Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi

Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi – Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi Kuliah Logika Matematika Semester Ganjil 2015-2016

MZI Fakultas Informatika Telkom University FIF Tel-U

Agustus 2015

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

1 / 49

Acknowledgements Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut: 1

Discrete Mathematics and Its Applications (Bab 1), Edisi 7, 2012, oleh K. H. Rosen (acuan utama).

2

Discrete Mathematics with Applications (Bab 2), Edisi 4, 2010, oleh S. S. Epp.

3

Logic in Computer Science: Modelling and Reasoning about Systems (Bab 1), Edisi 2, 2004, oleh M. Huth dan M. Ryan.

4

Mathematical Logic for Computer Science (Bab 2, 3, 4), Edisi 2, 2000, oleh M. Ben-Ari.

5

Slide kuliah Matematika Diskret 1 (2012) di Fasilkom UI oleh B. H. Widjaja.

6

Slide kuliah Logika Matematika di Telkom University oleh A. Rakhmatsyah, B. Purnama.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke @telkomuniversity.ac.id. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

2 / 49

Bahasan

1

Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

3 / 49

Bahasan

1


2

Contoh Kasus: Konsistensi Spesi…kasi Sistem

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

3 / 49

Bahasan

1


2


3

Contoh Penerapan Konsistensi Koleksi Formula

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

3 / 49

Bahasan

1


2


3


4

Aturan Inferensi Dasar pada Logika Proposisi

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

3 / 49

Bahasan

1


2


3


4


5

Latihan Inferensi Logika Proposisi

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

3 / 49

Bahasan

1


2


3


4


5


6

Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

3 / 49


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

4 / 49


Bahasa Alami dan Ambiguitas Bahasa alami (natural language) adalah bahasa yang diucapkan, ditulis, atau diisyaratkan (secara visual atau yang lain) oleh manusia untuk komunikasi secara umum. Bahasa alami merupakan bahasa yang dikembangkan oleh manusia secara alami melalui interaksi yang telah atau mungkin terjadi.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

5 / 49


Bahasa Alami dan Ambiguitas Bahasa alami (natural language) adalah bahasa yang diucapkan, ditulis, atau diisyaratkan (secara visual atau yang lain) oleh manusia untuk komunikasi secara umum. Bahasa alami merupakan bahasa yang dikembangkan oleh manusia secara alami melalui interaksi yang telah atau mungkin terjadi. Contoh-contoh bahasa alami: bahasa Indonesia, bahasa Sunda, bahasa Jawa, bahasa Inggris, bahasa Perancis, bahasa Arab, dan bahasa-bahasa sehari-hari yang lain.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

5 / 49


Bahasa Alami dan Ambiguitas Bahasa alami (natural language) adalah bahasa yang diucapkan, ditulis, atau diisyaratkan (secara visual atau yang lain) oleh manusia untuk komunikasi secara umum. Bahasa alami merupakan bahasa yang dikembangkan oleh manusia secara alami melalui interaksi yang telah atau mungkin terjadi. Contoh-contoh bahasa alami: bahasa Indonesia, bahasa Sunda, bahasa Jawa, bahasa Inggris, bahasa Perancis, bahasa Arab, dan bahasa-bahasa sehari-hari yang lain. Semantik (makna) kalimat dalam bahasa alami dapat dipengaruhi oleh penggunanya.

Contoh Menurut Anda, apa makna dari kalimat-kalimat berikut:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

5 / 49



Contoh Menurut Anda, apa makna dari kalimat-kalimat berikut: 1

Ayah membaca buku sejarah agama baru.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

5 / 49





2

Kakak mahasiswa baru yang pintar itu tidak berkuliah di sini.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

5 / 49





2

Kakak mahasiswa baru yang pintar itu tidak berkuliah di sini.

3

Kucing makan tikus mati. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

5 / 49


Bahasa Formal

Ketiga kalimat dalam bahasa Indonesia pada contoh sebelumnya adalah kalimat yang ambigu. Kalimat dalam bahasa alami tidak selamanya dapat digunakan dalam pembuatan spesi…kasi software, karena bahasa alami rentan dengan ambiguitas, yang bisa saja menimbulkan kontradiksi.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

6 / 49


Bahasa Formal

Ketiga kalimat dalam bahasa Indonesia pada contoh sebelumnya adalah kalimat yang ambigu. Kalimat dalam bahasa alami tidak selamanya dapat digunakan dalam pembuatan spesi…kasi software, karena bahasa alami rentan dengan ambiguitas, yang bisa saja menimbulkan kontradiksi. Bahasa formal adalah bahasa yang disusun dengan aturan-aturan penyusunan kalimat tertentu (yang disebut sintaks/ syntax) dan memiliki makna (semantik) yang dide…nisikan secara jelas. Bahasa formal dibuat untuk mereduksi ambiguitas yang dapat muncul pada bahasa alami.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

6 / 49


Bahasa Formal

Ketiga kalimat dalam bahasa Indonesia pada contoh sebelumnya adalah kalimat yang ambigu. Kalimat dalam bahasa alami tidak selamanya dapat digunakan dalam pembuatan spesi…kasi software, karena bahasa alami rentan dengan ambiguitas, yang bisa saja menimbulkan kontradiksi. Bahasa formal adalah bahasa yang disusun dengan aturan-aturan penyusunan kalimat tertentu (yang disebut sintaks/ syntax) dan memiliki makna (semantik) yang dide…nisikan secara jelas. Bahasa formal dibuat untuk mereduksi ambiguitas yang dapat muncul pada bahasa alami. Logika proposisi dan bahasa pemrograman (seperti pascal, C, C++, python, java) merupakan contoh bahasa formal. Bahasa formal cocok untuk digunakan dalam pembuatan spesi…kasi software karena sifatnya yang tidak ambigu.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

6 / 49


Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi (1) Latihan Misalkan p dan q adalah dua proposisi berikut p : “Alex pandai”

q : “Alex tampan”

Tuliskan kalimat-kalimat majemuk berikut dalam logika proposisi 1

“Alex pandai dan tampan”

2

“Alex pandai namun tidak tampan”

3

“Alex pandai atau tampan, tetapi tidak kedua-duanya” “Tidak benar bahwa Alex pandai ataupun tampan”

4 5

“Jika Alex pandai, maka Alex tidak tampan”

Solusi: (1)

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2)

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3)

