MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM
DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel → Variabel yang berubah-ubah dari suatu keadaan ke keadaan lainnya 2. Koefisien→ bilangan/angka yang diletakkan tepat didepan suatu variabel 3.Konstanta→Sifatnya tetap/tidak terkait dengan suatu variabel apapun Secara umum : Y = f(x), dimana x adalah variabel bebas y adalah variabel terkait
Fungsi linier
Fungsi Linier adalah fungsi Polinom yang variabel bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu
Fungsi linier adalah fungsi paling sederhana karena hanya mempunyai satu variabel bebas dan berpangkat satu pada variabel tersebut, atau dengan kata lain taksatupun variabel berpangkat lebih dari1.
Bentuk Umum Fungsi Linier
Bentuk umum fungsi linier 2 variabel (x & y) y = ao + b1x atau
f(x)=ax+b
dimana : ao konstanta, nilainya positif, negatif, atau nol b1 koefisien, nilainya positif, negatif, atau nol Persamaan grafik fungsi f adalah y=ax+b yang berbentuk garis lurus. Contoh : y = 4 + 2x
Cara menggambar fungsi linier a. Dengan cara sederhana (tabel) (curve traicing process) b. Dengan cara matematis (menggunakan ciri-ciri yang penting) atau dengan menentukan titik potong.
1. Curve traicing process (tabel)
Yaitu dengan menggunakan tabel x dan y, dimana kita tentukan dulu nilai x sebagai variabel bebas, maka dengan memasukkan beberapa nilai x kita akan memperoleh nilai y. Misalkan : y = 4 + 2x
x -2 -1 0 y 0 2 4
1 6
Kemudian kita tinggal pasangan titik tersebut.
2 8 memplotkan
masing-masing
Curve traicing process y 10 8 6 4 2
y = 4 + 2x
0 -3
-2
-1
0
1
2
3
x
Cara matematis menentukan titik Potong
Yaitu dengan mencari titik potong untuk sumbu x dan juga sumbu y. Titik potong fungsi dengan sumbu y, yakni pada x=0, maka y=a. Jadi titiknya adalah A(0,a) Titik potong fungsi dengan sumbu x, yakni pada y=0, maka x=b. Jadi titiknya adalah B(b,0) Hubungkan kedua titik untuk menentukan garis persamaan liniernya
contoh
Misalkan diketahui y = 4 + 2x. Maka grafik fungsi dapat digambarkan menggunakan ciri-ciri penting, yaitu: 1) Titik potong fungsi dengan sumbu y, x=0, maka y=4. Jadi titiknya adalah A(0,4) 2)Titik potong fungsi dengan sumbu x, y=0, maka x=-2. Jadi titiknya adalah B(-2,0)
Dengan menggunakan kedua ciri ini maka kita dapat menggambar grafik fungsi y=4 + 2x seperti terlihat pada gambar berikut:
CONTOH y 6 5 4
y = 4 + 2x
(0,4)
3 2 1
(-2,0) -3
-2
0 -1
0
1
x
Latihan Gambarlah grafik fungsi a. y = 9 – 2x b. 2x - 4y = 4 c. y = 3x + 5 d. Y = 2x + 3
FUNGSI LINIER Perpotongan Fungsi Linier Hikmah Agustin, S.P.,MM
Perpotongan 2 fungsi linier
Untuk fungsi linier yang saling berpotongan, maka untuk mencari titik potongnya dapat dilakukan dengan cara : 1. Metode Grafik 2. Metode Subtitusi 3. Metode Eliminasi 4. Metode Campuran
Metode grafik Penyelesaian dengan metode grafik secara umum adalah dengan menggambar kedua fungsi linier pada satu koordinat Cartesius. Bisa dengan cara biasa atau cara matematis.
