Catatan Kuliah
MA4081 PENGANTAR PROSES STOKASTIK “Cerdas dan Stokastik”
disusun oleh
Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD.
Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 2011
Tentang MA4081 (Pengantar) Proses Stokastik A. Jadwal kuliah: • Selasa; 13-14.40; R.9231 • Kamis; 13-14.40; R.9307 B. Silabus: • Peubah acak dan distribusi (1 minggu) • Peluang bersyarat dan ekspektasi bersyarat (1 minggu) • Rantai Markov (4.5 minggu) • Distribusi eksponensial dan proses Poisson (3 minggu) • Topik khusus: Model AR dan INAR (2.5 minggu) C. Buku teks: • Sheldon Ross, 2007, Introduction to Probability Models, 9th ed. • Karlin dan Taylor, 1998, An Introduction to Stochastic Modelling, 3rd ed. E. Penilaian: • Ujian 1,2,3 (75%): 23 Agustus 2011 (25%) 13 Oktober 2011 (25%) 8 November 2011 (25%) • Kuis (10%) • Presentasi (15%)
MA4081 Pros.Stok.
i
K. Syuhada, PhD.
Matriks kegiatan perkuliahan
Table 1: Materi kuliah MA4081 (Pengantar) Proses Stokastik. MingguMateri Keterangan 1 Peubak acak dan distribusi Penjelasan kuliah 2 Peluang dan ekspektasi bersyarat Kuliah hari selasa 3 Ujian 1 23 Agustus 2011 4-8 Rantai Markov 8 Ujian 2 13 Oktober 2011 9-10 Distribusi Eksponensial 10-11 Proses Poisson 12 Ujian 3 8 November 2011 12-13 Topik Khusus: Model AR 14 Topik Khusus: Model INAR 15 Presentasi
MA4081 Pros.Stok.
ii
K. Syuhada, PhD.
Daftar Isi 1 Peubah Acak dan Distribusi 1.1 Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Ilustrasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Ruang Sampel dan Peluang . . . . . 1.4 Peubah Acak dan Fungsi Distribusi 1.5 Distribusi Diskrit . . . . . . . . . . . . 1.6 Distribusi Kontinu . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
. . . . . .
1 1 2 5 6 9 12
2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat 1 2.1 Fungsi Peluang Bersama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2.2 Ekspektasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Ekspektasi Bersyarat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
iii
BAB 1 Peubah Acak dan Distribusi Silabus: Konsep peubah acak, fungsi peluang (probability density function), fungsi distribusi (cumulative ddistribution function), distribusi diskrit (binomial, Poisson, geometrik), distribusi kontinu (normal, seragam/uniform, eksponensial). Tujuan: 1. Memahami definisi dan menentukan peubah acak (p.a) 2. Menghitung fungsi peluang (f.p) dan fungsi distribusi (f.d); f.p ke f.d; f.d ke f.p 3. Menghitung peluang suatu p.a dari distribusi diskrit atau kontinu
1.1
Pendahuluan
• Apa Proses Stokastik? Proses? Stokastik? • Proses = runtunan perubahan (peristiwa) dl perkembangan sesuatu, rangkaian tindakan, pembuatan, atau pengolahan yg menghasilkan produk (KBBI, 2008) • Stokastik = mempunyai unsur peluang atau kebolehjadian (KBBI, 2008) • Definisi: Proses stokastik {Yt } adalah koleksi peubah acak dengan t menyatakan indeks waktu
1
1.2
Ilustrasi
(Ilustrasi 1) B dan G secara bersamaan menembak sasaran tertentu. Peluang tembakan B mengenai sasaran adalah 0.7 sedangkan peluang tembakan G (bebas dari tembakan B) mengenai sasaran adalah 0.4. Pertanyaan yang mungkin adalah... 1. Jika sebuah tembakan mengenai sasaran, berapa peluang bahwa itu tembakan G? 2. Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, kedua tembakan mengenai sasaran? 3. Berapa peluang bahwa, jika sasaran tertembak, tembakan G mengenai sasaran? Misalkan Misalkan Misalkan Misalkan
B kejadian B menembak sasaran G kejadian G menembak sasaran T kejadian sebuah tembakan mengenai sasaran S kejadian sasaran tertembak P (G ∩ T ) P (T ) P (G ∩ B c ) = P (G ∩ B c ) + P (B ∩ Gc ) (0.4)(0.3) = (0.4)(0.3) + (0.7)(0.6)
P (G|T ) =
P (G ∩ S) P (B ∩ S) P (S) P (G)P (B) = 1 − P (Gc ∩ B c ) (0.4)(0.7) = 1 − (0.6)(0.3)
P (G ∩ B|S) =
P (G ∩ S) P (S) P (G ∩ S) = 1 − P (Gc ∩ B c ) 0.4 = 1 − (0.6)(0.3)
P (G|S) =
MA4081 Pros.Stok.
2
K. Syuhada, PhD.
(Ilustrasi 2) Sebagai seorang sekretaris, Ega tahu bahwa sebuah surat akan berada di salah satu dari tiga buah kotak surat yang ada. Misalkan pi adalah peluang bahwa Ega akan menemukan surat setelah mengecek kotak surat j dengan cepat jika ternyata surat tersebut berada di kotak surat j, j = 1, 2, 3. Pertanyaan yang mungkin adalah... 1. Misalkan Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat. Berapa peluang hal itu akan terjadi? 2. Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 tidak menemukan surat, berapa peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1? Misalkan Kj , j = 1, 2, 3 adalah kejadian surat berada di kotak surat j. Misalkan T kejadian mengecek kotak surat 1 tidak mendapatkan surat. Peluang hal itu akan terjadi adalah P (T ) = P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 ) = (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3 Jika diketahui Ega mengecek kotak surat 1 dan tidak menemukan surat, maka peluang bahwa surat itu ada di kotak surat 1 adalah P (T |K1 )P (K1 ) P (T |K1 )P (K1 ) + P (T |K2 )P (K2 ) + P (T |K3 )P (K3 ) (1 − p1 )(1/3) = (1 − p1 )(1/3) + 1/3 + 1/3
P (K1 |T ) =
(Ilustrasi 3) Maskapai penerbangan mengetahui bahwa lima persen pemesan tiket tidak akan datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini, maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket penerbangan pada pesawat dengan kapasitas duduk 50 orang. Berapa peluang akan ada kursi yang tersedia untuk setiap pemesan tiket yang datang? Misalkan X peubah acak yang menyatakan banyaknya orang yang tidak datang dengan peluang ’sukses’ (tidak datang) 0.05. X ∼ B(52, 0.05). P (X ≥ 2) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1)] = 1 − (0.05)0 (0.95)52 − 52(0.05)1 (0.95)51 = 0.74
MA4081 Pros.Stok.
