Logika
Akademie managementu a komunikace, Praha PhDr. Peter Jan Kosmály, PhD.
Logika Tematické okruhy: 1. Stručné dějiny logiky a její postavění ve vědě 2. Analýza složených výroků pomocí pravdivostní tabulky 3. Subjekt-predikátová logika – Aristotelovský čtverec 4. Definice a terminologie 5. Polysémie, synonymie, homonymie, antonymie 6. Analýza chybných argumentací 7. Interpretace 8. Analýza konkrétního dialogu
Logika Základní studijní literatura: Online materiály plus jakákoli příručka základů logiky, např. BEK, Roman. Logika. Praha: ČVUT, 1996, 2001. GAHÉR, František. Logika pre každého. Bratislava: Iris, 1994, 2001. PEREGRIN, Jaroslav. Logika a logiky. Praha: Academia, 2004 ŠTĚPÁN, Jan. Logika a logické systémy. Olomouc: Votobia, 1992. ŠTĚPÁN, Jan. Klasická logika. Olomouc: Univerzita Palackého v Olomouci, 2001. NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013. Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Požadavky na kontrolní práce - absolvovat průběžná seminární cvičení, ze kterých každé bude ověřovat jednak porozumění studenta přednášené látce a jednak jeho schopnost použít nabyté poznatky v praxi. Cvičení budou mít charakter elektronických testů s výběrem z několika odpovědí nebo doplnění krátké odpovědi.
Logika Výroková logika Výroková logika je založena na zohlednění předpokladu, že složený výrok je pravdivý či nepravdivý v závislosti na tom, jaká je "povaha" spojky, která spojuje dané výroky. Výroková logika analyzuje věty až do úrovně elementárních výroků. Strukturu těchto elementárních výroků již dále
nezkoumá. Výrokem se již od staré antiky rozumí věta, která je pravdivá nebo nepravdivá, tj. má pravdivostní hodnotu. Pravdivostní hodnoty jsou dvě: pravda (true, 1) nepravda (false, 0) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013. Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Logika Výroková logika Výrokovou logiku a pravdivostní hodnoty lze aplikovat na některé věty přirozeného jazyka. Je třeba vynechat: věty, které nemají žádnou pravdivostní hodnotu (Kolik je hodin? Běž pro noviny !) věty, kde nemůžeme jednoznačně přiřadit pravdivostní hodnotu (Já jsem češka – může být pravdivá, i nepravdivá, i nelze rozhodnout bez kontextu) věty, jejichž pravdivostní hodnota je nerozhodnutelná (Současný český prezident je Václav Havel – záleží na čase, kdy je věta vyřčena) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013. Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Logika Výroková logika Výroky dělíme na jednoduché a složené. Jednoduchý výrok je takové tvrzení, jehož žádná vlastní část již není výrokem. Složený výrok pak má vlastní části - výroky. Výroková logika zkoumá strukturu těchto složených výroků v tom smyslu,
že zkoumá způsob skládání jednoduchých výroků do složených pomocí logických spojek. Je to tedy teorie logických spojek. Přitom ovšem zachovává žádoucí princip skladebnosti (kompozicionality), podle něhož je pravdivostní hodnota složeného výroku jednoznačně určena jen pravdivostními hodnotami jeho složek a povahou spojení těchto složek (tj. logickou povahou spojek). upraveno podle:E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika - Příklady složených výroků: V Praze prší
a
|
|
|
v Brně je hezky.
el. výrok
spojka el. výrok
Není pravda,
že v Praze prší.
