Diszkrét és hibrid diagnosztikai és irányítórendszerek LTI Rendszerek Dinamikus Analízise és Szabályozásának Alapjai Hangos Katalin ¨ ´ ´ Kozleked esautomatika Tanszek ´ Irany´ ´ ıtaselm ´ ´ ´ Rendszer- es eleti Kutato´ Laboratorium ´ ıtastechnikai ´ ´ Automatizal ´ asi ´ Kutato´ Intezete ´ MTA Szam´ es e-mail:
[email protected]
DesHyb-01 – p. 1/38
Rendszerek és rendszermodellek
DesHyb-01 – p. 2/38
Rendszerek (S) rendszer: jeleken végez muveletet ˝ y = S[u] • bemenetek (u) és kimenetek (y )
SYSTEM u(t)
S
inputs
y(t) outputs
states x(t)
Rendszer jelfolyam-ábrája
DesHyb-01 – p. 3/38
´ Alapveto˝ rendszertulajdonsagok –1 • linearitás
S[c1 u1 + c2 u2 ] = c1 y1 + c2 y2 c1 , c2 ∈ R, u1 , u2 ∈ U , y1 , y2 ∈ Y és S[u1 ] = y1 , S[u2 ] = y2
˝ Linearitás ellenorzése: definíció szerint
DesHyb-01 – p. 4/38
´ Alapveto˝ rendszertulajdonsagok –2 • ido-invariancia ˝
Tτ ◦ S = S ◦ Tτ
˝ ahol Tτ az idoeltolás-operátor ˝ Ido˝ invariancia ellenorzése: konstans paraméterek a modellben y(t)
u(t)
S
u(t)
∆t
u(t+∆t)
y(t)
y(t+∆t)
∆t DesHyb-01 – p. 5/38
´ Alapveto˝ rendszertulajdonsagok –3 • folytonos és diszkrét ideju˝ rendszerek
˝ (T ⊆ R) folytonos ido: ˝ T = {· · · , t0 , t1 , t2 , · · · } diszkrét ido: • egy bemenetu˝ – egy kimenetu˝ (SISO) több bemenetu˝ –
több kimenetu˝ (MIMO) rendszerek • kauzális rendszerek
DesHyb-01 – p. 6/38
CT-LTI rendszermodellek SISO rendszerek Bemenet-kimenet (I/O) modelljei • idotartomány ˝ • operátortartomány • frekvenciatartomány
Állapottér-modellek
DesHyb-01 – p. 7/38
CT-LTI I/O rendszermodellek – 1 ˝ Idotartomány Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenletek dn y dn−1 y dy du dm u an n + an−1 n−1 + ... + a1 + a0 y = b0 u + b1 + ... + bm m dt dt dt dt dt
adott kezdeti feltételekkel dy dn−1 y y(0) = y0 , (0) = y10 , . . . , (0) = yn0 n−1 dt dt
DesHyb-01 – p. 8/38
CT-LTI I/O rendszermodellek – 2 Operátortartomány SISO rendszerek I/O modellje Átviteli függvény Y (s) = H(s)U (s)
nulla kezdeti feltételekkel Y (s) a kimeneti jel Laplace-transzformáltja U (s) a bemeneti jel Laplace-transzformáltja b(s) H(s) = a(s) a rendszer átviteli függvénye ahol a(s) és b(s) polinomok valamint deg b(s) = m deg a(s) = n Strictly proper átviteli függvény: m < n Proper: m = n, imporper: m > n
DesHyb-01 – p. 9/38
CT-LTI I/O rendszermodellek – 3 ˝ Idotartomány – Impulzusválasz függvény Y (s) = H(s)U (s) → L−1 → y(t) = (h ∗ u)(t), azaz Z ∞ Z ∞ y(t) = h(t − τ )u(τ )dτ = h(τ )u(t − τ )dτ −∞
−∞
Dirac-δ Laplace-transzformáltja Z ∞ L(δ)(s) = δ(t)e−st dt = e−s·0 = 1 0
tehát h a rendszer Dirac-δ bemenetre adott válasza
DesHyb-01 – p. 10/38
´ ´ modellek CT-LTI allapott er Általános alak x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t)
(állapotegyenlet) (kimeneti egyenlet)
• adott x(t0 ) = x(0) kezdeti feltétellel és x(t) ∈ Rn , • y(t) ∈ Rp , u(t) ∈ Rr • rendszerparaméterek
A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×r , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×r
DesHyb-01 – p. 11/38
´ ´ ok ´ Allapot-transzform aci ˙ x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) , x(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) , y(t) = Cx(t) + Du(t)
