egyenlet, egyenlőtlenség, teljes négyzetté alakítás, megoldóképlet, diszkrimináns, diszkusszió. Kulcsfogalmak/Fogalmak Egyenletrendszer. Négyzetgyökös egyenlet.

38

Tematikai egység/ Órakeret 3. Függvények Fejlesztési cél 10 óra Halmazok. Hozzárendelés fogalma. Grafikonok készítése, olvasása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Előzetes tudás Lineáris függvények, fordított arányosság függvénye, abszolút érték-függvény, másodfokú függvény ismerete. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Függvény-transzformációk algebrai és geometriai megjelenítése. Összefüggések, folyamatok megjelenítése matenevelésimatikai formában (függvény-modell), vizsgálat a grafikon alapján. A vizsgálat szempontjainak kialakítása. Számífejlesztési céljai tógép bevonása a függvények ábrázolásába, vizsgálatába. Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák Hatványfüggvények. Feladatmegoldás önállóan és Gyökfüggvények. csoportmunkában, közös A függvénygrafikonok elkészítése és használata a megbeszélés. függvény jellemzésére. Frontális munka. Függvénytranszformációk. Feladatmegoldás önállóan és A tanult függvények többlépéses transzformációi az alábbi- csoportmunkában, közös ak összetételével: f  x   c ; f  x  c  ; c  f  x  ; f c  x  ; f  x  . megbeszélés. Függvények jellemzése (értékkészlet, monotonitás, szélső- Frontális munka. érték, korlátosság, paritás, zérushely). Kulcsfogalmak/Fogalmak

Függvény grafikonja. Paritás, korlátosság.

39


Taneszközök

Informatika: függvényábrázolás, grafikonkészítés számítógépes program segítségével. Fizika: a megfigyelés időbeli és térbeli kezdőpontja változásának hatása a mennyiségek közötti öszszefüggésekre.

T: Számológép TD: Interaktív tábla T: Számológép TD: Interaktív tábla

Tematikai egység/ 4. Geometria Órakeret Fejlesztési cél 4.2 Geometriai transzformációk 26 óra Előzetes tudás Geometriai transzformációk, a szimmetria felismerése környezetünkben, alkalmazásuk egyszerű feladatokban. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A geometriai transzformációk alkalmazása problémamegoldásban. Tájékozódás valóságos viszonyokról térkép és nevelésiegyéb vázlatok alapján. Valós probléma geometriai modelljének megalkotása, számítások a modell alapján, az fejlesztési céljai eredmények összevetése a valósággal. Számológép, számítógép használata.

Ismeretek/fejlesztési követelmények Műveletek vektorokkal: – összeadás (paralelogramma módszer, láncmódszer); – kivonás; – számmal való szorzás. Vektor felbontása összetevőkre. A vektorműveletek tulajdonságai. Szerkesztési feladatok. Vektorműveletek gyakorlása síkbeli és térbeli ábrákon is. Analógia a számhalmazokon végzett műveletekkel. Bázisvektorok, bázisrendszer. Vektorok koordinátái. Vektor hosszának számítása. Helyvektor, szabadvektor. A párhuzamos szelők tétele és megfordítása. A párhuzamos szelőszakaszok tétele. Szakasz arányos osztása. Számítási és bizonyítási feladatok.

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és Kapcsolódási pontok Taneszközök munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Fizika: vektormennyisé- TD: csoportmunkában, közös gek. Interaktív tábla megbeszélés. Frontális munka.

Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. 40

T: Számológép TD: Interaktív tábla

Ismeretek/fejlesztési követelmények A középpontos hasonlóság fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma és tulajdonságai. Aránytartó transzformáció. Szerkesztési, számítási, bizonyítási feladatok. Hasonló alakzatok. A háromszögek hasonlóságának alapesetei. A sokszögek hasonlósága. A hasonló síkidomok területének aránya. A hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. Arányossági tételek háromszögekben. Szögfelező tétel, magasságtétel, befogótétel. Mértani közép szerkesztése.


Kapcsolódási pontok Földrajz: térképek.

Fizika: hasonló háromszögek alkalmazása – lejtőmozgás, geometriai optika.

Feladatmegoldás önállóan és Vizuális kultúra: festészet, csoportmunkában, közös építészet. megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.

Taneszközök T: Számológép TD: Interaktív tábla T: Számológép

T: Számológép TD: Interaktív tábla T: Számológép TD: Interaktív tábla

A kör és részei. A kör kerülete, területe. Körív hossza. Körcikk területe. Körszelet területe. Kerületi és középponti szögek és a hozzá kapcsolódó tételek. Együttváltozó mennyiségek összetartozó adatpárjainak jegyzése, következtetések levonása. Húrnégyszögek és érintő¬négyszögek definíciója, tételei. Speciális érintőnégyszögek, húrnégyszögek. Látókörív. Látókörív szerkesztése. Hasonlósági transzformáció, hasonló alakzat, számtani és mértani közép, kerületi és középponti szög, Kulcsfogalmak/Fogalmak húrnégyszög, érintőnégyszög, látókörív. Vektorművelet, vektorfelbontás. Bázisvektor, bázisrendszer, vektorkoordináta. Helyvektor, szabadvektor. 41

42

Tematikai egység/ Órakeret 5. Szögfüggvények Fejlesztési cél 20 óra Előzetes tudás Hasonlóság alkalmazása számolási feladatokban, vektorok koordinátáinak használata. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Síkbeli és térbeli ábra készítése a valós geometriai problémáról. Számítási feladatok, a megoldáshoz alkalmas szögnevelésifüggvény megtalálása. Számológép, számítógép használata. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Távolságok, magasságok meghatározása arányokkal. A valóság kicsinyített ábrájáról szögek és szakaszok meghatározása méréssel és számolással. A hegyesszögek szögfüggvényeinek definíciója. Szögfüggvény értékének és szögek értékének meghatározása számológéppel. Számítási feladatok szögfüggvények használatával síkban és térben. Nevezetes szögek szögfüggvényei: 30°; 60°; 45°. Összefüggések egy hegyesszög szögfüggvényei között. Pótszögek szögfüggvényei. Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása. A szög ívmértéke. A radián mint mértékegység. Átváltás fok és radián között. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és Kapcsolódási pontok munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Fizika: lejtőn mozgó testcsoportmunkában, közös re ható erők kiszámítása. megbeszélés. Frontális munka.




Feladatmegoldás önállóan és Fizika: szögsebesség. csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.


