KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

ÁVF GM szak 2010 ősz

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA A MINTAVÉTEL BECSLÉS A sokasági átlag becslése

2010 ősz Utoljára módosítva: 2010-09-07

Általános Vállalkozási Főiskola

ÁVF Oktató: Lipécz György

1

A becslés alapfeladata Pl. Hányan láttak egy TV műsort? Jellemzően kétféle választ lehet adni: • Pontbecslés Pl. „A minta alapján a sokasági nézettségi arány 32 %”. Vesznek egy mintát, azaz, megkérdeznek pl. 1300 embert, és ebből következtetnek, hogy a teljes sokaság hányadrésze látta a műsort.

• Intervallumbecslés: „A nézettségi arány 95% valószínűséggel 29 és 35 % közé esik.” Általános Vállalkozási Főiskola

2

Mintavétel A mintavétel módja lehet: véletlen és nem véletlen

1. A véletlen kiválasztás. Ismerjük a sokaság elemeinek mintába kerülési valószínűségét. A véletlen minta fontos jellemzője: a reprezentativitás. – Egyszerű véletlen mintavétel • Visszatevéssel • Visszatevés nélkül – Rétegzett minta – Csoportos és többlépcsős minta Általános Vállalkozási Főiskola

3

Mintavétel (folyt) 2. A nem-véletlen mintavétel

• Szisztematikus mintavétel (PL. a kijáratnál minden 10-ik vevő megkérdezése) • Kvóta szerinti minta • Koncentrált minta (Fogy.K. Top 200) • Önkényes minta


4

A mintaátlag eloszlása Alapkérdések: Tekinthető-e, ill. mikor tekinthető a mintaátlag eloszlása normális eloszlásúnak? A mintaátlag várható értéke és a sokasági átlag közötti összefüggés A mintaátlag szórása és a sokasági szórás közötti összefüggés


5

A mintaátlag mint valószínűségi változó • A mintaátlag valószínűségi változó (mintáról mintára változik), amelynek van – eloszlása, – várható értéke, – szórása.

• A mintaátlag normális eloszlású, – Ha a sokaság normális eloszlású – Vagy: ha a minta elég nagy. (n > 30; pl. 100 elem)

• Ha – a sokaság eloszlása nem ismert – és a minta kicsi (30 elem alatti), akkor a mintaátlag eloszlása sem ismert. (Ekkor további megfontolásokra van szükség.) Általános Vállalkozási Főiskola

6

A mintaátlag eloszlásának paraméterei Ha a minta véletlen (a sokaság eloszlásától függetlenül, akár visszatevéses a mintavétel akár nem) akkor, • A mintaátlag várható értéke a sokasági átlag: • A mintaátlagok szórása, (standard hiba) – Visszatevéses mintánál:

– Visszatevés nélküli mintánál: x

n 1 N n

x

E( x )

X

n x

n

N n N 1

Ahol n / N a kiválasztási arány


7

Testmagasság A minta és mintaátlag normális eloszlása 0,14 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 140

145

150

155

160

165

170

175

180

185


190

195

200

205

210

8

PÉLDA sokaság és a minta közötti összefüggésre Vegyünk egy 5 elemű sokaságot. A sokaság elemei legyenek: (2, 3, 4, 5, 6). N =5 •

Írjuk össze az összes lehetséges 2 elemű mintát! n = 2 (minden húzás után visszatesszük a kihúzott elemet.)

•

Ellenőrizzük, hogy a) A mintaátlagok várható értéke (átlaga) megyegyezik a sokasági átlaggal! b) A mintaátlag varianciája a sokasági variancia n-ed része!

•

Végezzük el visszatevés nélküli mintára is! Hogyan módosul ekkor a mintátlag varianciája? Általános Vállalkozási Főiskola

9

Megoldás 1. (Visszatevéses minta esetén)

• A sokasági átlag: • A sokasági szórásnégyzet ill. szórás: A minta átlaga

2

2

2

2 2 2

3 4 5

2,5 3 3,5

• A mintaátlagok átlaga:

• A mintaátlagok szórásnégyzete:

• Következtetés:


10

Megoldás 2. (Visszatevés nélküli minta esetén)

