Logaritmische functie © WISNET-HBO update aug 2013
1 Inleiding De bedoeling van deze les is het repeteren met pen en papier van logaritmen. Voorkennis van de rekenregels van machten is voor deze les beslist noodzakelijk. Kijk eventueel de rekenregels voor machten nog eens na. Omdat we met pen en papier werken is het gebruik van decimale getallen in deze les niet interessant en geeft geen extra bijdrage voor het begrip. In de Wisnetcursus Exponentiële en logaritmische functies is nog een trainingsles Training Logaritmen om te oefenen met het combineren van de rekenregels die hier worden uitgelegd.
2 Definitie van de logaritme
Het grondtal a van de logaritme wordt in Nederlandse boeken links boven de log geplaatst. Echter internationaal wordt het grondtal voor de logaritme tegenwoordig rechts onder de log geplaatst, wat ook een beter gevoel geeft omdat het een "grondtal" is. Misschien even wennen dus. betekent hetzelfde als Hierin is a het grondtal van de logaritme waarvoor geldt dat dit getal altijd groter is dan 0 en ongelijk aan 1. Spreek uit de a-log van x.
2.0 Grafiek van de logaritme Voor verschillende grondtallen a geven we hier de grafieken van de logaritmische functie.
Voor meer informatie zie bij paragraaf 2.4.1. grafieken.
2.1 Definitie van de logaritme
2.1.1 Geheugensteuntje
2.1.2 Voorbeelden De logaritme (met positief grondtal a) van een reëel positief getal x is gelijk aan díe waarde van y , zodat . Onthoud goed dat a positief is maar niet gelijk kan zijn aan 1. De volgende voorbeelden moet je uit het hoofd kunnen berekenen met behulp van de definitie van de logaritme. Ga eventueel met de rekenmachine kijken of het klopt.
voorbeeld 1
want
voorbeeld 2
want
voorbeeld 3
want
2.1.3 Vragen De volgende vragen moeten uit het hoofd beantwoord kunnen worden. Kijk steeds even naar de definitie van de logaritme die verband houdt met de exponentiële functie.
vraag 2.1.3.1 Waarom kan het grondtal van de logaritme niet gelijk zijn aan 1? antwoord 2.1.3.1 Het grondtal van de logaritme kan niet gelijk zijn aan 1, omdat 1 tot een bepaalde macht toch altijd gelijk is aan 1 en nooit iets anders!
vraag 2.1.3.2 Welk grondtal a moet je nemen voor de logaritme zodat
?
antwoord 2.1.3.2 Als er moet gelden dat welk grondtal a moet je dan nemen? Elk grondtal a groter dan 0 en ongelijk aan 1 kun je dan nemen Immers stel het grondtal = a: er geldt toch voor ieder grondtal dat positief is dat
vraag 2.1.3.3 Kan het getal x onder de logaritme ook negatief zijn?
.
antwoord 2.1.3 Het getal x onder de logaritme is altijd positief en groter dan 0 als je met Reële getallen werkt. Immers ga maar na als je naar de definitie kijkt.
Als dan kan x nooit kleiner of gelijk zijn aan 0 want de functiewaarden van een exponentiële functie zijn altijd positief.
vraag 2.1.3.4 Kan de waarde y van de logaritme
ook negatief zijn?
antwoord 2.1.3.4 De waarde y van de logaritme kan wel negatief zijn. Het is immers ook mogelijk machten te maken met negatieve exponenten. Voorbeelden zijn
Dus betekent dat En dus:
Ga nog eens de rekenregels van machten na.
2.1.4 Training Zie aparte trainingsles in de Wisnetcursus Exponentiële en logaritmische functies: "Training Logaritmen"
2.2 Het grondtal van de logaritme Het grondtal van de logaritme is altijd groter dan 0 en ongelijk aan 1. Dat heeft een reden als we ons beperken tot de Reële getallen. Je kunt namelijk nooit een (Reële) logaritmische functie maken met een negatief grondtal als je naar de definitie van de logaritme kijkt.
2.2.1 stel het grondtal = Stel dat het grondtal a het getal zou zijn. Probeer dan een paar mooie waarden van x in te vullen om te kijken wat de ywaarde dan zou moeten zijn. want
want
Tot zover "zou" het goed kunnen gaan als je maar gehele getallen voor y in kan vullen; maar.............
