PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
MASALAH VEKTOR EIGEN MATRIKS INVERS MONGE DI ALJABAR MAX-PLUS Farida Suwaibah1, Subiono2, Mahmud Yunus3 Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya1,2,3 e-mail:1
[email protected]
ABSTRAK Pada penelitian ini akan dibahas masalah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus. Suatu matriks disebut matriks Monge jika entri-entrinya memenuhi: , untuk semua dan . Sedangkan matriks invers Monge atau sering juga disebut sebagai matriks anti Monge adalah matriks yang entri-entrinya memenuhi: , untuk semua dan . Dalam paper ini dibahas tentang path monoton. Dengan menggunakan sifat path yang monoton selanjutnya ditentukan matriks yang akan berguna dalam penentuan vektor eigen matriks invers Monge. Pada akhir pembahasan akan diterapkan satu Algoritma untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks invers Monge Kata Kunci: Aljabar max- plus, Matriks invers Monge, Nilai eigen, Vektor eigen. 1. PENDAHULUAN
Pada beberapa permasalahan, matriks digunakan untuk memodelkan suatu sistem dan sistem tersebut di selesaikan sehingga didapatkan solusinya. Dari sebuah matriks dapat ditentukan nilai eigen dan vektor eigen yang mana keduanya memainkan peranan yang sangat penting dalam suatu sistem. Peranan nilai eigen dan vektor eigen di Aljabar Max-Plus diantaranya menggambarkan kestabilan sistem dan menganalisis kedinamikan suatu sistem. Sebagai contoh adalah sistem produksi sederhana yang bisa dilihat di Subiono (2003) dan analisis kedinamikan sistem pada masalah penjadwalan flow shop di Nur Shofianah dan Subiono (2008). Seperti pada matriks biasa, matriks invers Monge juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Banyak permasalahan yang diakui dapat diselesaikan dengan mudah jika melibatkan matriks Monge atau matriks invers Monge. (Aleksey A. Imaev, Robert P.Judd, 2010). Sebagai contoh pada klas travelling salesmen problem (TSP) dengan cost matrix merupakan matriks invers Monge maka akan didapatkan rute terpendek dengan pola tertentu. Sebuah problem spectral pada matriks Monge dan matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus telah dipelajari di Gavalec dan Plavka. Di Gavalec dan J.Plavka (2003) ditunjukkan bahwa nilai eigen dari suatu matriks invers Monge yang diberikan dapat ditentukan dengan mengambil nilai maximum dari elemen-elemen pada diagonal utama. Sedangkan di Aleksey, A. Imaev (2009) ditunjukkan peran path monoton dalam menentukan yang digunakan untuk mendapatkan vektor eigen di Aljabar Max-Plus. Selanjutnya diterapkan Algoritma 1, yang dipakai untuk menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus. Pada penelitian ini akan dibahas mengenai permasalahan yang diberikan oleh Aleksey A. Imaev dan Robert P. Judd yaitu : bagaimana menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus dengan menerapkan satu algoritma. 2. ALJABAR MAX-PLUS. Aljabar max-plus merupakan contoh struktur aljabar yang disebut dioid (semiring idempotent). Aljabar max-plus adalah Himpunan dengan operasi dan yang dinyatakan dengan
M32-1
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW
Adapun struktur Aljabar dari
, dimana dengan dijelaskan dalam definisi berikut:
dan
.
Definisi 1. Struktur Aljabar (Bacelli, dkk, 1992) Simbol menyatakan himpunan yang mempunyai dua operasi biner yaitu maksi mum yang dinotasikan dengan dan penjumlahan yang dinotasikan dengan . Sedemikian hingga untuk setiap berlaku : dan Pada operasi mempunyai elemen netral , karena untuk setiap operasi mempunyai elemen satuan , karena .
berlaku:
dan
Himpunan semua matriks ukuran di Aljabar Max-Plus dinyatakan dengan . Dengan cara yang sama pada aljabar biasa, elemen pada matriks baris ke kolom ke ditulis “ ”, dimana dan . Sebagaimana biasa Matriks dapat ditulis sebagai:
Operasi pada matriks dijelaskan berikut ini: Penjumlahan matriks
oleh Matriks
adalah penjumlahan dan perkalian, seperti yang dinotasikan dengan , dengan
dan didefinisikan sebagai: dan
. Adapun perkalian Skalar dengan matriks = . Sedangkan Perkalian Matriks
, didefinisikan dengan
, didefinisikan sebagai:
,
dan
.
