Unit 1 MATEMATIKA DAN MASALAH-MASALAH UMUM DI DALAMNYA Wahyudi Inawati Budiono Pendahuluan
U
nit ini membahas tentang pengertian matematika dan masalah-masalah umum yang terjadi
dalam pembelajaran matematika pada umumnya. Unit ini terbagi atas dua subunit yaitu kajian tentang matematika dan masalah-masalah umum yang terjadi saat pembelajaran baik yang terjadi pada guru dan siswa. Kajian tentang pengertian matematika dan masalah-masalah umum dalam pembelajaran matematika ini akan dijadikan pijakkan untuk menentukan masalah – masalah khusus yang terjadi berkaitan dengan konsep dasar matematika. Selain itu, kajian tentang matematika akan memberikan gambaran jelas tentang apa itu matematika sehingga mahasiswa mampu membedakan matematika dengan ilmu lain. Kompotensi yang diharapkan dari materi ini adalah mahasiswa mampu mengidentifikasi masalah-masalah umum dalam matematika sehingga dapat membedakan matematika dengan ilmu yang lain. Selain materi, unit ini juga dilengkapi dengan latihan soal untuk menguji pemahaman mahasiswa terhadap materi yang diberikan. Jika ada kesulitan atau ketidakpahaman mengenai materi ini, diskusikan bersama teman atau bertanyalah pada dosen atau tutor Anda.
Selamat belajar dan tetap bersemangat, Tuhan memberkati.
Pemecahan Masalah Matematika
1
Subunit 1 Pengertian Matematika Istilah Matematika berasal dari bahasa Yunani, mathein atau manthenien yang artinya mempelajari. Kata matematika diduga erat hubungannya dengan kata Sangsekerta, medha atau widya yang artinya kepandaian, ketahuan atau intelegensia (Sri Subariah, 2006:1). Menurut Ruseffendi (1993), matematika adalah terjemahan dari Mathematics. Namun arti atau definisi yang tepat tidak dapat diterapkan secara eksak (pasti) dan singkat karena cabang-cabang matematika makin lama makin bertambah dan makin bercampur satu sama lainnya. Menurut Rusefendi (1993: 27-28) matematika itu terorganisasikan dari unsur-unsur yang tidak didefinisikan, definesi-definisi, aksioma-aksioma dan dalil-dalil yang dibuktikan kebenarannya, sehingga matematika
disebut ilmu deduktif. Ruseffendi juga mengutip beberapa definisi
matematika menurut pendapat beberapa ahli, yaitu: 1) Menurut James & James matematika adalah ilmu tentang logika mengenai bentuk, susunan, besaran dan konsep-konsep yang saling berhubungan satu sama lainnya dengan jumlah yang banyaknya terbagi ke dalam tiga bidang, yaitu aljabar, analisis dan geometri. 2) Menurut Johnson & Rising matematika merupakan pola pikir, pola mengorganisasikan pembuktian logik, pengetahuan struktur yang terorganisasi memuat: sifat-sifat, teori-teori dibuat secara deduktif berdasarkan unsur yang tidak didefinisikan, aksioma, sifat atau teori yang telah dibuktikan kebenarannya (Reseffendi, 1993: 28). 3) Menurut Reys matematika merupakan telaah tentang pola dan hubungan, suatu jalan atau pola berpikir, suatu seni, suatu bahasa dan suatu alat (Reseffendi, 1993: 28) 4) Menurut Kline matematika bukan pengetahuan tersendiri yang dapat sempurna karena dirinya sendiri, tetapi keberadaanya karena untuk membantu manusia dalam memahami dan menguasai permasalahan sosial, ekonomi dan alam (Reseffendi, 1993: 28) Pengertian matematika dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia oleh tim penyusun kamus Pusat Pembinaan dan Perkembangan Bahasa disebutkan bahwa Matematika adalah ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah bilangan. Dalam buku Metodek Matematika, yang diterbitkan oleh Bagian Proyek Pengembangan Mutu Pendidikan Guru disebutkan bahwa matematika merupakan suatu pengetahuan yang di peroleh melalui belajar baik yang berkenaan dengan jumlah, ukuran-ukuran, perhitungan dan sebagainya yang dinyatakan dengan angka-angka atau simbol- simbol tertentu. Pemecahan Masalah Matematika
2
Berdasarkan beberapa pengertian yang telah dikemukakan diatas dapatlah disimpulkan bahwa Matematika merupakan suatu ilmu yang mempelajari jumlah-jumlah yang diketahui melalui proses perhitungan dan pengukuran yang dinyatakan dengan angka-angka atau simbolsimbol. Dengan demikian dapat dikatakan bahwa matematika merupakan ilmu pengetahuan yang mempelajari struktur yang abstrak dan pola hubungan yang ada di dalamnya. Ini berarti bahwa belajar matematika pada hakekatnya adalah belajar konsep, struktur konsep dan mencari hubungan antar konsep dan strukturnya. Ciri khas matematika yang deduktif aksiomatis ini harus diketahui oleh guru sehingga mereka dapat mempelajari matematika dengan tepat, mulai dari