|
|
spojka el. výrok
upraveno podle:E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika - Příklady složených výroků: Jednoduché výroky jsou složeny ve výrok složený pomocí logických spojek, tzv. větných operátorů. Jednoduchý výrok • nese právě jednu informaci • informace: o čem věta mluví (subjekt věty) a co se ve větě o subjektu vypovídá (predikát věty) Složený výrok = (jednoduchý výrok) (větný operátor) (jednoduchý výrok) Složený výrok = (výrok) (větný operátor) (výrok) Například na otázku, kde byl v úterý Petr, můžeme slyšet odpověď: (Petr se učil matematiku) nebo (Petr šel do kina). (Petr se učil matematiku a fyziku) nebo (Petr šel do kina). upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika - Příklady složených výroků: Známe-li pravdivostní hodnoty jednoduchých výroků Petr se učil matematiku, Petr šel do kina, můžeme určit pravdivostní hodnotu složeného výroku s použitím větného operátoru (logické spojky) nebo. Ve výrokové logice nás nezajímá pravdivostní hodnota konkrétního jednoduchého výroku, ale výroková forma. Je to výraz, který sám o sobě nemá pravdivostní hodnotu, protože místo konkrétních jednoduchých výroků obsahuje proměnné. výrokové formy p nebo q zapisujeme (p v q) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013. Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Logika Výroková logika - Příklady složených výroků: - kde p,q jsou proměnné, za které je možné dosazovat konkrétní výroky a přiřazovat složenému výroku pravdivostní hodnotu na základě znalosti pravdivostních hodnot dosazených výroků a znalosti použitého větného operátoru. V podstatě jsme vytvořili funkci, která pravdivostním hodnotám jednoduchých výroků jednoznačně přiřazuje pravdivostní hodnotu celku (složeného výroku). F(p,q) = { pravda, nepravda } Jazyk výrokové logiky musí obsahovat symboly zastupující jednotlivé elementární výroky (tzv. výrokové symboly (proměnné), které budou nabývat hodnot pravda, nepravda), symboly pro logické spojky a případné pomocné symboly. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013. Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Logika Výroková logika - Příklady složených výroků: Uvažujme pro příklad dva jednouché výroky p a q. Každý z nich je pravdivý či
nepravdivý. Vzájemné kombinace jejich pravdivostí a nepravdivostí jsou celkem čtyři. Např. česká (gramatická) spojka "a" (popř. "a zároveň") je ve výrokové logice chápána jako tzv. konjunkce (obvykle značena "∧"). Spojení výroku p s výrokem q pomocí konjunkce, tedy složený výrok "p a zároveň q", je pravdivé pouze pro tu z kombinací pravdivostí pro p a q, kdy jsou oba tyto výroky pravdivé; ve všech třech zbylých případech je výrok "p a zároveň q" nepravdivý. Konjunkce apod. jsou zvány výrokové spojky.
Uvědomme si tedy, že tu jsou (české) gramatické spojky jako např. "a zároveň", "jestliže, pak", které se v logice snažíme vystihnout výrokovými (výrokovělogickými) spojkami. upraveno podle:Úsudky. Testy studijních předpokladů. [online] Brno, Masarykova univerzita 1996-2013. Dostupné elektronicky: http://www.muni.cz/tsp/usudky?lang=cs
Logika Výroková logika 3 principy, které charakterizují systém klasické výrokové logiky: I. Princip dvou hodnot: Existují pouze dvě pravdivostní hodnoty {pravda, nepravda} II. Princip jednoznačnosti: Každý výrok má právě jednu pravdivostní hodnotu. III. Princip extenzionality: Výroky jsou vzájemně zaměnitelné, jestliže mají stejnou pravdivostní hodnotu. Někdy se místo Principu dvou hodnot a Principu jednoznačnosti používá princip vyloučeného sporu ( není možné, aby jeden a tentýž výrok byl současně pravdivý a nepravdivý), respektive zákon o vyloučeném třetím (výrok je buď pravdivý, nebo je nepravdivý). upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika Z principu extenzionality vyplývá, že se ve výrokové logice omezíme jen na výroky, jejichž pravdivostní hodnotu lze zjistit pouze a jen z pravdivostních hodnot jejich částí. (složené výroky) pravda Př: V1: Silnice je mokrá a nebe je modré. V2: Silnice je mokrá a tráva je zelená. V1: Praha je hlavní město České republiky a Bratislava je hlavní město Slovenské republiky. V2: Praha je hlavní město České republiky a Varšava je hlavní město Polska. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika Symboly ¬ ⌐ ˄ ˅