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3) p

MZI (FIF Tel-U)

q atau dapat juga

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3) p dapat juga MZI (FIF Tel-U)

q atau dapat juga (p _ q) ^ : (p ^ q) atau

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3) p q atau dapat juga (p _ q) ^ : (p ^ q) atau dapat juga (p ^ :q) _ (:p ^ q), (4) MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3) p q atau dapat juga (p _ q) ^ : (p ^ q) atau dapat juga (p ^ :q) _ (:p ^ q), (4) : (p _ q) atau dapat juga MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3) p q atau dapat juga (p _ q) ^ : (p ^ q) atau dapat juga (p ^ :q) _ (:p ^ q), (4) : (p _ q) atau dapat juga :p ^ :q, (5) MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49






2


3


4 5


Solusi: (1) p ^ q, (2) p ^ :q, (3) p q atau dapat juga (p _ q) ^ : (p ^ q) atau dapat juga (p ^ :q) _ (:p ^ q), (4) : (p _ q) atau dapat juga :p ^ :q, (5) p ! :q. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

7 / 49


Translasi dari Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi (2)

Latihan Jika memungkinkan, nyatakan kalimat-kalimat berikut dalam formula logika proposisi 1

“Anda dapat memilih dalam pemilu jika Anda tidak berusia di bawah 17 tahun, kecuali Anda telah menikah”

2

“Anda tidak dapat memiliki SIM A jika tinggi Anda kurang dari 140 cm, kecuali Anda memakai mobil khusus”

3

“Jika mahasiswa tidak memakai sepatu ataupun jas almamater, maka mahasiswa tersebut tidak boleh mengikuti ujian”.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

8 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah 17 tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah 17 tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah 17 tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r). Atau dapat pula:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah 17 tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r). Atau dapat pula: “Jika Anda berusia di bawah 17 tahun dan Anda belum menikah, maka Anda tidak dapat memilih dalam pemilu”. Akibatnya diperoleh formula logika

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah 17 tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r). Atau dapat pula: “Jika Anda berusia di bawah 17 tahun dan Anda belum menikah, maka Anda tidak dapat memilih dalam pemilu”. Akibatnya diperoleh formula logika (q ^ :r) ! :p.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Solusi: Untuk kalimat pertama, misalkan p : “Anda dapat memilih dalam pemilu”, q : “Anda berusia di bawah 17 tahun”, dan r : “Anda telah menikah”. Kalimat pertama dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda dapat memilih dalam pemilu, maka Anda tidak berusia di bawah 17 tahun atau Anda telah menikah”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r). Atau dapat pula: “Jika Anda berusia di bawah 17 tahun dan Anda belum menikah, maka Anda tidak dapat memilih dalam pemilu”. Akibatnya diperoleh formula logika (q ^ :r) ! :p.

p ! (:q _ r) setara dengan (q ^ :r) ! :p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

9 / 49


Untuk kalimat kedua, misalkan p : “Anda dapat memiliki SIM A”, q : “tinggi Anda kurang dari 140 cm”, dan r : “Anda memakai mobil khusus”. Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49


Untuk kalimat kedua, misalkan p : “Anda dapat memiliki SIM A”, q : “tinggi Anda kurang dari 140 cm”, dan r : “Anda memakai mobil khusus”. Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda memiliki SIM A, maka

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49


Untuk kalimat kedua, misalkan p : “Anda dapat memiliki SIM A”, q : “tinggi Anda kurang dari 140 cm”, dan r : “Anda memakai mobil khusus”. Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda memiliki SIM A, maka tinggi Anda tidak kurang dari 140 cm atau Anda memakai mobil khusus”.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49


Untuk kalimat kedua, misalkan p : “Anda dapat memiliki SIM A”, q : “tinggi Anda kurang dari 140 cm”, dan r : “Anda memakai mobil khusus”. Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda memiliki SIM A, maka tinggi Anda tidak kurang dari 140 cm atau Anda memakai mobil khusus”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49


Untuk kalimat kedua, misalkan p : “Anda dapat memiliki SIM A”, q : “tinggi Anda kurang dari 140 cm”, dan r : “Anda memakai mobil khusus”. Kalimat kedua dapat ditulis ulang menjadi: “Jika Anda memiliki SIM A, maka tinggi Anda tidak kurang dari 140 cm atau Anda memakai mobil khusus”. Akibatnya diperoleh formula logika p ! (:q _ r). Atau dapat pula:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49



Atau dapat pula: “Jika tinggi Anda kurang dari 140 cm dan Anda tidak memakai mobil khusus, maka Anda tidak dapat memiliki SIM A”. Akibatnya diperoleh formula logika

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49



Atau dapat pula: “Jika tinggi Anda kurang dari 140 cm dan Anda tidak memakai mobil khusus, maka Anda tidak dapat memiliki SIM A”. Akibatnya diperoleh formula logika (q ^ :r) ! :p.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49



Atau dapat pula: “Jika tinggi Anda kurang dari 140 cm dan Anda tidak memakai mobil khusus, maka Anda tidak dapat memiliki SIM A”. Akibatnya diperoleh formula logika (q ^ :r) ! :p.

p ! (:q _ r) setara dengan (q ^ :r) ! :p.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

10 / 49


Untuk kalimat ketiga, misalkan p : “Mahasiswa memakai sepatu”, q : “Mahasiswa memakai jas almamater”, dan r : “Mahasiswa boleh mengikuti ujian”. Kalimat ketiga dapat ditulis ulang menjadi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49


Untuk kalimat ketiga, misalkan p : “Mahasiswa memakai sepatu”, q : “Mahasiswa memakai jas almamater”, dan r : “Mahasiswa boleh mengikuti ujian”. Kalimat ketiga dapat ditulis ulang menjadi: “Jika mahasiswa tidak memakai sepatu atau mahasiswa tidak memakai jas almamater,

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49


Untuk kalimat ketiga, misalkan p : “Mahasiswa memakai sepatu”, q : “Mahasiswa memakai jas almamater”, dan r : “Mahasiswa boleh mengikuti ujian”. Kalimat ketiga dapat ditulis ulang menjadi: “Jika mahasiswa tidak memakai sepatu atau mahasiswa tidak memakai jas almamater, maka mahasiswa tidak boleh mengikuti ujian”. Akibatnya diperoleh formula logika

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49


Untuk kalimat ketiga, misalkan p : “Mahasiswa memakai sepatu”, q : “Mahasiswa memakai jas almamater”, dan r : “Mahasiswa boleh mengikuti ujian”. Kalimat ketiga dapat ditulis ulang menjadi: “Jika mahasiswa tidak memakai sepatu atau mahasiswa tidak memakai jas almamater, maka mahasiswa tidak boleh mengikuti ujian”. Akibatnya diperoleh formula logika (:p _ :q) ! :r.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49



Atau dapat pula:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49



Atau dapat pula: “Jika mahasiswa boleh mengikuti ujian, maka mahasiswa memakai sepatu dan jas almamater”. Akibatnya diperoleh formula logika r ! (p ^ q).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49



Atau dapat pula: “Jika mahasiswa boleh mengikuti ujian, maka mahasiswa memakai sepatu dan jas almamater”. Akibatnya diperoleh formula logika r ! (p ^ q). (:p _ :q) ! :r setara dengan r ! (p ^ q)

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

11 / 49


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

12 / 49


Koleksi Formula yang Konsisten Koleksi Formula yang Konsisten Ingat kembali bahwa suatu koleksi/ kumpulan formula fA1 ; A2 ; : : : ; An g dikatakan konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi I yang mengakibatkan I (A1 ) = I (A2 ) =

I (An ) = T.