konsep-konsep sederhana sampai yang komplek. Banyak orang yang mempertukarkan antara Matematika dengan Aritmatika atau berhitung. Padahal, matematika memiliki cakupan yang lebih luas dari pada aritmatika. Aritmatika merupakan bagian dari Matematika. Dari berbagai bidang studi yang diajarkan disekolah, matematika merupakan bidang studi yang dianggap paling sulit oleh para siswa, baik yang tidak berkesulitan belajar dan lebih- lebih yang mempunyai kesulitan dalam belajarnya. Menurut Johnson dan Myklebust (1967:244), Matematika adalah simbolis yang fungsi praktisnya untuk mengekspresikan hubungan kuantitatif dan keruangan yaitu menunjukan kemampuan strategi dalam merumuskan, menafsirkan dan menyelesaikan model matematika dalam pemecahan masalah, sedangkan fungsi teoritisnya untuk memudahkan berfikir. Dalam hal ini menunjukan pemahaman konsep matematika yang dipelajari, mengkomunikasikan gagasan dengan simbol, tabel, grafik, atau diagram untuk menjelaskan keadaan atau masalah. Menurut Paling, matematika adalah suatu cara untuk menemukan suatu jawaban terhadap masalah yang dihadapi manusia, suatu cara menggunakan pengetahuan tentang menghitung dan yang paling penting adalah memikirkan dalam manusia itu sendiri dalam melihat dan menggunakan hubungan- hubungan. Berdasarkan pendapat Paling tersebut dapat disimpulkan bahwa untuk menemukan jawaban atas tiap masalah yang dihadapinya, manusia menggunakan: 1. Informasi yang berkaitan dengan masalah yang dihadapi 2. Pengetahuan tentang bilangan, bentuk dan ukuran 3. Kemampuan untuk menghitung 4. Kemampuan untuk mengingat dan menggunakan hubungan-hubungan
Pemecahan Masalah Matematika
3
Subunit 2 Masalah-Masalah Umum Dalam Matematika Sejarah menunjukkan bahwa matematika memang dibutuhkan manusia. Dapatkah kita membayangkan bagaimana dunia yang dihuni manusia ini seandainya matematika tidak ada? Dapatkah kita mendengarkan radio, menyaksikan tayangan di televisi, naik kereta api, mobil atau pesawat terbang, memanfaatkan kecanggihan teknologi komputer, berkomunikasi, ber-sms-an lewat HP, dan lain sebagainya? Dapatkah kita membayangkan kacaunya dunia ini seandainya orang tidak bisa berhitung secara sederhana, tidak bisa memahami ruang dimana dia tinggal, tidak bisa memahami suatu barang di supermarket? Apa yang terjadi seandainya orang Semarang mengatakan 3 x 4 = 12, sedangkan orang Salatiga mengatakan 3 x 4 = 1000 (harga cetak foto), atau kejadian-kejadian yang lainnya? Matematika merupakan salah satu ilmu dasar yang harus dikuasai setiap manusia, terutama oleh siswa sekolah. Sebab sesuai dengan gambaran di atas, ternyata matematika tidak dapat dipisahkan dari kehidupan manusia sehari-hari. Matematika selalu mengalami perkembangan yang berbanding lurus dengan kemajuan sains dan teknologi. Hal yang demikian kebanyakan tidak disadari oleh sebagian siswa yang juga disebabkan minimnya informasi mengenai apa dan bagaimana sebenarnya matematika itu. Dampaknya, akan berakibat buruk terhadap proses belajar siswa, yakni mereka hanya belajar matematika dengan hanya mendengarkan penjelasan dari seorang guru, menghafalkan rumus yang sudah jadi, lalu memperbanyak latihan soal-soal dengan menggunakan rumus yang sudah dihafalkan, tetapi tidak pernah ada usaha untuk memahami dan mencari makna yang sebenarnya tentang hakikat dan tujuan pembelajaran matematika itu sendiri. Matematika berkembang seiring dengan peradaban manusia. Sejarah ilmu pengetahuan menempatkan matematika pada bagian puncak hierrarki ilmu pengetahuan. Matematika seolaholah menjadi ratu bagi ilmu pengetahuan, peletakan yang demikian-menurut anggapan kebanyakan orang-menimbulkan mitos bahwa matematika adalah penentu tingkat intelektual seseorang. Jika seseorang tidak mengerti matematika, berarti mereka tidak disebut orang pintar. Padahal kepintaran seseorang itu bermacam-macam, ada yang sangat jenius dalam bidang sains, dan yang lain jenius di bidang seni, namun tidak mengerti matematika sama sekali. Disamping itu, masyarakat juga memiliki persepsi negatif terhadap matematika. Sebagaimana yang dikemukakan Frans Susilo, bahwa kebanyakan permasalahan terhadap Pemecahan Masalah Matematika
4