• A sokasági átlag: 4 • A sokasági szórásnégyzet: 2 ill. szórás: A minta átlaga

2

3

2,5

2 2 2

4 5 6

3 3,5 4

3 3 3

4 5 6

3,5 4 4,5

2

• A mintaátlagok átlaga: 4

• A mintaátlagok szórásnégyzete =

• Következtetés:


11

A mintaátlagok eloszlása (%) 25 20

Relatív gyakoriság (%)

20 16

16

15 12 10

5

12

8

8

4

4

0 1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

5

Mintaátlagok


12

A becslő-fv és a jó becslés kritériumai A becslő fv fogalma: A sokasági paraméter becslésére szolgáló, a mintaelemek értékétől függő függvény. pl. a mintaátlag egy becslőfv, mert értéke a mintaelemek értékétől függ, és ezzel becsüljük a sokasági átlagot. A jó becslés kritériumai • Torzítatlanság • Hatásosság • Konzisztencia Általános Vállalkozási Főiskola

13

Torzítatlan becslések • A mintaátlag a sokasági átlag torzítatlan becslése

X

E(x )

• mintabeli arány a sokasági aránynak torzítatlan becslése

E ( p)

P

E(g) G

Vagy:

• A minta szórása a sokasági szórás torzított becslése. A minta korrigált szórása már torzítatlan 2

ˆ

s

( xi

x)

n 1

E (s) Általános Vállalkozási Főiskola

14

A jó becslés kritériumai (folyt) • Hatásosság: a becslőfüggvény szórása. Minél kisebb a szórása, annál hatásosabb • Konzisztencia (az a tulajdonság, hogy egyre nagyobb mintát véve egyre pontosabb becslést kapunk)


15

BECSLÉS A sokasági várható érték intervallum-becslése

• A sokasági várható értéket a mintaközéppel becsüljük. Ez így egy torzítatlan pontbecslés, - amely nem fog pontosan egybeesni a sokaság tényleges várható értékével. • Meg tudunk azonban adni egy intervallumot, amelybe a sokasági várható érték egy előre adott (pl. 95%-os) valószínűséggel beleesik.


16

A sokasági átlag intervallumbecslése 95 %-os megbízhatósági szint mellett Ismerjük a mintaátlag eloszlását, és szórását. Tudjuk, hogy M (x) X Kérdés: mekkora az az intervallum, amelybe a véletlen minta átlaga, ill. annak standardje 95 % valószínűséggel esik?

1,96

x

X

1,96

x

Átrendezve:

x 1,96

Rövidebb formában:

x

X

X

x 1,96

x 1,96 x

Tehát 95 % a valószínűsége annak, hogy a sokasági a mintaátlag 1,96 szórásnyi környezetében található. Általános Vállalkozási Főiskola

x

X 17

Az intervallumbecslés általános gondolatmenete Annak a valószínűsége, hogy

P

z

x

X

z

1

x

Átrendezve Tömörebben:

x X

zp

x

X

x

zp

x

x


zp

X

x

x

zp

n

18

Kifejezések Az (1- ) valószínűség a megbízhatósági szint, vagy konfidencia-szint Az (1- ) valószínűséghez tartozó intervallum a megbízhatósági intervallum vagy konfidenciaintervallum A

zp

x

szorzat a maximális hiba vagy hibahatár.

zp

x


19

PÉLDA - Átlagbecslési alapfeladat

A főiskolások sokaságából 100 fős, azonos eloszlású véletlen mintát vettünk. A mintaátlag 178 cm-nek adódott. A sokaságról tudjuk, hogy normál eloszlású, 15 cm-es szórással, nem ismerjük viszont a sokasági átlagot. a) Adjon becslést a sokasági átlagra 95%-os megbízhatósági szinten! b) Hogyan változna az eredmény, ha a megbízhatósági szint csak 90%-os lenne?