3
K. Syuhada, PhD.
(Ilustrasi 4) Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan mean λ. Parameter λ berdistribusi eksponensial dengan mean 1. Tunjukkan bahwa P (X = n) = (1/2)n+1 ∫
∞
P (X = n) =
P (X = n|λ) e−λ dλ
∫0 ∞
e−λ λn −λ e dλ n! 0 ∫ ∞ 1 e−2λ λn dλ = n! 0 ∫ ∞ 1 = (1/2)n+1 e−s sn ds n! 0 =
MA4081 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
1.3
Ruang Sampel dan Peluang
Ruang sampel dan Kejadian • Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasil yang mungkin secara acak. • Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan. Anggota dari S disebut kejadian elementer. • Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel atau koleksi dari kejadian-kejadian elementer. Peluang • Peluang kejadian A adalah P (A) = lim
n→∞
n(A) n
• Misalkan S adalah ruang sampel, A adalah kejadian. Peluang kejadian A adalah P (A) =
n(A) n(S)
• Peluang atau ukuran peluang P pada lap-σ A adalah suatu pemetaan dari A terhadap selang [0, 1] yang memenuhi tiga aksioma berikut: 1. 0 ≤ P (A) ≤ 1, untuk setiap A ∈ A 2. P (S) = 1 3. Untuk himpunan terhitung kejadian-kejadian saling asing A1 , A2 , . . ., P
∞ (∪
) Ai =
i=1
∞ ∑
P (Ai )
i=1
Teorema 1. P (Ac ) = 1 − P (A) 2. Jika A ⊂ B maka P (A) ≤ P (B) 3. P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
MA4081 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
1.4
Peubah Acak dan Fungsi Distribusi
Peubah Acak • Peubah acak tidaklah “acak” dan bukanlah “peubah” • Peubah acak adalah “fungsi” yang memetakan anggota S ke bilangan real R P.A. Diskrit Peubah acak X dikatakan diskrit jika terdapat barisan terhitung dari bilangan {ai , i = 1, 2, . . . } sedemikian hingga ) ∑ (∪ P {X = ai } = P (X = ai ) = 1 i
i
Catatan: Sebuah peubah acak diskrit tidak selalu berasal ruang sampel diskrit. FX disebut fungsi distribusi (diskrit) dari X jika terdapat barisan terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dari bilangan real dan barisan {pi , i = 1, 2, . . . } dari bilangan positif yang bersesuaian sedemikian hingga ∑ pi = 1 i
dan FX (x) =
∑
pi
ai ≤x
Jika diberikan himpunan ∑ terhitung {ai , i = 1, 2, . . . } dan bilangan positif {pi , i = 1, 2, . . . } sdh i pi = 1, fungsi peluang pX (x) adalah pX (x) = pi = P (X = ai ), dengan x = ai Fungsi distribusi (kumulatif): F (x) = P (X ≤ x) Sifat-sifat: (a) F fungsi tidak turun MA4081 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
(b) limx→∞ F (x) = 1 (c) limx→−∞ F (x) = 0 (d) F fungsi kontinu kanan Catatan: • P (a < X ≤ b) = F (b) − F (a) • P (X ≤ b) ̸= P (X < b) • { 1 }) X ≤b− n→∞ n ( 1) = lim P X ≤ b − n→∞ n ( 1) = lim F b − n→∞ n
P (X < b) = P
(
lim
P.A. Kontinu Misalkan X peubah acak dan fungsi distribusinya FX dapat diturunkan. Fungsi peluang fX adalah turunan dari fungsi distribusi, fX (x) =
d FX (x) dx
atau dengan kata lain ∫ x FX (x) = fX (t) dt −∞
Definisi: Jika X adalah peubah acak sedemikian hingga fungsi peluangnya ada (turunan dari fungsi distribusi) maka X dikatakan sebagai peubah acak kontinu. Catatan: ∫ ∞ 1 = FX (∞) = fX (t) dt −∞
∫
P (a ≤ X ≤ b) = FX (b) − FX (a) = ∫ a P (X = a) = fX (t) dt = 0
b
fX (t) dt a
a
MA4081 Pros.Stok.
7
K. Syuhada, PhD.
Contoh/Latihan: 1. Tentukan fungsi 0, 3/5, F (x) = 7/10, 1,
peluang dari fungsi distribusi berikut: x < −3.1 −3.1 ≤ x < 0 0≤x<1 1≤x
2. Tentukan fungsi peluang dari fungsi distribusi berikut: 0, x<0 x 1 3 + 5, 0 ≤ x < 1 F (x) = 53 , 1≤x<2 9 , 2≤x<3 10 1, x≥3 3. Diketahui fungsi peluang sebagai berikut: p, x = −1.9 0.1, x = −0.1 0.3, x = 20p f (x) = p, x=3 4p, x = 4 0, yang lain Hitung P (−1.9 ≤ |X| ≤ 3), F (2), F (F (3.1))
MA4081 Pros.Stok.
8
K. Syuhada, PhD.
1.5
Distribusi Diskrit
(Ilustrasi B-1) Pasien di IGD adalah orang-orang yang dianggap dekat dengan kematian. Kesembuhan dari penyakit yang dideritanya bagi mereka adalah seperti mimpi. Untuk bisa bertahan hidup dari hari ke hari sudahlah merupakan mukjizat. Asumsikan bahwa setiap orang memiliki peluang untuk dapat bertahan hidup sampai hari esok sebesar αi , dengan i menyatakan orang kei, i = 1, 2, . . .. Jika jumlah pasien IGD pada suatu hari adalah 5 orang, berapa peluang besok hanya akan ada 2 orang saja yang masih hidup? (Ilustrasi B-2) Misalkan sebuah mesin dari pesawat akan rusak (saat terbang) dengan peluang 1-p, saling bebas antara mesin satu dan yang lain. Misalkan sebuah pesawat akan melakukan penerbangang sukses jika setidaknya 50% mesin bekerja dengan baik (tidak rusak). Untuk p berapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih disukai (terbang lebih baik) dibandingkan dengan pesawat dengan 2 mesin? Misalkan X menyatakan banyak mesin baik (tidak rusak). Untuk pesawat bermesin 4: P (X ≥ 2) = P (X = 2) + P (X = 3) + P (X = 4) = 6p2 (1 − p)2 + 4p3 (1 − p) + p4 · · · ∗ sedangkan untuk pesawat bermesin 2: P (X ≥ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − (1 − p)2 · · · ∗ ∗ Syarat: * lebih besar dari **. Diperoleh p > 2/3. Distribusi Binomial Misalkan S = {sukses, gagal} adalah ruang sampel yang menotasikan ’sukses’ atau ’gagal’ dari suatu percobaan. Definisikan X(sukses) = 1 dan X(gagal) = 0 dan pX (1) = P (X = 1) = p pX (0) = P (X = 0) = 1 − p dimana 0 ≤ p ≤ 1 adalah peluang diperoleh sukses. X dikatakan peubah acak Bernoulli dengan parameter p. Jika dilakukan n percobaan independen dan jika X menyatakan banyaknya sukses yang diperoleh maka X dikatakan sebagai peubah acak Binomial dengan parameter (n, p), dimana pX (k) = B(k; n, p) = Ckn pk (1 − p)n−k MA4081 Pros.Stok.