2.2.2 het gaat mis als y niet een geheel getal is Echter probeer eens een getal x in te vullen dat er voor y het grondtal nog steeds gelijk is aan .
Er kan geen (Reëel) getal gelijk is aan x.
bedacht worden waarvoor geldt dat de wortel uit
Hier gaat het dus mis, maar het gaat voor heel veel gevallen mis als y niet een geheel getal is.
2.2.3 neem een waarde voor x Probeer vervolgens een willekeurige waarde voor x in te vullen, bijvoorbeeld als nog steeds het grondtal gelijk is aan .
Tot welke macht moet je verheffen om als antwoord 2 te krijgen??????? Dit LUKT NIET met de Reële getallen.
2.2.4 rekenregels Kijk alvast even naar paragraaf 3 de rekenregels en merk op dat rekenregel nummer 4 niet kan kloppen, omdat de logaritme uit een negatief getal niet kan bij Reële getallen.
2.2.5 complexe getallen Als we een uitbreiding maken van de Reële getallen = naar de Complexe getallen C is er opeens veel meer mogelijk. Dan is een logaritme uit een negatief getal wel mogelijk en ook negatieve grondtallen ook. Zelfs wortels uit negatieve getallen behoren dan tot de mogelijkheden. Zie hiervoor in Wisnet de cursus Complexe Getallen (alleen als je er aan toe bent).
2.3 De natuurlijke logaritme Als het grondtal van de logaritme het getal e is (het getal van Euler), dan heeft de logaritme met dit grondtal bijzondere eigenschappen en we noemen dit de natuurlijke logaritme, afgekort ln.
Zie bij een andere les in de Wisnetcursus Exponentiële en logaritmische functies voor meer informatie over het getal van Euler. Zie ook verder in paragraaf 2.4 De grafiek van de logaritmische functie .
2.4 De grafiek van de logaritmische functie Voor verschillende grondtallen a geven we hier de grafieken van de logaritmische functie.
2.4.1 Grafieken van exponentiële functie en logaritmische functie De exponentiële functie en de logaritmische functie kun je met elkaar in verband brengen. Kijk ook naar de symmetrie ten opzichte van de lijn .
en Let op het groter worden van het grondtal dat de logaritmische grafiek dan juist vlakker wordt! Let ook op de symmetrie t.o.v. de groene lijn .
2.4.2 Opmerkingen Merk op dat hoe groter het grondtal is, des te vlakker de grafiek van de logaritme loopt voor grote waarden van x. De exponentiële functie loopt dan juist steiler als het grondtal groter is. Merk ook de symmetrie op van de logaritmische en exponentiële functie. Merk ook op dat alle grafieken door het punt (1,0) lopen. Zie ook vraag 2.1.3.2. Merk op dat als het grondtal gelijk is aan e (Getal van Euler) dat dan de raaklijn in het punt (0,1) een richtingscoëfficiënt heeft van 1. Lees in de goede grafiek de volgende waarden af.
2.5 Notatie van de logaritme In Nederlandse boeken wordt het grondtal van de logaritme links boven de logaritme geplaatst. Echter steeds meer zie je internationaal het grondtal rechts onder de logaritme geplaatst als subscript. Als er geen grondtal vermeld wordt bij log, dan is het grondtal gelijk aan 10. De betekenis van
is dus of Immers . Als er ln staat, dan betekent het dat het grondtal e het getal van Euler is en dat er sprake is van de natuurlijke logaritme.
De betekenis van
is dus
.
2.5.1 Tips bij gebruik van Maple Bij gebruik van het computeralgebrasysteem en het Maple T.A.-toetssysteem, wordt het grondtal niet linksboven, maar als subscript geplaatst. Je hebt er echter niet veel last van, want de logaritme met een grondtal anders dan e wordt metéén omgerekend naar de logaritme met grondtal e. Zie ook bij de rekenregels voor logartimen:
Reken dit na op de rekenmachine. Voer dit in bij Maple als: log[4](16). LET OP: Bij Maple is log(x) hetzelfde als ln(x). Voer maar eens in: log(x) je krijgt dan .
