www.ujiannasional.web.id Ringkasan Teori Ujian Nasional 2011 Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah IPA
SMA / MA IPA Mata Pelajaran : Matematika Konsep yang berkaitan dengan :
Barisan dan Deret Un = Sn − Sn −1 untuk n = 2, 3, 4, …
a = U1 = S1
Ciri barisan : Selisih dua suku yang berurutan konstan Un − Un −1 = konstan, dengan n = 2, 3, 4, … Nilai konstan ini dinotasikan den gan b (beda). a = suku pertama barisan ; b = beda barisan Barisannya: a, a + b, a + 2b , a + 3b, …, a + (n − 1)b, … Rumus barisan : Un = a + (n − 1) b, dengan n = 1, 2, 3, … Rumus Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ( Sn ) 1. Sn = 1 n ( 2a + (n − 1) b ) 2
2.
Sn = 1 n ( a + Un )
3.
Sn =
2
n Ut , dimana banyak suku ( baca : n ) ganjil dan Ut suku tengah atau Ut = 1 ( a + Un ) 2
Un aritmatika dapat ditulis sebagai fungsi linier dari n, yaitu Un = b n + c ; b = beda, c suatu konstanta Sn aritmatika dapat ditulis sebagai fungsi kuadrat tanpa konstanta tetap dari n , yaitu … Sn = b n 2 + d n ; b = beda, d suatu konstanta 2
Ciri barisan : Hasil bagi dua suku yang berurutan konstan Un = konstan, dengan n = 2, 3, 4, … Un−1
Nilai konstan ini biasanya dinotasikan dengan r (rasio). Rumus barisan : Un = a r n − 1 , dengan n = 1,2, 3, … a = suku pertama barisan dan r = rasio barisan Rumus Jumlah n suku pertama barisan aritmatika ( Sn ) n Sn = a 1 − r
1−r
rn − 1 atau Sn = a r −1
n Dapat ditulis Sn = d − d r ; d suatu konstanta, r = rasio barisan
Notasi :
S∞ =
lim
n →∞
= U1 + U2 + U3 + U4 + …
Ada dua kemungkinan hasil dari S ∞, yaitu … Untuk | r | > 1, berlaku S∞ = ± ∞
disebut deret divergen
Untuk | r | < 1, berlaku
a S∞ = 1 − r disebut deret konvergen
www.ujiannasional.web.id Syarat jumlah tak hingga suku konvergen adalah | r | < 1
www.ujiannasional.web.id
Persamaan kuadrat, Bentuk umum persamaan dibawah ini disebut persamaan kuadrat. a x + bx + c = 0 dengan a,b,c real dan a ≠ 0 2
Penyelesaian suatu persamaan disebut juga dengan akar. Ada 3 cara mencari akar persamaan kuadrat, yaitu dengan memfaktorkan, dengan melengkapi kuadrat sempurna dari bentuk umum dan dengan rumus a b c. Persisnya cara rumus abc adalah … x1 dan x2 akar ax2 + bx + c = 0 D = b2 − 4ac D disebut diskriminan
x1,2 = −b ± D 2a
SIFAT
OPERASI
Sifat jumlah x1 + x 2 = − Sifat kali x1.x 2 =
AKAR b a
c a
Sifat penguarangan x1 − x 2 = ±
D a
Beberapa bentuk rumus yang dinyatakan dengan sifat diatas 1. Jumlah kuadrat akar-akar x12 + x22 = (x1 + x2)2 − 2x1 x2 2. Jumlah pangkat tiga akar-akar x13 + x23 = (x1 + x2)3 − 3x1 x2 (x1 + x2)
www.ujiannasional.web.id
www.ujiannasional.web.id 3. kuadrat selisih akar-akar (x1 − x2)2 = D2 (x1 − x2)2 = a
(x1 + x2)2 − 4x1 x2 4. selisih kuadrat akar-akar x12 − x22 = (x1 + x2) (x1 − x2)
5. jumlah kebalikan akar-akar 1 x1
+
1 x2
=
x1 + x 2 x1 x 2 D= 0 Akar kembar D≥0 Kedua akar real
x1,2 =
−b± D 2a
D> 0 Kedua akar real berbeda
D< 0 Kedua akar tidak real