9
K. Syuhada, PhD.
(Ilustrasi P-1) Banyaknya kecelakaan yang terjadi di tol setiap hari berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 3. Berapa peluang tidak ada kecelakaan pada hari ini? Misalkan X menyatakan banyak kecelakaan. P (X = 0) = exp(−3) (Ilustrasi P-2) Misalkan X peubah acak Poisson dengan parameter λ. Tunjukkan bahwa P (X = i) naik secara monoton sebelum kemudian turun secara monoton untuk i semakin besar. Distribusi Poisson Misalkan X peubah acak dengan fungsi peluang pX (i) = e−λ
λi i!
untuk i = 0, 1, 2, . . . dan λ > 0. X disebut peubah acak Poisson dengan parameter λ. (Ilustrasi G-1) Ini kisah masa lalu Nurul yang sempat diceritakan sesaat sebelum Nurul menikah. Katanya “Ayahku meninggal waktu usiaku tiga tahun. Lalu Ibu kawin lagi. Dengan ayah tiriku, Ibu mendapat dua orang anak tiri dan melahirkan tiga orang anak. Ketika usiaku lima belas tahun, Ibu pun meninggal. Ayah tiriku kawin lagi dengan seorang janda yang sudah beranak dua. Ia melahirkan dua orang anak pula dengan ayah tiriku”. Pertanyaan yang mungkin adalah... • Berapa peluang bahwa orang yang dinikahi Nurul tidak memiliki hubungan darah? • Jika Nurul tidak ingin menikah dengan saudara sedarah, berapa peluang bahwa Nurul akhirnya menikahi orang yang bukan saudara sedarah? (Ilustrasi G-2) Tiga remaja makan disuatu restoran. Untuk menentukan siapa yang akan membayar, mereka sepakat untuk mengundi dengan melantunkan koin. Seseorang dengan hasil lantunan yang berbeda dengan yang lain wajib membayar makanan yang telah dipesan. Jika X menyatakan banyaknya lantunan koin yang harus dilakukan, tentukan (i) P (X = 3) (ii) P (X > 4) Peluang ’sukses’ (ada yang lantunannya berbeda alias ada yang bayar) adalah 3/4. Dengan demikian X ∼ Geo(3/4). P (X = 3) = (1/4)2 (3/4) = 3/64 P (X > 4) = 1 − P (X ≤ 4) = 1/256 MA4081 Pros.Stok.
10
K. Syuhada, PhD.
Distribusi Geometrik Misalkan percobaan-percobaan dilakukan hingga diperoleh sukses yang pertama. Percobaan-percobaan tersebut saling bebas dan memiliki peluang sukses p. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yang dilakukan untuk mendapatkan sukses pertama tersebut, maka X dikatakan peubah acak Geometrik dengan parameter p. Fungsi peluangnya adalah p(n) = P (X = n) = (1 − p)n−1 p, untuk n = 1, 2, . . . dan p > 0.
MA4081 Pros.Stok.
11
K. Syuhada, PhD.
1.6
Distribusi Kontinu
Ilustrasi Riset bidang psikologi melibatkan pengukuran perilaku. Hasil-hasil pengukuran akan berbeda antara individu satu dengan yang lainnya. Namun demikian, sesungguhnya hasil-hasil tersebut dapat diprediksi sebagai kelompok individu. Salah satu pola umum pada hasil pengukuran (tentunya berupa angka) adalah bahwa kebanyakan pengukuran-pengukuran tersebut terkonsentrasi di sekitar mean dari distribusi tersebut. Ada sedikit hasil pengukuran yang jauh dari mean. Apabila distribusi frekuensi digambarkan, akan tampak kurva berbentuk bel (bell-shaped curve) yang disebut DISTRIBUSI NORMAL. Ketika hasil pengukuran membentuk suatu distribusi normal, ada beberapa hal yang dapat diprediksi. Pertama, mean, median dan modus sama. Kedua, seseorang dapat memperkirakan seberapa jauh (dari mean) hasil pengukuran akan terjadi. Dengan demikian, akan dapat ditentukan skor/nilai mana yang lebih mungkin terjadi dan peluang/proporsi nilai diatas atau dibawah nilai tersebut. Kebanyakan hasil pengukuran perilaku mengikuti distribusi normal. Misalnya, nilai IQ. Meannya 100 dan umumnya IQ seseorang akan berada diantara 85-115 atau 15 nilai dari mean. Jika psikolog mengetahui mean dan deviasi standar maka akan dapat ditentukan proporsi skor/nilai yang berada disetiap daerah jangkauan (range). Tentu saja, terlepas dari keumuman distribusi normal, terdapat beberapa kasus dengan nilai/hasil pengukuran yang tidak berdistribusi normal. Kenormalan atau ketidaknormalan data sangat penting dalam menentukan uji statistik yang bersesuaian. Distribusi Normal Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Normal atau GAUSS dengan parameter µ dan σ 2 jika fungsi peluang fX nya sbb: fX (x) = √
1 exp(−(x − µ)2 / 2 σ 2 ), −∞ ≤ x ≤ ∞ 2πσ
Diskusi: Ukuran ideal jumlah mahasiswa di kelas ProsStok adalah 60 orang. Namun demikian, Departemen MA ITB mencatat bahwa biasanya hanya 30 persen mahasiswa saja dari total yang terdaftar yang benar-benar hadir dalam perkuliahan. Jika MA ITB memutuskan menerima 180 mahasiswa untuk kelas ProsStok, berapa peluang bahwa lebih dari 60 orang hadir di kelas? Teorema Limit DeMoivre-Laplace Jika Sn menyatakan ‘banyaknya sukses’ yang terjadi pada n percobaan indeMA4081 Pros.Stok.