Tinjau kembali permasalahan berikut.

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem Seorang software engineer diminta oleh manajernya untuk membuat suatu sistem informasi dengan spesi…kasi berikut:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

13 / 49


Koleksi Formula yang Konsisten Koleksi Formula yang Konsisten Ingat kembali bahwa suatu koleksi/ kumpulan formula fA1 ; A2 ; : : : ; An g dikatakan konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi I yang mengakibatkan I (A1 ) = I (A2 ) =

I (An ) = T.

Tinjau kembali permasalahan berikut.

Masalah Konsistensi Spesi…kasi Sistem Seorang software engineer diminta oleh manajernya untuk membuat suatu sistem informasi dengan spesi…kasi berikut: 1

Ketika system software di-upgrade, user tidak dapat mengakses …le system;

2

Jika user dapat mengakses …le system, maka user dapat menyimpan …le baru;

3

Jika user tidak dapat menyimpan …le baru, maka system software tidak sedang di-upgrade.

Apakah spesi…kasi di atas konsisten? MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

13 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (1)

Untuk memeriksa konsistensi spesi…kasi sistem, pertama kita perlu menerjemahkan setiap kalimat spesifkasi menjadi formula logika proposisi. Agar sistem konsisten, formula-formula spesi…kasi sistem tidak boleh kontradiktif. Hal ini berarti konjungsi dari formula-formula pada tersebut harus bernilai benar untuk suatu interpretasi. Akibatnya, jika sistem memiliki n buah formula spesi…kasi A1 ; A2 ; : : : ; An , maka haruslah terdapat interpretasi I yang memberikan I (A1 ) = I (A2 ) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

= I (An ) = T.

Agustus 2015

14 / 49


Untuk menjawab permasalahan konsistensi sistem yang dideskripsikan sebelumnya, kita perlu menterjemahkan spesi…kasi sistem ke dalam formula logika proposisi. Misalkan p : “system software sedang di-upgrade”, q : “user dapat mengakses …le system”, dan r : “user dapat menyimpan …le baru”. Akibatnya ketiga kalimat spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49


Untuk menjawab permasalahan konsistensi sistem yang dideskripsikan sebelumnya, kita perlu menterjemahkan spesi…kasi sistem ke dalam formula logika proposisi. Misalkan p : “system software sedang di-upgrade”, q : “user dapat mengakses …le system”, dan r : “user dapat menyimpan …le baru”. Akibatnya ketiga kalimat spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 := p ! :q A2 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49


Untuk menjawab permasalahan konsistensi sistem yang dideskripsikan sebelumnya, kita perlu menterjemahkan spesi…kasi sistem ke dalam formula logika proposisi. Misalkan p : “system software sedang di-upgrade”, q : “user dapat mengakses …le system”, dan r : “user dapat menyimpan …le baru”. Akibatnya ketiga kalimat spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 := p ! :q A2 := q ! r

A3 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49



A3 := :r ! :p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49



A3 := :r ! :p Selanjutnya akan diperiksa apakah terdapat interpretasi I sehingga I (A1 ) = I (A2 ) = I (A3 ) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49



A3 := :r ! :p Selanjutnya akan diperiksa apakah terdapat interpretasi I sehingga I (A1 ) = I (A2 ) = I (A3 ) = T. Tinjau bahwa dengan memilih I (p) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49



A3 := :r ! :p Selanjutnya akan diperiksa apakah terdapat interpretasi I sehingga I (A1 ) = I (A2 ) = I (A3 ) = T. Tinjau bahwa dengan memilih I (p) = F, I (q) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49



A3 := :r ! :p Selanjutnya akan diperiksa apakah terdapat interpretasi I sehingga I (A1 ) = I (A2 ) = I (A3 ) = T. Tinjau bahwa dengan memilih I (p) = F, I (q) = F, dan I (r) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49



A3 := :r ! :p Selanjutnya akan diperiksa apakah terdapat interpretasi I sehingga I (A1 ) = I (A2 ) = I (A3 ) = T. Tinjau bahwa dengan memilih I (p) = F, I (q) = F, dan I (r) = T diperoleh I (A1 )

MZI (FIF Tel-U)

=

I (p ! :q) =

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49




I (A2 )

MZI (FIF Tel-U)

= =

I (p ! :q) = F ! T = T I (q ! r) =

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49




=

I (A3 )

=

I (A2 )

MZI (FIF Tel-U)

=

I (p ! :q) = F ! T = T I (q ! r) = F ! T = T I (:r ! :p) = Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49




=

I (A3 )

=

I (A2 )

=

I (p ! :q) = F ! T = T I (q ! r) = F ! T = T

I (:r ! :p) = F ! T = T

Jadi dapat disimpulkan bahwa spesi…kasi sistem bersifat konsisten. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

15 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi: Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi: Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut: p : “sistem berada dalam state multiuser”, q : “sistem beroperasi secara normal”, r : “kernel sedang berfungsi”, dan s : “sistem dalam interrupt mode”. Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi: Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut: p : “sistem berada dalam state multiuser”, q : “sistem beroperasi secara normal”, r : “kernel sedang berfungsi”, dan s : “sistem dalam interrupt mode”. Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 := p $ q, A2 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi: Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut: p : “sistem berada dalam state multiuser”, q : “sistem beroperasi secara normal”, r : “kernel sedang berfungsi”, dan s : “sistem dalam interrupt mode”. Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 := p $ q, A2 := q ! r, A3 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi: Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut: p : “sistem berada dalam state multiuser”, q : “sistem beroperasi secara normal”, r : “kernel sedang berfungsi”, dan s : “sistem dalam interrupt mode”. Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 := p $ q, A2 := q ! r, A3 := :r _ s, A4 :=

