Logika, Himpunan, dan Fungsi

Logika, Himpunan, dan Fungsi A. Logika Matematika Definisi Logika matematika adalah ilmu untuk berpikir dan menalar dengan menggunakan bahasa serta simbol-simbol matematika dengan benar. 1) Kalimat Matematika Definisi Kalimat matematika adalah kumpulan kata yang mengungkapkan suatu konsep pikiran dan perkataan. a) Kalimat Tertutup Definisi Kalimat tertutup adalah suatu kalimat yang dapat dinyatakan nilai kebenarannya, bernilai benar atau salah, dan tidak keduanya. Contoh: Tomy : Siapakah presiden pertama Republik Indonesia? Rizky : Presiden pertama Republik Indonesia adalah Ir. Soekarno. Tomy : Berapakah dua ditambah lima? Rizky : Dua ditambah lima sama dengan tujuh. Tomy : Berapakah enam dikurang satu? Rizky : Enam dikurang satu adalah sepuluh. b) Kalimat Terbuka Definisi Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya, bernilai benar saja atau salah saja. Variabel atau peubah adalah simbol yang ditulis dengan huruf kecil. Contoh:  Negara Republik Indonesia ibukotanya 𝑥.  Provinsi 𝑚 terletak di Sulawesi.  Dua ditambah 𝑎 sama dengan delapan.  𝑏 + 28 = 40  𝑥 + 4 = 10 c)

Kalimat Berkuantor Definisi Kalimat berkuantor adalah kalimat terbuka dalam pembicaraan. (1) Kuantor Semua Definisi Kuantor semua adalah kalimat terbuka yang menggambarkan seluruh objek, dinotsikan “ ∀ “. Contoh:  Semua kelipatan 2 adalah bilangan genap.  ∀ kelipatan 2 = bilangan genap. (2) Kuantor Beberapa Definisi Kuantor beberapa adalah kalimat terbuka yang menggambarkan beberapa objek, dinotsikan “ ∃ “. Contoh:  Beberapa siswa tidak masuk sekolah karena sakit.  ∃ siswa tidak masuk sekolah karena sakit. 1

2) Kata Penghubung Definisi Kata penghubung adalah kata-kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat. a) Dan Definisi Kata penghubung dan adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk semuanya. Dinotasikan '∧'. Contoh:  Saya sekolah di SMP Negeri 2 Pare dan saya tinggal di kecamatan Pare.  13 adalah bilangan ganjil dan bilangan prima. b) Atau Definisi Kata penghubung atau adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan kalimat dengan kalimat serta berlaku untuk salah satu. Dinotasikan '∨'. Contoh:  Setelah lulus SD, saya akan sekolah di SMP atau MTs.  Saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara atau ke arah selatan. c)

Jika ..., maka ... Definisi Kata penghubung Jika ..., maka ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan suatu keinginan yang belum terpenuhi, tetapi bermaksud untuk melakukan hal tersebut. Dinotasikan '⇒'. Contoh:  Jika saya berangkat sekolah lewat jalan ke arah utara, maka akan terlambat masuk sekolah.

d) ... jika dan hanya jika ... Definisi Kata penghubung ... jika dan hanya jika ... adalah kata yang digunakan untuk menghubungkan dan mengandaikan keinginan yang harus dipenuhi. Dinotasikan '⇔'. Contoh:  𝑥 = 3, jika dan hanya jika 4𝑥 = 12.  𝑥 = 3 ⇔ 4𝑥 = 12. B. Himpunan 1) Pengertian Himpunan Definisi Himpunan adalah sekumpulan objek yang dapat dinyatanan dengan jelas. Himpunan dinotasikan dalam huruf Kapital, misalnya: 𝐴, 𝐵, 𝐶, dll. Contoh:  Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan binatang berkaki empat! Jawab: Kumpulan binatang berkaki empat merupakan himpunan karena kita dapat mendefinisikan dengan jelas binatang yang berkaki empat dan binatang yang tidak berkaki empat.  Tentukan, apakah pernyataan berikut merupakan himpunan atau bukan himpunan. Kumpulan makanan enak! Jawab: Kumpulan makanan enak bukan merupakan himpunan karena kita tidak dapat mendefinisikan dengan jelas makanan yang enak dan yang tidak enak.