Þ ≡
označují vztahy Negace, Disjunkce, Konjunkce, Implikace a Ekvivalence
upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika Jazyk výrokové logiky je množina všech formulí výrokové logiky. Symbolika není v literatuře jednotná. Následující tabulka udává alternativní značení spojek:
upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika Gramatika jazyka výrokové logiky rekurzivně definuje formule: (1) Výrokové symboly jsou formule /báze definice/. (2) Jsou-li výrazy A, B formule, pak jsou formulemi i výrazy (¬A), (A Disjunkce B), (A Konjunkce B), (A implikace B) , (A ≡ B) (*)/indukční krok definice/. (3) Jiných formulí výrokové logiky, než podle bodů (1), (2) není /uzávěr definice/. Formule vzniklé podle bodu (1) nazýváme elementárními /atomárními, primitivními/ formulemi, formule vzniklé podle bodu (2) složenými formulemi. Formule A, B jsou bezprostředními podformulemi formulí. (*) Maximální počet do sebe vnořených závorkových dvojic , vyskytujících se ve formuli udává /hierarchický/ řád formule. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika 1. Symboly A, B použité v indukčním kroku definice nejsou formulemi (nevyskytují se jako symboly v abecedě jazyka), ale metasymboly sloužící k označení formulí. 2. Používání závorek v zápisu formulí můžeme omezit přijetím následujících konvencí: Složenou formuli nejvyššího řádu netřeba závorkovat. V případě, že o prioritě vyhodnocení nerozhodnou ani závorky ani prioritní stupnice, vyhodnocujeme formuli zleva doprava. Tak např. formuli p Þ q Þ r Þ s vyhodnocujeme tak, jakoby byla zapsána ((pÞq)Þr Þ s. U vícečlenných konjunkcí nebo disjunkcí není třeba uvádět závorky, tj. např. místo (p ˅ q) ˅ r nebo p ˅ (q ˅ r) lze psát pouze p ˅ q ˅ r. Tato konvence souvisí s předchozí konvencí (na pořadí vyhodnocování nezáleží a tedy lze standardně vyhodnocovat zleva doprava). upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika Symboly ¬ ⌐ ˄ ˅ Þ ≡ označují vztahy Negace, Disjunkce,Konjunkce,Implikace a Ekvivalence
upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika Spojka negace ¬ odpovídá výroku „není pravda, že...“ Je to unární spojka, nespojuje dva výroky (operace s výrokem). Příklad: „Není pravda, že Praha je velkoměsto“ Je to funkce jedné proměnné: proměnná hodnota funkce F(p) → { pravda, nepravda } p ¬p Logická forma: ¬ p 1 0 p: Strom je organismus. (výrok) 0 1 ¬ p: Strom není organismus. Není pravda, že strom je organismus. (složený výrok) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Výroková logika Spojka konjunkce ˄ odpovídá spojce "a" Ne každé "a" v přirozeném jazyce analyzujeme spojkou konjunkce, např.: "Jablka a hrušky se pomíchaly", "Přišel jsem domů a zatopil"
Je to binární, komutativní spojka. Příklad: "Praha je hlavní město ČR a v Praze je sídlo prezidenta ČR" → p ˄ q "Praha je hlavní město ČR a 2 + 3 = 5“ proměnná proměnná hodnota funkce
Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) → { pravda, nepravda } Logická forma: p ˄ q
p
q
p˄q
1
1
1
1
0
0
0 1 0 p: Petr studuje střední školu. (výrok) 0 0 0 q: Petr se učí matematiku. (výrok) p ˄ q : Petr studuje střední školu a (zároveň) Petr se učí matematiku. (složený výrok) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Výroková logika Spojka disjunkce ˅ odpovídá spojce "nebo" Spojka "nebo" se často používá v přirozeném jazyce ve vylučujícím smyslu "buď, anebo", pak při analýze použijeme jinou spojku - alternativu (neboli nonekvivalenci).
Je to binární, komutativní spojka. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) → { pravda, nepravda } Logická forma: p ˅ q Příklady: "Osobní auta mají přední nebo zadní náhon."
