Catatan Kuliah
MA4183 MODEL RISIKO “Control your Risk!”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2014
Tentang MA4183 Model Risiko A. Jadwal kuliah: • Selasa; 07.00• Rabu/Kamis;
B. Penilaian: 1. Ujian: • Ujian 1, Minggu ke-6, 30 September 2014 (25%) • Ujian 2, Minggu ke-10, 28 Oktober 2014 (25%) • Ujian 3, Minggu ke-15, 2 Desember 2014 (25%) 2. Kuis dan Tugas/Presentasi (25%)
C. Buku teks: 1. Yiu-Kuen Tse, 2009, Nonlife Actuarial Models: Theory, Methods and Evaluation 2. Stuart Klugman, Harry Panjer, Gordon Willmot, 2004, Loss Models
MA4183 Model Risiko
i
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Distribusi Frekuensi Klaim
1
1.1
Distribusi Binomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Distribusi Geometrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3
Distribusi Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.4
Kelas Distribusi (a, b, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.5
Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions . . . . . . . . .
6
1.6
Compound distribution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2 Distribusi Severitas Klaim
1
2.1
Aplikasi Dalam Asuransi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2.2
Fungsi Kesintasan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.3
Distribusi Eksponensial dan Pareto . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4
Transformasi Peubah Acak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.5
Sifat Ekor Pada Severitas Klaim . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
3 Model Kerugian Agregat
1
3.1
Model Risiko Individu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3.2
Model Risiko Kolektif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
ii
BAB 1 Distribusi Frekuensi Klaim Silabus: Distribusi binomial, geometrik dan Poisson; kelas distribusi (a, b, 0); zero-modified and zero-truncated distributions; compound distribution Asuransi berkaitan erat dengan risiko karena dengan produk asuransi-lah terjadi perpindahan (tranfer) risiko dari pemegang polis kepada pihak asuransi. Pada pemodelan kerugian klaim (claim losses) terdapat dua ukuran penting yang harus diperhatikan yaitu frekuensi klaim (claim frequency) dan besar atau severitas klaim (claim severity).
1.1
Distribusi Binomial
Distribusi yang tepat untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi diskrit, antara lain binomial, geometrik, negatif binomial dan Poisson. Misalkan peubah acak X menyatakan banyak klaim yang diproses dari semua klaim yang masuk. Misalkan X ∼ B(n, θ), maka fungsi peluangnya P (X = k) = Ckn θk (1 − θ)n−k , k = 0, 1, 2, . . . , n
Sifat momen, atau momen ke-m, dapat ditentukan dengan memanfaatkan
1
fungsi peluang (fp), yaitu m
E(X ) =
n ∑
xm P (X = k).
k=0
Untuk m = 1, misalnya, didapat E(X) = · · · , dst. Momen ke-m dapat pula ditentukan dengan menggunakan fungsi pembangkit momen (fpm): MX (t) = · · · Catatan: Fpm suatu peubah acak berkorespondensi satu-satu dengan distribusi peubah acak tersebut. Bagaimana dengan fungsi pembangkit peluang (fpp), manfaat apa yang dapat diperoleh dengan fpp? Bagaimana menentukan peluang secara rekursif? Dapatkah ditentukan hubungan antara fpm dan fpp? Misalkan X1 , X2 , . . . , Xn sampel acak dari X yang berdistribusi binomial dengan parameter (n, θ). Parameter θ dapat ditaksir dengan menggunakan metode likelihood maksimum sbb: • Fungsi likelihood dan log-likelihood: ... • Turunan pertama terhadap parameter dan normalisasi: ... b ... • Penaksir θ: • Turunan kedua terhadap parameter: ...
Tugas: Pandang data berdistribusi binomial dengan berbagai nilai parameter. Lakukan analisis statistika deskriptif dan inferensial terhadap data tersebut.