matematika timbul karena kesalahpahaman atau pandangan yang keliru mengenai matematika. Untuk memahami matematika secara benar, pertama-tama perlu dipahami terlebih dahulu beberapa permasalahan umum dalam matematika, antara lain: Pertama, anggapan bahwa untuk mempelajari matematika diperlukan bakat istimewa yang tidak dimiliki setiap orang. Kebanyakan orang berpandangan bahwa untuk dapat mempelajari matematika diperlukan kecerdasan yang tinggi, akibatnya bagi mereka yang merasa kecerdasannya rendah, mereka tidak termotivasi untuk belajar matematika. Kedua, bahwa matematika adalah ilmu berhitung. Kemampuan berhitung dengan bilangan-bilangan memang tidak dapat dihindari ketika belajar matematika. Namun, pada hakikatnya berhitung hanya merupakan sebagian kecil dari keseluruhan isi matematika. Selain mengerjakan penghitungan-penghitungan, orang juga berusaha memahami mengapa perhitungan itu dikerjakan dengan menggunakan suatu cara tertentu. Ketiga, bahwa matematika hanya menggunakan otak. Aktivitas matematika memang memerlukan logika dan kecerdasan otak. Namun, logika dan kecerdasan otak saja tidak mencukupi. Untuk dapat berkembang, matematika sangat membutuhkan kreativitas dan intuisi manusia seperti halnya seni dan sastra. Kreativitas dalam matematika menyangkut akal-budi, imajinasi, estetika, dan intuisi mengenai hal-hal yang benar. Para matematikawan biasanya memulai mengerjakan penelitian dengan menggunakan intuisi, dan kemudian berusaha membuktikan bahwa intuisi itu benar. Kekaguman pada segi keindahandan keteraturan sering kali juga menjadi sumber motivasi bagi para matematikawan untuk menciptakan terobosanterobosan baru demi pengembangan matematika. Atau dengan kata lain, untuk dapat mengembangkan matematika tidak hanya dibutuhkan kecerdasan menggunakan otak kiri saja, melainkan juga harus mampu menggunakan otak kanannya secara seimbang. Keempat, bahwa yang paling penting dalam matematika adalah jawaban yang benar. Jawaban yang benar memang penting dan harus diusahakan. Namun, yang lebih penting sebenarnya adalah bagaimana prosesnya untuk memperoleh jawaban yang benar. Dengan kata lain, dalam menyelesaikan pelbagai masalah matematika, yang lebih penting adalah proses, pemahaman, penalaran, dan metode yang digunakan dalam menyelesaikan masalah tersebut sampai akhirnya menghasilkan jawaban yang benar. Kelima, bahwa kebenaran matematika adalah kebenaran mutlak. Kebenaran dalam matematika sebenarnya bersifat nisbi. Kebenaran matematika tergantung pada kesepakatan awal yang disetujui bersama yang disebut ‘postulat’ atau ‘aksioma’. Bahkan ada anggapan bahwa tidak ada kebenaran (truth) dalam matematika, yang ada hanyalah keabsahan (validity), yaitu penalaran yang sesuai dengan aturan logika yang digunakan manusia pada umumnya. Pemecahan Masalah Matematika
5
Selanjutnya, yang perlu mendapat penjelasan lebih lanjut adalah pertanyaan mengenai apa pentingnya matematika bagi kehidupan orang-orang yang tidak suka matematika? Coba amati siswa-siswi yang tidak lulus UN, karena nilai matematikanya tidak memenuhi standar minimal kelulusan yang ditetapkan pemerintah. Bagi mereka, mungkin akan menjawab matematika sangat penting. Namun, nilai pentingnya tak lebih karena faktor otoritas Negara yang menetapkan standar kelulusan UN. Bahkan matematika lebih sering dipandang sebagai sebuah pelajaran yang menakutkan, abstrak dan sulit. Pembelajar biasa tidak dapat berharap bisa memahami matematika, mereka berharap sederhana untuk menghafalnya dan menerapkan apa yang telah mereka pelajari secara mekanis. Matematika yang dipelajari di sekolah hanya mempunyai sedikit atau tidak ada hubungannya sama sekali dengan dunia nyata. Akibatnya, seorang siswa akan memandang kebenaran solusi matematika sebagai sebuah kebenaran yang dicangkokkan ke dalam kepala, bukan hasil dari pembuktian yang dapat ditelusuri oleh dirinya sendiri. Bisa dibayangkan, apa jadinya ketika seorang siswa harus menghafal notasi-notasi matematis tanpa mengerti artinya. Semakin tinggi tingkat pendidikan seseorang, maka notasi-notasi ‘aneh’ yang harus memenuhi kepalanya juga bertambah banyak. Ironisnya, mereka tidak tahu untuk apa notasi-notasi tersebut, dan apa manfaatnya bagi kehidupan mereka. Dengan demikian, yang perlu dipertanyakan adalah bagaimana memberikan matematika yang penting bagi kehidupan setiap individu sehingga matematika kembali pada fungsinya untuk menyederhanakan kehidupan manusia.
Latihan 1. Sebut dan jelaskan 5 permasalahan umum dalam matematika yang mengakibatkan persepsi negatif terhadap matematika itu sendiri. 2. Bagaimana pendapat Saudara sebagai seorang guru matematika dalam mengajarkan matematika sehingga matematika kembali pada fungsinya untuk menyederhanakan kehidupan manusia. Jelaskan!
Pemecahan Masalah Matematika
6