Suatu matriks dapat direpresentasikan ke dalam bentuk graf dan sebaliknya dari suatu graf dapat dinyatakan ke dalam bentuk suatu matriks. dimana elemen-elemen matriks merupakan bobot busur dari graph, seperti disebutkan dalam defnisi berikut: Definisi 2. Communication Graph (Aleksey Imaev, 2009) Untuk sebarang matriks dapat dikaitkan dengan sebuah graph ( dinotasikan dengan dan disebut dengan “ communication graph” pada mempunyai node dengan . Untuk sebarang dua node sebuah busur dengan bobot jika hanya jika
yang . ada
Communication graph dinotasikan dengan Sebuah path di dapat dinyatakan sebagai urutan dari busur-busurnya yaitu : atau sebagai urutan nodenya yaitu: Suatu path dikatakan elementer jika tidak ada node terjadi dua kali. Sedangkan suatu sirkuit adalah suatu path dengan atau disebut path elementer tertutup. Dan suatu sirkuit yang mempunyai bobot rata-rata maksimum disebut sirkuit kritis. Pengertian panjang, bobot dan bobot rata-rata untuk suatu sirkuit sama seperti path. (Subiono, 2010) M32-2
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW Panjang suatu path adalah banyaknya busur dalam suatu path yang dinyatakan dengan , sedangkan bobot dari suatu path dinyatakan dengan , yaitu jumlah bobot dari seluruh busur pada suatu path. Sedangkan bobot rata-rata dari path adalah
.
Suatu graph dikatakan strongly connected jika untuk sebarang dua node ada suatu path dari ke . Dan suatu matrik dikatakan irreducible jika communication graphnya adalah strongly connected. Selanjutnya nilai eigen dan vektor eigen dalam Aljabar Max-Plus diberikan melalui definisi sebagai berikut: Definisi 3. ( Aleksey, A.Imaev, 2009) Penentuan suatu nilai dan suatu vektor yang memuat paling sedikit satu elemen berhingga sedemikian hingga memenuhi disebut suatu eigenproblem dari . Maka disebut nilai eigen dan adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen . Interpretasi grafis nilai eigen dari matriks irreducible adalah sirkuit elemnter di yang mempunyai bobot rata-rata maksimum, atau dengan kata lain: ,
(1)
dimana merupakan himpunan sirkuit elementer di . Selanjutnya, untuk sebarang didefinisikan beberapa hal sebagai berikut:
A
A
...
A
k
A
( k 1 )
...