MA4183 Model Risiko
2
K. Syuhada, PhD.
1.2
Distribusi Geometrik
Distribusi lain yang dapat digunakan untuk memodelkan frekuensi klaim adalah distribusi geometrik. Pertanyaannya, definisi peubah acak apakah yang tepat untuk menggambarkan distribusi ini? Misalkan X ∼ Geo(α) dengan fungsi peluang p(x) = (1 − α)x−1 α, x = 1, 2, . . . Kita dapat menentukan sifat momen seperti sebelumnya, E(X) =
1 1 , V ar(X) = 2 , α α
dan juga fpm dan fpp. Selain itu, misalkan X ∼ Geo(α), kita dapat pula menentukan sifat distribusi dari X + 1. Namun yang menarik untuk dikaji adalah apakah sifat khusus yang hanya dimiliki distribusi geometrik? Jelaskan!
1.3
Distribusi Poisson
Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya/frekuensi klaim pada suatu periode waktu. Distribusi untuk X adalah Poisson dengan parameter λ. Ciri khas distribusi ini adalah nilai mean dan variansi yang sama yaitu λ, E(X) = V ar(X) = λ. Dalam praktiknya, mungkinkah kita memperoleh data dengan nilai mean sama dengan variansi? (selanjutnya nanti akan dipelajari konsep overdispersion dan underdispersion) Bagaimana kaitan antara distribusi Poisson dan Binomial? adakah manfaat yang dapat kita ambil? MA4183 Model Risiko
3
K. Syuhada, PhD.
Teorema Jika X1 , . . . , Xn peubah acak-peubah acak yang saling bebas dengan Xi ∼ P OI(λi ) maka X = X1 + · · · + Xn ∼ P OI(λ1 + . . . + λn ).
Misalkan X dan Y peubah acak Poisson dengan parameter, berturut-turut, λ1 dan λ2 . Kita dapat menentukan distribusi X|X + Y = n sebagai berikut P (X = k|X + Y = n) = = = = =
P (X = k, X + Y = n) P (X + Y = n) P (X = k, Y = n − k) P (X + Y = n) P (X = k) P (Y = n − k) P (X + Y = n) exp(−λ1 ) λk1 (k!)−1 exp(−λ2 ) λn−k ((n − k)!)−1 2 exp(−(λ1 + λ2 )) (λ1 + λ2 )n (n!)−1 ( )k ( )n−k n! λ1 λ2 . k!(n − k)! λ1 + λ2 λ1 + λ2
Dengan kata lain, X|X + Y = n ∼ B(n, λ1 /(λ1 + λ2 )).
1.4
Kelas Distribusi (a, b, 0)
Perhatikan fungsi peluang dari peubah acak Poisson(λ): e−λ λx f (x) = , x = 0, 1, 2, . . . x! yang dapat dituliskan rekursif dengan memperhatikan fungsi peluang untuk X = x − 1, f (x − 1) =
e−λ λx−1 . (x − 1)!
MA4183 Model Risiko
4
K. Syuhada, PhD.
Diperoleh e−λ λx / e−λ λx−1 f (x) = f (x − 1) x! (x − 1)! λ = x atau ( ) λ f (x) = f (x − 1), x = 1, 2, . . . x Distribusi-distribusi diskrit yang sudah dikenalkan sebelumnya (binomial, geometrik, binomial negatif, Poisson) dapat dikelompokkan menjadi sebuah Kelas Distribusi (a, b, 0) dengan fungsi peluang memenuhi sifat rekursif: ( ) b f (x) = a + f (x − 1), x = 1, 2, . . . , x dengan a, b konstanta dan f (0) diberikan. Catatan: Kelas distribusi (a, b, 1) dapat pula dibentuk dengan analogi.
MA4183 Model Risiko
5
K. Syuhada, PhD.
1.5
Zero-Modified and Zero-Truncated Distributions
Misalkan X ∼ B(3, 0.4). Kita dapat menentukan distribusi peluang sebagai berikut: X 0 1 2 3
P (X = k) 0.216 0.432 0.288 0.064
Dalam aplikasi teori peluang, seringkali kita dihadapkan pada fenomena dimana peluang terjadinya “0” telah ditentukan, misalnya P (X = 0) = 0.3, atau bahkan mungkin tidak ada, P (X = 0) = 0. Untuk itu, perlu adanya modifikasi fungsi peluang diatas. Distribusi yang dihasilkan dikatakan sebagai zero-modified and zero-truncated distributions. Misalkan peubah acak X dari suatu distribusi (a, b, 0) memiliki fungsi peluang f (x). Misalkan f M (x) fungsi peluang yang merupakan modifikasi dari f (x); f M (x) adalah fungsi peluang dari distribusi (a, b, 1). Untuk f M (0) yang ditentukan, hubungan antara f M (x) dan f (x) adalah f M (x) = c f (x), x = 1, 2, . . . dengan c konstanta. Catatan: Fungsi peluang f M (x) haruslah terdefinisi dengan baik; akibatnya, c dapat diperoleh, c=
1 − f M (0) . 1 − f (0)
Untuk distribusi Binomial dengan parameter (3, 0.4) diatas, kita dapat menghiMA4183 Model Risiko