12
K. Syuhada, PhD.
penden, dengan peluang sukses adalah p, maka untuk setiap a < b, ( ) Sn − np P a≤ √ ≤ b → Φ(b) − Φ(a), np(1 − p) untuk n → ∞. (pendekatan Normal untuk Binomial akan ‘baik’ jika np(1 − p) besar, np(1 − p) ≥ 10)
Distribusi Uniform Definisi: Peubah acak kontinu X dikatakan berdistrbusi seragam pada selang (a, b) jika fungsi peluang fX nya sbb: fX (x) =
1 , a≤x≤b b−a
Contoh/Latihan: 1. Jika X berdistribusi Uniform pada selang (-1,1), tentukan P (|X| > 1/2), tentukan fungsi peluang dari |X|. 2. Misalkan lama (dalam menit) mahasiswa mengikuti kuliah ProsStok adalah peubah acak dengan fungsi peluang seperti gambar dibawah berikut. Tentukan peluang seorang mahasiswa mengikuti kuliah lebih dari 15 menit? antara 20 dan 35 menit? Distribusi Gamma Peubah acak Gamma: Misalkan percobaan Bernoulli diulang-ulang sebanyak n kali, maka banyaknya ‘sukses’ yang diperoleh adalah peubah acak berdistribusi Binomial dengan parameter n dan p, dimana p adalah peluang sukses. Jika kita memandang banyaknya percobaan Bernoulli yang dilakukan sampai diperoleh (dan termasuk) sukses ke-r, maka kita dapatkan peubah acak beristribusi Binomial negatif dengan parameter r dan p. Peubah acak Gamma adalah analogi dalam bentuk kontinu untuk peubah acak Binomial negatif. Dalam hal ini kita pandang peubah acak Binomial negatif ini sebagai waktu yang diberikan untuk sukses ke-r. Definisi: Peubah acak kontinu X adalah peubah acak Gamma jika memiliki fungsi peluang f (x) =
λα α−1 −λx x e , x>0 Γ(α)
MA4081 Pros.Stok.
13
K. Syuhada, PhD.
dimana α dan λ adalah bilang real positif. Kita katakan X berdistribusi Gamma dengan parameter α dan λ; x ∼ Gamma(α, λ). Definisi Fungsi Gamma: ∫ ∞ Γ(t) = xt−1 e−x dx 0
Catatan: Γ(t + 1) = t Γ(t), t > 0 Diskusi. 1. Jelaskan/Buktikan: Γ(n) = (n − 1)! n = 1, 2, . . . ( ) 1 (2n)! √ Γ n+ = π 2 n! 22n 2. Apa yang dapat kita katakan tentang distribusi Gamma jika α = 1, α < 1, α > 1? 3. Jika α membesar maka fungsi peluang Gamma nampak seperti fungsi peluang Normal. Berikan ilustrasi pada λ = 2 dan α = 1/2, 1, 5/2, 5
MA4081 Pros.Stok.
14
K. Syuhada, PhD.
BAB 2 Peluang dan Ekspektasi Bersyarat Silabus: Fungsi peluang bersama, fungsi peluang marginal, peluang bersyarat, ekspektasi, ekspektasi bersyarat, kovariansi, korelasi. Tujuan: 1. Menentukan fungsi peluang bersama dan fungsi peluang marginal 2. Menghitung peluang bersyarat 3. Menghitung ekspektasi bersyarat 4. Memahami dan menghitung ekspektasi melalui ekspektasi bersyarat 5. Memahami konsep kovariansi dan korelasi
2.1
Fungsi Peluang Bersama
Ilustrasi. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, kita dapat menentukan peluang bersyarat (yang artinya juga menentukan peluang bersama) dari parameter kecelakaannya. Selain itu, kita juga dapat menentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. 1
Misalkan X dan Y ada peubah acak-peubah acak diskrit yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah pX,Y (x, y) = P (X = x, Y = y) Catatan: 1. Kondisi bahwa X dan Y terdefinisi pada ruang sampel yang sama berarti 2 peubah acak tsb memberikan informasi secara bersamaan terhadap keluaran (outcome) dari percobaan yang sama 2. {X = x, Y = y} adalah irisan kejadian {X = x} dan {Y = y}; kejadian dimana X bernilai x dan Y bernilai y Proposisi Fungsi peluang bersama pX,Y memenuhi sifat-sifat berikut: 1. pX,Y (x, y) ≥ 0, ∀ (x, y) 2. (x, y) ∈ R2 : pX,Y (x, y) ̸= 0 terhitung ∑∑ 3. x,y pX,Y (x, y) = 1 Proposisi Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak diskrit yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Maka, ∑ pX (x) = pX,Y (x, y), x ∈ R y
dan pY (y) =
∑
pX,Y (x, y), y ∈ R
x
adalah fungsi peluang marginal dari X dan fungsi peluang marginal dari Y . Contoh/Latihan: 1. Diberikan data ttg jumlah kamar tidur dan kamar mandi dari 50 rumah yang akan dijual sbb (X kamar tidur, Y kamar mandi): X\Y 2 3 2 3 0 3 14 12 4 2 11 Total 23 MA4081 Pros.Stok.
4 0 2 5
5 0 0 1
Total 28 50 2
K. Syuhada, PhD.
a. Hitung pX,Y (3, 2) b. Tentukan fungsi peluang bersama dari X dan Y Solusi: X\Y 2 3 4 Total
2 0.06 0.28 0.04 0.38
3 0.00 0.24 0.22 0.46
4 0.00 0.04 0.10 0.14
5 Total 0.00 0.06 0.00 0.56 0.02 0.38 0.02 1.00
2. Misalkan kita punyai 2 komponen elektronik yang identik. Misalkan juga X dan Y adalah waktu hidup (jam, diskrit). Asumsikan fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah pX,Y (x, y) = p2 (1 − p)x+y−2 , x, y ∈ N dimana 0 < p < 1. Tentukan dan identifikasikan fungsi peluang marginal dari X dan Y . Solusi: pX (x) =
∑
pX,Y (x, y) =
y
= p2 (1 − p)x−2
∞ ∑
p2 (1 − p)x+y−2
y=1 ∞ ∑
(1 − p)y = p (1 − p)x−1
y=1
3. Diantara 8 orang politisi: 2 Golkar, 2 Demokrat, 4 PDIP. Tiga dari 8 politisi ini dipilih secara acak dengan pengembalian. Misalkan X adalah banyaknya Golkar, Y banyaknya Demokrat. Tentukan fungsi peluang bersama X dan Y . Hitung P (X = Y ) Solusi: 3 pX,Y (x, y) = Cx,y,3−x−y (1/4)x (1/4)y (1/2)3−x−y , x, y = 0, 1, 2, 3
X\Y 0 1 2 0 1/8 3/16 3/32 1 3/16 3/16 3/64 2 3/32 3/64 0 3 1/64 0 0 Total 27/64 27/64 9/64
MA4081 Pros.Stok.