Perpotongan kedua garis adalah titik (x,y) yang merupakan penyelesaian dari sistem persamaan Linear
Y (0,a)
(0,c) (x,y)
O
X (b,0)
(d,0)
contoh Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y = 1 Jawab : fungsi 1 : 2x + 3y = 4 1).Titik potong fungsi dengan sumbu y, x=0, maka y= 4 . Jadi titiknya adalah A1 (0, 4 ) 3 3 2).Titik potong fungsi dengan sumbu x, y=0, maka x=2. Jadi titiknya adalah B1 (2,0) fungsi 2 : x + 2y = 1 1).Titik potong fungsi dengan sumbu y, 1 1 x=0, maka y= . Jadi titiknya adalah A2 (0, 2 ) 2 2).Titik potong fungsi dengan sumbu x, y=0, maka x=1. Jadi titiknya adalah B2 (1,0)
contoh y
x
2 1
0
1
2
3
4
5
6
7
y1
1,3 0,7 0
y2
0,5 0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3
-0,7 -1,3 -2 -2,7 -3,3
-2 -3 -4 -5 -6
0
1
2
3
4
5
6
(5,-2)
7
8
9
10
9
10
-4
-4,7 -5,3
-3,5
-4 -4,5
x
0 -1
8
Metode Substitusi
Metode
substitusi
Dalam metode substitusi suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain dari suatu persamaan, selanjutnya variabel ini digunakan untuk mengganti variabel yang sama dalam persamaan lainnya sehingga menjadi persamaan satu variabel dan anda dapat dengan mudah mencari nilai variabel yang tersisa.
Carilah persamaan yang paling sederhana dari kedua persamaan itu
Kemudian nyatakan persamaan y dalam x atau sebaliknya.
adalah cara untuk menentukan himpunan penyelesaian dengan menggantikan suatu variabel dengan variabel yang lainnya.
contoh Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y =1 Jawab : a). 2 x 3 y 4 2x 4 3y x
4 3y 2
x 2y 1
...1) masukan ke 2) ...2)
4 3y 2 2 y 1 4 3y 4 y 2 3y 4 y 2 4 y 2
X2
contoh b). 2 x 3 y 4 3y 4 2x 4 2x y 3 x 2y 1
...1) masukan ke 2) ...2)
4 2x x 2 1 3 3 x 24 2 x 3 3x 8 4 x 3 3x 4 x 3 8 x 5 x5
X3
Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 }
Metode eliminasi
Metode Eliminasi adalah cara penyelesaian dengan menghilangkan salah satu variabel untuk mencari nilai variabel yang lain.
Adapun langkah-langkah secara adalah sebagai berikut :
Untuk mengeliminasi suatu variabel samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dihilangkan. Pada langkah ini anda mengalikan kedua koefisien dengan bilangan tertentu sedemikian sehingga nilai koefisiennya menjadi sama
contoh Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y =1 Jawab : a). Eliminasi x
2x + 3y = 4 x + 2y = 1
X 1 → 2x + 3y = 4 X 2 → 2x + 4y = 2 -y=2 y=-2
b). Eliminasi y 2x + 3y = 4 X 2 → 4x + 6y = 8 x + 2y = 1 X 3 → 3x + 6y = 3 x=5
Jadi himpunan penyelesaiannya { 5, -2 }
Metode campuran
Penyelesaian dengan metode campuran adalah cara menentukan himpunan penyelesaian dengan menggabungkan antara metode eliminasi dan metode substitusi. Pertama kali anda kerjakan dengan metode eliminasi. Kemudian nilai variabel hasil eliminasi ini disubsitusikan ke dalam salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel yang lain.
contoh Tentukanlah titik potong fungsi 2x + 3y = 4 dengan x + 2y =1 Jawab : a). Eliminasi x 2x + 3y = 4 X 1 → 2x + 3y = 4 x + 2y = 1 X 2 → 2x + 4y = 2 -y=2 y=-2 b). Substitusi nilai x ke persamaan ke-2 x + 2y = 1 Jadi himpunan x + (2 x -2) = 1 penyelesaiannya { 5, -2 x–4=1 } x=5
latihan 1.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan metode eliminasi dan substitusi : 2x – y = 4 dg x + 2y = 12
2.
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan metode eliminasi dan substitusi :
3.
x - y =16 dg 4x + 2y = 28
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut ini dengan metode eliminasi dan substitusi : 2x + y =2 dg
Carilah titik potong untuk fungsi-fungsi berikut : a. x + y = 2 d. x + 2y = 4 x–y=2 3x – y = 5 b. 3x + 2y = 6 2x – 4y = 4
e.
x + 3y = 1 2x – y = 9
c. 2x – 5y = 15 3x + 4y = 11
f. 2x1 + x2 = 8 x1 – x2 = 1
3x + 3y = 4
TERIMAKASIH
Terima Kasih Selamat Belajar Hikmah Agustin, S.P.,MM