proměnná proměnná
hodnota funkce
p
q
p˅q
1
1
1
1
0
1
0 1 1 p: Vedoucí Petr Novák řídí direktivním způsobem. (výrok) q: Vedoucí Petr Novák pro řízení používá delegování. (výrok) 0 0 0 p ˅ q: Vedoucí Petr Novák řídí direktivním způsobem nebo pro řízení používá delegování. Vedoucí P. N. řídí direktivním způsobem nebo vedoucí P. N. používá pro řízení delegování. Ale: "Tento muž je ženatý nebo svobodný" → ¬ (p ≡ q) "Otec se zeptal, zda zůstanu doma nebo zda půjdu s ním" → ¬ (p ≡ q) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Výroková logika Spojka implikace Þ odpovídá "jestliže, pak", "když, tak", „je-li, pak" Je to jediná binární spojka, která není komutativní, proto nazýváme první člen implikace antecedent, druhý konsekvent. Implikace nepředpokládá žádnou obsahovou souvislost mezi antecedentem a konsekventem, proto bývá někdy nazývána materiálová implikace. Proměnná Proměnná hodnota Je to funkce dvou proměnných: funkce 1. 2. F(p,q) → { pravda, nepravda } Logická forma: p Þ q
p
q
pÞq
1
1
1
Příklady: 1 0 0 „Jestliže 1+1=2, pak železo je kov“ (pravdivý výrok) 0 1 1 p: Petr byl v pondělí večer doma. (výrok) q: Petr se v pondělí večer učil matematiku. (výrok) 0 0 1 p Þ q Jestliže byl Petr v pondělí večer doma, pak se učil matematiku. (složený výrok) upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika
Výroková logika Spojka ekvivalence ≡ odpovídá "právě tehdy, když", "tehdy a jen tehdy, když", apod. , ale ne "tehdy, když" (to je implikace) Je to binární spojka. Je to funkce dvou proměnných: F(p,q) → { pravda, nepravda } Logická forma: p ≡ q
proměnná
proměnná
hodnota funkce
p
q
p≡q
1
1
1
Příklady: 1 0 p: Výkon studenta je ohodnocen jedničkou. (výrok) 0 1 q: Student ovládá základy logiky. (výrok) 0 0 p ≡ q : Výkon studenta je ohodnocen jedničkou tehdy a jen tehdy, když student ovládá základy logiky. (složený výrok) a) "Dám ti facku, když mě oklameš" → okl Þ facka b) "Dám ti facku tehdy a jen tehdy, když mě oklameš → okl ≡ facka Situace: Neoklamal jsem. Řešení: a) můžu dostat facku, b) nemůžu dostat facku. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
0 0 1
Výroková logika
Logika
Konjunkce a disjunkce jsou opačné operátory. Zatímco konjunkce je
tehdy a jen tehdy pravdivá, jsou-li pravdivé všechny její části, je disjunkce tehdy a jen tehdy nepravdivá, jsou-li nepravdivé všechny její části. Tomuto vztahu se říká dualita.
Vyjádření konjunktivního vztahu pomocí vztahu disjunktivního: (p ˄ q ) → ¬ (¬ p ˅ ¬ q ) Vyjádření disjunktivního vztahu pomocí vztahu konjunktivního:
(p ˅ q ) → ¬ (¬ p ˄ ¬ q ) Vztah mezi konjunkcí a disjunkcí se nazývá De Morganův zákon. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Výroková logika
Logika
Vyjádření ekvivalence pomocí implikace a konjunkce: (p ⇔ q) ≡ (p Þ q) ˄ (q Þ p) Formule p, q, ¬p, ¬ q, p ∧ q, ¬ p ∨ ¬ q, ¬ (p ∧ q) , (¬ p ∨ ¬ q) ≡ ¬(p ∧ q) jsou splnitelné. Např. formule ¬ (p ∧ q) je pravdivá (má pravdivostní hodnotu 1) pro ohodnocení 0,1 výrokových symbolů p,q ). Rovněž ohodnocení (1,0), (0,0) jsou její modely, ale ne (1,1).
Formule (¬p ∨ ¬ q) ≡ ¬ (p ∧ q) je tautologií. Pro všechna možná ohodnocení 0,0 , 0,1 , 1,0 , 1,1 výrokových symbolů (p, q) je pravdivá.