3 1/64 0 0 0 1/64
3
Total 27/64 27/64 9/64 1/64 1
K. Syuhada, PhD.
4. Pandang keadaan pada soal 2. Tentukan peluang bahwa (a) kedua komponen elektronik tsb bertahan lebih dari 4 jam? (b) salah satu komponen bertahan setidaknya 2 kali dari komponen yang lain? Solusi: ∑∑
pX,Y (x, y) =
x>4 y>4
∞ ∑ ∞ ∑
p2 (1 − p)x+y−2
x=5 y=5
= · · · = (1 − p)8 P (X ≥ 2Y ) + P (Y ≥ 2X) = 2 P (X ≥ 2Y ) ∞ ∑ ∞ ∑ =2 p2 (1 − p)x+y−2 y=1 x=2y
= ··· =
2(1 − p) 3 − 3p + p2
Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang terdefinisi di ruang sampel yang sama. Fungsi distribusi bersama dari X dan Y , FX,Y adalah FX,Y (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y), x, y ∈ R Contoh: Misalkan sebuah titik diambil secara acak dari {(x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, 0 < y < 1} Misalkan X dan Y menyatakan koordinat x dan y dari titik yang terpilih. Tentukan fungsi distribusi bersama dari X dan Y . Jawab: Kasus 1: x < 0, y < 0 Kasus 2: 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1 Kasus 3: 0 ≤ x < 1, y ≥ 1 Kasus 4: x ≥ 1, 0 ≤ y < 1 Kasus 5: x ≥ 1, y ≥ 1
Proposisi. Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak terdefinisi di ruang sampel yang
MA4081 Pros.Stok.
4
K. Syuhada, PhD.
sama. Untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, P (a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = FX,Y (b, d) − FX,Y (b, c) − FX,Y (a, d) + FX,Y (a, c) Definisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak yang didefinisikan pada ruang sampel yang sama. Fungsi non-negatif fX,Y adalah fungsi peluang bersama dari X dan Y untuk semua bilangan riil a, b, c, d dimana a < b dan c < d, ∫ b∫ d fX,Y (x, y) dxdy P (a ≤ X ≤ b, c ≤ Y ≤ d) = a
c
Catatan: fX,Y (x, y) =
∂2 ∂2 FX,Y (x, y) = FX,Y (x, y) ∂x ∂y ∂y ∂x
Proposisi. Suatu fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) dari peubah acak X dan Y memenuhi 2 sifat berikut 1. f∫X,Y (x, y) ≥ 0 untuk semua (x, y) ∈ R2 ∞ ∫∞ 2. −∞ −∞ fX,Y (x, y) dxdy = 1 Proposisi Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Maka ∫ ∞ fX (x) = fX,Y (x, y)dy, x ∈ R ∞
dan
∫ fY (y) =
∞ ∞
fX,Y (x, y)dx, y ∈ R
adalah fungsi peluang marginal dari X dan Y . Contoh/Latihan: 1. Misalkan X dan Y memiliki fungsi peluang bersama (i) f (x, y) = c (y 2 − x2 ) e−y , −y ≤ x ≤ y, 0 < y < ∞ (ii) f (x, y) = c x y 2 , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 MA4081 Pros.Stok.
5
K. Syuhada, PhD.
a. b. c. d.
Tentukan c Tentukan fungsi peluang marginal X dan Y Hitung P (Y > 2X) Apakah X dan Y saling bebas?
Solusi: a. Untuk menentukan c: ∫ ∞∫ y 1= c (y 2 − x2 ) e−y dx dy = 8c 0
−y
Jadi c = 1/8. b. Fungsi peluang marginal: fX (x) = 1/4 e−|x| (1 + |x|) fY (y) = 1/6 y 3 e−y , y ≥ 0 c. ∫
∞
∫
y/2
P (Y > 2X) = 0
−y
c (y 2 − x2 ) e−y dx dy = · · ·
d. X dan Y tidak saling bebas. Catatan: X dan Y saling bebas jika f (x, y) = fX (x) fY (y) 2. Pandang 2 komponen elektronik A dan B dengan masa hidup X dan Y . Fungsi peluang bersama dari X dan Y adalah fX,Y (x, y) = λ µ exp(−λx + µy), x, y > 0 dimana λ > 0, µ > 0 a. Tentukan peluang bahwa kedua komponen berfungsi pada saat t b. Tentukan peluang bahwa komponen A adalah komponen yang pertama kali rusak c. Tentukan peluang bahwa komponen B adalah komponen yang pertama kali rusak
MA4081 Pros.Stok.
6
K. Syuhada, PhD.
Solusi:
∫
∫
∞
∞
a. P (X > t, Y > t) = t
λ µ e−(λ x+µ y) dy dx
t
= · · · = e−(λ+µ)t ∫
∫
∞
b. P (X < Y ) = 0
∞
λ µ e−(λ x+µ y) dy dx
x
= ··· =
λ λ+µ
3. Ketika kebakaran terjadi dan dilaporkan ke perusahaan asuransi, perusahaan asuransi tersebut segera membuat perkiraan awal X yaitu besar nilai klaim yang akan diberikan. Setelah klaim dihitung secara lengkap, perusahaan harus melunasi pembayaran klaim sebesar Y . Perusahaan menentukan bahwa X dan Y memiliki fungsi peluang bersama fX,Y (x, y) =
2 y −(2x−1)/(x−1) , x > 1, y > 1 − 1)
x2 (x
a. Tentukan fX (x) b. Jika besar klaim awal yang diberikan adalah 2, tentukan peluang bahwa klaim yang diterima berikutnya adalah antara 1 dan 3.
Solusi: ∫
∞
a. fX (x) = 1
2 y −(2x−1)/(x−1) dy − 1)
x2 (x
= ··· ) fX,Y (x, y) b. P (1 < Y < 3|X = 2) = dy fX (x) X=2 1 = · · · = 8/9 ∫
MA4081 Pros.Stok.
7
3
(
K. Syuhada, PhD.
Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Jika pX (x) > 0 maka fungsi peluang bersyarat dari Y diberikan X = x (notasi: pY |X (y|x)), adalah pY |X (y|x) =
pX,Y (x, y) , ∀y ∈ R pX (x)
Jika pX (x) = 0, kita definiskan pY |X (y|x) = 0 namun tidak dikatakan sebagai fungsi peluang bersyarat. Catatan: Fungsi peluang bersyarat adalah fungsi peluang! Proposisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak diskrit. Kedua peubah acak ini dikatakan saling bebas (independen) jika dan hanya jika pX,Y (x, y) = pX (x) pY (y) ∀x, y ∈ R Contoh/Latihan: 1. Sebuah perusahaan asuransi menduga bahwa setiap orang akan mengalami dan memiliki parameter kecelakaan. Banyaknya kecelakaan pada seseorang setiap tahun berdistribusi Poisson dengan parameter λ. Perusahaan juga menduga bahwa pemegang polis baru akan memiliki parameter kecelakaan yang nilainya adalah peubah acak gamma dengan parameter s dan α. Jika seorang pemegang polis baru mengalami n kecelakan di tahun pertama, tentukan peluang bersyarat dari parameter kecelakaannya. Tentukan banyak kecelakaan (yang diharapkan) pada tahun berikutnya. Solusi: Misalkan N menyatakan banyak kecelakaan per tahun yang berdistribusi Poisson dengan mean λ, dimana Λ berdistribusi Gamma dengan parameter s dan α (Catatan: Λ adalah huruf besar dari λ). P (Λ = λ, N = n) P (N = n) 1 P (N = n|Λ = λ) fΛ (λ) = P (N = n) 1 e−λ λn sα α−1 −s λ = λ e P (N = n) n! Γ(α) = C λn+α−1 e−(s+1)λ ,
fΛ|N (λ|n) =
dengan C konstanta. Fungsi peluang fΛ|N haruslah berdistribusi Gamma MA4081 Pros.Stok.