6
K. Syuhada, PhD.
tung f M (k), k = 1, 2, 3 sebagai berikut: 1 − f M (0) f (1) 1 − f (0) 1 − 0.3 = 0.432 1 − 0.216
f M (1) =
= 0.386. Dengan cara sama, kita peroleh f M (2) = 0.258 dan f M (3) = 0.056. Untuk zero-truncated distribution, nilai P (X = 0) = 0. Diperoleh nilai seperti tabel berikut: X 0 1 2 3
P (X = k) Zero-Modified 0.216 0.3 0.432 0.386 0.288 0.258 0.064 0.056
Zero-Truncated 0
Latihan: 1. Tentukan zero-modified distribution untuk X yang berdistribusi Poisson dengan parameter 2.5 2. Misalkan X ∗ adalah zero-truncated distribution dari X. Diketahui, fungsi peluang dan fungsi pembangkit peluang X, berturut-turut, adalah fX (x) dan PX (t). Tentukan fungsi pembangkit peluang untuk X ∗
1.6
Compound distribution
Misalkan X1 , . . . , Xn sampel acak dari X dengan fungsi distribusi FX . Apakah yang dapat kita katakan tentang distribusi S = X1 + · · · + Xn , ?
MA4183 Model Risiko
7
K. Syuhada, PhD.
Bagaimana dengan S = X1 + · · · + XN , ? (dimana N adalah peubah acak) Jika N peubah acak bernilai integer yang saling bebas dengan X1 , . . . , XN , maka peubah acak S = X1 + · · · + XN dikatakan memiliki compound distribution. Catatan: - Distribusi N disebut sebagai distribution pertama (primary distribution), sedangan distribusi X dikatakan distribusi kedua (secondary distribution) - Penamaan distribusi: primary-secondary distribution - Distribusi compound Poisson adalah distribusi dengan distribusi pertama adalah distribusi Poisson dan sebarang distribusi untuk distribusi kedua Untuk menentukan distribusi S, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan Xi ∼ B(1, θ) dan kita tahu Xi = 0, 1. Sehingga nilai yang mungkin untuk S adalah {0, 1, 2}. P (S = 0) = P (X1 = 0, X2 = 0) = P (X1 = 0)P (X2 = 0) = f (0)f (0)
P (S = 1) = P (X1 = 0, X2 = 1) + P (X1 = 1, X2 = 0) = f (0)f (1) + f (1)f (0)
MA4183 Model Risiko
8
K. Syuhada, PhD.
P (S = 2) = P (X1 = 1, X2 = 1) = f (1)f (1) Jadi, fungsi peluang S adalah P (S = s) =
∑
P (X1 = x, X2 = s − x).
x
Dalam menentukan distribusi S dengan N peubah acak alias compound distribution, distribusi N harus ditentukan lebih dahulu. Dengan demikian, kita peroleh P (S = s) =
∑
P (S|N = n)fN (n),
n
dengan sifat momen pertama E(S) = E(E(S|N )) = · · · dan fungsi pembangkit momen MS (t) = · · · . Latihan: 1. Misalkan S1 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 1 dan kedua Geometrik dengan parameter p1 . Misalkan S2 memiliki compound distribution dengan distribusi pertama Poisson dengan parameter 2 dan kedua Geometrik dengan parameter p2 . Diketahui S1 dan S2 saling bebas. Misalkan S = S1 + S2 . Hitung P (S = s), s = 0, 1, 2, . 2. Tentukan fpm dan fpp dari dari geometric-binomial compoun distribution