2

Makanan yang enak sangat bergantung pada orang yang merasakannya dan tidak sama menurut setiap orang. 2) Elemen atau Anggota Definisi Elemen atau anggota adalah setiap objek yang termasuk dalam sebuah himpunan. Elemen dinotasikan dalam huruf Kecil, misalnya: 𝑎, 𝑏, 𝑐, dll. Contoh: 𝐴 = {1,2,3} 𝑎 = 3, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑎 ∈ 𝐴 𝑏 = 4, 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑏 ∉ 𝐴 Jika 𝑎 termasuk dalam anggota himpunan 𝐴, maka ditulis 𝑎 ∈ 𝐴 (dibaca 𝑎 merupakan anggota dari himpunan 𝐴) Jika 𝑏 tidak termasuk dalam anggota himpunan 𝐴, maka ditulis 𝑏 ∉ 𝐴 (dibaca 𝑏 bukan anggota dari himpunan 𝐴) 3) Diagram Venn Definisi Diagram venn merupakan suatu cara untuk menyajikan suatu himpunan. Contoh : 𝑆 = {−2, −1,0,1,2, }

4) Himpunan Bagian Definisi Himpunan 𝐴 dikatakan himpunan bagian dari 𝐵, jika dan hanya jika setiap anggota 𝐴 juga anggota pada 𝐵. Dinotasikan 𝐴 ⊂ 𝐵.

Contoh : 𝐴 = {1,3,5,7} 𝐵 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 𝑆 = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} Jawab:

3

5) Himpunan Kuasa Definisi Himpunan Kuasa dari himpunan 𝐴 adalah semua himpunan bagian dari A, dilambangkan dengan 𝑃(𝐴). Banyaknya anggota himpunan kuasa dari himpunan 𝐴 dinotasikan dengan 𝑛(𝑃(𝐴)) = 2𝑘 . Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,3,5}, carilah himpunan kuasa yang merupakan himpunan bagian dari 𝐴. Jawab: Himpunan-himpunan yang merupakan himpunan bagian dari 𝐴 adalah:  Himpunan yang banyak anggotanya 0 adalah 1, yaitu: ∅.  Himpunan yang banyak anggotanya 1 adalah 3, yaitu {1}, {3}, {5}  Himpunan yang banyak anggotanya 2 adalah 3, yaitu {1,3}, {1,5}, {3,5}  Himpunan yang banyak anggotanya 3 adalah 1, yaitu {1,3,5} 𝑃(𝐴) = {∅, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5}, {1,3,5}}. 𝑛(𝑃(𝐴)) = 23 = 8. 6) Operasi Himpunan a) Irisan Definisi Irisan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 dan himpunan 𝐵, dinotasikan dengan 𝐴 ∩ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∩ 𝐵! Jawab:

Jadi, 𝐴 ∩ 𝐵 = {2}. b) Gabungan Definisi Gabungan dari himpunan 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan yang terdiri dari himpunan 𝐴 atau himpunan 𝐵 atau semuanya, dinotasikan dengan 𝐴 ∪ 𝐵 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝐴 atau 𝑥 ∈ 𝐵}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1, 2} dan 𝐵 = {2, 3, 4, 5}, carilah 𝐴 ∪ 𝐵!

4

Jawab:

Jadi, 𝐴 ∪ 𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5} c)

Komplemen Definisi Komplemen dari 𝐴 adalah himpunan yang tediri atas semua anggota 𝑆 tetapi bukan anggota 𝐴, dinotasikan 𝐴′ atau 𝐴𝑐 = {𝑥|𝑥 ∈ 𝑆 𝑑𝑎𝑛 𝑥 ∉ 𝐴}.

Contoh: Diberikan himpunan 𝑆 = {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝐴 = {1, 2, 3}, carilah 𝐴𝑐 ! Jawab:

Jadi, 𝐴𝑐 = {4, 5}. C. Relasi Definisi Misalkan 𝐴 dan 𝐵 dua buah himpunan. Relasi pasangan berurutan dari 𝐴 ke 𝐵 adalah suatu aturan yang memasangkan semua anggota himpunan 𝐴 ke semua anggota himpunan 𝐵. Dapat ditulis 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|∀(𝑥 ∈ 𝐴 dan 𝑦 ∈ 𝐵), 𝐴, 𝐵 ∈ ℝ}

D. Sifat-sifat Relasi 1) Relasi Reflektif Definisi (Pengertian) Misalkan 𝐵 sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan 𝐴. Relasi 𝐵 dikatakan bersifat reflektif jika semua 𝑎 ∈ 𝐴, maka berlaku (𝑎, 𝑎) ∈ 𝐴. Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,2,3}. Didefinisikan relasi 𝐵 pada himpunan 𝐴 dengan hasil relasi adalah himpunan 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Apakah relasi 𝐵 tersebut bersifat reflektif?