Szögfüggvény, ívmérték, periódus, radián. Forgásszög, egységvektor, egységkör. 43

Taneszközök

Tematikai egység/ Órakeret 6. Statisztika. valószínűség Fejlesztési cél 8 óra Adatok elemzése, átlag, táblázatok, grafikonok használata, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínűség fogalma. Előzetes tudás Százalékszámítás. Diagram készítése, olvasása. Táblázat értelmezése, készítése. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Tapasztalatszerzés kísérletekkel, a kísérletek kiértékelése, következtetések. Számítógép használata az adatok rennevelésidezésében, értékelésében, ábrázolásában. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Véletlen jelenségek megfigyelése. Kockadobások, pénzérme. Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja. Esemény, eseménytér, biztos esemény, lehetetlen esemény, komplementer esemény. Műveletek eseményekkel. Kétváltozós műveletek értelmezése. Egyszerűbb események valószínűségének kiszámítása. Klasszikus valószínűségi modell. A valószínűség meghatározása kombinatorikus eszközökkel. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Kísérletezés önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka.

Klasszikus valószínűségi modell.

44


Taneszközök T: Számológép TD: Interaktív tábla T: Számológép TD: Interaktív tábla

Továbbhaladás feltételei  Különbséget tesz kimondott és bebizonyított összefüggések között.  Meg tud oldani egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatokat konkrét elemszám esetén.  Tájékozott a valós számok halmazának felépítésében  Biztonsággal alkalmazza a másodfokú egyenlet megoldóképletét.  Ismeri két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalmát.  Gyakorlata van másodfokú egyenletre vezető egyszerű szöveges feladatok megoldásában.  Alapszinten képes egyszerű négyzetgyökös egyenlet megoldására és a megoldások ellenőrzésére.  Pontosan tudja a szögfüggvények definícióját.  Érti a hasonlóság szemléletes tartalmát.  Felismeri a hasonlóság lehetőségét egyszerű gyakorlati feladatokban.  Ismeri a háromszög hasonlósági alapeseteit ismerete, és alkalmazza egyszerű esetekben.  Ismeri a háromszög súlyvonalának és súlypontjának fogalmát.  Ki tudja számolni hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának arányát.  Jól alkalmazza a Gyakoriság, relatív gyakoriság, esély, valószínűség fogalmát feladatokban. A fejlesztés várt eredményei a 9-10 évfolyamos ciklus végén Gondolkodási és megismerési módszerek  Halmazműveletek alkalmazása számhalmazokra, ponthalmazokra, intervallumokra, véges és végtelen halmazokra.  Definíció, tétel felismerése, az állítás és a megfordításának felismerése; bizonyítás gondolatmenetének követése.  Bizonyítási módszerek ismerete, a logikai szita és a skatulyaelv alkalmazása feladatmegoldás során.  Szorzási és összeadási szabály alkalmazása kombinatorikai feladatokban.  Gráfok használata gondolatmenet szemléltetésére. Számelmélet, algebra  Racionális és irracionális számok – a valós számok halmazának szemléletes fogalma.  Számok normálalakja, normálalakkal műveletek végzése.  Biztos műveletvégzés, műveletek sorrendje, zárójelek használata.  Algebrai kifejezésekkel végzett műveletek, azonosságok alkalmazása.  A gyökvonás fogalmának ismerete, a gyökvonás azonosságainak alkalmazása, négyzetgyökös egyenletek megoldása.  Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldási módszereinek használata. Szöveges feladatok megoldása.  Másodfokúra vezető szélsőérték-problémák megoldása teljes négyzetté alakítással.  A számológép használata. 45

Függvények, az analízis elemei  A függvény fogalmának mélyülése. Új függvényjellemzők ismerete: korlátosság, paritás.  Többlépéses függvénytranszformációk elvégzése f  x   c ; f  x  c  ; c  f  x  ; f c  x  ; f x 

felhasználásával.  Mindennapjainkhoz, más tantárgyakhoz kapcsolódó folyamatok elemzése a megfelelő függvény grafikonja alapján. Geometria  Térelemek ismerete, a távolság és szög fogalmának értése, ismerete, a távolság és a szög mérése.  A kör és részeinek ismerete.  Körrel kapcsolatos tételek alkalmazása (kerületi és középponti szögek tétele, húrnégyszögek és érintőnégyszögek tételei).  Egybevágósági és hasonlósági transzformációk ismerete, alkalmazása szerkesztési és bizonyítási feladatokban. Egybevágó alakzatok, hasonló alakzatok tulajdonságainak ismerete, alkalmazása feladatokban.  Vektor fogalmának ismerete, vektorműveletek szerkesztése. Vektorfelbontás.  Háromszögek, négyszögek, sokszögek szögeinek, nevezetes vonalainak, köreinek ismerete. Az ismeretek alkalmazása számítási, szerkesztési és bizonyítási feladatokban.  A Pitagorasz-tétel és a Thalész-tétel alkalmazásai.  Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete. Valószínűség, statisztika  Statisztikai adatok elemzése: adat gyakoriságának és relatív gyakoriságának kiszámítása.  Táblázat olvasása és készítése; diagramok olvasása és készítése; adathalmaz móduszának, mediánjának, átlagának meghatározása.  Véletlen esemény, biztos esemény, lehetetlen esemény, véletlen kísérlet, esély/valószínűség fogalmak ismerete, használata. A műveletek elvégzése az eseménytérben.  A valószínűség klasszikus modelljének alkalmazása.

46

11–12. évfolyam

A gimnázium utolsó két évében a témakörök feldolgozásánál a matematika látásmódjának, alkalmazhatóságának a bemutatása a cél. Ez a szakasz az érettségire felkészítés időszaka is, ezért a fejlesztésnek kiemelten fontos tényezője az elemző és összegző képesség alakítása. Ezen a két évfolyamon áttekintését adjuk a korábbi évek ismereteinek, eljárásainak, problémamegoldó módszereinek, emellett sok, gyakorlati területen széles körben használható tudást is közvetítünk. Olyan tudást, amelyhez kell az előző évek alapozása, amely kissé összetettebb problémák megoldását is lehetővé teszi. Az érettségi előtt már elvárható többféle ismeret együttes alkalmazása. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különböző területeinek összefüggéseit, s így a matematika komplexitását mutatjuk Minden meg. témában nagy hangsúllyal ki kell térnünk a gyakorlati alkalmazásokra, az ismeretek más tantárgyakban való felhasználhatóságára. A statisztikai kimutatások és az információk kritikus értelmezése, az esetleges manipulációs szándék felfedeztetése hozzájárul a vállalkozói kompetencia fejlesztéséhez, a helyes döntések meghozatalához. Gyakran alkalmazhatjuk a digitális technikát az adatok, problémák gyűjtéséhez, a véletlen jelenségek vizsgálatához. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban és mindennapjaink gyakorlatában is elengedhetetlen. A sorozatok, kamatos kamat témakör kiválóan alkalmas a pénzügyi, gazdasági problémákban való jártasság Azkialakítására. anyanyelvi kommunikáció fejlesztését is segíti, ha önálló kiselőadások, prezentációk elkészítését, megtartását várjuk el a diákoktól. A matematikatörténet feldolgozása például alkalmas erre. Ez sokat segíthet abban, hogy a matematikát kevésbé szerető tanulók se tekintsék gondolkodásmódjuktól távol álló területnek a matematikát. Megjegyzés A taneszközök oszlopban két rövidítést használunk: T — tanulói eszközök; TD — tanári demonstrációs eszközök.