MA4183 Model Risiko
9
K. Syuhada, PhD.
BAB 2 Distribusi Severitas Klaim Silabus: Fungsi kesintasan, distribusi exponensial, Weibull dan Pareto; mixed and mixture distributions; tail weight and CTE; Aplikasi: deductibles, policy limit dan coinsurance Severitas klaim atau claim severity menyatakan besar kerugian suatu klaim asuransi. Umumnya, severitas klaim dimodelkan dengan distribusi kontinu nonnegatif. Secara khusus, akan dibahas distribusi eksponensial dan Pareto serta sifat-sifat yang menyertainya seperti sifat ekor dan kuantil.
2.1
Aplikasi Dalam Asuransi
Salah satu motivasi yang dapat digunakan dalam mempelajari sifat-sifat khusus peubah acak seperti sifat ekor, kuantil dll adalah manfaat atau aplikasi dalam bidang profesional seperti asuransi. Dalam hal ini, kajian aplikasi akan ditekankan pada pembayaran klaim oleh perusahaan asuransi (insurer), khususnya pada kasus adanya modifikasi cakupan polis (policy coverage). Pandang situasi seseorang mengasuransikan kendaraan yang dimilikinya. Tidak jarang pengendara bersikap ceroboh terhadap kendaraannya karena keyakinan akan dijamin oleh asuransi. Untuk mengurangi risiko dan mengendalikan
1
masalah-masalah perilaku pemegang polis (moral hazard), perusahaan asuransi melakukan modifikasi cakupan polis seperti deductibles, policy limits dan coinsurance. Misalkan X menyatakan besar uang yang dibayar (amount paid) dalam suatu kejadian kerugian (loss event) dimana tidak ada modifikasi cakupan atau disebut ground-up loss. Misalkan XL menyatakan besar uang yang dibayar dimana ada modifikasi cakupan atau cost per loss; XP menyatakan besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian pembayaran (payment event) dimana ada modifikasi cakupan. Catatan: loss event terjadi jika terdapat kerugian, payment event terjadi hanya jika pihak asuransi membayar kerugian. Deductibles Suatu polis asuransi dengan per-loss deductible d tidak akan menbayar pada pemegang polis (the insured) jika kerugian X kurang dari atau sama dengan d; akan membayar pemegang polis sebesar X − d jika kerugian X lebih dari d. Jadi, besar uang yang dibayar dalam suatu kejadian kerugian, XL , adalah XL = X − d, untuk X > d, dan XL = 0 untuk X ≤ d. Distribusi peluang untuk XL adalah... Peubah acak XP (excess-loss variable) didefinisikan jika terjadi pembayaran, yaitu saat X > d, XP = X − d|X > d. Fungsi kesintasan SXP adalah... Catatan: XL memiliki censored distribution, XP memiliki truncated distribution.
MA4183 Model Risiko
2
K. Syuhada, PhD.
Latihan. Misalkan X dan Y , dengan deductible d = 0.25. Hitung E(XL ), E(XP ), E(YL ), E(YP ), jika X berdistribusi eksponensial dan Y berdistribusi lognormal. Policy limit Modifikasi lain dari cakupan polis adalah menentukan suatu nilai u yang ditentukan dari awal dengan aturan XU = u, untuk X ≥ u, dan XU = X untuk X < u. Notasi: XU = X ∧ u. Coinsurance Dapatkah anda menjelaskan tentang Coinsurance?
2.2
Fungsi Kesintasan
Fungsi kesintasan (survival function) merupakan komplemen dari fungsi distribusi. Dapat pula dikatakan bahwa fungsi kesintasan S(x) adalah nilai kumulatif peluang yang lebih besar dari x atau S(x) = 1 − F (x) = P (X > x), dengan sifat-sifat sbb:... Fungsi hazard berkaitan dengan peluang mendapatkan kegagalan pada suatu waktu, h(x) =
f (x) S(x)
= P (x < X < x + dx|X > x)
MA4183 Model Risiko
3
K. Syuhada, PhD.
Suatu peubah acak X dapat berdistribusi kontinu dan diskrit, ∫ x ∑ F (x) = P (X ≤ x) = f (x) dx + P (X = x) −∞
x
dengan sifat ekspektasi... Contoh: Misalkan X ∼ U (0, 10). Misalkan Y = X − 2 untuk X > 2.