2.6 Oefeningen om zelf te doen De volgende oefeningen kunnen uit het hoofd gedaan worden. Je moet wel de rekenregels van machten hiervoor kennen. Immers iedere keer even naar de definitie kijken van de logaritme:
oefening 2.6.1 Bepaal uit het hoofd de waarde van
.
antwoord 2.6.1
want
oefening 2.6.2 Bepaal uit het hoofd de waarde van
.
antwoord 2.6.2 .
Immers
oefening 2.6.3 Bepaal uit het hoofd de waarde van log(0.001) (Geen grondtal betekent grondtal 10.)
antwoord 2.6.3 aanwijzing
oefening 2.6.4 Bepaal uit het hoofd de waarde van
als
.
antwoord 2.6.4
aanwijzing bij 2.6.4 =
Immers
.
oefening 2.6.5 Bepaal uit het hoofd de waarde van
antwoord 2.6.5
aanwijzing =3 Immers
.
2.7 Oefeningen om zelf te doen De volgende oefeningen doe je met de rekenmachine en met behulp van de definitie van de logaritme.
oefening 2.7.1
Los op antwoord 2.7.1 Los op
aanwijzing bij 2.7.1
Dus tik in de rekenmachine de logaritme van 5 met grondtal 10.
oefening 2.7.2 Los op antwoord Los op
aanwijzing
oefening 2.7.3 Bereken de oplossing van
antwoord 2.7.3 Bereken de oplossing van
aanwijzing bij 2.7.3
Met de definitie van de logaritme: Werken met machten
3 Rekenregels van de logaritme Print de volgende rekenregels uit of schrijf ze over in het schrift. Omdat we nu de letters a en b gaan gebruiken is het verstandig om voor het grondtal van de logaritme de letter g af te spreken. Voor elk grondtal g groter dan 0 en ongelijk 1 gelden de volgende regels met a en b groter dan 0.
(1)
(2)
(3)
(elk gewenst grondtal)
(4)
(5)
of
(6)
3.1 Voorbeelden van de rekenregels In de volgende voorbeelden worden de rekenregels stuk voor stuk geïllustreerd en toegelicht. Gebruik steeds in gedachten de definitie van de logaritme erbij.
rekenregel (1) Som van twee logaritmen
Immers
rekenregel (2) Verschil van twee logaritmen
Immers
rekenregel (3) Exponent kan ervoor gehaald worden
Breng dit in verband met de volgende gelijkheid
en
rekenregel (4) overgaan op een ander grondtal Naar keuze grondtal 10 of grondtal e of een ander grondtal.
Immers
want Elk gewenst grondtal kun je voor g invullen en dus ook 10
of e of nog een ander grondtal
Met de rekenmachine of computer ga je ook over op het grondtal e getalvoorbeeld Ga met de rekenmachine na dat
Met de computer gaat het automatisch:
rekenregel (5)
Zet links en rechts van het =-teken de
ervoor dan komt er
Met behulp van de derde rekenregel (exponent ervoor halen) komt er dan
Klopt dus want
getalvoorbeeld Reken de volgende voorbeelden na op de rekenmachine. Met grondtal 10:
Met grondtal e :
Verklaring van regel 1 en 2 (som en verschilregel)
Met deze rekenregel (5) kun je de eerste twee rekenregels verklaren
Met de rekenregels van machten:
Zet links en rechts de log ervoor
Maak gebruik van rekenregel 3 en
rekenregel (6) Elk grondtal (groter dan 0 en ongelijk 1) kan hiervoor ingevuld worden.
Gebruik de derde rekenregel en gemakkelijk is dan in te zien dat:
Immers
.
met grondtal 10 Ook kan het grondtal 10 genomen worden.
Gebruik weer de derde rekenregel om dit in te zien:
Immers
met grondtal e Ook kan het grondtal e genomen worden.
Gebruik weer de derde rekenregel om dit in te zien: Klopt want
3.2 Oefeningen met de rekenregels oefening 3.2.1 Met grondtal 10: Schrijf als één logaritme
antwoord aanwijzing 1 Gebruik de zesde rekenregel.
aanwijzing 2
Met de tweede rekenregel.
=
oefening 3.2.2 Het grondtal is nu 5. Schrijf als één logaritme
antwoord 3.2.2
aanwijzing 1 Met regel 6 kun je nagaan dat
aanwijzing 2
Met de eerste rekenregel kun je de logaritmen bij elkaar nemen
Training Je kunt nu naar de speciale training gaan in Wisnet: Training Logaritmen.