k 1
A
k
,
k 1
2. MATRIKS INVERS MONGE Definisi 4. (Aleksey, A.Imaev, 2009) Suatu matriks berukuran disebut matriks Monge jika dan hanya jika memenuhi: , untuk (2) dan disebut matriks invers Monge jika memenuhi: untuk Di Aljabar Max-Plus, suatu matriks memenuhi:
disebut matriks
(3) invers Monge jika entri-entrinya
Untuk mengetahui suatu matriks ukuran memenuhi matriks invers Monge atau matriks Monge, yaitu dengan memeriksa disetiap submatrik yang berukuran apakah memenuhi pertidaksamaan (2) atau pertidaksamaan (3) (Gerhard J. Woeginger, 2006). Pertidaksamaan (2) atau (3) berlaku untuk baris dan kolom yang berdekatan. Contoh 1: Matriks dengan ukuran , yaitu:
M32-3
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW Ada 9 submatriks ukuran ( tersebut memenuhi (3), yaitu:
yang dapat diperiksa apakah masing-masing submatriks , ,
3. PATH MONOTON Pada bagian ini akan dijelaskan pengertian suatu path monoton melalui satu definisi, dan beberapa contoh. Dari pengertian path yang monoton dapat di gunakan untuk menentukan “ ” dengan merupakan matriks invers Monge . Definisi 4.(Aleksey. A.Imaev, 2009) Diberikan matriks dengan graf dari matriks adalah , selanjutnya di misalkan suatu path dalam yaitu: , Titik disebut sebagai puncak, jika dan . Sedangkan titik disebut sebagai lembah, jika dan Definisi 5. (Aleksey. A.Imaev, 2009, hal 97) Suatu path elementer atau sirkuit elementer dalam graf dikatakan monoton, jika dalam path tersebut tidak terdapat puncak atau lembah. Dari definisi di atas, berikutnya diturunkan satu Teorema untuk mendapatkan matriks Teorema 1. (Aleksey, A.Imaev, 2009) Misalkan merupakan matriks invers Monge dengan , maka: Dimana
menyatakan himpunan semua path mono di
dari titik ke
Contoh 2: Diberikan matriks
Matriks
yang irreducible. Akan ditentukan matriks
dengan memperhatikan path yang monoton di
Pertama, merepresentasi matriks
ke graf
merupakan matriks invers Monge
sebagai berikut: 3
8
1
2 2
5 4
2
1 3
7
Gambar 1. Graf M32-4
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW Seperti yang telah disebutkan pada bagian sebelumnya, bahwa eigenvalue untuk suatu matriks sebarang di Aljabar Max-Plus diperoleh dengan menentukan bobot rata-rata maksimum dari sebarang sirkuit di graf Adapun bobot rata-rata dari sebarang sirkuit di graf diberikan pada tabel berikut ini: Tabel (1). Tabel sirkuit elementer dari Gambar 1. Cirkuit
Panjang 1 1 1 2 2 3 3
Bobot 8 2 7 8 5 9 9
Bobot rata-rata 8 2 7 4
3
Berdasarkan Tabel (1) di atas, nilai maksimum bobot rata-rata adalah 8, maka eigenvalue dari adalah 8. dan didapatkan yaitu:
Selanjutnya untuk memperoleh dapat dilakukan dengan memperhatikan path mono dari Terlebih dahulu dibuat graf representasi dari yang ditunjukkan pada gambar berikut: 0
-5
1
-6 2
-3 -6
-4 -7 3
-1
Gambar 2. Graf Adapun path mono dari graf matriks
diberikan pada tabel berikut:
M32-5
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW Tabel (2). Tabel path monoton dari Gambar 2. Path Mono dari Panjang Bobot path mono path mono node ke node 1 0 1 1 2
Bobot maksimum node ke node 0
dari
1 1 1 1 2 1 1
Berdasarkan Tabel (2) diatas, diperoleh matriks
4. Eigenvalue dan Eigenvektor Matriks Invers Monge Matriks invers Monge seperti halnya matriks biasa juga mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Misalkan dan memenuhi matriks invers Monge maka nilai eigen dari yang dinotasikan dengan merupakan nilai maksimum dari elemen-elemen pada baris ke kolom ke , sebagaimna dijelaskan dalam teorema berikut: Teorema(2): (Martin Gavalec, dkk, 2003). Jika
memenuhi matriks invers Monge maka:
max iN
Sedangkan eigenvector dari matriks invers Monge diberikan melalui definisi berikut: Definisi 6. (Aleksey, A Imaev, 2009, hal 101) n
Misalkan
dimana
adalah eigenvalue dari
dan
i 1
misalkan dari
merupakan bilangan bulat sedemikian hingga adalah eigenvector matriks
dan
maka vektor kolom ke –
, dengan kata lain:
Dari definisi diatas, eigenvector dari suatu matriks dapat ditentukan dengan memperhatikan kolom ke – dari matriks yang memenuhi . Berikut ini diberikan satu teorema yang menjelaskan tentang suatu matriks invers Monge yang irreducible dengan . Teorema 3. (Aleksey, A.Imaev, 2009) Misalkan Matriks irreducible dengan Maka: , untuk
dan
memenuhi matriks invers Monge,
, M32-6
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW i 1
untuk
k j 1
j 1
untuk
k j 1
Contoh 3: Dari Contoh 2 telah didapatkan matriks Definisi 6 maka vektor eigen dari matriks
adalah:
. Berdasarkan .