Formule ¬ [¬p ∨ ¬ q) ≡ ¬ (p ∧ q)] je kontradikcí. Neexistuje ohodnocení výrokových symbolů (p, q), pro které by byla formule pravdivá. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika - Některé důležité tautologie výrokové logiky: Tautologie s jediným výrokovým symbolem: |= p ≡ p |= p ˅ p
zákon vyloučeného třetího
|= ¬ (p ˄ ¬ p)
zákon sporu
|= p ≡ ¬ ¬ p
zákon dvojí negace
Algebraické zákony: |= (p ˅ q) ≡ (q ˅ p) |= (p ˄ q) ≡ (q ˄ p) |= (p ≡ q) ≡ (q ≡ p) |= (p ˅ q) ˅ r ≡ p ˅ (q ˅ r) |= (p ˄ q) ˄ r ≡ p ˄ (q ˄ r) |= ((p ≡ q) ≡ r) ≡ (p ≡ (q ≡ r)) |= (p ˅ q) ˄ r ≡ (p ˄ r) ˅ (q ˄ r) |= (p ˄ q) ˅ r ≡ (p ˅ r) ˄ (q ˅ r)
komutativní zákon pro ˅ komutativní zákon pro ˄ komutativní zákon pro ≡ asociativní zákon pro ˅ asociativní zákon pro ˄ asociativní zákon pro ≡ distributivní zákon pro ˄, ˅ distributivní zákon pro ˅, ˄
upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007. E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika - Některé důležité tautologie výrokové logiky: Zákony pro vzájemné |= (p ≡ q) ≡ (p Þ q) (q Þ p) |= (p ≡ q) ≡ (p ˄ q) ˅ (¬ q ˄ ¬ p) převody funktorů: |= (p Þ q) ≡ (¬ p ˅ q) |= ¬ (p Þ q) ≡ (p ˄ ¬ q) |= ¬ (p ˄ q) ≡(¬ p ˄ ¬ q) |= ¬ (p ˅ q) ≡(¬ p ˅ ¬ q)
Zákony pro implikaci:
|= p Þ (q Þ p) |= (p Þ ¬ p) Þ q |= (p Þ q) ≡ (¬q Þ ¬p) |= (p Þ (q Þ r)) ≡ ((p ˄ q) Þ r) |= (p Þ (q Þ r)) ≡ (q Þ (p Þ r)) |= (p Þ q) Þ ((q Þ r) Þ (p Þ r)) |= ((p Þ q) ˄ (q Þ r)) (p Þ r) |= (p Þ (q Þ r)) ≡ ((p Þ q) Þ (p Þ r)) |= (¬ p Þ p) Þ p) |= ((p Þ q) ˄ (p Þ ¬ q)) Þ ¬ p |= (p ˄ q) Þ p , |= (p ˄ q) Þ q |= p Þ (p ˅ q) , |= q Þ (p ˅ q)
Negace implikace De Morganovy zákony De Morganovy zákony zákon simplifikace zákon Dunse Scota zákon kontrapozice spojování předpokladů na pořadí předpokladů nezáleží hypotetický sylogismus tranzitivita implikace Fregův zákon reductio ad absurdum reductio ad absurdum
upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika v praxi 1. Věta přirozeného jazyka do logické formule, zjišťujeme logickou formu Sdělení vedoucího Petra: Ocenil jsem výkon pracovníka odměnou a přeřadil jsem pracovníka na vyšší pozici. proměnná proměnná hodnota funkce p: Vedoucí Petr ocenil výkon pracovníka odměnou. q: Vedoucí Petr přeřadil pracovníka na vyšší pozici. p q p˄q p?q
2. na úrovni formulí uplatnímet pravidla logiky, zjišťujeme pravdivostní hodnoty složených výroků. 3. interpretujeme tyto informace pomocí přirozeného jazyka, ve vztahu k původnímu obsahu.
1
1
1
1
0
0
0
1
0
0
0
0
Složený výrok je pravdivý, právě tehdy, když nastaly obě skutečnosti, tj. došlo i k udělení odměny i k přeřazení pracovníka na vyšší pozici. Jestliže např. k udělení odměny nedošlo a pracovník byl pouze přeřazen na vyšší pozici, sdělení vedoucího je výrokem nepravdivým. A pokud byla pracovníkovi udělena odměna a nebyl přeřazen na vyšší pozici, je také sdělení vedoucího nepravdivé. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu I.
II.