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Konsistensi Spesi…kasi Sistem (2) Latihan Periksa apakah spesi…kasi sistem berikut konsisten. “Sistem berada dalam state multiuser jika dan hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem beroperasi secara normal, maka kernel sistem sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang berfungsi atau sistem dalam interrupt mode. Sistem tidak berada dalam interrupt mode.” Solusi: Pertama kita lakukan translasi ke formula logika dengan mende…nisikan proposisi-proposisi atom berikut: p : “sistem berada dalam state multiuser”, q : “sistem beroperasi secara normal”, r : “kernel sedang berfungsi”, dan s : “sistem dalam interrupt mode”. Akibatnya spesi…kasi sistem dapat ditulis menjadi A1 := p $ q, A2 := q ! r, A3 := :r _ s, A4 := :s.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

16 / 49


Selanjutnya akan ditentukan interpretasi I sehingga I (A1 ) = I (A2 ) = I (A3 ) = I (A4 ) = T

I (p $ q) = I (q ! r) = I (:r _ s) = I (:s) = T Dengan memilih I (s) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49



I (p $ q) = I (q ! r) = I (:r _ s) = I (:s) = T Dengan memilih I (s) = F, I (r) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49



I (p $ q) = I (q ! r) = I (:r _ s) = I (:s) = T Dengan memilih I (s) = F, I (r) = F, I (q) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49



I (p $ q) = I (q ! r) = I (:r _ s) = I (:s) = T Dengan memilih I (s) = F, I (r) = F, I (q) = F, dan I (p) =

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49



I (p $ q) = I (q ! r) = I (:r _ s) = I (:s) = T Dengan memilih I (s) = F, I (r) = F, I (q) = F, dan I (p) = F, didapatkan I (A1 )

MZI (FIF Tel-U)

= I (p $ q) =

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49




I (A2 )

MZI (FIF Tel-U)

= I (p $ q) = T = I (q ! r) =

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49




= I (p $ q) = T

I (A3 )

= I (:r _ s) =

I (A2 )

MZI (FIF Tel-U)

= I (q ! r) = T

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49




= I (p $ q) = T

I (A3 )

= I (:r _ s) = T

I (A2 ) I (A4 )

MZI (FIF Tel-U)

= I (q ! r) = T = I (:s) =

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49




= I (p $ q) = T

I (A3 )

= I (:r _ s) = T

I (A2 ) I (A4 )

= I (q ! r) = T = I (:s) = T

Jadi dapat disimpulkan bahwa sistem konsisten.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

17 / 49


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

18 / 49


Teka-teki Logika (Logic Puzzles) Pemeriksaan konsistensi koleksi formula dapat dipakai untuk menjawab masalah berikut.

Latihan (Knights and Knaves) Penduduk di sebuah pulau terpencil dapat dikelompokkan menjadi dua golongan, yaitu kelompok alim (knight) dan kelompok pendusta (knave). Setiap orang di kelompok alim selalu berkata jujur, sedangkan setiap orang di kelompok pendusta selalu berbohong. Suatu ketika Anda terdampar di pulau terpencil tersebut. Anda mengetahui bahwa penduduk di pulau itu terdiri atas kelompok alim dan kelompok pendusta. Anda bertemu dengan dua orang, yaitu Pluck dan Qluck. Pluck berkata, “Setidaknya salah satu di antara kami adalah pendusta”. Qluck tidak mengatakan apa-apa. Apakah Anda dapat mengetahui siapa yang termasuk kelompok alim dan siapa yang termasuk kelompok pendusta?

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

19 / 49


Latihan (The Bank Robbery) Lima orang residivis: Abby, Heather, Kevin, Randy, dan Vijay, dicurigai terlibat dalam suatu perampokan bank. Polisi tidak mengetahui dengan pasti siapa saja di antara lima orang tersebut yang terlibat dalam perampokan bank, namun berdasarkan informasi seorang detektif, polisi mengetahui bahwa fakta-fakta berikut: 1

Kevin atau Heather, atau keduanya, terlibat perampokan.

2

Salah satu dari Randy atau Vijay, tetapi tidak keduanya, terlibat perampokan.

3

Jika Abby ikut merampok bank, maka Randy juga ikut dalam perampokan.

4

Vijay dan Kevin keduanya ikut dalam perampokan, atau tidak sama sekali.

5

Jika Heather ikut merampok, maka Abby dan Kevin juga ikut dalam perampokan.

Siapa saja yang terlibat dalam perampokan tersebut?

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

20 / 49


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

21 / 49


Argumen Logika

Argumen Logika Argumen (logika) adalah sebuah barisan (berhingga) proposisi. Seluruh proposisi, kecuali yang terakhir, disebut premis (asumsi/ hipotesis), sedangkan proposisi yang terakhir disebut kesimpulan (konklusi). Sebuah argumen dikatakan absah/ kukuh/ berlaku (valid/ sound) apabila kebenaran seluruh premisnya mengimplikasikan kebenaran kesimpulannya.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

22 / 49


Argumen Logika

Argumen Logika Argumen (logika) adalah sebuah barisan (berhingga) proposisi. Seluruh proposisi, kecuali yang terakhir, disebut premis (asumsi/ hipotesis), sedangkan proposisi yang terakhir disebut kesimpulan (konklusi). Sebuah argumen dikatakan absah/ kukuh/ berlaku (valid/ sound) apabila kebenaran seluruh premisnya mengimplikasikan kebenaran kesimpulannya. Dari de…nisi di atas, suatu argumen dengan premis p1 ; p2 ; : : : ; pn dan kesimpulan q absah ketika (p1 ^ p2 ^ ^ pn ) ) q , atau dengan perkataan lain (p1 ^ p2 ^ ^ pn ) ! q adalah suatu tautologi.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

22 / 49


Aturan Inferensi Dasar pada Logika Proposisi Aturan inferensi dasar (aturan penarikan kesimpulan dasar) pada logika proposisi terdiri atas 1

modus ponens

2

modus tollens

3

introduksi negasi ganda

4

eliminasi negasi ganda

5

silogisme hipotetik

6

silogisme disjungtif

7

penambahan (adisi/ addition)

8

penyederhanaan (simpli…kasi/ simpli…cation)

9

konjungsi

10

resolusi

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

23 / 49


Modus Ponens Modus Ponens Misalkan p dan q adalah proposisi, p!q p )q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

24 / 49


Modus Ponens Modus Ponens Misalkan p dan q adalah proposisi, p!q p )q Perhatikan bahwa ((p ! q) ^ p) ! q adalah suatu tautologi, sehingga berlaku ((p ! q) ^ p) ) q.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

24 / 49



Contoh Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Andre kuliah di Tel-U.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

24 / 49



Contoh Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Andre kuliah di Tel-U. ) Andre tinggal di Indonesia. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

24 / 49


Modus Tollens Modus Tollens Misalkan p dan q adalah proposisi. p!q :q ) :p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