47

11. évfolyam Célok és feladatok A 11. évfolyamon tovább kell folytatni a tanulók kombinatív készségének fejlesztését, a feladatmegoldásban a minél többféle megoldási mód keresésének ösztönzését, a bizonyítás iránti igény mélyítését. Ezen az évfolyamon elvárható a pontos fogalomalkotásra való törekvés. Fontos cél a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességének továbbfejlesztése is. A 11. évfolyam témakörei lehetőséget biztosítanak arra, hogy a tanulók becsléseket végezzenek, és a becsléseiket összevessék a számításokkal. Különösen az algebrai számítások adnak rá jó lehetőséget, hogy az önellenőrzés igényét felkeltsük, továbbfejlesszük. Több terület (egyenletek, egyenletrendszerek, szöveges feladatok, függvények, geometria) összetettebb feladatai is igénylik a tervszerű munka végzését. A különböző transzformációk, a koordinátageometria egyes területei, valamint bizonyos geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel is jó lehetőséget adnak arra, hogy felismertessük az összefüggéseket a matematika különböző területei között. Több lehetőség is kínálkozik arra (egyenletek, függvények, vektorok stb.), hogy bemutassuk a fizika és a matematika szoros kapcsolatát, miközben a legkülönbözőbb területen van lehetőségünk a gyakorlati problémák matematizálására, a modellalkotása (lásd például a gráfok). Szinte minden témakörben alkalmunk van a zsebszámológép alkalmaztatására, és igen gyakran tudjuk a számítógépet is segítségül hívni a feladatok megoldásához, az adatok, problémák gyűjtéséhez (lásd például statisztikai adatok), a véletlen jelenségek vizsgálatához, a megoldások prezentációjához. A geometria több területe is alkalmas az esztétikai érzék fejlesztésére. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos ismeretek megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Témakörök Óraszámok 3 óra/hét (108 óra) 8 óra

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok 2. Hatvány, gyök, logaritmus 4. Trigonometria 5. Koordinátageometria 7. Valószínűség, statisztika

26 óra 44 óra 20 óra 10 óra

48

Tematikai egység/ Órakeret 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 8 óra Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai Előzetes tudás szita. Sorbarendezési és kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él, fokszám. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Kombinatorikai és gráfelméleti módszerek alkalmazása a matematika különböző területein, felfedezésük a hétnevelésiköznapi problémákban. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Kombinatorika Permutáció – ismétlés nélkül és ismétléssel. Variáció – ismétlés nélkül és ismétléssel. Kombináció – ismétlés nélkül. Összeszámlálások vegyes kombinatorikai feladaton kon keresztül. Jelek használata: n!,   . k  Binomiális együtthatók néhány alapvető tulajdonsága. Pascal-háromszög vizsgálata, állítások, sejtések megfogalmazása, igazolása. Matematikatörténet: Blaise Pascal, Erdős Pál.

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Biológia-egészségtan: gecsoportmunkában, közös netika. megbeszélés. Frontális munka. Tanulói kiselőadás.

49

Taneszközök T: Számológép Számítógép Interaktív tábla TD: Interaktív tábla

Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Gráfok Feladatmegoldás önállóan és Gráfelméleti alapfogalmak: csúcs, él, fokszám. csoportmunkában, közös Gráfok alkalmazása leszámolási feladatokban – rend- megbeszélés. szerező ismétlés. Frontális munka. Fagráf, egyszerű gráf, összefüggő gráf, teljes gráf Tanulói kiselőadás. szemléletes fogalma, felhasználásuk feladatmegoldásokban. Fokszámra és élek számára vonatkozó összefüggések ismerete. Matematikatörténet: Euler. Permutáció, variáció, kombináció, binomiális együttható. Kulcsfogalmak/Fogalmak Fagráf, körgráf, egyszerű gráf, összefüggő gráf, teljes gráf. Fokszám.

50

Taneszközök T: Számológép Számítógép Interaktív tábla TD: Interaktív tábla

Tematikai egység/ Órakeret 2. Hatvány, gyök, logaritmus Fejlesztési cél 26 óra Hatványozás egész kitevővel, hatványozás azonosságai, n-edik gyök, gyökvonás azonosságai. Valós számok halmaElőzetes tudás za. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A matematika belső fejlődésének felismerése, új fogalmak alkotása: a racionális kitevő értelmezése. Tájékozódás a nevelésivilág mennyiségi viszonyaiban: exponenciálisan, logaritmikusan változó mennyiségek. A matematikai ismeretek fejlesztési céljai alkalmazásának felismerése más tudományágban és mindennapjainkban. Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Az egész kitevőjű hatványok, a hatványozás azonosságainak Feladatmegoldás önállóan és Fizika: radioaktivitás ismétlése. csoportmunkában, közös (bomlási törvény, aktiviSzámológép használata hatványok értékének kiszá- megbeszélés. tás). mításában, normálalak használatában. Frontális munka. Azonos átalakítások; a célszerű módszer, lépés megválasztása. Kamatszámítás, hitelfelvétel, törlesztőrészlet-számítás. A hatványfogalom kiterjesztése – törtkitevőjű hatványok. A hatványozás eddigi azonosságai érvényben maradnak – permanencia-elv. Exponenciális függvény. Az exponenciális függvény ábrázolása, vizsgálata – irracionális kitevőjű hatvány fogalma szemléletes alapon.

51

Taneszközök T: Számológép TD: Interaktív tábla

Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák Exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek. Feladatmegoldás önállóan és Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásá- csoportmunkában, közös val. megbeszélés. Exponenciális egyenletre vezető valós problémák Frontális munka. megoldása.