összekapcsoló transzformáció: T ∈ Rn×n , det T 6= 0 , x = T x
⇒
x = T −1 x
dim X = dim X = n T −1 x˙ = AT −1 x + Bu x˙ = T AT −1 x + T Bu , A = T AT −1 ,
B = TB ,
y = CT −1 x + Du C = CT −1 ,
D=D
DesHyb-01 – p. 12/38
´ ´ modellek DT-LTI allapott er x(k + 1) = Φx(k) + Γu(k) (state equation) y(k) = Cx(k) + Du(k) (output equation)
adott x(0) kezdeti feltétellel és x(k) ∈ Rn , y(k) ∈ Rp , u(k) ∈ Rr
véges dimenziós vektorok és Φ ∈ Rn×n , Γ ∈ Rn×r , C ∈ Rp×n , D ∈ Rp×r
mátrixok
DesHyb-01 – p. 13/38
´ ´ DT-LTI allapotegyenletek megoldasa
x(1) = Φx(0) + Γu(0) x(2) = Φx(1) + Γu(1) = Φ2 x(0) + ΦΓu(0) + Γu(1) x(3) = Φx(2) + Γu(2) = Φ3 x(0) + Φ2 Γu(0) + ΦΓu(1) + Γu(2) .. .. Pk−1 k−j−1 k x(k) = Φx(k − 1) + Γu(k − 1) = Φ x(0) + j=0 Φ Γu(j)
DesHyb-01 – p. 14/38
DT-LTI I/O rendszermodellek – 1 Impulzusválasz-függvény: I/O modell SISO rendszerekhez U = [u(0) u(1)...u(N − 1)]T ,
Y = [y(0) y(1)...y(N − 1)]T
Általános lineáris modell Y = HU + Yp
ahol H n × n-es mátrix, és Yp tartalmazza a kezdeti feltételeket. Kauzális rendszerek esetén H alsóháromszög y(k) =
k X
h(k, j)u(j) + yp (k)
j=0
ahol h(k, j) az impulzusválasz-függvény DesHyb-01 – p. 15/38
DT-LTI I/O rendszermodellek – 2 LTI modellek impulzusválasz-függvénye: h(k, j) = h(k − j) Az állapotegyenlet megoldásából D = 0-ra: Φk x(0)
Pk−1
x(k) = Φx(k − 1) + Γu(k − 1) = + j=0 Φk−j−1 Γu(j) Pk−1 k y(k) = Cx(k) = CΦ x(0) + j=0 CΦk−j−1 Γu(j) h(k) =
(
0
k<1 CΦk−1 Γ k ≥ 1
˝ A súlyfüggvény diszkrét ideju˝ megfeleloje. Diszkrét ideju˝ Markov paraméterek: CΦk−1 Γ
DesHyb-01 – p. 16/38
DT-LTI I/O rendszermodellek – 3 Diszkrét differenciaegyenlet modellek: SISO rendszerekhez ˝ Elorefelé vett differenciákkal y(k+na )+a1 y(k+na −1)+...+ana y(k) = b0 u(k+nb )+...+bnb u(k)
ahol na ≥ nb (proper). Tömörebb forma A(q)y(k) = B(q)u(k) , A(q) = q na +a1 q na −1 +...+ana , B(q) = b0 q nb +b1 q nb −1 +...+bnb
Hátrafelé vett differenciákkal y(k)+a1 y(k−1)+...+ana y(k−na ) = b0 u(k−d)+...+bnb u(k−d−nb )
˝ ahol d = na − nb > 0 az idokésleltetés. Tömörebb forma A∗ (q −1 )y(k) = B ∗ (q −1 )u(k − d) , A∗ (q −1 ) = q na A(q −1 )
DesHyb-01 – p. 17/38
Rendszer-analízis: megfigyelhet˝oség, irányíthatóság, stabilitás
DesHyb-01 – p. 18/38
˝ ege ´ –1 LTI rendszerek megfigyelhetos Problémafelvetés Adott: • állapottér modell (A, B, C) (vagy (Φ, Γ, C)) paraméterekkel • u és y jelek véges idointervallumon ˝ mért értékei
Kiszámítandó: ˝ az állapotváltozó vektor (x) értékei a véges idointervallumon Elegendo˝ kiszámítani: x(t0 ) = x0
DesHyb-01 – p. 19/38
˝ ege ´ –2 LTI rendszerek megfigyelhetos
Szükséges és elégséges feltétel. Egy állapottér modell (A, B, C) (vagy (Φ, Γ, C)) mátrixokkal megfigyelheto˝ pontosan akkor, ha az On ˝ megfigyelhetoségi mátrix teljes rangú. C CA . On = . . CAn−1 DesHyb-01 – p. 20/38
´ ıthatos ´ aga ´ –1 LTI rendszerek irany´
Problémafelvetés Adott: • egy állapottér modell (A, B, C) (vagy (Φ, Γ, C))
mátrixokkal • x(t1 ) kezdeti és x(t2 ) 6= x(t1 ) végállapot
Kiszámítandó: egy megfelelo˝ u bemeno˝ jel, amely a rendszer állapotát ˝ x(t2 )-be juttatja véges ido˝ alatt. x(t1 )-bol