25 / 49


Modus Tollens Modus Tollens Misalkan p dan q adalah proposisi. p!q :q ) :p Perhatikan bahwa ((p ! q) ^ :q) ! :p adalah suatu tautologi, sehingga berlaku ((p ! q) ^ :q) ) :p.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

25 / 49



Contoh Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Andre tidak tinggal di Indonesia.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

25 / 49



Contoh Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Andre tidak tinggal di Indonesia. ) Andre tidak kuliah di Tel-U. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

25 / 49


Introduksi Negasi Ganda

Introduksi Negasi Ganda Misalkan p adalah proposisi. p ) ::p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

26 / 49



Introduksi Negasi Ganda Misalkan p adalah proposisi. p ) ::p Perhatikan bahwa p ! ::p adalah suatu tautologi, sehingga berlaku p ) ::p.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

26 / 49




Contoh Andre kuliah di Tel-U.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

26 / 49




Contoh Andre kuliah di Tel-U. ) Tidak benar bahwa Andre tidak kuliah di Tel-U.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

26 / 49


Eliminari Negasi Ganda

Eliminasi Negasi Ganda Misalkan p adalah proposisi. ::p )p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

27 / 49



Eliminasi Negasi Ganda Misalkan p adalah proposisi. ::p )p Perhatikan bahwa ::p ! p adalah suatu tautologi, sehingga berlaku ::p ) p.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

27 / 49




Contoh Tidak benar bahwa Andre tidak kuliah di Tel-U.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

27 / 49




Contoh Tidak benar bahwa Andre tidak kuliah di Tel-U. ) Andre kuliah di Tel-U.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

27 / 49


Silogisme Hipotetik (Hypothetical Syllogism) Silogisme Hipotetik (Hypothetical Syllogism) Misalkan p; q; r adalah proposisi. p!q q!r )p!r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

28 / 49


Silogisme Hipotetik (Hypothetical Syllogism) Silogisme Hipotetik (Hypothetical Syllogism) Misalkan p; q; r adalah proposisi. p!q q!r )p!r Perhatikan bahwa ((p ! q) ^ (q ! r)) ! (p ! r) adalah suatu tautologi, sehingga berlaku ((p ! q) ^ (q ! r)) ) (p ! r).

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

28 / 49



Contoh Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Jika Andre tinggal di Indonesia, maka Andre tinggal di Bumi.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

28 / 49



Contoh Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Indonesia. Jika Andre tinggal di Indonesia, maka Andre tinggal di Bumi. ) Jika Andre kuliah di Tel-U, maka Andre tinggal di Bumi. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

28 / 49


Silogisme Disjungtif (Disjunctive Syllogism) Silogisme Disjungtif (Disjunctive Syllogism) Misalkan p dan q adalah proposisi. p_q :p )q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

29 / 49


Silogisme Disjungtif (Disjunctive Syllogism) Silogisme Disjungtif (Disjunctive Syllogism) Misalkan p dan q adalah proposisi. p_q :p )q Perhatikan bahwa ((p _ q) ^ :p) ! q adalah suatu tautologi, sehingga berlaku ((p _ q) ^ :p) ) q.

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

29 / 49



Contoh Andre seorang mahasiswa atau Andre seorang dosen. Andre bukan seorang mahasiswa.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

29 / 49



Contoh Andre seorang mahasiswa atau Andre seorang dosen. Andre bukan seorang mahasiswa. ) Andre seorang dosen. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

29 / 49


Penambahan (Addition/ Disjunction Introduction) Penambahan(Addition/ Disjunction Introduction) Misalkan p dan q adalah proposisi. p )p_q

MZI (FIF Tel-U)

q )p_q

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

30 / 49



q )p_q

Perhatikan bahwa p ! (p _ q) dan q ! (p _ q) adalah tautologi, sehingga berlaku p ) (p _ q) dan q ) (p _ q).

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

30 / 49



q )p_q


Contoh Andre seorang mahasiswa.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

30 / 49



q )p_q


Contoh Andre seorang mahasiswa. ) Andre seorang mahasiswa atau Andre seorang satpam.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

30 / 49

Penyederhanaan/ Simpli…kasi (Simpli…cation/ Conjunction Elimination) Penyederhanaan/ Simpli…kasi (Simpli…cation/ Conjunction Elimination) Misalkan p dan q adalah proposisi. p^q )p

p^q )q


p^q )q

Perhatikan bahwa (p ^ q) ! p dan (p ^ q) ! q adalah tautologi, sehingga berlaku (p ^ q) ) p dan (p ^ q) ) q.

Contoh


p^q )q


Contoh Andre kuliah di Tel-U dan Andre tinggal di Bandung.


p^q )q


Contoh Andre kuliah di Tel-U dan Andre tinggal di Bandung. ) Andre kuliah di Tel-U.


p^q )q


Contoh Andre kuliah di Tel-U dan Andre tinggal di Bandung. ) Andre kuliah di Tel-U. Kita juga dapat menyimpulkan bahwa “Andre tinggal di Bandung”.


Konjungsi (Conjunction/ Conjunction Introduction) Konjungsi (Conjunction/ Conjunction Introduction) Misalkan p dan q adalah proposisi. p q )p^q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

32 / 49


Konjungsi (Conjunction/ Conjunction Introduction) Konjungsi (Conjunction/ Conjunction Introduction) Misalkan p dan q adalah proposisi. p q )p^q Perhatikan bahwa (p ^ q) ! (p ^ q) adalah suatu tautologi, sehingga berlaku (p ^ q) ) (p ^ q).

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

32 / 49



Contoh Andre kuliah di Tel-U. Andre tinggal di Cimahi.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

32 / 49



Contoh Andre kuliah di Tel-U. Andre tinggal di Cimahi. ) Andre kuliah di Tel-U dan tinggal di Cimahi. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

32 / 49


Resolusi Resolusi Misalkan p; q; r adalah proposisi. p_q :p _ r )q_r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

33 / 49


Resolusi Resolusi Misalkan p; q; r adalah proposisi. p_q :p _ r )q_r Perhatikan bahwa ((p _ q) ^ (:p _ r)) ! (q _ r) adalah tautologi, sehingga berlaku ((p _ q) ^ (:p _ r)) ) (q _ r).

Contoh

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

33 / 49



Contoh Andre seorang mahasiswa atau Andre seorang satpam. Andre bukan seorang mahasiswa atau Andre seorang dosen.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

33 / 49



Contoh Andre seorang mahasiswa atau Andre seorang satpam. Andre bukan seorang mahasiswa atau Andre seorang dosen. ) Andre seorang satpam atau Andre seorang dosen. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

33 / 49


Resolusi merupakan aturan inferensi yang dipakai komputer untuk melakukan penalaran otomatis (automatic reasoing ). Pada p_q :p _ r )q_r q _ r disebut resolven (resolvent).