Számolás 10 hatványaival, 2 hatványaival. A logaritmus fogalma. A logaritmus értékének meghatározása a definíció alapján és számológéppel. A logaritmus azonosságai:  szorzat, hányados, hatvány logaritmusa;  áttérés más alapú logaritmusra. A logaritmus azonosságainak alkalmazása kifejezések számértékének meghatározására, kifejezések átalakítására. Matematikatörténet: a logaritmus fogalmának kialakulása, változása. Logaritmustáblázat. A logaritmusfüggvény. A logaritmusfüggvény ábrázolása, vizsgálata. Adott alaphoz tartozó exponenciális és logaritmusfüggvény kapcsolata. Inverz függvénykapcsolat szemléletes fogalma.


Taneszközök

Földrajz; biológiaegészségtan: globális problémák (pl. demográfiai mutatók, a Föld eltartó képessége és az élelmezési válság, betegségek, világjárványok, túltermelés és túlfogyasztás). Feladatmegoldás önállóan és Kémia: pH-számítás. csoportmunkában, közös megbeszélés. Fizika: radioaktivitással Frontális munka. kapcsolatos számítási Tanulói kiselőadás. feladatok.

T: számológép


T: számológép TD: interaktív tábla

52

T: számológép interaktív tábla TD: interaktív tábla

Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények módszerek, szervezési- és munkaformák Logaritmusos egyenletek, egyenlőtlenségek. Feladatmegoldás önállóan és Megoldás a definíció és az azonosságok alkalmazásá- csoportmunkában, közös val. megbeszélés. Értelmezési tartomány vizsgálata. Számológép hasz- Frontális munka. nálata. Kulcsfogalmak/Fogalmak


Racionális kitevőjű hatvány. Exponenciális növekedés, csökkenés. Logaritmus.

53

Taneszközök T: számológép TD: interaktív tábla

Tematikai egység/ Órakeret 4. Trigonometria Fejlesztési cél 44 óra Vektorokkal végzett műveletek. Hegyesszögek szögfüggvényei, a szögfüggvények általános értelmezése, szögméElőzetes tudás rés fokban és radiánban, szögfüggvények közötti egyszerű összefüggések, trigonometrikus függvények. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A geometriai látásmód fejlesztése. A művelet fogalmának bővítése egy újszerű művelettel, a skaláris szorzással. Az A tematikai egység algebrai és a geometriai módszerek közös alkalmazása számítási, bizonyítási feladatokban. A tanultak alkalmazása nevelésimás tudományterületeken is. A függvényszemlélet alkalmazása az egyenletmegoldás során, végtelen sok megoldás fejlesztési céljai keresése.

Ismeretek/fejlesztési követelmények A szögfüggvények általános értelmezése. – Forgásszög, egységvektor, vektorkoordináták, egységkör. – A szögfüggvények előjele a különböző síknegyedekben. – Szögfüggvények közötti összefüggések. (Pitagoraszi összefüggés, összefüggés szög és mellékszög szinusza és koszinusza között.) – Egyszerű trigonometrikus összefüggések bizonyítása. A trigonometrikus függvények. ( x  sin x; x  cos x; x  tg x ) ábrázolása, jellemzése. A szögfüggvények értelmezési tartománya, értékkészlete, zérushelyek, szélsőérték, periódus, monotonitás, korlátosság, paritás. Függvénytranszformáció, függvényvizsgálat.

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és Kapcsolódási pontok munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Fizika: harmonikus rezcsoportmunkában, közös gőmozgás, hullámmozgás megbeszélés. leírása. Frontális munka. Informatika: grafikonok elkészítése számítógépes programmal.

54

Taneszközök T: Számológép TD: interaktív tábla

Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Egyszerű trigonometrikus egyenletek. Feladatmegoldás önállóan és A szögfüggvény definíciójának felhasználása a meg- csoportmunkában, közös oldáshoz. megbeszélés. Az egyenletnek végtelen sok megoldása van. Frontális munka. A vektor fogalma, vektorműveletek, vektorfelbontás, vekFeladatmegoldás önállóan és torkoordináták. csoportmunkában, közös A vektorok koordinátáival végzett műveletek és tulajdonsá- megbeszélés. gaik. Frontális munka. A vektor 90°-os elforgatottjának koordinátái. Két vektor skaláris szorzata. Feladatmegoldás önállóan és Fizika: munka, elektroA művelet újszerűségének bemutatása. Jelölések megjegycsoportmunkában, közös mosságtan. zése. megbeszélés. Frontális munka. – A skaláris szorzat tulajdonságai. A skaláris szorzás alkalmazása számítási és bizonyítási feladatokban. – Merőleges vektorok skaláris szorzata. Szükséges és elégséges feltétel. – Két vektor skaláris szorzatának kifejezése a vektorkoordináták segítségével.

55

Taneszközök T: Számológép TD: interaktív tábla T: Számológép TD: interaktív tábla T: Számológép TD: interaktív tábla

Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák A háromszög területének kifejezése két oldal és a közbezárt Feladatmegoldás önállóan és Földrajz: távolságok, szöszög segítségével. csoportmunkában, közös gek kiszámítása – terepAlakzatok adatainak meghatározása. megbeszélés. mérési feladatok. Szinusztétel. Frontális munka. Koszinusztétel. A tételek pontos kimondása, bizonyítása. Kapcsolat a Pitagorasz-tétellel. Ábra és terv készítése a számítási feladatokhoz. Szögtávolság, terület meghatározása gyakorlati problémákban is. Bizonyításokban egyszerű gondolatmenet követése. Számológép használata. Szögfüggvények közötti összefüggések. Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógécsoportmunkában, közös pes program használata.  Szögfüggvényekről tanultak ismétlése. megbeszélés.  Trigonometrikus függvények. Frontális munka.  Összefüggések a szögfüggvények között.  Függvénytáblázat használata feladatok megoldásában. Trigonometrikus egyenletek. Feladatmegoldás önállóan és Fizika: rezgőmozgás; Egységkör, illetve trigonometrikus függvény graficsoportmunkában, közös adott kitéréshez, sebeskonjának felhasználása az egyenlet megoldásához. megbeszélés. séghez, gyorsuláshoz tarAz összes megoldás megkeresése. Frontális munka. tozó időpillanatok meghaIdőtől függő periodikus jelenségek vizsgálata. tározása. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Skaláris szorzat.

