Matematika Diskrit Kompleksitas Algoritma Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Pendahuluan Sebuah masalah dapat mempunyai banyak algoritma
penyelesaian. Contoh: masalah pengurutan (sort), ada puluhan algoritma pengurutan
Sebuah algoritma tidak saja harus benar, tetapi juga
harus mangkus (efisien).
Algoritma
yang
bagus mangkus (efficient).
adalah
algoritma
yang
Kemangkusan algoritma diukur dari waktu (time)
eksekusi algoritma dan kebutuhan ruang (space) memori.
Algoritma yang mangkus ialah algoritma yang
meminimumkan kebutuhan waktu dan ruang. Kebutuhan waktu dan ruang suatu algoritma
bergantung pada ukuran masukan (n), yang menyatakan jumlah data yang diproses. Kemangkusan
algoritma dapat digunakan untuk menilai algoritma yang bagus dari sejumlah algoritma penyelesaian masalah.
Mengapa kita memerlukan algoritma yang
mangkus? Lihat grafik di bawah ini. Waktu komputasi (dalam detik)
10-4 x 2n 105 104
10-6 x 2n
1 hari 1 jam
103 102 10
10-4 x n3 1 menit 10-6 x n3
1 detik
1 5 10-1
10
15
20
25
30
35
Ukuran masukan
40
Model Perhitungan Kebutuhan Waktu Menghitung
kebutuhan waktu algoritma dengan mengukur waktu sesungguhnya (dalam satuan detik) ketika algoritma dieksekusi oleh komputer bukan cara yang tepat.
Alasan:
1. Setiap komputer dengan arsitektur berbeda mempunyai bahasa mesin yang berbeda waktu setiap operasi antara satu komputer dengan komputer lain tidak sama. 2. Compiler bahasa pemrograman yang berbeda menghasilkan kode mesin yang berbeda waktu setiap operasi antara compiler dengan compiler lain tidak sama.
Model abstrak pengukuran waktu/ruang harus
independen dari pertimbangan mesin dan compiler apapun. Besaran yang dipakai untuk menerangkan
model abstrak pengukuran waktu/ruang ini adalah kompleksitas algoritma. Ada
dua macam kompleksitas algoritma, yaitu: kompleksitas waktu dan kompleksitas ruang.
Kompleksitas waktu,
T(n), diukur dari jumlah tahapan
komputasi yang dibutuhkan untuk menjalankan algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Kompleksitas ruang,
S(n), diukur dari memori yang
digunakan oleh struktur data yang terdapat di dalam algoritma sebagai fungsi dari ukuran masukan n. Dengan
menggunakan besaran kompleksitas waktu/ruang algoritma, kita dapat menentukan laju peningkatan waktu (ruang) yang diperlukan algoritma dengan meningkatnya ukuran masukan n.
Ukuran masukan (n): jumlah data yang diproses oleh sebuah
algoritma.
Contoh: algoritma pengurutan 1000 elemen larik, maka n =
1000.
Contoh: algoritma TSP pada sebuah graf lengkap dengan 100
simpul, maka n = 100.
Contoh: algoritma perkalian 2 buah matriks berukuran 50 x 50,
maka n = 50.
Dalam praktek perhitungan kompleksitas, ukuran masukan
dinyatakan sebagai variabel n saja.
Kompleksitas Waktu Jumlah tahapan komputasi dihitung dari berapa kali
suatu operasi dilaksanakan di dalam sebuah algoritma sebagai fungsi ukuran masukan (n).. Di dalam sebuah algoritma terdapat bermacam jenis
operasi:
Operasi baca/tulis Operasi aritmetika (+, -, *, /) Operasi pengisian nilai (assignment) Operasi pengakasesan elemen larik Operasi pemanggilan fungsi/prosedur dll
Dalam praktek, kita hanya menghitung jumlah operasi
khas (tipikal) yang mendasari suatu algoritma.
Contoh operasi khas di dalam algoritma Algoritma pencarian di dalam larik
Operasi khas: perbandingan elemen larik Algoritma pengurutan
Operasi khas: perbandingan elemen, pertukaran elemen Algoritma penjumlahan 2 buah matriks
Operasi khas: penjumlahan Algoritma perkalian 2 buah matriks
Operasi khas: perkalian dan penjumlahan
Contoh 1. Tinjau algoritma menghitung rerata sebuah
larik (array).
sum 0 for i 1 to n do sum sum + a[i] endfor rata_rata sum/n Operasi yang mendasar pada algoritma tersebut
adalah operasi penjumlahan elemen-elemen ai (yaitu sumsum+a[i]) yang dilakukan sebanyak n kali.