Kedua akarnya real positif, jika 1. D ≥ 0 2. x1 + x2 > 0 3. x1 x2 > 0 Kedua akarnya real negatif, jika 1. D ≥ 0 2. x1 + x2 < 0 3. x1 x2 > 0 Kedua akar berbeda tanda, jika 1. D > 0 2. x1 x2 < 0 Akar berlawanan tanda ( baca x1 = − x2) ⇔ x1 + x2 = 0 ⇔ b = 0
www.ujiannasional.web.id
www.ujiannasional.web.id Akar berkebalikan ( baca x1 =
1 x2
) ⇔ x1 x2 = 1 ⇔ c = 1
Kedua akar rasional D = k2 dimana a, b, c dan k bilangan rasional. Menyusun persamaan kuadrat baru Persamaan kuadrat dengan akar-akar z1 dan z2 adalah x2 − ( z1 + z2 ) x + z1 z2 = 0
Matriks, Bentuk umum suatu matriks adalah : ⎡ a11 a12 :::: a1n ⎤ A = ⎢⎢ a21 a22 :::: a2n ⎥⎥ :: :: :::: :: ⎢a ⎥ ⎣ m1 am2 :::: amn ⎦ Matriks A diatas memuat m baris dan n kolom, disebut berordo m x n. Transpos suatu matriks Transpose suatu matriks A ditulis At adalah matriks dengan menukar elemen-elemen pada baris A dengan elemen-elemen pada kolomnya Kesamaan dua matriks A = B ⇔ 1. Ordo A = Ordo B 2. elemen-elemen yang seletak nilainya Operasi Jumlah C = A + B ⇔ 1. Ordo C = Ordo A = Ordo B 2. ci,j = ai,j + bi,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom Sifat operasi penjumlahan 1. Komutatif : A + B = B + A 2. Asosiatif : (A + B ) + C = A + (B + C) 3. Ada matriks 0 sehingga A + 0 = 0 + A = A 4. Ada matriks −A sehingga A + (−A) = 0 5. (A+ B)t = At + Bt Definisi A − B = A + (−B) Catatan Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya 0.
www.ujiannasional.web.id
www.ujiannasional.web.id Matriks −A diperoleh dengan mengalikan setiap elemen A dengan −1. Perkalian dengan konstanta C=kA⇔ 1. k bilangan real, A dan C matriks berordo sama 2. ci,j = k ai,j; i ∈ baris dan j ∈ kolom Sifat perkalian dengan konstanta p dan q bilangan real, A dan B matriks, maka 1. (p + q) A = p A + q A 2. p ( A + B) = p A + p B 3. p (q A ) = ( p q) A Operasi Kali C =A B ⇔ 1. Cm x n = A mxp B pxn 2.
c ij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + … + aip bpj
Sifat-sifat operasi kali 1. Tidak komutatif: A B ≠ B A 2. Asosiatif: ( A B ) C = A (B C) 3. Distributif A (B + C) = A B + AC 4. Ada I matriks Identitas sehingga A I = I A = A 5. Jika A B = 0 maka belum tentu A = 0 atau B = 0 6. Jika A B = A C maka belum tentu B = C 7. ( A . B )t = Bt At Catatan Matriks Identitas adalah matriks ordo n x n (atau bujursangkar) yang semua elemen diagonal a11 = a22 = …= ann = 1 dan elemen lainnya nol Determinan Determinan matriks A ditulis sebagai det(A) atau ⏐A⏐. 1.
a a A = ⎛⎜ a11 a12 ⎞⎟ ⇒ ⏐A⏐ = a11 a22 − a12 a21 ⎝ 21 22 ⎠ ⎛ a11 a12 a13 ⎞ a 22 a 23 ⎟⎟ ⎜a ⎟ ⎝ 31 a 32 a 33 ⎠
2. A = ⎜⎜ a21
⇒ ⏐A⏐=a11
a22 a23 a a a a −a12 21 23 +a13 21 22 a32 a33 a31 a33 a31 a32
Cara lain adalah dengan metode Sorrus a11 a12 a13 a11 a12
⏐A⏐ = a21 a22 a23 a21 a22 a31 a32 a33 a31 a32
= (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) − (a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32) Sifat
www.ujiannasional.web.id
www.ujiannasional.web.id 1. 2. 3. 4.