56


T: Számológép TD: interaktív tábla T: Számológép TD: interaktív tábla

Tematikai egység/ Órakeret 5. Koordinátageometria Fejlesztési cél 20 óra Koordinátarendszer, vektorok, vektorműveletek megadása koordinátákkal. Helyvektor, szabadvektor. PonthalmaElőzetes tudás zok koordináta-rendszerben. Függvények ábrázolása. Elsőfokú, másodfokú egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység Elemi geometriai ismeretek megközelítése új eszközzel. Geometriai problémák megoldása algebrai eszközökkel. nevelésiSzámítógép használata. fejlesztési céljai Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Két pont távolsága. Feladatmegoldás önállóan és A Pitagorasz-tétel alkalmazása. Vektor abszolút érté- csoportmunkában, közös kének kiszámítása. megbeszélés. Két vektor hajlásszöge. Frontális munka. Skaláris szorzat használata. Szakasz felezőpontjának, harmadolópontjának koordinátái. Feladatmegoldás önállóan és A háromszög súlypontjának koordinátái. csoportmunkában, közös Elemi geometriai ismeretek alkalmazása, vektorok megbeszélés. használata, koordináták kiszámolása. Frontális munka. Az egyenes helyzetét jellemző adatok: irányvektor, normál- Feladatmegoldás önállóan és vektor, irányszög, iránytangens. csoportmunkában, közös A különböző jellemzők közötti kapcsolat értése, megbeszélés. használata. Frontális munka. Ismeretek/fejlesztési követelmények

57



Fizika: alakzatok tömegközéppontja.

Fizika: mérések értékelése.

T: Számológép TD: interaktív tábla T: Számológép TD: interaktív tábla

Ismeretek/fejlesztési követelmények Két egyenes párhuzamosságának és merőlegességének a feltétele. Az egyenes egyenlete:  normálvektoros egyenlet;  iránytényezős egyenlet. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A feladathoz alkalmas egyenlettípus kiválasztása. Két egyenes metszéspontja. Egyenletrendszerek megoldási módszereinek felidézése. A kör egyenlete. Kör egyenletének felírása a középpont és a sugár ismeretében.  A kör és a kétismeretlenes másodfokú egyenlet.  Kör és egyenes kölcsönös helyzete.  A kör egy adott pontjában húzott érintőjének egyenlete. Ponthalmazok a koordinátasíkon. Egyenlőtlenséggel megadott egyszerű feltételek vizsgálata, ábrázolása. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógécsoportmunkában, közös pes program használata. megbeszélés. Frontális munka.


Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógécsoportmunkában, közös pes program használata. megbeszélés. Frontális munka.




Vektor, irányvektor, normálvektor, iránytényező.

58

Taneszközök

Tematikai egység/ Órakeret 7. Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 10 óra Adatok elemzése, táblázatok, grafikonok használata. Terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás. Klasszikus valóElőzetes tudás színűségi modell. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A valószínűség fogalmának bővítése, mélyítése. A kombinatorikai ismeretek alkalmazása valószínűség meghatáronevelésizására. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Statisztikai mintavétel. Mintavétel visszatevéssel, visszatevés nélkül. Ismeretek mozgósítása: a minta terjedelme. Átlag, medián, módusz, szórás. Közvélemény-kutatás. Minőségellenőrzés.

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Informatika: táblázatkezecsoportmunkában, közös lő, adatbáziskezelő progmegbeszélés. ram használata. Frontális munka. Történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: választások. Földrajz: statisztikai évkönyv.

59

Taneszközök T: Számológép Számítógép TD: interaktív tábla

Ismeretek/fejlesztési követelmények Véletlen jelenségek megfigyelése. A modell és a valóság kapcsolata. Szerencsejátékok elemzése. Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja. Klasszikus valószínűségi modell. A tanult kombinatorikai módszerek használata. A valószínűség becslése, számolása. Matematikatörténet: a valószínűségszámítás történeti érdekességei Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Tanulói kiselőadás

Valószínűség. A valószínűség klasszikus modellje.

60


Taneszközök T: Számológép Interaktív tábla TD: interaktív tábla

Továbbhaladás feltételei               

Képes egyszerű kombinatorikai feladatok megoldására. Ismeri a gráf szemléletes fogalmát, képes egyszerű alkalmazásokra. Biztonsággal alkalmazza a hatványozás azonosságait egész kitevő esetén. Ismeri a logaritmus fogalmát, jól alkalmazza az azonosságokat egyszerűbb esetekben. Képes megoldani egyszerű exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenleteket. Tájékozott az alapfüggvények grafikonjait és legfontosabb tulajdonságait (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték) illetően. Ismeri és alkalmazza a vektorműveleteket (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Alkalmazza a szinusztételt és a koszinusztételt a háromszög hiányzó adatainak meghatározására. Képes vektorok koordinátáival számolni. Ki tudja számolni szakasz felezőpontjának koordinátáit. Fel tudja írni a kör középponti egyenletét. Ismeri és alkalmazza az egyenes (egy szabadon választott) egyenletét. Meg tudja határozni két egyenes metszéspontjának koordinátáit. Tudja vizsgálni kör és egyenes kölcsönös helyzetét. Képes egyszerű valószínűségi feladatok megoldására.

61

12. évfolyam Célok és feladatok A 12. évfolyam fő feladata matematikából a tanult ismeretek több szempontú rendszerezése, felkészülés az érettségire. Ennek érdekében szükséges a matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása, az absztrakciós készség fejlesztése. a deduktív gondolkodás továbbfejlesztése. A középiskolai tanulmányok végére a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmaknak meg kell erősödniük, egyes fogalmakat pontosan kell definiálni, általánosítani. Meg kell ismertetni a tanulókat a matematika axiomatikus felépítésének elvével. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A „ha ..., akkor ...”, az „akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. Az érettségiig szükség van a valós számkör biztos ismeretére, az e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különböző fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. A függvények ábrázolása koordinátarendszerben és a legjellemzőbb függvénytulajdonságok ismerete a természettudományos tárgyak megértése és különböző gyakorlati problémák megoldása érdekében kiemelkedően fontos. Mai látásunk szerint az élet sok területén (természettudomány, társadalomtudomány, közgazdaságtan) statisztikus törvényekkel írhatók le jól a jelenségek. Ezért hangsúlyossá vált a valószínűségszámítás és a statisztika alapelemeinek megismertetése. Ezen ismeretek rendszerező összefoglalására ennek a korosztálynak az általános szellemi érettsége ad lehetőséget. A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria ismétlésekor a matematika különböző területeinek összefüggéseit, s így a matematika komplexitását hangsúlyozhatjuk. El kell jutni ahhoz, hogy a tanulók a különböző témakörökben megismert összefüggéseket feladatokban, gyakorlati problémákban alkalmazzák. Az egyes tematikus egységekre javasolt óraszámokat a táblázatok tartalmazzák. Témakörök Óraszámok 4 óra/hét (124 óra) 6 óra

1. Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok 3. Sorozatok 6. Térgeometria, felszín, térfogat

26 óra 36 óra 62

7. Valószínűség, statisztika 8. Rendszerező összefoglalás

6 óra 50 óra

63

Tematikai egység/ Órakeret 1.Gondolkodási módszerek, halmazok, matematikai logika, kombinatorika, gráfok Fejlesztési cél 6 óra Matematikai állítások elemzése, igaz és hamis állítások. Logikai műveletek: NEM, ÉS, VAGY. Skatulyaelv, logikai Előzetes tudás szita. Sorbarendezési és kiválasztási feladatok, gráf használata feladatmegoldásban. Gráf, csúcs, él, fokszám. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A matematikai logika különböző területeinek felismerése, felfedezése a hétköznapi problémákban. nevelésifejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Matematikai logika Logikai műveletek: negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia. A köznapi szóhasználat és a matematikai szóhasználat összevetése. Logikai és halmazelméleti műveletek kapcsolata. Matematikatörténet: magyar matematikusok szerepe a matematikai logikában. Kulcsfogalmak/Fogalmak


Negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekvivalencia

64



Tematikai egység/ Órakeret 3. Sorozatok Fejlesztési cél 26 óra Előzetes tudás Számtani sorozat, mértani sorozat fogalma, egyszerű alapösszefüggések. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység A hétköznapi életben és a matematikai problémákban a sorozattal leírható mennyiségek felismerése. Sorozatok nevelésimegadási módszereinek alkalmazása. Összefüggések, képletek hatékony alkalmazása. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények A sorozat fogalma, megadása, ábrázolása. Sorozat megadása rekurzióval – Fibonacci-sorozat. Matematikatörténet: Fibonacci.

Számtani sorozat. A számtani sorozat n-edik tagja. A számtani sorozat első n tagjának összegének kiszámítási módja. A számtani közép tulajdonság. Számítási feladatok a számtani sorozat felismerésére, az összefüggések alkalmazására. Szöveges feladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Matematikatörténet: Gauss.

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és Kapcsolódási pontok munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Informatika: algoritmucsoportmunkában, közös sok. megbeszélés. Frontális munka. Tanulói kiselőadás Feladatmegoldás önállóan és csoportmunkában, közös megbeszélés. Frontális munka. Tanulói kiselőadás

65

Taneszközök T: Számológép Interaktív tábla TD: interaktív tábla T: Számológép Interaktív tábla TD: interaktív tábla

Ismeretek/fejlesztési követelmények Mértani sorozat. A mértani sorozat n-edik tagja. A mértani sorozat első n tagja összegének kiszámítási módja. A mértani közép tulajdonság. Számítási feladatok a mértani sorozat felismerésére, az összefüggések alkalmazására. Szöveges feladatok gyakorlati alkalmazásokkal. Exponenciális folyamatok a természettudományban és a társadalomtudományokban. Gyakorlati alkalmazások – kamatszámítás. Pénzügyi alapfogalmak – kamatos kamat, törlesztőrészlet, hitel, THM, gyűjtőjáradék. Kulcsfogalmak/Fogalmak



Taneszközök

Fizika; kémia; biológiaegészségtan; földrajz, történelem, társadalmi és állampolgári ismeretek: exponenciális folyamatok.


Feladatmegoldás önállóan és Földrajz: világgazdaság – csoportmunkában, közös hitel – adósság – eladósomegbeszélés. dás. Frontális munka.


Sorozat, számtani sorozat, mértani sorozat, kamatos kamat.

66

Tematikai egység/ Órakeret 6. Térgeometria, felszín, térfogat Fejlesztési cél 36 óra Előzetes tudás Térelemek illeszkedése, távolsága, szöge. Térbeli testek jellemzői: csúcs, lap, átló, felszín, térfogat. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla, testmodellek A tematikai egység A korábban kísérletezéssel, méréssel, szemlélet alapján megszerzett ismeretek mélyítése, elméleti hátterük megtenevelésiremtése. A térszemlélet, az esztétikai érzék fejlesztése. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Térelemek. Két kitérő egyenes hajlásszöge. Síkra merőleges egyenes. Egyenes és sík hajlásszöge. Két sík hajlásszöge. Pont távolsága síktól. Két párhuzamos sík távolsága. Két kitérő egyenes távolsága. A fogalmak bemutatása modelleken és a környezetünk tárgyain. Modellezőkészletek használata. Digitális technikák használata térbeli ábrák megjelenítéséhez. Kerület- és területszámítás eddig tanult részeinek áttekintése. Síkidomok kerülete, területe. Képi emlékezés, ismeretek felidézése. Képzeletben történő mozgatás, átdarabolás, szétvágás.

Pedagógiai eljárások, módszerek, szervezési- és Kapcsolódási pontok munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Vizuális kultúra: axonocsoportmunkában, közös metria. megbeszélés. Frontális munka.




67

Taneszközök

Ismeretek/fejlesztési követelmények Testek, szabályos testek. Térbeli modellek használata, készítése. Számítógép használata ábrázoláshoz. Ábrakészítés térbeli testekről.

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógécsoportmunkában, közös pes szimulációs program megbeszélés. használata. Frontális munka.

Taneszközök

T: Számológép TD: interaktív tábla testmodell A térfogatszámítás alapelvei. Feladatmegoldás önállóan és T: Mérőszám és mértékegység. csoportmunkában, közös Számológép megbeszélés. TD: Frontális munka. interaktív tábla Egyenes hasáb felszíne, térfogata. Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógéT: Forgáshenger felszíne, térfogata. csoportmunkában, közös pes program használata. Számológép Az összefüggések alkalmazása változatos térgeomet- megbeszélés. TD: riai feladatokban, gyakorlati alkalmazások. Frontális munka. interaktív tábla testmodell A kúp felszíne, térfogata. Feladatmegoldás önállóan és Vizuális kultúra: építészet. T: A közelítés szemléletes fogalma. csoportmunkában, közös Számológép Csonkagúla, csonkakúp. megbeszélés. Biológia-egészségtan: ke- TD: A csonkagúla, csonkakúp térfogata és felszíne. Frontális munka. ringéssel kapcsolatos interaktív tábla A hasonlóság alkalmazása. Tanulói kiselőadás. számítási feladatok. testmodell A gömb térfogata és felszíne. Térgeometriai ismeretek alkalmazása. Matematikatörténet: Cavalieri. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Felszín, térfogat, hengerszerű test, kúpszerű test, csonkagúla, csonkakúp.