Kompleksitas waktu:
T(n) = n.
Contoh 2. Algoritma untuk mencari elemen terbesar di dalam sebuah larik (array) yang berukuran n elemen. procedure CariElemenTerbesar(input a1, a2, ..., an : integer, output maks : integer) { Mencari elemen terbesar dari sekumpulan elemen larik integer a1, a2, ..., an. Elemen terbesar akan disimpan di dalam maks. Masukan: a1, a2, ..., an Keluaran: maks (nilai terbesar) } Deklarasi k : integer Algoritma maksa1 k2 while k n do if ak > maks then maksak endif ii+1 endwhile { k > n }
Kompleksitas waktu algoritma dihitung berdasarkan jumlah operasi perbandingan elemen larik (A[i] > maks). Kompleksitas waktu CariElemenTerbesar : T(n) = n – 1.
Kompleksitas waktu dibedakan atas tiga macam : 1. Tmax(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terburuk (worst case), kebutuhan waktu maksimum. 2. Tmin(n) : kompleksitas waktu untuk kasus terbaik (best case), kebutuhan waktu minimum. 3. Tavg(n): kompleksitas waktu untuk kasus rata-rata (average case) kebutuhan waktu secara rata-rata
Contoh 3. Algoritma sequential search. procedure PencarianBeruntun(input a1, a2, ..., an : integer, x : integer, output idx : integer) Deklarasi k : integer ketemu : boolean { bernilai true jika x ditemukan atau false jika x tidak ditemukan } Algoritma: k1 ketemu false while (k n) and (not ketemu) do if ak = x then ketemutrue else k k + 1 endif endwhile { k > n or ketemu } if ketemu then idxk else idx 0 endif
{ x ditemukan }
{ x tidak ditemukan }
Jumlah operasi perbandingan elemen tabel: 1. Kasus terbaik: ini terjadi bila a1 = x. Tmin(n) = 1 2. Kasus terburuk: bila an = x atau x tidak ditemukan. Tmax(n) = n 3. Kasus rata-rata: Jika x ditemukan pada posisi ke-j, maka operasi perbandingan (ak = x)akan dieksekusi sebanyak j kali. 1 n(1 n) (1 2 3 ... n) 2 (n 1) Tavg(n) = n n 2
Cara lain: asumsikan bahwa P(aj = x) = 1/n. Jika aj = x maka Tj yang dibutuhkan adalah Tj = j. Jumlah perbandingan elemen larik rata-rata: n n 1 1 n Tavg(n) = T j P( A[ j ] X ) T j T j j 1 j 1 n n j 1 1 n(n 1) n 1 1 n j ( ) = = n j 1 n 2 2
Contoh 4. Algoritma pencarian biner (bynary search). procedure PencarianBiner(input a1, a2, ..., an : integer, x : integer, output idx : integer) Deklarasi i, j, mid : integer ketemu : boolean Algoritma i1 jn ketemufalse while (not ketemu) and ( i j) do mid (i+j) div 2 if amid = x then ketemu true else if amid < x then { cari di belahan kanan } imid + 1 else { cari di belahan kiri } jmid - 1; endif endif endwhile {ketemu or i > j } if ketemu then idxmid else idx0 endif
1. Kasus terbaik Tmin(n) = 1 2. Kasus terburuk: Tmax (n) = 2log n
Contoh 5. Algoritma pengurutan seleksi (selection sort). procedure Urut(input/output a1, a2, ..., an : integer) Deklarasi i, j, imaks, temp : integer Algoritma for in downto 2 do { pass sebanyak n – 1 kali } imaks1 for j2 to i do if aj > aimaks then imaksj endif endfor { pertukarkan aimaks dengan ai } tempai aiaimaks aimakstemp endfor
(i)
Jumlah operasi perbandingan elemen Untuk setiap pass ke-i, i=n
jumlah perbandingan = n – 1
i = n – 1 jumlah perbandingan = n – 2 i=n–2
jumlah perbandingan = n – 3
i = 2 jumlah perbandingan = 1
Jumlah seluruh operasi perbandingan elemen-elemen larik adalah n 1
nk T(n) = (n – 1) + (n – 2) + … + 1 = i 1
n( n 1) 2
Ini adalah kompleksitas waktu untuk kasus terbaik dan terburuk, karena algoritma Urut tidak bergantung pada batasan apakah data masukannya sudah terurut atau acak.