20

További figyelembeveendő problémák

• Ha nem független a mintavétel. • Ha nem ismerjük a sokasági szórást,


21

A nem független mintavétel esete A standard hiba

x

X

x zp

x

kisebb lesz,

n 1 N n n 1 N n

ahol az n /N a kiválasztási arány. Általános Vállalkozási Főiskola

22

Példa Becslés – nem független mintavétellel Egy 200 fős cég dolgozóiból egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottunk 100 főt, hogy megbecsülhessük a dolgozók átlagbérét. A mintaátlag 82 eFt. A sokaságról tudjuk, hogy normál eloszlású 15 eFt szórással a) b)

Becsülje meg a cég dolgozóinak átlagbérét, ha a megbízhatósági szint 95%! Hogyan változna az eredmény, ha a vizsgált cég dolgozóinak száma 20 000 fő lenne, de az egyéb adatok változatlanok maradnának? Általános Vállalkozási Főiskola

23

Ha a sokasági szórás nem ismert Ha nem ismerjük a sokasági szórást, • akkor a mintából becsüljük. A korrigált mintaszórással számolunk:

ˆ

s

( xi

x )2

n 1

• és (n -1) szabadságfokú t-eloszlással


24

A Student (t) eloszlás használata Mikor? Ha az alapsokaság szórása, nem ismert. • kis minta (n<30) esetén kötelező, • nagy minta (n>30; az n=100 már nagy minta!) esetén a standard normális eloszlás z- je is használható Miért? mert a mintátlag standardje nem a standard normál eloszlást követi, hanem a nagyobb szórású t-eloszlást. A mintából becsült szórás használata esetén a becslés bizonytalanabb. Általános Vállalkozási Főiskola

25

A Student (t) eloszlás ábrája különböző mintanagyságok mellett


26

PÉLDA (Becslés, – a sokasági szórás nem ismert)

Egy 5 ezer fős egyetemen 9 fős egyszerű véletlen minta alapján szeretnénk becslést adni a matematika vizsgára fordított tanulási időre. A normáleloszlás feltételezhető. A mintaátlag 16 óra. A minta korrigált szórása 4 óra. a) Adjunk becslést az egyetemi készülési átlagra 95%-os megbízhatósági szint mellett! b) Hogyan változna az eredmény, ha 100 fős mintára vonatkozna a fenti átlag és korrigált szórás?


27

Értékösszeg-becslés esetén

Megszorozzuk N-nel • a mintából becsült átlagot • és a

maximális hibát (hibahatárt)

Egyébként minden ugyanúgy megy, mint az átlag-becslésnél.


28

PÉLDA (Értékösszeg becslése) Egy főiskola 5 000 hallgatójának éves színházjegy-vásárlásait vizsgálták mintavételes felméréssel. A sokaság normál eloszlása feltételezhető. A 100 fős mintában az éves összes vásárlási érték 97 000 Ft volt. Az átlagtól való eltérés a mintában átlagosan 680 ft. • Mennyi a mintaátlag standard hibája? • Becsülje meg 95%-os valószínűséggel, hogy mennyi az egy hallgatóra jutó színházjegy vásárlás értéke a vizsgált főiskolán! • Mennyi a főiskolások által szinházjegyre költött teljes összeg maximális értéke? (A megbízhatósági szint továbbra is 95%) Általános Vállalkozási Főiskola

29

Az átlagbecslés lépései (Áttekintés) 1. A becslőfv az x 2. A becslőfv eloszlása: normális vagy Student t? – Ismert-e a sokasági szórás? – Ha nem: a minta nagy vagy kicsi?

3. A standard hiba kiszámítása • Ha a minta visszatevés nélküli, 0,05 alatt van-e az (n/N) arány? • Független-e (visszatevéses-e) a minta?

4. A konf. intervallum kiszámítása

x z ˆx

x t ˆx

Adott konfidenciaszinthez tartozó z vagy t meghatározása (táblázatból v. szám.géppel)

5. Az eredmény értelmezése Általános Vállalkozási Főiskola

30

Minta-nagyság meghatározása EV mintánál • Visszatevéses eset:

• Visszatevés nélküli eset:

2

z

n

z

n 2

2

2

z

2

2

N Általános Vállalkozási Főiskola

31

PÉLDA (Folyt) Értékösszeg becslése, mintanagyság meghatározása

Egy főiskola 5 000 hallgatójának éves színházjegy-vásárlásait vizsgálták mintavételes felméréssel. A sokaság normál eloszlása feltételezhető. A 100 fős mintában az éves összes vásárlási érték 97 000 Ft volt. Az átlagtól való eltérés a mintában átlagosan 680 Ft.

KÉRDÉS: Ha az - átlagra vonatkozó – becslés hibahatárát 80 forint alá szeretnénk szorítani, mekkora mintára lenne szükségünk?


32

Köszönöm a figyelmüket!


33

KÖVETKEZTETŐ STATISZTIKA

Recommend Documents