2.3
Distribusi Eksponensial dan Pareto
Misalkan X peubah acak eksponensial. Fungsi distribusi dan fungsi hazardnya dapat ditentukan sbb. Distribusi eksponensial sering digunakan untuk menentukan distribusi waktu antar-kedatangan. Peubah acak X berdistribusi Pareto dengan parameter α > 0 dan γ > 0 jika fungsi distribusinya F (x). Distribusi ini cocok untuk memodelkan pendapatan. Karakteristik menarik dari distribusi Pareto adalah tidak dimilikinya fpm dan dapat diturunkannya distribusi ini dari distribusi eksponensial. Misalkan X ∼ exp(λ), dengan Λ berdistribusi Gamma(α, β). Kita ketahui fX (x|λ) = λ e−λ x , x ≥ 0, dan fΛ (λ|α, β) =
( β1 )α Γ(α)
λα−1 e− β λ , λ ≥ 0. 1
Jadi, ∫
∞
fX (x|λ) fΛ (λ|α, β) 0
= ···
[ ]α+1 α β = α β βx + 1
MA4183 Model Risiko
4
K. Syuhada, PhD.
atau ∫
∞
fX (x|λ) fΛ (λ|α, β) = 0
αγ α , (x + γ)α+1
dengan γ = 1/β, yang merupakan fungsi peluang dari distribusi Pareto(α, γ). Dengan kata lain, gamma-exponensial mixture berdistribusi Pareto.
2.4
Transformasi Peubah Acak
Beberapa cara dapat digunakan untuk memanipulasi suatu peubah acak menjadi peubah acak baru. Peubah acak baru ini diperoleh dengan membentuk fungsi peubah acak. Sebagai contoh, diketahui peubah acak X dengan fungsi distribusi tertentu. Kita dapat membentuk fungsi peubah acak Y =
1 X ;Y = Xα, λ
dsb. Contoh lain, misalkan X1 , . . . , Xn peubah acak dengan fungsi peluang fX1 , . . . , fXn . Peubah acak baru X dapat dibentuk dengan fungsi peluang fX (x) = p1 fX1 (x) + · · · + pn fXn (x), dengan pi ≥ 0,
2.5
∑n i=1
pi = 1.
Sifat Ekor Pada Severitas Klaim
Severitas klaim dapat bernilai sangat besar walau dengan frekuensi yang kecil. Kerugian dengan nilai ekstrim, yang terjadi pada ekor kanan (upper tail) distribusi, perlu diperhatikan karena akan mempengaruhi kebijakan polis berikutnya. Distribusi dengan ekor tebal (fat/heavy/thick tail) dapat diidentifikasi melalui eksistensi momen. Sebagai contoh, distribusi Pareto memiliki hingga order α. Jadi, jika α < 2 maka distribusi Pareto tidak memiliki variansi. Artinya, terdapat indikasi adanya distribusi ekor tebal. MA4183 Model Risiko
5
K. Syuhada, PhD.
Untuk membandingkan perilaku ekor distribusi, kita dapat menghitung limit rasio kedua fungsi kesintasan. Semakin cepat suatu fungsi kesintasan menuju nol, maka semakin tipis ekor distribusi tersebut. Cara lain untuk menentukan ketebalan ekor adalah dengan menentukan (i) fungsi hazard dan (ii) fungsi kuantil. Misalkan X suatu kerugian acak atau random loss dengan fungsi distribusi FX . Kita dapat menentukan suatu nilai dα sedemikian hingga P (X ≤ dα ) = F (dα ) = α. Dengan kata lain, dα = FX−1 (α), atau dα adalah α-kuantil dari distribusi X. Keakuratan dα dapat dihitung dengan peluang cakupan atau coverage probability. Catatan: dα sering dikatakan VaRα (X) yang menyatakan kerugian maksimum yang dapat ditolerir padan tingkat α. Ukuran lain yang dapat dihitung dengan memanfaatkan dα adalah CTE atau Conditioan Tail Expectation, ( ) E X|X > dα , yang, apabila kita menggunakan VaRα (X), ukuran tersebut disebut Expected Shortfall (ES). Perhatikan kasus distribusi eksponensial dengan parameter λ. Kita peroleh ( ) 1 E X − VaRα (X)|X > VaRα (X) = = E(X). λ