Selanjutnya, dalam menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus diberikan Algoritma sebagai berikut: Algoritma 1 Input : suatu matriks invers Monge irreducible Output: Eigenvalue dan eigenvector dari n
1:
i 1
2: 3: Tentukan , sedemikian hingga 4: 5: 6: 7: for
to
do
l 1
8:
k c 1
9: end for 10: for
to 1 do c 1
11:
k l 1
12: end for Contoh 4. Misalkan matriks invers Monge pada Contoh 3 di atas, akan ditentukan eigenvalue dan eigenvector dari matriks . Karena matriks memenuhi matriks invers Monge maka dengan menggunakan Teorema (2) diperoleh eigenvalue dari adalah :
3
i 1
Dari Contoh 3 diperoleh matriks
, sehingga
adalah 1. Selanjutnya ditentukan eigenvector dari Algoritma 1 di atas, melalui tahapan-tahapan sebagai berikut: Untuk , 1: , maka diperoleh , 2: , maka diperoleh Untuk
yang memenuhi dengan menerapkan
M32-7
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW l 1
3:
, diperoleh:
k c 1 2
k 2
Sehingga eigenvector dari
adalah:
. Hasil perhitungan dari menerapkan Algoritma (1) di atas
apabila di perhatikan menyatakan kolom ke-1 dari matriks
5. Kesimpulan 1. Vektor eigen di Aljabar Max-Plus memainkan peran penting dalam mempelajari perilaku steady state dari Sistem Event Diskret Deterministic Cyclic. 2. Path monoton memainkan peran dalam menentukan vektor eigen matriks invers Monge di Aljabar Max-Plus sehingga: , dimana yang memenuhi . Selanjutnya untuk mendapatkan vektor eigen digunakan Algoritma 1.
M32-8
PROSIDING SEMINAR NASIONAL DAN PENDIDIKAN SAINS UKSW 6. DAFTAR PUSTAKA [1] Baccelli, F., Cohen, G., Olsder, G.J. dan Quadrat, J.P. (1992), Synchronization and Linearity An Algebra for Discrete Event Systems, John Wiley & Sons, New York. [2] Gavalec, M.,Plavka J, An algorithm for maximum cycle mean of Monge matrices in Max-Algebra, Discrete Applied Mathematics 127(2003) 651-656 [3] Imaev, A.A. (2009). Hierarchical Modeling of Manufacturing Systems Using Max-Plus Algebra, Disertasi P.Hd,(114pp), Ohio University, Ohio. [4] Imaev, A.A., Judd, P.R, (2010), Computing an eigenvector of an inverse Monge matrix in Max-Plus Algebra, Discrete Applied Mathematics 158 (2010) Ohio university, Athens, OH 45701, United States. (1701-1707). [5] Subiono, (2003), Terapan Aljabar Max-Plus pada Sistem Produksi Sederhana serta Simulasinya dengan Menggunakan Matlab, Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya [6] Subiono, (2010), Aljabar Max-Plus Dan Terapannya, versi 1.00, Jurusan Matematika FMIPA ITS, Surabaya [7] Woeginger, G.J, (2006), Some Problem Around Travelling Salesman Problem, The Algorithmics Column by Gerhard J Woeginger, Departement of Mathematematics and Computer Science Eindhoven University of Technology
M32-9