Dalam resolusi, semua premis dan kesimpulan dinyatakan dalam bentuk klausa (clause). Klausa: disjungsi dari variabel-variabel proposisi atau negasi variabel-variabel proposisi (atau kombinasinya).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

34 / 49


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

35 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi: 1 2 3

p_q !r^s

(premis)

p

(premis)

(premis)

s_t!u

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi: 1 2 3 4

p_q !r^s

(premis)

p

(premis)

(premis)

s_t!u

(penambahan dari 3)

p_q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi: 1 2 3 4 5

p_q !r^s

(premis)

p

(premis)

(premis)

s_t!u

(penambahan dari 3)

p_q

(modus ponens dari 1 dan 4)

r^s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi: 1 2 3 4 5 6

p_q !r^s

(premis)

p

(premis)

(premis)

s_t!u

(penambahan dari 3)

p_q


r^s

(simpli…kasi dari 5)

s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi: 1 2 3 4 5 6 7

p_q !r^s

(premis)

p

(premis)

(premis)

s_t!u

(penambahan dari 3)

p_q r^s


s_t

(penambahan dari 6)


s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (1) Latihan Periksa apakah premis-premis p _ q ! r ^ s, s _ t ! u, dan p memberikan kesimpulan u. Solusi: 1 2 3 4 5 6 7 8

p_q !r^s

(premis)

p

(premis)

(premis)

s_t!u

(penambahan dari 3)

p_q


r^s


s

(penambahan dari 6)

s_t


u

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

36 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (2) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “hari ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin”, “kita akan pergi ke pantai hanya bila hari sedang cerah”, “jika kita tidak pergi ke pantai, maka kita akan pergi ke gunung”, “jika kita pergi ke gunung, maka kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (2) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “hari ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin”, “kita akan pergi ke pantai hanya bila hari sedang cerah”, “jika kita tidak pergi ke pantai, maka kita akan pergi ke gunung”, “jika kita pergi ke gunung, maka kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Solusi: misalkan p : “hari ini cerah”, q : “hari ini lebih dingin dari kemarin”, r : “kita akan pergi ke pantai”, s : “kita akan pergi ke gunung”, t : “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (2) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “hari ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin”, “kita akan pergi ke pantai hanya bila hari sedang cerah”, “jika kita tidak pergi ke pantai, maka kita akan pergi ke gunung”, “jika kita pergi ke gunung, maka kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Solusi: misalkan p : “hari ini cerah”, q : “hari ini lebih dingin dari kemarin”, r : “kita akan pergi ke pantai”, s : “kita akan pergi ke gunung”, t : “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai :p ^ q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (2) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “hari ini tidak cerah dan lebih dingin dari kemarin”, “kita akan pergi ke pantai hanya bila hari sedang cerah”, “jika kita tidak pergi ke pantai, maka kita akan pergi ke gunung”, “jika kita pergi ke gunung, maka kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Solusi: misalkan p : “hari ini cerah”, q : “hari ini lebih dingin dari kemarin”, r : “kita akan pergi ke pantai”, s : “kita akan pergi ke gunung”, t : “kita akan tiba di rumah pada malam hari”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai :p ^ q r!p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49



:r ! s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49



:r ! s s!t Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49



:r ! s s!t Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan t melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid). MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

37 / 49


1 2 3 4

:p ^ q

(premis)

:r ! s

(premis)

(premis)

r!p

(premis)

s!t

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

38 / 49


1 2 3 4 5

:p ^ q

(premis)

:r ! s

(premis)

(premis)

r!p

(premis)

s!t


:p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

38 / 49


1 2 3 4 5 6

:p ^ q

(premis)

:r ! s

(premis)

(premis)

r!p

(premis)

s!t


:p

(modus tollens dari 2 dan 5)

:r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

38 / 49


1 2 3 4 5 6 7

:p ^ q

(premis)

:r ! s

(premis)

(premis)

r!p

(premis)

s!t


:p


:r


s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

38 / 49


1 2 3 4 5 6 7 8

:p ^ q

(premis)

:r ! s

(premis)

(premis)

r!p

(premis)

s!t


:p


:r s


t


Jadi penarikan kesimpulan yang dilakukan absah (valid).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

38 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (3)

Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika Budi mengirim email pada Cecep, maka Cecep akan mengerjakan tugas Algoritma dan Struktur Data”, “jika Budi tidak mengirim email pada Cecep, maka Cecep akan bermain komputer hingga tengah malam”, “jika Cecep bermain komputer hingga tengah malam, maka Cecep akan mengantuk di kelas Logika Matematika”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “jika Cecep tidak mengerjakan tugas Algoritma dan Struktur Data, maka Cecep akan mengantuk di kelas Logika Matematika”.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

39 / 49


Solusi: misalkan p : “Budi mengirim email pada Cecep”, q : “Cecep mengerjakan tugas Algoritma dan Struktur Data”, r : “Cecep bermain komputer hingga tengah malam”, dan s : “Cecep mengantuk di kelas Logika Matematika”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49


Solusi: misalkan p : “Budi mengirim email pada Cecep”, q : “Cecep mengerjakan tugas Algoritma dan Struktur Data”, r : “Cecep bermain komputer hingga tengah malam”, dan s : “Cecep mengantuk di kelas Logika Matematika”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p

MZI (FIF Tel-U)

! q

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49


Solusi: misalkan p : “Budi mengirim email pada Cecep”, q : “Cecep mengerjakan tugas Algoritma dan Struktur Data”, r : “Cecep bermain komputer hingga tengah malam”, dan s : “Cecep mengantuk di kelas Logika Matematika”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p :p

MZI (FIF Tel-U)

! q

! r

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49


Solusi: misalkan p : “Budi mengirim email pada Cecep”, q : “Cecep mengerjakan tugas Algoritma dan Struktur Data”, r : “Cecep bermain komputer hingga tengah malam”, dan s : “Cecep mengantuk di kelas Logika Matematika”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p :p r

! q

! r

! s

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49



! q

! r

! s

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan :q ! s melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49



! q

! r

! s

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan :q ! s melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid). 1 2 3

(premis) (premis) (premis)

p!q :p ! r r!s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49



! q

! r

! s

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan :q ! s melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid). 1 2 3 4

(premis) (premis) (premis) (kontrapositif dari 1)

p!q :p ! r r!s :q ! :p

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49



! q

! r

! s

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan :q ! s melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid). 1 2 3 4 5

(premis) (premis) (premis) (kontrapositif dari 1) (silogisme hipotetik dari 4 dan 2)

p!q :p ! r r!s :q ! :p :q ! r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49