68

Tematikai egység/ Órakeret 7. Statisztika, valószínűség Fejlesztési cél 6 óra Adatok elemzése, táblázatok, grafikonok használata. Terjedelem, átlag, medián, módusz, szórás. Klasszikus valóElőzetes tudás színűségi modell. A valószínűség általános fogalma. A kombinatorikai ismeretek alkalmazása valószínűség meghatározására. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla A tematikai egység nevelésiA kombinatorikai ismeretek alkalmazása valószínűség meghatározására. fejlesztési céljai

Ismeretek/fejlesztési követelmények Véletlen jelenségek megfigyelése. A modell és a valóság kapcsolata. Szerencsejátékok elemzése. Véletlen jelenségek számítógépes szimulációja. Klasszikus valószínűségi modell. A tanult kombinatorikai módszerek használata. A valószínűség becslése, számolása. Matematikatörténet: a valószínűségszámítás történeti érdekességei Kulcsfogalmak/Fogalmak


Valószínűség. A valószínűség klasszikus modellje.

69



Tematikai egység/ Órakeret 8. Rendszerező összefoglalás Fejlesztési cél 50 óra Előzetes tudás A 4 év matematika anyaga. Személyi: matematika szakos tanár További feltételek Tárgyi: számítógép, projektor, interaktív tábla Ismeretek rendszerezése, alkalmazása az egyes témakörökben. A tematikai egység A megoldási módszerek tudatosítása, a problémákban alkalmazható közös modellek, számítási-bizonyítási módnevelésiszerek keresése. Az ismeretek gyakorlati problémákra való alkalmazása. fejlesztési céljai A matematika épülésének folyamatába történő betekintés a matematikatörténet néhány fejezetének, nagy egyéniségének megismerésével.

70

Ismeretek/fejlesztési követelmények Gondolkodási módszerek. Halmazok. Számhalmazok. A halmazok alkalmazási területei a matematika különböző ágaiban. A halmazok szemléltetésre, az öszszefüggések áttekintésére, közös tulajdonságok kiemelésére való használata. A valós számok halmaza fogalmának megerősítése, a számkörbővítés lépéseinek az áttekintése. Logikai ismeretek. A matematikai szövegek helyes értelmezése. Pontos fogalmazásra való törekvés, a definíciókban, tételekben szereplő feltételek szerepének, jelentésének tudatosítása. A logikai műveletek során a bizonyítások, feladatmegoldások tudatos alkalmazása. A matematikában tanult módszerek. A bizonyítási módszerek rendszerezése feladatokon, gyakorlati alkalmazásokon keresztül: a direkt, indirekt bizonyítás, logikai szita formula, skatulyaelv. Kombinatorika, gráfelmélet. A sorbarendezési és leszámolási feladatok alaptípusainak felismerése – gráfok alkalmazása a problémamegoldás során.


71



Ismeretek/fejlesztési követelmények Számelmélet, algebra. Számhalmazok. A valós számok halmazán értelmezett műveletek, műveleti tulajdonságok biztonságos használata. Az eredmények várható értékének becslése – annak vizsgálata, hogy reális-e az eredményünk. Algebrai alapfogalmak, azonosságok. Átalakítások algebrai kifejezésekkel. A zsebszámológép használata. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Változatos módszerek alkalmazása, többféle megoldás keresése. Gyakorlati problémákat tartalmazó szöveges feladatok megoldása. A különböző témakörökhöz tartozó problémák közötti kapcsolatok észrevétele. Adott egyenlethez illő megoldási módszer önálló kiválasztása. Sorozatok, függvények. Függvények grafikonjai, jellemzésük. Függvénytranszformációk. Függvények a matematikában, a természettudományokban és hétköznapjainkban. Számtani és mértani sorozat, kamatos kamatszámítás.



Feladatmegoldás önállóan és Informatika: számítógécsoportmunkában, közös pes program használata. megbeszélés. Frontális munka.

72



Pedagógiai eljárások, Ismeretek/fejlesztési követelmények Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Geometria. Feladatmegoldás önállóan és Mérés és mérték. csoportmunkában, közös A hosszúság -, terület -, térfogatmérés, a szögmérés megbeszélés. fontos kérdése: mi a problémához illő egység, milyen Frontális munka. pontosan adjuk meg az eredményt. A geometriai szerkesztések. Megengedett szerkesztési lépések és eszközök használata. A geometriai transzformációk. A geometriai transzformációk előfordulásainak keresése környezetünkben. A szimmetria és a harmónia észrevétele a művészetekben. A háromszögekre vonatkozó ismeretek. A négyszögekre, sokszögekre vonatkozó ismeretek. Körre vonatkozó ismeretek. Az alakzatok tulajdonságainak, nevezetes vonalainak felidézése, az absztrakciós készség fejlődése. Trigonometria. Vektorok, koordinátageometria. A trigonometria és a koordinátageometria a geometriai és az algebrai készségeket együtt fejleszti. Statisztika, valószínűség. Feladatmegoldás önállóan és Informatika: táblázatkezeAdatsokaságok elemzése. csoportmunkában, közös lő, adatbáziskezelő progVéletlen jelenségek vizsgálata. megbeszélés. ram használata. Vélemények megbeszélése, érvelés, sejtések megfo- Frontális munka. galmazása, azok elfogadása vagy elvetése. A valószínűség és a statisztika törvényei érvényesülésének felfedezése a termelésben, a pénzügyi folyamatokban, a társadalmi folyamatokban. 73



Ismeretek/fejlesztési követelmények Tudománytörténeti és matematikai érdekességek, neves matematikusok. Néhány matematikatörténeti szemelvény. A matematikatörténet néhány érdekes problémájának áttekintése. (Pl. nem euklideszi geometria – Bolyai János, Bolyai Farkas; nagy Fermat-tétel) A számítógépek fejlődése – Neumann János, A matematika néhány filozófiai kérdése, A matematika fejlődésének külső és belső hajtóerői. Néhány megoldatlan és megoldhatatlan probléma. Kulcsfogalmak/Fogalmak

Pedagógiai eljárások, Kapcsolódási pontok módszerek, szervezési- és munkaformák Feladatmegoldás önállóan és Informatika: könyvtárcsoportmunkában, közös használat, internethaszmegbeszélés. nálat. Frontális munka.