8
K. Syuhada, PhD.
dengan parameter s + 1 dan n + α. Jadi, fΛ|N (λ|n) =
(s + 1)n+α n+α−1 −(s+1)λ λ e Γ(n + α)
Banyak kecelakaan yang diharapkan (expected number of accidents), E(Λ|N = n), adalah nilai harapapan (expected value) dari distribusi Gamma dengan parameter s + 1 dan n + α yaitu (n + α)/(s + 1). 2. Banyaknya orang Z yang datang ke ruang UGD selama sejam memiliki distribusi Poisson dengan parameter λ. Peluang orang yang datang adalah laki-laki adalah p dan peluang perempuan datang adalah q. Misalkan X dan Y berturut-turut adalah banyaknya laki-laki dan perempuan yang datang ke UGD selama sejam. a. Tunjukan bahwa X ∼ P OI(pλ) dan Y ∼ P OI(qλ) b. Apakah X dan Y saling bebas? Solusi: Peubah acak Z berdistribusi Poisson: fZ (z) =
e−λ λz , z = 0, 1, 2, . . . z!
Untuk Z = z, maka kedatangan pasien laki-laki adalah peubah acak Binomial dengan parameter (z, p): fX|Z (x|z) = Cxz px (1 − p)z−x , x = 0, 1, . . . , z dan untuk pasien perempuan: fY |Z (y|z) = Cyz q x (1 − q)z−y , y = 0, 1, . . . , z Sehingga fungsi peluang bersama X dan Y diberikan Z = z: z fX,Y |Z (x, y|z) = Cx,y px q y , x + y = z
Untuk mendapatkan fungsi peluang marginal dari X, kita hitung ∑ ∑ fX (x) = fX,Z (x, z) = fX|Z (x|z) fZ (z) z
= ··· =
z
e
−pλ
(pλ) x!
x
Jadi, X ∼ P OI(pλ). Dengan cara sama, kita peroleh Y ∼ P OI(qλ). Selanjutnya, untuk menentukan apakah X dan Y saling bebas kita tun-
MA4081 Pros.Stok.
9
K. Syuhada, PhD.
jukkan bahwa ∑ ∑ fX,Y (x, y) = fX,Y,Z (x, y, z) = fX,Y |Z (x, y|z) fZ (z) = fX (x) fY (y) z
z
Misalkan X berdistribusi Uniform pada selang (0, 1). Misalkan Y = X n . Maka FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X n ≤ y) = P (X ≤ y 1/n ) = FX (y 1/n ) = y 1/n dan fungsi peluang dari Y adalah fY (y) = (1/n) y 1/n−1 , 0 ≤ y ≤ 1 Misalkan X peubah acak kontinu dengan fungsi peluang fX . Misalkan Y = X 2 , FY (y) = P (Y ≤ y) = P (X 2 ≤ y) √ √ = P (− y ≤ X ≤ y) √ √ = FX ( y) − FX (− y) dan fungsi peluangnya adalah 1 ( √ √ ) fY (y) = √ fX ( y) − fX (− y) 2 y Misalkan X dan Y peubah acak-peubah acak positif saling bebas. Misalkan (i) Z = X/Y (ii) Z = XY , maka FZ (z) = P (Z ≤ z) = P (X/Y ≤ z) = P (X ≤ zY ) ∫ ∞ ∫ zy fX (x) fY (y) dx dy = 0 0 ∫ ∞ ∫ zy = fY (y) fX (x) dx dy 0 0 ∫ ∞ = fY (y) FX (zy) dy 0
MA4081 Pros.Stok.
10
K. Syuhada, PhD.
dan fungsi peluangnya: ∫ fX/Y (z) = · · · =
∞
y fY (y) fX (zy) dy
0
Misalkan X dan Y saling bebas dan kita ingin menentukan fungsi distribusi dan fungsi peluang X + Y , FZ (z) = P (Z ≤ z) = P (X + Y ≤ z) = P (X ≤ zY ) ∫ ∞ ∫ z−y fX (x) fY (y) dx dy = −∞ −∞ ∫ ∞ ∫ z−y = fX (x) dx fY (y) dy −∞ −∞ ∫ ∞ = FX (z − y) fY (y) dy, −∞
dimana fungsi distribusi FX+Y ini disebut “konvolusi” dari distribusi FX dan FY . Fungsi peluangnya adalah ∫ ∞ d fX+Y (z) = FX (z − y) fY (y) dy dz −∞ ∫ ∞ d = FX (z − y) fY (y) dy −∞ dz ∫ ∞ = fX (z − y) fY (y) dy −∞
Tentukan distribusi dari X + Y jika X dan Y peubah acak-peubah acak saling bebas berdistribusi (i) Uniform(0, 1) (ii) Poisson dengan parameter λi .
MA4081 Pros.Stok.
11
K. Syuhada, PhD.
2.2
Ekspektasi
Definisi: Nilai harapan/ekspektasi (expected value/expectation) atau ekspektasi dari peubah acak diskrit/kontinu X adalah ∑ x pX (x) E(X) = x
dan
∫
∞
E(X) = −∞
x fX (x) dx
dimana pX dan fX adalah fungsi peluang dari X. Catatan: 1. Ekspektasi adalah rata-rata tertimbang (weighted average) dari nilai yang mungkin dari X 2. Ekspektasi = mean = momen pertama 3. Ekspektasi suatu peubah acak adalah nilai rata-rata (long-run average value) dari percobaan bebas yang berulang 3. Apakah ekspektasi harus berhingga? (Diskusi!) Contoh/Latihan: 1. Pengurus dan Anggota KOHATI sebanyak 120 orang akan berangkat ke Jakarta dengan menggunakan 3 bis. Ada 36 mahasiswa di bis 1, 40 mahasiswa di bis 2 dan 44 mahasiswa di bis 3. Ketika bis sampai tujuan, seorang mahasiswa dipilih secara acak. Misalkan X menyatakan banyaknya mahasiswa di bis dimana seseorang tersebut terpilih. Hitung E(X). (Solusi: 40.2667) 2. Jika X ∼ P ois(λ), tentukan E(X). (Solusi: λ) 3. Misalkan X adalah peubah acak dengan nilai yang mungkin −1, 0, 1 dan peluang: p(−1) = 0.2, p(0) = 0.5, p(1) = 0.3 Hitung E(X 2 ). (Solusi: 0.5) SIFAT-SIFAT EKSPEKTASI ∫∞ 1. E(g(X)) = −∞ g(x) fX (x) dx 2. E(a X + b Y ) = a E(X) + b E(Y ) MA4081 Pros.Stok.