(ii) Jumlah operasi pertukaran Untuk setiap i dari 1 sampai n – 1, terjadi satu kali pertukaran elemen, sehingga jumlah operasi pertukaran seluruhnya adalah T(n) = n – 1. Jadi, algoritma pengurutan seleksi membutuhkan n(n – 1 )/2 buah operasi perbandingan elemen dan n – 1 buah operasi pertukaran.
Latihan Contoh 6. Hitung kompleksitas waktu algoritma berikut berdasarkan jumlah
operasi kali. procedure Kali(input x:integer, n:integer, output jumlah : integer) {Mengalikan x dengan i = 1, 2, …, j, yang dalam hal ini j = n, n/2, n/4, …,1 Masukan: x dan n (n adalah perpangakatan dua). Keluaran: hasil perkalian (disimpan di dalam peubah jumlah). } Deklarasi i, j, k : integer Algoritma j n while j 1 for i 1 x x * endfor j d div endwhile { j > 1 } jumlahx
do to j do i 2
Jawaban Untuk
j = n, jumlah operasi perkalian = n j = n/2, jumlah operasi perkalian = n/2 j = n/4, jumlah operasi perkalian = n/4 … j = 1, jumlah operasi perkalian = 1 Jumlah operasi perkalian seluruhnya adalah = n + n/2 + n/4 + … + 2 + 1 deret geometri =
n(1 2
2
log n 1
1 1 2
)
2(n 1)
Kompleksitas Waktu Asimptotik Tinjau T(n) = 2n2 + 6n + 1 Perbandingan pertumbuhan T(n) dengan n2 n 10 100 1000 10.000
T(n) = 2n2 + 6n + 1 261 2061 2.006.001 2.000.060.001
n2 100 1000 1.000.000 1.000.000.000
Untuk n yang besar, pertumbuhan T(n) sebanding dengan n2. Pada kasus ini, T(n) tumbuh seperti n2 tumbuh. T(n) tumbuh seperti n2 tumbuh saat n bertambah. Kita katakan bahwa T(n) berorde n2 dan kita tuliskan T(n) = O(n2)
Notasi “O” disebut notasi “O-Besar” (Big-O) yang merupakan notasi kompleksitas waktu asimptotik. DEFINISI. T(n) = O(f(n)) (dibaca “T(n) adalah O(f(n)” yang artinya T(n) berorde paling besar f(n) ) bila terdapat konstanta C dan n0 sedemikian sehingga T(n) C(f (n)) untuk n n0. f(n) adalah batas lebih atas (upper bound) dari T(n) untuk n yang besar.
Cf(n)
T(n)
n0
n
Contoh 7. Tunjukkan bahwa T(n) = 2n2 + 6n + 1 = O(n2). Penyelesaian: 2n2 + 6n + 1 = O(n2) karena 2n2 + 6n + 1 2n2 + 6n2 + n2 = 9n2 untuk semua n 1 (C =9 dan n0 = 1). atau karena 2n2 + 6n + 1 n2 + n2 + n2 = 3n2 untuk semua n 6 (C =3 dan n0 = 6).
Contoh 8. Tunjukkan bahwa T(n) = 3n + 2 = O(n). Penyelesaian: 3n + 2 = O(n) karena 3n + 2 3n + 2n = 5n untuk semua n 1 (C = 5 dan n0 = 1).
Contoh-contoh Lain 1. Tunjukkan bahwa T(n) = 5 = O(1). Penyelesaian:
5 = O(1) karena 5 6.1 untuk n 1.
(C = 6 dan n0 = 1) Kita juga dapat memperlihatkan bahwa 5 = O(1) karena 5 10 1 untuk n 1
2. Tunjukkan bahwa kompleksitas waktu algoritma pengurutan seleksi (selection sort) adalah T(n) = n(n – 1)/2 =O (n2). Penyelesaian: n(n – 1)/2 =O (n2) karena
n(n – 1)/2 n2/2 + n2/2 = n2 untuk semua n 1 (C = 1 dan n0 = 1).
3. Tunjukkan T(n) = 6*2n + 2n2 = O(2n) Penyelesaian: 6*2n + 2n2 = O(2n) karena
6*2n + 2n2 6*2n + 2*2n = 8*2n untuk semua n 1 (C = 8 dan n0 = 1).