MA4183 Model Risiko
6
K. Syuhada, PhD.
BAB 3 Model Kerugian Agregat Silabus: Model risiko individu, model risiko kolektif Informasi yang telah diperoleh tentang distribusi frekuensi dan severitas klaim bermanfaat dalam membangun model risiko individu dan kolektif. Pada model risiko individu, misalkan kerugian (loss) untuk setiap polis, Xi untuk i = 1, . . . , n, terjadi pada suatu blok. Asumsi kerugian-kerugian tersebut saling bebas dan berdistribusi identik; X1 , . . . , Xn sampel acak dari X. Kerugian atau risiko agregatnya adalah S = X1 + · · · + Xn . Dalam praktiknya, seringkali polis bernilai nol. Dengan demikian, perlu diperhatikan bahwa X memiliki mixed distribution. Pada model risiko kolektif, kerugian agregat diasumsikan mengikuti suatu compound distribution, atau S = X1 + · · · + XN , dengan N peubah acak yang menyatakan frekuensi klaim dan X1 , . . . , XN peubah acak-peubah acak, yang bersifat iid, menyatakan severitas klaim.
1
3.1
Model Risiko Individu
Ilustrasi - Misalkan diketahui peluang adanya suatu klaim adalah 0.2, atau P (I = 1) = 0.2, dengan I peubah acak Bernoulli dengan parameter p = 0.2 atau {I = 1} menyatakan kejadian “terjadinya klaim”. Jika suatu klaim terjadi, kerugiannya merupakan peubah acak eksponensial dengan parameter λ = 0.5. Artinya, mean kerugian dalam suatu loss event (kejadian kerugian) adalah E(Y ) = µY =
1 1 = = 2. λ 0.5
Jadi, untuk suatu polis yang acak, mean kerugiannya adalah E(X) = E(I)E(Y ) = (0.2)(2) = 0.4. Sementara itu, apabila diketahui adalah 500 polis yang saling bebas, mean kerugian agregatnya adalah E(S) = n E(X) = (500)(0.4) = 200.
Latihan: Suatu portofolio memiliki 100 polis asuransi yang saling bebas. Setiap polis memiliki peluang 0.2 untuk mengajukan klaim. Ketika suatu klaim diajukan, kerugian sebesar 10, 50, dan 80 memiliki peluang berturut-turut 0.4, 0.4, dan 0.2. Tentukan mean klaim agregate dari portofolio tersebut. Jawab: Peubah acak yang menyatakan kerugian memiliki distribusi peluang: Y =y P (Y = y)
10 50 0.4 0.4
80 0.2
dengan mean E(Y ) = 10(0.4) + 50(0.4) + 80(0.2) = 40. Untuk suatu polis
MA4183 Model Risiko
2
K. Syuhada, PhD.
acak, E(X) = (0.2)(40) = 8. Jadi, suatu portofolio dengan 100 polis yang saling bebas memiliki mean agregat E(S) = 100(8) = 800.
3.2
Model Risiko Kolektif
Pandang kerugian agregat S yang memiliki compound distribution dengan distribusi pertama untuk N dan distribusi kedua untuk X. Asumsikan bahwa X dan N saling bebas. Kita dapat menentukan beberapa sifat untuk S antara lain fungsi pembangkit momen, MS (t) = E(etS ) = E(et(X1 +···+XN ) ) [ ( )] = E E et(X1 +···+XN ) |N [ ( ) ( )] = E E etX1 · · · E etXN [{ ( )} ] N = E E etX [ ] N = E {MX (t)} [{ }N ] = E elog MX (t) [ ] = E elog MX (t)N = MN (log MX (t)) Sedangkan mean dan variansi untuk S adalah E(S) = E(N )E(X); V ar(S) = E(N )V ar(X) + V ar(N )[E(X)]2 .
MA4183 Model Risiko
3
K. Syuhada, PhD.