DesHyb-01 – p. 21/38
´ ıthatos ´ aga ´ –2 LTI rendszerek irany´
Szükséges és elégséges feltétel. Az (A, B, C) (vagy (Φ, Γ, C)) mátrixokkal adott állapottér modell x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) irányítható pontosan akkor, ha a Cn irányíthatósági mátrix teljes rangú h i Cn = B AB A2 B . . An−1 B
DesHyb-01 – p. 22/38
´ –1 BIBO stabilitas
Korlátos bemenet – korlátos kimenet (BIBO) stabilitás (CT-SISO eset): |u(t)| ≤ M1 < ∞, ∀t ∈ [0, ∞[ ⇒ |y(t)| ≤ M2 < ∞, ∀t ∈ [0, ∞[ Tétel: Egy SISO CT-LTI rendszer BIBO stabil pontosan akkor, ha Z ∞ |h(t)|dt ≤ M < ∞ 0
ahol M ∈ R+ és h a rendszer súlyfüggvénye
DesHyb-01 – p. 23/38
´ –1 CT-LTI rendszerek stabilitasa Lineáris csonkolt rendszermodell (u ≡ 0): x˙ = A · x, x ∈ Rn , A ∈ Rn×n , x(0) = x0
Egyensúlyi pont: x∗ = 0 Megoldás: x(t) = eAt · x0
Az A mátrixú CT-LTI rendszert aszimptotikusan stabilnak nevezzük, ha lim x(t) = 0 t→∞
DesHyb-01 – p. 24/38
´ –2 CT-LTI rendszerek stabilitasa Tétel: Egy CT-LTI rendszer pontosan akkor aszimptotikusan stabil, ha az A mátrix valamennyi sajátértékének valós része negatív (stabilitás mátrix). Stabilitási esetek: • A minden sajátértékének valós része negatív (A stabilitás
mátrix): aszimptotikus stabilitás • A-nak nulla és negatív valós részu˝ sajátértékei vannak ◦ a nulla valós részu˝ sajátértékekhez lineárisan független
sajátvektorok tartoznak: (nem aszimptotikus) stabilitás ◦ a nulla valós részu˝ sajátértékekhez lineárisan összefüggo˝ sajátvektorok tartoznak: (polinomiális) instabilitás • A-nak van pozitív valós részu˝ sajátértéke: (exponenciális)
instabilitás DesHyb-01 – p. 25/38
´ ideju˝ rendszerek stabilitasa ´ –1 Diszkret BIBO stabilitás: MIMO eset Egy diszkrét ideju˝ rendszer BIBO stabil, ha ||u|| ≤ M1 < ∞ ⇒ ||y|| ≤ M2 < ∞
(1)
ahol ||.|| megfelelo˝ jelnorma. Aszimptotikus stabilitás: csonkolt állapotegyenlet megoldása x(k + 1) = Φx(k), x(0) = x0 ⇒ x(k) = Φk x(0)
A Φk mátrix sajátértékei: λi (Φk ) = λi (Φ)k , így x(k) −→ 0
⇐⇒
|λi (Φ)| < 1
Tétel: Egy DT-LTI rendszer aszimptotikusan stabil pontosan akkor, ha λi (Φ)-k az egységkörön belül vannak. DesHyb-01 – p. 26/38
´ tetele ´ Ljapunov stabilitasi Ljapunov-függvény: V : X 7→ R • V > 0, ha x 6= x∗ , V (x∗ ) = 0 • V legalább egyszer folytonosan differenciálható • V nem növekvo, ˝ azaz
d dt V
≤0
Ljapunov stabilitási tétele: Ha az x˙ = f (x), f (x∗ ) = 0 rendszerhez létezik Ljapunov-függvény, akkor x∗ stabil d egyensúlyi állapot. Ha dt V < 0, akkor x∗ aszimptotikusan stabil egyensúlyi állapot. Ha a Ljapunov függvény tulajdonságai csak x∗ egy U környezetében teljesülnek, akkor x∗ lokálisan (aszimptotikusan) stabil egyensúlyi állapot.
DesHyb-01 – p. 27/38
´ CT-LTI rendszerekre Ljapunov tetel Ljapunov kritérium CT-LTI rendszerekre Egy lineáris rendszer állapotmátrixa (A) stabilitási mátrix pontosan akkor, ha bármely megadott Q pozitív definit szimmetrikus mátrixhoz létezik egy P pozitív definit szimmetrikus mátrix, hogy AT P + P A = −Q
LTI BIBO és aszimptotikus stabilitás Tétel: LTI rendszereknél az aszimptotikus stabilitásból következik a BIBO stabilitás.