4. Tunjukkan T(n) = 1 + 2 + .. + n = O(n2) Penyelesaian: 1 + 2 + .. + n n + n + … + n = n2 untuk n 1
5. Tunjukkan T(n) = n! = O(nn)
Penyelesaian: n! = 1 . 2 . … . n n . n . … . n =nn untuk n 1
Teorema: Bila T(n) = am nm + am-1 nm-1 + ... + a1n+ a0 adalah
polinom derajat m maka T(n) = O(nm ).
Jadi, cukup melihat suku (term) yang mempunyai pangkat terbesar. Contoh:
T(n) = 5 = 5n0 = O(n0) = O(1) T(n) = n(n – 1)/2 = n2/2 – n/2 = O(n2) T(n) = 3n3 + 2n2 + 10 = O(n3)
1. 2. 3. 4.
Teorema tersebut digeneralisasi untuk suku dominan lainnya: Eksponensial mendominasi sembarang perpangkatan (yaitu, yn > np , y > 1) Perpangkatan mendominasi ln n (yaitu n p > ln n) Semua logaritma tumbuh pada laju yang sama (yaitu a log(n) = b log(n) n log n tumbuh lebih cepat daripada n tetapi lebih lambat daripada n2 Contoh:
T(n) = 2n + 2n2 = O(2n). T(n) = 2n log(n) + 3n = O(n log(n)) T(n) = log(n3) = 3 log(n) = O(log(n)) T(n) = 2n log(n) + 3n2 = O(n2)
Perhatikan….(1)
Tunjukkan bahwa T(n) = 5n2 = O(n3), tetapi T(n) = n3
O(n2).
Penyelesaian:
5n2 = O(n3) karena 5n2 n3 untuk semua n 5. Tetapi, T(n) = n3 O(n2) karena tidak ada konstanta C dan
n0 sedemikian sehingga n3 Cn2 n C untuk semua n0 karena n dapat berupa sembarang bilangan yang besar.
Perhatikan …(2) Defenisi: T(n) = O(f(n) jika terdapat C dan n0 sedemikian sehingga
T(n) C.f(n) untuk n n0 tidak menyiratkan seberapa atas fungsi f itu.
Jadi, menyatakan bahwa
T(n) = 2n2 = O(n2) benar T(n) = 2n2 = O(n3) juga benar T(n) = 2n2 = O(n4) juga benar Namun, untuk alasan praktis kita memilih fungsi yang sekecil mungkin agar O(f(n)) memiliki makna Jadi, kita menulis 2n2 = O(n2), bukan O(n3) atau O(n4)
TEOREMA. Misalkan T1(n) = O(f(n)) dan T2(n) = O(g(n)), maka (a) T1(n) + T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n), g(n)) (b) T1(n)T2(n) = O(f(n))O(g(n)) = O(f(n)g(n)) (c) O(cf(n)) = O(f(n)), c adalah konstanta (d) f(n) = O(f(n)) Contoh 9. Misalkan T1(n) = O(n) dan T2(n) = O(n2), maka (a) T1(n) + T2(n) = O(max(n, n2)) = O(n2) (b) T1(n)T2(n) = O(n.n2) = O(n3) Contoh 10.
O(5n2) = O(n2) n2 = O(n2)
Pengelompokan Algoritma Berdasarkan Notasi O-Besar Kelompok Algoritma Nama O(1) konstan O(log n) logaritmik O(n) lanjar O(n log n) n log n O(n2) kuadratik O(n3) kubik O(2n) eksponensial O(n!) faktorial Urutan spektrum kompleksitas waktu algoritma adalah : O (1) O (log n) O ( n) O ( n log n) O ( n 2 ) O ( n 3 ) ... O (2 n ) O ( n!)
algoritma polinomial
algoritma eksponensial
Penjelasan masing-masing kelompok algoritma adalah sebagai berikut: O(1)
Kompleksitas O(1) berarti waktu pelaksanaan algoritma adalah tetap, tidak bergantung pada ukuran masukan. Contohnya prosedur tukar di bawah ini: procedure tukar(var a:integer; var b:integer); var temp:integer; begin temp:=a; a:=b; b:=temp; end;
Di sini jumlah operasi penugasan (assignment) ada tiga buah dan tiap operasi dilakukan satu kali. Jadi, T(n) = 3 = O(1).