det (A B) = det(A) det (B) det (A + B) ≠ det(A) + det(B) A ordo nxn ⇒ det(k A) = kn det(A) det (At) = det(A) det ( A−1 ) = 1 det A
Invers Matriks Invers dari matriks A ditulis A−1 dan didefinisikan sebagai berikut⏐ A−1 invers A ⇔ 1. A matriks ordo n x n 2. A A−1 = A−1 A = I ⎛ a b⎞ ⎛ d −b⎞ ⎟⎟ ⇒ A−1 = 1 ⎜⎜ ⎟ A = ⎜⎜ A ⎝ − c a ⎟⎠ ⎝ c d⎠ Sifat Invers matriks 1. A = B−1 ⇔ B = A−1 2. (A−1)−1 = A 3. (A B )−1 = B−1 A−1 4. A B = C ⇒ A = C B−1 5. A B = C ⇒ B = A−1 C Ketiga kalimat berikut mempunyai pengertian sama 1. A singular 2. A tidak punya invers 3. det A = 0
Vektor, Vektor adalah besaran yang mempunyai arah. Dilukiskan sebagai panah. Vektor dengan titik pangkal A(ax,ay, az) dan titik ujung B(bx, by, bz) dinotasikan dengan ⎡b x − a x ⎤ B (ax, ay, az) ⎯→ ⎯→ ⎢ ⎥ AB . AB = ⎢b y − a y ⎥ ⎢⎣ b z − az ⎥⎦ A(ax,ay,az)
cara menuliskan vektor, yaitu … ⎡ a1 ⎤ a = ⎢ a 2 ⎥ = (a1, a2, a3) = a1 ˆi + a2 ˆj + a3 kˆ ⎢ ⎥ ⎣⎢ a 3 ⎦⎥
→
→
Misalkan a = (a1, a2, a3) → → Notasi : | a | (baca panjang vektor a ) → Definisi : | a | =
2
2
a1 + a 2 + a 3
2
www.ujiannasional.web.id
www.ujiannasional.web.id Vektor dengan titik pangkal O(0, 0, 0) disebut vektor posisi Perhatikan gambar A
z
→
⎯→
→
⎯→
a = OA adalah vektor posisi titik A
B b = OB adalah vektor posisi titik B ⎯→
y
O
→
→
Maka AB = b − a
x
Ciri vektor adalah panjang dan arah vektor tersebut . Sebuah vektor tidak tergantung pangkal dan ujungnya, boleh digeser selama tidak merubah arah dan panjangnya ρ ρ ρ ρ ⎧⎪ a = b a=b⇔⎨ ρ ρ ⎪⎩arah a dan arah b sama operasi pada vektor Secara analitik (aljabar) →
→
→
Misalkan a = (a1, a2, a3), b = (b1, b2, b3) a , k bilangan real →
Maka
+
a
→
b = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3)
→
k a = (k a1, k a2, k a3) operasi pada vektor Secara geometri →
→
a
Aturan Jajaran Genjang
→
a + b
Aturan Segitiga
→
→
Titik pangkal a dan b harus sama. Lukiskan jajaran genjang. →
b
a
Ujung a menjadi pangkal b →
→
→
a + b adalah vektor diagonal.
→
→
→
→
⎯→
⎯→
⎯→
a + b = PQ + QR = PR
→
→
→
→
2.
→
→ →
→
→
Assosiatif: ( a + b ) + C = a + ( b + C ) →
→
→
→
→
→
Ada unsur identitas yaitu 0 = (0, 0, 0) sehingga a + 0 = 0 + a = a
3.
→
→
→
→
Ada vektor − a sehingga a + (− a ) = 0
4. →
→
Vektor 0 dapat dilukiskan sebagai sebuah titik. Vektor 0 tidak mempunyai arah.
Statistika, Ukuran Pemusatan 1. Rata-rata (Mean) x =
∑ xi
n 2. Median = nilai tengah setelah data diurutkan 3. Modus = nilai yang paling sering muncul
www.ujiannasional.web.id
b a
Komutatif : a + b = b + a →
→
→
P
Berikut ini adalah sifat-sifat penjumlahan vektor 1.