! q

! r

! s

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan :q ! s melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid). 1 2 3 4 5 6

(premis) (premis) (premis) (kontrapositif dari 1) (silogisme hipotetik dari 4 dan 2) (silogisme hipotetik dari 5 dan 3).

p!q :p ! r r!s :q ! :p :q ! r :q ! s

Jadi penarikan kesimpulan yang dilakukan absah (valid). MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

40 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (4) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini hujan dan terjadi angin kencang, maka timbul banjir”, “jika timbul banjir, maka rakyat menderita”, “hari ini terjadi angin kencang, tetapi rakyat tidak menderita”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “hari ini tidak hujan”. Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

41 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (4) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini hujan dan terjadi angin kencang, maka timbul banjir”, “jika timbul banjir, maka rakyat menderita”, “hari ini terjadi angin kencang, tetapi rakyat tidak menderita”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “hari ini tidak hujan”. Solusi: misalkan p : “hari ini hujan”, q : “hari ini terjadi angin kencang”, r : “timbul banjir”, s : “rakyat menderita”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

41 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (4) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini hujan dan terjadi angin kencang, maka timbul banjir”, “jika timbul banjir, maka rakyat menderita”, “hari ini terjadi angin kencang, tetapi rakyat tidak menderita”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “hari ini tidak hujan”. Solusi: misalkan p : “hari ini hujan”, q : “hari ini terjadi angin kencang”, r : “timbul banjir”, s : “rakyat menderita”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p^q !r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

41 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (4) Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini hujan dan terjadi angin kencang, maka timbul banjir”, “jika timbul banjir, maka rakyat menderita”, “hari ini terjadi angin kencang, tetapi rakyat tidak menderita”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “hari ini tidak hujan”. Solusi: misalkan p : “hari ini hujan”, q : “hari ini terjadi angin kencang”, r : “timbul banjir”, s : “rakyat menderita”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p^q !r r!s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

41 / 49



q ^ :s Akan diperiksa apakah dari premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

41 / 49



q ^ :s Akan diperiksa apakah dari premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan :p melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid). MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

41 / 49


1 2 3

p^q !r

(premis)

q ^ :s

(premis)

(premis)

r!s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


1 2 3 4

(premis)

p^q !r

(premis)

r!s

(premis) (simpli…kasi dari 3)

q ^ :s :s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


1 2 3 4 5

(premis)

p^q !r

(premis)

r!s


q ^ :s :s


:r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


1 2 3 4 5 6

(premis)

p^q !r

(premis)

r!s


q ^ :s :s


:r


: (p ^ q)

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


1 2 3 4 5 6 7

(premis)

p^q !r

(premis)

r!s


q ^ :s :s


:r


: (p ^ q)

(hukum De Morgan dari 6)

:p _ :q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


1 2 3 4 5 6 7 8

(premis)

p^q !r

(premis)

r!s


q ^ :s :s


:r


: (p ^ q)


:p _ :q


q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


1 2 3 4 5 6 7 8 9

(premis)

p^q !r

(premis)

r!s


q ^ :s :s


:r


: (p ^ q)


:p _ :q


q

(silogisme disjungtif dari 7 dan 8).

:p

Jadi penarikan kesimpulan yang dilakukan absah (valid).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

42 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

43 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi: 1 2

(premis)

(p ^ q) _ r

(premis)

r!s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

43 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi: 1 2 3

(premis)

(p ^ q) _ r

(premis)

r!s

(sifat distributif dari 1)

(p _ r) ^ (q _ r)

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

43 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi: 1 2 3 4

(premis)

(p ^ q) _ r

(premis)

r!s


(p _ r) ^ (q _ r)

(ekuivalensi r ! s

:r _ s

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

:r _ s dari 2)

Agustus 2015

43 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi: 1 2 3 4 5

(premis)

(p ^ q) _ r

(premis)

r!s


(p _ r) ^ (q _ r)

(ekuivalensi r ! s

:r _ s


p_r

MZI (FIF Tel-U)

:r _ s dari 2)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

43 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi: 1 2 3 4 5 6

(premis)

(p ^ q) _ r

(premis)

r!s


(p _ r) ^ (q _ r)

(ekuivalensi r ! s

:r _ s


p_r

(sifat komutatif dari 4)

s _ :r

MZI (FIF Tel-U)

:r _ s dari 2)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

43 / 49


Latihan Inferensi Logika Proposisi (5) Latihan Periksa apakah dari premis-premis (p ^ q) _ r dan r ! s memberikan kesimpulan p _ s. Solusi: 1 2 3 4 5 6 7

(premis)

(p ^ q) _ r

(premis)

r!s


(p _ r) ^ (q _ r)

(ekuivalensi r ! s

:r _ s


p_r

(sifat komutatif dari 4)

s _ :r

(resolusi dari 5 dan 6)

p_s

MZI (FIF Tel-U)

:r _ s dari 2)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

43 / 49



Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini turun salju, maka Alex bermain ski”, “jika hari ini tidak turun salju maka Bryan bermain hoki”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “Alex bermain ski atau Bryan bermain hoki”. Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

44 / 49



Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini turun salju, maka Alex bermain ski”, “jika hari ini tidak turun salju maka Bryan bermain hoki”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “Alex bermain ski atau Bryan bermain hoki”. Solusi: misalkan p :“hari ini turun salju”, q :“Alex bermain ski”, r :“Bryan bermain hoki”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

44 / 49



Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini turun salju, maka Alex bermain ski”, “jika hari ini tidak turun salju maka Bryan bermain hoki”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “Alex bermain ski atau Bryan bermain hoki”. Solusi: misalkan p :“hari ini turun salju”, q :“Alex bermain ski”, r :“Bryan bermain hoki”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p

MZI (FIF Tel-U)

! q

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

44 / 49



Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini turun salju, maka Alex bermain ski”, “jika hari ini tidak turun salju maka Bryan bermain hoki”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “Alex bermain ski atau Bryan bermain hoki”. Solusi: misalkan p :“hari ini turun salju”, q :“Alex bermain ski”, r :“Bryan bermain hoki”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p :p

! q

! r

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

44 / 49



Latihan Diberikan pernyataan-pernyataan berikut: “jika hari ini turun salju, maka Alex bermain ski”, “jika hari ini tidak turun salju maka Bryan bermain hoki”. Periksa apakah dari pernyataan-pernyataan di atas dapat disimpulkan bahwa “Alex bermain ski atau Bryan bermain hoki”. Solusi: misalkan p :“hari ini turun salju”, q :“Alex bermain ski”, r :“Bryan bermain hoki”. Kumpulan premis-premis pada soal dapat ditulis sebagai p :p