12
K. Syuhada, PhD.
3. E(XY ) = E(X) E(Y ), jika X dan Y saling bebas. ∫∞ 4. E(X) = 0 P (X > x) dx, untuk X > 0 (*) ∫∞ 5. E(X r ) = −∞ xr fX (x) dx (momen ke-r) ∫∞ 6. E((X − µX )r ) = −∞ (x − µX )r fX (x) dx (momen pusat ke-r) 7. E((X − µX )2 ) = V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 Deviasi standar dari X adalah akar kuadrat Variansi dari X. ∫∞ 8. E(etX ) = −∞ etx fX (x) dx = MX (t) (fungsi pembangkit momen) 9. MX′ (0) = E(X), MX′′ (0) = E(X 2 ) Contoh/Latihan: 1. Misalkan Y menunjukkan banyaknya gol yang diciptakan oleh seorang pemain sepak bola di suatu pertandingan yang terpilih acak: y 0 1 p(y) 0.1 0.2
2 0.3
3 0.2
4 0.1
5 0.05
6 0.05
Misalkan W adalah banyaknya pertandingan dimana seorang pemain sepak bola menciptakan 3 atau lebih gol dalam 4 pertandingan terpilih acak. Berapa nilai harapan banyak pertandingan dimana pemain menciptakan 3 atau lebih gol? Solusi: P (Y ≥ 3) = 0.4 = P (’sukses’) = p E(W ) = n p = 4 (0.4) = 1.6 2. Misalkan X peubah acak dengan MX (t) sebagai fungsi pembangkit momen. Didefinisikan f (t) = ln MX (t). Tunjukkan bahwa f ′′ (0) = V ar(X) Solusi: f ′ (t) = MX′ (t)/MX (t) f ′′ (t) =
MA4081 Pros.Stok.
MX′′ (t) MX (t) − (MX′ (t))2 (MX (t))2 13
K. Syuhada, PhD.
saat t = 0, f ′′ (0) =
MX′′ (0) MX (0) − (MX′ (0))2 = E(X 2 ) − (E(X))2 = V ar(X) (MX (0))2
dimana MX (0) = 1, MX′ (0) = E(X), MX′′ (0) = E(X 2 ). 3. Diketahui fungsi peluang: f (x) = c (4x − 2x2 ), 0 < x < 2 Hitung E(X) dan P (1/2 < X < 3/2) Solusi: ∫
∫
2
2
c(4x − 2x2 ) dx = 1
f (x) dx = 0
0
Diperoleh c = 3/8. ∫ E(X) = x 3/8 (4x − 2x2 ) dx = 1 ∫
3/2
3/8 (4x − 2x2 ) dx = 11/16
P (1/2 < X < 3/2) = 1/2
4. Diketahui: f (x) =
1 (λ x)r−1 λ exp(−λ x) Γ(r)
Tentukan E(X k ), k = 2, 3 Solusi: X ∼ Gamma(r, λ) dengan MX (t) = (1 − λ t)−r . MX′′ (t) = · · · , MX′′′ (t) = · · · 5. Diketahui X ∼ B(n, p). Buktikan: ( ) 1 p + q(1 − q n ) E = X +1 (n + 1)p
MA4081 Pros.Stok.
14
K. Syuhada, PhD.
Bukti: ( E
1 X +1
) = =
n ∑ i=0 n ∑
1 n!(n − i)! i! pi q n−i i+1 n!(n − i)! (i + 1)! pi q n−i
i=0 n ∑ 1 = C n+1 pi+1 q n−i (n + 1)p i=0 i+1
=
n+1 ∑ 1 C n+1 pj q n+1−j (n + 1)p j=1 j
[ ] 1 1 − C0n+1 p0 q n+1−0 (n + 1)p ( ) 1 1 − q n+1 = (n + 1)p p + q − q n+1 = (n + 1)p p + q(1 − q n ) = (n + 1)p =
6. Misalkan X menyatakan lama (jam) mhs belajar ProsStok dan fungsi peluang X adalah sbb: { x − 2, 2 ≤ x < 3 f (x) = 1 , 4<x<6 4 (a) Berapa persen mhs menghabiskan waktu lebih dari 150 menit utk belajar ProsStok ? (b) Berapa rata-rata lama waktu mhs belajar ProsStok ? (c) Jika seorang mhs menghabiskan waktu lebih dari 130 menit, berapa peluang mhs itu selesai belajar kurang dari 4.5 jam ? (d) Hitung P (X = 2), P (X = 3), P (X = E(X)), P (X < E(X)) Solusi: (a) P (X > 2.5) =
∫3 2.5
(x − 2) dx +
∫6 4
1/4 dx
(b) E(X) = 10/3 (c) P (X < 4.5|X > 13/6) = P (13/6 < X < 4.5)/P (X > 13/6) (d) P (X = E(X)) = 0, P (X < E(X)) = P (X < 10/3) = 1/2 MA4081 Pros.Stok.
15
K. Syuhada, PhD.
7. Misalkan X peubah acak berdistribusi Poisson dengan parameter θ. Tunjukkan bahwa: ( ) ( ) E X n = θ E (X + 1)n−1 Bukti: (
E X
n
)
= =
∞ ∑ i=0 ∞ ∑
in e−λ λi / i! in e−λ λi / i!
i=1
=
∞ ∑
in−1 e−λ λi / (i − 1)!
i=1
=
∞ ∑
(j + 1)n−1 e−λ λj+1 / j!
j=0 ∞ ∑
=λ
(j + 1)n−1 e−λ λj / j!
j=0
( ) = λ E (X + 1)n−1 8. Misalkan X peubah acak dengan fungsi distribusi 0, 0.2, 0.5, 0.6, F (x) = 0.6 + q, 0.6 + 2q, 1,
x < −2 −2 ≤ x < 0 0 ≤ x < 2.2 2.2. ≤ x < 3 3≤x<4 4 ≤ x < 5.5 x ≥ 5.5
dan diketahui P (X > 3.3) = 0.25. a. Tentukan fungsi pembangkit momen dari X atau MX (t) b. Gunakan MX (t) untuk menentukan E(X). Solusi: p(−2) = 0.2, p(0) = 0.3, p(2.2) = 0.1, p(3) = q, p(4) = q, p(5.5) = 0.4−2q P (X > 3.3) = p(4) + p(5.5) = q + 0.4 − 2q = 0.25 ⇔ q = 0.15
MA4081 Pros.Stok.