R
→
+b
Q
www.ujiannasional.web.id 4. Kuartil = nilai perempat setelah data diurutkan Q1 = kuartil bawah Q2 = median Q3 = kuartil atas Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran pemusatan akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran pemusatan akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran pemusatan akan ditambah n Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran pemusatan akan dikurang n
Ukuran Penyebaran 1. Jangkauan = data terbesar – data terkecil ∑ xi − x 2. simpangan rata-rata = n 3. simpangan baku =
∑ (x i − x) 2
n 4. jangkauan kuartil = Q3 – Q1 5. simpangan kuartil = 12 ( Q3 – Q1) Jika seluruh data dikali dengan n maka ukuran penyebaran akan dikali n Jika seluruh data dibagi dengan n maka ukuran penyebaran akan dibagi n Jika seluruh data ditambah dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah Jika seluruh data dikurang dengan n maka ukuran penyebaran tidak berubah
Data Berkelompok x=
∑ f i .x i ∑f
= xs +
∑ f i .d i ∑f
⎛ d1 ⎞ ⎟⎟I Modus = Tb + ⎜⎜ ⎝ d1 + d 2 ⎠ ⎛ 1 n − fk Median = Tb + ⎜⎜ 2 ⎝ fM
⎞ ⎟⎟ ⎠
⎛ 1 n − fk ⎞ ⎟ Q1 = Tb + ⎜ 4 ⎜ fQ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ 34 n − f k ⎞ ⎟ Q 3 = Tb + ⎜ ⎜ fQ ⎟ ⎝ ⎠ 1
3
Limit
www.ujiannasional.web.id
www.ujiannasional.web.id lim
x →a
f(x) = L artinya nilai f(x) akan mendekati L untuk nilai x mendekati a.
Fungsi f(x) kontinu di x = a jika lim f(x) = f(a) x →a
Berikut sedikit ilustrasi tentang masalah limit dan kekontinuan suatu fungsi. Bisa kita lihat, nilai Lim f(x) belum tentu sama dengan nilai f(a). x →a
L
L
a
a
Lim f(x) = L
a
Lim f(x) tidak ada
Lim f(x) = L
x →a
x →a
x →a
f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a
f(a) tidak terdefinisi f(x) tidak kontinu di a
f(a) = L f(x) kontinu di a
Operasi pada limit 1. Lim [ f(x) + g(x) ] = Lim f(x) + Lim g(x) x →a
x →a
4.
x →a
x →a
3. Lim [ C f(x) ] = C x →a
Lim f(x),
Bentuk tak tentu Bentuk Limit bentuk Bentuk Lim
x →a
0 0
x →a
x →a
f(x) x →a 5. Lim g(x) = Lim , dengan Lim g(x) ≠ 0 g(x) x →a x →a
x →a
x →a
x →a
Lim f(x)
2. Lim [ f(x) − g(x) ] = Lim f(x) − Lim g(x) x →a
Lim [ f(x) ⋅ g(x) ] = Lim f(x) ⋅ Lim g(x)
x →a
C konstanta
6.
Lim x →a
[ f(x) ]n = [ Lim f(x)]n x →a
,∞ ∞ ,∞ − ∞, 0 ⋅ ∞
0 0
f(x) g(x)
dimana f(a) = 0 dan g(a) = 0 desebut bentuk
0 0
. Bentuk ini diselesaikan dengan
cara … Metode pencoretan: f(x) dan g(x) akan mempunyai faktor yang sama, bentuk ini diselesaikan dengan pencoretan faktor yang sama tersebut. Metode L’hopital
lim
x →a
Limit bentuk
∞ ∞
lim
x →∞
Limit bentuk ∞ − ∞ Bentuk umum : Lim
x →∞
f ( x)
an
xn
f (x) f (x) = lim f ′( x ) bentuk 0 maka lim g( x ) 0 x → a g(x ) x →a g ′( x )
+ a n −1
x n −1
+ ... + a 0
b m x m + b m −1 x m −1 + ... + b 0
−
=
g(x)
Cara penyelesaian :
www.ujiannasional.web.id
an Untuk n = m bn 0 Untuk n < m ∞ Untuk n > m
www.ujiannasional.web.id Kalikan dengan bentuk sekawan (Baca : Lim
x →∞
f ( x)
−
menjadi bentuk
b−p
1.
3. Lim
f(x) + g(x) f(x) + g(x)
∞ ∞
. Selesaikan
a1x 2 + bx + c − a 2 x 2 + px + q
Lim
x →∞
2.
g(x)
2 a
= ∞ ∞
Lim
x →∞
f ( x)
+
g(x)
)
f(x) − g(x) f(x) + g(x)
(Lihat sebelumnya)
=
untuk a = a1 = a2
∞ untuk a1 > a2 −∞ untuk a1 < a2
x →∞
n
ax n + bx n −1 + ... − n ax n + px n −1 + ... =
b−p n a n −1 n
Limit fungsi trigonometri Untuk ξ → 0 Nilai dari sin ξ ≅ ξ sec ξ ≅ 1 + 1 ξ2 tan ξ ≅ ξ
cos ξ ≅ 1 −
2 1 2
ξ2
www.ujiannasional.web.id
tan ξ − sin ξ ≅
1 2
ξ3