O(log n) Kompleksitas waktu logaritmik berarti laju pertumbuhan waktunya berjalan lebih lambat daripada pertumbuhan n. Algoritma yang termasuk kelompok ini adalah algoritma yang memecahkan persoalan besar dengan mentransformasikannya menjadi beberapa persoalan yang lebih kecil yang berukuran sama (misalnya algoritma pencarian_biner). Di sini basis algoritma tidak terlalu penting sebab bila n dinaikkan dua kali semula, misalnya, log n meningkat sebesar sejumlah tetapan.
O(n)
Algoritma yang waktu pelaksanaannya lanjar umumnya terdapat pada kasus yang setiap elemen masukannya dikenai proses yang sama, misalnya algoritma pencarian_beruntun. Bila n dijadikan dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma juga dua kali semula.
O(n log n) Waktu pelaksanaan yang n log n terdapat pada algoritma yang memecahkan persoalan menjadi beberapa persoalan yang lebih kecil, menyelesaikan tiap persoalan secara independen, dan menggabung solusi masingmasing persoalan. Algoritma yang diselesaikan dengan teknik bagi dan gabung mempunyai kompleksitas asimptotik jenis ini. Bila n = 1000, maka n log n mungkin 20.000. Bila n dijadikan dua kali semual, maka n log n menjadi dua kali semula (tetapi tidak terlalu banyak)
O(n2)
Algoritma yang waktu pelaksanaannya kuadratik hanya praktis digunakan untuk persoalana yang berukuran kecil. Umumnya algoritma yang termasuk kelompok ini memproses setiap masukan dalam dua buah kalang bersarang, misalnya pada algoritma urut_maks. Bila n = 1000, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000. Bila n dinaikkan menjadi dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma meningkat menjadi empat kali semula.
O(n3)
Seperti halnya algoritma kuadratik, algoritma kubik memproses setiap masukan dalam tiga buah kalang bersarang, misalnya algoritma perkalian matriks. Bila n = 100, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000. Bila n dinaikkan menjadi dua kali semula, waktu pelaksanan algoritma meningkat menjadi delapan kali semula.
O(2n)
Algoritma yang tergolong kelompok ini mencari solusi persoalan secara "brute force", misalnya pada algoritma mencari sirkuit Hamilton (lihat slide 9). Bila n = 20, waktu pelaksanaan algoritma adalah 1.000.000. Bila n dijadikan dua kali semula, waktu pelaksanaan menjadi kuadrat kali semula!
O(n!)
Seperti halnya pada algoritma eksponensial, algoritma jenis ini memproses setiap masukan dan menghubungkannya dengan n - 1 masukan lainnya, misalnya algoritma Persoalan Pedagang Keliling (Travelling Salesperson Problem - lihat bab 9). Bila n = 5, maka waktu pelaksanaan algoritma adalah 120. Bila n dijadikan dua kali semula, maka waktu pelaksanaan algoritma menjadi faktorial dari 2n.
Nilai masing-masing fungsi untuk setiap bermacam-macam nilai n log n 0 1 2 3 4 5
n 1 2 4 9 16 32
n log n 0 2 8 24 64 160
n2
n3
2n
1 4 16 64 256 1024
1 8 64 512 4096 32768
2 4 16 256 65536 4294967296
n! 1 2 24 362880 20922789888000 (terlalu besar )
Kegunaan Notasi Big-Oh Notasi Big-Oh berguna untuk membandingkan beberapa algoritma
dari untuk masalah yang sama menentukan yang terbaik. Contoh: masalah pengurutan memiliki banyak algoritma penyelesaian, Selection sort, insertion sort T(n) = O(n2) Quicksort T(n) = O(n log n)
Karena n log n < n2 untuk n yang besar, maka algoritma quicksort lebih cepat (lebih baik, lebih mangkus) daripada algoritma selection sort dan insertion sort.
Notasi Omega-Besar dan Tetha-Besar Definisi -Besar adalah: T(n) = (g(n)) (dibaca “T(n) adalah Omega (f(n)” yang artinya T(n) berorde paling kecil g(n) ) bila terdapat tetapan C dan n0 sedemikian sehingga T(n) C(f (n)) untuk n n0. Definisi -Besar, T(n) = (h(n)) (dibaca “T(n) adalah tetha h(n)” yang artinya T(n) berorde sama dengan h(n) jika T(n) = O(h(n)) dan T(n) = (g(n)).