16
K. Syuhada, PhD.
a. MX (t) = E(etX ) =
∑
etx p(x)
= e−2t p(−2) + e0t p(0) + e2.2t p(2.2) + e3t p(3) + e4t p(4) + e5.5t p(5.5) = 0.2 e−2t + 0.3 + 0.1 e2.2t + 0.15 e3t + 0.15 e4t + 0.1 e5.5t b. MX′ (t) = 0.2 e−2t + 0.3 + 0.1 e2.2t + 0.15 e3t + 0.15 e4t + 0.1 e5.5t = −0.4 e−2t + 0.22 e2.2t + 0.45 e3t + 0.6 e4t + 0.55 e5.5t MX′ (0) = −0.4 + 0.22 + 0.45 + 0.6 + 0.55 = 1.42
MA4081 Pros.Stok.
17
K. Syuhada, PhD.
2.3
Ekspektasi Bersyarat
Ilustrasi 1. Misalkan banyaknya kecelakaan kerja rata-rata per minggu di suatu pabrik adalah empat. Misalkan banyaknya buruh yang terluka/cedera setiap kecelakaan adalah peubah acak yang saling bebas dengan mean dua. Asumsikan bahwa banyaknya buruh yang terluka di setiap kecelakaan saling bebas dengan banyaknya kecelakaan yang terjadi. Berapa banyak orang terluka rata-rata per minggu? Ilustrasi 2. Seorang narapidana terjebak dalam suatu sel penjara yang memiliki tiga pintu. Pintu pertama akan membawanya ke sebuah terowongan dan kembali ke sel dalam waktu dua hari. Pintu kedua dan ketiga akan membawanya ke terowongan yang kembali ke sel dalam tempo masing-masing empat dan satu hari. Asumsikan bahwa sang napi selalu memilih pintu 1, 2, dan 3 dengan peluang 0.5, 0.3 dan 0.2, berapa lama waktu rata-rata (expected number of days) yang dibutuhkan untuk dia agar selamat? Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka ekspektasi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah ekspektasi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ∫ ∞ ∫ ∞ fX,Y (x, y) E(Y |X = x) = y dy = y fY |X (y|x) dy fX (x) −∞ −∞ Proposisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan ekspektasi dari Y hingga. Maka ∫ ∞ E(Y ) = E(Y |X = x) fX (x) dx −∞
atau E(Y ) = E(E(Y |X = x)) Definisi: Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Jika fX (x) > 0 maka variansi bersyarat dari Y diberikan X = x adalah variansi dari Y relatif terhadap distribusi bersyarat Y diberikan X = x, ) (( )2 V ar(Y |X = x) = E Y − E(Y |X = x) X = x MA4081 Pros.Stok.
18
K. Syuhada, PhD.
Proposisi. Misalkan X dan Y adalah peubah acak-peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama fX,Y (x, y). Misalkan variansi dari Y hingga. Maka V ar(Y ) = E(V ar(Y |X = x)) + V ar(E(Y |X)) Latihan: 1. Misalkan X dan Y peubah acak kontinu dengan fungsi peluang bersama f (x, y) = e−x(y+1) , 0 ≤ x, 0 ≤ y ≤ e − 1 a. Tentukan fY (y) b. Hitung P (X > 1|Y = 21 ) c. Hitung E(X|Y = 12 ) Solusi: 1 P (X > 1|Y = ) = 2
∫
∞
∫1 ∞
= 1
e−x(y+1) dx 1/(y + 1) 3 −3 x e 2 dx 2
= e−3/2 2. K meninggalkan kantor setiap hari kerja antara pukul 6-7 malam. Jika dia pergi t menit setelah pukul 6 maka waktu untuk mencapai rumah adalah peubah acak berdistribusi Seragam pada selang (20, 20 + (2t)/3). Misalkan Y adalah banyak menit setelah pukul 6 dan X banya menit untuk mencapai rumah, berapa lama waktu mencapai rumah? Solusi: Y ∼ U (0, 60), X|Y = y ∼ U (20, 20 + (2y)/3). ∫ 60 E(X) = E(X|Y = y) fY (y) dy = 30 0
3. Jika Xi ∼ Bin(ni , p), tentukan E(X1 + X2 |X1 ) 4. Jika X dan Y peubah acak-peubah acak Poisson saling bebas dengan parameter λx dan λy , tentukan E(X|X + Y = n). Bagaimana jika X dan Y berdistribusi Geometrik identik dengan parameter p?
MA4081 Pros.Stok.
19
K. Syuhada, PhD.
Kita ketahui bahwa jika X dan Y saling bebas maka fX,Y (x, y) = fX (x) gY (y), Akibatnya, E(XY ) = E(X) E(Y ) Konsekuensi ini juga berlaku untuk setiap fungsi g dan h, ( ) ( ) ( ) E g(X)h(Y ) = E g(X) E h(Y ) Definisi: Kovariansi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan Cov(X, Y ), adalah (( )( )) Cov(X, Y ) = E X − E(X) Y − E(Y ) Catatan: Jika X dan Y saling bebas maka Cov(X, Y ) = 0 (implikasi). Sifat-sifat kovariansi • Cov(X, Y ) = Cov(Y, X) • Cov(X, X) = V ar(X) • Cov(a X, Y ) = a Cov(X, Y ) (∑ ) ∑ ∑m ∑ n • Cov X , Y = ni=1 m i j i=1 j=1 j=1 Cov(Xi , Yj ) Perhatikan bahwa: ( n ) ( n ) n ∑ ∑ ∑ V ar Xi = Cov Xi , Xj i=1
= =
n ∑
i=1 n ∑
j=1
Cov(Xi , Xj )
i=1 j=1 n ∑
V ar(Xi ) +
i=1
∑∑
Cov(Xi , Xj )
i̸=j
Korelasi antara peubah acak X dan Y , dinotasikan ρ(X, Y ), didefinisikan sebagai Cov(X, Y ρ(X, Y ) = √ , V ar(X) V ar(Y ) MA4081 Pros.Stok.
20
K. Syuhada, PhD.
asalkan V ar(X) dan V ar(Y ) bernilai positif. Dapat ditunjukkan pula bahwa −1 ≤ ρ(X, Y ) ≤ 1 Koefisien korelasi adalah ukuran dari derajat kelinieran antara X dan Y . Nilai ρ(X, Y ) yang dekat dengan +1 atau −1 menunjukkan derajat kelinieran yang tinggi. Nilai positif korelasi mengindikasikan nilai Y yang cenderung membesar apabila X membesar. Jika ρ(X, Y ) = 0 maka dikatakan X dan Y tidak berkorelasi. Latihan: 1. Tunjukkan bahwa Cov(X, E(Y |X)) = Cov(X, Y ) 2. Misalkan X peubah acak normal standar dan I (bebas dari X) sdh P (I = 1) = P (I = 0) = 1/2. Didefinisikan Y = X, jika I = 1; Y = −X, jika I = 0 Tunjukkan bahwa Cov(X, Y ) = 0
MA4081 Pros.Stok.
21
K. Syuhada, PhD.