Přepsat argument pomocí symboliky výrokové logiky (abstrahujeme od jazykových prvků, které nejsou z pohledu správnosti argumentu podstatné) Zjistit, zda závěr vyplývá z premis (tj. zda je vyloučena možnost, že premisy jsou pravdivé a závěr nepravdivý)
Příklad: Rozodněte o správnosti argumentu Premisa: Jestliže je Praha hlavní město ČR, pak v Praze sídlí vláda. Premisa: Praha je hlavní město ČR. Závěr: V Praze sídlí vláda. Řešení: Krok 1 → Výsledná forma argumentu: p Þ q upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu Řešení: Krok 2 → Pravdivostní hodnoty Tabulka logické funkce implikace
Forma argumentu
P
pÞq
Premisa
Premisa
Závěr
1
pÞq
p
q
0
1
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
q
1
1
1
0
0
1
0
0
1 1
Určili jsme všechny možné varianty, případ (1,1,0) se v řešení nevyskytuje, vyloučili jsme možnost, že premisy jsou pravdivé a závěr je nepravdivý. upraveno podle: NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika Výroková logika v praxi - Analýza správnosti argumentu Každé ohodnocení v výrokových symbolů obsažených ve formuli A, pro které je hodnota pravdivostní funkce rovna 1, tedy w(A)v = 1, se nazývá model této formule. p q r pÞr qÞr p˅q Zjistíme, zda množina formulí 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 M = {p Þ r, q Þ r, p ˅ q} je splnitelná: 1 0 1 1 1 1 Formule A výrokové logiky je splnitelná, 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 je-li w(A)v = 1 pro nějaké ohodnocení v, 0 1 0 1 0 1 neboli existuje aspoň jeden model formule A. 0 0 1 1 1 0 0
0
0
1
1
0
Daná množina M je splnitelná a jejími modely jsou ohodnocení odpovídající 1., 3. a 5. řádku. Dále z tabulky vidíme, že z množiny M logicky vyplývá formule r. Pro každý model této množiny je r pravdivá. Tedy (závorky pro množinu premis není nutno uvádět): p Þ r, q Þ r, p ˅ q |= r upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika v praxi - Jazyk výrokové logiky Patří mezi umělé jazyky. Vytváříme ho, abychom mohli analyzovat vztah vyplývání. Každý jazyk má určitý slovník (seznam výrazů, které se v jazyce vyskytují, „slovní zasobu“) a určitou gramatiku(způsob vytváření dalších povolených výrazů). U umělého jazyka je třeba slovník i gramatiku předem nadefinovat. Slovník výrokové logiky: Základní výrazy: p1, p2, p3, .....,pn; → , ¬ , ( , ) Spojováním těchto výrazů získáváme formule. Gramatika výrokové logiky: transformační pravidla, dobře vytvořené formule a) Všechny výrazy p1,p2,p3, ...,pn jsou dobře vytvořenými formulemi výrokové logiky b) Jestliže A je dobře vytvořená formule výrokové logiky, pak je dobře vytvořená i formule ¬A c) Jestliže jsou výrazy A a B dobře vytvořenými formulemi, pak je dobře vytvořená i formule (A → B)) d) Pouze formule vytvořené na základě bodů a) – c) jsou dobře vytvořené formule upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm#
Logika Výroková logika v praxi Zavedení těchto dvou logických spojek (negace, implikace) je dostatečné, protože všechny ostatní logické spojky výrokové logiky lze vyjádřit pomocí negace a implikace. Definice 1: (konjunkce) (A ˄ B) ≡ ¬ ( A → ¬ B ) Definice 2: (disjunkce) (A ˅ B) ≡ ( ¬ A → B ) Definice3: (ekvivalence) (A ⇔ B) ≡ (( A → B ) ˄ ( B → A )) Toto je základní syntax jazyka výrokové logiky. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.
Logika Výroková logika v praxi Sémantika jazyka výrokové logiky: Potřebujeme vztáhnout vytvořené formule k pravdivostním hodnotám (protože jazyk chceme používat pro analýzu vyplývání). Definujeme funkci, tzv. pravdivostní ohodnocení (interpretace), která každé jednoduché správně vytvořené formuli přiřadí jednu pravdivostní hodnotu (0,1). Pravdivostní ohodnocení splňuje formuli A, jestliže formule A je při tomto ohodnocení pravdivá. I(A)=1. Pro všechny dobře vytvořené formule A,B platí: (pravidla) a) I(¬ A)=1 tehdy a jen tehdy, když I(A)=0. b) I(A → B)=1 tehdy a jen tehdy, když I(A)=0 nebo I(B)=1. upraveno podle: E-vyuka pro logiku. [online] Dostupné elektronicky: http://snug.ic.cz/index.htm# NYTROVÁ, Olga - PIKÁLKOVÁ, Marcela. Etika a logika v komunikaci. Praha: UJAK, 2007.