Contoh: Tentukan notasi dan untuk T(n) = 2n2 + 6n + 1. Jawab: Karena 2n2 + 6n + 1 2n2 untuk n 1, maka dengan C = 2 kita memperoleh 2n2 + 6n + 1 = (n2) Karena 2n2 + 5n + 1 = O(n2) dan 2n2 + 6n + 1 = (n2), maka 2n2 + 6n + 1 = (n2).
Contoh: Tentukan notasi notasi O, dan untuk T(n) = 5n3 + 6n2 log n. Jawab: Karena 0 6n2 log n 6n3, maka 5n3 + 6n2 log n 11n3 untuk n 1. Dengan mengambil C = 11, maka 5n3 + 6n2 log n = O(n3) Karena 5n3 + 6n2 log n 5n3 untuk n 1, maka maka dengan mengambil C = 5 kita memperoleh 5n3 + 6n2 log n = (n3) Karena 5n3 + 6n2 log n = O(n3) dan 5n3 + 6n2 log n = (n3), maka 5n3 + 6n2 log n = (n3)
Contoh: Tentukan notasi notasi O, dan untuk T(n) = 1 + 2 + … + n. Jawab: 1 + 2 + … + n = O(n2) karena 1 + 2 + … + n n + n + … + n = n2 untuk n 1. 1 + 2 + … + n = (n) karena 1 + 2 + … + n 1 + 1 + … + 1 = n untuk n 1. 1 + 2 + … + n n/2 + … + (n – 1) + n n/2 + … + n/2 + n/2 = (n + 1)/2 n/2 (n/2)(n/2) = n2/4 Kita menyimpulkan bahwa 1 + 2 + … + n = (n2) Oleh karena itu, 1 + 2 + … + n = (n2)
Latihan
Tentukan kompleksitas waktu dari algoritma dibawah ini jika melihat banyaknya operasi a←a+1 for i ← 1 to n for j ← 1 to for k ← j a ← a endfor endfor endfor
do i do to n do + 1
Tentukan pula nilai O-besar, Ω-besar, dan Θ-besar dari algoritma diatas (harus penjelasan)
Jawaban Untuk i = 1, Untuk j = 1, jumlah perhitungan = n kali Untuk i = 2, Untuk j = 1, jumlah perhitungan = n kali Untuk j = 2, jumlah perhitungan = n – 1 kali ... Untuk i = n, Untuk j = 1, jumlah perhitungan = n kali Untuk j = 2, jumlah perhitungan = n – 1 kali ... Untuk j = n, jumlah perhitungan = 1 kali.
Jadi jumlah perhitungan = T(n) = n2 + (n – 1)2 + (n – 2)2 + ... + 1
T(n) = O(n3) = Ω(n3) = Θ(n3). Salah satu cara penjelasan:
T(n) = n2 + (n – 1)2 + (n – 2)2 + ... + 1 = n(n + 1)(2n + 1)/6 = 2n3 + 3n2 + 1. Diperoleh T(n) ≤ 3n3 untuk n ≥ 4 dan
T(n) ≥ 2n3 untuk n ≥ 1.
TEOREMA. Bila T(n) = am nm + am-1 nm-1 + ... + a1n+ a0 adalah polinom derajat m maka T(n) adalah berorde n m.
Latihan Soal Di bawah ini adalah algoritma (dalam notasi Pascal-like) untuk menguji apakah dua buah matriks, A dan B, yang masing-masing berukuran n n, sama. function samaMatriks(A, B : matriks; n : integer) boolean { true jika A dan B sama; sebaliknya false jika A B } Deklarasi i, j : integer Algoritma: for i 1 to n do for j 1 to n do if Ai,j Bi,j then return false endif endfor endfor return true
(a) Apa kasus terbaik dan terburuk untuk algoritma di atas? (b) Tentukan kompleksitas waktu terbaik dan terburuk dalam notasi O.
2. Berapa kali instruksi assignment pada potongan
program dalam notas Bahasa Pascal di bawah ini dieksekusi? Tentukan juga notasi O-besar. for i := for j for x
1 to := 1 k := := x
n do to n do 1 to j do + 1;
3. Untuk soal (a) dan (b) berikut, tentukan C, f(n), n0, dan
notasi O-besar sedemikian sehingga T(n) = O(f(n)) jika T(n) C f(n) untuk semua n n0: (a) T(n) = 2 + 4 + 6 + … + 2n (b) T(n) = (n + 1)(n + 3)/(n + 2)
Terima Kasih