-

74


Továbbhaladás feltételei                               

Ismeri és alkalmazza a tanult halmazműveleteket. Képes adott véges halmazok esetén kiszámítani a számosságokat. Tud egyszerű (matematikai) szövegeket értelmezni. Megfelelően alkalmazza az ítélet fogalmát. Egyszerű feladatokban alkalmazza a negáció, konjunkció, diszjunkció műveletét, és ezt össze tudja kapcsolni a halmazműveletekkel. Különbséget tud tenni definíció és tétel között. Használja és alkalmazza feladatokban a szükséges, az elégséges és a szükséges és elégséges feltételt. Tud egyszerű kombinatorikai feladatokat megoldani. Tud konkrét szituációkat szemléltetni gráfok segítségével. Tud prímtényezős felbontás és a tanult oszthatósági szabályok alkalmazásával egyszerű feladatokat megoldani. Ismeri a való számkör felépítését. Ismeri és használja a hatványozás azonosságait. Ismeri és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát és azonosságait. Tud algebrai kifejezésekkel műveleteket végezni. Felismeri az egyenes és fordított arányosságot, jól alkalmazza a százalékszámítást. Algebrai és grafikus módon is tud első- és másodfokú egyenleteket, egyenlőtlenségeket, valamint elsőfokú egyenletrendszereket megoldani. Képes nagyon egyszerű abszolút értékes, exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenleteket megoldani. Tud értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni és adatokat leolvasni a grafikonról. Képes jellemezni grafikonnal megadott egyszerű függvényeket. Ki tudja számítani számtani, illetve mértani sorozat tagjait és részletösszegeit. Helyesen alkalmazza feladatokban a térelemek távolságára és szögére vonatkozó definíciókat. Felismeri és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit. Ismeri a háromszög oldalai és szögei közötti összefüggéseit, a háromszög nevezetes vonalait és pontjait. Képes alkalmazni a Thalész- és a Pitagorasz-tételt. Ismeri a négyszögek fajtáit és tulajdonságait. Helyesen alkalmazza a tanult kerület-, terület-, felszín- és térfogat-számítási képleteket egyszerű feladatokban. Képes háromszögek hiányzó adatainak kiszámítására szögfüggvények, illetve szinusz- és koszinusztétel segítségével. Érti a vektor koordinátáinak fogalmát. Jól tudja különböző adatokból az egyenes és a kör egyenletét felírni. Képes egyenesek metszéspontját kiszámolni. Képes statisztikai adatokat rendezni, grafikonon ábrázolni, adott diagramról információt kiolvasni.

75

 Meg tudja határozni konkrét adatsokaság móduszát, mediánját, aritmetikai átlagát.  Képes adathalmazokat összehasonlítani statisztikai mutatók segítségével.  Egyszerű feladatokban jól alkalmazza a klasszikus valószínűség-számítási és a geometriai modellt. A fejlesztés várt eredményei a 11-12. évfolyamos ciklus végén Gondolkodási és megismerési módszerek  A kombinatorikai problémához illő módszer önálló megválasztása.  Bizonyított és nem bizonyított állítás közötti különbség megértése.  Feltétel és következmény biztos felismerése a következtetésben.  Szövegértés: a szövegben található információk önálló kiválasztása, értékelése, rendezése problémamegoldás céljából.  A szöveghez illő matematikai modell elkészítése.  A gráfok eszköz jellegű használata probléma megoldásában. Számelmélet, algebra  A kiterjesztett gyök- és hatványfogalom ismerete.  A logaritmus fogalmának ismerete.  A gyök, a hatvány és a logaritmus azonosságainak alkalmazása konkrét esetekben probléma megoldása céljából.  Exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása, ellenőrzése.  Trigonometrikus egyenletek megoldása, az azonosságok alkalmazása, az összes gyök megtalálása.  A számológép biztos használata. Geometria  Vektorok a koordináta-rendszerben, helyvektor, vektorkoordináták ismerete.  Két vektor skaláris szorzata alkalmazása.  Forgásszögek szögfüggvényeinek értelmezése, számolás szögfüggvényekkel. Szögfüggvények közötti összefüggések ismerete.  Jártasság a háromszögek segítségével megoldható problémák önálló kezelésében, szinusztétel, koszinusztétel alkalmazása.  Valós problémákhoz geometriai modell alkotása.  A geometriai és az algebrai ismeretek közötti kapcsolódás elemeinek ismerete: távolság, szög számítása a koordináta-rendszerben, kör és egyenes egyenlete, geometriai feladatok algebrai megoldása.  Térbeli viszonyok, testek felismerése, geometriai modell készítése.  Hosszúság, szög, kerület, terület, felszín és térfogat kiszámítása. Függvények, az analízis elemei  Az exponenciális-, logaritmus- és a trigonometrikus függvények értelmezése, ábrázolása, jellemzése.  Függvénytranszformációk alkalmazása.  Exponenciális folyamatok matematikai modelljének használata.  A számtani és a mértani sorozat ismerete, feladatokban való alkalmazása.  Pénzügyi alapfogalmak ismerete, pénzügyi számítások megértése, reprodukálása, kamatos kamatszámítás elvégzése. Valószínűség, statisztika 76

 Statisztikai mutatók használata adathalmaz elemzésében.  A valószínűség matematikai fogalma, klasszikus kiszámítási módjának alkalmazása.  Mintavétel és valószínűség kapcsolata, alkalmazása. A matematikai tanulmányok végére a tanulók önállóan tudjanak megoldani matematikai problémákat. Kombinatív gondolkodásuk fejlődésének eredményeként legyenek képesek többféle módon megoldani matematikai feladatokat. Fejlődjön a bizonyítási, diszkussziós igényük olyan szintre, hogy döntési helyzetekben tudjanak reálisan dönteni (pl. gazdasági, pénzügyi kérdésekben). Feladatmegoldásokban rendszeresen használják a számológépet, elektronikus eszközöket. Tudjanak a síkban, térben tájékozódni, az ilyen témájú feladatok megoldásához célszerű ábrákat készíteni. A feladatmegoldások során helyesen használják a tanult matematikai szakkifejezéseket, jelöléseket. A tanulók váljanak képessé a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. A helyes érvelésre szoktatással fejlődjön a tanulók kommunikációs készsége. Rendelkezzenek alapvető matematika kultúrtörténeti ismeretekkel, ismerjék a legnagyobb matematikusok felfedezéseit, legyen rálátásuk a magyar matematikusok eredményeire.

77

MATEMATIKA HELYI TANTERV ( )

Recommend Documents