5

Diketahui: 𝐴 = {1,2,3}, dan 𝐵 = 𝐴 × 𝐴 = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)} Jawab: Jika semua 𝑎 ∈ 𝐴 maka berlaku (𝑎, 𝑎) ∈ 𝐴 (1,2) ∈ {1,2,3} (1,3) ∈ {1,2,3} (2,3) ∈ {1,2,3}

Jadi, Relasi 𝐵 tersebut bersifat reflektif karena semua anggota himpunan 𝐴 berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri. 2) Relasi Simetris Definisi (Pengertian) Misalkan 𝐵 sebuah relasi pada sebuah himpunan 𝐴. Relasi 𝑅 dikatakan bersifat simetris, jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵, maka berlaku (𝑦, 𝑥) ∈ 𝐵. Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {2,4,5}. Didefinisikan relasi 𝐵 pada himpunan 𝐴 dengan 𝐵 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 kelipatan 𝑦, dan 𝑥, 𝑦 ∈ 𝐴}, maka diperoleh 𝐵 = {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)}. Diketahui: 𝐴 = {2,4,5}, dan 𝐵 = {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)} Jawab: jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵, maka berlaku (𝑦, 𝑥) ∈ 𝐵 (2,2) ∈ {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)} (2,4) ∉ {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)} (4,2) ∈ {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)} (4,4) ∈ {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)} (5,5) ∈ {(2,2), (4,2), (4,4), (5,5)} Jadi, relasi 𝐵 tersebut tidak bersifat simetris karena (4,2) ∈ 𝐵 tetapi (2,4) ∉ 𝐵. 3) Relasi Transitif Definisi (Pengertian) Misalkan 𝐵 sebuah relasi pada sebuah himpunan 𝐴. Relasi 𝐵 bersifat transitif, jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 dan (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵 maka berlaku (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐵. Contoh: Diberikan himpunan 𝐴 = {1,2,3}. Didefinisikan relasi B dengan 𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}. Apakah relasi 𝐵 bersifat transitif? Diketahui: 𝐴 = {1,2,3}, dan 𝐵 = {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} Jawab: Jika semua (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐵 dan (𝑦, 𝑧) ∈ 𝐵 maka berlaku (𝑥, 𝑧) ∈ 𝐵 Jika

(2,1) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)} dan (1,3) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}, maka (2,3) ∈ {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3)}

Jadi, relasi 𝐵 bersifat transitif. 4) Relasi Ekuivalensi Definisi (Pengertian) Misalkan 𝐵 sebuah relasi pada sebuah himpunan 𝐴. Relasi 𝑅 disebut relasi ekivalensi jika dan hanya jika relasi 𝐵 memenuhi sifat reflektif, simetris, dan transitif.

6

E. Fungsi (Pemetaan) Definisi (Pengertian) Fungsi adalah suatu relasi khusus yang menghubungkan setiap anggota himpunan 𝐴 ke himpunan 𝐵 dengan ketentuan setiap anggota himpunan 𝐴 hanya dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan 𝐵 dan semua anggota di 𝐴 harus memiliki pasangan di 𝐵.

F. Sifat-sifat Fungsi 1) Injektif (Satu-satu) Definisi (Pengertian) Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi injektif apabila setiap anggota 𝐵 mempunyai tepat satu pasangan saja pada anggota 𝐴. 𝑓(𝑥1 ) = 𝑓(𝑥2 ) → 𝑥1 = 𝑥2

2) Surjektif (Pada) Definisi (Pengertian) Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi surjektif apabila setiap anggota 𝐵 mempunyai pasangan saja pada anggota 𝐴. ∃𝑎 ∈ 𝐴 𝑑𝑎𝑛 ∀𝑏 ∈ 𝐵 → 𝑓(𝑎) = 𝑏

3) Bijektif (Satu-satu dan Pada) Definisi (Pengertian) Fungsi 𝑓: 𝐴 → 𝐵 disebut fungsi bijektif apabila fungsi tersebut merupakan fungsi injektif dan fungsi surjektif.

7

G. Daerah Fungsi 1) Domain (Daerah Asal)

𝐷𝑓 = {1,2,3} 2) Kodomain (Daerah Kawan)

𝐾𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} 3) Domain (Daerah Asal)

𝑅𝑓 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} H. Bentuk Fungsi Definisi Bentuk fungsi dapat dinyatakan dengan persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑦. dimana 𝑥 merupakan domain dari fungsi 𝑓 dan disebut variabel bebas karena nilainya dapat diganti dengan berbagai bilangan dan 𝑦 disebut variabel terikat (tak bebas) karena nilainya ditentukan oleh 𝑥.

8

I.

Nilai Fungsi Contoh: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 9, maka tentukan nilai untuk 𝑥 = 2 dan 𝑥 = −9. Jawab: 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 9 

𝑓(2) = 2 − 9 = −7



𝑓(−9) = −9 − 9 = −18

Jadi, 𝑓(2) = −7 dan 𝑓(−9) = −18 J.

Grafik Fungsi Contoh: Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1, maka gambarlah grafiknya untuk 0 ≤ 𝑥 ≤ 2! Jawab:  Untuk 𝑥 = 0, maka 𝑓(0) = 0 − 1 = −1  Untuk 𝑥 = 1, maka 𝑓(1) = 1 − 1 = 0  Untuk 𝑥 = 2, maka 𝑓(2) = 2 − 1 = 1

9