DesHyb-01 – p. 28/38
Irányítás és visszacsatolás
DesHyb-01 – p. 29/38
´ ıtas: ´ az altal ´ anos ´ ´ Irany´ problema Adott • rendszermodell • irányítási cél
Kiszámítandó bemeneti jelsorozat, amellyel teljesül az irányítási cél Néhány irányítási cél: • stabilizálás • zavarelhárítás • optimális irányítás
DesHyb-01 – p. 30/38
´ ıtas ´ – jelfolyamabra ´ Irany´
u(t) 6
-
y(t) S
-
x(t)
Controller
S’
Rendszer és szabályozó
DesHyb-01 – p. 31/38
´ athelyez ´ ´ ´ ´ problemafelvet ´ ´ Polus eses szabalyoz as: es Adott • egy SISO CT-LTI rendszer (A, B, C) mátrixokkal (a pólusok
˝ függnek) A-tól (a(s)-tol) • eloírt ˝ (kívánt) pólusok, melyeket az α(s) polinom határoz
meg úgy, hogy deg a(s) = deg α(s) = n Kiszámítandó egy teljes állapotvisszacsatolás úgy, hogy a zárt rendszer pólusai éppen α(s) gyökei. Részprobléma: olyan visszacsatolás, amely stabilizálja a(z eredetileg instabil) rendszert.
DesHyb-01 – p. 32/38
´ CT-LTI rendszerek – 1 Zart A SISO CT-LTI rendszer mátrixai: (A, B, C) x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) y(t) , u(t) ∈ R , x(t) ∈ Rn A ∈ Rn×n , B ∈ Rn×1 , C ∈ R1×n
Statikus lineáris teljes állapotvisszacsatolás: v=u h + kx (u = v − kx) i k = k1 k2 . . . kn
k ∈ R1×n
(sorvektor)
DesHyb-01 – p. 33/38
´ CT-LTI rendszerek – 2 Zart Zárt rendszer x(t) ˙ = (A − Bk)x(t) + Bv(t) y(t) = Cx(t)
Karakterisztikus polinomok ac (s) = det (sI − A + Bk) := α(s) ,
a(s) = det (sI − A)
DesHyb-01 – p. 34/38
´ athelyez ´ ´ ´ Polus eses szabalyoz o´
2 n−1 α−a = k [ B AB A B ... A B ]
1 a1 a2 0 1 a1 0 0 1 . . . . . .
. . . . .
. . . . .
. an−1 . an−2 . an−3 . . . .
α − a = kCTℓT
Ha a CT-LTI rendszer irányítható akkor k = (α − a)Tℓ−T C −1
DesHyb-01 – p. 35/38
Diagnosztika
DesHyb-01 – p. 36/38
Predikcio´ Alapu´ Diagnosztika Adott: • A meghibásodási módok NF száma (0=normal) • Rendszermodellek minden meghibásodási módra y (F i) (k + 1) = M(F i) (D[1, k]; p(F i) ) , k = 1, 2, . . .
• Mérési rekord: D[0, k] = { (u(τ ), y(τ ) | τ = 0, · · · , k} • Veszteségfüggvény J (F i) , i = 0, · · · , NF
X k
J
(F i)
(y−y
(F i)
, u) =
[ r(i)T (τ )Qr(i) (τ ) ] , r(i) (τ ) = y(τ )−y (F i) (τ ) , τ = 1, 2, · · ·
τ =1
Kiszámítandó: A rendszer meghibásodási módja, amely az az i index, amely minimalizálja a veszteségfüggvényt az adott modellegyeletek, mint korlátozások mellett. DesHyb-01 – p. 37/38
´ o´ Alapu´ Diagnosztika Identifikaci Adott: • A meghibásodási módok NF száma (0=normal) • Rendszermodellek minden meghibásodási módra y (F i) (k + 1) = M(F i) (D[1, k]; p(F i) ) , k = 1, 2, . . .
• Mérési rekord: D[0, k] = { (u(τ ), y(τ ) | τ = 0, · · · , k} • Veszteségfüggvény J (F i) , i = 0, · · · , NF , amely a
˝ függ paraméterektol J (F i) (p(estF i) − p(F i) ) = ρ(i)T Qρ(i) , ρ(i) = p(estF i) − p(F i)
Kiszámítandó: A rendszer meghibásodási módja, amely az az i index, amely minimalizálja a veszteségfüggvényt az adott modellegyeletek, mint korlátozások mellett.
DesHyb-01 – p. 38/38