! q

! r

Akan diperiksa apakah dengan premis-premis di atas dapat diperoleh kesimpulan q _ r melalui aturan-aturan inferensi yang absah (valid).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

44 / 49


1 2

(premis)

p!q

(premis)

:p ! r

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

45 / 49


1 2 3

(premis)

p!q

(premis)

:p ! r

(ekuivalensi p ! q

:p _ q

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

:p _ q dari 1)

Agustus 2015

45 / 49


1 2 3 4

(premis)

p!q

(premis)

:p ! r

:p _ q

::p _ r

MZI (FIF Tel-U)

(ekuivalensi p ! q

(ekuivalensi :p ! r

Logika Proposisi 3

:p _ q dari 1)

::p _ r dari 2)

Agustus 2015

45 / 49


1 2 3 4 5

(premis)

p!q

(premis)

:p ! r

:p _ q

::p _ r p_r

MZI (FIF Tel-U)

(ekuivalensi p ! q

(ekuivalensi :p ! r

:p _ q dari 1)

::p _ r dari 2)

(eliminasi negasi ganda ::p dari 4)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

45 / 49


1 2 3 4 5 6

(premis)

p!q

(premis)

:p ! r

:p _ q

::p _ r p_r

(ekuivalensi p ! q

(ekuivalensi :p ! r

::p _ r dari 2)

(eliminasi negasi ganda ::p dari 4) (resolusi dari 5 dan 3).

q_r

MZI (FIF Tel-U)

:p _ q dari 1)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

45 / 49


Bahasan

1


2


3


4


5


6


MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

46 / 49


Latihan: Memeriksa Keabsahan Argumen (1) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Jadi Andre rajin belajar. Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

47 / 49


Latihan: Memeriksa Keabsahan Argumen (1) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Jadi Andre rajin belajar. Solusi: Misalkan p : “Andre rajin belajar” dan q : “nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A”.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

47 / 49


Latihan: Memeriksa Keabsahan Argumen (1) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Jadi Andre rajin belajar. Solusi: Misalkan p : “Andre rajin belajar” dan q : “nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A”. Pada penarikan kesimpulan di atas, kita memiliki premis p ! q dan q, serta kesimpulan p.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

47 / 49


Latihan: Memeriksa Keabsahan Argumen (1) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Jadi Andre rajin belajar. Solusi: Misalkan p : “Andre rajin belajar” dan q : “nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A”. Pada penarikan kesimpulan di atas, kita memiliki premis p ! q dan q, serta kesimpulan p. Penarikan kesimpulan di atas tidak absah karena ((p ! q) ^ q) ! p bukan tautologi (mengapa bukan tautologi?).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

47 / 49


Latihan: Memeriksa Keabsahan Argumen (1) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Jadi Andre rajin belajar. Solusi: Misalkan p : “Andre rajin belajar” dan q : “nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A”. Pada penarikan kesimpulan di atas, kita memiliki premis p ! q dan q, serta kesimpulan p. Penarikan kesimpulan di atas tidak absah karena ((p ! q) ^ q) ! p bukan tautologi (mengapa bukan tautologi?). Kesalahan seperti ini disebut kekeliruan dalam pembenaran akibat (fallacy of a¢ rming the conclusion/ consequent) atau kekeliruan konvers (converse error ). MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

47 / 49


Latihan: Memeriksa Kebenaran Argumen (2) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Andre tidak rajin belajar Nilai akhir Logika Matematika Andre bukan A Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

48 / 49


Latihan: Memeriksa Kebenaran Argumen (2) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Andre tidak rajin belajar Nilai akhir Logika Matematika Andre bukan A Solusi: Misalkan p : “Andre rajin belajar” dan q : “nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A”.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

48 / 49


Latihan: Memeriksa Kebenaran Argumen (2) Latihan Periksa apakah penarikan kesimpulan berikut absah atau tidak. Jelaskan jawaban Anda. Jika Andre rajin belajar, maka nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A. Andre tidak rajin belajar Nilai akhir Logika Matematika Andre bukan A Solusi: Misalkan p : “Andre rajin belajar” dan q : “nilai akhir Logika Matematika Andre adalah A”. Pada penarikan kesimpulan di atas, kita memiliki premis p ! q dan :p, serta kesimpulan :q.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

48 / 49



Penarikan kesimpulan di atas tidak absah karena ((p ! q) ^ :p) ! :q bukan tautologi (mengapa bukan tautologi?).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

48 / 49



Penarikan kesimpulan di atas tidak absah karena ((p ! q) ^ :p) ! :q bukan tautologi (mengapa bukan tautologi?).

Kesalahan seperti ini disebut kekeliruan dalam menyangkal hipotesis (fallacy of denying the hypothesis/ antecedent) atau kekeliruan invers (inverse error ). MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

48 / 49


Latihan: Memeriksa Kebenaran Argumen (3) Latihan Periksa apakah argumen berikut absah (valid). p p 2 p 2 Jika 2 > 32 , maka 2 > 32 . Kita mengetahui bahwa 2 > 23 . Akibatnya p 2 2 dapat disimpulkan bahwa 2 > 32 , atau dengan perkataan lain 2 > 94 . Solusi:

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

49 / 49



p p Misalkan p : 2 > 32 dan q : 2 ditulis sebagai 2 > 49 .

MZI (FIF Tel-U)

2

>

3 2 2 .

Logika Proposisi 3

Perhatikan bahwa q juga dapat

Agustus 2015

49 / 49




2

>

3 2 2 .


Argumen di atas memiliki premis p ! q dan p, serta kesimpulan q.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

49 / 49




2

>

3 2 2 .



Jadi argumen di atas absah, karena dibangun memakai aturan modus ponens yang absah (valid).

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

49 / 49




2

>

3 2 2 .



Jadi argumen di atas absah, karena dibangun memakai aturan modus ponens yang absah (valid). Akan tetapi, karena p salah, kita tidak dapat menyimpulkan bahwa kesimpulan dari argumen di atas benar.

MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

49 / 49




2

>

3 2 2 .



Jadi argumen di atas absah, karena dibangun memakai aturan modus ponens yang absah (valid). Akan tetapi, karena p salah, kita tidak dapat menyimpulkan bahwa kesimpulan dari argumen di atas benar. Lebih lanjut, kita juga mengetahui bahwa kesimpulan dari argumen di atas, yaitu 2 > 94 , bernilai salah. MZI (FIF Tel-U)

Logika Proposisi 3

Agustus 2015

49 / 49

Logika Proposisi 3: Translasi Bahasa Alami ke Formula Logika Proposisi Masalah Dalam Inferensi Logika Proposisi

Recommend Documents